人教版数学九年级上册 第21章 21.2.1用配方法解一元二次方程 研究课 教案
科目
数学
课题
21.2.1用配方法解一元二次方程
教学目标
知识与技能：理解配方法，能||用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
过程与||方法：通过课前学习，理解配方法，提炼出配方法的步骤，明晰配方过程中的算||理，复习用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程||；课上让学生体会要解一般的一元二次方程转化为已经学过的方法，||有两条路可以选择，经过分析解一般的一元二次方程用配方法转化为直接开平方法容||易一些，就是本节课要学的内容.
1.看配方的微课(洋葱数学微课)；
2.完成课前学案；
3.提出自己的疑问.
教师发布任务.
学生看微课，并完成课前学案.
课前任务反馈
培养学生的集体荣誉感.
1.网上任务完成情况；
2.学案的完成情况.
注：给完成较好的同学，加分；给完成好的小组加红旗.
教师ppt呈现.
学生看，班长记录加分情况.
回顾课前任务
解决||学生课前学习的共性问题，归纳总结用配方法解||一元二次方程的步骤.
学生做题，并板演，给其它小伙伴批改，做错的题同学||分享错误原因.
我的收获
知识和方法.
1.配方；
2.数学思想.
教师引导学生总结.
学生总结.
课堂检测
具体内容
反馈目标
配方法检测，用配方法解一元二次方程.
会用配方法解系数为1的一元二次方程.
作业设计
具体内容
作业目标
学探诊九上第3页.
会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
情感、态||度与价值观：培养学生自主学习与合作探究的精神与||积极参与的意识.
教学重点
运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
教学难点
化未知为已知，配方.
教学过程
教学具体目标
教学内容
实施途径
教师
学生
课前任务
1、了解配方的过程，并能够通过模仿进行配方；
2、完成课前学案识别已经能够解决的一元二次方程.
板书设计
21.2.1用配方法解一元二次方程
主板左侧：
配方：
当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方
例：
解：移项，得
配方，得
开方，得
，或
，或
中间：学生板演
主板右侧：
解一元二次方程的方法：
——特法
（1） 直接开平方法
（2）因式分解法
（3）配方法
1.呈现课前任务的内容，用颜色区分课前任务的共性问题；
2.归纳总结.
（1）配方的规律；
（2）用配方法解一元二次方程的步骤；
（3）思想方法.
教师组织，引导学生解决问题.
通过学生回答或小组讨论讲解，归纳解题程序.
配方检测
巩固落实配方.
（1）
（6）
（7）
教师出示问题，巡视批改，表扬完成较好的同学.
人教版九年级上册数学课件：21.2.1配方法解一元二次方程(共21张)
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
例3.若a,b,c为△ABC的三边长，且 a2 6a b2 8b c 5 25 0, 试判断△ABC的形状.
x2
3 2
x
3 4
2
1 2
3 4
2
,
即
x
3 4
2
1 16
,
移项和二次项系数
由此可得 x 3 1 ,
44
1
x1
1, x2
. 2
化为1这两个步骤 能不能交换一下呢?
3 3x2 6x 4 0.
解：移项，得 3x2 6x 4,
二次项系数化为1，得
配方，得 即
x2 2x 4 , 3
所以－x2－x－1的值必定小于零.
当
x=
1 2
时，－x2－x－1有最大值
3 4
.
3.若 x2 4x y2 6 y z 2 13 0 ，求(xy)z 的值.
解：对原式配方，得 x 22 y 32 z 2 0
由代数式的性质可知
x 22 0, y 32 0, z 2 0
的完全平方式，方程两边所添加的常数与这个方 程的哪一项的系数有关？有什么关系？
请你将方程 y2 6y 16 转化成 (x a)2 b 的形式，
并思考方程的两边所添加的常数有什么特征，说 说你的见解好吗？
问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立. （1）x2+4x+ 22 = ( x + 2 )2
九年级数学上册 第二十一章 21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法备课资料教案 (新版)新人教版
第二十一章 21.2.1配方法知识点1：用直接开平方法解一元二次方程如果一个一元二次方程的左边是一个含未知数的完全平方式,右边是一个非负数,就可以用直接开平方法求解.使用直接开平方法的前提条件是方程形如x2=b和(x-a)2=b(b≥0).直接开平方法解出的一元二次方程的解应该是两个,如果只有一个数值,则记作这个一元二次方程有两个相等的实数根.直接开平方法的适用范围和理论依据:(1)直接开平方法适合解形如x2=b和(x-a)2=b的方程,其中b≥0,因为若b<0,则方程在实数范围内无解.(2)直接开平方的实质是把一个一元二次方程降次为两个一元一次方程来求方程的根,因此要注意方程应该有两个根.知识点2：配方法1. 利用完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2把一元二次方程转化成(x±a)2(b≥0)的形式,再利用直接开平方法解一元二次方程的方法叫作配方法.2. 配方法运用配方法解一元二次方程时,需要先把二次项系数化为1,在方程的两边都加上一次项系数的一半的平方.3. 利用配方法解一元二次方程的步骤(1)把方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;(2)把二次项系数化为1;(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式,右边是常数;(4)如果方程的右边是一个非负数,就用直接开平方法求出它的解;如果方程的右边是一个负数,那么这个方程无解.也可以利用完全平方公式把一元二次方程化成(x±a)2-b=0(b≥0)的形式,再利用因式分解法求解.2考点1：用直接开平方法解一元二次方程【例1】 用直接开平方法解下列方程:(1)9x 2-25=0;(2)2(x-3)2=12. 解:(1)移项,得9x 2=25,方程两边同除以9,得x 2=,方程两边开平方,得x=±,即x 1=,x 2=-.(2)方程两边同除以2,得(x-3)2=6, 方程两边开平方,得x-3=±, 整理,得x=±+3. 解得x 1=,x 2=. 点拨:把方程经过整理变为x 2=p(p ≥0)或(mx+n)2=p(p ≥0)的形式,再对方程的两边直接开平方.考点2：配方法解一元二次方程【例2】 用配方法解方程:(2x-1)(x+3)=5.解:整理,得2x 2+5x-8=0.二次项系数化为1,移项,得x 2+x=4,配方,得x 2+x+（）2=4+（）2,即（x+）2=. 由此可得x+=±, 即x 1=,x 2=.点拨:按照配方法解一元二次方程的步骤逐步解答即可.。
初中-数学-人教版-九年级上册-21.2.1配方法解一元二次方程(1) 课件
a x 1.如果 x2 a(a 0) 则 就叫做 的 平方根 。
2.如果 x2 a(a 0) ， 则x = a 。
x 3.如果x2 64 ，则 = 8 。
4.完全平方公式：a b2 a2 2ab b2
5.利用完全平方公式进行因式分解：
(1)x2 2x 1 x 12 (2)4x2 4x 1 2x 12 (3)9x2 12x 4 3x 22
解得，x1= 3+ 5，x2 = 3 5
练习：
1 x2 3=0
2 4x2 =81
3 2x2 8=0
4 9x2 5=3
5 x 62 9=0 6 3 x 12 6=0
7 x2 4x 4=5 8 9x2 5=1
例：下列那数是方程 x2 x 12 0 的根？
-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 2、求一元二次方程根的过程叫做解一元二次方程：
1.利用平方根定义解下列方程： (1)x2 =1 (2)x2 =0 (3)x2 =2 (4)x2 = 3
（1）解：开平方，得 x= 1（4）解： x2 0
不等的实数根x1= p ，x2 = p （2）当p 0时，方程有两个相等的实数根x1=x2 =0 （3）当p 0时，因为对于任意实数x,都有x2 0，
所以方程无实数根.
例：解方程：x 3 2 5 一元二次方程
解：开平方，得x 3= 5
降 次
即x 3= 5,或x 3= 5 一元一次方程
(4)3x2 12x 3
32x 12
5.判断下列各式是否是一元二次方程：
(1)
3 x2
2x
1=0
(3)9x2 12 y 4
(2)ax2 2x 7 0 (4)32 12x 1 0
人教版数学九年级上册第21章21.2.1用配方法解一元二次方程研究课教案
2.归纳总结.
（1）配方的规律；
（2）用配方法解一元二次方程的步骤；
（3）思想方法.
教师组织，引导学生解决问题.
通过学生回答或小组讨论讲解，归纳解题程序.
配方检测
巩固落实配方.
（1）例
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
教师出示问题，巡视批改，表扬完成较好的同学.
板书设计
21.2.1用配方法解一元二次方程
主板左侧：
配方：
当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方
例：
解：移项，得
配方，得
开方，得
，或
，或
中间：学生板演
主板右侧：
解一元二次方程的方法：
——特法
（1） 直接开平方法
（2）因式分解法
（3）配方法
学生做题，并板演，给其它小伙伴批改，做错的题同学分享错误原因.
我的收获
知识和方法.
1.配方；
2.数学思想.
教师引导学生总结.
学生总结.
课堂检测
具体内容
反馈目标
配方法检测，用配方法解一元二次方程.
会用配方法解系数为1的一元二次方程.
作业设计
具体内容
作业目标
学探诊九上第3页.
会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
21.2.1用配方法解一元二次方程教案
科目
数学
课题
21.2.1用配方法解一元二次方程
教学目标
知识与技能：理解配方法，能用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
过程与方法：通过课前学习，理解配方法，提炼出配方法的步骤，明晰配方过程中的算理，复习用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程；课上让学生体会要解一般的一元二次方程转化为已经学过的方法，有两条路可以选择，经过分析解一般的一元二次方程用配方法转化为直接开平方法容易一些，就是本节课要学的内容.
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第一课时直接开平方法)课件人教版
∴ x3 5 或 x3- 5 .
∴ x1= 5-3 ，x2 = - 5-3 .
解一元二次方程的基本思路是：
把一个一元二次方程“ 降次 ”，转化 为两个一元一次方程．
由应用直接开平方法解形如：
x2=p（p≥0），那么x=± p
由应用直接开平方法解形如：
（mx+n）2=p（p≥0），则mx+n=____p_ .
问题：一桶油漆可刷的面积为1500 dm2 ， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体 形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的 棱长吗？
提示
可以根据正方体表面积 S=6a2求解. 同时要注意 所得的结果要符合实际
意义.
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方 体的表面积为__6_x_2_dm2 .根据一桶油漆可 刷面积列出方程 1_0_×_6_x_2_=_1_5_0_0____.
解下列方程：
（1）9x2 5 3；
解：移项，得 9x2 8.
系数化为1，得 x2 8 .
9
直接开平方，得
x
8. 9
x1
22 3
，x2
22 3
.
注意：二次根 式必须化为最 简二次根式。
（2）9x2 5 1.
解：先移项，得 9x2 4. 系数化为1，得 x2 4 0 9
1
x1
, 3
x2
1.
整理，得_x_2_=_2_5 ， 根据平方根的意义得x=___±_5__. 即x1=___5___，x2=__-_5___. 因为_棱__长__不_能__为__负__值__，所以正方体的棱长 是_5_d_m__.
人教版九年级数学上册教案设计：21.2.1配方法解一元二次方程
1、知识与技能目标：
会用配方法解简单的一元二次方程以及了解用配方解一元二次方程的一般步骤；
2、过程与方法目标：
理解并掌握配方法，通过探索配方法的过程，体会“等价转化”的数学思想方法，培养观察、比较、分析、概括、归纳的能力；
3、情感态度与价值观：、
经过独立探究，合作学习获得成功的体验，能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。
分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△是直角三角形． 根据已知列出等式．
解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
根据题意，得： （8-x）（6-x）= × ×8×6
整理，得：x2-14x+24=0
（x-7）2=25即x1=12，x2=2 x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．
解一次方程→x1=2，x2= -8
可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．
可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
例1．用配方法解下列关于x的方程
重点：运用配方法解一元二次方程
难点：运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，理解配系数时方程等号两边同时加上一次项系数一半的平方
3、学习者特征分析
1、知识掌握上，九年级学生学习了平方根的意义，即如果 ），那么 ；他们还学习了完全平方式 。这对配方法解一元二次方程奠定了基础。
2、学生学习本课的障碍，学生对配方法怎么样配系数是个难点，老师应该予以简单明白深入浅出的分析。
二、探索新知
新人教版九上《21.2.1配方法解一元二次方程(2)》ppt课件
开平方得：
x
3 ∴原方程的解为：x1 2 , x2 2
1 7 4 4
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 化 1：把二次项系数化为1； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 ; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
怎样解方程 x 2 + 6x + 4 = 0
①？
2 （ x + 3 ） =5 我们已经会解方程：
因为它的左边含有x的完全平方式，右边 是非负数，所以可以直接降次解方程。
能否将方程 x 2 + 6x + 4 = 0 的形式再求解呢？①？ x 2 + 6x + 4 = 0 转化为可以直接降次
x 2 + 6x + 9 = 5
x2 + 6x = -4
加其他数不行． 一般地，当二次项系数为 1 时，二次式加上一次项 系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式．
2 （x + 3） =5
配方
通过 配成完全平方形式 来解一元二次方程的方法， 叫做配方法．
可以看出，配方是为了降次，把一个一元 二次方程转化成两个一元一次方程来解．
四．课堂小结：
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方 根的定义,可解得 这种解一 x1 a, x2 a 元二次方程的方法叫做直接开平方法.
2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然 后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫 做配方法. 注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项 系数一半的平方.
2
（2） 2 x 1 3x
2
（3） 3x 6 x 4 0
21.2.1.2 用配方法解一元二次方程 九年级上册数学(人教版)
21.2.1.2 用配方法解一元二次方程九年级上册数学（人教版）【教学目标】1.掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，能够利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程和二次项系数不为1的一元二次方程。
2.在探究进行配方的过程中，体会由特殊到一般的方法，领悟类比、转化的数学思想，培养学生的推理能力以及运算能力。
【教学重点】理解配方法并用配方法解一元二次方程。
【教学难点】如何进行配方。
【教学过程】一、复习引入师：我们先来复习上节课所学知识：用直接开方法解一元二次方程。
关键是把方程式化为x2=p（p≥0）或者(x+n)2=p（p≥0）的形式。
左边是完全平方式的形式，右边是非负数的形式。
接下来直接给左边开放，达到降次的目的，就是把二次方程转化为一元一次方程进行求解。
大家还记得学过的完全平方公式吗？试着填一填下列的完全平方公式。
a2+2ab+b2=(a+b)2, a2−2ab+b2=(a−b)2.【设计意图】通过对完全平方公式复习回顾，引导学生学习新知识。
二、探究常数项和一次项系数关系1.根据完全平方公式，完成下面两道题，使等式成立。
x2+4x+=(x+)2.师：4x写成2·x·2，即2ab的形式。
x2+2ab，这里b等于2，所以等式右边应该填2，等式左边是b2,填22，22在等式左边为常数项，x2为二次项，4x为一次项。
一次项系数是4，常数项22。
2是4的一半，所以常数项等于一次项系数一半的平方。
x2+8x+=(x+)2.师：填完两个等式后，大家有没有发现当二次项系数为1的完全平方公式，常数项要配成完全平方公式，常数项应该为一次项系数一半的平方。
【设计意图】通过练习题，探究常数项与一次项系数之间的关系。
三、学习配方法解一元二次方程1.解方程师：根据我们刚才总结的知识，我们怎么解这个一元二次方程呢？例1 解方程：x2+6x+4=0步骤：首先将常数项移到方程的右边x2+6x=-4，这一步称之为移项。
2018人教版数学九年级上册第21章21.2.1用配方法解一元二次方程研究课(教案)
在实践活动和小组讨论中，学生们的参与度很高，他们能够将一元二次方程与现实生活中的问题联系起来，这让我感到很欣慰。但同时，我也发现部分学生在将实际问题抽象成数学模型时遇到了挑战。这提醒我，在今后的教学中，需要更多地将实际问题引入课堂，让学生有更多的机会练习建模和解决问题的能力。
我还发现，在小组讨论环节，有些学生不够积极，可能是由于他们对问题不够理解或者缺乏自信。针对这个问题，我打算在接下来的课程中，增加一些引导性的问题，鼓励学生表达自己的观点，同时培养他们的自信心。
（1）将常数项移至等式右边。
（2）将一次项系数的一半平方，加到等式两边。
（3）将左边写成完全平方形式，右边合并为一个非负常数。
-实际例题的求解：通过多个典型例题，如x^2 + 6x + 9 = 0和x^2 - 6x + 9 = 0，让学生掌握配方法的应用。
-方程解的性质：探讨一元二次方程的解的个数与判别式的关系，强调配方法求解过程中对解的性质的理解。
五、教学反思
在今天的教学中，我尝试通过不同的教学活动和实际案例，帮助学生理解和掌握用配方法解一元二次方程的方法。课后，我对整个教学过程进行了反思，有以下几点感悟：
课堂上，我注意到学生在配方法的步骤转换过程中存在一些困难，特别是对一次项系数为分数的处理。这让我意识到，在讲解这部分内容时，需要更加细致地解释和演示，让学生能够清晰地理解每一步的原理和目的。
5.培养学生的团队合作意识和批判性思维，通过小组讨论与问题解决，提高数学问题解决的综合素养。
21.2.1用配方法解一元二次方程(教案)
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过配方法解一元二次方程的过程，使学生理解数学逻辑推理的重要性，提高他们在解决问题时的逻辑思维能力。
2.增强学生的数学建模素养：让学生在实际问题中运用配方法求解一元二次方程，培养他们将现实问题转化为数学模型的能力，从而提高解决实际问题的数学素养。
其次，在新课讲授环节，我发现学生们在理解配方法的原理和步骤上存在一定困难。虽然我通过详细的解释和举例来说明，但仍有部分学生感到困惑。在以后的教学中，我需要更加关注学生的反馈，针对他们的疑难点进行有针对性的讲解和练习。同时，可以增加一些互动环节，让学生在课堂上及时提问，以便于我了解他们的掌握情况。
在实践活动和小组讨论环节，学生们表现得相当积极。他们能够将所学知识应用到实际问题中，并通过小组合作解决问题。这一点让我感到很欣慰。但同时我也注意到，有些小组在讨论过程中出现了偏离主题的现象，导致讨论效果不佳。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强对学生讨论方向的引导，确保讨论能够紧紧围绕主题进行。
21.2.1用配方法解一元二次方程（教案）
一、教学内容
本节课选自九年级数学教材《代数与方程》第21章第2节，主题为“21.2.1用配方法解一元二次方程”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.掌握配方法解一元二次方程的步骤，并能熟练运用该方法解决实际问题。
2.了解配方法的原理，理解为何配方法可以求解一元二次方程。
a.将一元二次方程的一般形式ax^2 + bx + c = 0转换为完全平方形式。
b.利用完全平方公式解出方程的根。
c.分析解的实际情况，如重根、无解等。
（2）运用配方法解决实际问题：学生需学会将实际问题抽象为一元二次方程，然后运用配方法求解，例如以下例题：