2001年考研数学一试题答案与解析
（C）曲线
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩z
= y
f (x,
=0
y)
在点
(0,
0,
f
(0,
0))
的切向量为
{1,
0,
3}
。
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（
D
）
曲
线
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩z
= y
f (x,
=0
y)
在
点
(0, 0,
可判定正确选项。详解 由 y = f (x) 的图形可知，当 x < 0 时， f (x) 单调增加，
从而 f ' (x)> 0 ，所以选项(A)、(C)可以排除，此外由 y = f (x) 的图形可知，在
x > 0 部分 f ' (x)有两个零点，在较小的零点左侧， y = f (x) 单调增加，因此
令 ε = 2, DX = 2 ，则 P{ X − E ( X ) ≥ 2} ≤ D( X )/ 22 = 1 。
2 由于多年以来一直未靠过切比雪夫不等式或极限定理中有关的内容，可能有 不少考生在复习时未予重视，从而对此看来十分简单的填空，一片茫然。束手无 策。 本题难度值为0.60，区分度为0.44，属于第Ⅴ类试题。
二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分)
（1）设函数 f (x) 在定义域内可导， y = f (x) 的图形如下图所示，则导函数
y = f ' (x)的图形为
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。
∂ ∂x
⎜⎜⎝⎜⎛
∂r ∂x
⎠⎞⎟⎟⎟
=
r − x2 r
r2
=
r2 − x2 r3
=
1− r
x2 r3
. 同理
∂r ∂y
=
1 r
−
y2 r3
,
∂r ∂z
=
1 r
−
z2 r3
.
故
div ( gradr ) (1,−2,2)
=
3 r
−
x2
+
y2 r3
+
z2
(1,−2,2)
=
2. 3
典型错误是，不少考生将答案写成 8 i + 5 j + 5 k, 大概是将 div(gradr) 错
及由通解形状要能看出对应得特征根。按解法2，利用已给得信息较少，不必掌 握特征方程与特征根的概念，但计算就显得复杂些。但这种做法对一般微分方程 都实用。麻烦之处在于求导并消去 c1与c2 。
由以上三种解法可见，越少利用方程特点，计算量越大。典型错误是：由特 征方程λ2 − 2λ + 2 = 0 写对应得微分方程却写成 y'' − 2 y' + 2 = 0. ，漏了最后一项 中的y，这是特征方程的概念不清楚。
(λ −(1+ i))(λ −(1−i)) = λ2 − 2λ + 2 = 0, 于是所求方程为 y'' − 2 y' + 2 y = 0.
解法二：将已知解代入 y'' − 2 y' + 2 y = 0. 得
ex sin x⋅(b(c1 −c2 )+ cc1 − 2c2 )+ ex cos x⋅(b(c1 + c2 )+ cc2 + 2c1) ，由于
A2 + A− 2E = 2E ，即(A− E)( A + 2E) = 2E 。从而
2(A− E)−1 = A + 2E,( A− E)−1 = 1 ( A + 2E) ，1 ( A2 + 3A)与 1 (6E − A2) 都不知道怎么来表示( A− E)−1 = ，有写成 A−1 − E−1 ，有写成
ex sin x与ex cos x 线性无关，故 b(c1 − c2 )+ cc1 = 2c2 ,b(c1 + c2 )+ cc2 = −2c1 ，解得
b = −2, c = 2 。显然解法二较解法一麻烦。 解法三：根本不去管它所求微分方程是什么类型（只要是二阶），由通解
y = ex (c1 sin x + c2 cos x) ，求得
解法一：分析 本题考查知识点是梯度和散度的公式和计算，只要按公式
div (
gradr
)
=
∂ ∂x
⎜⎝⎜⎜⎛
∂r ∂x
⎠⎞⎟⎟⎟ +
∂ ∂y
⎝⎜⎜⎜⎛
∂r ∂y
⎠⎞⎟⎟⎟⎟
+
∂ ∂z
⎝⎛⎜⎜⎜
∂r ∂z
⎠⎞⎟⎟⎟
去计算即可。由于
∂r ∂x
=
2x 2r
=
x r
，同理
∂r ∂y
=
y r
,
∂r ∂z
=
z r
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2001 年考研数学一试题一题多解
(NBF 真题计划：公共课最准，专业课最全!)
一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分)
（1）设 y = ex (c1 sin x + c2 cos x)（ c1, c2 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微
27 27 27
误地写成
∂ ∂x
⎜⎛⎜⎜⎝
∂r ∂x
⎞⎠⎟⎟⎟i
+
∂ ∂y
⎜⎝⎛⎜⎜∂∂yr
⎟⎠⎞⎟⎟⎟
j
+
∂ ∂z
⎛⎝⎜⎜⎜
∂r ∂z
⎞⎠⎟⎟⎟
k,
，没有能清楚
divf
是一个数量还是向
量！ 本题难度值为0.43，区分度为0.51，属于第Ⅴ类试题。
∫ ∫ （3）交换二次积分的积分次序：
0
dy
1−y f (x, y)dx =
解法二：写出积分域，画出图形，很直观就可以看出答案。
（4）设矩阵A满足 A2 + A− 4E = O ，其中E为单位矩阵，则( A− E)−1 =
.
答案： 1 (A+ 2E).
2 解法一：分析 本题的考查重点是矩阵的简单运算。给出某矩阵方程，要求某矩 阵（或其逆矩阵）的表达式，或给出某数字矩阵，要求另一与此有关的矩阵或其 逆的具体答案，是常考题。本题是其中较容易的一种形式。最简单的做法是，将 某倍 E 移到等号右边，左边留下的项能提出因式 A− E 。按此思路，将原式写成
本题难度值为0.46，区分度为0.42，属于第Ⅴ类试题，
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（2）设 r = x2 + y2 + z2 , 则 div(gradr)(1,−2,2) =
.
答案： 2 . 3
y' = ex ((c1 − c2 )sin x +(c1 + c2 )cos x), y'' = 2ex (−c2 sin x + c1 cos x), 从这三个式子
消去 c1与c2 ，得 y'' − 2 y' + 2 y = 0. 本题考查要点是：二阶常系数线性齐次微分方程特征方程与特征根的概念以
1 (3A− A2 )−1 。
4 本题难度值为0.57，区分度为0.55，属于第Ⅴ类试题。
（5）设随机变量 X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计
P{ X − E(X ) ≥ 2} ≤
.
答案： 1 。 2
解法一：分析 切比雪夫不等式为：对于任意 ε > 0, P{ X − E ( X ) ≥ ε} ≤ D( X )/ ε2.
f
(0, 0))
的
切
向
量
为
{3, 0,1}
。
【】 答案： C 解法一：分析 本题考查了下面三个基本性质：
（1）
函数 z =
f
(x,
y)
在点
M
0
( x0
,
y0
)存在偏导数
∂z ∂x
M0
,
∂z ∂y
，并不一定能
M0
保证
z = f (x, y) 在点 M0 (x0, y0 )可微分，因此，( A) 项不正确。
f ' (x)> 0 。由此可知(B) 应排除。因此本题选(D)。
（2）设函数
f
(x,
y) 在点(0,0)附近有定义，且
f
' x
(0,
0)
=
3,
f
' y
(0, 0) = 1，则
（A） dz (0,0) = 3dx + dy.
（B）曲线 z = f (x, y) 在点(0, 0, f (0, 0)) 的法向量为 {3,1,1} 。
0
0
∫ ∫ ∫ ∫ 下面的两个答案也是对的：原式= −
2
dx
0 f (x, y)dy =
1
dx
0 f (x, y)dy.
1
1−x
2
1−x
本题难度值为0.61，区分度为0.40，属于第Ⅴ类试题。
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−1
2
.
∫ ∫ 答案：
2
dx
1−x f (x, y)dy.
1
2001-2010考研数学一试题及答案解析
2001-2010考研数学一试题及答案解析安庆师范学院09计1班2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设y ex为某二阶常系数线性齐次微分方程的通(C1sinx C2cosx)(C1,C2为任意常数）解,则该方程为_____________.(2)设r x2 y2 z2,则div(gradr)(1, 2,2)=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:2 0 1dy 1 y2f(x,y)dx＝_____________. 1(4)设矩阵A满足A A4E 0,其中E为单位矩阵,则(A E)=_____________.(5)设随机变量X的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计P{X E(X) 2}_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)设函数f(x)在定义域内可导,y f(x)则y f (x)的图形为(2)设f(x,y)在点(0,0)附近有定义,且(A) fx (0,0) 3,fy (0,0) 1,则dz|(0,0) 3dx d y.(B) 曲面z f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}.1安庆师范学院09计1班(C) 曲线 z f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}.y 0z f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}. y 0 (D) 曲线(3)设f(0) 0,则f(x)在x=0处可导的充要条件为1f(1c osh)存在. h 0h21(C) lim2f(h s inh)存在. h 0h(A) lim1f(1 e h)存在. h 0h1(D) lim[f(2h) f(h)]存在. h 0h(B) lim1 1(4)设A 1 1111111111 4 01 ,B 01 1 0000000000 0 ,则A与B 0 0 (A) 合同且相似. (C) 不合同但相似.(B) 合同但不相似. (D) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y的相关系数等于(A)-1.三、(本题满分6分) (B) 0. (C) 1. 2 (D) 1.arctanex. 求 e2x四、(本题满分6分)设函数z f(x,y)在点(1,1)处可微,且f(1,1) 1, f f|(1,1) 2,|(1,1) 3, (x) f(x, x y f(x,x)).求d3 (x)dxx 1.五、(本题满分8分)2安庆师范学院09计1班1xxarctanx,x 0,(1)n设f(x)= 将f(x)展开成x的幂级数,并求级数 的和. 2x 0,1,n 11 4n 2六、(本题满分7分) 计算I面L(y2 z2)dx (2z2 x2)dy (3x2 y2)dz,其中L是平面x y z 2与柱x y 1的交线,从Z轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设f(x)在( 1,1)内具有二阶连续导数且f (x) 0,试证:(1)对于( 1,1)内的任一x 0,存在惟一的 (x) (0,1),使f(x)=f(0)+xf ( (x)x)成立;(2)lim (x) x 01. 2八、(本题满分8分)2(x2 y2)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程z h(t) (设h(t)长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分6分)设 1, 2, , s为线性方程组Ax 0的一个基础解其中t1,t2为实常数.试问t1,t2满足系, 1 t1 1 t2 2, 2 t1 2 t2 3, , s t1 s t2 1,什么条件时, 1, 2, , s也为Ax 0的一个基础解系.十、(本题满分8分)2已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,Ax线性无关,且满足Ax 3Ax 2Ax. 32(1)记P=（x,Ax,A(2)计算行列式2x）,求3阶矩阵B,使A PBP 1; A E. 3安庆师范学院09计1班十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X服从参数为 ( 0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0 p 1),且中途下车与否相互独立.以Y表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率;(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.十二、(本题满分7分)设总体X服从正态分布N( , 2)( 0),从该总体中抽取简单随机样本n12nXi,求统计量Y (Xi X n i2)2的X1,X2, ,X2n(n 2),其样本均值为 2ni 1i 1数学期望E(Y).2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】由通解的形式可知特征方程的两个根是r1,r2 1 i,从而得知特征方程为2(r r1)(r r2) r2 (r1 r2)r r r12 r 2r 2 0.由此,所求微分方程为y‘‘ 2y‘ 2y 0.(2)【分析】先求gradr.gradr= r r r xyz ,, ,, . x y z rrrx y z() () () xr yr zr再求divgradr=4安庆师范学院09计1班1x21y21z23x2 y2 z22 . =( 3) (3) (3) r rr r rrrr3r22|(1, 2,2) . r3于是divgradr|(1, 2,2)=(3)【分析】这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为1 y 0时1 y 2.由此看出二次积分 dy 112021 y f(x,y)dx是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为dy 1 y f(x,y)dx f(x,y)dxdy. D由累次积分的(A E) 1 1(A 2E). 2(A E) A 2E E. 2故按定义知(5)【分析】根据切比雪夫不等式P{X E(X) } P{X E(X) 2} D(x) 2, 于是D(x)1 . 222二、选择题(1)【分析】当x 0时,f(x)单调增 f‘(x) 0,(A),(C)不对;5安庆师范学院09计1班当x 0时,f(x):增——减——增应选(D).(2)【分析】我们逐一分析. f‘(x):正——负——正,(B)不对,(D)对.关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由f(x,y)在(0,0)存在两个偏导数f(x,y)在(0,0)处可微.因此(A)不一定成立.关于(B)只能假设f(x,y)在(0,0)存在偏导数 f(0,0) f(0,0),不保证曲面z f(x,y)在, x y f(0,0) f(0,0)(0,0,f(0,0))存在切平面.若存在时,法向量n= ，1 {3,1,-1}与{3,1,1}不 y x共线,因而(B)不成立.x t, 关于(C),该曲线的参数方程为 y 0,z f(t,0),它在点(0,0,f(0,0))处的切向量为{t‘,0,df(t,0)}|t 0 {1,0,fx‘(0,0)} {1,0,3}. dt因此,(C)成立.f(x)f(x)f(x) lim lim . x 0x 0 x 0 x xx1f(1 c osh)1 c osh1f(t) lim关于(A):lim2f(1 c osh) lim, h 0hh 01 c oshh22t 0 t1lim2f(1 c osh) f ‘(0) .由此可知h 0h(3)【分析】当f(0) 0时,f(0) lim‘若f(x)在x 0可导 (A)成立,反之若(A)成立足(A),但f ‘(0) f‘(0) .如f(x) |x|满f‘(0)不.关于(D):若f(x)在x 0可导, 1f(2h)f(h)lim[f(2h) f(h)] lim[2 ] 2f‘(0) f‘(0). h 0hh 02hhh 0 (D)成立.反之(D)成立 lim(f(2h) f(h)) f(x)在x 0连续,f(x)在x 0可6安庆师范学院09计1班导.如2x 1,x 0 f(x) 0,x 0 lim满足(D),但f(x)在x 0处不连续,因而f‘(0)也不.再看(C): 1h s inhf(h s inh)h s inhf(t)f(h s inh) lim lim (当它们都时). h 0h2h 0h 0h2h s inhh2th s inhf(t)‘ 0lim注意,易求得lim.因而,若(C)成立.反之若(C)成立(即f(0) h 0t 0h2tf(t)‘有界,任有(C)成立,如f(x) |x|满足(C),但f(0)不. f‘(0) ).因为只要t(4)【分析】由因此,只能选(B). | E A| 4 4 3 0,知矩阵A的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A必能相似对角化,所以A与对角矩阵B相似.作为实对称矩阵,当A B时,知A与B有相同的特征值,从而二次型xAx与TxTBx有相同的正负惯性指数,因此A与B合同.所以本题应当选(A).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如10 10 与, A B 02 03它们的特征值不同,故A与B不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B合同.(5)【分析】解本题的关键是明确X和Y的关系:X Y n,即Y n X,在此基础上利用性质:相关系数 XY的绝对值等于1的充要条件是随机变量X与Y之间存在线性关系,即Y aX b(其中a,b是常数),且当a 0时, XY1;当a 0时, XY 1,由此便知 XY 1,应选(A). 事实上,Cov(X,Y) Cov(X,n X) D X,DY D(n X) DX,由此由相关系数的定义式有XY 1. 7安庆师范学院09计1班三、【解】11 2xdexx 2xx原式= arctaned(e) [earctane 2x] 22e(1 e2x)1 2xdexdexx) = (earctane 2x 2x2e1 e=1 2x(earctanex e x a rctanex) C. 2四、【解】求归结为求 ‘(1).由先求 (1) f(1,f(1,1)) f(1,1) 1. d3 (x)|x 1 3 2(1) ‘(1) 3 ‘(1),复合函数求导法dxd ‘(x) f1‘(x,f(x,x)) f2‘(x,f(x,x))f(x,x), dx ‘(1) f1‘(1,1) f2‘(1,1)[f1‘(1,1) f2‘(1,1)].f1‘(1,1) f(1,1) f(1,1) 2,f2‘(1,1) 3. x y,注意因此‘(1) 2 3(2 3) 17d3 (x)|x 1 3 17 51. dx2五、【分析与求解】关键是将arctanx展成幂级数,然后约去因子x,再乘上1 x并化简即可. ‗直接将arctanx展开办不到,但(arctanx)易展开,即1n2n(arctanx) ( 1)x,|x| 1, 21 x n 0‘ ①( 1)n2n 1积分得arctanx (arctant)dt ( 1) tdt x,x [ 1,1]. ②00n 0n 02n 1x‘ nx2n因为右端积分在x 1时均收敛,又arctanx在x 1连续,所以展开式在收敛区间端点x 1成立.1 x2现将②式两边同乘以得x8安庆师范学院09计1班1 x2( 1)n2n ( 1)n2n ( 1)nx2n 22 arctanx (1 x) x x x2n 12n 12n 1n 0n 0n 0( 1)n2n ( 1)n 12n = x xn 02n 1n 02n 1=1 n( 1) (n 1 11 )x2n 2n 12n 1( 1)n22n 1 x , 2n 11 4n x [ 1,1],x 0上式右端当x 0时取值为1,于是( 1)n22nf(x) 1 x,x [ 1,1]. 21 4nn 14n( 1)n11 1上式中令x 1 [f(1) 1] (2 1) . 222442n 11六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S为平面x y z 2上L所为围部分.由L的定向,按右手法则S取上侧,S的单位法向量n (cos ,cos ,cos ) . 于是由斯托克斯公式得cos I xSy2 z2cos y2z2 x2cos z3x2 y2dS= [( 2y 4zS (2z 6x (2x 2ydS=(4x 2y 3z)dS(利用x y z 2)(6 x y)dS. SS 于是9安庆师范学院09计1班按第一类曲面积分化为二重积分得I (6 x y 2 (6 x y)dxdy, DD其中D围S在xy平面上的投影区域|x| |y| 1(图）.由D关于x,y轴的对称性及被积函数的奇偶性得(x y)dxdy 0 DI 12 dxdy 2 24. D七、【证明】(1)由拉格朗日中值定理, x (1, 1),x 0, (0,1),使f(x) f(0) x f‘( x)f‘‘(x)连续而f‘‘(x) 0,f‘‘(x)在(1, 1)不变号,f‘(x)在(1, 1)严格单( 与x有关);又由调, 唯一.(2)对f‘( x)使用f‘‘(0)的定义.由题(1)中的式子先解出f‘( x),则有f‘( x)‗f(x) f(0). x‘再改写成f(x) f(0) x f‘(0)f( x) f(0) . xf‘( x) f‘(0)f(x) f(0) x f‘(0) , 2 xx解出 ,令x 0取极限得1‘‘f(0)f(x) f(0) x f(0)f( x) f(0)1lim lim/lim . 2‘‘x 0x 0x 0x xf(0)2‘‘‘八、【解】(1)设t时刻雪堆的体积为V(t),侧面积为S(t).t时刻雪堆形状如图所示先求S(t)与V(t).10安庆师范学院09计1班侧面方程是z h(t) 2(x2 y2)h(t)((x,y) D2y2 h2(t)xy:x 2).z4 x x z4yh(t), yh(t).S(t) Dxydxdy .Dxy作极坐标变换:x rcos ,y rsin ,则Dxy:0 2 ,0 r(t). S(t) 12h(t)0d (t032 1[h2(t) 16r22(th(t)48)1312h2(t).用先二后一的积分顺序求三重积分V(t)h(t)dzD dxdy,(x)其中D(z):2(x2 y2)1h(t)h(t) z(t),即x2 y2 2[h2(t) h(t)z].V(t)h(t)2h2(t) h(t)z]dz2[h3(t) 12h(t)3]4h3(t). (2)按题意列出微分方程与初始条件. 体积减少的速度是dVdVdt,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即dt0.9S 将V(t)与S(t)的表达式代入得2dh43h(t)dt 0.913 12h2(t),即dhdt 1310.h(0) 130.(3)解①得h(t) 1310t C. 由②得C 130,即h(t)1310t 130. 令h(t) 0,得t 100.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.①②11安庆师范学院09计1班九、【解】由于 i(i 1,2 s)是 1, 2, s线性组合,又 1, 2, s是Ax 0的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知 i(i 1,2 s)均为Ax 0的解.从 1, 2, s是Ax 0的基础解系,知s n r(A). 下面来分析 1, 2, s线性无关的条件.设k1 1 k2 2 ks s 0,即(t1k1 t2ks) 1 (t2k1 t1k2) 2 (t2k2 t1k3) 3 (t2ks 1t1ks) s 0. 由于 1, 2, s线性无关,因此有t1k1 t2ks 0, tk t k 0,2112 t2k2 t1k3 0,t2ks 1t1ks 0.因为系数行列式(*)t100 0t2t2t10 00s0t2t1 00 t1s (1)s 1t2,000 t2t1所以当t1ss (1)s 1t2 0时,方程组(*)只有零解k1 k2 ks 0. 从而 1, 2, s线性无关.十、【解】(1)由于AP PB ,即A(x,Ax,A2x) (Ax,A2x,A3x) (Ax,A2x,3Ax 2A2x)000 , (x,Ax,A2x) 103 01 212安庆师范学院09计1班000 所以B 103. 01 2(2)由(1)知A B,那么A E B E,从而00|A E| |B E| 13 4.01 1十一、【解】(1)P{Ymm m|X n} Cnp(1 p)n m,0 m n,n 0,1,2, .(2)P{X n,Y m}=P{X n}P{Y m|X n}= nn!mme Cnp(1 p)n m,0 m n,n 0,1,2, .十二、【解】易见随机变量(X1 X n 1),(X2 X n 2), ,(Xn X2n)相互独立都服从正态分布N(2 ,2 2).因此可以将它们看作是取自总体N(2 ,2 2)的一个容量为n的简单随机样本.其样本均值为1n12nXi 2, (Xi X n i) n ni 1i 11n12(X X2) Y. in i n 1i 1n 11Y) 2 2,即E(Y) 2(n 1) 2. n 1样本方差为因样本方差是总体方差的无偏估计,故E( 13安庆师范学院09计1班2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)e dx=xln2x.y(2)已知函数y y(x)由方程e(3)微分方程yy(4)已知实二次型6xy x2 1 0确定,则y (0)= x 0 . y 2 0满足初始条件y 1,y‘x 0 1的特解是222f(x1,x2,x3) a(x12 x2 x3) 4x1x2 4x1x3 4x2x3经正交变换x Py可化成标准型f 6y12,则a=2(5)设随机变量X服从正态分布N( ,率为)( 0),且二次方程y2 4y X 0无实根的概1,则 ＝2二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质:①f(x,y)在点(x0,y0)处连续;②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续; 14安庆师范学院09计1班③f(x,y)在点(x0,y0)处可微; ④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在．若用―P Q‖表示可由性质P推出性质Q,则有(A) ② ③ ①.(C) ③ ④ ①.11n(2)设un 0(n 1,2,3,L),且lim 1,则级数 ( 1)n 1( ) n uunun 1n 1n (B) ③② ①. (D) ③ ① ④.(A) 发散.(B) 绝对收敛. (D) 收敛性根据所给条件不能判定. (C) 条件收敛.(3)设函数y f(x)在(0, )内有界且可导,则(A) 当limf(x) 0时,必有limf (x) 0. x x(B) 当limf (x)存在时,必有limf (x) 0. x xf(x) 0时,必有limf (x) 0. (C) 当lim x 0x 0f (x)存在时,必有limf (x) 0. (D) 当lim x 0x 0(4)设有三张不同平面的方程ai1x a i2y a i3z bi,i 1,2,3,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为分布函数分别为F1(x)和F2(x),则f1(x)和f2(x),15安庆师范学院09计1班(A) f1(x)＋(B) f2(x)必为某一随机变量的概率密度. f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度.(C) F1(x)＋F2(x)必为某一随机变量的分布函数.(D) F1(x)三、(本题满分6分)设函数f(x)在x 0的某邻域内具有一阶连续导数,且f(0) 0,f (0) 0,若F2(x)必为某一随机变量的分布函数. af(h) b f(2h) f(0)在h 0时是比h高阶的无穷小,试确定a,b的值.四、(本题满分7分)已知两曲线y f(x)与yarctanx02 e t dt在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求极限2limnf(). n n五、(本题满分7分)计算二重积分六、(本题满分8分)设函数f(x)在( , )内具有一阶连续导数,L是上半平面(其起点为(a,b),终点为(c,d).记max{xe D2,y2}dxdy,其中D {(x,y)|0 x 1,0 y 1}. y ＞0)内的有向分段光滑曲线,I 1x y2f(xy)]dx 2[y2f(xy) 1]dy, Lyy(1)证明曲线积分I与路径L无关;(2)当ab cd时,求I的值.七、(本题满分7分)x36393xn3L L( x )满足微分方程(1)验证函数y(x) 1 3!6!9!(3n)!16安庆师范学院09计1班y y y ex;x3n(2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数.n 0(3n)!八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D {(x,y)|x 2 y2 x y 75},小山的高度函数为h(x,y) 75 x2 y2 x y.(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为g(x0,y0),试写出g(x0,y0)的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在D的边界线x起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵关, 1十、(本题满分8分)设A,B为同阶方阵,(1)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当A,B均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量X的概率密度为2 y2 x y 75上找出使(1)中g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登A ( 1, 2, 3, 4), 1, 2, 3, 4均为4维列向量,其中 2, 3, 4线性无 2 2 3,求线性方程组Ax 的通解.如果 1 2 3 4,17安庆师范学院09计1班x 1cos,f(x) 220,0 x ,其他.2的次数,求Y的数学期望. 3对X独立地重复观察４次,用Y表示观察值大于十二、(本题满分7分) 设总体X的概率分布为其中 (01)是未知参数,利用总体X的如下样本值23,1,3,0,3,1,2,3,求 的矩估计值和最大似然估计值.2002年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】原式(2)【分析】方程两边对x两次求导得edlnx1l n2xlnxe1.eyy‘ 6xy‘ 6y 2x 0,①②eyy‘‘ e yy‘2 6xy‘‘ 12y‘ 2 0.以x 0代入原方程得y 0,以x y 0代入①得y‘ 0,,再以x y y‘ 0代入②得y‘‘(0) 2.(3)【分析】这是二阶的可降阶微分方程.18安庆师范学院09计1班令y‘ P(y)(以y为自变量),则y‘‘ dy‘dPdP P. dxdxdyx 0 代入方程得yPdPdP P2 0,即y P 0(或P 0,但其不满足初始条件y‘dydy1). 2分离变量得dPdy 0, Py积分得lnP l ny C‘,即P C1(P 0对应C1 0); y由x 0时y 1,P y‘ 11,得C1 .于是又由yx 0 1得C2 1,所求特解为y(4)【分析】因为二次型xAx经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵TA的特征值,所以6,0,0是A的特征值.又因(5)【分析】设事件A表示―二次方程 a ,故a a a 6 00, a 2. iiiy2 4y X 0无实根‖,则A {16 4X 0} {X 4}.依题意,有而即二、选择题1P(A) P{X 4} . 2 4 14 14 1 () , () , 0. 4.2 2 P{X 4} 1 P{X 4} 1 (4 ),(1)【分析】这是讨论函数f(x,y)的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关19安庆师范学院09计1班系.我们知道,f(x,y)的两个偏导数连续是可微的充分条件,若f(x,y)可微则必连续,故选(A).111u(2)【分析】由limn 1 0 n充分大时即N,n N时 0,且lim 0,不妨认为n n ununnn,un 0,因而所考虑级数是交错级数,但不能保证按定义考察部分和1的单调性. unSn ( 1)k 1nk 1nn111k 11 ( ) ( 1) ( 1)k 1ukuk 1ukk 1uk 1k 1( 1)kn 11( 1)n 11l1 ( 1) (n ), ulu1un 1u1k 1ukl 1n原级数收敛. 11 uun 1nn 1n11再考察取绝对值后的级数 ( 2, ).注意n1un 1unun 1n 1n 1unn111发散( )发散.因此选(C). nuun 1n 1nn 1(3)【分析】证明(B)对:反证法.假设limf (x) a 0,则由拉格朗日中值定理, xf(2x) f(x) f‘( )x (x )(当x 时, ,因为x 2x);但这与f(2x) f(x) f(2x) f(x) 2M矛盾(f(x) M).(4)【分析】因为r(A) r(A)一,因此应选(B).20 2 3,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯安庆师范学院09计1班(A)表示方程组有唯一解,其充要条件是r(A) r(A) 3.(C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故r(A) 2和r(A) 3,且A中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D)中有两个平面平行,故r(A) 2,r(A) 3,且A中有两个平行向量共线.(5)【分析】首先可以否定选项(A)与(C),因[f1(x) f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dx 2 1,F1( ) F2( ) 1 1 2 1.f2(x) 则对任何x ( , ),对于选项(B),若f1(x) 1, 2 x 1, 1,0 x 1,0,其他， 0,其他，f1(x)f2(x) 0,f1(x)f2(x)dx 0 1,因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D). X max(X1,X2),而Xi~fi(x),i 1,2,则X的分布函数F(x)恰是进一步分析可知,若令F1(x)F2(x).F(x) P{max(X1,X2) x} P{X1 x,X2 x}P{X1 x}P{X2 x} F1(x)F2(x).三、【解】h 0用洛必达法则.由题设条件知lim[af(h) b f(2h) f(0)] (a b1)f(0).由于f (0) 0,故必有a b1 0.及f (0) 0,则有a 2b 0.四、【解】综上,得a 2,b 1. 由已知条件得21安庆师范学院09计1班f(0) 0,f‘(0) (arctanx0e t dt)‘x2x 0e a rctanx1 x22x 01,故所求切线方程为y x.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得D是正方形区域如图.因在D上被积函数分块表示22五、【分析与求解】2x,x y,max{x,y} 2(x,y) D,y,x y,于是要用分块积分法,用y x将D分成两块:D D1UD2,D1 DI{y x},D2 DI{y x}.I emax{xD122,y2}dxdy emax{xD222,y2}dxdyexdxdy eydxdy 2 exdxdy(D关于y x对称)D1D2D122 dx exdy(选择积分顺序) 2 xexdx ex1x21221e 1.六、【分析与求解】(1)易知Pdx Q dy 原函数,Pdx Q dy1x1dx y f(xy)dx x f(xy)dy 2dy 2(ydx x dy) f(xy)(ydx x dy) yyyxyxxd() f(xy)d(xy) d[ f(t)dt].yy0xyxf(t)dt. y0在y 0上Pdx Q dy 原函数,即u(x,y) 积分I在y 0与路径无关.22安庆师范学院09计1班ca(2)因找到了原函数,立即可得I u(x,y)(c,d)(a,b) d b.七、【证明】与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数(x) 1 x3x6x9x3ny3! 6! 9! L(3n)! L的收敛域是( x ),因而可在( x )上逐项求导数,得x2x5x8x3n 1y‘(x)2! 5! 8! L(3n 1)! L,x4x7x3n 2y‘‘(x) x 4! 7! L(3n 2)! L,所以y‘ y 1 x x2xny‘‘2! L n! L ex( x ).(2)与y‘‘ y‘ y ex相应的齐次微分方程为y‘‘ y‘ y 0,其特征方程为 2 1 0,特征根为 1,2 12 2.x因此齐次微分方程的通解为Y e 2(C1cos2x C2sin2x).设非齐次微分方程的特解为y Aex,将y 代入方程y‘‘ y‘ y ex可得A 11x 3,即有y 3e.于是,方程通解为y Y y e x2(C1cos2x C12sin2x) 3ex.y(0) 110 C1 ,当x 时,有 3 C21 ,C2y‘(0) 0 1C30.22 113.23安庆师范学院09计1班x2 21x3n于是幂级数的和函数为y(x) ex ex( x ) 33n 0(3n)!八、【分析与求解】(1)由梯度向量的重要性质:函数h(x,y)在点M处沿该点的梯度方向gradh(x,y)(x0,y0) { h h, x y(x0,y0) { 2x0 y0, 2y0 x0} 方向导数取最大值即gradh(x,y)(x0,y0)的模, g(x0,y0)(2)按题意,即求g(x,y)求在条件x2 y2 x y 75 0下的最大值点g2(x,y) (y 2x)2 (x 2y)2 5x2 5y2 8x y在条件x2 y2 x y 75 0下的最大值点. 这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数L(x,y, ) 5x2 5y2 8xy (x2 y2 x y 75),L x 10x 8y (2x y) 0,L 10y 8x (2y x) 0,y则有L22 x y x y 75 0.解此方程组:将①式与②式相加得(x y)( 2) 0. x y或 2. 若y x,则由③式得3x 75即x 5,y m5.若22 2,由①或②均得y x,代入③式得x75即xy 于是得可能的条件极值点M1(5, 5),M2( 5,5),M3M4( f(x,y) g2(x,y) 5x2 5y2 8xy在这些点的函数值: f(M1) f(M2) 450,f(M3) f(M4) 150. 现比较24安庆师范学院09计1班因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在M1,M2,M3,M4中取到.因此g2(x,y)在M1,M2取到在D的边界上的最大值,即M1,M2可作为攀登的起点.九、【解】由 2, 3, 4线性无关及 1 2 2 3知,向量组的秩r( 1, 2, 3, 4) 3,即矩阵A的秩为3.因此Ax 0的基础解系中只包含一个向量.那么由1 2 ( 1, 2, 3, 4) 1 2 2 3 0 1 0T知,Ax 0的基础解系是(1, 2,1,0).知,(1,1,1,1)T是Ax 的一个特再由 1 1 1 1 A1 2 3 4 ( 1, 2, 3, )4 1 1 1 11 12 1解.故Ax 的通解是k ,其中k为任意常数. 1 1 0 1十、【解】(1)若A,B相似,那么存在可逆矩阵P,使P 1AP B,故 E B E P1AP P 1 EP P1APP 1( E A)P P 1 E A P E A.但A,B不相似.01 00 (2)令A ,B ,那么 E A 2 E B. 00 00否则,存在可逆矩阵P,使P 1AP B 0.从而A P0P 1 0,矛盾,亦可从r(A) 1,r(B) 而知0A 与B不相似.25安庆师范学院09计1班(3)由A,B均为实对称矩阵知,A,B均相似于对角阵,若A,B的特征多项式相等,记特征多项式的根为 1,L, n,则有相似于 O1 ,B也相似于 O n . n 1A1 1O即存在可逆矩阵P,Q,使PAP于是(PQ十一、【解】由于P{X 11 Q 1BQ. n )A(PQ 1) B.由PQ 1为可逆矩阵知,A与B相似. 11x1 cosdx ,依题意,Y服从二项分布B(4,),则有232232111EY2 DY (EY)2 npq (np)2 4 (4 )2 5. 222十二、【解】1EX 0 2 1 2 (1 ) 2 2 3 (1 2 ) 3 4 , (3 E X). 4ˆ 1(3 X),根据给定的样本观察值计算x 1(3 1303123) 的矩估计量为 84ˆ 1(3 x) 1. 2.因此 的矩估计值 44对于给定的样本值似然函数为L( ) 4 6(1 )2(1 2 )4,lnL( ) ln4 6ln 2ln(1 ) 4ln(1 2 ),dlnL( )62824 2 28 6 . d 1 1 2 (1 )(1 2 )令dlnL( )71 0,得方程12 2 14 3 0,解得( ,不合题意). d 122ˆ 于是的最大似然估计值为26安庆师范学院09计1班2003年硕士研究生入学考试（数学一）试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）1（1）lim(cosx)ln(1 x2)x 0 =______ .（2）曲面z x2 y2与平面2x 4y z 0平行的切平面的方程是______.，则a2.（3）设x2 ancosnx( x )n 0（4）从R2的基 1 1 1 1到基 1 1 , 2 2 的1 0 , 2 1过渡矩阵为_____（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y) 6x,0 x y 1,0,其他，. 27安庆师范学院09计1班则P{X Y 1} ______ .（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布N( ,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则 的置信度为0.95的置信区间是_______ ., (1.645) 0.95.) (注：标准正态分布函数值 (1.96) 0.975二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点.(C) 两个极小值点和两个极大值点.(D)[ ]（2）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman 0,limbn 1,limcn ,则必有n n n(A) an bn对任意n成立. (B) bn cn对任意n成立.(C) 极限limancn不存在. (D) 极限limbncn不存在. [ ] n n（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ]（4）设向量组I： 1, 2, , r可由向量组II： 1, 2, , s线性表示，则[ ] (A) 当r s时，向量组II必线性相关. (B) 当r s时，向量组II必线性相关.(C) 当r s时，向量组I必线性相关. (D) 当r s时，向量组I必线性相关.（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为m n矩阵，现有4个命题：28安庆师范学院09计1班①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A) 秩(B)；②若秩(A) 秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是[ ](A) ①②. (B) ①③.(C) ②④. (D) ③④.（6）设随机变量X~t(n)(n 1),Y(A) Y~1，则X2 [ ] 2(n). (B) Y~ 2(n 1).(C) Y~F(n,1). (D) Y~F(1,n).三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A;(2) 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.四、（本题满分12分） 1 2x( 1)n将函数f(x) arctan展开成x的幂级数，并求级数 的和. 1 2x2n 1n 0，L为D的正向边界.五、（本题满分10分）已知平面区域D {(x,y)0 x ,0 y }试证：(1)(2) x eLLsinydy y e s inxdx xe s inydy y esinxdx; Lsiny s inx2xedy y edx 2 . 六、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？七、（本题满分12分）设函数y=y(x)在( , )内具有二阶导数，且y 0,x x(y)是y=y(x)的反函数.29安庆师范学院09计1班d2xdx3(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程(y s inx)() 0变换为y=y(x)满足的微分2dydy方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0) 0,y (0)八、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，3的解. 2f(xF(t) (t)D(t)2 y2 z2)dv2 f(x y)d 2，G(t) D(t) f(x t 12 y2)d ，2f(x)dx2222222其中 (t) {(x,y,z)x y z t}，D(t) {(x,y)x y t}.(1) 讨论F(t)在区间(0, )ax 2by 3c 0，l2: bx 2cy 3a 0，l3: cx 2ay 3b 0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0.十一、（本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、（本题满分8分）30 *安庆师范学院09计1班设总体X的概率密度为2e 2(x ),x , f(x) x , 0,其中 0是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本X1,X2, ,Xn，记 ˆ min(X1,X2, ,Xn).(1) 求总体X的分布函数F(x);(2) 求统计量 ˆ的分布函数F ˆ(x)；(3) 如果用 ˆ作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性.31安庆师范学院09计1班2003年硕士研究生入学考试（数学一）试题答案一、1、1e2、2x 4y z 53、14、5、3 2 12 1 4,40.49) 6、(39.51二、三、【详解】(1) 设切点的横坐标为x0，则曲线y=lnx在点(x0,lnx0)处的切线方程是y lnx0 1(x x0). x0由该切线过原点知lnx0 1 0，从而x0 e. 所以该切线的方程为y平面图形D的面积A 1x. e 10(ey e y)dy 1e 1. 2（2）切线y 1x与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积为e1V1 e2. 3曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为V2 y2 (e e)dy， 01因此所求旋转体的体积为32安庆师范学院09计1班11 V V2y221 V23 e 0 (e e)dy 6(5e 12e 3).四、【详解】因为f (x) 21 4x2 2 ( 1)n4nx2n,x ( 11n 02,2).又f(0)=4, 所以f(x) f(0) xf (t)dt x0 4 2 [ ( 1)n4nt2n0]dt n 0= ( 1)n4n2n 114 2 x,x ( 1n 02n 12,2).( 1)n因为级数 2n 1收敛，函数f(x)在x 1处连续，所以n 02f(x) ( 14 2 )n4n1x2n 1,x ( 1,1].令x 12，得f(1 (2) 4 2 [ 1)4n1 ( 1)nn 02n 122n 1] 4 ,n 02n 133安庆师范学院09计1班再由f(12) 0，得( 1)nf(1n 02n 142) 4.五、【详解】方法一：(1) 左边= siny00 edy e s inxdx=0(esinx e s inx)dx，右边= e s inydy 00 esinxdx= sinx0(esinx e)dx，所以Lxesinydy y e s inxdx xe s inyLdy y esinxdx. (2) 由于esinx e s inx 2，故由（1）得Lxesinydy y e s inxdx 0(esinx e s inx)dx 2 2.方法二：（1）根据格林公式，得sinyLxed y y e s inxdx (esiny e s inx)dxdy， DLxe s inydy y esinxdx (e s iny e sinx)dxdy. D因为D 具有轮换对称性，所以(esiny e s inx)dxdy=(e s iny e sinx)dxdy，D D故sinyLxedy y e s inxdx Lxe s inydy y esinxdx.(2) 由(1)知siny s inxsinyLxedy y edx (e e sinx)dxdy D= esi nydxdyD e s inxdxdy D= esinxdxdy e s inxdxdy （利用轮换对称性）D D34安庆师范学院09计1班=六、sinx s inx2(e e)dxdy 2dxdy 2 . DD【详解】(1) 设第n次击打后，桩被打进地下xn，第n次击打时，汽锤所作的功为Wn(n 1,2,3, ). 由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以W 11 x0kxdx k2k22x1 2a，Wx2k22k222 xkxdx (x2 x1) 2(x2 a).12由W2 rW1可得x222 a ra2即x22 (1 r)a2.W3 x3xkxdx k(x2 x2) k[x2223223 (1 r)a2].由W23 rW2 rW1可得x23 (1 r)a2 r2a2，从而x23 r r a，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下r r2am.（2）由归纳法，设x r r2 r n 1n a，则Wxn 1n 1 kxdx kx2(x22nn 1x n)=k2[x2n 1(1 r r n 1)a2].由于W2Wnn 1 rWn rn 1 rW1，故得x2 1n 1(1 r r n)a2 rna2,35安庆师范学院09计1班从而xn 1r n 1 r r a a. 1 r n于是limxn 1 n 1a，1 r1a m. 1 r即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下七、【详解】(1) 由反函数的求导公式知dx1 ，于是有dyyy d2xddxd1dx y 1() ==. ()232dydydxy dyy y (y )dy代入原微分方程得y y sinx. ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程y y 0的通解为Y C1e C2e.设方程( * )的特解为y Acosx B sinx，*x x11*，故y s inx，从而y y sinx的通解是221*x x y Y y C1e C2e s inx. 23由y(0) 0,y (0) ，得C1 1,C2 1. 故所求初值问题的解为21x x x. y e e s in2代入方程( * )，求得A 0,B八、【详解】(1) 因为F(t)2 0d d f(r)rsin dr t22 02 00d f(r)rdr0t2 2 f(r2)r2drt 0t，0f(r)rdr36 2 安庆师范学院09计1班2)tF (t) 2t f(t 0f(r2)r(t r)dr[ tf(r22，0)rd]r所以在(0, )上F (t) 0，故F(t) 在(0, ) g(t) t22t2t0f(r)rdr 0f(r)dr [ 0f(r2)rd]r2，则g (t) f(t2) t0f(r2)(t r)2dr 0，故g(t)在(0, )内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0, 因此，当t>0时，F(t) 2G(t).九、【详解】方法一：经计算可得A* 5 2225 2 01 1，P 1 100 ，225 001700B P 1A*P= 25 4 .223从而B 2E 90027 4 ，22537安庆师范学院09计1班9E (B 2E) 22004 ( 9)2( 3)， 72 5故B+2E的特征值为 1 2 9, 3 3.当 1 2 9时，解(9E A)x 0，得线性无关的特征向量为1 2 1 1, 2 0, 0 1所以属于特征值 1 2 9的所有特征向量为，其中k1,k2是不全为零的任意常数.1 2 k1 1 k2 2 k11 k200 1当 3 3时，解(3E A)x 0，得线性无关的特征向量为， 10 3 10 所以属于特征值 3 3的所有特征向量为k3 3 k31，其中k3 0为任意常数.1方法二：设A的特征值为 ，对应特征向量为 ，即A . 由于A 7 0，所以 0.又因A*A AE，故有A* A.A于是有B(P 1 ) P 1A*P(P 1 )A (P 1 )，(B 2E)P1 ( 2)P 1 . 38安庆师范学院09计1班因此，A2为B+2E的特征值，对应的特征向量为P 1 .322，由于 E A 2 32 ( 1)2( 7)22 3故A的特征值为 1 2 1, 3 7.1 1当 时，对应的线性无关特征向量可取为1 2 11 1， 2 0.1当 13 7时，对应的一个特征向量为 3 1.101 1 1由P 1 100 1 0，得P 1 1 ，P 1 11 2 ，P 1 3 1 .001 0 1 1因此，B+2E的三个特征值分别为9，9，3.对应于特征值9的全部特征向量为1k 11 11P 1 k2P 2 k1 1k2 1，其中k1,k2是不全为零的任意常数；0 1对应于特征值3的全部特征向量为k 1 03P 3 k3 1，其中k3是不为零的任意常数.1十、【详解】方法一：必要性设三条直线l1,l2,l3交于一点，则线性方程组ax 2by 3c,bx 2cy 3a, (*) cx 2ay 3b,39安庆师范学院09计1班有唯一解，故系数矩阵A b2c与增广矩阵 b2c 3a的秩均为2， a2b a2b 3c于是 0. ac2 c2a 3ba2b 3c由于 b2c 3a 6(a b c)[a2 b2 c2 a b a c b c]c2a 3b=3(a b c)[(a b)2 (b c)2 (c a)2],但根据题设(a b)2 (b c)2 (c a)2 0，故a b c 0.充分性：由a b c 0，则从必要性的证明可知， 0，故秩() 3.由于a2bb2c 2(ac b2) 2[a(a b) b2] = 2[(a 12b)2 34b2] 0，故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩()=2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线l1,l2,l3交于一点.方法二：必要性x0设三直线交于一点(x，则 y0,y0)0为Ax=0的非零解，其中1a2b3cAb2c3a .c2a3b于是A 0.40安庆师范学院09计1班a2b3c而A b2c3a 6(a b c)[a2 b2 c2 a b a c b c]2a3bc= 3(a b c)[(a b)2 (b c)2 (c a)2],但根据题设(a b)2 (b c)2 (c a)2 0，故a b c 0.充分性：考虑线性方程组ax 2by 3c, bx 2cy 3a, (*) cx 2ay 3b,将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组ax 2by 3c, (* *)bx 2cy 3a.a2b因为 2(ac b2) 2[a(a b) b2] b2c=-[a b(a b)] 0,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线l1,l2,l3交于一点. 十一、【详解】(1) X的可能取值为0，1，2，3，X的概率分布为3 k C3kC3 P{X k} ，k=0,1,2,3. 3C6222即X 0 1 2 3因此EX 0 1991 2020202019913 1 2 3 . 202020202(2) 设A表示事件―从乙箱中任取一件产品是次品‖，由于{X 0}，{X 1}，{X 2}，{X 3}构成完备事件组，因此根据全概率公式，有41安庆师范学院09计1班3P(A) P{X k}P{AX k} k 03= P{X k} k 1k 066 3kP{X k} k 0=1136EX 6 2 14.【评注】本题对数学期望的计算也可用分解法：设X 0,从甲箱中取出的第i件产品是合格品,i 1,从甲箱中取出的第i件产品是次品,则Xi的概率分布为Xi 0 112 12 i 1,2,3.因为X X1 X2 X3，所以EX EX31 E X2 E X3 2.十二、【详解】(1)F(x) xf(t)dt 1 e2(x ),x ,0,x .(2) F ˆ(x) P{ ˆ x} P{min(X1,X2, ,Xn) x} =1 P{min(X1,X2, ,Xn) x} =1 P{X1 x,X2 x, ,Xn x} =1 [1 F(x)]n= 1 e2n(x ),x ,0,x .42安庆师范学院09计1班(3) ˆ概率密度为2n(x )fˆ(x) 2ne,x ,ˆ(x) dFdx0,x .因为E ˆxf ˆ(x)dx 2nxe 2n(x )dx= 12n ，所以 ˆ作为 的估计量不具有无偏性. 43安庆师范学院09计1班2004年数学一试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx上与直线x y 1垂直的切线方程为_________.（2）已知f (ex) xe x，且f(1)=0, 则f(x)= __________ .（3）设L为正向圆周x2 y2 2在第一象限中的部分，则曲线积分为____ . Lxdy 2ydx的值d2ydy 4x 2y 0(x 0)的通解为__________. （4）欧拉方程x2dxdx2210 矩阵B满足ABA* 2BA* E，*（5）设矩阵A 120，其中A为A的伴随矩阵， 001E是单位矩阵，则B _________ .（6）设随机变量X服从参数为 的指数分布，则P{X DX}= ________ .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号(B) , , . (C) , , . (D) , , . [ ]（8）设函数f(x)连续，且f (0) 0,则存在 0，使得[ ](A) f(x)在（0， ) （B）f(x)在( ,0)对任意的x (0, )有f(x)>f(0) . (D) 对任意的x ( ,0)有f(x)>f(0) .（9）设 an 1 n为正项级数，下列结论中正确的是[ ]44安庆师范学院09计1班(A) 若limnan=0，则级数nan 1n收敛.（B）若存在非零常数 ，使得limnan ，则级数nan 1n发散.(C) 若级数an 1n收敛，则limnan 0.n2(D) 若级数an 1n发散, 则存在非零常数 ，使得limnan .n（10）设f(x)为连续函数，F(t)dy1ttyf(x)dx，则F (2)等于[ ](A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0.（11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为[ ]010(A) 100. (B) 101010101 . (C) 001 010100 . (D) 011 011100 . 001（12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有[ ](A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关. (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关. (C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.(D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关.（13）设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的 (0 1)，数u 满足P{X u } ，若P{X x} ，则x等于2[1。
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2001考研数学一试题及答案解析2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)设 y= e x (C1 sin x + C2 cos x) ( C1 , C2 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)设 r= x 2 + y 2 + z 2 ,则 div(gradr)(1, ?2 , 2 )=_____________.(3)交换二次积分的积分次序: (4)设矩阵 A 满足 A (5) 设随机变量2∫0 ?1dy ∫1? y 2f ( x, y )dx ＝_____________.+ A ? 4 E = 0 ,其中 E 为单位矩阵,则 ( A ? E ) ?1 =_____________.X 的方差是 2 ,则根据切比雪夫不等式有估计yP{ X ? E ( X ) ≥ 2} ≤_____________. 二、选择题(本题共 5 小题每小题 3 分,满分 15 分.) 本题共小题,每小题满分 (1)设函数则yf ( x) 在定义域内可导, y = f ( x) 的图形如右图所示,Ox= f ′( x) 的图形为(2)设 (A)f ( x, y ) 在点 (0, 0) 附近有定义,且 f x′ (0,0) = 3, f y′ (0,0) = 1 ,则d z |(0,0) = 3dx + dy .(B) 曲面 z= f ( x, y ) 在 (0, 0, f (0, 0)) 处的法向量为{3,1,1}.(C) 曲线 ?? z = f ( x, y ) 在 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为{1,0,3}. ? y=0 ? z = f ( x, y ) 在 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为{3,0,1}. ? y=0(D) 曲线 ?(3)设 (A)f (0) = 0 ,则 f (x) 在 x =0 处可导的充要条件为1 f (1 ? cosh) 存在. h →0 h2 1 (C) lim 2 f ( h ? sinh) 存在. h →0 h lim1 f (1 ? eh ) 存在. h →0 h 1 (D) lim [ f (2h) ? f (h)] 存在. h →0 h(B)lim?1 ?1 (4)设 A = ? ?1 ? ?11 1 1? ?4 ? ?0 1 1 1? ,B = ? ?0 1 1 1? ? ? 1 1 1? ?00 0 0? 0 0 0? ?,则 A与 B 0 0 0? ? 0 0 0?(B) 合同但不相似. (D) 不合同且不相似.(A) 合同且相似. (C) 不合同但相似.(5)将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 X 和 Y 的相关系数等于 (A)-1. (B) 0. (C)1 . 2(D) 1.三、(本题满分 6 分) 求arctan e x ∫ e 2 x dx .四、(本题满分 6 分) 设函数 z= f ( x, y ) 在点 (1,1) 处可微,且 f (1,1) = 1 ,.?f ?f |(1,1) = 2 , |(1,1) = 3 , ? ( x) = f ( x, ?x ?y f ( x, x)) .求d 3 ? ( x) dxx =1五、(本题满分 8 分)∞ ? 1+ x arctan x, x ≠ 0, (?1) n 设 f (x ) = ? x 将 f (x ) 展开成 x 的幂级数,并求级数∑的和. 2 x = 0, 1, n =1 1 ? 4 n ?2六、(本题满分 7 分) 计算 I 面= ∫ ( y 2 ? z 2 )dx + (2 z 2 ? x 2 )dy + (3x 2 ? y 2 )dz ,其中 L 是平面 x + y + z = 2 与柱Lx + y = 1 的交线,从 Z 轴正向看去, L 为逆时针方向.七、(本题满分 7 分) 设f ( x) 在 (?1,1) 内具有二阶连续导数且 f ′′( x) ≠ 0 ,试证:(1)对于 (?1,1) 内的任一 x ≠ 0 ,存在惟一的θ ( x ) ∈ (0,1) ,使 f (x ) = f (0) + xf ′(θ ( x ) x ) 成立; (2) lim θ ( x ) =x →01 . 2八、(本题满分 8 分) 设有一高度为 h(t ) ( t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程 z= h(t ) ?2( x 2 + y 2 ) (设 h(t )长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 0.9),问高度为 130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时? 九、(本题满分6 分) 设α 1 , α 2 , ? , α s 为线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系, β1= t1α1 + t2α 2 , β 2 = t1α 2 + t2α 3 ,? ,β s = t1α s + t2α1 ,其中 t1 ,t 2 为实常数.试问 t1 ,t 2 满足什么条件时, β 1 , β 2 ,?, β s 也为 Ax = 0 的一个基础解系. 十、(本题满分 8 分) 已知 3 阶矩阵 A 与三维向量 x ,使得向量组x, Ax, A (1)记 P =（ x, Ax, A (2)计算行列式22x 线性无关,且满足 A3 x = 3 Ax ? 2 A 2 x .x ）,求 3 阶矩阵 B ,使 A = PBP ?1 ; A+ E .十一、(本题满分 7 分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ ( λ > 0 )的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p ( 0 < p < 1 ),且中途下车与否相互独立.以 Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有 n 个乘客的条件下,中途有 m 人下车的概率; (2)二维随机变量( X , Y ) 的概率分布.十二、(本题满分 7 分) 设总体X 服从正态分布 N ( ? , σ 2 ) ( σ > 0 ), 从该总体中抽取简单随机样本n 1 2n ∑ X i ,求统计量 Y = ∑ ( X i + X n+i ? 2 X ) 2 的 2n i =1 i =1X 1 , X 2 , ? , X 2n ( n ≥ 2 ),其样本均值为 X =数学期望 E (Y ) .2001 年考研数学一试题答案与解析一、填空题 (1)【分析】由通解的形式可知特征方程的两个根是 r1 , r2= 1 ± i ,从而得知特征方程为(r ? r1 )(r ? r2 ) = r 2 ? (r1 + r2 )r + r1r2 = r 2 ? 2r + 2 = 0 .由此,所求微分方程为y '' ? 2 y ' + 2 y = 0 .(2)【分析】先求 grad gradr. gradr= grad ?? ?r ?r ?r ? ? x y z ? , , ? = ? , , ?. ? ?x ?y ?z ? ? r r r ?? x ? y ? z ( )+ ( )+ ( ) ?x r ?y r ?z r 1 x2 1 y2 1 z2 3 x2 + y 2 + z 2 2 ? 3 )+( ? 3 )+( ? 3) = ? = . r r r r r r r r3 r再求divgrad gradr= grad=(于是divgrad (1, ?2,2) = gradr| grad2 2 |(1,?2,2) = . r 3y ≤0时(3)【分析】这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为 ?1 ≤1 ? y ≤2 .由此看出二次积分∫ dy ∫?121? yf ( x, y )dx 是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为∫0 ?1dy ∫21? yf ( x, y )dx = ∫∫ f ( x, y )dxdy .D由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D :?1 ≤ y ≤ 0,1 ? y ≤ x ≤ 2 .见图.现可交换积分次序原式= ?0 ?1 2 2 0 2 1? x∫dy ∫1? yf ( x, y )dx = ? ∫ dx ∫11? xf ( x, y )dy = ∫ dx ∫1f ( x, y )dy .(4)【分析】矩阵 A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法. 因为故按定义知( A ? E )( A + 2 E ) ? 2 E = A2 + A ? 4 E = 0 , ( A ? E )( A + 2 E ) = 2 E ,即 ( A ? E ) ?1 = 1 ( A + 2E) . 2 ( A ? E) ? A + 2E = E. 2(5)【分析】根据切比雪夫不等式P{ X ? E ( X ) ≥ε } ≤于是D( x)ε 2,P{ X ? E ( X ) ≥ 2} ≤D( x) 1 = . 22 2二、选择题 (1)【分析】当 x < 0 时, f ( x ) 单调增 ? f ( x) ≥ 0 ,(A),(C)不对;'当 x > 0 时, f ( x ) :增——减——增 ? f ( x ) :正——负——正,(B)不对,(D)对.'应选(D). (2)【分析】我们逐一分析.关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由微.因此(A)不一定成立. 关于(B)只能假设 Bf ( x, y ) 在(0,0)存在两个偏导数 ? f ( x, y ) 在(0,0)处可f ( x, y ) 在(0,0)存在偏导数?f (0, 0) ?f (0, 0) , ,不保证曲面 z = f ( x, y ) 在 ?x ?y? ? ?f (0, 0) ?f (0, 0) (0, 0, f (0, 0)) 存在切平面.若存在时,法向量 n= ± ? ，， 1? = ± {3,1,-1}与{3,1,1}不 ? 与 ?y ? ?x ?共线,因而(B)不成立.? x = t, ? 关于(C),该曲线的参数方程为 ? y = 0, ? z = f (t , 0), ?{t ', 0,因此,(C)成立.它在点 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为d f (t , 0)} |t = 0 = {1, 0, f x' (0, 0)} = {1, 0,3} . dt(3)【分析】当f ( x) f ( x) f ( x) ? ? lim = lim ?. x →0 x →0+ x →0 ? x x x 1 f (1 ? cos h) 1 ? cos h 1 f (t ) 关于(A): lim 2 f (1 ? cos h) = lim ? t = 1 ? cos h lim , 2 h →0 h h → 0 1 ? cos h h 2 t →0 + t 1 由此可知 lim 2 f (1 ? cos h) ? ? f +' (0) ? . h →0 h f (0) = 0 时, f ' (0) = lim 若f ( x) 在 x = 0 可导 ? (A)成立,反之若(A)成立 ? f +' (0)'? ? f ' (0)? .如 f ( x) =| x | 满足(A),但 f (0) 不 ? . 关于(D):若 f ( x ) 在 x = 0 可导, ?1 f (2h) f (h) lim [ f (2h) ? f (h)] = lim[2 ? ] = 2 f ' (0) ? f '(0) . h →0 h h →0 2h h? (D)成立.反之(D)成立 ? lim( f (2h) ? f (h)) = 0 ? f ( x) 在 x = 0 连续, ? f ( x) 在 x = 0 可h →0导.如 f ( x ) = ? 再看(C):? 2 x + 1, x ≠ 0 x=0 ? 0,满足(D),但 f ( x ) 在 x = 0 处不连续,因而 f (0) 也不 ? .'lim1 h ? sin h f (h ? sin h) h ? sin h f (t ) f (h ? sin h) = lim ? = lim ? (当它们都 ? 时).2 2 h →0 h h →0 h →0 h h ? sin h h2 t注意,易求得 limh ? sin h f (t ) = 0 .因而,若 f ' (0) ? ? (C)成立.反之若(C)成立 ? lim (即 2 h →0 t →0 h t f (t ) ' f ' (0) ? ).因为只要有界,任有(C)成立,如 f ( x ) =| x | 满足(C),但 f (0) 不 ? . t因此,只能选(B).(4)【分析】由| λ E ? A |= λ 4 ? 4λ 3 = 0 ,知矩阵 A 的特征值是 4,0,0,0.又因 A 是实对称矩阵, A必能相似对角化,所以 A 与对角矩阵 B 相似. 作为实对称矩阵,当 A ?B 时,知 A 与 B 有相同的特征值,从而二次型 xT Ax 与 xT Bx 有相同的正负惯性指数,因此 A 与 B 合同. 所以本题应当选(A). 注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如?1 0 ? ?1 0 ? A=? ? 与 B = ?0 3 ? , ?0 2? ? ?它们的特征值不同,故 A 与 B 不相似,但它们的正惯性指数均为 2,负惯性指数均为 0.所以 A 与 B 合同.(5)【分析】解本题的关键是明确 X 和 Y 的关系: X+ Y = n ,即 Y = n ? X ,在此基础上利用性质:相关系数ρ XY 的绝对值等于 1 的充要条件是随机变量 X 与 Y 之间存在线性关系,即 Y = aX + b (其中 a, b 是常数),且当 a > 0 时, ρ XY = 1 ;当 a < 0 时, ρ XY = ?1 ,由此便知ρ XY = ?1 ,应选(A). 事实上, Cov ( X , Y ) = Cov ( X , n ? X ) = ? DX , DY = D ( n ? X ) = DX ,由此由相关系数的定义式有ρ XY =Cov( X , Y ) = DX DY? DX = ?1 . DX DY三、【解】1 1 ?2 x de x x ?2 x x ] 原式= ? ∫ arctan e d (e ) = ? [e arctan e ? ∫2 x 2 2 e (1 + e 2 x )1 ?2 x de x de x x = ? (e arctan e ? ∫ 2 x + ∫ ) 2 e 1 + e2 x=?1 ?2 x (e arctan e x + e ? x + arctan e x ) + C . 2四、【解】求先求 ? (1) =f (1, f (1,1)) = f (1,1) = 1 .d 3 ? ( x) |x =1 = 3? 2 (1)? ' (1) = 3? ' (1) ,归结为求 ? '(1) .由复合函数求导法 dx d ? ' ( x) = f1' ( x, f ( x, x)) + f 2' ( x, f ( x, x)) f ( x, x) , dx? ' (1) = f1' (1,1) + f 2' (1,1)[ f1' (1,1) + f 2' (1,1)] .注意f1' (1,1) =?f (1,1) ?f (1,1) = 2 , f 2' (1,1) = =3. ?x ?y,因此? ' (1) = 2 + 3(2 + 3) = 17d 3 ? ( x) |x =1 = 3 ×17 = 51 . dx2五、【分析与求解】关键是将 arctan x 展成幂级数,然后约去因子 x ,再乘上 1 + x 并化简即可. '直接将 arctan x 展开办不到,但 (arctan x ) 易展开,即(arctan x)' =x∞ 1 = ∑ (?1) n x 2 n , | x |< 1 , 1 + x 2 n =0①积分得arctan x = ∫ (arctan t )' dt = ∑ (?1) n ∫ t 2 n dt = ∑x 0 n =0 0∞(?1) n 2 n +1 x , x ∈ [?1,1] . ② n = 0 2n + 1∞因为右端积分在 x = ±1 时均收敛,又 arctan x 在 x = ±1 连续,所以展开式在收敛区间端点x = ±1 成立. 1 + x2 现将②式两边同乘以得 x∞ 1 + x2 (?1) n 2 n ∞ (?1)n 2 n ∞ (?1) n x 2 n + 2 arctan x = (1 + x 2 )∑ x =∑ x +∑ x 2n + 1 n = 0 2n + 1 n = 0 2n + 1 n =0(?1) n 2 n ∞ (?1)n ?1 2 n x +∑ x =∑ n = 0 2n + 1 n = 0 2n ? 1∞=1 +∑ (?1) ( 2n + 1 ? 2n ? 1) xn n =1∞112n= 1+ ∑(?1) n 2 2 n x 2 n =1 1 ? 4n∞,x ∈ [?1,1] , x ≠ 0上式右端当 x = 0 时取值为 1,于是f ( x) = 1 + ∑∞(?1) n 2 2 n x , x ∈ [?1,1] . 2 n =1 1 ? 4n∞上式中令 x = 1 ?(?1) n 1 1 ππ 1 ∑ 1 ? 4n2 = 2 [ f (1) ? 1] = 2 (2 × 4 ? 1) = 4 ? 2 . n =1y+ z = 2上L所六、【解】用斯托克斯公式来计算.记 S 为平面 x +为围部分.由 L 的定向,按右手法则 S 取上侧, S 的单位法向量n = (cos α , cos β , cos γ ) =于是由斯托克斯公式得1 (1,1,1) . 3cos γ ? ?z 3x 2 ? y 2 dScos α I = ∫∫Scos β ? ?y 2 z 2 ? x2? ?x y2 ? z2=∫∫ [(?2 y ? 4 z )S1 1 1 + ( ?2 z ? 6 x ) + (?2 x ? 2 y ) ]dS3 3 3=?2 2 ∫∫ (4 x + 2 y + 3z )dS (利用x + y + z = 2) ?3 ∫∫ (6 + x ? y)dS .3 S S于是'2 '2 1+ Zx + Z y = 1+1+1 = 3 .按第一类曲面积分化为二重积分得I =?2 ∫∫ (6 + x ? y ) 3dxdy = ?2∫∫ (6 + x ? y)dxdy ,3 D D | x | + | y |≤ 1 (图）.由 D 关于 x, y 轴的对称性及被积函数的奇其中 D 围 S 在 xy 平面上的投影区域偶性得∫∫ ( x ? y)dxdy = 0D?I = ?12∫∫ dxdy = ?12( 2) 2 = ?24 .D七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理, ? x ∈ (1, ?1) ,x ≠ 0 , ? θ∈ (0,1) ,使f ( x) = f (0) + xf ' (θ x)(θ与x 有关);又由 f '' ( x) 连续而 f '' ( x) ≠ 0 , f'' ( x) 在 (1, ?1) 不变号, f ' ( x) 在 (1, ?1) 严格单调, θ唯一. (2)对f ' (θ x) 使用 f '' (0) 的定义.由题(1)中的式子先解出 f ' (θ x) ,则有f ' (θ x) =再改写成f ( x) ? f (0) . x f ( x) ? f (0) ? xf ' (0) . xf ' (θ x)? f ' (0) =f ' (θ x) ? f ' (0) f ( x) ? f (0) ? xf ' (0) , ?θ = x2 θx解出θ ,令 x → 0 取极限得1 '' f (0) 1 f ( x) ? f (0) ? xf (0) f (θ x) ? f (0)2 lim θ= lim / lim = '' = . 2 x →0 x →0 x→0 2 x f (0) θx' ' '八、【解】先求(1)设 t 时刻雪堆的体积为 V (t ) ,侧面积为S (t ) . t 时刻雪堆形状如图所示S (t ) 与 V (t ) .侧面方程是z = h(t ) ?2( x 2 + y 2 ) h 2 (t ) (( x, y ) ∈ Dxy : x 2 + y 2 ≤ ). 2 h(t ) ??z 4 x ?z 4y =? , =? . ?x h(t ) ?y h(t )?S (t ) = ∫∫Dxy?z 2 ?z 2 h 2 (t ) + 16( x 2 + y 2 ) 1 + ( ) + ( ) dxdy = ∫∫ dxdy . ?x ?y h(t ) Dxy作极坐标变换: x = r cos θ , y = r sin θ ,则Dxy : 0 ≤θ≤ 2π , 0 ≤ r ≤1 h(t ) . 2S (t ) =?1 h (t ) 1 2π dθ∫2 h 2 (t ) + 16r 2 rdr ∫0 0 h(t )3 h (t ) 2π 12 13π 2 ? [h (t ) + 16r 2 ] 2 |0 2 = h (t ). h(t ) 48 12 1=用先二后一的积分顺序求三重积分V (t ) = ∫h(t )dz∫∫ dxdy ,D( x)其中 D ( z ):2( x 2 + y 2 ) 1 ≤ h(t ) ? z (t ) ,即 x 2 + y 2 ≤ [h 2 (t ) ? h(t ) z ] . h(t ) 2V (t ) = ∫h (t )?π2[h 2 (t ) ? h(t ) z ]dz =π1 π [h3 (t ) ? h(t )3 ] = h3 (t ) .2 2 4 dV = ?0.9 S dt(2)按题意列出微分方程与初始条件.dV ,它与侧面积成正比(比例系数 0.9),即 dt π 2 dh 13π 2 将 V (t ) 与 S(t ) 的表达式代入得 3h (t ) = ?0.9 h (t ) ,即 4 dt 12 dh 13 =? . dt 10 体积减少的速度是 ?①②h(0) = 130 .(3)解①得 h(t ) = ? 令 h(t ) = 0 ,得 t13 t +C . 10由②得C = 130 ,即 h(t ) = ?13 t + 130 . 10= 100 .因此,高度为 130 厘米的雪堆全部融化所需时间为 100 小时.九、【解】由于β i (i= 1, 2? s ) 是α1 , α 2 ,?α s 线性组合,又α1 , α 2 ,?α s 是 Ax = 0 的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知β i (i = 1, 2? s ) 均为 Ax = 0 的解. 从α1 , α 2 ,?α s 是 Ax = 0 的基础解系,知 s = n ? r ( A) . 下面来分析β1 , β 2 ,? β s 线性无关的条件.设 k1β1 + k 2 β 2 + ?? k s β s = 0 ,即(t1k1 + t2 ks )α1 + (t2 k1 + t1k2 )α 2 + (t2 k2 + t1k3 )α 3 + ? + (t2 ks ?1 + t1k s )α s = 0 .由于α1 , α 2 ,?α s 线性无关,因此有?t1k1 + t2 k s = 0, ?t k + t k = 0, ?2 1 1 2 ? ?t2 k2 + t1k3 = 0, ? ? ? ?t2 ks ?1 + t1k s = 0. ?因为系数行列式(*)t1 0 0? 0 t2 t2 t1 0 ? 0 0s 0 t2 t1 ? 0 0 = t1s + (?1) s +1 t2 ,? ? ? ?? 0 0 0? t2 t1所以当 t1s s + (?1) s +1 t2 ≠ 0 时,方程组(*)只有零解 k1 = k2 = ? = ks = 0 . 从而β1 , β 2 ,? β s 线性无关.十、【解】(1)由于 AP= PB ,即A( x, Ax, A2 x) = ( Ax, A2 x, A3 x) = ( Ax, A2 x,3 Ax ? 2 A2 x)?0 0 0 ? = ( x, Ax, A x) ?1 0 3 ? , ? ? ?0 1 ? 2 ? ? ?2?0 0 0 ? ? ? . 所以 B = 1 0 3 ? ? ? ?0 1 ? 2 ? ?(2)由(1)知 A ?B ,那么 A + E ? B + E ,从而1 0 0 | A + E |=| B + E |= 1 1 3 = ?4 . 0 1 ?1m = m | X = n} = Cn p m (1 ? p )n ? m , 0 ≤ m ≤ n, n = 0,1, 2,? . 十一、【解】 (1) P{Y (2) P{ X= n, Y = m} = P{ X = n}P{Y = m | X = n}=λnn!m e ? λ ? Cn p m (1 ? p )n ? m , 0 ≤ m ≤ n, n = 0,1, 2,?.十二、【解】易见随机变量 ( X 1 +X n +1 ) , ( X 2 + X n + 2 ) , ? , ( X n + X 2 n ) 相互独立都服从正态分布N (2 ? , 2σ 2 ) .因此可以将它们看作是取自总体 N (2 ? , 2σ 2 ) 的一个容量为 n 的简单随机样本.其样本均值为1 n 1 2n ( X i + X n +i ) = ∑ X i =2 X , ∑ n i =1 n i =1 1 n 1 ∑ ( Xi + X n +i ? 2 X ) 2 = n ? 1 Y . n ? 1 i =11 Y ) = 2σ2 ,即 E (Y ) = 2(n ? 1)σ 2 . n ?1样本方差为因样本方差是总体方差的无偏估计,故 E (。
数一真题答案2001-2014
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）B （2）D （3）D （4）B （5）B （6）A （7）（B ） （8）（D ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）012=---z y x （10）11=-)(f （11）12+=x xyln（12）π （13）[-2,2] （14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x)e (x lim xtdtdt t )e (lim)xln(x dt ]t )e (t [limu u u u x x xx xx xxx 则令（16）【答案】020*********=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y yx y )(y 20-==或舍。
x y 2-=时，21106606248062480633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y04914190141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''⋅+'⋅+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y (所以21-=)(y 为极小值。
2001考研数学一试题及答案解析
2001考研数学一试题及答案解析2001年考研数学一试题及答案解析一、选择题1.设A是n阶实对称矩阵，B是n阶对称矩阵，则下列结论正确的是（）A. AB是对称矩阵B. AB是反对称矩阵C. AB是零矩阵D. AB不一定是对称矩阵答案：D解析：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵，故选D。
2.设A是n阶矩阵，|A|≠0，则下列结论正确的是（）A. A是可逆矩阵B. A的行列式不等于0C. A的秩等于nD. A的特征值不等于0答案：A解析：根据矩阵可逆的定义，可知选项A正确。
3.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则下列结论正确的是（）A. 函数f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值B. 函数f(x)在(a,b)内一定有极值点C. 函数f(x)在[a,b]上一定有极值点D. 函数f(x)在(a,b)内一定有最大值和最小值答案：B解析：根据极值定理，可知选项B正确。
4.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则函数f(x)在[a,b]上（）A. 一定有最大值和最小值B. 一定有极值点C. 一定有极大值和极小值D. 不一定有极值点答案：D解析：函数在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导并不意味着一定有极值点，故选D。
5.若f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且f'(x)>0，则下列结论正确的是（）A. 函数f(x)在[a,b]上单调递减B. 函数f(x)在[a,b]上单调递增C. 函数f(x)在(a,b)内存在极大值D. 函数f(x)在[a,b]上存在极小值答案：B解析：根据导数的定义，可知选项B正确。
二、填空题1.设A是n阶实对称矩阵，且A的主对角线元素都为1，则A的特征值之和为____。
答案：n+1解析：根据实对称矩阵的特征值之和等于主对角线元素之和，故特征值之和为n+1。
2.设z为复数，|z|=1，则z^3的实部为____。
2001-数一真题、标准答案及解析
【】 【答】应选（D）
【详解】 从题设图形可见，在 y 轴的左侧，曲线 y = f ( x) 是严格单调增加的，因此当 x < 0
时，一定有 f ' ( x) > 0 对应 y = f ' ( x) 图形必在 x 轴的上方，由此可排除（A），（C）；
又 y = f ( x) 的图形在 y 轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数 y = f ' ( x) 图
（A）合同且相似
（B）合同但不相似
（C）不合同但相似
（D）不合同且不相似
【答】 应选(A) 【详解】 因为
【】
A 是实对称矩阵，且其特征值为： λ1 = 4, λ2 = λ3 = λ4 = 0, 故存在正交矩阵 Q, 使得
⎡4 0 0 0⎤ Q−1AQ = QT AQ = ⎢⎢0 0 0 0⎥⎥
⎢0 0 0 0⎥ ⎢⎣0 0 0 0⎥⎦ 可见，则 A 与 B 既合同又相似.
∑ 五、设
f
(x)
=
⎧⎪1+ x2 ⎨x ⎪⎩
arctan x, x 1, x = 0
≠
0 ，试将
f
( x) 展开成
x
的幂级数，并求级数
∞ (−1)n
n=1 1 − 4n2
的和.
∑ 【详解】
因1 1+ x2
=
∞
( −1)n
n=1
x2n , x ∈ (−1,1)
-6-
∫ ∑ 故 ar(−1)n x2n+1, x ∈[−1,1]
0
n=1 2n +1
于是
∑ ∑ f ( x) = 1+ ∞ ( ) −1 n x2n+1 + ∞ ( ) −1 n x2n+2
2001-数一真题、标准答案及解析
形在 y 轴一定有两个零点，进一步可排除（B）.
故正确答案为（D）.
（2）设函数
f
( x,
y)
在点 (0, 0)
附近有定义，且
f
' x
( 0, 0)
=
3,
f
' y
( 0, 0 )
= 1，则
| （A） dz = 3dx + dy. (0,0)
（B）曲面 z = f ( x, y) 在点 (0, 0, f (0, 0)) 的法向量为{3,1,1}
(5)将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相
关系数等于
（A）-1
（B）0
（C） 1 2
（D）1 【】
-5-
【答】 应选（A）
【详解】 设 X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则有Y = n − X ，因此 X 和Y 的 相关系数为 r = −1
∫ ∫ (3)交换二次积分的积分次序：
0
dy
1−y f ( x, y)dx =
−1 2
.
∫ ∫ 【答】
2
dx
1− x
f
( x, y)dy .
1
0
【详解】 因为
∫ ∫ ∫ ∫ 0 dy
1−y f ( x, y)dx = −
0
dy
2
f ( x, y)dx,
−1 2
−1 1− y
积分区域为
D = {( x, y) | −1 ≤ y ≤ 0,1− y ≤ x ≤ 2},
ex cos x 线性无关，故 b (c1 − c2 ) + cc1 = 2c2 , b (c1 + c2 ) + cc2 = −2c1 ，解得 b = −2, c = 2
2001年考研数学一试题及完全解析(Word版)
yOx2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )xy e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)设222z y x r++=,则div (grad r ))2,2,1(-=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设矩阵A 满足240A A E +-=,其中E 为单位矩阵,则1()A E --=_____________.(5)设随机变量X 的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y'=的图形为(2)设),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,则(A ) (0,0)|3z d dx dy =+. (B ) 曲面),(y x f z=在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}.(C ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}.(D ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导的充要条件为(A ) 201lim (1cosh)h f h →-存在.(B )01lim(1)h h f e h →-存在. (C ) 201lim (sinh)h f h h→-存在.(D ) 01lim [(2)()]h f h f h h→-存在.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B (A ) 合同且相似. (B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.(D ) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于(A )-1.(B ) 0.(C )12. (D ) 1.三、(本题满分6分)求dx e e xx⎰2arctan .四、(本题满分6分) 设函数),(y x f z=在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,(1,1)|2fx∂=∂,(1,1)|3f y ∂=∂,()(,x f x ϕ=(,))f x x .求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设)(x f =210,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--1241)1(n nn 的和.六、(本题满分7分) 计算dz y x dy x z dx z y I L)3()2()(222222-+-+-=⎰,其中L 是平面2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分) 设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立;(2)01lim ()2x x θ→=.八、(本题满分8分)设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分6分)设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,t t βαα=+,121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =的一个基础解系.十、(本题满分8分) 已知3阶矩阵A 与三维向量x ,使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足x A Ax x A 2323-=.(1)记P =（x A Ax x 2,,）,求3阶矩阵B ,使1-=PBP A ;(2)计算行列式E A +.十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(0λ>)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率; (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分) 设总体X 服从正态分布2(,)N μσ(0σ>),从该总体中抽取简单随机样本12,X X ,,2n X (2n ≥),其样本均值为∑==ni i X n X 2121,求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(的数学期望()E Y .2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 先求grad r .grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭. 再求 div grad r=()()()x y zx r y r z r∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即 2()2A EA E E +-⋅=. 按定义知11()(2)2A E A E --=+.(5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤,于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=.二、选择题(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对.应选(D ).(2)【分析】 我们逐一分析.关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在 (0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===. 因此,(C )成立.(3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)limx f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知 201lim (1cos )h f h h→-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃. 关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0lim((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时).注意,易求得20sin lim0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t→(即 '(0)f ∃).因为只要()f t t有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】 由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当AB 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:XY n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即YaX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++.四、【解】 先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求 32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法 '''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意'1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y ∂==∂. 因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=.五、【分析与求解】 关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121n n n x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n ∞=-=+-∑ ,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )3n αβγ==. 于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dS x y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22]333Sy z z x x y dS --+--+--⎰⎰=(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS ++++=-+-利用. 于是'2'211113x y Z Z ++=++=按第一类曲面积分化为二重积分得(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =+-=-+-⎰⎰, 其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21212(2)24DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一. (2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x xθθθ---⋅=, 解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八、【解】 (1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤. ⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则:02,0()xy D r t θπ≤≤≤≤.⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()()()h t D x V t dzdxdy =⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-. ⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件.体积减少的速度是dV dt -,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即 0.9dVS dt=- 将()V t 与()S t 的表达式代入得 22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-.①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.九、【解】由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.从12,,s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=.由于 12,,s ααα线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-, 所以当112(1)0ss st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十、【解】 (1)由于AP PB = ,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知AB ,那么A E B E ++,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P Xn Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑, 样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即2()2(1)E Y n σ=-.。
2001年考研数学一试题答案与解析
2001年考研数学一试题答案与解析一、(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r rr r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭.再求 divgrad r=()()()x y z x r y r z r ∂∂∂++∂∂∂ =222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是 divgra d r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=. (3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分是二重积0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵的元素没A 有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为 2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即2()2A E A E E +-⋅=.按定义知11()(2)2A E A E --=+. (5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤, 于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=. 二、(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x>时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对.应选(D ).(2)关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面在(,)z f x y =(0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点处的切(0,0,(0,0))f 向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===.因此,(C )成立. (3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)lim x f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知201lim (1cos )h f h h →-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃.关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0l i m ((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但在处不连续()f x 0x =,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时). 注意,易求得20sin lim 0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t →(即 '(0)f ∃).因为只要有界()f t t ,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】 由43||40E A λλλ-=-=,知矩阵的特征A 值是4,0,0,0.又因是实对称A 矩阵,A 必能相似对角化,所以与对角矩A 阵B 相似.作为实对称矩阵,当A B 时,知与有相同的A B 特征值,从而二次型与T x Ax T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确和的关XY系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数的绝XY ρ对值等于1的充要条件是随机变量与之间XY存在线性关系,即Y aX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有(,)1XY Cov X Y DXDX DY DX DYρ-===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xx xde e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x x x xde de e e e e---++⎰⎰=21(arctan arctan )2x x x xe e e e C ---+++. 四、【解】先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法'''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意 '1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y∂==∂.因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=. 五、【分析与求解】关键是将展成arctan x 幂级数,然后约去因子x ,再乘上并化简21x +即可. 直接将展开办arctan x不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n n n n x x n n -∞∞==--++-∑∑ =21111(1)()2121nnn x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当时0x=取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n ∞=-=+∈--∑.上式中令1x =21(1)111[(1)1](21422442n n f nππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记为平面上所S2x y z ++=L为围部分.由L的定向,按右手法则取S 上侧,S 的单位法向量1(cos ,cos ,cos )(1,1,1)3n αβγ== .于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dSx y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=111[(24)(26)(22)]333Sy z z x x y dS --+--+--⎰⎰ =22(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS -++++=-+-⎰⎰⎰⎰利用.于是'2'211113x y Z Z ++=++=.按第一类曲面积分化为二重积分得2(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =-+-=-+-⎰⎰⎰⎰,其中围在平面D S xy 上的投影区域||||1x y +≤(图）.由关于轴的对D ,x y 称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒ 21212(2)24DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一. (2)对使用的定义'()f x θ''(0)f .由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x ff x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x x θθθ---⋅=, 解出θ,令x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===. 八、【解】(1)设时刻雪堆的t 体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示，先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤.⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒ 22222()16()()1()()()xyxyD D z z h t x y S t dxdy dxdy x y h t ∂∂++=++=∂∂⎰⎰⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则1:02,0()2xy D r h t θπ≤≤≤≤. ⇒12()2220013()222221()()16()2113[()16]|().()4812h t h t S t d h t r rdr h t h t r h t h t πθππ=+=⋅+=⎰⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()0()()h t D x V t dz dxdy=⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-.⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件. (3)体积减少的速度是dVdt-,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即将与的表达0.9dV S dt =-()V t ()S t 式代入得22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-. ①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时. 九、【解】由于是线性组(1,2)i i s β= 12,,s ααα 合,又12,,s ααα 是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知均为(1,2)i i s β= 0Ax =的解.从是的基础解12,,s ααα 0Ax =系,知()s n r A =-.下面来分析线12,,s βββ 性无关的条件.设11220s s k k k βββ++= ,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++= .由于线性无关12,,s ααα ,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*) 因为系数行列式1221121122100000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-,所以当112(1)0s s st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ==== .从而线性无关12,,s βββ .十、【解】(1)由于AP PB =,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知A B ,那么A E B E ++ ,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,m mn m n P Y m X n C p p m n n -===-≤≤= .(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X + 相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体的一个容2(2,2)N μσ量为的简单随n 机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑,样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即.2()2(1)E Y n σ=-。
2001年考研数学一真题
(C) lim
h 0
(D) lim
h 0
1 (4)设 A 1 1 1
0 0 ,则 A 与 B 0 0
(A)合同且相似 (C)不合同但相似
(B)合同但不相似 (D)不合同且不相似
(5)将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 X 和 Y 相关系数为 (A) -1 (C) (B)0 (D)1
十二、(本题满分 7 分) 设 X ~ N ( , ) 抽 取 简 单 随 机 样 本 X 1 , X 2 , , X 2 n ( n 2), 样 本 均 值
2
X
n 1 2n , X Y ( X i X n i 2 X ) 2 ,求 E (Y ). i 2n i 1 i 1
x 0
八、(本题满分 8 分) 设 有 一 高 度 为 h(t )(t 为 时 间 ) 的 雪 堆 在 融 化 过 程 , 其 侧 面 满 足 方 程
z h(t )
2( x 2 y 2 ) (设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积 h(t )
成正比(系数为 0.9),问高度为 130 厘米的雪堆全部融化需多少时间? 九、(本题满分 6 分) 设 α1 , α 2 , , α s 为线性方程组 AX O 的一个基础解系,
五、(本题满分 8 分)
d 3 x2 (1) n arctan x x 0 , 将 展开成 x 的幂级数 , 并求 的和. f ( x ) x 2 n 1 1 4n 1 x0
六、(本题满分 7 分) 计算 I
L
( y 2 z 2 )dx (2 z 2 x 2 )dy (3x 2 y 2 )dz ,其中 L 是平面 x y z 2 与
2001数一数三考研数学真题及解析
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设生产函数为Q AL K αβ=,其中Q 是产出量,L 是劳动投入量,K 是资本投入量,而,,A αβ均为大于零的参数,则当1Q=时K 关于L 的弹性为.(2)某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元,若以i W 表示第i 年的工资总额(单位:百万元),则t W 满足的差分方程是.(3)设矩阵111111111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,且秩()3r A =,则k = .(4)设随机变量和的数学期望分别为2-和2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5-,则根据切比雪夫不等式{6}P XY +≥≤.(5)设总体X 服从正态分布2(0,2)N ,而1215,,,X X X L 是来自总体X 的简单随机样本,则随机变量221102211152()X X Y X X ++=++L L 服从 分布,参数为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每题小给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设()f x 的导数在x a =处连续,又'()lim1x af x x a→=--,则 (A ) x a =是()f x 的极小值点. (B ) x a =是()f x 的极大值点. (C ) (,())a f a 是曲线()y f x =的拐点(D ) x a =不是()f x 的极值点, (,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点.(2)设0()()xg x f u du =⎰,其中21(1),01,2()1(1),12,3x x f x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩则()g x 在区间(0,2)内(A ) 无界(B ) 递减(C ) 不连续(D ) 连续(3)设1112131414131211212223242423222113132333434333231414243444443424100010100,,,00101000a a a a a a a a a a a a a a a a A B P a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 21000001001000001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中A 可逆,则1B -等于 (A ) 112A P P -.(B ) 112P A P -.(C ) 112P P A -.(D ) 121P A P -.(4)设A 是n 阶矩阵,α是n 维列向量.若秩0TA αα⎛⎫⎪⎝⎭=秩()A ,则线性方程组(A ) AXα=必有无穷多解.(B ) AX α=必有唯一解.(C ) 00TA X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭仅有零解. (D ) 00TA X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于(A ) 1-.(B ) 0.(C )12.(D ) 1.三、(本题满分5分)设(,,)u f x y z =有连续的一阶偏导数,又函数()y y x =及()z z x =分别由下列两式确定:2xy e xy -=和0sin x txte dt t-=⎰, 求du dx.四、(本题满分6分)已知()f x 在(,)-∞+∞内可导,且lim '(),lim()lim[()(1)],xx x x x c f x e f x f x x c→∞→∞→∞+==---求c 的值.五、(本题满分6分) 求二重积分221()2[1]x y Dy xedxdy ++⎰⎰的值,其中D 是由直线,1y x y ==-及1x =围成的平面区域.六、(本题满分7分)已知抛物线2y px qx =+(其中0,0p q <>)在第一象限内与直线5x y +=相切,且此抛物线与x 轴围成的平面图形的面积为S .(1)问p 和q 为何值时,S 达到最大值?(2)求出此最大值.七、(本题满分6分)设()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足110(1)()(1),x k f k xe f x dx k -=>⎰证明至少存在一点(0,1)ξ∈,使得1'()(1)().f f ξξξ-=-八、(本题满分7分) 已知()n f x 满足'1()()n x n n f x f x x e -=+(n 为正整数),且(1)n ef n =,求函数项级数1()n n f x ∞=∑之和.九、(本题满分9分)设矩阵111111a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,112β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.已知线性方程组Ax β=有解但不唯一,试求: (1)a 的值;(2)正交矩阵Q ,使TQ AQ 为对角矩阵.十、(本题满分8分)设A 为n 阶实对称矩阵,秩(),ij A n A =是()ij n n A a ⨯=中元素ij a 的代数余子式(,1,2,i j =,)n L ,二次型1211(,,,)n nij n i j i j A f x x x x x A===∑∑L .(1)记12(,,,)Tn X x x x =L ,把12(,,,)n f x x x L 写成矩阵形式,并证明二次型()f X 的矩阵为1A -;(2)二次型()Tg X X AX =与()f X 的规范型是否相同?说明理由.十一、(本题满分8分)一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0,977.((2)0,977,φ=其中()x φ是标准正态分布函数.)十二、(本题满分8分)设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形{(,)13,13}G x y x y ≤≤≤≤上的均匀分布,试求随机变量U X Y =-的概率密度()p u .2001年考研数学三试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 当1Q =时,1AL K αβ=,等式两边对L 求导得110.dK dK KAL K AL K dL dL Lαβαβααββ--=+⇒=- 由弹性计算公式知,当1Q =时K 关于L 的弹性为.dK L K L dL K L K ααββ⋅=-⋅=-(2)【分析】 由题设知第t 年的工资总额t W (百万元)是两部分之和,其中一部分是固定追加额2(百万元),另一部分比前一年的工资总额1i W -多20%,即是1t W -的1.2倍.于是可得t W 满足的差分方程是11.2 2.t t W W -=+(3)【分析】 由于11133331111111111111(3)111111111111111111k k k k k kk kA k kk kkkk++++===+311110100(3)(3)(1),00100001k k k k k k -=+=+--- 那么()30.r A A =⇒=而1k =时,显然()1r A =,故必有3k =-.(4)【分析】 ()0,E X Y EX EY +=+=()2cov()2D X Y DX X Y DY DX DY ρ+=+++=+143,=+=231{6}.612P X Y +≥≤=(5)【分析】 根据简单随机样本的性质,1215,,,X X X L 相互独立同分布2(0,2)N ,易见11022X X ++L 与111522X X ++L 也相互独立.并且由于2~(0,2)i X N ,故 1101522222101222221511111~(0,1),()()()~(10),22241()()()~(5).224i X X X N X X X X X X χχ++=++++=++L L L L从而有11011011151115222222221()104~(10,5).12()()54X X X X F X X X X ++++=++++L L L L 即~(10,5)Y F .因此第1空应填:F ,第2空应填:(10,5).二、选择题(1)【分析】 排除法.取21()()2f x x a =--,易验证()f x 满足题目条件,但x a =是()f x 的极大值点而不是极小值点,故(A )和(D )不正确,又(,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点,故(C )也不正确.所以应选(B ).(2)【分析】 可直接用已有结论“若()f x 在[,]a b 上可积,于是0()()xg x f u du =⎰是[,]a b 上的连续函数”.本题中()f x 在[0,2]上分段连续,且有界,从而在[0,1]上可积,于是0()()xg x f u du =⎰在[0,2]上连续,故应选(D ).(3)【分析】 把矩阵A 的14、两列对换,23、两列对换即得到矩阵B ,根据初等矩阵的性质,有 12B APP =或21.B AP P =那么1121()B AP P --==11111212P P A PP A ----=.所以应选(C ).(4)【分析】 因为“0Ax =仅有零解”与“0Ax =必有非零解”这两个命题必然是一对一错,不可能两个命题同时正确,也不可能两个命题同时错误.所以本题应当从(C )或(D )入手.由于0TA αα⎡⎤⎢⎥⎣⎦是1n +阶矩阵,A 是n 阶矩阵,故必有 () 1.0T A r r A n n αα⎡⎤=≤<+⎢⎥⎣⎦因此(D )正确.(5)【分析】 依题意Y n X =-,因此X 和Y 的相关系数等于1-,应选(A ).事实上,(,)(,),,Cov X Y Cov X n X DX DY DX =-=-=因此1.XY ρ===-三、【解】.du f f dy f dz dx x y dx z dx∂∂∂=++∂∂∂ (*)由2xyexy -=两边对x 求导,得()()0.xy dy dy dy y e y xy x dx dx dx x+-+=⇒=- ①又由0sin x txte dt t-=⎰两边对x 求导,得 sin()()(1)1.sin()x xx z dz dz e x z e x z dx dx x z --=⋅-⇒=---②将①、②两式代入(*)式,得()[1].sin()x du f y f e x z f dx x x y x z z∂∂-∂=-+-∂∂-∂四、【解】若0c =,则lim() 1.xx x c x c→∞+=-若0c ≠则 2222lim()lim[(1)].x c cxx c c xc x x x c c e x c x c--→∞→∞+=+=-- 由拉格朗日中值定理,有()(1)'()1f x f x f ξ--=⋅,其中ξ介于1x -与x 之间.那么当x →∞时也有ξ→∞,故lim[()(1)]lim '().x x f x f x f e ξ→∞→∞--==于是题设条件可改写为2ce e =,故1.2c =五、【解】积分区域D 如图所示.222211()()22[1]x y x y DDDy xedxdy ydxdy xyedxdy +++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰,其中111112(1),3y Dydxdy dy ydx y y dy --==-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 22221111()()221x y x y yDxyedxdy ydy xedx ++-=⎰⎰⎰⎰2211(1)21[]0.y y y ee dy +-=-=⎰于是221()22[1].3x y Dy xedxdy ++=-⎰⎰六、【分析】 先求出本题中的面积S .此时S 中有两个参数p 和q ,再根据抛物线2y px qx =+与5x y +=相切,求出p 和q 的关系,带入S 中只剩一个参数,最后求S 的最大值.【解】依题意,抛物线如图所示求.得它与x 轴交点的横坐标为10x =,2q x p=-. 面积323202()().326q qppp qq S px qx dx x x p --=+=+=⎰(*)因直线5x y +=与抛物线2y px qx =+相切,故他们有唯一公共点,由方程组25,x y y px qx+=⎧⎨=+⎩得2(1)50px q x ++-=.其判别式必等于零,即221(1)200,(1)20q p p q =++==-+V . 将上式代入(*)式得34200().3(1)q S q q =+ 因250,03,200(3)'()0,3,3(1)0,3,q q q S q q q q ><<⎧-⎪===⎨+⎪<>⎩于是当3q =时,()S q 取最大值,此时45p =-.从而得S 的最大值是22532.七、【证明】 分析略令1()()xF x xef x -=,于是(1)(1)F f =,由积分中值定理得,存在满足101c k<<<的c ,使得 1110()()()x e k k xe f x dx ce f c F c --==⎰.由原式110(1)()x k f k xe f x dx -=⎰知,()(1)F c F =.从而()F x 在[,1]c 上满足罗尔定理条件,故存在(,1)(0,1)c ξ∈⊂,使'()0F ξ=,即11['()(1)()]0.e f f ξξξξξ----=而10e ξξ-≠,故1'()(1)()0f f ξξξ---=,即1'()(1)().f f ξξξ-=-八、【解】由已知条件可知()n f x 满足一阶线性微分方程'1()(),n xnn f x f x x e --=⇒其通解为()()nxn x f x e C n=+.由条件(1)n ef n=,得0C =,故()n x n x e f x n =.从而111().n x n xn n n n x e x f x e n n∞∞∞=====∑∑∑记1()nn x S x n ∞==∑,其收敛域为[1,1)-,且(0)0S =,当(1,1)x ∈-时,有111'()1n n s x x x∞-===-∑. 故01()(0)'()ln(1).1xxS x S S t dt dt x t=+==---⎰⎰由()S x 与ln(1)x --在1x =-的连续性知,上述和函数公式在1x =-处也成立.于是,当11x -≤<时,有1()()ln(1).x x n n f x e S x e x ∞===--∑九、【分析】 方程组有解且不唯一,即方程组有无穷多解,故可由()()3r A r A =<来求a 的值.而T Q AQ Λ=即1Q AQ Λ-=,为此应当求出A 的特征值与特征向量再构造正交矩阵Q .【解】对方程组Ax β=的增广矩阵作初等行变换,有211111111111101100110112011200(1)(2)2a a a A a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----++⎣⎦⎣⎦⎣⎦.因为方程组有无穷多解,所以()()3r A r A =<,故2a =-.112121121211211E A λλλλλλλλλ---=-+-=-+-----11110012113(3)(3)211233λλλλλλλλλ=-+-=-+=+-----,故矩阵A 的特征值为:13λ=,20λ=,33λ=-.当13λ=时,由212151(3)0,151090,212000E A x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦得到属于特征值3λ=的特征向量1(1,0,1)T α=-.当20λ=时,由112112(0)0,121033,211000E A x ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦得到属于特征值0λ=的特征向量2(1,1,1)T α=.当33λ=-时,由412111(3)0,111012,214000E A x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦得到属于特征值3λ=-的特征向量3(1,2,1)Tα=-.实对称矩阵的特征值不同时,其特征向量已经正交,故只需单位化.1231110,1,2.111βββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎢⎥===-⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥-⎦⎣⎦⎣⎦那么令123(,,)0,Q βββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢==⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦得1.T Q AQ Q AQ Λ=-3⎡⎤⎢⎥==0⎢⎥⎢⎥-3⎣⎦十、【分析】 如果()T f X X AX =,其中A 是实对称矩阵,那么T X AX 就是二次型()f X 的矩阵表示,为此应读出双和号的含义.两个二次型如果其正负惯性指数相同,他们的规范形就一样,反之亦然.而根据惯性定理.经坐标变换二次型的正负惯性指数不变,因而规范形相同.【解】 由于1211(,,,)n n ij n i j i j A f x x x x x A ===∑∑L11121121222212121(,,,),n n n n n nn n A A A x A A A x x x x A A A A x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L L L M M M M L因为()r A n =,知A 可逆,又因A 是实对称的,有111()()T T A A A ---==. 得知1A A A*-=是实对称矩阵,于是A *是对称的,故二次型()f X 的矩阵是1A -. (2)经坐标变换1X A Y -=,有1111()()()()()T T T T T g X X AX A Y A A Y Y A Y Y Y A Y f Y ----=====,即()g X 与()f X 有相同的规范形.十一、【解】 设(1,2,,)i X i n =L 是装运的第i 箱的重量(单位:千克),n 是所求箱数.由条件可以把12,,,n X X X L 视为独立同分布随机变量,而n 箱的总重量12n n T X X X =+++L 是独立同分布随机变量之和.由条件知5;i EX ==50i ET n ==单位:千克). 根据列维-林德伯格中心极限定理,n T 近似服从正态分布(50,25)N n n .箱数n 决定于条件{5000}0.977(2)n p T P φφ≤=≤≈>=.2>,从而98.0199n <,即最多可以装98箱.十二、【解】 由条件知X 和Y 的联合密度为 1,13,13,(,)40,x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩若其他.以(){}()F u P U u u =≤-∞<<∞表示随机变量U 的分布函数.显然,当0u ≤时,()0F u =,当2u ≥时,()1F u =.当02u <<时,如图,则(,)1()(,)4x y u x y ux y G F u f x y dxdy dxdy -≤-≤∈==⎰⎰⎰⎰ 2211[4(2)]1(2)44u u =--=--. 于是,随机变量U 的概率密度为1(2),02,()20,.u u p u ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩若其他。