线性代数案例(精选)
《线性代数》课程思政的案例及思考
《线性代数》课程思政的案例及思考
1. 案例：
一个公司有三个部门，分别是生产部、销售部和财务部，每个部门都有自己的工作任务，但是三个部门之间也有一定的联系，比如生产部的产品需要销售部去销售，销售部的销售额需要财务部去统计，财务部的财务报表需要生产部和销售部去提供数据。
这个案例可以用线性代数的矩阵来表示，比如可以用一个3×3的矩阵来表示三个部门之间的关系，比如第一行表示生产部和其他部门的关系，第二行表示销售部和其他部门的关系，第三行表示财务部和其他部门的关系，比如：
1 0 1
1 1 0
0 1 1
这个矩阵表示，生产部和财务部有关系，销售部和生产部、财务部都有关系，财务部和生产部、销售部都有关系。
2. 思考：
这个案例可以用来引导学生思考，比如可以让学生思考，如果有四个部门，那么应该如何用矩阵来表示？如果有五个部门，又应该如何用矩阵来表示？这样可以让学生学习如何用矩阵来表示多个部门之间的关系，从而加深对线性代数的理解。
线性代数的应用案例
案例一已知不同商店三种水果的价格、不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵：第一个矩阵为A,第二个矩阵为B,而第三个矩阵为C。
〔1求出一个矩阵,它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？〔2求出一个矩阵,它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？解：〔1设该矩阵为D,则D=BA,即：此结果说明,人员A在商店A购买水果的费用为2.30,人员A在商店B购买水果的费用为3.50,人员B在商店A购买水果的费用为1.65,人员B在商店B购买水果的费用为2.10。
〔2设该矩阵为E,则E=CB,即：此结果说明,城镇1苹果的购买量为7000,城镇1橘子的购买量为12500,城镇1梨的购买量为5500；城镇2苹果的购买量为14000,城镇2橘子的购买量为25000,城镇2梨的购买量为11000。
题后说明：这是一个矩阵的具体应用问题。
其实很显然在没有矩阵的知识前,我们也可以解出这一简单的问题。
此题的一般提法是：现有两个城镇〔城镇1和城镇2；城镇1中有人员A〔1000人和人员B 〔500人,城镇2中有人员A〔2000人和人员B〔1000人；人员A需苹果、橘子和梨分别5、10和3,而人员B需苹果、橘子和梨分别4、5和5；现不妨假设每个城镇中都有两个商店〔商店A和商店B,每个商店内的苹果、橘子和梨的价格均不相同。
商店A中苹果、橘子和梨的价格分别为每斤0.10、0.15和0.10,而商店B中苹果、橘子和梨的价格分别为0.15、0.20、0.10。
现问: 〔1每个商店每个人购买水果的费用是多少？〔2每个城镇每种水果的购买量是多少？解：〔1商店A：人员A购买水果的费用为：人员B购买水果的费用为：商店B:人员A购买水果的费用为：人员B购买水果的费用为：此时如果用矩阵表示的话,有：显然答案与用矩阵算出来的是一致的；同理对于〔2也是一样的。
然而,不难看出利用矩阵求解此问题要简单明了的多。
就此问题而言,数据简单且较少,如果是更为复杂的问题,如：假设这里的城镇有10个,商店有50个的话。
线性代数在天气预报中的应用 案例解析
线性代数在天气预报中的应用案例解析线性代数是一门数学分支，与线性方程组、线性变换以及向量空间等概念相关。
尽管它看起来可能与天气预报没有任何关系，但实际上，线性代数在天气预报中有着重要的应用。
本文将通过案例解析，介绍线性代数在天气预报中的具体应用。
案例一：温度预测温度预测是天气预报中最常见的任务之一。
我们常常需要根据过去几天的气温数据，通过建立数学模型来预测未来几天的气温变化。
线性代数提供了一种有效的方法来解决这个问题。
假设我们有一组数据，包含过去7天的气温情况，分别是28°C、25°C、27°C、26°C、29°C、31°C和30°C。
我们将这组数据表示为向量（28, 25, 27, 26, 29, 31, 30）。
为了建立一个能够预测未来气温的模型，我们利用线性代数中的最小二乘法来拟合一条直线。
我们假设直线的方程为 y = a + bx，其中 y 表示温度，x 表示天数。
通过最小二乘法，我们可以求得最佳拟合直线的参数 a 和 b。
根据这个模型，我们可以预测未来几天的温度。
案例二：风向风速预测风向和风速的预测对于许多行业和领域都有着重要的意义，例如风力发电、飞行器安全等。
线性代数也可以应用于风向风速的预测中。
所示：(80°, 3m/s)(90°, 4m/s)(75°, 3.5m/s)(85°, 3.2m/s)(70°, 2.8m/s)我们将这组数据表示为矩阵形式：[80 3][90 4][75 3.5][85 3.2][70 2.8]为了预测未来的风向和风速，我们可以使用线性代数中的回归分析方法。
通过将矩阵进行分解和计算得到的拟合方程，我们可以得到预测模型。
案例三：降水量预测对于农业、水资源管理等领域来说，降水量的准确预测十分重要。
线性代数可以提供一种有效的方法来建立降水量预测模型。
线性代数应用案例[精华]
![线性代数应用案例[精华]](https://img.taocdn.com/s3/m/0409821fba68a98271fe910ef12d2af90342a85a.png)
行列式的应用案例1 大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。
大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量）。
种食物的量。
解：设123,,x x x 分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列方程组12323123365113337 1.1352347445x x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩ 利用matlab 可以求得x =0.27722318361443 0.39192086163701 0.23323088049177案例2 一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社。
假设在一段时间内，每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如下表所示，问这段时间内，每人的总收入是多少？（总收入=实际收入+支付服务费）解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是123,,x x x 元，根据题意，建立方程组1232133120.20.35000.10.47000.30.4600x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩ 利用matlab 可以求得x =1.0e+003 *1.256484149855911.44812680115274 1.55619596541787案例3医院营养师为病人配制的一份菜肴由蔬菜、鱼和肉松组成，这份菜肴需含1200cal热量，30g 蛋白质和300mg 维生素c ，已知三种食物每100g 中的有关营养的含量如下表，试求所配菜肴中每种食物的数量。
解：设所配菜肴中蔬菜、鱼和肉松的数量分别为123,,x x x 百克，根据题意，建立方程组12312312360300600120039630906030300x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩利用matlab 可以求得x =1.521739130434782.39130434782609 0.65217391304348矩阵的应用案例1 矩阵概念的引入（1）线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的系数(,1,2,,),(1,2,,)i j j a i j n b j n == 按原来的位置构成一数表11121121222212n n n n nnn a a a b a a a b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦该数表决定着上述方程组是否有解，以及如果有解，解是什么等问题，因而研究这个数表就很重要。
线性代数 13个应用案例 【李尚志】
(
)
6.空间中平行四边形的面积
已知 n 维直角坐标空间中三点A(a1,…,an), B(b1,…,bn)，O(0,…,0)。求平面OAB中以OA,OB为 一组邻边的平行四边形OACB的面积SOACB。
B C
O
A
相关知识点
1．行列式的性质 2．基变换，坐标变换 3．标准正交基
解题方法
建立新的直角坐标系，利用行列式的几何意 义计算面积。
解题过程
若ã22 = 0，平移坐标系 ~ ~ ~ ~ a13 a11 x ~ x ~ = + ~ 0 ~ y y 化曲线方程为
~ ~ 0 ~ x a11 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 0 ~ x y 0 a23 ~ = 0 y ~ ~ ~ ~ 0 a a33 1 23 此时，曲线为抛物线及其退化情形。
解题过程
在平面OAB上建立以O为原点的平面直角坐标系。 y
B C
O
A
x 在此坐标系下， A = u x + u y, B = v x + v y 1 2 1 2
解题过程
于是，
S OACB u1 = det u 2 v1 v2 v1 v2
u1 u 2 xT u1 = det v v y T (x y ) u 2 1 2 a1 = det b 1 a1 ⋯ an ⋮ ⋯ bn a n b1 ⋮ bn
(x
解题过程
第二步，旋转坐标系 x ~ cos θ ~ = y sin θ 化曲线方程为
~ a11 ~ 1) 0 y ~ a 13
线性代数实践教学案例(2篇)
第1篇一、案例背景线性代数是数学的一个重要分支，它研究向量空间、线性变换以及线性方程组等问题。
线性代数在物理学、计算机科学、经济学、生物学等领域都有广泛的应用。
为了提高学生对线性代数的理解和应用能力，本案例以某高校线性代数课程为背景，通过设计一系列实践教学活动，引导学生将理论知识与实际问题相结合，培养学生的创新思维和实践能力。
二、案例目标1. 让学生掌握线性代数的基本概念、性质和运算方法；2. 培养学生运用线性代数解决实际问题的能力；3. 培养学生的创新思维和实践能力；4. 提高学生的团队协作能力和沟通能力。
三、案例实施（一）实践教学环节设计1. 理论教学与实践教学相结合在教学过程中，将线性代数的理论知识与实际问题相结合，通过案例分析、实验验证、小组讨论等形式，让学生在理解理论的基础上，掌握线性代数的应用方法。
2. 课堂教学与课外实践相结合课堂教学主要讲解线性代数的基本概念、性质和运算方法，课外实践环节主要引导学生运用所学知识解决实际问题，如数学建模、编程实现等。
3. 小组合作与个人探究相结合将学生分成若干小组，每组负责完成一个实践项目。
在小组合作中，培养学生的团队协作能力和沟通能力；同时，鼓励学生进行个人探究，培养学生的创新思维。
（二）具体实践案例1. 案例一：线性方程组的求解（1）理论教学：讲解线性方程组的解法，如高斯消元法、克莱姆法则等。
（2）实践教学：给出一个实际问题，如求解线性方程组，让学生运用所学知识求解。
（3）实验验证：利用MATLAB等软件，验证线性方程组的解法。
2. 案例二：线性变换的应用（1）理论教学：讲解线性变换的基本概念、性质和运算方法。
（2）实践教学：分析一个实际问题，如图像处理、信号处理等，让学生运用线性变换解决。
（3）实验验证：利用MATLAB等软件，实现线性变换的算法。
3. 案例三：矩阵的特征值与特征向量（1）理论教学：讲解矩阵的特征值与特征向量的概念、性质和计算方法。
线性代数应用案例
线性代数应用案例案例1、指派问题某所大学打算在暑假期间对三幢教学大楼进行维修，该校让三个建筑公司对每幢大楼的修理费用进行报价承包，见下列表格（以1万元人民币为单位）报价数目（万元）教学1楼教学2楼教学3楼建一公司 13 24 10建二公司 17 19 15建三公司 20 22 21在暑假期间每个建筑公司只能修理一幢教学大楼，因此该大学必须把各教学大楼指派给不同的建筑公司，为了使报价的总和最小，应指定建筑公司承包哪一幢教学大楼？解这个问题的效率矩阵为这里有3！＝6种可能指派，我们计算每种指派(方案)的费用。
下面对6种指派所对应矩阵的元素打方框，并计算它们的和。
由上面分析可见报价数的范围是从最小值49万元到最大值62万元。
由于从两种指派方案（4）与（6）得到最小报价总数49万元，因此，该大学应在下列两种方案中选定一种为建筑公司承包的项目：或案例2、交通问题设有A,B,C三国，它们的城市,之间的交通联接情况（不考虑国内交通）如图：根据上图，A国和B国城市之间交通联接情况可用矩阵表示，其中同样，B国和C国城市之间的交通情况可用矩阵用P来表示矩阵M与N的乘积，那么可算出案例3、圆锥曲线方程平面上圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的一般方程为这方程含有六个待定系数，用它们之中不为零的任意一个系数去除其它系数，实际上此方程只有五个独立的待定系数。
用与上面类似的方法，通过五个不同点：的一般圆锥曲线方程为：（9）例一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立一个以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（1天文单位为地球到太阳的平均距离：9300万里）。
他五个不同时间对小行星作五次观测，得到轨道上五个点的坐标分别为（5.764,0.648）（6.286,1.202）（6.759,1.823）（7.168,2.562）与（7.408，3.360）。
由开普勒第一定律知小行星轨道为一椭圆，试建立它的方程。
线性代数在实际生活中应用实例
0
（１） 某医院要购买这七种特效药，但药厂的第 ３ 号药和第 ６ 号 药已经卖完，请问能否用其它特效药配制出这两种脱销的药品？ （２） 现在医院想用这 ７ 种草药配制三种新的特效药，表 ２ 给出 了三种新的特效药的成份，请问能否配制？如何配制？
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ Ｉ １ 号新药 ４０ ６２ １４ ４４ ５３ ５０ ７１ ４１ １４ ２ 号新药 １６２ １４１ ２７ １０２ ６０ １５５ １１８ ６８ ５２ ３ 号新药 ８８ ６７ ８ ５１ ７ ８０ ３８ ２１ ３０
xc1 0.94 0.02 0.3 0.2960 x1 = Ax0 = x = ⋅ = 0.7040 s1 0.06 0.98 0.7
从初始到 ｋ 年，此关系保持不变，因此上述算式可扩展为 x= Axk −= A2 xk −= = Ak x0 ． 2 k 1 经 Ｍａｂｌａｂ 计算可得：
解：（１）把每一种特效药看成一个九维列向量，分析 ７ 个列 向量构成向量组的线性相关性。 若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药； 若向量组线性相关，并且能找到不含 ｕ３，ｕ６ 的一个最大线性无 关组，则可以配制 ３ 号和 ６ 号药品。 经计算该向量组线性相关，一个最大无关组为 ｕ１，ｕ２，ｕ４，ｕ５，ｕ７ 且 ｕ３＝ｕ１＋２ｕ２，ｕ６＝３ｕ２＋ｕ４＋ｕ５． 所以可以配置处这两种脱销的药品。
解 将 Ｍ 和 Ｐ 相乘，得到的矩阵设为 Ｑ，Ｑ 的第一行第一列元 素为 Ｑ（１，１）＝０．１０×４０００＋０．３０×２０００＋０．１５×５８００＝１８７０ 其中 Q =
1870 3450 1670
2220 4020 1940 2070 3810 1830 1960
1740
线性代数案例
线性代数案例线性代数案例Cayler-Hamilton 定理【实验⽬的】1．理解特征多项式的概念2．掌握Cayler-Hamilton 定理【实验要求】掌握⽣成Vandermonde 矩阵的vander 命令、求矩阵特征多项式系数的poly()命令、求矩阵范数的norm 命令及矩阵多项式运算的polyvalm 命令【实验内容】Cayler-Hamilton 定理是矩阵理论中的⼀个⽐较重要的定理，其内容为：若矩阵A 的特征多项式为1121)det()(+-++++=-=n n n n n a s a s a s a A sI s f Λ则有()0,f A =亦即11210n n n n a A a A a A a E -+++++=L假设矩阵A 为Vandermonde 矩阵，试验证其满⾜Cayler-Hamilton 定理。
【实验⽅案】Matlab 提供了求取矩阵特征多项式系数的函数poly()，但是poly()函数会产⽣⼀定的误差，⽽该误差在矩阵多项式求解中可能导致了巨⼤的误差，从⽽得出错误的结论。
在实际应⽤中还有其他简单的数值⽅法可以精确地求出矩阵的特征多项式系数。
例如，下⾯给出的Fadeev-Fadeeva 递推算法也可以求出矩阵的特征多项式。
()1111,1,2,...,,,2,...,kk k k k c tr AR k n k R I R AR c I k n--?=-=??==+=该算法⾸先给出⼀个单位矩阵I ，并将之赋给1R ，然后对每个k 的值分别求出特征多项式参数，并更新k R 矩阵，最终得出矩阵的特征多项式的系数k c 。
该算法可以直接由下⾯的Matlab 语句编写⼀个()1poly 函数实现：Function c=poly1(A) [nr,nc]=size(A);if nc==nr % 给出若为⽅阵，则⽤Fadeev-Fadeeva 算法求特征多项式 I=eye(nc); R=I; c=[1 zeros(1,nc)];for k=1:nc,c(k+1)=-1/k*trace(A*R);r=A*R+c(k+1)*I;endelseif (nr==1 \ nc==1) % 给出为向量时，构造矩阵A=A(isfinite(A));n=length(A) ; % 出去⾮数或⽆界的特征根c=[1 zeros(1,n)];for j=1:nc(2:(j+1))=c(2:(j+1))-A(j).*c(1:j);endelse % 参数有误则给出错误信息error (’Argument must be a vector or a square matrix.’)end.【实验过程】>> A = vander([1 2 3 4 5 6 7]);运⾏结果：A =1 1 1 1 1 1 164 32 16 8 4 2 1729 243 81 27 9 3 14096 1024 256 64 16 4 115625 3125 625 125 25 5 146656 7776 1296 216 36 6 1117649 16807 2401 343 49 7 1>> A运⾏结果：aa1 =+009 *如调⽤新的poly1()函数，则可以得出如下的精确结果。
线性代数应用案例
土建师
电气师
机械师
土建师
0
0.2
0.3
500
电气师
0.1
0
0.4
700
机械师
0.3
0.4
0
600
解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是 元，根据题意，建立方程组
利用matlab可以求得
x =
1.0e+003 *
1.25648414985591
1.44812680115274
1.55619596541787
（1）乙读的最后一本书是甲读的第二本书；
（2）丙读的第一本书是丁读的最后一本书。
问四人的阅读顺序是怎样的？
解：设甲、乙、丙、丁最后读的书的代号依次为A,B,C,D,则根据题设条件可以列出初始矩阵
下面我们来分析矩阵中各位置的书名代号。已知每个人都读完了所有的书，所以并第二次读的书不可能是C,D。又甲第二次读的书是B，所以丙第二次读的书也不可能是B，从而丙第二次读的书是A，同理可依次推出丙第三次读的书是B，丁第二次读的书是C，丁第三次读的书是A，丁第一次读的书是B，乙第二次读的书是D，甲第一次读的书是C，乙第一次读的书是A，乙第三次读的书是C，甲第三次读的书是D。故四人阅读的顺序可用矩阵表示如下：
0.39192086163701
0.23323088049177
案例2一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社。假设在一段时间内，每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如下表所示，问这段时间内，每人的总收入是多少？（总收入=实际收入+支付服务费）
服务者
被服务者
解：各企业产出一元钱的产品所需费用为