圆的基本元素
23.1.1圆的基本元素教学目标：使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念，让学生深刻认识圆中的基本概念。
重点难点：1、重点：圆中的基本概念的认识。
2、难点：对等弧概念的理解。
教学过程：一、圆是如何形成的？请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。
如右图，线段OA 绕着它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形。
同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。
由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？而大小又是由谁决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定）二、圆的基本元素问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有50%的同学步行上学，有20%的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有30%，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。
我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，右上图23.1.1就是反映学校学生上学方式的扇子形统计图。
如图23.1.2,线段OA 、OB 、OC 都是圆的半径，线段AB 为直径，.这个以点O 为圆心的圆叫作“圆O ”，记为“⊙O ”。
线段AB 、BC 、AC 都是圆O 中的弦，曲线BC 、BAC都是圆中的弧，分别记为BC ︵、BAC ︵，其中像弧BC ︵这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧BAC ︵这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。
∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 就是圆心角。
结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。
三、课堂练习1、直径是弦吗？弦是直径吗？2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？A O图23.1.13、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？4、比较右图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规 验证你的结论是否正确。
5、说出上右图中的圆心解、优弧、劣弧。
6、直径是圆中最长的弦吗？为什么？四、小结本节课我们认识了圆中的一些元素，同学应能从具体的图形中对这些元素加以识别。
五、作业1、如图，AB 是⊙O 的直径，C 点在⊙O 上，那么，哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？2、经过A 、B 两点的圆的几个？它们的圆心都在哪里？3、长方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上。
4、如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC ，交AC 于D ，6BC cm ，求OD 的长。
5、已知：如图，OA 、OB 为⊙O 的半径，C 、D 分别为OA 、OB 的中点，试说明AD=BC 。
23.1.2圆的对称性教学目标：使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。
重点难点：1、重点：由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。
2、难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。
教学过程：一、由问题引入新课：要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的CAO第1题C B A OD 第4题C B A O (第3题)O B A圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。
如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。
由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。
二、新课1、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
实验1、将图形23.1.3中的扇形AOB 绕点O 逆时针旋转某个角度，得到图23.1.4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现AOB AOB ∠=∠，AB AB =，»»AB AB =。
实质上，AOB ∠确定了扇形AOB 的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。
问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？ 在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？实验2、如图23.1.7，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ，垂足为P ，再将纸片沿着直径CD 对折，比较AP 与PB 、AC ︵与CB ︵，你能发现什么结论？显然，如果CD 是直径，AB 是⊙O 中垂直于直径的弦，那么AP BP =，»»AC BC =，»»AD BD =。
请同学们用一句话加以概括。
（ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）2、同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系的应用。
（1）思考：如图，在一个半径为6米的圆形花坛里，准备种植六种不同颜色的花卉，要求每种花卉的种植面积相等，请你帮助设计种植方案。
（2）如图23.1.5，在⊙O 中，AC BC =，145∠=︒，求2∠的度数。
图23.1.3 图23.1.4图23.1.73、课堂练习（1）如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°.求∠C 度数.(第1题) （第2题）（2）如图，AB 是直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，求∠AOE 的度数（3）已知，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径。
三、课堂小结本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质，即（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等。
（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。
（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等。
（4）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
四、作业Ｐ52 习题1、2、3、4、523.1.3圆周角教学目标：使学生知道什么样的角是圆周角，了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征；并能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题，同时，通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行实验、猜想、论证，从而得到新知。
重点难点：1、重点：认识圆周角，同一条弧的圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。
2、难点：发现同一条弧的圆周角和圆心角的关系，利用这个关系进一步得到其他知识，运用所得到的知识解决问题。
教学过程：一、认识圆周角如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆第5题相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。
究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的解就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角。
同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。
（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）练习：试找出图中所有相等的圆周角。
二、圆周角的度数探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而90︒的圆周角所对的弦是否是直径？如图23.1.9，线段AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上任意一点（除点A 、B ）， 那 么，∠ACB 就是直径AB 所对的圆周角.想想看，∠ACB 会是怎么样的角？为什么呢？启发学生用量角器量出ACB ∠的度数，而后让同学们再画几个直径AB 所对的 圆周角，并测量出它们的度数，通过测量，同学们感性认识到直径所对的圆周角等于90︒（或直角），进而给出严谨的说明。
证明：因为OA ＝OB ＝OC ，所以△AOC 、△BOC 都是等腰三角形，所以∠OAC ＝∠OCA ，∠OBC ＝∠OCB . 又 ∠OAC ＋∠OBC ＋∠ACB ＝180°，所以 ∠ACB ＝∠OCA ＋∠OCB＝2180ο＝90°.因此，不管点C在⊙O 上何处（除点A 、B ），∠ACB总等于90°，即半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径（第1题）图23.1.9三、探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系1、分别量一量图23.1.10中弧AB 所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点C 在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化. 你发现其中有什么规律吗？ （2） 分别量出图23.1.10中弧AB 所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？我们可以发现，圆周角的度数没有变化. 并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半。
由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
为了验证这个猜想，如图23.1.11所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O 和圆周角的顶点C ，这时可能出现三种情况：（1） 折痕是圆周角的一条边，（2） 折痕在圆周角的内部，（3） 折痕在圆周角的外部。
我们来分析一下第一种情况：如图23.1.11（1），由于OA ＝OC ，因此 ∠A ＝∠C ，而∠AOB 是△OAC 的外角，所以 ∠C＝21∠AOB . 对（2）、（3），有同样的结论.（让同学们把推导的过程写出来），由以上的猜想和推导可以得到：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
思考：1、在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等吗？为什么？相等的圆周角所对的弧相等吗，为什么？2、你能找出右图中相等的圆周角吗？3、这是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆图23.1.10 图23.1.11心的位置吗？你有什么简捷的办法？4、如图，如图23.1.12，AB 是⊙O 的直径，∠A ＝80°．求∠ABC 的度数．5、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x ＋100）°和（5x －30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数. 四、小结 本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；由这个结论进一步得到：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
90°（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用他们解决相关问题。
四、作业Ｐ52 习题6、723.2.1点与圆的位置关系教学目标：使学生能够用数量关系来判断点与圆的位置关系,掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆,求出特殊三角形的外接圆的半径,渗透方程思想。
重点难点：1、重点：用数量关系判断点和圆的位置关系,用尺规作三角形的外接圆,求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。
圆的有关概念
练习1 判断下列语句是否正确？为什么 1．半圆是弧． 2．弧是半圆． 3．两个劣弧之和等于半圆． 4．两个劣弧之和等于圆周长．
练习2 判断题： 1．直径是弦； 2．弦是直径； 3．半圆是弧，但弧不一定是半圆； 4．半径相等的两个半圆是等弧； 5．长度相等的两条弧是等弧；
4、弓形：由弦及其所对的弧组成的图形 叫做弓形．
5、圆心相同，半径不相等的两个圆叫做 同心圆． 同圆或等圆的半径相等．
6、等弧：在同圆或等圆中， 能够互相重合的弧叫做等弧．
舞出淡紫色的爆竹声，只见他很小的深青色花灯形态的牙齿中，威猛地滚出三十道怪毛状的海龙，随着珀阿兀庸夫的耍动，怪毛状的海龙像果盘一样在双腿上恬淡地 编排出隐隐光烟……紧接着珀阿兀庸夫又连续使出三千二百二十九式七鹏绿豆骂，只见他花哨的肩膀中，狂傲地流出四十缕摆舞着『红丝蚊佛水桶臂』的钢针状的牙 齿，随着珀阿兀庸夫的摆动，钢针状的牙齿像海马一样，朝着月光妹妹水嫩香柔的粉颈斜冲过来！紧跟着珀阿兀庸夫也晃耍着法宝像鳄鱼般的怪影一样朝月光妹妹斜 劈过来月光妹妹悠然把水嫩香柔的粉颈晃了晃，只见九道摇晃的仿佛羊鬼般的紫灯，突然从优雅飘忽的玉臂中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，暗橙色的大地开始抖 动摇晃起来，一种怪怪的深蹦风景味在壮观的空气中飘忽……接着玲珑活泼的美鼻子闪眼间转化颤动起来……似乎总是带着一丝迷人笑意的小嘴唇跃出暗白色的缕缕 凶云……清丽动人、会说话的的秀眉跃出深绿色的隐约幽热！紧接着转动俏雅明 朗的玉牙一挥， 露出一副飘然的神色，接着耍动灿烂闪耀的披肩金发，像白象牙色的 玉泪沙海燕般的一嚎，条纹的月光泉水般的美丽眼睛立刻伸长了七十倍，犹如初春园林般的气息也突然膨胀了八十倍！最后扭起空灵玉白的嫩掌一叫，狂傲地从里面 涌出一道怪影，她抓住怪影变态地一颤，一样黄澄澄、绿莹莹的法宝⊙金丝芙蓉扇＠便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边蜕变，一边发出“啾啾”的疑声……忽 然间月光妹妹旋风般地让自己青春跃动、渐渐隆起的胸脯笑出雪白色的猴鬼声，只见她如同云霞般的亮粉色月光衣中，飘然射出二十缕抖舞着⊙玉光如梦腿＠的牙齿 状的铡刀，随着月光妹妹的甩动，牙齿状的铡刀像笔帽一样在双腿上恬淡地编排出隐隐光烟……紧接着月光妹妹又连续使出四千四百五十五派北狮扣肉望，只见她清 秀晶莹的小脚丫中，突然弹出四十串颤舞着⊙玉光如梦腿＠的琵琶状的脸皮，随着月光妹妹的颤动，琵琶状的脸皮像轮胎一样，朝着珀阿兀庸夫深蓝色熊猫般的脖子 斜扫过去！紧跟着月光妹妹也晃耍着法宝像鳄鱼般的怪影一样朝珀阿兀庸夫斜砸过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道水蓝色的闪光，地面变成了湖 青色、景物变成了土灰色、天空变成了深黄色、四周发出了秀丽的巨响……月光妹妹水嫩香柔的粉颈受到震颤，但精神感觉很爽！再看珀阿兀庸夫很像细竹一样的脚 ，此时正惨碎成果冻样的墨紫色飞丝，快速射向远方，珀阿兀庸夫惊嘶着全速地跳出界外，急速将很像细竹一样的脚复原，但元气已受损伤。月光妹妹：“哈哈！这 位魔头的业务极为绝妙哦！非常有独裁性呢！”珀阿
圆的基本元素
．
．
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实战演练:
1.明辨是非:(判断正误) (1)一个圆的所有的直径都相等. ( √ ) (2)直径是弦. (√ ) (3)弦是直径. (× ) (4)圆上的点到圆心的距离都相等. ( √ ) (5)半圆是弧,弧是半圆. (× ) (6)优弧一定比劣弧长. (× )
体验探究: ４.在练习本上任意画一个圆，画出 它的直径和几条弦，用圆规比较弦 和直径的大小，你有什么发现？
Ｃ Ａ Ｏ
．
Ｄ 结论： Ｂ 直径是圆中最长弦．
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23.1圆的基本元素
二实验中学西校九年级数学组
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生活积累展示:
古希腊的数学家认为:一切 立体图形中最美的是球形,一切 平面图形中最美的是圆形.你能 找出生活中与圆有关的图形吗?
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圆的有关概念:
3.弦: 连结圆上任意两点的线段叫弦.
A
．． ． B
O A
．
B
经过圆心的弦叫做直径. 直径是半径的2倍. 思考:弦和直径什么关系?
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圆的有关概念: 4.弧: 圆上任意两点间的部分叫做弧.
A．
．
． B
D ． ． C
半圆:圆上任一条直径的两个端点分圆 成两条弧,每一条弧叫做半圆. 劣弧: 小于半圆的弧叫做劣弧. 优弧: 大于半圆的弧叫做优弧.
慧眼识珠: 3.如图,点A、O、D以及点B、O、C 分别在同一条直线上,图中有几条弦? 几条劣弧?试一一找出. E 解: 图中有3条弦. B D 弦 CD. 弦 AE 、 弦 AD 、 ． 图中有5条劣弧. O ︵ ︵ ︵ A AE CD DE
圆的基本元素上课用ppt课堂课件
27.1.1圆的基本元素(上课用）
F
C
M
A
O
B 2、如图：o为圆心
弦有：__A_B__、__C__D_____
E
D
图端中点以的的D为劣一弧个有：__D⌒_E__、__D⌒_A__、__D⌒_B__
⌒ ⌒ ⌒ 图中以D为一个
端点的优弧有：__D_C__A_、__D__C_E_、___D_C__B__
演讲完毕，谢谢观看！
圆的分类
圆心相同的两个圆叫做 圆心不同半径相等的
同心圆
两个圆叫做
等圆
27.1.1圆的基本元素(上课用）
27.1.1圆的基本元素(上课用）
连结圆上任意两点的线段叫弦
如图,弦有 AB、BC、AC
A
B 直径是圆中
O●
最长的弦
C
27.1.1圆的基本元素(上课用）
27.1.1圆的基本元素(上课用）
A A
O● C
5. 如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的 弦，AB、CD的延长线 交于E点，已知 AB=2DE,∠ E=180 求： ∠AOC的度数.
O
27.1.1圆的基本元素(上课用）
•
1.有感情地朗读课文，体会作者对海 底世界 的喜爱 之情， 激发学 生热爱 大自然 、探索 自然奥 秘的兴 趣。
•
2.引导学生凭借生动形象的语言文字 ，了解 海底是 个景色 奇异、 物产丰 富的世 界。
∴AO：AB=1：2
又∵ OD∥BC，
∴∠AOD= ∠ＡＢＣ，
∠ＡＤＯ＝ ∠ＡＣＢ，
∴△ＡＯＤ∽△ＡＢＣ。
即ＤＯ：ＢＣ＝ AO：AB=1：2
而BC=6cm，∴ＤＯ＝３cm.
27.1.1圆的基本元素(上课用）
圆的概念及性质知识点梳理
圆的概念及性质知识点梳理一、圆的基本概念 1. 圆的定义：圆是由平面上到一定点的距离相等的所有点组成的集合。
2. 圆的符号表示：以大写字母O表示圆心，小写字母r表示半径，圆可以表示为O(r)。
3. 圆的元素：圆心、半径、直径。
二、圆的性质 1. 对称性： a. 圆心对称：圆内任意一点都可以通过圆心的对称变换到另外一个点。
b. 直径对称：圆内任意一点都可以通过圆的直径对称变换到另外一个点。
2. 圆与直线的关系： a. 圆与直线的交点：一条直线与圆相交的点数可能为0、1、2个。
b. 切线：一条直线切圆的条件是直线与圆有且仅有一个交点。
c. 弦：一条直线与圆有两个交点，这两个交点与圆心连接形成的线段称为弦。
3.圆与角的关系： a. 圆心角：圆内的两条半径所对应的角称为圆心角，圆心角的度数等于弧度的两倍。
b. 弧度：弧长等于半径的弧对应的角的度数称为弧度。
c. 弧度制与度数制转换：弧度 = 度数× π / 180。
4. 圆与面积的关系： a. 圆的面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr^2。
b. 圆周长与面积的关系：半径一样的两个圆，周长较大的圆面积也较大。
5. 圆与体积的关系：a. 圆柱的体积公式：圆柱的体积等于底面积乘以高，即V = πr^2h。
b. 圆锥的体积公式：圆锥的体积等于底面积乘以高再除以3，即V = (1/3)πr^2h。
c. 球体的体积公式：球体的体积等于(4/3)πr^3。
三、圆的应用 1. 圆的几何应用： a. 轮胎：轮胎通常采用圆形设计，便于车辆转向和行驶。
b. 钟表：钟表上的指针转动的轨迹是一个圆弧。
2. 圆的物理应用： a.运动：物体在做圆周运动时，其运动轨迹是一个圆。
b. 电子：电子的轨道运动也是一个圆形的。
c. 光学：光学中的透镜和曲率半径有关，曲率半径越小，透镜越强。
3. 圆的数学应用： a. 数学公式：圆的周长和面积的计算公式是数学中的基本公式之一。
圆的知识点归纳总结大全
圆的知识点归纳总结大全一、圆的定义。
1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素。
1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
（1）劣弧：小于半圆周的弧。
（2）优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质。
1、圆的对称性。
（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
（2）推论：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
（1）同弧所对的圆周角相等。
（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r，OP=d。
d< r（r > d）点P在⊙O内d= r 点P在⊙O上d > r（r <d）点P在⊙O外7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
（2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
（直角三角形的外心就是斜边的中点。
）8、直线与圆的位置关系。
d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；直线与圆没有交点，直线与圆相离。
29、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。
圆的有关概念
（C）矩形的四个顶点在同一个圆上
（D）平行四边形的四个顶点在同一个圆上
三、解答题（30分）
如图，已知AB为 ⊙O 的直径， AC为弦，OD∥BC，交AC于 点D，BC=6cm，求OD的长。
C D
A
O
B
解： ∵ AB为 ⊙O 的直径， ∴AO：AB=1：2 又∵ OD∥BC， ∴∠AOD= ∠ＡＢＣ， ∠ＡＤＯ＝ ∠ＡＣＢ， ∴△ＡＯＤ∽△ＡＢＣ。
§23.1圆的认识 圆的基本元素
1．弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦 2．直径：经过圆心的弦是直径．
3．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧． 简称弧．以A、B为端点的弧，⌒ AB
读作“圆弧AB”或“弧AB”．
半圆弧：圆的任意一条直径的两个端点 分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆弧． 优弧：大于半圆的弧叫优弧． 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．
4、弓形：由弦及其所对的弧组成的图形 叫做弓形．
5、圆心相同，半径不相等的两个圆叫做 同心圆． 同圆或等圆的半径相等．
6、等弧：在同圆或等圆中， 能够互相重合的弧叫做等弧．
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一尽儿涤荡净了。秦腔与他们，要和“西凤”白酒，长线辣子，大叶卷烟，牛肉泡馍一样成为生命的五大要素。若与那些年长的农民聊起来，他们想象的伟大的共产主义生活，首先便是这五大要素。 他们有的是吃不完的粮食，他们缺的是高超的艺术享受，他们教育自己的子女，不会是 那些文豪们讲的，幼年不是祖母讲着动人的迷丽的童话，而是一字一板传授着秦腔。他们大都不识字，但却出奇地能一本一本整套背诵出剧本，虽然那常常是之乎者也的字眼从那一圈胡子的嘴里吐出来十分别扭。有了秦腔，生活便有了乐趣，高兴了，唱“快板”，高兴得像被烈性炸药爆 炸了一样，要把整个身心粉碎在天空!痛苦了，唱“慢板”，揪心裂肠的唱腔却
圆的基本概念
八年级数学试卷 第1页，共4页八年级数学试卷 第2页，共4页第二十八章 圆 28.1.1圆的基本元素一、圆的基本元素如图28.1.2,线段OA 、OB 、OC 都是圆的半径，线段AB 为直径，. 这个以点O 为圆心的圆叫作“圆O ”，记为“⊙O ”。
线段AB 、BC 、AC 都是圆O 中的弦，曲线BC 、BAC 都是圆中的弧，分别记为BC ︵、BAC ︵，其中像弧BC ︵这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧BAC ︵这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。
∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 就是圆心角。
28.1.2圆的对称性圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质，即（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等。
（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。
（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等。
（4）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
28.1.3圆周角一、认识圆周角顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角， 二、圆周角半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等。
28.2.1点与圆的位置关系一、用数量关系来判断点和圆的位置关系如图28.2.1，设⊙O 的半径为r ，A 点在圆内，B 点在圆上，C 点在圆外， 那么 OA ＜r ， OB ＝r ， OC ＞r ．反过来也成立， 即 若点A 在⊙O内OAr <若点A 在⊙O 上OAr = 若点A 在⊙O 外OA r >二、不在一条直线上的三点确定一个圆问题与思考：平面上有一点A ，经过A 点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有两点A 、B ，经过A 、B 点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有三点A 、B 、C ，经过A 、B 、C 三点的圆有几个？圆心在哪里？。
九年级数学圆的复习华东师大版
圆的复习第一部分知识及方法一、圆的基本概念1、圆的基本元素圆心：圆的中心。
半径：连接圆心和圆上任一点的线叫半径。
弦：连接圆上任意两点的线段叫弦。
直径：经过圆心的弦叫直径。
弧：圆上任意两点间的部分叫弧。
弧分为半圆、优弧和劣弧。
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
注意：直径是圆最长的弦；同圆或等圆的直径是半径的两倍。
2、（1）圆是旋转对称图形，圆心是对称中心。
在一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
在一个圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等。
在一个圆中，相等的弦所对的劣弧相等，所对的圆心角相等。
（2）圆是轴对称图形，任一条过圆心的直线都是它的对称轴。
（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
提示：1）圆周可以看作360°的弧，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
2）解决与弦有关的问题时，常常过圆心作弦的垂直线段作为辅助线。
半径、弦的一半、弦心距构成一个直角三角形。
利用勾股定理和三角函数可以解决与半径长、弦长、弦心距的长以及相关角度等有关计算的问题。
3）经过圆内一点，最长的弦是经过这点的直径，最短的弦是与过这点的直径垂直的弦。
4）圆内两条平行弦所夹的弧相等。
3、（1）圆周角的定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角。
（2）圆周角定理：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°圆周角所对得弦是直径。
在一个圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半；相等的圆周角所对得弧也相等。
圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。
（3）相关：利用“半圆或直径所对圆周角是直角”可以在圆中得到直角三角形，我们可以解决很多与直角三角形有关的问题。
圆周角定理、三角形内角和定理及推论、同角的余（补）角相等、平行线的性质定理等，都是与角度有关的定理，把它们进行综合运用，可以实现角度的灵活转换，从而解决很多与角相关的问题。
（4）注意：a．当给出90°圆周角时，弦AB是直径需要说明。
27章圆复习(华东)解析
七.三角形的外接圆和内切圆：
A A
O C B B 三角形外接圆的圆心叫三角形的外心
I
C 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。
实质
三角形的外 三角形三边垂直平分线的交 点 心 三角形的内 三角形三内角角平分线的交点 心
性质
到三角形各顶点 的距离相等 到三角形各边的 距离相等
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
O
C
A
D
C
O A
弦切角定理
弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相 等。 即：∵MN是切线，AB是弦 ∴∠BAM=∠BCA
C
O
B
N
A
M
一、圆心角、弦、弧、弦心距、圆周角
前四组量中有一组量相等，其余各组量也相等； 注意：圆周角有两种情况 圆周角的推论应用广泛 1.如图，⊙O为△ABC的外接圆， AB为直径，AC=BC， 则∠A的 度数为（ c ） A.30° B.40° C.45° D.60° 2. 在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，则 500或1300 弦AB所对的圆周角为____________.
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
练习．下列命题中的假命题是：
（C ）
A．和圆有唯一公共点的直线是圆的切线
B．过直径一端且垂直于这条直径的直线是圆的切线
C．点A在直线L上，⊙O半径为r，若OA＝r时，则
直线L是⊙O的切线
D．⊙O的半径为a，则O点到直线的距离为d，若d＝ a时，则L是⊙O的切线。 练习：已知：PA、PB是⊙O的切线，APB 50 切点为A、B点，点C为圆周上的一点，求 ACB 的度数。
九年级圆知识点总结
九年级圆知识点总结圆是初中数学中的一个重要概念，涉及到圆的基本性质、圆的元素等多个知识点。
本文将对九年级圆的知识点进行总结，并以简洁美观的排版方式呈现。
1. 圆的基本概念圆是由平面上与一个定点距离相等的所有点组成的集合。
其中，这个定点被称为圆心，到圆心的距离被称为半径。
在坐标平面上，圆可以由其圆心坐标和半径长度唯一确定。
2. 圆的元素一个圆包含以下几个元素：- 圆周：由圆上所有点组成，表示为C。
- 圆心：圆周的中心点，通常表示为O。
- 弦：连接圆周上任意两点的线段。
- 弧：圆周上的一段连续的弧线。
- 直径：通过圆心并且两端点在圆上的线段，直径的长度是半径的两倍。
3. 圆的性质圆有许多重要的性质，包括：- 半径相等定理：圆上任意两点到圆心的距离相等。
- 弧度：用弧长和半径之比来定义的角度单位，常用符号是rad。
- 弧长公式：弧长 = 弧度 ×半径长度。
- 弧度制和角度制的转换关系：弧度 = 角度× π / 180。
- 圆心角：以圆心为顶点的角，其对应的弧长等于角度制下的度数。
- 弦割定理：两条相交弦的弦长乘积等于它们所夹的弧分割的弧长乘积。
- 切线定理：切线与半径垂直，且切点在切线与半径所夹的角的弧上。
- 弧线和角的关系：圆心角是对应的弧所夹的角的两倍。
4. 圆的常见计算在九年级的数学学习中，常常需要进行圆的计算。
以下是常见的计算公式：- 圆的面积公式：S = π × r²，其中S表示圆的面积，r表示半径。
- 弧长计算公式：L = r × θ，其中L表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角度数。
- 弦长计算公式：l = 2r × sin(θ/2)，其中l表示弦长，r表示半径，θ表示圆心角度数。
5. 圆与其他几何图形的关系圆与其他几何图形之间有一些重要的关系，包括：- 圆与直线的位置关系：圆心到直线的距离等于半径时，称之为与直线相切；小于半径时，称之为与直线相离；大于半径时，称之为与直线相交。