傅里叶分析应用于热传导问题
傅里叶导热定律：单位时间、单位面积上的传热量(热流密度)与温度梯度成正比。
傅里叶导热定律：单位时间、单位面积上的传热量（热流密度）与温度梯度成正比。
1.引言1.1 概述傅里叶导热定律是热传导领域中的基本定律之一，它描述了物质内部传热的规律。
根据傅里叶导热定律，单位时间内通过一个单位面积的物质的传热量（热流密度）与温度梯度成正比关系。
也就是说，当一个物体内部存在温度差时，热量会以固定比例从高温区域传导到低温区域。
傅里叶导热定律是以法国数学家和物理学家傅里叶的名字命名的，在19世纪初他提出了这一理论。
这个定律对于热传导问题的研究有着重要的意义，不仅在物理学中具有广泛应用，而且在工程领域、地球科学、材料科学等方面也得到了广泛的应用和发展。
通过研究傅里叶导热定律，我们可以了解热传导过程中的热量分布规律，掌握不同物质导热性能的特点，为热工系统的设计和优化提供基础理论依据。
同时，这个定律的应用也使得我们可以解释一些实际问题，比如热传导导致的温度分布不均匀、能量损失问题等。
本文将介绍傅里叶导热定律的概念和原理，并深入探讨传热量与温度梯度之间的关系。
通过实验和理论分析，我们将进一步验证这一定律，并探讨其在实际应用中的意义和局限性。
最后，我们将给出结论，确认单位时间、单位面积上的传热量与温度梯度成正比的观点，并讨论傅里叶导热定律在热传导问题中的应用前景。
下一部分将介绍傅里叶导热定律的概念和原理。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将从以下几个方面探讨傅里叶导热定律与传热量与温度梯度之间的关系。
文章结构如下：2. 正文2.1 傅里叶导热定律的概念和原理- 介绍傅里叶导热定律的基本概念以及其背后的物理原理- 着重解释热传导过程中的热流以及导热系数的概念2.2 传热量与温度梯度的关系- 分析传热量与温度梯度之间的关系，深入探讨它们的数学表达式- 解释为什么传热量与温度梯度成正比3. 结论3.1 结论1: 单位时间、单位面积上的传热量与温度梯度成正比- 总结并确认傅里叶导热定律的核心观点：单位时间、单位面积上的传热量与温度梯度成正比- 进一步解释这一结论的重要性和实际应用3.2 结论2: 傅里叶导热定律的应用与意义- 探讨傅里叶导热定律在不同领域中的应用，如工程热学、材料科学等- 讨论傅里叶导热定律对于能源利用、环境保护等方面的意义通过以上结构，我们将全面展示傅里叶导热定律的概念和原理，以及传热量与温度梯度的关系。
傅里叶传热定律的使用范围
傅里叶传热定律的使用范围
傅里叶传热定律是描述热量在物体中传递的基本定律，它指出单位时间内通过给定截面的热量，正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积。
以下是傅里叶传热定律的一些主要应用范围：
一般工程技术中的非稳态导热问题：对于热流密度不是很高，过程作用的时间足够长，过程发生尺度范围也足够大的情况，傅里叶传热定律及基于该定律建立的导热微分方程完全适用。
热传导板、热传导管等实际问题：在实际应用中，傅里叶定律可以应用于热传导板、热传导管等实际问题中，从而为工程和科学研究提供了重要的参考依据。
然而，傅里叶传热定律并不总是适用。
以下是一些特殊情况，傅里叶传热定律可能不适用：
导热物体温度接近0K时（绝对零度）。
当过程的作用时间极短，与材料本身固有的时间尺度相接近时（时间效应）。
当过程发生的空间尺度极小，与微观粒子的平均自由行程相接近时（尺度效应）。
matlab傅里叶谱方法求解热传导方程
文章标题：深度解析matlab傅里叶谱方法求解热传导方程在工程学和科学领域中，热传导方程是一个非常重要的偏微分方程，描述了物体内部温度分布随时间的变化。
而傅里叶谱方法是一种常用的数值求解方法，能够高效地对热传导方程进行求解。
本文将深入探讨matlab傅里叶谱方法在求解热传导方程中的应用，以及该方法在实际工程中的意义。
1. 热传导方程的基本概念热传导方程是描述物体内部温度分布随时间演化的方程。
一维情况下，热传导方程可以表示为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partialx^2}$$其中，$u(x,t)$是位置$x$和时间$t$的温度分布函数，$\alpha$是热扩散系数。
对于二维、三维情况，热传导方程的形式也可以相应拓展。
2. matlab傅里叶谱方法的基本原理傅里叶谱方法是一种基于傅里叶级数展开的数值求解方法。
它的基本思想是将热传导方程通过傅里叶变换转化为频域上的方程，再通过离散化的方式进行求解。
在matlab中，可以利用快速傅里叶变换（FFT）来高效地实现傅里叶谱方法。
该方法的优点是高精度、高效率，并且适用于多维情况。
3. matlab傅里叶谱方法的具体实现在matlab中，可以通过编写相应的程序来实现对热传导方程的求解。
首先需要将热传导方程进行离散化，得到一个离散的时间和空间网格。
然后利用傅里叶变换将热传导方程转化为频域上的方程，通过FFT算法高效地求解。
最后再利用逆傅里叶变换将频域上的解转化为时域的解。
通过这一系列步骤，就可以在matlab中实现对热传导方程的高效求解。
4. 实际工程中的应用与意义matlab傅里叶谱方法在实际工程中有着广泛的应用与意义。
例如在材料科学中，可以利用该方法对材料的热传导特性进行建模和仿真。
在电子工程领域，也可以利用该方法对电路元件的热特性进行分析和优化。
另外，在生物医学工程中，对人体组织的热传导特性进行研究也可以借助matlab傅里叶谱方法来实现。
基于傅里叶定律的高温服装设计中热传递模型的研究
基于傅里叶定律的高温服装设计中热传递模型的研究高温环境下的服装设计一直是一个备受关注的话题。
在这样的环境下，人体容易受到高温的影响，从而导致体温过热、皮肤灼伤等问题。
设计一种适合高温环境的服装对于人们的健康和工作效率具有重要意义。
本文将基于傅里叶定律，对高温服装设计中的热传递模型进行研究，以期能够为高温环境下的服装设计提供一些参考和指导。
傅里叶定律是热传导定律之一，它描述了热量在一维稳态传导过程中的分布规律。
根据傅里叶定律，热传导的速率与温度场的梯度成正比，这意味着温度梯度越大，热传导速率就越大。
在高温环境下，人体会不断地产生热量，而周围的环境会不断地带走这些热量。
设计一种高温服装必须要考虑到热传递的机制，以确保人体不会受到过多的热量影响。
我们来分析一下高温环境下的热传递模型。
在高温环境下，人体会通过出汗等方式来散发热量，而周围的环境则会通过对流、辐射等方式来带走热量。
我们可以将高温服装的热传递模型分为两部分：一部分是人体和服装之间的热传递，另一部分是服装和周围环境之间的热传递。
人体和服装之间的热传递通过汗液的蒸发来实现。
汗液的蒸发需要消耗大量的热量，这样可以有效地降低人体的温度。
设计一种高温服装必须要考虑到汗液的蒸发速率，以确保人体能够及时地散发热量。
为了提高汗液的蒸发速率，可以在服装上加工一些透气的材料，以增加汗液的蒸发表面积，从而提高汗液的蒸发速率。
服装和周围环境之间的热传递通过对流、辐射等方式来实现。
对流是空气或水等流体与物体表面接触时，通过流动带走热量的过程。
辐射则是指物体表面发射的热辐射能量。
在设计高温服装时，可以在服装表面加工一些高反射率的材料，以减少来自周围环境的热辐射。
还可以在服装内部设计一些通风孔和散热片，以增加对流的效果，从而提高热量的散发速率。
高温服装的设计必须要考虑到热传递的机制，以确保人体能够在高温环境下保持适宜的体温。
在设计过程中，可以通过傅里叶定律来分析热传递的规律，从而提出一些有效的设计方案。
傅里叶求解狄利克雷边界条件热导方程
傅里叶求解狄利克雷边界条件热导方程傅里叶求解狄利克雷边界条件热导方程热传导是物质内部热量传递的过程，热传导方程是描述热传导过程的基本方程。
在热传导问题中，狄利克雷边界条件是指在物体表面上给定的温度分布。
傅里叶方法是一种求解热传导方程的有效方法，可以用于求解狄利克雷边界条件下的热传导问题。
热传导方程描述了物体内部温度分布随时间的变化，它的一般形式为：∂u/∂t = α∇²u其中，u是温度分布，t是时间，α是热扩散系数，∇²是拉普拉斯算子。
在狄利克雷边界条件下，我们需要在物体表面上给定温度分布，即：u(x,y,z,t)|S = f(x,y,z)其中，S是物体表面，f(x,y,z)是已知的温度分布函数。
傅里叶方法的基本思想是将温度分布函数f(x,y,z)展开成一组正交函数的级数，然后将其代入热传导方程中，得到一组关于级数系数的常微分方程组。
通过求解这个方程组，我们可以得到温度分布函数在物体内部的解析表达式。
具体来说，我们可以将温度分布函数f(x,y,z)展开成三个方向上的三角函数的级数，即：f(x,y,z) = ΣΣΣ anmnsin(mπx/L)sin(nπy/W)sin(sπz/H)其中，anms是级数系数，L、W、H分别是物体在x、y、z方向上的长度。
将这个级数代入热传导方程中，得到：ΣΣΣ anmns(d/dt)(sin(mπx/L)sin(nπy/W)sin(sπz/H)) = -αΣΣΣ anmns(m²π²/L² + n²π²/W² +s²π²/H²)sin(mπx/L)sin(nπy/W)sin(sπz/H)由于三角函数是正交函数，因此可以将上式两边乘以sin(pπx/L)sin(qπy/W)sin(rπz/H)并在整个物体内积分，得到：d(anmns)/dt = -α(m²π²/L² + n²π²/W² + s²π²/H²)anmns这是一个常微分方程组，可以通过数值方法求解。
热传导中的傅里叶定律探究
热传导中的傅里叶定律探究导言：热传导是物体内部或不同物体之间热量传递的过程，它在我们日常生活中无处不在。
而傅里叶定律则是研究热传导的重要工具之一。
本文将从定义傅里叶定律、推导过程、应用实例等多个方面探究热传导中的傅里叶定律。
傅里叶定律的定义与意义：傅里叶定律是指在理解和描述热传导过程时，温度分布与热流密度之间存在一种关系，即热流密度与温度梯度成正比。
这一关系由法国数学家和物理学家傅里叶于19世纪初提出，可形式化地表述为:q = -k∇T其中，q表示热流密度，k是热导率，∇T表示温度梯度。
傅里叶定律的提出对于深入理解和研究热传导过程具有重要的意义，不仅对于工程领域的热管理、材料学的研究等具有重要应用，还在理论物理学中有着深远的影响。
傅里叶定律的推导过程：要深入理解傅里叶定律的推导过程，我们可以从热传导方程出发，进而运用傅里叶分析的方法。
热传导方程是描述热传导过程的基本方程之一，它可以表达为:∂T/∂t = α∇²T其中，T表示温度，t表示时间，α是热扩散率。
接下来，我们通过将温度T按傅里叶级数展开，即:T(x,t) = Σ(Aₙcos(nωt)+Bₙsin(nωt))e⁻ⁿ⁺¹πx/L这里，Aₙ和Bₙ是展开系数，n为正整数，ω表示角频率。
通过对展开系数的求解，并进一步求解热流密度q的平均值，即q = -k∇T，最终可以得到傅里叶定律。
这一推导过程较为复杂，需要运用傅里叶级数展开和热传导方程的解析解求解等数学方法。
傅里叶定律的应用实例：傅里叶定律在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在相关的工程领域中，我们需要通过热管理来确保设备运行的稳定性，而傅里叶定律可以帮助我们理解和控制热传导过程。
在电子器件中，如果热量不能得到有效的传导和散热，就会引起设备的过热，甚至导致设备损坏。
通过对材料的热导率等参数的分析，可以利用傅里叶定律来进行热设计，并提高设备的热性能。
此外，傅里叶定律还在材料学的研究中起着重要作用。
傅里叶与热传导
傅里叶与热传导
傅里叶是一位法国数学家和物理学家，他在19世纪初期提出了一种热传导的数学模型，被称为傅里叶热传导方程。
这个方程在热传导领域中有着广泛的应用，可以用来描述物体内部的温度分布和热量传递的过程。
热传导是指物体内部热量的传递过程，它是由于温度差异而产生的。
当一个物体的一部分温度高于另一部分时，热量会从高温区域流向低温区域，直到整个物体达到热平衡。
这个过程可以用傅里叶热传导方程来描述。
傅里叶热传导方程是一个偏微分方程，它描述了物体内部温度分布随时间的变化。
这个方程的形式比较复杂，但是可以通过数值方法来求解。
通过求解傅里叶热传导方程，可以得到物体内部温度分布的详细信息，这对于热传导领域的研究和应用非常重要。
傅里叶热传导方程的应用非常广泛，例如在工业生产中，可以用它来优化加热和冷却过程，提高生产效率和产品质量。
在建筑工程中，可以用它来设计建筑物的保温材料和空调系统，提高建筑物的能源利用效率。
在科学研究中，可以用它来研究地球内部的热传导过程，了解地球的内部结构和演化历史。
傅里叶热传导方程是热传导领域中非常重要的数学模型，它的应用范围非常广泛，对于提高生产效率、节能减排、科学研究等方面都
有着重要的作用。
傅里叶变换求解热传导方程
傅里叶变换求解热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。
通过求解热传导方程，我们可以了解物体内部温度的变化规律，从而应用于热传导问题的分析和设计。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
通过将信号分解为一系列频率成分，傅里叶变换可以帮助我们理解信号的频谱特性。
在求解热传导方程中，我们可以利用傅里叶变换的性质来简化问题的求解过程。
让我们回顾一下热传导方程的基本形式：∂u/∂t = α∇^2u其中，u表示物体的温度分布，t表示时间，α表示热扩散系数，∇^2表示拉普拉斯算子。
这个方程表示了温度分布随时间变化的速率与温度分布的二阶空间导数之间的关系。
为了求解这个方程，我们首先将其转化为频域表示。
通过对温度分布u进行傅里叶变换，我们可以得到其频域表示ũ(k,t)。
将傅里叶变换后的方程代入原方程，可以得到一个新的方程：∂ũ/∂t = -αk^2ũ其中，k表示频率。
这个方程表示了傅里叶变换后的温度分布随时间的变化规律。
接下来，我们可以通过求解这个频域方程来得到温度分布ũ(k,t)的解析解。
这个方程是一个一阶线性常微分方程，我们可以通过分离变量和积分的方法来求解。
最终，我们可以得到ũ(k,t)的表达式：ũ(k,t) = ũ(k,0)e^(-αk^2t)其中，ũ(k,0)表示初始时刻的频域温度分布。
通过傅里叶反变换，我们可以将ũ(k,t)转换回时域表示的温度分布u(x,t)：u(x,t) = ∫[ũ(k,0)e^(-αk^2t)e^(ikx)]dk这样，我们就得到了热传导方程的解析解。
通过傅里叶变换的方法，我们可以将原本复杂的偏微分方程转化为一个简单的常微分方程，从而简化了求解过程。
傅里叶变换求解热传导方程的方法不仅可以用于理论分析，也可以应用于实际问题的求解。
通过将物体的温度分布进行傅里叶变换，我们可以得到其频域表示，从而得到温度分布的频谱特性。
这对于热传导问题的分析和设计具有重要的意义。
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傅里叶分析应用于热传导问题（物理系郭素梅指导教师陆立柱）〔摘要〕傅里叶分析是一种重要的数学工具，本文综述了用傅里叶分析解决细杆的热传导问题，并进行了讨论。
傅里叶分析包括傅里叶级数和傅里叶积分，用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题，用含参数的傅里叶变换法解决无界细杆的热传导问题，比其它方法更系统，体现出一种数学与物理对应的美感。
〔关键词〕傅里叶级数傅里叶积分傅里叶变换细杆的热传导问题引言1822年，傅里叶在研究热传导问题时，创造了傅里叶分析，随着时代的进步，这一数学工具被广泛地应用于信号分析、匹配滤波、图象处理等方面,掌握这种具有广泛用途和发展前景的工具是十分必要的.热传导是历来研究的热点，尤其是随着计算机电子设备的高集成化发展，机器内发热部件和集成电路元件的发热量随之增加，传统的强制冷方式已不能达到理想效果，因此，热传导设计成了重要问题。
万变不离其宗，为了更好地掌握傅里叶分析，为了更好地掌握热传导问题，本文就一维热传导问题对傅里叶分析作了全面详尽的论述。
1.傅里叶分析1.1 傅里叶级数傅里叶级数在应用上有以下优点[1]：能表示不连续的函数、周期函数，能对任意函数作调和分析。
若函数()f x以2l为周期，即+=[2](2)()f x l f x(1.1.1)则可取三角函数族1， cos x l π,cos 2x l π, … cos n x lπ ，…sin x lπ,sin2x lπ, (i)n x lπ ， …(1.1.2)作为基本函数族，将()f x 展开为级数[3] ()f x =0a +1(n n a ∞=∑cosn x lπ+nb cosn x lπ)(1.1.3)可以证明，函数族（1.1.2）是正交完备的[4]。
根据三角函数族的正交性，可求得（1.1.3）中的展 开系数为1()cos 1()sin l n l n l n l n a f d l l n b f d l l πξξξδπξξξ--⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰（1.1.4） 其中2(0)1(0)n n n δ⎧=⎪=⎨≠⎪⎩(1.1.3)称为周期函数()f x 的傅里叶级数展开式，其中的展开系数（1.1.4）称为傅里叶系数。
关于傅里叶级数的收敛性问题[2]，有Dirichlet 定理[4]。
若周期函数是奇函数，则由傅里叶系数计算公式（1.1.4）可见，0a 及诸k a 均等于零，展开式(1.1.3)为()f x =1sinn n n x b lπ∞=∑,(1.1.5)这叫做傅里叶正弦级数。
由于对称性，其展开系数为1()sin l n l n b f d l lπξξξ-=⎰（1.1.6）同理，若周期函数是偶函数，则()f x =a +1sn n n xa co lπ∞=∑ (1.1.7)这叫做傅里叶余弦级数，其中，1()cosln lnn a f d l lπξξξδ-=⎰（1.1.8）对于只在有限区间，例如在(0,)l 上有定义的函数()f x ,可采取延拓的方法，使其成为某种周期函数()g x ，而在(0,)l 上，()g x ≡()f x 。
然后再对()g x 作傅里叶级数展开，其级数和在区间(0,)l 上代表f(x),由于f(x)在x=0和x=l 无定义，因此可以有无数种延拓方式，因而有无数种展开式，它们在(0,)l 上均代表()f x .有时，对函数()f x 在边界（区间的端点）上的行为提出限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。
例如要求(0)()0f f l ==这时应延拓为奇的周期函数，因为sin n x l π│0x ==0, sin n x lπ∣x l ==0;又如要求''(0)()0f f l ==这时应延拓为偶的周期函数，因为余弦级数的和的导数在0x =和x l =为零。
对于函数u(x,t),-l<x<l,t ≥0,展开为傅里叶级数时，可将t 视为参数，仅关于x 展开为傅里叶级数u(x,t)=a(t)+1(()s()sin n n n n x n xa t cob t l lππ∞=+∑)(1.1.9)其中的展开系数不是常数，而是关于t 的函数，1()(,)cos1()(,)sin ln ln ln l n a t u t d l ln b t u t d l lπξξξδπξξξ--==⎰⎰(1.1.10)1.2 傅里叶积分一般说来，定义在区间（-∞<x<∞）上的函数f(x)是非周期的，不能展开为傅里叶级数。
为了研究这样的函数的傅里叶展开问题，我们采取如下办法：试将非周期函数f(x)看作是某个周期函数g(x)于周期2l →∞时的极限情形。
这样，g(x)的傅里叶级数展开式 g(x)=0a +1(s sin n n n n x n x a co b l lππ∞=+∑)在l →∞时的极限形式就是所要寻找的非周期函数 的傅里叶展开。
仔细研究这一极限过 程[4]，可以得到：f(x)=0()cos ()sin A xd B xd ωωωωωω∞∞+⎰⎰(1.2.1) 其中A(ω)=1π∞-∞⎰f(ξ)cos ωξd ξ B(ω)=1π∞-∞⎰f(ξ)sin ωξd ξ(1.2.2)(1.2.1)右边的积分称为傅里叶积分，(1.2.1)称为非周期函数f(x)的傅里叶积分表达式。
(1.2.2)称为f(x)的傅里叶变换式。
对f(x)的条件，有傅里叶积分定理[5]。
复数形式的傅里叶积分为:f(x)=∞-∞⎰F(ω)i x eωdω(1.2.3)F(ω)=12π∞-∞⎰f(x)*[]i xeωdx(1.2.4)1.3 含参数的傅里叶变换对于函数u(x,t),(-∞<x<∞,t≥0),可将t视为参数，仅将x成为自变量，则与一元函数f(x)的傅里叶展开类似可得：u(x,t)=∞-∞⎰F(ω,t)i x eωdω(1.3.1)其中F(ω,t)=12π∞-∞⎰u(x,t)*[]i xeωdx(1.3.2)(1.3.1)是u(x,t)傅里叶积分表达式，(1.3.2)是u(x,t)的傅里叶变换式。
２．细杆的热传导问题由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象叫做热传导。
在细杆的热传导问题中研究的是温度在一维空间中的分布和在时间中的变化u(x,t)。
应用热传导定理和能量守恒定律，可导出[6]可导出热传导方程：20t xx u a u -= (无热源、汇)2(,)t xx u a u f x t -= (有热源、汇)还需初始条件u(x,t)|0t t ==ϕ(x)和三类边界条件[7]：第一类 u(x,t)|0x x ==ψ(t)第二类 u x (x,t)|0x x ==ψ(t)第三类 u(x,t) |0x x =+Hu x (x,t)|0x x ==ψ(t)这样构成完整的一维热传导问题[8]。
根据空间变量 的范围可分为以下两种细杆的热传导问题。
２.1 有界细杆的热传导问题这里仅选第二类边界条件作讨论，构成200(,)(0,0)|0|0|()t xx x x x x l t u a u f x t x l t u u u x ϕ===⎧-=<<>⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩(2.1.1)2.2 无界细杆的热传导问题20(,)(,0)|0t xx t u a u f x t x t u =⎧-=-∞<<∞>⎪⎨=⎪⎩(2.2.1)对半无界细杆的热传导问题，根据边界条件延拓到无界，转化为无界细杆的定解问题。
对第一类齐次边界条件的定解问题2(,)t xx u a u f x t -=（x>0,t>0）0|x u ==0 0|t u ==ϕ(x) 作奇延拓2(,)t xx u a u f x t -=0|t u ==()(0)()(0)x x x x ϕϕ>⎧⎨--<⎩对第二类边界条件 2(,)t xx u a u f x t -=（x>0,t>0）0|0x x u == 0|t u ==ϕ(x) 作偶延拓2(,)t xx u a u f x t -=0|t u ==()(0)()(0)x x x x ϕϕ>⎧⎨-<⎩３．傅里叶分析应用于细杆的热传导问题３.1 用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题 傅里叶级数法是直接求解非齐次方程的定解问题。
对问题(2.1.1)，把所求解u(x,t)本身展开为傅里叶级数，基本函数族应是相应齐次方程20t xx u a u -=在第二类齐次边界条件下的本征函数：cos n x lπ(0,1,2,…),这样试把所求解展开为傅里叶余弦级数u(x,t)=0n ∞=∑()sn n xT t co lπ (3.1.1)把这个级数代入泛定方程，222'20[()()]s n n n n a n x T t T t co l l ππ∞=+∑＝f(x,t)(3.1.2)方程左边是傅里叶余弦级数，提示我们把方程右边也展开为傅里叶余弦级数，得到： 222'200[]cos ()cos n n nn n n a n x n xT T f t l l l πππ∞∞==+=∑∑(3.1.3)其中()n f t 为(,)f x t 的傅里叶余弦级数的第n 个傅里叶系数。
比较两边的系数，分离出n T （t ）的常微分方程'n T 2222n n a T l π+=()n f t(3.1.4)又把（3.1.1）代入初始条件，得：0(0)n n T ∞=∑cos n x l π=()x ϕ=0nn ϕ∞=∑cos n xl π (3.1.5)其中n ϕ为()x ϕ的傅里叶余弦级数的第n 个傅里叶系数。
(3.1.5)式两边都是傅里叶余弦级数，由于基本函数族cos n x lπ的正交性，等式两边对应同一基本函数的傅里叶系数必然相等，于是得n T (t)的非零初始条件001(0)()lo T d l ϕϕξξ==⎰ 2(0)()cos l n n o n T d l lπξϕϕξξ==⎰(3.1.7)n T (t)的常微分方程（求解[9]）在初始条件（3.1.7）下的解是n T (t)=22222222[()()]n a n a ttl l n n n ef t edt f t dt ππϕ-+-⎰⎰(3.1.8)这样所求解是(,)u x t =0{n ∞=∑22222222[()()]n a n a ttl l n n n ef t edt f t dt ππϕ-+-⎰⎰}cosn xlπ(3.1.9)可以证明(3.1.9)是存在且唯一的[10].3.2 用傅里叶变换法求解无界细杆的热传导问题 对问题(2.2.1)应用含参数的傅里叶变换，即用不着遍乘方程及定解条件各项，并对空间变数x 积分（时间变数视作参数），原来的定解问题变成'220(;)(;)(;)(;)|0t U t k k a U t k F t k U t k =⎧+=⎨=⎩ (3.2.1)其中(;)U t k 为u(x,t)的傅里叶变换。