宋倩倩老师~中考数学基本几何模型探究

中考数学基本几何模型探究

【专题综述】

许多中考试题都是以教材的例题、习题为背景，经过命题专家巧妙构思编拟而成.中考试题的权威性和导向性是由命题专家独具匠心精心打造的，其思路和方法常具有类比迁移和拓广探索性.因此，教师在教学中若能引导学生提炼出基本几何模型，用基本几何模型解决问题，则能提高学习效率，提升创新创造能力.

【方法解读】

一、中考试题呈现和探源

题目如图1，正方形ABCD 的边长为3cm,,P Q 分别从,B A 出发沿,BC AD 方向运动，P 点的运动速度是1cm/秒，Q 点的运动速度是2cm/秒.连结AP 并过点Q 作QE AP ⊥，垂足为E .

(1)求证:ABP QEA V :V ;

(2)当运动时间t 为何值时，ABP QEA ≅V V ?

(3)设QEA V 的面积为y ，用运动时间t 表示QEA V 的面积y .(不要求考虑t 的取值范围)(提示:解答(2)(3)时可不分先后)

此题动静分明，梯度清晰，较好考察了学生全等、相似、函数的有关知识.仔细观察，不难看出此题由课本题变化而来.课本原题为:如图2，四边形ABCD 是正方形，点G 是边BC 的中点，,//DE AG BF DE ⊥交AG 于点F ，求证:AF BF EF -=.

(人教版义务教育教科书八年级数学2013年10月第一版P62页第15题)

将此题的条件“//BF DE 交AG 于点F ”去掉，即可变为上述中考题.

二、探寻基本图形和基本模型

由课本习题和中考题不难找出它们蕴含的基本图形和几何模型:如图3，在正方形ABCD 中，

点,E F 分别在边,BC CD 上，,AE BF 交于点O .

性质1

若AE BF ⊥，则AE BF =(或BE CF =).性质2

若AE BF =(或BE CF =)，则AE BF ⊥.性质3

若点O 是中心对称图形的对称中心，且AE BF ⊥，则,AE BF 把该图形的面积四

等分.若将线段,AE BF 分别平移到,GH EF 处(如图4)，结论EF GH =仍成立.

由于以上主要利用直角和互余的性质，不难猜想到若由正方形变为矩形，会有三角形相似和对应线段成比例.

如图5，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在,AB AD 上，且DE CF ⊥，则DE AD CF CD =.若将线段,DE CF 分别平移到,NM HQ 处(如图6)，结论MN AD QH CD

=仍成立.

由以上图形可提炼出如下模型:

模型1

正方形+线段垂直(或线段相等)=线段相等(或线段垂直)模型2中心对称图形+线段垂直(或面积四等分)=面积四等分(或线段垂直)

模型3矩形+线段垂直(或线段成比例)=线段成比例(或线段垂直)

三、模型解题提升能力

1、用模型1解决问题

例1

已知:如图7，在正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，AQ BE ⊥于点,Q DP AQ ⊥于

点P .

(1)求证:AP BQ =;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长.

分析由模型1易得AQ DP =，得本题证明思路是证全等形，进而得AP BQ =，由全等形可得AQ BQ PQ -=或PD AP PQ -=.

例2如图8，正方形ABCD 的面积为3cm 2,E 为BC 边上一点，30BAE ∠=︒,F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与,AB DC 相交于点,M N ，若MN AE =，则AM 的长等于cm.

分析由模型2可得MN AE ⊥，用勾股定理和30BAE ∠=︒，求得AE =2，则AF =1，所以33

AM =.2、用模型2解决问题

例3问题探究

(在图9中作出两条直线，使它们将圆的面积四等分.

(2)如图10,M 是正方形ABCD 内一定点，在图9中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M )，使正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由.

问题解决

(3)如图11，在四边形ABCD 中，//,AB CD AB CD BC +=，点P 是AD 的中点.如果,AB a CD b ==，且b a >，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在的直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分?若存在，求出PQ 的长;若不存在，说明理由.

分析(1)据模型2，只要作两条过圆心且互相垂直的直线即可，如图9所示.

(2)据模型2，过点M 和正方形ABCD 对角线的交点O 作直线OM ，分别交,AD BC 于,P Q 两点，再过点O 作OM 的垂线，交,AB CD 于,E F 两点，则直线,OM EF 将正方形ABCD 的面积四等分，如图10所示.

(3)如图11，延长BA 至点E ，使AE b =,延长CD 至F 点，使DF a =，连结EF .

由//,BC CF BC BE CF a b ===+，易证四边形BCEF 是菱形，连结BF 交AD 于点M ，则MAB MDF ≅V ，得AM DM =，所以点M 与P 重合，点P 是菱形对角线的交点.在BC 上截取BQ CD b ==，则CQ AB a ==.设点P 到菱形一边的距离为d ，则1()2ABP QBP S S AB BQ ∆∆+=

+1()2CQ CD d =+

CPQ CPD S S ∆∆=+.

所以，当BQ b =时，直线PQ 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分.

3、用模型3解题

例3探究证明

(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明.

如图12，矩形ABCD 中，,EF GH EF ⊥分别交,AB CD 于点,,E F GH 分别交,AD BC 于点,G H .求证:EF AD GH AB

=.

结论应用

(2)如图13，在满足(1)的条件下，又AM BN ⊥，点,M N 分别在边,BC CD 上，若

1115EF GH =,则BN AM 的值为.

联系拓展

(3)如图14，四边形ABCD 中，

90,10,5,ABC AB AD BC CD AM DN ∠=︒====⊥,点,M N 分别在边,BC AB 上，求DN AM

的值.

分析(1)由模型3，过点A 作//AP EF ,交CD 于P ，过点B 作//BQ GH ，交AD 于Q ，如图15，易证,,AP EF GH BQ PDA QAB ==∆∆，然后运用相似三角形的性质就可解决问题.

(2)只需运用(1)中的结论,可得到EF AD BN GH AB AM

==，就可解决问题.