初三数学如何求抛物线的解析式-修正版.pdf
初三数学二次函数解析式的求法
二次函数解析式的 求法
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顶点式ya2xbxc(a0)交点式
ya(xm)2n(a0)顶 点 坐 m,n标 )
ya(xx )(xx )(a0)
1
2
回味
知识点：
条件
：
若
抛y物 a一线 ．x2二一次般函式b数x解析c式常见
的三种表示形式：
与X轴交于两x点,0（ )(x ,0)
（3）将抛物线作怎样的一次 平移,才能使它与坐标轴仅有 两个交点,并写出此时抛物线 的解析式。
A -1 o -2.5D
B 5x
C
讲例：
4、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相
交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原
点及C点，（1）求直线和抛物线的解析式；（2）
在抛物线上是否存在点D，使S△OCD= 3 S△OCB，若 存在，求出点D；若不存在，请说明理由2 。
点拔： 设一次函数的解析式为y=kx+n
则:
n 1 2k n
5
∴y=3x-1
∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为
(b, 4cb2 )
24
4c b2 4
3 b 1 2
4 2b c 5
5 2
试一试：
点拔：（1）
1 已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（-5，0）、（0， ） （1，6）三点，直线L的解析式为y=2x-3，（1）求抛物线 的解析式；（2）求证：抛物线与直线无交点；（3）若与直 线L平行的直线与抛物线只有一个交点P，求P点的坐标。
∴y=a（x-3）2+1=ax2-6ax+9a+1
初三数学如何求抛物线的解析式
顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 c是一次项系数。
根据抛物线的图像或已知条件来确定 顶点的坐标。
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02
抛物线解析式的求解方法
已知顶点形式的解析式求解
总结词
利用顶点坐标确定抛物线的标准方程，进而求解解析式。
详细描述
已知抛物线的顶点坐标为$(h, k)$，则抛物线的标准方程为$y = a(x - h)^2 + k$， 其中$a$为待定系数。根据其他已知条件（如与坐标轴的交点或与直线的交点）， 可以求解出$a$的值，从而得到抛物线的解析式。
初三数学如何求抛物线的解 析式
目录
• 抛物线的定义与性质 • 抛物线解析式的求解方法 • 抛物线解析式的应用 • 抛物线解析式求解的注意事项
01
抛物线的定义与性质
抛物线的定义
01
抛物线是一种二次曲线，它是由 一个点（称为焦点）和一条直线 （称为准线）确定的。
02
抛物线上的任意一点到焦点的距 离等于该点到准线的距离。
03
抛物线解析式的应用
在几何图形中的应用
确定抛物线的位置关系
通过抛物线的解析式，可以确定抛物 线在平面上的位置关系，如开口方向 、顶点位置等。
求解几何量
利用抛物线的解析式，可以求解与抛 物线相关的几何量，如弦长、面积等 。
在实际问题中的应用
建立数学模型
通过抛物线的解析式，可以将实 际问题抽象为数学模型，从而利 用数学方法求解。
解决实际问题
利用抛物线的解析式，可以解决 一些实际问题，如最优化问题、 经济问题等。
在二次函数中的应用
确定二次函数的性质
通过抛物线的解析式，可以确定二次函数的开口方向、对称 轴、顶点坐标等性质。
抛物线解析式的求法
4.当x=1时，y=0; x=0时,
y=-2，x=2时，y=3;
5. 顶点坐标为（-1，-2）,且通 过点（1，10）;
6. 对称轴为x=2,函数的最小值为 3,且图象经过点(-1,5).
7.已知抛物线 y ax2 bx c 经过三点
A（2，6），B（－1，2），C（0，1）
，那么它的解析式是
x轴的两个交点间的距离为4，此抛物线
的解析式是
.
11.如图，有一个二次函数的图象，三位学生分 别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4。
y
C
乙：与x轴两个交点A、B点的横坐标
都是整数。
OA
x B
丙：与y轴的交点C点的纵坐标也是整数， x=4
且S⊿ABC= 3。 请你写出满足上述条件的全部特点的所有的
二次函数解析式的几种表达式
• 一般式：y=ax2+bx+c • 顶点式：y=a(x+h)2+k
• 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)
根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式
1.当x=3时，y最小值=-1，且图象 过（0，7）;
2.图象过点（0，-2）（1，2）且 对称轴为直线 x=1.5;
3.图象经过点（0，1）（1，0） （3，0）;
，
变:
(1)已知二次函数图象经过（－1，10）,
（2，7）和（轴交于点（－1，0）和
（3，0），且过点（0， 3 ），那么抛物
线的解析式是
2
；淘宝账号购买 淘宝账号出售 / 淘宝账号购买 淘宝账号出售 ；
灵魂会随着老黄牛的-头撞死而颤栗，更会因主人庆幸少花钱的高兴嘴脸而悲哀。 2．文中画线处的景物描写分别有怎样的作用？请简要分析。 3．小说结尾处主人对
求抛物线解析式及应用
求抛物线的解析式1（2011龙东五市）已知：抛物线与直线y=x+3分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点A和点C，且抛物线的对称轴为直线x=－2。
（1）求出抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标。
（2）试确定抛物线的解析式。
2.（2011鸡西、绥化，齐齐哈尔）已知：二次函数y=43x²+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，–49）. （1）求此二次函数的解析式.注：二次函数y=a x2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=－ab2.3.如图，抛物线y=x2+bx+c经过A(－1，O)，B(4，5)两点，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；4已知抛物线2y ax bx=+经过点(33)A--，和点P （t，0），且t ≠ 0．（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图12，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；xyoACB-2①、25（2009年重庆市江津区）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式； .3.如图，已知抛物线经过定点．．A （1，0），它的顶点P 是y 轴正半轴上的一个动点．．，P 点关于x 轴的对称点为P′，过P′ 作x 轴的平行线交抛物线于B 、D 两点（B 点在y 轴右侧），直线BA 交y 轴于C 点．按从特殊到一般的规律探究线段CA 与CB 的比值：（1）当P 点坐标为（0，1）时，写出抛的解析式.4如图已知抛物线23233y x x =-++与x 轴的两个交点为A B 、，与y 轴交于点C ． （1）求A B C ，，三点的坐标；xyB A'P P 1OCD... . . . AO P xy- 3 - 3ABC5如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D .（1）写出h k 、的值；（2）判断ACD △的形状，并说明理由；.6 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请专题三（省2012中考展望1如图，抛物线y ＝12x 2－x ＋a 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其顶点在直线y ＝－2x 上．第25题图A BCO xy（1）求a的值；（2）求A，B的坐标；（3）以AC，CB为一组邻边作□ACBD，则点D关于x轴的对称点D′ 是否在该抛物线上？请说明理由．2.已知二次函数y = -12x2-x +32.（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，写出当y ＜0时，x的取值范围；（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．3.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若抛物线cxxy+--=22经过点A。
抛物线解析式的求法(PPT)3-1
1.当x=3时，y最小值=-1，且图象 过（0，7）;
2.图象过点（0，-2）（1，2）且 对称轴为直线 x=1.5;
3.图象经过点（0，1）（1，0） （3，0）;
轨道倾角使得其南极在过去的年受到太阳光照射，而一海王星年相当于地球年。随着海王星慢慢地移近太阳，它南极将逐渐变暗，并且换成北极被太阳光照 亮，这将使得甲烷释放区域从南极转移到北极。木卫一，即伊奥，是木星的四颗伽利略卫星中最靠近木星的一颗卫星，它的直径,公里，是太阳系第四大卫星， 表面环境极其恶劣，其表面星罗棋布地散落着超过座活火山，地表形态塑造周期较短。它的名字来自众神之王宙斯的恋人之一：艾奥，是赫拉的女祭司。[] 中文名木卫一外文名Io别称伊奥分类卫星发现者伽利略、马里乌斯发现时间年月7日质量8.99×kg(.地球)平均密度.8g/cm直径7.km表面温度平均K；最大K反 照率.±.视星等.(冲)表面积,9,km(.8地球)体积.×?km(.地球)宇宙速度.8km/s赤道旋转速率7km/h目录简介?物理特性?物理特征?轨道资料结构?内部?潮汐加热? 表面?大气层观测历史?先驱者号?旅行者号?伽利； 早教加盟 ；略号?后续观测研究发现探索计划相关资料简介编辑物理特性木卫一木卫 一(张)与不少外太阳系的卫星不同，木卫一与类地行星有不少相似的地方，其表层由硅酸盐熔岩所构成，根据伽利略号所观测的数据中，它的内核可能由硫 化铁所组成，其半径估计最少有9公里。[]人们以前一直认为，木卫一表面定拥有不少环形山。可是从旅行者号于979年传回地球的照片中，木卫一表面的环 形山并不多，并非如人们所想，这是因为其火山活动使它的地形不断改变。于是，人们便把它不断更新的表面看成是“年轻”的，因为这些地形是新近形成； 相反，月球表面满布陨石坑，并保留了数十亿年，人们便把月球的表面看成是“年老”的。除了火山外，木卫一其他的景观，仅有一些普通的山脉、溶化硫
抛物线解析式的求法
• 一般式：y=ax2+bx+c • 顶点式：y=a(x+h)2+k
• 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)
根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式
1.当x=3时，y最小值=-1，且图象 过（0，7）;
2.图象过点（0，-2）（1，2）且 对称轴为直线 x=1.5;
3.图象经过点（0，1）（1，0） （3，0）;
二次函数的解析式为
。
12.已知二次函数的图象过 点(- 2,0),在y轴上的截距 为- 3,对称轴 x=2,求它的 解析式.
13.抛物线y=x2-2(m+1)x+n过点 (2,4),且其顶点在直线y=2x+1上,
x轴的两个交点间的距离为4，此抛物线
的解析式是
.
11.如图，有一个二次函数的图象，三位学生分 别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4。
y
C
乙：与x轴两个交点A、B点的横坐标
都是整数。
OA
x B
丙：与y轴的交点C点的纵坐标也是整数， x=4
且S⊿ABC= 3。 请你写出满足上述条件的全部特点的所有的
பைடு நூலகம்
8.已知抛物线经过三个点A（2，6），
B（－1，0），C（3，0），那么二次
函数的解析式是
，
它的顶点坐标是
变:抛物线与x轴的两个交点的横坐标是 －3和1，且过点（0， 3 ），此抛物线
2
的解析式是
9. 已知二次函数的图象顶点坐标（2,1）
，且与x 轴相交两点的距离为2，则其
表达式为
.
10.抛物线的顶点为（－1，－8），它与
，
抛物线解析式的求法
• •
2 一般式：y=ax +bx+c 2 顶点式：y=a(x+h) +k
•
两根式：y=a(x-x1)(x-x2)
根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式
1.当x=3时，y最小值=-1，且图象 过（0，7）; 2.图象过点（0，-2）（1，2）且 对称轴为直线 x=1.5; 3.图象经过点（0，1）（1，0） （3，0）;
2
17.你能否画出适当的函数图象，求方程
1 x x3 2
2
的解？
图 26.3.3
18.已知：二次函数y=x2+2ax-2b+1和 y=-x2+(a-3)x+b2-1的图象都经过 x轴上两个不同的点M、N，求 a， b的值．
2n - 1) x+ n - 1 19.已知抛物线 y = x + ( （n为常数）。 （1）当抛物线经过直角坐标系的原 点，且顶点在第四象限时，求出它 的函数关系式；
y
C OA B
x
丙：与y轴的交点C点的纵坐标也是整数，
x=4
且S⊿ABC= 3。
请你写出满足上述条件的全部特点的所有的
二次函数的解析式为
。
12.已知二次函数的图象过 点(- 2,0),在y轴上的截距 为- 3,对称轴 x=2,求它的 解析式.
13.抛物线y=x2-2(m+1)x+n过点 (2,4),且其顶点在直线y=2x+1上, (1)求这抛物线的解析式. (2)求直线y=2x+1与抛物线的对称 轴x轴所围成的三角形的面积.
1 2 16、已知抛物线 y x x k 2
初三某班的学生在问题 中出现争论:
数学人教版九年级上册求抛物线的函数解析式
《求抛物线的函数解析式》教学设计武平县实验中学赖小华教学内容：求解抛物线的函数解析式。
教学目标：1.学生会运用待定系数法求解二次函数的解析式；2.学生会根据不同的已知条件，灵活选择相应的求解方法。
教学重难点：1．重点：运用待定系数法求解二次函数的解析式；2．难点：根据不同的已知条件，巧妙选择相应的求解方法．教学过程：一、复习旧知，为学习新知作好铺垫1.回顾：（1）我们已经学过二次函数的几种不同的形式？(2)它们的开口方向如何判断，对称轴，顶点分别是什么？2.练习巩固：说出下列二次函数的开口方向，对称轴，以及顶点坐标（学生回答，教师点评）二、探索新知1.思考：如何求解某一个抛物线的解析式呢？分析：根据不同的已知条件，可将求函数解析式的题型分为三种情形：（1）已知抛物线上的三个点的坐标，求其解析式；（2）已知抛物线的顶点坐标，求其解析式；（3）已知抛物线与X轴的两个交点的坐标，求其解析式。
2.分题型展开：（教师引导，师生互动完成）（1）已知抛物线上的三个点的坐标，求其解析式；例1：某抛物线经过（1，-4），（2，-9），（-1，-6），求该抛物线的解析式。
分析：求二次函数的解析式，就是要确定当中的a,b,c的值，由于本题已知抛物线上的三个点的坐标，故可设该抛物线的解析式为，再把已知的三个点的坐标代入即可。
小结：已知抛物线上的三个点的坐标：可设一般式（2）已知抛物线的顶点坐标，求其解析式；例2：某抛物线的顶点是（1，-2），且经过（2，-3），求该抛物线的解析式。
分析：由于本题已知抛物线的顶点为（1，-2），故可设该抛物线的解析式为，再把（2，-3）代入即可求出a的值。
小结：已知抛物线的顶点坐标：可设顶点式（3）已知抛物线与X轴的两个交点的坐标，求其解析式；例3：某抛物线经过（-3，0），（-1，-4），（1，0），求该抛物线的解析式。
分析：由于本题已知抛物线与X轴的两个交点的坐标是（-3，0），（1，0），故可设该抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1)，再把（-1，-4）代入即可求出a的值。
初三抛物线公式大全总结
初三抛物线公式大全总结
抛物线是平面几何中的一种二次曲线，其一般式方程为
y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
抛物线可分为开口向上和开口向下两种情况。
1.抛物线顶点坐标公式：
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
2.抛物线焦点公式（仅对于开口向上或向下的抛物线）：
抛物线焦点的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为y=(4ac-b^2)/4a。
3.抛物线的焦距：
抛物线焦点到顶点的距离为焦距，其大小为1/(4a)。
4.抛物线的对称轴：
抛物线的对称轴方程为x=-b/2a。
5.抛物线的焦直：
抛物线对焦直的长度为|4a|/a，方程为y=b-1/4a。
抛物线还有许多性质和公式，如反比例直线、切线方程、渐近线等，都是抛物线的重要概念。
抛物线在物理学、工程学和数学建模等领域都有广泛的应用，是学习数学和物理的重要基础知识之一。
抛物线解析式的求法
已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、 （1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
由条件得：
a-b+c=10 a+b+c=4
4a+2b+c=7 解方程得： a=2, b=-3, c=5
y ox
因此：所求二次函数是：
表一、国内市场的日销售情况
时间t（天） 0 1 2 10 日销售量y1 0 5.85 11.4 45 （万件）
20 30 38 60 45 11.4
39 40 5.85 0
1、写出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围
表二、国外市场的日销售情况
时间t（天） 0 1 2 3 25 29 30
31 32 33 39 40
6、抛物线经过点（4，- 3），且当 x=3时，y最大=4；
则函数解析式为————
7、抛物线经过三点A（1，0）B（-3，4）C（3，0）
则函数解析式为————
8、有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时,宽20米,水位上升3米就达到警戒线CD，这时 水面宽度为10米,则在如图所示直角坐标系中的 抛物线解析式为______
备用练习 1、写出经过点（-1，2）的一条抛物线的解析式 是————（写出一条即可）
2、已知两点A（1，3），B（-2，4），试求出两 个二次函数，使它们的图象都经过A、B两点。
3、已知A（1，2），B（3，0），C（-1，0） D（- 1，12）四点，问：是否存在一个二次函数， 使它的图象经过这四点？若存在，请求出它的解析 式；若不存在，请说明理由；
O