《高等数学》3-6节_函数图形的描绘
高等数学 函数图形的描绘
极大
值1 2
5) 作图
(0,1) 1 (1,)
0
拐点
(1,
1 2e
)
y
1 2
y
C
1 2
e
x2 2
A
B
o
x
x (,1) 1 (1,0) 0
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点
(1,
1 2e
)
极大
值1 2
(0,1) 1 (1,)
0
拐点
(1,
1 2e
)
y1
2
1
o
1
x
(x)
1 2
e
x2 2
补 2 描绘方程 (x 3)2 4 y 4xy 0的图形 .
例如 ,
双曲线
x2 a2
y2 b2
1
L PN
o
x
有渐近线
x a
y b
0
y
但抛物线 y x2 无渐近线 .
o
x
渐近线的分类: 水平渐近线; 铅直渐近线; 斜渐近线
1. 水平渐近线 ( P35) (平行于 x 轴的渐近线)
若
lim
x
f
(x)
b,
或 lim f (x) b , x
( 其中 b 为常数)
3) 判别曲线形态
x (, 1) 1 (1,1) 1 (1,3) 3 (3, )
y y
0
无 定
0
y
2
义
0
( 极大 )
( 极小 )
4) 求渐近线
lim y , x 1 为铅直渐近线
x1
y
(x 4(
高等数学——函数图形的描绘
函数图形的描绘在中学时我们用描点法来作函数的图像，这种方法常遗漏曲线的一些关键点，如极值点、拐点等，使得函数的一些重要性态难以准确地显示出来。
在本章前两节我们借助于导数的符号讨论了函数图形的升降和凹凸，以及在什么地方有极值点，什么地方有拐点，这样也就基本掌握了函数的性态，并把函数的图形画得比较准确。
此外，为了描绘函数图形在无穷远处的走势，还有必要讨论函数图形在无穷远处的变化趋势，即渐近线。
一、渐近线1、定义定义 若曲线)(x f y =上一动点沿着曲线无限远去时，该点与某条定直线L 的距离趋于零，则称直线L 为曲线)(x f y =的渐近线（如图153--）。
2、分类渐近线可分为水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线。
（1）水平渐近线 若函数)(x f y =的定义域为无穷区间，且C x f x =∞→)(lim （或C x f x x =-∞→+∞→)(lim )(） 图153--则称直线C y =为曲线)(x f y =的水平渐近线。
例如，因为01lim=∞→x x ，故直线0=y 为曲线xy 1=的水平渐近线；又如，因为2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x ，故直线2π=y 及直线2π-=y 均为曲线x y arctan =的水平渐近线。
（2）铅直渐近线 若函数)(x f y =在点0x 处间断，且∞=→)(lim 0x f x x则称直线0x x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线。
注：铅直渐近线定义式∞=→)(lim 0x f x x 中，0x x →可换作-→0x x 或+→0x x ，∞→)(x f 亦可换作-∞→)(x f 或+∞→)(x f 。
例如，因为∞=→x x 1lim0，故直线0=x 为曲线xy 1=的铅直渐近线；又如，因为-∞=+→x x ln lim 0，故直线0=x 为曲线x y ln =的铅直渐近线。
*（3）斜渐近线 设有函数)(x f y =，若0)]()([lim =+-∞→b ax x f x则称直线b ax y +=为曲线)(x f y =的斜渐近线，其中xx f a x )(lim∞→=，])([lim ax x f b x -=∞→注：若x x f x )(lim ∞→不存在，或虽然xx f x )(lim ∞→存在但])([lim ax x f x -∞→不存在，则可以断定)(x f y =不存在斜渐近线。
函数图形的描绘
的图形. (其中 0, x0为实数)
x0
列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点与拐点.
x
( x ) ( x )
( x )
(, x0 )
x0
( x0 , x0 )
x0
( x0 , x0 )
( x0 ,)
(1,
0
拐点
1 ) 2 πe
x
f ( x ) f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
0
拐点
( 0 , 1) 1
(1 , 3)
3
0
( 3, )
无 定
义
极小值点 27 (3 , ) 4
( 0 , 0)
特殊点 : ( 0 , 0) ( 3 ,
间 断 点
作图
另 : x 0 时, y 0 x 0 时, y 0
( x x0 ) 2 , 令 ( x ) 0, 得驻点 x x0 ,
( x x0 ) 2 1 2 4 ( x x0 ) 2 1 2 e 2 ( x x0 )2 2 2π 5
( x )
二. 斜渐近线 若
( k x b)
斜渐近线 y k x b .
f ( x) b k lim[ ] x x x
(或 x )
( k x b)
f ( x) b lim x[ k ] 0 x x x
f ( x) k lim x x
(或 x )
y
1. 水平渐近线
(或 x )
函数图像的画法
04 利用计算器或软件绘制函 数图像
使用计算器绘制函数图像
确定函数表达式
首先需要确定要绘制的函数表达式， 例如 y = x^2。
选择计算器功能
在计算器上找到绘制函数图像的功能， 通常在科学计算器上会有专门的图形 功能键。
输入函数表达式
将函数表达式输入到计算器的相应位 置。
开始绘图
按下绘图功能键，计算器会自动绘制 出该函数的图像。
函数图像的画法
contents
目录
• 函数图像的基本概念 • 常见函数的图像画法 • 函数图像的变换 • 利用计算器或软件绘制函数图像 • 函数图像的应用
01 函数图像的基本概念
函数图像的定义
函数图像
函数图像是将函数的每一个自变 量x值与对应的因变量y值，用点 表示出来，并将这些点用线连接 起来形成的图形。
二次函数的图像
总结词
抛物线形状
详细描述
二次函数图像是抛物线。根据抛物线的开口方向和顶点位置，二次函数可以分为开口向上、向下、向左和向右四 种类型。在直角坐标系中，二次函数的标准形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a 不等于 0。
三角函数的图像
总结词
周期性波形
详细描述
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
缺点
需要一定的编程基础，对于初学者来说可能需要一定的学习 成本。另外，软件绘图可能需要较长时间才能掌握其各种功 能和操作技巧。
05 函数图像的应用
在数学中的应用
解析几何
函数图像可以用来表示解析几何中的曲线、曲面等，帮助理解几 何概念和性质。
微积分
函数图像在微积分中用于描述函数的单调性、极值、拐点等，有助 于理解函数的性质和变化规律。
3-6第六节函数图形的描绘
f (0) 0
1 x
教 案
f (x) 1 2x 1 , f (0) 0 (1 x)2
f (x) 2 2 2[1 1 ] 0 (x 0)
(1 x)3
(1 x)3
武
汉 科
所以当x>0时,f(3)(x)严格单调增加,即f”(x)>f”(0) (x>0) 从而
教
案
朗日中值定理,有 f(b)-f(a)=f ’(ξ)(b-a)
1
an
1
a n1
a
ln a( 1
1
), 其中 (
1
, 1)
n n 1
n 1 n
武
汉
1
1
科 技
1 1 n 1 n 1 a n a n1 a , ( 1 , 1 )
学
n n 1 n(n 1) n(n 1)
武
汉 科
等式右边是由于f (x) 0
技
学
院 数
而F(x) 0表示F(x)严格单调减少
理
系
高
等 b 0F(b) F(0) f (a b) f (b) f (a) f (0) 数
学 电
f (a b) f (a) f (b)
子 教
40 利用函数的极值与最值
系
高 等 50 利用泰勒公式 数 学 若已知函数f(x)在某区间上有二阶以上的导数,在证不等式 电 子 时常用泰勒公式. 教 案
例7 设f(x)在[a,b]上二次可微,且对任意x∈(a,b),有
|f”(x)|≤M,又f(a)=f(b),证明
武
汉
科 技 学 院
高等数学3.6----函数图形的描绘
高等数学
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例 求曲线
的渐近线.
解: lim y , ∴曲线无水平渐近线 .
x
y
x3
, lim y , lim y ,
(x 3)(x 1)
x3
x1
x 3及 x 1是曲线的铅直渐近线
又
lim
x
f (x) x
lim
x
x2
x2 2x
3
lim[
x
f
(
x)
x]
lim
x
2x2 x2 2x
3x 3
y x 2为曲线的斜渐近线 .
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二、函数图形的描绘
步骤 :
1. 确定函数
的定义域 及特性 (对称性、周期性);
2. 求
并求出
及
为 0 和不存在的
点 , 这些点把定义域划分为几个部分区间; 3. 列表判别各个部分区间的单调性及凹凸性, 求出极值点
y
(x
2 1)3
x 1 是函数的间断点.
x (, 2) 2 (2, 1) 1 (1,0) 0 (0, )
y 0
0
y
y
极大值
4
间断
极小值
0
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(4) 渐近线
是曲线的铅直渐近线
是曲线的斜渐近线
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x (, 2) 2 (2, 1) 1 (1,0) 0 (0, )
思考与练习
1.
曲线
y
1 1
ex2 ex2
(A) 没有渐近线；
(D)
高等数学入门——描绘函数图像的一般步骤及例子
高等数学入门——描绘函数图像的一般步骤及例子高等数学是大学数学的基础课程之一，其重要内容之一是描绘函数的图像。
描绘函数图像的一般步骤如下：1.确定定义域和函数的类型：首先需要确定函数的定义域，即函数可以取值的范围。
同时，需要确定函数是一元函数还是多元函数，是线性函数还是非线性函数等。
2.求导或求导数的一般规律：对于一元函数，可以通过求导的方法来描绘函数的变化趋势。
求导可以确定函数的关键点，如极值点、拐点等。
对于多元函数，则需要利用偏导数来确定函数的变化趋势。
3.确定增减、凹凸和拐点：通过求导或偏导数，可以确定函数的单调性和凹凸性。
当导数为正时，函数单调递增；当导数为负时，函数单调递减。
当二阶导数大于零时，函数凹，小于零时函数凸。
4.确定函数的特殊点：特殊点包括与坐标轴的交点、零点、无穷大点等。
这些点是函数图像的关键部分，需要特别关注。
5.确定函数的渐近线：渐近线是函数图像在无穷远点的变化趋势。
有水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线等。
下面举例说明：例子1：绘制函数y=x^2-2x+1首先，确定定义域和函数的类型：该函数为一元二次函数，定义域为实数集。
然后，求导：y'=2x-2接着，确定增减、凹凸和拐点：当x<1时，y'<0，函数递减；当x>1时，y'>0，函数递增；令y'=0，则x=1，该点为拐点。
继续求二阶导数：y''=2可以确定函数为凹函数。
然后，确定函数的特殊点：与x轴的交点为y=0，即x=1；与y轴的交点为x=0。
最后，确定函数的渐近线：无垂直渐近线；当x趋于无穷大时，y趋于无穷大，可以确定y轴为水平渐近线。
综上所述，根据以上步骤，我们可以描绘出函数y=x^2-2x+1的图像。
例子2：绘制函数 y = sin(x) / x首先，确定定义域和函数的类型：该函数为一元函数，定义域为实数集，但要注意x≠0。
然后，求导：y' = (x*cos(x) - sin(x)) / x^2接着，确定增减、凹凸和拐点：当x<0时，y'>0，函数递增；当x>0时，y'<0，函数递减；令 y' = 0，则 x = tan(x)，求解该方程需要使用数值逼近法得到近似解。
函数图形的描绘解读
第五步 算出特殊位置的函数值，定出相应的点，最后作图。
36x 描绘函数 y 1 2 的图形 x 3 解 （1）定义域为 ,3 3, 363 x 72x 6 y ,y 3 x 3 x 34
（2） y 0 的根为 x 3, y 0 的根为 x 6, 函数在
11 4
函数图形有一条水平渐近线 y 1和铅直渐近线 x 3
11 11 3 3
又 f 0 1, f 1 8, f 9 8, f 15
11 0,1, 1,8, 9,8, 15, 4
§3.8 函数图形的描绘 利用导数描绘函数图形的一般步骤
第一步 确定函数 f x 的定义域及函数的某些特性（奇偶性、 周期性等），求出函数的 f x 和 f x
第二步 求出
f x 0 和 f x 0 在函数定义域内的全部
实根及不存在的点并进行区间划分； 第三步 确定各部分区间内 f x 和 f x 的符号，并确定函数 的升降、凹凸、极值点和拐点。 第四步 确定函数图形的水平铅直渐近线以及其它的变化趋势；
x 3 处没有定义。 把 ,3 3, 分成
,3, 3,3, 3,6, 6,
x
f x f x f x
（3）
,3 3,3
3
3,6
6
6,
0
极大
0
拐点
f x 1, lim f x （4） lim x x 3
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y f ( x)
凹的 最 小 值
拐 点 极 大 值
单减
最 大 值
极 小 值
a
o
上页
b
x
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思考题
两坐标轴 x 0 ， y 0 是否都是
sin x 函数 f ( x ) 的渐近线？ x
上页
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思考题解答
sin x lim 0 x x y 0 是其图象的渐近线. sin x lim 1 x 0 x x 0 不是其图象的渐近线.
得铅直渐近线 x 0.
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列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x ( ,3) 3 ( 3,2) 2 ( 2,0)
f ( x ) f ( x )
f ( x)
0
不存在
( 0, )
0
拐点
( 3, 26 ) 9
0
间 断 点
极值点
第一步
' " f ( x ) 0 f 求出方程 和 ( x ) 0 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
第二步
上页
下页 返回
确定在这些部分区间内 f ' ( x ) 和 f " ( x ) 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论） ；
3
上页
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补充点 : (1 3,0), (1 3,0);
A ( 1,2), B (1,6), y C ( 2,1).
作图
6 B
1
C
1 2
3 2 1
o
x
2
A
3
上页
下页 返回
4( x 1) f ( x) 2 2 x
上页
下页 返回
四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察. y 凸的
y 2 x 4 是曲线的一条斜渐近线 .
上页 下页 返回
2( x 2)( x 3) f ( x) 的两条渐近线如图 x 1
上页
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二、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形.
确定函数 y f ( x ) 的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论 , ' " 求出函数的一阶导数 f ( x ) 和二阶导数 f ( x ) ;
第六节
函数图形的描绘
一、渐近线 二、图形描绘的步骤 三、作图举例 四、小结 思考题
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一、渐近线
定义: 当曲线 y f ( x) 上的一动点 P 沿着曲线移向无穷点时,
如果点 P 到某定直线 L 的距离趋向于零,
那么直线 L 就称为曲线 y f ( x) 的一条渐近线.
A ( 1,0),
B (0,1),
3 5 C ( , ). 2 8
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点: 上页 下页 返回
x
f ( x ) f ( x )
f ( x)
1 ( , ) 3
1 3
1 1 ( , ) 3 3
0
极大值
32 27
y
1 3
1 ( ,1) 3
得特殊点 x 1, x 1.
x2 2
1 lim ( x ) lim e x x 2
0, 得水平渐近线 y 0.
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列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x ( ,1) 1 ( 1,0) 0
( x ) ( x )
x2 2
的图形.
1 W : 0 ( x ) 0.4. 2
x2 2
偶函数, 图形关于y轴对称.
( x )
令 ( x ) 0, 令 ( x ) 0,
x e 2
x2 2
, ( x ) ( x 1)( x 1) e 2
.
得驻点 x 0,
sin x y x
上页
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练习题
一、填空题： 1 、曲线 y e 的水平渐近线为_______________. 1 2 、曲线 y 的水平渐近线为______________ ， x 1 铅直渐近线为______________. 二、描出下列函数的图形： 1 2 1、 y x ； x 2 2 2 、 y x ( x 1) ； y ln sin x 3、 . 1 三、求曲线 y x 的渐近线并画图 . x 上页 下页 返回
解
D : ( , ), 无奇偶性及周期性.
f ( x ) 2( 3 x 1).
f ( x ) ( 3 x 1)( x 1),
令 f ( x ) 0, 令 f ( x ) 0,
1 得驻点 x , 3
x 1.
1 得特殊点 x . 3
补充点 :
1 x
练习题答案
一、1、 y 1 ； 2、 y 0, x 1 .
二、
y y
1
33 2 2
o
1 3 2
2 3 9
x
o
1 3
1
x
1图 上页
2图 下页 返回
2
y
o
y
2
3
x
3图
三、
斜渐近线 y x ; 铅直渐近线 x 0 .
1
o1
x
上页
下页 返回
y . 2
上页 下页 返回
3.斜渐近线 如果 lim [ f ( x) (ax b)] 0
x
或 lim [ f ( x) (ax b)] 0 (a, b 为常数)
x
那么 y ax b 就是 y f ( x) 的一条斜渐近线 .
斜渐近线求法:
可以断定 y f ( x ) 不存在斜渐近线 .
例 解
2( x 2)( x 3) 求 f ( x) 的渐近线. x 1
D : ( ,1) (1,).
上页 下页 返回
lim f ( x ) ,
x 1
lim f ( x ) ,
x 1
x 1 是曲线的铅直渐近线 .
1
(1, )
0
极小值
拐点
1 16 ( , ) 3 27
B (0,1)
3 5 C( , ) 2 8
A ( 1,0) 1 1 3
o
1 3
1
上页
x
下页 返回
y x3 x2 x 1
上页
下页 返回
1 例2 作函数 ( x ) e 2
解
D : ( , ),
1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) 或 lim f ( x)
x x0 x x0
那么 x x0 就是 y f ( x) 的一条铅直渐近线 .
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1 , 例如 y ( x 2)( x 3)
有铅直渐近线两条: x 2,
4( x 2) 8( x 3) f ( x ) , f ( x ) . 3 4 x x 令 f ( x ) 0, 得驻点 x 2,
令 f ( x ) 0,
得特殊点 x 3.
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] 2, 得水平渐近线 y 2; 2 x x x 4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] , 2 x 0 x 0 x
第三步
确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
第五步 描出与方程 f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 的根对
第四步
应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形.
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三、作图举例
例1 作函数 f ( x ) x 3 x 2 x 1 的图形.
f ( x) lim a, x x
lim[ f ( x ) ax] b.
x
那么 y ax b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
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注意:
如果 f ( x) (1) lim 不存在; x x f ( x) ( 2) lim a 存在, 但 lim[ f ( x ) ax] 不存在, x x x
f ( x) 2( x 2)( x 3) 又 lim lim 2, x x x x( x 1)
2( x 2)( x 3) lim[ 2 x] x x 1
2( x 2)( x 3) 2 x ( x 1) 4, lim x x 1
x 3.
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2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线) 如果 lim f ( x) b 或 lim f ( x) b (b 为常数 )
x x
那么 y b 就是 y f ( x) 的一条水平渐近线 .
例如
y arctan x,
有水平渐近线两条: y , 2
( x )
( 0,1)
1
(1, )
0
拐点
1 ( 1, ) 2e
0
极大值