第二讲函数与导数2.docx

合集下载

函数的单调性与导数课件

【典型例题】
1.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减，则实数a的取
值范围为( )
A.a≥1
B.a=1
C.a≤1
D.0<a<1
2.已知函数f(x)=x3-kx在区间(-3，-1)上不单调，则实数k的
取值范围是______.
3.(2013·天津高二检测)设函数f(x)=ax3+ 3 (2a-1)x2-6x
【解析】1.选A.因为f′(x)=3x2-2ax-1，f(x)在(0,1)内单调递减，所以f′(0)≤0,f′(1)≤0,所以a≥1. 2.因为f′(x)=3x2-k.当k≤0时，f′(x)≥0，不合题意，舍去，所以k>0. 令f′(x)=0,则 x k .
3
因为在(-3,-1)上函数不单调，
________，单调递增区间为_______.
3.讨论函数f(x)=x2－aln x(a≥0)的单调性.
【解题探究】1.解含有对数函数的问题，应注意什么？利用导数求函数的单调区间,其实质是什么? 2.如何求多项式乘积形式函数的导数？ 3.当函数的解析式中含有参数时,一般的处理思路是什么?
探究提示： 1.(1)要注意对数函数的定义域,即真数大于零.(2)求函数的单调区间就是求不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集. 2.求多项式乘积式的导数,可以利用积的导数法则求解,也可以把乘积式展开,利用和与差的导数法则求解. 3.当函数的解析式中含有参数时,一般的处理思路是对参数进行分类讨论,然后在参数的不同情况下,分别求出结果.
x2
1 a
,
因为f(x)在(-∞,-3)上是增函数，即x<-3时，f′(x)>0恒成

2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第2讲函数的表示法课时作业理.docx

第2讲函数的表示法知能训练1.若f(x+2)=2x+3,则f(x) = ( )A. 2x+1B. 2x—1C. 2x—3D. 2%+712.已知代方=-^(无工±1),贝9()A. fg・ f( — x)=lB. f( — x)+f(x)=OC. f\x) • f\ — x) = —1D. f( —/)+f(x)=l3.(2017年安徽黄山质检)已知是一次函数，且代代力]=/+2,则f(x)=( )A. x~\~ 1B. 2x—1C. ~x+1D. x+1 或一x—14.下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是( )A. f\x) = |B. f{x)=x-\x\C. f^=x+\.D. f3=_x5.如图X2-2-l(l),在直角梯形力跑中，动点P从点B出发，由B-CfXA沿边运动,设点P运动的路程为x, AMP的面积为f(x).若函数y=f3的图象如图X2-2-K2), 则△九力的面积为()A. 10B. 32C. 18D. 166.若函数fg , gd)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f\x) 一财=£,则有() A.f(2)<f(3)<g(0) B. g(0)53)52)C. f(2)<g(0心(3)D. g(0)〈f(2)</*(3)27.己知函数f(x) =2*+] + sin 才，则f( —2) + f( —1) + f(0) + f(l) + f(2) = ___________ .8.(2016 年浙江)设函数f(x) =x +3#+l.已知日HO,且f{x)— /(a) = (x—b) (x—a)2fx丘R, 贝实数臼= ________ , b=_________ .窜质丹华9.根据条件求下列各函数的解析式：(1)已知fCr)是二次函数，若f(0)=0, f{x+1) = f(x) +x+1,求代v)的解析式;(2)已知求心的解析式；(3)己知f\x)满足2f(x) +4£)=3X,求f\x)的解析式.10.定义：如果函数y=f{x)在定义域内给定区间［曰,b］上存在xo(a<xo<H),满足fg) r A— f o= ------ ,则称函数y=f^)是［幼方］上的“平均值函数”，心是它的一个“均值点”.如尸=/是［—1,1］上的平均值函数，0就是它的均值点.(1)判断函数f(x) = -x2+^x在区间［0,9］上是否为平均值函数.若是，求岀它的均值点；若不是，请说明理由；(2)若函数#+/加+1是区I'可［―1, 1］上的平均值函数，试确定实数加的取值范围.第2讲函数的表示法 1. B 2. A3. A 解析：设 f(必=kx~\~b,则由 ] =x+2,可得 k(kx+b) +Z?=x+2,即&■ +kb+b=x+2. AA 2=1, kb+b=2.解得 k=\,力=1,则 f(x)=x+l.故选 A.4. C 解析：将f(2力表示出来，看与2f\x)是否相等.对于A, f(2x) = |2” =2|” = 2A%);对于 B, f<2x} =2x- 12^| =2 (x~ | ) =2f(x)；对于 C, f(2x) =2/+lH2f(Q ；对于D, f(20=—2x=2f(0.故只有C 不满足f(2方=2fCr).故选C.5. D 解析：由y=f(x)的图象，得当x=4和x=9时，胪的面积相等，:・BC=4, BC+CD=g,即 CD=5.易知初=14一9 = 5.如图 D90,过点〃作 DEVAB 于点 £ •: Z 3=90° , :・DE=BC=4.在 Rt △必〃中，AE=pA#_DF=3. :.AB=AB'+E'B=3 + 5=S.1 1・・・ S^=-ABX BC=~X 8 X 4 = 16.6. D 解析：仁 _xf — x —g — x =e ,所以 f(2)=匸1，f(3)=—「，g(O)= — l ・显然 g(0)<f(2)〈f(3).故选 D.AO) =b ••• f(一2) + f(—1) + AO) +A1)+ A2) = 5.8. —2 1 解析：f{x) — =x+^x +1 —』一3/—1 = /+3,—3/, (x_D {x-2a-b=Z.— a) 2=x~ (2a+Z?) •(a 2+2atl) x — a b,所 a +2aA=0,2 i3 o 2 { — a b=_a ~5a.d — —2, b=1.9.解：⑴ 设 /(%) = ax + bx+ ,由 AO) =0,得 f{x) =ax +bx. 又由 f(x+l) =f(x)+x+l,得日(x+1)'+〃(/+1) =ax+bx+ x+1, 即 /+(2日+b)卄日+〃=/+(方+l)x+l.2臼+ b= b+1,* 日HO,・：曰=Z?=a+ b={.因此 f{x) =*#+*¥.7. 5解析:2*/ f(x) +/( — %) =2 ]+ sin ^4 2 2^+1sin 尸侖+2x+1 1+2”解得尸0(舍去)解得g =三二，如二咎.1 —x 1 — /*(2)t=-~,由此，得^=7—(t^-1).1 + x 1 + t从而fd)的解析式为/'(%)=・丄飞(好-1) • 1十X(3)・・・2fd)+£ = 3x,①・••把①中的x换成丄，得X2绘+f(心•②3① X2—②,得3/(A)=6X—•x・"3=2「卄0).10. ----------------------------------------------------------------------------- 解:(l)rtl定义知，关于的方程一#+心=——占------------------------------------------- 在(0, 9)±有实数根时, 函数fd) = —/+4尢是［0, 9］上的平均值函数.• I f — f而一x+4x=心不可解得山=5, &= — 1.又山=5丘(0, 9)［曲=—1年(0, 9),故舍去］,・・・f3 =—芒+心是［0, 9］上的平均值函数，5是它的均值点.(2) V f^=~x+mx+ \是［一1, 1］上的平均值函数，・・・关于x的方程一#+〃圧+1= —在(一1,1)内有实数根.由一x + mx-\-1 = : , 得”一mx-\-m—1=0.1 ——解得 =A2=l.又呈=1毎(一1, 1),:,x\ = m— 1 必为均值点，即-l<iw-l<l.・••所求实数m的取值范围是0〈冰2.。

高中数学三角函数公式大全.docx

第一部分集合1．理解集合中元素的意是解决集合的关：元素是函数关系中．．．．．自量的取？是因量的取？是曲上的点？⋯；2．数形合是解集合的常用方法：解要尽可能地借助数、．．．．直角坐系或恩等工具，将抽象的代数具体化、形象化、直化，然后利用数形合的思想方法解决；3．（ 1）含 n 个元素的集合的子集数2n,真子集数2n－ 1；非空真子集的数2n－2；（2）A B A B A A B B; 注意：的候不要忘了 A的情况。

4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分函数与导数1．映射：注意①第一个集合中的元素必有象；②一一，或多一。

2．函数域的求法：①分析法；②配方法；③判式法；④利用函数性；⑤ 元法；⑥利用均不等式a b a 2 b 2ab；⑦利用数形22合或几何意（斜率、距离、的意等）；⑧利用函数有界性（ a x、sin x 、cosx等）；⑨ 数法3．复合函数的有关（1）复合函数定域求法：①若 f(x) 的定域［ a，b］,复合函数 f[g(x)] 的定域由不等式a≤ g(x) ≤b解出②若 f[g(x)] 的定域 [a,b], 求 f(x) 的定域，相当于x∈ [a,b] ，求 g(x) 的域。

（2）复合函数性的判定：①首先将原函数 y f [ g ( x)] 分解基本函数：内函数u g ( x) 与外函数 y f (u) ；②分研究内、外函数在各自定域内的性；③根据“同性增，异性减”来判断原函数在其定域内的性。

4．分段函数：域（最）、性、象等，先分段解决，再下。

5．函数的奇偶性⑴函数的定域关于原点称是函数具有奇偶性的必要条件；．．．．⑵ f (x) 是奇函数f( － x)= － f(x)；f (x)是偶函数f( －x)= f(x)⑶奇函数 f ( x) 在原点有定， f (0) 0 ；⑷在关于原点称的区内：奇函数有相同的性，偶函数有相反的性；⑸若所函数的解析式复，先等价形，再判断其奇偶性；6．函数的性⑴ 性的定：① f ( x) 在区M上是增函数x1 , x2M , 当 x1x2有f ( x1 ) f (x2 ) ；② f (x) 在区间M上是减函数x1 , x2M , 当 x1x2时有f ( x1 ) f ( x2 ) ；⑵单调性的判定①定义法：一般要将式子 f ( x1 ) f ( x2 ) 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。

2019高考数学二轮复习专题二函数与导数第二讲基本初等函数学案理

第二讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用考点一指数函数、对数函数及幂函数1．指数与对数式的运算公式 (1)a m·a n＝am ＋n，(2)(a m )n ＝a mn，(3)(ab )m ＝a m b m.其中，a >0，b >0. (4)log a (MN )＝log a M ＋log a N ， (5)log a M N＝log a M －log a N ， (6)log a M n＝n log a M ， (7)alog aN＝N ，(8)log a N ＝log b Nlog b a .其中，a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0.2．指数函数、对数函数的图象和性质指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．[对点训练]1．(2018·河南洛阳二模)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b的图象上，则函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数[解析] ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，∴a －1＝1，解得a ＝2，则2b＝12，∴b ＝－1，∴f (x )＝x －1，∴函数f (x )是定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选A.[答案] A2．(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln2，c ＝log 12 13，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b[解析] 由已知得c ＝log 23，∵log 23>log 2e>1，b ＝ln2<1，∴c >a >b ，故选D. [答案] D3．(2018·山东潍坊一模)若函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )[解析] 因函数f (x )＝a x －a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数，故0<a <1.易知函数y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域为{x |x >1或x <－1}，x >1时函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以通过函数y ＝log a x 的图象向右平移1个单位得到，故选D.[答案] D4．(2018·江西九江七校联考)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)．[答案] [－4,4)[快速审题] 看到指数式、对数式，想到指数、对数的运算性质；看到指数函数、对数函数、幂函数，想到它们的图象和性质．基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．考点二函数的零点1．函数的零点及其与方程根的关系对于函数f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．2．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．角度1：确定函数的零点个数或其存在范围[解析]当x≤0时，由f(x)＝0，即x2＋2017x－2018＝0，得(x－1)(x＋2018)＝0，解得x＝1(舍去)或x＝－2018；当x>0时，设g(x)＝x－2，h(x)＝ln x，如图，分别作出两个函数的图象，由图可知，两函数图象有两个交点，所以函数f (x )在x >0时有两个零点．综上，函数f (x )有3个零点，故选C. [答案] C[快速审题] 看到函数的零点，想到求方程的根或转化为函数图象的交点．角度2：应用零点求参数的值(范围)[解析] 在平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象，如图，而函数y ＝mx －12恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，设过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12与函数y ＝ln x 的图象相切的直线为l 1，切点坐标为(x 0，ln x 0)．因为y ＝ln x 的导函数y ′＝1x ，所以图中y ＝ln x 的切线l 1的斜率为k ＝1x 0，则1x 0＝ln x 0＋12x 0－0，解得x 0＝e ，所以k ＝1e.又图中l 2的斜率为12，故当方程f (x )＝mx －12恰有四个不相等的实数根时，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e e .[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e e[探究追问] 将例2中“方程f (x )＝mx －12恰有四个不相等的实数根”改为“方程f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54恰有三个不相等的实数根”，结果如何？ [解析] 在平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象，如图．函数y ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，设过点⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0与函数y ＝1－x 2的图象相切的直线为l 1，设切点坐标为(x 0,1－x 20)，因为y ＝1－x 2(x ≤1)的导函数y ′＝－2x 0，所以切线l 1斜率k ＝－2x 0，则－2x 0＝1－x 20x 0－54，解得x 0＝12或x 0＝2(舍)．所以直线l 1的斜率为－1，结合图可知，当方程f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54恰有三个不相等的实根时，实数m 的取值范围是(－1,0)．[答案] (－1,0)(1)判断函数零点个数的3种方法(2)利用函数零点的情况求参数值(或范围)的3种方法[对点训练]1．[角度1]已知函数f (x )＝6x－log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)[解析] 易知f (x )是单调递减函数．∵f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (3)＝2－log 23>0，f (4)＝64－log 24＝32－2<0，∴选项中包含f (x )零点的区间是(2,4)．[答案] C2．[角度2]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x <1，log 12x ，x ≥1.若关于x 的方程f (x )＝k 有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．[解析]f(x)＝k有三个不同的实数根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝k的图象有三个交点，如图所示．当－1<k<0时，y＝f(x)与y＝k有三个交点．故－1<k<0.[答案](－1,0)考点三函数的实际应用解决函数实际应用题的关键(1)认真读题，缜密地审题，确切地理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．(2)合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解．[对点训练]1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y＝2x－2 B．y＝(x2－1)2xC．y＝log2x D．y＝log12[解析]由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.[答案] B2．(2018·西安四校联考)某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A．2019年 B．2020年C．2021年 D．2022年[解析] 设从2018年起，过了n (n ∈N *)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n≥200，则n ≥lg 2013lg1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，由题意取n ＝4，则n ＋2018＝2022.故选D.[答案] D3.如图，某小区有一边长为2的正方形地块OABC ，其中阴影部分是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l (宽度不计)，切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若池边AE 为函数y ＝－x 2＋2(0≤x ≤2)的图象，且点M 到边OA 的距离为t ⎝ ⎛⎭⎪⎫23≤t ≤43，则地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积的最大值为________．[解析] M (t ，－t 2＋2)，过切点M 的切线l ：y －(－t 2＋2)＝－2t (x －t )，即y ＝－2tx ＋t 2＋2，令y ＝2得x ＝t 2，故切线l 与AB 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，2；令y ＝0，得x ＝t 2＋1t，故切线l 与OC 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋1t ，0，又x ＝t 2＋1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43上单调递减，所以x ＝t 2＋1t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1712，116，所以地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形，面积S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－t 2－1t ＋2－t 2×2＝4－t －1t＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ≤2，当且仅当t ＝1时等号成立，故地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积的最大值为2.[答案] 2[快速审题] 看到实际应用题，想到函数模型．应用函数模型解决实际问题的一般程序[解析][答案] A2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点等价于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0与h (x )＝－x －a 的图象存在2个交点，如图，当x ＝0时，h (0)＝－a ，由图可知要满足y ＝f (x )与y ＝h (x )的图象存在2个交点，需要－a ≤1，即a ≥－1.故选C.[答案] C3．(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080，则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093 [解析] 因为lg3≈0.48，所以3≈100.48，所以M N ＝33611080≈(100.48)3611080＝100.48×3611080＝10173.281080＝1093.28≈1093.故选D. [答案] D4．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________．[解析] 令f (x )＝0，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0，解得x ＝k π3＋π9(k ∈Z )．当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，又x ∈[0，π]，所以满足要求的零点有3个．[答案] 35．(2018·天津卷)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．[解析] 设g (x )＝f (x )－ax ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋ax －2a ，x >0，方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解即函数y ＝g (x )有两个零点，即y ＝g (x )的图象与x 轴有2个交点，满足条件的y ＝g (x )的图象有以下两种情况：情况一：则⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝a 2－4a >0，Δ2＝a 2－8a <0，∴4<a <8.情况二：则⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝a 2－4a <0，Δ2＝a 2－8a >0，不等式组无解．综上，满足条件的a 的取值范围是(4,8)． [答案] (4,8)1.基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，一般出现在第5～11题的位置，有时难度较大．2．函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近几年全国课标卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难．热点课题5 复合函数的零点[感悟体验]1．(2018·山西质量检测)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，|ln x |，x >0，则方程f [f (x )]＝3的根的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 对于f [f (x )]＝3，令f (x )＝t ，则f (t )＝3，若t ≤0，则2t ＋1＝3，解得t ＝1，不符合题意；若t >0，则|ln t |＝3，解得t ＝e 3或t ＝e －3，若x ≤0，则2x ＋1＝e 3或2x ＋1＝e －3，解得x ＝e 3－12(舍)或x ＝e －3－12；若x >0，则|ln x |＝e 3或|ln x |＝e －3，解得x ＝ee 3或e －e 3或ee －3或e －e －3，故一共有5个根，选C. [答案] C2．(2018·安徽马鞍山一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3|x －1|，x >0，－x 2－2x ＋1，x ≤0，若关于x 的方程[f (x )]2＋(a －1)f (x )－a ＝0有7个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．(1,2)C ．(－2，－1)D ．[－2，－1][解析] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3|x －1|，x >0，－x 2－2x ＋1，x ≤0的图象如图：关于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a＝0有7个不等的实数根，即[f(x)＋a][f(x)－1]＝0有7个不等的实数根，易知f(x)＝1有3个不等的实数根，∴f(x)＝－a必须有4个不相等的实数根，由函数f(x)的图象可知－a∈(1,2)，∴a∈(－2，－1)．故选C.[答案] C专题跟踪训练(十一)一、选择题[解析][答案] C[解析]根据零点存在性定理可得函数零点所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，即所求交点横坐标所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，故选B. [答案] B3．(2018·孝感一模)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12 [解析] 依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)<0，[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]<0，解得14<m <12.[答案] C4．(2018·河南焦作二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，x 2＋ax ＋1，x >0，F (x )＝f (x )－x －1，且函数F (x )有2个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(0，＋∞)[解析] 当x ≤0时，F (x )＝e x－x －1，此时有一个零点0，当x >0时，F (x )＝x [x ＋(a －1)]，∵函数F (x )有2个零点，∴1－a >0，∴a <1.故选C. [答案] C5．(2018·湖南十三校二模)函数f (x )＝ln x ＋e x(e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eB.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1 C ．(1，e)D ．(e ，＋∞)[解析] 函数f (x )＝ln x ＋e x在(0，＋∞)上单调递增，因此函数f (x )最多只有一个零点．当x →0＋时，f (x )→－∞.∴函数f (x )＝ln x ＋e x(e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .故选A.[答案] A6．(2018·河南郑州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋m 与函数g (x )＝－ln 1x －3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54＋ln2，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－ln2，54＋ln2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54＋ln2，2＋ln2 D ．[2－ln2,2][解析] 由已知，得方程x 2＋m ＝ln 1x ＋3x ，∴m ＝－ln x ＋3x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解．设f (x )＝－ln x ＋3x －x 2，求导，得f ′(x )＝－1x ＋3－2x ＝－2x 2－3x ＋1x＝－(2x －1)(x －1)x∵12≤x ≤2，令f ′(x )＝0，解得x ＝12或x ＝1.当f ′(x )>0时，12<x <1，函数单调递增，当f ′(x )<0时，1<x <2，函数单调递减， ∴f (x )在x ＝1处有唯一的极值点， ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln2＋54，f (2)＝－ln2＋2，且知f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∴f (x )极大值＝f (1)＝2，故方程m ＝－ln x ＋3x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解等价于2－ln2≤m ≤2.所以m 的取值范围是[2－ln2,2]，故选D. [答案] D 二、填空题7．(2018·河北石家庄模拟)若函数f (x )＝m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的零点是－2，则实数m ＝________.[解析] 由m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝0，得m ＝－9.[答案] －98．设二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为________． [解析] f (x )的对称轴为x ＝－1.当a >0时，f (2)＝4a ＋4a ＋1＝8a ＋1，f (－3)＝3a ＋1.∴f (2)>f (－3)，即f (x )max ＝f (2)＝8a ＋1＝4，∴a ＝38；当a <0时，f (x )max ＝f (－1)＝a－2a ＋1＝－a ＋1＝4，∴a ＝－3.综上所述，a ＝38或a ＝－3[答案] 38或－39．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为________元．[解析] 设每辆车的月租金为x (x >3000)元，则租赁公司月收益为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x －300050·(x －150)－x －300050×50，整理得y ＝－x 250＋162x －21000＝－150(x －4050)2＋307050.所以当x ＝4050时，y 取最大值为307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为307050元．[答案] 4050 三、解答题10．(2018·唐山一中期末)已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R ，且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．[解] (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )在R 上是增函数．又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x－e x＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立，⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0， ∴t ＝－12.∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立．11．(2018·江西三校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P (单位：万元)、种黄瓜的年收入Q (单位：万元)与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？[解] (1)依题意f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20，所以20≤x ≤180.故f (50)＝－14×50＋42×50＋250＝277.5.(2)由(1)知f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)，令x ＝t ，则25≤t ≤65，y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，因此当t ＝82时，函数取得最大值282，此时x ＝128，故投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，最大总收益是282万元．12．(2018·江西吉安一中摸底)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0，lg (－x )，x <0，若关于x 的方程[f (x )]2＋f (x )＋t ＝0有三个不同的实数根，求实数t 的取值范围．[解] 原问题等价于[f (x )]2＋f (x )＝－t 有三个不同的实数根，即直线y ＝－t 与y ＝[f (x )]2＋f (x )的图象有三个不同的交点．当x ≥0时，y ＝[f (x )]2＋f (x )＝e 2x＋e x为增函数，在x ＝0处取得最小值2，其图象与直线y ＝－t 最多只有一个交点．当x <0时，y ＝[f (x )]2＋f (x )＝[lg(－x )]2＋lg(－x )，根据复合函数的单调性，其在(－∞，0)上先减后增，最小值为－14.所以要使函数的图象有三个不同的交点，只需－t ≥2，解得t ≤－2.。

2函数与导数(9课时)学生版.docx

2函数与导数(第1课时函数及其表示)【双基回顾】1、映射与函数(关键句：使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之対应) ⑴映射①“一对一或多对一”的对应；②集合/中的元素必有象且力中不同元素在B中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象(即象集"・⑵一一映射①“一对一”的对应；②/中不同元素的象必不同，3中元素都有原彖.⑶函数/: A^B是特殊的映射.特殊在定义域A和值域B都是非空数集！所以函数图像与兀轴的垂线至多有一个公共点，但与尹轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个.2、函数的三要素：定义域，对应关系,值域.定义域和对应法则二者完全相同的函数是同一函数(用来判断函数是否为同一函数)3、定义域：(1 )使函数解析式有意义的x的取值范围(如:分母H 0 ;偶次根式被开方数非负;对数真数〉0,底数＞0且H1；零指数幕的底数H0)；使实际问题有意义；(2)复合函数的定义域求法规则：①定义域指的都是x的取值范围②y=f (m)与y二f (n)中m与n的取值范围一致。

4、值域：①观察法；②配方法(二次函数类)；③换元法(三角与代数换元，特别注意新元的范围)；④分离常数法;⑤基本不等式法；⑥单调性法；⑦导数法；⑧数形结合。

5、求解析式：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)方程思想。

6、分段函数：(1)求值；(2)图象:(3)解析式；(4)性质。

【题型归纳】题型一、函数与映射已知映射—其+ A={-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4},集合B屮的元素都是A中的元素在映射/下的象，且对于任意的aWA,在集合B中和它对应的元素是|a|,则B中的元素有 __________ 个题型二、函数定义域与值域(1)函数y= 加"+ 1 的定义域为 _______ :V-x2 - 3兀 + 4(2)已知函数f(2x+l)的定义域为(0,1),则f(x)的定义域为_____________(3)求下列函数的值域：③ y = x—pl—2x;① f (x) =log2(3' + l); ②y =x'+2x(xW [0, 3])；题型三、求函数的解析式(1)已知/(x)为二次函数，且/(X - 2) = f\-x - 2),且/(0) = 1,图彖在x轴上截得的线段长为2迈, 求/(兀)的解析式。

函数与导数2(题库版)

当
0
<
a
<
1 2
时，
f (x)
在
(0,
1),
21a , + ∞
单调递增，在
1,
1 2a
2
时，
f (x)
在
(0,
+
∞)
单调递增；
当
a
>
1 2
时，
f
(x)
在
0,
1 2a
, (1, + ∞) 单调递增，在
21a , 1
单调递减 .
（3）消元统一变量 .
【解析】
4. 已知函数 f(x) = |x - m| 和函数 g(x) = x|x - m| +m2 - 7m. （1）若方程 f(x) = |m| 在 [4, + ∞) 上有两个不同的解，求实数 m 的取值范围；（2）若对任意 x1 ∈ (- ∞ , 4]，均存在 x2 ∈ [3, + ∞)，使得 f(x1) > g(x2) 成立，求实数 m 的取值范围 . 【出处】苏州一调 20 【难度】★★★ 【答案】（1） [-2, 0) ∪ (0, + ∞). （2） (1, 4 + 23 ). 【解析】
【难度】★★★
【答案】（1） 41 e2 - 2 + 2ln2. （2）
e2 4
,
e4 16
.
【解析】
2.
已知函数
f (x)
=
ex -
a 2
x2
-
ax(a
>
0).
（1）当 a = 1 时，求证：对于任意 x > 0，都有 f(x) > 0 成立；

02第二章函数、导数及其应用

第一节函数及其表示1.函数的概念及其表示(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．2.分段函数及其应用了解简单的分段函数，并能简单应用．◆教材通关◆函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：列表法、图象法和解析式法．(5)分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[小题诊断]1.(2018·深圳模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A.(－2,1) B ．[－2,1] C.(0,1)D ．(0,1]2.若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3.f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A.f (x )＝x 2－1与g (x )＝x －1·x ＋1 B.f (x )＝x 与g (x )＝x 3＋x x 2＋1C.y ＝x 与y ＝(x )2D.f (x )＝x 2与g (x )＝3x 34.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，1－log 2x ，x ＞0，则f [f (3)]＝( )A.43 B.23 C.－43D ．－35.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(3－x )，x ＜2，2x －2－1，x ≥2.若f (2－a )＝1，则f (a )＝( )A.－2 B ．－1 C.1D ．2◆ 易错通关 ◆1.求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝________.2.(2018·江南十校联考)已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.授课提示：对应学生用书第10页考点一函数的定义域自主探究基础送分考点——自主练透[题组练通]1.函数y ＝9－x 2log 2(x ＋1)的定义域是( )A.(－1,3)B.(－1,3]C.(－1,0)∪(0,3)D.(－1,0)∪(0,3]2.下列函数中，与函数y ＝13x的定义域相同的函数为( )A.y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC.y ＝x e xD ．y ＝sin xx3.(2018·铁岭模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－1，1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是________．函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式 (组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域.考点二函数解析式的求法互动探究重点保分考点——师生共研[典例] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )； (3)已知f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )．[即时应用]1．(2018·郑州模拟)已知函数f (x )的部分图象如图所示，则它的一个可能的解析式为( )A ．y ＝2xB ．y ＝4－4x ＋1C ．y ＝3x －5D ．y ＝3x2．(2018·定州模拟)下列函数中，满足f (x 2)＝[f (x )]2的是( ) A ．f (x )＝ln x B ．f (x )＝|x ＋1| C ．f (x )＝x 3 D ．f (x )＝e x3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.考点三分段函数多维探究题点多变考点——多角探明[锁定考向] 高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与不等式问题．角度一分段函数的函数求值问题1．(2018·湖南五市十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x ＞2，e x，－2≤x ≤2，f (－x )，x ＜－2，则f (－2 017)＝( )A ．1B ．e C.1eD ．e 2分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.角度二分段函数的自变量求值问题2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________.分段函数的自变量求值问题要注意判断自变量与定义域的关系、常用分类讨论思想.角度三分段函数与不等式问题3．(2018·泉州质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x ＜0.若a [f (a )－f (－a )]＞0，则实数a的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.[即时应用]1．(2018·安徽百校论坛联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧sin 5πx2，x ≤0，16－log 3x ，x ＞0，则f [f (33)]＝________.2．(2018·安阳模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－1，x ≤0，x ，x ＞0，若f [f (x 0)]＝1，则x 0＝________.3．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是__________．考点四函数的新定义问题创新探究交汇创新考点——突破疑难常见形式(1)讨论新函数的性质；(2)利用新函数进行运算；(3)判断新函数的图象；(4)利用新概念判断命题真假等．[典例] (2018·滨州月考)具有性质f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (0＜x ＜1)，0 (x ＝1)，－1x (x ＞1)中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．只有①求解函数新定义问题的思路(1)理解定义：深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系．(2)合理转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图象解决问题，或将新函数转化为已知函数的复合函数等形式解决问题．(3)特值思想：如果函数的某一性质(一般是等式、不等式等)对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题.[即时应用]1．已知定义域为D的函数y＝f(x)和常数c，若对∀ε＞0，∃x∈D使得0＜|f(x)－c|＜ε，则称函数y＝f(x)为“c敛函数”．给出下列函数：①f(x)＝x(x∈Z)；②f(x)＝2－x＋1(x∈Z)；③f(x)＝log2x；④f(x)＝1－x－1.则其中是“1敛函数”的序号是()A．①②B．③④C．①②③D．②③④2．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f(x)－g(x)|≤1，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”．设f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x－3在[a，b]上是“密切函数”，则它们的“密切区间”可以是() A．[1,4]B．[2,4]C．[2,3]D．[3,4]第二节函数的单调性与最值1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．◆ 教材通关 ◆1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，那么 ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．[必记结论]对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法： (1)可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解； (2)可导函数则可以利用导数解之． (3)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．[必记结论]求函数单调区间的2个注意点(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则． (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示． 2．函数的最值1．(2018·阜阳模拟)给定函数：①，②y ＝ (x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④2．(2018·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)3．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)4．(2018·厦门质检)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 5．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.6．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是________．◆易错通关◆1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数．3．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，1f(x)等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[小题纠偏]1．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．考点一函数单调性的判断与单调区间的求法自主探究基础送分考点——自主练透[题组练通]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)2．设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x＋k∈D，且f(x＋k)＞f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝|x－a|－2a，若f(x)为R上的“2 014型增函数”，则实数a的取值范围是________．3．已知函数f(x)＝ln x＋mx2(m∈R)，求函数f(x)的单调区间．函数单调性的判断方法考点二函数单调性的应用多维探究题点多变考点——多角探明[锁定考向] 高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题某一问中．常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．角度一求函数的值域或最值1．(2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0角度二比较函数值或自变量大小2．已知a ＞b ＞0，则下列命题成立的是( ) A ．sin a ＞sin bB ．log 2a ＜log 2bD.⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12b角度三求解函数不等式3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，2x －x 2，x ＜0，函数g (x )＝|f (x )|－1.若g (2－a 2)＞g (a )，则实数a的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)角度四利用单调性求参数的取值范围4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＜0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，14 B ．(1,2] C ．(1,3)D.⎝⎛⎭⎫12，1函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(4)求函数最值(四种常用方法)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.[即时应用]1．(2018·福州模拟)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c2．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________．第三节函数的奇偶性与周期性结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义．◆教材通关◆1．函数的奇偶性[必记结论]1．函数奇偶性的几个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．2．有关对称性的结论(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．2．函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．[必记结论]定义式f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的x 是恒成立的．若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则函数f (x )的周期为T ＝|a －b |.若在定义域内满足f (x ＋a )＝－f (x )，f (x ＋a )＝1f (x )，f (x ＋a )＝－1f (x )(a >0)，则f (x )为周期函数，且T ＝2a 为它的一个周期．对称性与周期的关系：(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝a 和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(2)若函数f (x )的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(3)若函数f (x )的图象关于点(a,0)和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，4|a －b |是它的一个周期．[小题诊断]1．(2018·肇庆质检)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝ln(x 2＋1－x ) C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋12．(2018·石家庄质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |3．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( ) A ．－3 B ．－54C.54D ．34．函数f (x )＝x ＋1x ＋1，f (a )＝3，则f (－a )的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．25．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________. 6．设函数f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________.◆ 易错通关 ◆1．判断函数的奇偶性时，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13 C.12D ．－122．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)考点一函数奇偶性的判断自主探究基础送分考点——自主练透[题组练通]1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝2x －12xB ．f (x )＝x 3sin xC ．f (x )＝2cos x ＋1D ．f (x )＝x 2＋2x2．判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，x 2－x ，x ＞0的奇偶性．判断函数奇偶性的方法考点二函数的周期性自主探究基础送分考点——自主练透[题组练通]1．函数f(x)＝lg|sin x|是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 015)＝________. 3．函数y ＝f (x )满足对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________．求函数周期的方法考点三函数性质的综合应用多维探究题点多变考点——多角探明[锁定考向] 函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)奇偶性的应用；(2)单调性与奇偶性结合；(3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合．角度一奇偶性的应用1．(2018·三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x ，则当x ＞0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x2．(2018·汕头模拟)若函数f (x )＝63e x a －b32ex (x ∈R )为奇函数，则ab ＝________.角度二单调性与奇偶性结合3．(2017·高考天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 2 5.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a4．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]角度三周期性与奇偶性结合5．设函数f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，f (x －32)＝f (x ＋12)，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )＝( )A ．|x ＋4|B ．|2－x |C ．2＋|x ＋1|D ．3－|x ＋1|角度四单调性、奇偶性与周期性结合6．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4,8] ，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a函数性质综合应用的注意点函数的周期性体现的是一种平移关系，奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．同时，函数的周期性和对称性有密切的关系．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．[即时应用]已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x5－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞0时，f(x＋1)＝f(x)，则f(2 016)＝()A．－2 B．－1C．0 D．2第四节二次函数与幂函数1．掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间． 2．了解幂函数的概念．3．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y＝1x，的图象，了解它们的变化情况．◆ 教材通关 ◆1．五种常见幂函数的图象与性质R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．3．二次函数的图象和性质 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)a ＞0a ＜0图象定义域 R值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上递减，在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞ 上递增在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上递增，在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞ 上递减奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数图象特点①对称轴：x ＝－b2a ；②顶点：⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a1．若f (x )是幂函数，且满足f (9)f (3)＝2，则f (19)＝( )A.12 B.14 C ．2D ．42．(2018·宜昌模拟)函数f (x )＝－2x 2＋6x (－2≤x ≤2)的值域是( ) A ．[－20,4] B ．(－20,4) C ．[－20，92]D ．(－20，92)3.幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <3B ．0C ．1D ．24．函数y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎡⎭⎫52，＋∞上是增函数，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－5] B ．(－∞，5] C ．[－5，＋∞)D ．[5，＋∞)5．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________． 6．若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________.◆ 易错通关 ◆由幂函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幂函数的单调性进行求解，一定要具体问题具体分析，做到考虑问题全面周到．[小题纠偏]若(a ＋1)－2＞(3－2a )－2，则a 的取值范围是________．考点一幂函数的图象与性质自主探究基础送分考点——自主练透[题组练通]1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )2．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．33．(2018·西安模拟)已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫14，2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1＜x 2)是函数图象上任意不同的两点，给出以下结论：①x 1f (x 1)＞x 2f (x 2)；②x 1f (x 1)＜x 2f (x 2)；③x 22f (x 1)＞x 21f (x 2)；④x 22f (x 1)＜x 21f (x 2)．其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等． (2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解.考点二二次函数图象与性质互动探究重点保分考点——师生共研[典例] 如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.812二次函数性质应用的求解策略(1)先定性：当二次项系数含参数时，要分类讨论：二次项参数大于0，等于0，小于0. (2)再定量：根据分类，画出符合条件的草图，结合图象列式计算.[即时应用]1．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的结论是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )＞f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A．(－∞，－2)B．(－2，0)C．(－∞，0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)考点三二次函数的最值问题变式探究母题变式考点——多练题型[典例]设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，求g(a)．[变式探究1]若将条件变为“y＝x2－ax，x∈[－2,2]”，问题不变．[变式探究2]1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．2．二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.[即时应用](2017·高考浙江卷)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关第五节指数与指数函数1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的定义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．◆ 教材通关 ◆1．根式的概念2.两个重要公式(1)na n ＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0)，n 为偶数；(2)(n a )n ＝a (注意a 必须使na 有意义)． [必记结论]在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．3．指数函数的图象与性质定义域：R[必记结论]1．画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2．底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．3．底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．指数函数的图象向左(或向右)平移不会与x 轴有交点，向上(或向下)平移a 个单位后，图象都在直线y ＝a (或y ＝－a )的上方．[小题诊断]1．化简的结果是( )A ．－9B ．7C ．－10D ．92．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象关于( )A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称3．设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．c >a >b C ．a >b >c D ．b >a >c4．(2018·邯郸质检)已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是( )5．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(m,3)，则f (0)＋f (－m )＝________.6．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．◆ 易错通关 ◆1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.[小题纠偏]1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)． (1)n a n ＝(na )n ＝a .( )(2)分数指数幂a m n 可以理解为mn 个a 相乘．( )(3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( )2．若函数y ＝(a －1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．考点一指数幂的运算自主探究基础送分考点——自主练透[题组练通]1．求值：⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×－(0.01)0.5.2．化简：3．化简：指数幂运算的4个原则(1)有括号的先算括号里面的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.考点二指数函数的图象及应用互动探究重点保分考点——师生共研[典例] (1)函数y ＝a x －1a(a ＞0，a ≠1)的图象可能是( )(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．与指数函数有关的图象问题的求解方法1．已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．2．对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到，特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 3．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.[即时应用]1．(2018·唐山模拟)当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x (a ＞0)的图象有交点，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，2B.⎣⎡⎭⎫12，1∪(]1，2 C.⎣⎡⎦⎤14，2D.⎣⎡⎦⎤14，22．若函数y ＝|3x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为________．考点三指数函数的性质及应用多维探究题点多变考点——多角探明[锁定考向] 高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)与指数函数有关的函数值域问题；(3)探究指数型函数的性质．角度一比较指数式的大小1．(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5＞1.73 B ．0.6－1＞0.62 C ．0.8－0.1＞1.250.2D ．1.70.3＜0.93.1比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．角度二与指数函数有关的函数值域问题2．已知0≤x ≤2，则的最大值为________．形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x 转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．角度三探究指数函数性质的问题3．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]4．已知函数f (x)＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．[即时应用]1．设a ＝40.8，b ＝80.46，c ＝⎝⎛⎭⎫12－1.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a2．设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为13．(2018·皖南八校联考)对于给定的函数f (x )＝a x －a －x (x ∈R ，a >0，a ≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________(只需写出所有真命题的编号)．①函数f (x )的图象关于原点对称； ②函数f (x )在R 上不具有单调性； ③函数f (|x |)的图象关于y 轴对称；。

函数与导数(完整版)共43页文档

f 'x
0
f x
极大
f x 的增区间 0 ， 2 ，减区间 2 ， 2
2
f
' x
1 x
1 2
x
a
21 x x2 x
a
x
0,1,
21 x2
x x
0,
a
0,
f
'
x
0
f x在0,1上单调递增，
f x f 1 a 1
max
2
3.1
f
'
x
1
e
x k
x
k
x
k
k
k 0, f x的单调区间为：, k
1 .b 0, 0 ( a , b ), 而 f '(0 ) g '(0 ) a b 0 (舍去 )； 2 .b 0, (b , a )或 ( a , b ) ( , 0 )此时 g '( x ) 0
f '( x ) 0
a a , 1 a 0 [ a ,0]
33
k, k ,k,
k 0, f x的单调区间为：, k
k, k ,k,
2 k
0, 设 x
k
1,
f
x
k 1
ek
பைடு நூலகம்
1
e
这与x 0, , f x 1 矛盾
e
k 0, f x 在 0，-k ,k,
f x f k 4k2 1 1
max
ee
4k 2 1, 1 k 0 2
41 f ' x 3bx 2ax 3
f f
'1 '3
0 0

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第二讲函数与导数导数(19)、(06全国1)(本小题满分14分)设Q为实数，函数/(x) = x3-ax2+(^2-l)x在(-8,0)和(l,+oo)都是增函数, 求d的取值范围。

(19)本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力. 满分12分。

解：(I) ・・・f(x)+2x>0的解集为(1, 3),••・f(x)+2x=a(x・l)(x・3),且a<0.因而f(x)=a(x-1 )(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. ①由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0. ②因为方程②有两个相等的根，所以△=[-(2+4a)J2-4a・9a=0,即5a2-4a-l=0.解得a=l或a=- —.5由于a<0,舍去a=l .将a二丄代入①得f(x)的解析式3 - 5 - X 6 - 5 2・X 1 - 5 ■(II)由f(x)=ax2-2(l+2a)x+3a1 + 2Q 9 cT+4G +1=a(x- ----- 厂 ----------a a及go,可得f(x)的最大值为・"1aci~ + 4ci +1. -------------- >0,由] aa < 0,解得a<-2- V3 或・2+ V3 <a<0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(心，-2- V3 ) U (-2+ 73 ,0).19.(06江苏预测)(本小题满分14分)已知某公司生产品牌服装的年固定成本为10万元, 每生产千件，须另投入2. 7万元.设该公司年内共生产该品牌服装兀千件并全部销售完，每千件的销售收入为心兀)万元，且（1）写出年利润W （万元）关于年产量兀（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大? （注：年利润=年销售收入一年总成本）解：(1)当 0WxvlO 时，VV = x/?(x)-(10 + 2.7x) = 8」x — --10；当兀>10 时，”=兀/?(兀)一(10 + 2.7兀)=98 — 型一2.7兀. 3x&1兀 ---- 10 (0<x<10) VV =30............ 6 分98 — 1^2 — 2.7 兀(兀 >10)3兀丫2(2)①当 0 WxvlO 时，由 W' = 8」一二=0,得兀=9, 且 ^XG (0,9)时，ir<0； ^XG (9,10)时，VT>0,・•・当兀=9时，W 取最人值，HW =8.1-9- —-95-IO = 38.6. ............. 9分nwc30②当兀〉10 时，IV = 98-（-^ + 2.7x ） < 98-2A-• 2.7A : = 38 ,3xV 3x当且仅当型£ = 2.7X ,即x = ^-时，W = 38,......... 12分3兀 9 故当x =— 时，W 取最大值38.9综合①②知当x = 9时，W 取最大值.所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产屮所获年利润最大.…14分20. （06江苏预测）（本题满分15分）已知函数/（x ） = —x 4处'+*"" + 2兀,（。

H 0）,在兀=一2时取极值，在x = -2以外还存在c,使得/'（c ） = 0,但函数/（兀）在x = c 处无极值。

（1）求d 、h 的值;解：(1) f\x) = x 3 + ax 2 ++ 2 , v /(x )在 x = -2 时取极值，在 x =-2 以外还存在 c,使得/"（c ） = 0,但函数在x = c 处无极值。

恥）二■10.8 --- x 2'108 3010003兀2(x>10) (0<x^l0)•••可将厂(工)表示为 f\x) = (x + 2)(x + c)2 = x 3 + (2 - 2c)x 2 +(c 2 -2c)x + 2c 2(2)f\x) = (x + 2)(x +1)2= x 3+4x 2+5兀 + 2令/"(x) = 3x 2 +8x4-5 = (3x + 5)(兀 +1) = 0,则% =或兀=一1•・•当 x<--时，f\x) > 0 ；当一-<x< 一1 时，f\x) < 0 ；当兀 >一1 时,f\x) > 0 o5 3・・・/©)在(―汽―2),(—1,0)上是增函数，在(---1)上减函数。

54且广(0) = 2,广⑵=0/(—1) = 0,/(--)=—・・・导函数 r(x)在［—2,0］上，有 /z(x)max =.厂(0)二 2, ,/ z(x)min =广(—2)=.厂(―1) = 0"i兀］，兀2 (—2,0) 时| f\x }) - f\x 2) |<| r(x } )max - /Z (X 2 )min KI 2 - 0 h 2 (16)(共 13 分)已知函数/{x) = CIX 3+ bx 2+ ex 在点兀0处取得极大值5,其导函数)，=/(I)的图象经过点(1,0), (2,0)。

如图所示，求：(1)心的值；(2)a,b,c 的值。

解法一：(I)由图象可知,在(・8,1)上广(x)>0,在(1,2)上/z (x)<0.在(2,+8)上/' (x)>0.故夬兀)在(・*,1),(2,+乞)上递增，在(1,2) 上递减.因此夬兀)在尸1处収得极大值，所以也=1.(II)(x)=3ar 2+2/?x+c,由(D=0, f (2)二0求1)二5,3d + 2方 + c = 0,得 < 12。

+ 4" + c = 0,a +b +c = 5.解得 a 二20二9,c 二 12.又GH O,故\a = 4\b = 5a = 0 或丿方=_3,解法二：(I)同解法一.(II)设f' (x)=tn(x-1 )(x-2)=7??x2-377ir+2m,又广(x)=3ax1+2bx+c,肋•以d二一,b= m, c = 2m,3 3a、m 3 3 2 丄 cf(x)= — x ——nix + 2mx.3 2由贝)=5,即—-—m + 2m — 5,3 2得m=6.所以a=2,Z?=-9,c= 12.(21) (06四川)(本大题满分12分)己知函数/(x) = x3+3ax-l,g(x) = /(x)-ar-5,其中/ (x)是的导函数(I)对满足一15d5 1的一切d的值，都有g(x)v0,求实数x的取值范围；(II)设a = -m2,当实数加在什么范围内变化时，函数y = /(兀)的图象与直线y = 3只有一个公共点本小题主要考察函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识，以及推理能力、运输能力和综合应用数学知识的能力。

满分12分。

解：(I )由题意g(兀)=3兀2-Q+3Q-5令 %(兀)=(3—兀)0 + 3/2 -5 , -1 < 67 < 1对一IW G SI,彳亘有g(x)v0,即(p(a)<0°(l)v03X2-X-2<0 2^1)<0即宀一8<。

解得亍心/ 2 、故xw -一,1时，对满足一1的一切a的值，都有g(x) <0 j 3丿(II)/(x) = 3x2-3m2①当加=0吋，f(x) = x3-l的图象与直线y二3只有一个公共点②当加H0时，列表：X(-00,01)-Id(-M，岡) (|加,+oo)f(X) +0—0+・•・ /(兀)极小=/(W) = -2" H-1 < T又・・・/(%)的值域是R ,且在(M，+s)上单调递增・・・当兀〉|m|时函数y = f(x)的图彖与直线y = 3只有一个公共点。

当x<\m\时，恒有/(%)< /(-网)由题意得/(-|m|)<3即2m2 772 - 1 = 2 772 ' -1 < 3解得m€(-V2,0)U(0,V2)综上，加的取值范围是(-迈，迈)(17) (06山东)(本小题满分12分)设函数f(x)二2兀3 一3(d-l)兀2+1,其中a>\.(I)求f(x)的单调区间;(II)讨论f(x)的极值.一° 1(14) (06福建)已矢口直线x-y-\ = 0与抛物线y二QJT相切，则。

= ___________ .—(21) (06福建)(本小题满分12分)己知/(%)是二次函数，不等式/(%) < 0的解集是(0,5),且/(x)在区间［-1,4］上的最大值是12o(I)求/(x)的解析式；37(II)是否存在实数加，使得方程/(%) + — = 0在区间(m,m + l)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出加的取值范围；若不存在，说明理由。

(1)解：・・・/(兀)是二次函数，且/(x)< 0的解集是(0,5),可设f{x) = ajc(x-5)(a > 0)./. f(x)在区间［一1,4］上的最大值是/(-I) = 6a.由已知,得6a = 12,Q = 2, /. f(x) = 2x(x -5)= 2x2 -1 Ox(x GR).37(II)方程f(x) + —= 0等价于方程2x3-10X2+37= 0.x设/Z(X)=2X3-10X2+37,则h r(x) = 6x2 - 20% = 2兀(3兀-10).h \x) < 0, h(x)是减函数;当XG(—,+oo)时，//(%)> 0,/?(X)是增函数。

•・• /?(3) = 1>0, /i(—) = -—<0, h(4) = 5>0,3 27•・.方程/7(x) = 0在区间(3,—),(—⑷ 内分别有惟一实数根，而在区间(0,3), (4,+oo) 内没有实数根，所以存在惟一的自然数m = 3,使得方程/(x) + —= 0在区间(m,m + l)内有且只有两x个不同的实数根。

22.(本小题满分14分)已知函数f(x)=kx3-3x2+l(k>0).(I)求函数f(x)的单调区间；(II)若函数f(x)的极小值大于0,求k的取值范围.22 (06陕西).解：(I)当k=0 W,f(x)=-3x2+l ・・.f(x)的单调增区间为(一8,0］,单调减区间[0,+ oo).2当k>0 时,f *(x)=3kx2—6x=3kx(x—9 2・・・f(x)的单调增区间为(一8,0］,［彳,+8),单调减区间为［0,自. (II)当k=0时,函数f(x)不存在最小值.当k>0时,依题意f(£)=寻一爭+1>0 ,即k2>4,由条件k>0,所以k的取值范围为(2,+8)19.(04全国)(本小题满分12分)已知/(x) = ax3 +3x2 -兀+ 1在R上是减函数，求d的取值范围.综上，所求d的取值范围是(一00,—引・ .......... 12分22. (04福建)(本小题满分14分)2已知他=4兀+ o? 一一X\XE /?)在区间［-1, 1］上是增函数.(I)求实数Q的值组成的集合A；(II)设关于兀的方程f(x)=2x + -x 3的两个非零实根为匕、兀2•试问：是否存在实数m, 使得不等式m 2+tm+l>|x|—x 2l 对任意Q EA 及tW ［ —1, 1］恒成立?若存在,求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.本题主耍考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. 解：(I )厂(x)=4+2 ax - 2x\・・VW 在［―1, 1］上是增函数，:f (心0对xe[-l, 1]恒成立，即 J C-CIX -2^0 对%e[-l, 1]恒成立. ①设(p (x)=x 2—ax —2, 方法一：「0(1)二 1—Q —2W0,① o yo —lWaWl,°(-l)=l+a-2W().・.•对%G[-1, 1],只有当 a =l W, f 7 (-1)=0 以及当 a=-l Bt, f f (7>0A={«| — 1 WaW 1}.方法二：r-^0, 2① <=>Y0(— 1)二 1+Q —2W0 J O OWaWl o—lWaWl.•・•对xe[-i, I],只有当G=1时，厂(一D=o 以及当°=一1时，厂(1)=0A={tz|— 1 WaW 1}.2 1 (II)由4兀 + ax 2 — x3 = 2x + —x 3,得兀=0,或兀？ -ax-2 = 0,3 3*.* A=6Z 2+8>0也是方程ax —2=0的两非零实根，r X\^X2=ch•IY从而|X| —X 2|= J (兀 1 +%2)2 -4“2 = J/ +8 •J X[兀 2=_2，— 1 WaW1,\x\-X2\= JQ2 +8 W3.要使不等式m 2+tm+l N*]—兀2I 对任意Q U A 及tw [—1, 1]恒成立, 当且仅当m 2+tm+l>3对任意te[-l, 1]恒成立，即m 2+tm —2>0对任意tW[—1, 1]恒成立. ②设 ^f/)=m 2+tm —2=mt+(m 2—2),方法一：rg(— 1)=】“2 —m —220,②O Y1 g(l)=m 2+m —2^0,a 『-<0, 2匸 0(1)二]_Q _2W0—IW X O<=> mN2 或mW—2.所以，存在实数m,使不等式m，+tm+l $*］—刈对任意A及蛙［—1, 1］恒成立，其取值范围是{m|m>2,或mW—2}.方法二：当m=0时，②显然不成立；当mHO时，rm>0, rm<0,②0彳或彳g(— l)=m2_m-2^0 ^g(l)=m2+m —2^0O m22 或mW —2.所以，存在实数m,使不等式mJg+l纠x—兀2I对任意QUA及点卜1, 1］恒成立，其取值范围是{m|m22,或mW — 2}.9.(04湖南)若函数朋丿*+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数//(x丿的图象是X13. (04湖南)过点P (-1, 2)且与曲线y=3?-4x+2在点M (1, 1)处的切线平行的直线方程是_______________ .2x—y+4二022. (04湖北)(本小题满分14分) 已知b>—l,c>0,函数X + b的图象与函数g(X)= X2+/?X + C的图象相切.(I )求b与C的关系式(用C表示b)；(II)设函数F(x) = f(x)g(x)在(—00,+00)内有极值点，求C的取值范围.22. (04湖北)本小题考查导数、切线、极值等知识及综合运用数学知识解决问题的能力. 满分14分.1—h解：(I )依题意，令/'(x) = g'(x),得2兀+ b = l,故x = ——・由于"¥)= g(号^),得9 + 1)2 =4c.h > -l,c > 0, .*./? = -1 4- 2y［c.(Il) F(x) = / (x)g(x) = x3 + 2bx2 4- (h2 + c)x + bc.F'(x) = 3x2 + 4bx + h2 + c.令 (兀)=0,艮卩3兀 2 + 4分 + b? + c = 0.贝仏=16, -12(沪+c) = 4(，—3c).若△ = 0,则F\x) = 0有一个实根x(),且F©)的变化如下：兀Xo (X o ,+8)于是尤二X。