中值定理学习课程
《微分中值定理》课件
积分中值定理的应用：求解 定积分、证明不等式等
积分中值定理：描述函数在 某区间上的平均值与该区间 内函数值的关系
傅里叶级数的应用：信号处 理、图像处理、数据分析等
06
微分中值定理的习题和 解析
基础题目解析
题目：求函数f(x)=x^2+2x+1在区间[0,1]上的最大值和最小值 解析：使用微分中值定理，找到函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值 题目：求函数f(x)=x^3-2x^2+3x+1在区间[0,1]上的最大值和最小值 解析：使用微分中值定理，找到函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值
解决实际问题：微分中值定理在物理、工程等领域的实际问题中有广泛应用。
优化算法：微分中值定理在优化算法中有重要应用，如梯度下降法、牛顿法等。
证明不等式：微分中值定理在证明不等式方面有广泛应用，如拉格朗日中值定理、柯西 中值定理等。
解决微分方程：微分中值定理在解决微分方程方面有重要应用，如欧拉-拉格朗日方程、 庞加莱方程等。
提高题目解析
分析题目：分析题目中的已 知条件和未知条件，找出题 目中的关键信息
理解题目：明确题目要求， 理解题目中的关键词和条件
解题步骤：列出解题步骤， 每一步都要有明确的依据和
理由
解题技巧：总结解题技巧， 如使用公式、定理、图形等
工具进行解题
综合题目解析
题目类型：微 分中值定理的
综合题目
题目来源：教 材、习题集、
03
微分中值定理的基本概 念和性质
导数的定义和性质
导数的定义：函数在某一点的切线 斜率
导数的计算方法：极限法、导数公 式、导数表
第六章 微分中值定理及其应用
由此可得
.
例2 设轴为镜面,光线由点处入射至上点R,经反射后过点Q(图6-2).试用光线沿最省时间的路径传播原理,验证光线反射规律:入射角等反射角.
图6-2
解 设光线由点P出发在平面镜上点R处反射后通过点Q,上述三点分别有坐标为,于是
,
,
光线走过总的路径为
.
因为光线是沿最省时间的路线传播,而光速是常数,所以通过求的极小值,便可确定点R的位置.为此令
由图6-2可见是入射角的余弦,而是反射角的余弦,于是有
即入射角等于反射角.
说明 由于本例是要证明,而不要求具体算出点R的坐标和的最小值,因此当由极值的必要条件推出了结果后,解题过程便告结束.这与通常求极值或最大(小)值的问题稍有不同.
于是解得唯一的极值点为
.
易见时,时,即为极小值点.由于唯一的极值点为最值点,因此当力F与水平方向夹角,力F最小.
注 力学中称为摩擦角.
例4 设函数
(n为正整数).
其中函数当时连续,且.试问点是否为的极值点?当它是极值点时,讨论它是何种极值点?
解 ,
不妨设,由连续函数的局部保号性,在某领域中.
证 因为为方程的n重根，于是该方程有2n个实根，现要证明有n个相异的实根。
=
方程以x=0为单根，重根，因为，由罗尔定理，使得于是有两个单根；又因
其中为二次多项式，故方程还有两个n-2重根。
由此可推测当导数增高一次，相异单根增加一个，但重根各下降一次，现用归纳法证明相应结论。
. பைடு நூலகம்
不妨设,于是有
.
在上对应用达布定理,使得
,
这样就证得
微分中值公式 - 云南大学数学分析精品课程
(a, b) (0,1), 有 f (b) f (a) f (a (b a))(b a).
③
若a x，b x x，b a x，则
f ( x x) f ( x) f ( x x)x,
0 1.
x [1,1]
f ( x)
1 1 x2
(
1 1 x
) 0. 2
f ( x) C ,
x [1,1]
2 , 即C
2 .
又 f (0) arcsin 0 arccos 0
arcsin x arccos x
Yunnan University
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o a
y ( x)
b
x
f (b) f ( a ) . ba
微分中值公式
§1. 中值定理 注1. Rolle 定理是 Lagrange 定理当 f (a) f (b) 时的特殊情况. 注2. 几何意义：如图
k AB f (b) f (a) tan , ba
直线 AB 的方程
f (b) f (a ) y f (a) ( x a ). ba
若[a, b]上有定义的连续曲线 y f ( x)在每一点
都存在切线，则曲线上 至少存在一点 ( , f ( )) ，过该
点的切线平行于直线 AB, 即两者斜率相等 .
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§1. 中值定理 2. Lagrange定理（微分中值定理）
若f ( x)满足：
（ 1 ）在 [a, b]上连续 ;
积分中值定理及应用
毕业论文题目：积分中值定理及应用学号：姓名：年级：系别：数学系专业：数学与应用数学指导教师：完成日期：年月日积分中值定理及应用摘要本论文的主要内容是积分中值定理及其应用，全文分为以下几个方面：积分中值定理及推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性、积分中值定理的应用。
首先讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二中值定理以及它们的推广，而且还给出了这些定理的详细证明过程。
其次研究了中值定理中值点ξ的渐进性，对第一积分中值定理的ξ点做了详细讨论，给出了详细清楚的证明过程。
而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形，其他证明过程只作简要说明。
最后归纳了积分中值定理的应用，给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号、比较积分大小，证明函数单调性还有阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。
关键词：积分中值定理；推广；应用；渐进性INTEGRAL MEAN V ALUE THEOREM AND APPLICATIONAbstractThe main content of this paper is integral mean value theorem and its application ,the letter divides into the following respects :Integral mean value theorem and promotion 、Integral mean value theorem point in the progressive 、The application of integral mean value theorem .First discuss the definite integral mean value theorem 、the first integral mean value theorem 、the first second mean value theorem and their promotion ,and it gives the theorem of the detailed process of proof .Secondly the mean value theorem point in the progressive ,the first integral mean value theorem to do a detailed discussion of the points ,gives the detailed processclear evidence .And the second integral mean-value theorem proved, the only problem with one of the case ,other identification process only briefly .Finally summarizes the integral mean value theorem of applications ,to give some simple situation such as estimated integral value ,calculation of the definite integral contains limit ,sure integral symbols ,contrast integral size ,prove functional monotonicity and the theorems proof of Abel discriminant method and DiLi klein discriminant method .Key words: integral mean-value; theorem promotion ;apply;progressive目录1 前言 (3)2积分中值定理 (4)2.1定积分中值定理及推广 (4)2.1.1定积分中值定理 (4)2.1.2定积分中值定理的推广 (6)2.2积分第一中值定理及推广 (6)2.2.1积分第一中值定理 (6)2.2.2积分第一中值定理的推广 (6)2.3积分第一中值定理及推广 (9)2.3.1积分第二中值定理 (9)2.3.2积分第二中值定理的推广 (12)2.4重积分的中值定理 (12)2.4.1二重积分的中值定理 (12)2.4.2三重积分的中值定理 (13)2.5曲线积分中值定理 (14)2.5.1第一曲线积分中值定理 (14)2.5.2第二曲线积分中值定理 (14)2.6曲面积分中值定理 (16)2.6.1第一曲面积分中值定理 (16)2.6.2第二曲面积分中值定理 (16)3 积分中值定理中值点的渐进性 (18)3.1 第一积分中值定理中值点的渐进性 (18)3.2 第二积分中值定理中值点的渐进性 (22)4 积分中值定理的应用 (24)4.1 估计积分值 (2424)4.2 求含定积分的极限 (25)4.3 确定积分号 (27)4.4 比较积分大小 (27)4.5 证明中值点的存在性 (2827)4.6 证明函数的单调性 (28)4.7 证明定理 (29)结论 (32)参考文献 (33)致谢 (34)1前言随着时代的发展，数学也跟着时代步伐大迈步前进。
大学课程《高等数学》PPT课件：3-1 微分中值定理
解 显然()在区间 [0,1]上连续 , ʹ = 3 2 − 6 + 1
在 (0,1) 有意义 , 即 () 在 (0,1) 可导 ,
故 ()在区间 [0,1] 上满足拉格朗日中值定理的条件．
根据拉格朗日中值定理 , 得
1 − 0 = ʹ ξ 1 − 0 = 3ξ2 − 6ξ + 1 ,
证: 在 I 上任取两点
格朗日中值公式 , 得
0
由
f (b) f (a )
f ( )
, ( a, b)
的任意性知, b a 在 I 上为常数 .
例4. 验证函数 = 3 − 3 2 + − 1在区间 [0,1]上
满足拉格朗日中值定理的条件, 并求定理中 ξ 的值．
(a) b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点
ba
思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数
即定理结论成立 . 证毕
拉氏
令
则
y f ( x0 x)x
(0 1)
推论: 若函数
则
在区间 I (2, 3), ξ3 ∈ 3, 4 使
ʹ ξ2 = 0, ʹ ξ3 = 0.
又因为 ʹ = 0 为三次方程 , 至多有三个实根 .
故 ʹ = 0 有三个实根 , 它们分别在 (1, 2), (2, 3), (3, 4).
例2. 设 () 在 [0, 1] 上连续 , (0, 1) 内可导 , 且
[3,4] 上连续 ; 在 1,2 , (2,3), (3,4) 内可导 , 且
1 = 2 = 3 = 4 = −2 ,
即函数 ()满足罗尔定理条件 .
教案微分中值定理
微分中值定理教案章节一：预备知识1.1 函数的极限教学目标：理解函数极限的概念，掌握极限的计算方法。
教学内容：引入函数极限的概念，探讨极限的性质和计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解极限的概念，利用图形和数学分析软件演示极限过程，让学生体会极限的意义。
1.2 连续函数教学目标：理解连续函数的概念，掌握连续函数的性质和判断方法。
教学内容：介绍连续函数的定义，探讨连续函数的性质，如保号性、保界性等，学习连续函数的判断方法。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解连续函数的概念，利用图形和数学分析软件演示连续函数的性质，让学生掌握判断连续函数的方法。
教案章节二：微分中值定理2.1 罗尔定理教学目标：理解罗尔定理的内容和意义，学会运用罗尔定理解决问题。
教学内容：介绍罗尔定理的定义，探讨罗尔定理的条件和结论，学习如何应用罗尔定理解决问题。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解罗尔定理的内容，利用图形和数学分析软件演示罗尔定理的应用，让学生学会运用罗尔定理解决问题。
2.2 拉格朗日中值定理教学目标：理解拉格朗日中值定理的内容和意义，学会运用拉格朗日中值定理解决问题。
教学内容：介绍拉格朗日中值定理的定义，探讨拉格朗日中值定理的条件和结论，学习如何应用拉格朗日中值定理解决问题。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解拉格朗日中值定理的内容，利用图形和数学分析软件演示拉格朗日中值定理的应用，让学生学会运用拉格朗日中值定理解决问题。
教案章节三：微分中值定理的应用3.1 导数的应用教学目标：理解导数的概念，掌握导数的计算方法。
教学内容：引入导数的概念，探讨导数的性质和计算方法，如求导法则、高阶导数等。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解导数的概念，利用图形和数学分析软件演示导数过程，让学生体会导数的意义。
3.2 函数的单调性教学目标：理解函数单调性的概念，掌握函数单调性的判断方法。
《微分学中值定理》课件
结论：柯西定理是微分学中值定理的一个重要结果，对于理解微 分学的基本概念和定理具有重要意义。
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。 Nhomakorabea04
微分学中值定理的推论
推论一：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内单调
推论二：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相 反
极值点的存在性：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的唯一性：若函数在某区间内可导，且该区间内只有一个极 值点，则该极值点为函数的最大值或最小值
极值点的应用：在微分学中，极值点是研究函数性质的重要工具， 可以用于求解函数的最大值和最小值，以及判断函数的单调性等。
推论三：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内取得 极值的必要条件
必要条件：函数在某区间内可导
极值：函数在某点处的值大于或小于其附近点的值
证明：通过微分学中值定理的推论，可以证明函数在某区间内取得极值的必要条件
利用微分学中值定理解决实际问题
实例1：求解函数在某点处的导 数
实例2：求解函数在某区间上的 最大值和最小值
实例3：求解函数在某点处的斜 率
实例4：求解函数在某点处的切 线方程
06
微分学中值定理的扩展
泰勒定理与微分学中值定理的关系
泰勒定理是微分 学中值定理的推 广和延伸
泰勒定理将微分 学中值定理中的 函数值扩展到函 数值和导数值
应用：在解决实际问题时，可以利用这个推论来判断函数是否取得极值，从而找到最优解
大学课程《微积分》PPT课件：微积分3章1节
柯西中值定理的应应用 例11 验证柯西中值定理对函数 f (x) x3 1, g(x) x2 在区间 [1,2]上的正确性.
例12 (讲义例5) 设函数 f (x) 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
第三章 导数的应用
第一节 中值定理
内容要点：
一、罗尔定理：在闭区间[a, b]上连续；在开区间(a, b)内 可导；在区间端点的函数值相等, 即 (a b), 结论：在(a, b)内至少存在一点 f (a) f (b). 使得 f ( ) 0.
注：罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足, 定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.
2 再由arcsin x, arccos x得定义知当x 1, x 1有
arcsin x arccos x
2
从而:arcsin x arccos x , x [1,1]
2
•证明当
x0
时,
x ln(1 x) x 1 x
证明：设 f (x) ln(1 x)，显然，f (x) 在[0, x]
论：在(a, b)内至少存在一点 (a b),使得 f (b) f (a) f ( )(b a)
拉格朗日中值公式反映了可导函数在 上整体平均变化率与在 内某点 处函 数的局部变化率的关系. 若从力学角度看,公式表示整体上的平均速度等于 某一内点处的瞬时速度. 因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.
f (a) f (b) f ( ) g(a) g(b) g( )
显然, 若取 g(x) x, 则 g(b) g(a) b a, g(x) 1,
因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了. 所以柯西中值定 理又称为广义中值定理.
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f (b) f (a ) ( ) x ( x) f ( x)
a b
推论1:若函数 在 I 上必为常数.
在区间 I 上满足
则
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
0
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
机动
f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值. 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
1、函数极值的定义
y
y f ( x)
ax
y
1
o
x2
x3
x4
x5
x6
b
x
y
o
x0
x
o
x0
x
2、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x ) 在点 x0 处具有导数, 且 ' f x 在 0 处取得极值,那末必定 ( x0 ) 0 .
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(3) 证明有关中值问题的结论
思考与练习
1. 填空题
1) 函数 条件, 则中值 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
3 15 4 . _____
机动
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2. 设 f ( x) C[ 0 , ], 且在 ( 0 , )内可导, 证明至少存
一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,《柯
西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学
校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》, 《微积
分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 对数学的影
响广泛而深远 . 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展.
y
y f ( x)
o
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
至少存在一点 证: 问题转化为证 f ( ) 作辅助函数
a0b x Nhomakorabeaf (b) f (a ) . 使 f ( ) ba f (b) f (a )
ba 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 (a) b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点 ba 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 即定理结论成立 . 证毕
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推论2:
若函数 则
对于任意的 其中c为常数。
证: 设 则： 由推论1可得： 其中c为常数，即：
得证。
x ln(1 x) x ( x 0) . 例3. 证明不等式 1 x 证: 设 f (t ) ln(1 t ) ,
中值定理条件, 因此应有
y
y f ( x)
o
a
b x
在( a , b ) 内至少存在一点
使 f ( ) 0.
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有且仅有一个小于1 的 例1. 证明方程 正实根 . 证: 1) 存在性 . 5 设 f ( x) x 5 x 1, 则 f ( x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由零点定理知存在 x0 (0 ,1) , 使
第三章 微分中值定理 与导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 应用
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
第一节 微分中值定理
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
第三章
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1、函数极值的定义
定义
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
f ( x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
假设另有
但
矛盾, 故假设不真!
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二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
[ e x f ( x ) ]
x
0
作辅助函数 F ( x) e x f ( x ) , 验证 F ( x ) 在 [ x1 , x2 ]上满足
罗尔定理条件.
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柯西(1789 – 1857)
法国数学家, 他对数学的贡献主要集中
在微积分学, 复变函数和微分方程方面 .
设函数f ( x)在区间(a, b)内有定义, x0是 (a, b)内的一个点, 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x, f ( x) f ( x0 )恒成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值; 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x, f ( x) f ( x0 )恒成立, 就称
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3. 若 f ( x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f ( x ) f ( x ) 的零点.
提示: 设 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 , x1 x2 ,
欲证: ( x1 , x2 ) , 使 f ( ) f ( ) 0
只要证
亦即
e f ( ) e f ( ) 0
在一点 ( 0 , ) , 使 f ( ) f ( ) cot .
提示: 由结论可知, 只需证
即 设
f ( x ) sin x x
F ( x ) f ( x ) sin x
0
验证 F ( x ) 在 [ 0 , ] 上满足罗尔定理条件.
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例2. 证明等式
证: 设
由推论可知 令x=0,得
(常数)
又
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 x I 时 f ( x) C0 , 只需证在 I 上 f ( x) 0,
且 x0 I , 使 f ( x0 ) C0 . 自证: arctan x arc cot x , x ( , ) 2
定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫
做函数 f ( x) 的驻点. 注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点,
但函数的驻点却不一定是极值点.
3 y x , y 例如,
x 0
0, 但x 0不是极值点.
罗尔（ Rolle ）定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
柯西
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结束
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
费马引理
f (b) f (a)
拉格朗日中值定理
F ( x) x
罗尔定理
f (b) f (a) F ( x) x
柯西中值定理
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
即
因为
故
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三、柯西(Cauchy)中值定理
及 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内
至少存在一点
f (b) f (a ) f ( ) . 使 F (b) F (a ) F ( )