2016文科数学高考真题分类第十一单元概率分析

第十一单元 概率

K1 随事件的概率

18．K1，K6，K8[2016·全国卷Ⅱ] 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

(1)记A 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P (A )的估计值； (2)记B 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；

(3)求续保人本年度平均保费的估计值．

18．解：(1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50

200

＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.

(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为

30＋30

200

＝0.3，故P (B )的估计值为0.3. (3)由所给数据得

调查的0．85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a . 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .

K2 古典概型 3．K2[2016·全国卷Ⅰ] 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )

A.13

B.12

C.23

D.56

3．C [解析] 从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花在一个花坛的种法有2种，故所求概率P ＝46＝23.

5．K2[2016·全国卷Ⅲ] 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )

A.815

B.18

C.115

D.130

5．C [解析] 由古典概型公式得所求概率P ＝1×13×5＝1

15

.

6．J2，K2[2016·北京卷] 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825 D.925

6．B [解析] 甲被选中的概率为C 14

C 25＝25

.

7．K2、K4[2016·江苏卷] 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．

7.5

6

[解析] 本题为古典概型，基本事件共有36个，点数之和大于等于10的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，6)，(6，5)，(6，4)，共计6个基本事件，故点数之和小于10的有30

个基本事件，所求概率为5

6

.

11．K2[2016·上海卷] 某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________．

11.1

6 [解析] 将四种水果每两种分为一组，有C 24＝6(种)方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为16

.

13．J1，K2[2016·四川卷] 从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．

13.1

6 [解析] 由题意可知，(a ，b )可能的情况有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，2)，(3，8)，(3，9)，(8，2)，(8，3)，(8，9)，(9，2)，(9，3)，(9，8)，共12种情况，其中只有(2，8)，(3，9)满足题意，故所求概率为212＝1

6

.

16．K2[2016·山东卷] 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图1-4所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域

中的数．设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下：

①若xy ≤3，则奖励玩具一个； ②若xy ≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶．

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动． (1)求小亮获得玩具的概率；

(2)

16．解：用数对(x ，y )表示儿童参加活动时先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S

＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N ，1≤x ≤4，1≤y ≤4}一一对应．

因为S 中元素的个数是4×4＝16， 所以基本事件总数n ＝16. (1)记“xy ≤3”为事件A ，

则事件A 包含的基本事件共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，

所以P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为5

16

.

(2)记“xy ≥8”为事件B ，“3

则事件B 包含的基本事件共6个，即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，

所以P (B )＝616＝3

8

.

事件C 包含的基本事件共5个，

即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，

所以P (C )＝5

16

.

因为38>516

，

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．

04[2016·浙江卷] “计数原理与概率”模块

(1)已知(1＋2x )4(1－x 2)3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，求a 2的值．

(2)设袋中共有8个球，其中3个白球、5个红球，从袋中随机取出3个球，求至少有1个白球的概率．

解：(1)因为(1＋2x )4二项展开式的通项为C r 4(2x )r

，r ＝0，1，2，3，4.

(1－x 2)3二项展开式的通项为C r 3(－x 2)r

，r ＝0，1，2，3.

所以a 2＝C 24·22·C 03＋C 04·C 1

3·(－1)＝21. (2)从袋中取出3个球，总的取法有C 38＝56(种)； 其中都是红球的取法有C 35＝10(种)．

因此，从袋中取出3个球至少有1个白球的概率是 1－C 35

C 38＝2328.

K3 几何概型 8．K3[2016·全国卷Ⅱ] 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )

A.710

B.58

C.38

D.310

8．B [解析] 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝5

8

.

K4 互斥事件有一个发生的概率

2．K4[2016·天津卷] 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，

则甲不输的概率为( )

A.56

B.2

5

C.16

D.13

2．A [解析] 甲不输的概率P ＝13＋12＝56

.

7．K2、K4[2016·江苏卷] 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．

7.5

6

[解析] 本题为古典概型，基本事件共有36个，点数之和大于等于10的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，6)，(6，5)，(6，4)，共计6个基本事件，故点数之和小于10的有30

个基本事件，所求概率为5

6

.

19．B1，I2，K4[2016·全国卷Ⅰ] 某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

图1-5

记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数．

(1)若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；

(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；

(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

19．解：(1)当x ≤19时，y ＝3800；

当x >19时，y ＝3800＋500(x －19)＝500x －5700. 所以y 与x 的函数解析式为

y ＝?

????3800，x ≤19，500x －5700，x >19(x ∈N )． (2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故

n 的最小值为19.

(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易

损零件上的费用为3800元，20台的费用为4300元，10台的费用为4800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为

1

100

×(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000(元)． 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000元，10台的费用为4500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为

1

100

×(4000×90＋4500×10)＝4050(元)． 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．

K5 相互对立事件同时发生的概率 K6 离散型随机变量及其分布列 18．K1，K6，K8[2016·全国卷Ⅱ] 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种

(1)记A 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P (A )的估计值； (2)记B 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；

(3)求续保人本年度平均保费的估计值．

18．解：(1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50

200

＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.

(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为

30＋30

200

＝0.3，故P (B )的估计值为0.3. (3)由所给数据得

调查的0．85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a . 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .

K7 条件概率与事件的独立性

K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布 18．K1，K6，K8[2016·全国卷Ⅱ] 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种

(1)记A (2)记B 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；

(3)求续保人本年度平均保费的估计值．

18．解：(1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50

200

＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.

(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为

30＋30

200

＝0.3，故P (B )的估计值为0.3. (3)由所给数据得

调查的200名续保人的平均保费为

0．85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a . 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .