2020高中数学 第三章 函数的应用 3.1.2 几类不同增长的函数模型(二)校本作业 新人教A版必修1
3.1.2几类不同增长的函数模型（二）
一、选择题
1.下面给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图,那么最能拟合诗
句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函
数模型是( )
A.指数函数：y =2t
B.对数函数：y =log 2t
C.幂函数：y =t 3
D.二次函数：y =2t 2
2.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历
了n 次涨停(每次上涨10%),又经历了n 次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为 ( )
A.略有盈利
B.略有亏损
C.没有盈利也没有亏损
D.无法判断盈亏情况
3. 函数y =x 33x -1的图象大致是( )
4.一个高为H ,盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图所示,现以均匀速度往水瓶中灌水,直到灌满为止,如果水深h 时水的体积为V ,则函数V =f (h )的图象大致是
( )
二、填空题
5.某类产品按工艺共分10个档次,最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次,每件利润增加2元.用同样工时,可以生产最低档产品60件,每提高一个档次将少生产3件产品,则获得利润最大时生产产品的档次是________.
6.一个容器装有细沙a cm 3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为y =a e -bt (cm 3),经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过________min,容
器中的沙子只有开始时的18
. 7. 某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律
近似满足表达式f (x )＝⎩⎨⎧5x -2
， 0≤x ≤135·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
，x >1.《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过________小时后才能开车(精确到1小时)．
三、解答题
8.一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游,甲旅行社说：“如果父亲买全票一张,其余人可
享受半票优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票,按原价23
优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数,分别建立表达式,计算两家旅行社的收费,并讨论哪家旅行社更优惠.
9.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a +b log 3Q 10
(其中a ，b 是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？
10. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明：当20≤x ≤200时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(1)当0≤x ≤200时,求函数v (x )的表达式；
(2)当车流密度x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位：辆/小时)f (x )=x ·v (x )可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)。
高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几种不同增长的函数模型课件1新人教A版必修1
自测自评
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实
验数据(见下表)．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示
这些数据的规律，其中最接近的一个是 ( )
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
答案：B
2．客车从甲地以60 km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，
第三章
3.2
3.2.1
函数的应用
函数模型及其应用
几类不同增长的函数模型(二)
1 ．能根据数据正确选择最适合的函数模型研究相应简单 应用问题． 2 ．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数 增长差异；掌握其重要结论并且用于解决实际问题之中． 3 ．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同 函数类型增长的含义．
基础梳理
y＝ax(a＞1) y＝xn(n＞0) y＝logax(a＞1) logax0＜x＜ax0 y＝2x，y＝x2，y＝log2x
答案：y＝logax(0＜a＜1) y＝ax(0＜a＜1)
y＝xn(n＜0) logax0＜x＜ax0
思考应用
1．建立函数模型时常用的分析方法有哪些？ 解析：建立函数模型常用的分析方法有：关系分析法．即
通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题 的数学模型的方法；列表分析法，即通过列表的方式探求问 题的数学模型的方法；图象分析法，即通过对图象中的数量 关系进行分析来建立问题的数学模型的方法．
2．高中与建立函数模型有关的应用题，常涉及物价、路
程、产值、环保等实际问题，也涉及角度、面积、体积、造价 的最优化问题．解答这类问题的关键在哪？
几类不同增长的函数模型
定义与公式
定义
幂函数是一种特殊的函数形式，通常表 示为`f(x) = x^n`，其中n是实数。
VS
公式
幂函数的公式为f(x) = x^n，其中x为底 数，n为指数。
幂函数增长的特点
增长率
幂函数的增长率随着n的增大而增大，即指数越大，函数增长速 度越快峭，随着x的增大，函数值 增长越来越快。
对数增长的应用
01
金融领域
对数增长函数模型被广泛应用于 金融领域，如股票价格、债券收 益率等变量的预测和分析。
02
03
环境科学
生物学
在环境科学领域，对数增长函数 模型被用于描述污染物在环境中 的扩散和稀释过程。
在生物学中，对数增长函数模型 被用于描述细菌生长、人口增长 等生物学过程。
04
幂函数增长模型
。
工业生产
在工业生产中，如果生产速度与 时间成正比，那么可以使用线性 增长函数来描述生产情况。通过 调整参数 k 可以控制单位时间内
生产的数量。
其他应用
线性增长函数还可以应用于描述 某些物理现象，如弹簧的伸长量
与受到的力成正比等。
02
指数增长函数模型
定义与公式
定义
指数增长函数模型是一种特殊的增长函数，其增长速度与时间成正比，通常表 示为 y = ae^rt，其中 a 为初始值，r 为增长率，t 为时间。
经济问题
高次多项式增长函数可以描述经济现象的变化 ，例如收益曲线、成本曲线等。
信号处理
高次多项式增长函数可以用于信号处理领域，例如频谱分析、滤波等。
06
分段函数增长模型
定义与公式
01
分段函数增长模型是指函数在 各个区间内具有不同的增长趋 势和公式。
几类不同增长的函数模型_课件2
【答案】y＝2x(x∈N*)
4．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物 订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯 利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的 函数关系是________．
【答案】y＝a4x(x∈N*) 解析：设新价为 b 元，则销售价为(1－20%)b，进价为 a(1－25%)，则(1－20%)b－(1－25%)a 是每件的纯利，∴b(1
题型二 指数函数模型的应用 【例2】 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增 长率为1.2%，试解答下面的问题： (1) 写 出 该 城 市 人 口 总 数 y( 万 人 ) 与 年 份 x( 年 ) 的 函 数 关 系 式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到 1年)． (1.01210＝1.127,1.01215＝1.196,1.01216＝1.210) 思路点拨：根据指数函数的增长速度进行求解即可．
1．学校商店出售软皮本和精美铅笔，软皮本每本2元，铅 笔每枝0.5元．该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本，赠 送一枝精美铅笔；(2)按总价的92%付款．某位同学需买软皮本 4本，铅笔若干枝(不少于4枝)，若购买铅笔x枝，总付款为 y(角)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式．
解：付款分两部分，软皮本款和铅笔款，需要分别计算． 由优惠办法(1)，得函数关系式为 y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4且x∈N*)． 由优惠办法(2)，可得函数关系式为 y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4且x∈N*)．
错因分析：错因在于未读懂图象，从而作出错误判断．对 于②，不能依据图象的位置判断位移大小，要经计算判断；对 于④，乙的位移计算错误．
2020人教版A数学必修1 第三章 函数的应用：几类不同增长的函数模型-教师课件
即时训练3-1:芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化 居室、净化空气,又可美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的 市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行市场调研, 从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天) 的数据情况如下表:
解:(1)若模拟函数为 y=ax2+bx+c(a≠0),
a b c 1, 由条件可得 4a 2b c 1.2,
9a 3b c 1.3,
a 0.05, 解得 b 0.35,
c 0.7. 则函数为 y=-0.05x2+0.35x+0.7,
因为8<x0<9,所以取x=9,即经过9年后林区的木材蓄积量能达到300万 立方米.
方法技巧
数学建模中要对所给条件进行简化及合理的假设,从中区分出主要条 件及次要条件,再根据要求选取合适的数学知识来求解.
点击进入 课时作业
t
50
110
250
Q
150
108
150
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的 变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=alogbt;
解:(1)由所提供的数据可知,刻画芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数不 可能是常数函数,若用函数 Q=at+b,Q=a·bt,Q=alogbt 中的任意一个来反映时都应有 a ≠0,且上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以应选用二次 函数 Q=at2+bt+c 进行描述.将表格所提供的三组数据分别代入函数 Q=at2+bt+c,可得
几种不同增长的函数模型课件
5
2.5 = = ·
4 .
5
∴
4
2
= ,
4
1
= ,
2
5
1
2
∴y1= 4 ,x∈[0,+∞).
P2:y2=bx+c 过点(0,0),(4,1),
= 0,
1
1
∴
∴y2= 4x,x∈[0,+∞).
= ,
4
总利润
(2)设用 x 万元投资甲商品,则投资乙商品为(10-x)万元,总利润
P1:y1=axn,P2:y 2=bx+c 如图所示.
(1)求函数 y1,y2 的解析式;
(2)为使投资获得最大利润,应怎样分配投资额,才能获得最大利
润.
【审题策略】函数图象
y1 与 y2 的解析式
y=y1+y2
最大利润
【规范展示】解:(1)P1:y 1=axn 过点(1,1.25),(4,2.5),
为 y 万元.
1
2
5
1
根据题意得 y= + (10-x)
1
4
1
5
)2+
4
5 2
4
2
=- (
=-
-
4
+
+
65
16
5
10
4
4
(0≤x≤10),
当且仅当 = ,
25
2
即 x= =6.25 时,
4
65
ymax= ,投资乙商品为 10-6.25=3.75(万元).
16
所以用 6.25 万元投资甲商品,3.75 万元投资乙商品,才能获得最
人教版第3章 2 几类不同增长的函数模型-2020秋高中数学(共42张PPT)教育课件
，
100
元一年到期的本息和为
100 1＋1009－7 97
≈103.09(元)，收益为 3.09 元．通过以上分析，购买 B 种债券．
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第三章 函数的应用
题型三 根据增大差异确定图象并比较大小
【例 3】 当 2<x<4 时，2x，x2，log2x 的大小关系是( )
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第三章 函数的应用
2．三个变量 y1，y2，y3 随着变量 x 的变化情况如下表：
x1 3 5 7
9
11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与 x 呈对数型函数、呈指数型函数、呈幂函数型函数变化
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A．y＝100x C．y＝x100
B．y＝log100x D．y＝100x
答案：D
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第三章 函数的应用
3．某厂原来月产量为 a,1 月份增产 10%,2 月份比 1 月份减产
10%，设 2 月份产量为 b，则( )
A．a＝b
B．a>b
C．a<b
D．无法比较 a，b 的大小
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第三章 函数的应用
1．当 x 越来越大时，下列函数中增长速度最快的是( )
A．y＝100x
B．y＝2ex
C．y＝log2x
D．y＝x100
解析：选 B 因为指数函数 y＝2ex 的增长是爆炸式的，虽然
必修1课件3.2.1-2几类不同增长的函数模型(二)
结论2：一般地，对于对 y
y=2x
数函数y=logax (a>1)和 幂函数y=xn (n>0)，通 过探索可以发现：
y=x2
y=log2x
1 o 1 2 4
x
在区间(0,+∞)上，随着x的增大，logax增大得 越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽 管在x的一定变化范围内， logax可能会大于xn，但 由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0， 当x>x0时，就会有logax<xn.
y=2x
y=x2 y=log2x
1 o 1 2 4
x
思考6:上述不等式表明，这三个函数模型增长的 快慢情况如何？
结论1：一般地，对 于指数函数y=ax (a>1)和幂函数y=xn (n>0)，通过探索可 以发现：
y
y=2x
y=x2
y=log2x
1 o 1 2 4
x
在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的 一定范围内，ax会小xn，但由于ax的增长快于xn的增 长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.
思考3:设函数f(x)=2x -x2(x>0)，你能用二分法求出 函数f(x)的零点吗？
思考4:在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置 关系如何？请画出其大致图象. y y=2x y=x2 y=log2x
1 o 1 2 4 x
思考5:根据图象，不等式log2x<2x<x2和 log2x<x2<2x成立的x的取值范围分别如何？ y
例1.同一坐标系中，函数y＝x2＋7和y＝2x的图象
如图.试比较x2＋7与2x的大小.
2019-2020学年高中数学必修一第三章《函数的应用》：几类不同增长的函数模型
方案一可以用函数 y 40(x N ) 进行描述； 方案二可以用函数 y 10x(x N ) 进行描述； 方案三可以用函数 y 0.4 2x1(x N ) 进行描述.
3.三个函数模型的增减性如何？ 4.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？
100
y＝0.4×2x－1
80
60 y＝40
40
y＝10x
20
O
24
68
我们看到，底为2的 指数函数模型比线 性函数模型增长速 度要快得多.从中你 对“指数爆炸”的 含义有什么新的理 解？
x 10 12
读图和用图
由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的 函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很 不同。
所以当 x [10,1000] 时，log7 x 1 0.25
x
说明按模型 y log7 x 1 奖励奖金不会超过利润的25%
综上所述，模型
y l确og实7 x能符1 合公司要求。
探究三： 指数函数、幂函数、对数函数增长的差异比较
1.列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图象（a=2).
最后的结论：
尽管对数函数 y=logax(a>1),指数函数 y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区 间（0， +∞）上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个 “档次”上.随着x的增大，y=ax（a>1）的增长速度越来越快，会超过并 远远大于y=xn（n>0）的增长速度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越 慢.因此总会存在一个x0，当x>x0 时，就有logax<xn<ax.虽然幂函数 y=xn(n>0)增长快于对数函数 y=logax(a>1)增长，但它们与指数增长比起 来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”.
函数模型及其应用几种不同增长的函数模型课件
03
工程学
在工程学中，对数增长函数可以用来描述某些物理量的变化过程。例如，
材料的疲劳寿命与应力之间的关系往往呈现出对数增长的趋势。
05
幂次增长函数模型
幂次增长函数定义与性质
定义：幂次增长函数是指形如 y = ax^m (a > 0, m ≠ 0) 的函数，其中 a 是常数，m 是实数。
性质
当 m > 0 时，函数在整个定义域内单 调递增；
性质
线性增长函数具有比例性、可加 性和可减性。即当自变量x增加或 减少一个单位时，函数值y按一定 比例增加或减少。
线性增长函数图像及特点
图像
线性增长函数的图像是一条直线， 斜率为k，截距为b。
直线性
图像是一条直线，表示函数值 随自变量变化而均匀变化。
比例性
图像上任意两点的纵坐标之差 与横坐标之差的比值相等，即 斜率k。
函数性质
包括单调性、奇偶性、周期性、连续性等。这些性质反映了函数图像的变化规律 和函数值的分布特征。
常见函数类型及图像
一次函数
形如$y=kx+b(k neq 0)$的函数。图像是 一条直线，斜率为$k$，截距为$b$。
三角函数
如正弦函数、余弦函数、正切函数等。它 们的图像分别是正弦曲线、余弦曲线和正 切曲线，具有周期性和对称性。
统计学
在统计学中，线性增长函数可用于进 行数据拟合和预测分析，如回归分析 中的线性回归模型。
03
指数增长函数模型
指数增长函数定义与性质
01
定义：指数增长函数是一种形如 y = a * b^x （其中 a ≠ 0， b > 1）的函数，表示自变量 x 的指数增长。
02
性质
高中数学几类不同增长的函数模型
3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型【知识提炼】三种函数模型的性质y=a x(a>1)y=log x(a>1)y=x n(n>0)a在(0,+∞)上增函数增函数 增函数的增减性______________图象的变化随x 增大逐渐近似 随x 增大逐渐近随n 值而不同 趋势与 y 轴 平行 似与 x 轴平行②存在一个x0,当x>x0时,有x n a【即时小测】1.思考下列问题(1)在区间(0,+∞)上,当a>1,n>0时,是否总有log a x<x n<a x成立?提示:不是,但总存在x0,使得当a>1,n>0,x>x0时,log a x<x n<a x成立.(2)能否举例说明“指数爆炸”增长的含义?提示:如1个细胞分裂x次后的数量为y=2x,此为“指数增长”,其“增长量”是成倍增加的,从图象上看出,存在x0,当x>x0时,数量增加特别快,足以体现“爆炸”的效果.2.已知变量y=1+2x,当x减少1个单位时,y的变化情况是()A.y减少1个单位B.y增加1个单位C.y减少2个单位D.y增加2个单位【解析】选C.由y=1+2x可知,当x减少1个单位时,y相应减少2个单位.3.某超市每月的利润的平均增长率为2%,若12月份的利润是当年1月份利润的m倍,则m等于()A.(1.02)12B.(1.02)11C.(0.98)12D.(0.98)11【解析】选B.设1月份的利润为a,则当年12月份的利润为a(1+2%)11,故m=(1.02)11.4.在函数y=3x,y=log3x,y=3x,y=x3中增长速度最快的是. 【解析】由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判断出y=3x的增长速度最快.答案:y=3x5.如图所示曲线反映的是函数模型的增长趋势.【解析】由图象知,此函数的增长速度越来越慢,因此反映的是幂函数模型或对数型函数模型的增长速度.答案:幂函数或对数型【知识探究】知识点几类函数模型的增长差异观察图形,回答下列问题:问题1:函数t(x),f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值有什么共同的变化趋势?问题2:函数t(x),f(x),g(x),h(x)增长的速度有什么不同?【总结提升】1.四类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型.(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.2.几类函数模型的选择(1)一次函数模型:当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数,一次函数的图象为直线.(2)二次函数模型:二次函数是常用的重要模型,y是x或其他量的二次函数,常用来求最大值或最小值问题,要注意定义域.(3)指数函数模型、对数函数模型:当问题中每期(或每年、每段等)的增长率相同,则为指数函数模型或对数函数模型,一般与增长率、衰减率、利息等现实生活联系紧密.【知识拓展】求解数学应用题必须突破的三关(1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审题,找出关键词、句,理解其意义.(2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题.(3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.【题型探究】类型一几类函数模型的增长差异【典例】1.(2015·怀柔高一检测)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:关于x呈指数函数变化的变量是.2.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,e,a,b,c,d为分界点).【解题探究】1.典例1表格中四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化最快的是哪一组?提示:由表中的数据可以看出y2随着x变化,数值增长的速度最快.2.典例2中判断各曲线对应的函数的关键是什么?1,e,a,b,c,d的含义是什么?提示:关键是依据指数函数、对数函数、幂函数的增长速度,判断各曲线对应的函数.1,e,a,b,c,d的含义是相应曲线交点的横坐标.【解析】1.从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.从表格中可以看出,变量y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,根据指数函数变化的特点,可知变量y2随着x变化呈指数函数变化.答案:y22.由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)= ,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.由题图知,当0<x<1时,f(x)>h(x)>g(x);当1<x<e时,f(x)>g(x)>h(x);当e<x<a时,g(x)>f(x)>h(x);当a<x<b时,g(x)>h(x)>f(x);当b<x<c时,h(x)>g(x)>f(x);当c<x<d时,h(x)>f(x)>g(x);当x>d 时,f(x)>h(x)>g(x).【方法技巧】常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升, 其增长速度不变.(2)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=ab x+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlog a x+n(m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.(4)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0, α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型.【变式训练】有一组数据如下表:现准备用下列函数中的一个近似表示这些数据满足的规律,则其中最接近的一个是()A.v=log2tB.v=tC.v=D.v=2t-2【解析】选C.取t=1.99≈2,代入A,得v=log22=1≠1.5,代入B,得v==-1≠1.5,代入C,得v==1.5,代入D,得v=2×2-2≠1.5.经计算可知最接近的一个是选项C.类型二指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【典例】(2015·赤峰高一检测)函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数.(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2011),g(2011)的大小.【解题探究】本例图中两图象分别过哪几个关键点?增加的速度怎样?它们交点的横坐标x1,x2大约在什么范围内?提示:曲线C1过原点,曲线C2与y轴有交点,曲线C2增加的速度快.又因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10.【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.(2)因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2011>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2 时,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2011)>g(2011).又因为g(2011)>g(6),所以f(2011)>g(2011)> g(6)>f(6).【延伸探究】1.(改变条件)若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解(1) 呢?【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.2.(改变问法)本例条件不变,(2)中结论若改为:试结合图象,判断f(8),g(8),f(2015),g(2015)的大小.【解析】因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<8<x2,2015>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),所以f(8)<g(8).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2015)>g(2015).又因为g(2015)>g(8),所以f(2015)>g(2015)>g(8)>f(8).【方法技巧】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.【补偿训练】(2015·包头高一检测)函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示:(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数.(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).【解析】(1)曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx.(2)当0<x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时,f(x)>g(x);当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,g(x)=f(x).【延伸探究】1.(改变问法)本题条件不变,试根据图象确定x1与1,x2与10的大小关系 .【解析】根据C2对应的函数关系式为f(x)=l gx,结合图象与x的交点为(1,0)可知,x1<1;由于f(10)=l g10=1,g(10)=0.3×10-1=2,g(10)>f(10),根据图象,可知x2<10.2.(改变问法)本题条件不变,试根据图象比较f(1.5),g(1.5),f(2015),g(2015)的大小.【解析】由于f(3)=lg3>0,g(3)=0.3×3-1<0,f(10)=lg10=1,g(10)=0.3×10-1=2,g(10)>f(10),结合图象可知3<x2<10,由于当1<x<3时,f(x)>g(x),故f(1.5)>g(1.5);由于x2<10,故当x>10时,g(x)>f(x),故g(2015)>f(2015),又因为f(2015)>f(1.5),所以g(2015)>f(2015)>f(1.5)>g(1.5).类型三函数模型的选择问题【典例】1.(2015·临汾高一检测)某公司为了适应市场需求,对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系,则可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数2.(2015·邯郸高一检测)某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本价为25元,因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出,为了净化环境,工厂设计两套方案对污水进行处理,并准备实施.方案一:工厂的污水先净化处理后再排出,每处理1立方米污水所用原料费2元,并且每月排污设备损耗费为30000元;方案二:工厂将污水排到污水处理厂统一处理,每处理1立方米污水需付14元的排污费.问:(1)工厂每月生产3000件产品时,你作为厂长,在不污染环境,又节约资金的前提下应选择哪种方案?通过计算加以说明.(2)若工厂每月生产6000件产品,你作为厂长,又该如何决策呢?【解题探究】1.典例1中由“初期利润增长迅速,后来增长越来越慢”,联想到哪类函数的增长特性?提示:符合对数函数的增长特点.2.典例2中要进行两种方案的选择,需对两种方案进行什么比较?提示:需分为每月生产3000件产品,每月生产6000件产品两种情况下分别计算出两种方案的利润,进行比较利润大小,作出选择.【解析】1.选D.一次函数保持均匀的增长,不符合题意;二次函数在对称轴的两侧有增也有降;而指数函数是爆炸式增长,不符合“增长越来越慢”;因此,只有对数函数最符合题意,先快速增长,后来越来越慢.2.设工厂每月生产x件产品时,依方案一的利润为y1,依方案二的利润为y2,由题意知y1=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.(1)当x=3000时,y1=42000,y2=54000,因为y1<y2,所以应选择方案二处理污水.(2)当x=6000时,y1=114000,y2=108000,因为y1>y2,所以应选择方案一处理污水.【方法技巧】解函数应用题的四个步骤第一步:阅读、理解题意,认真审题.读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量,善于联想、化归,实现应用问题向数学问题的转化.。