2013年导数客观题分类汇编
2013年全国重点名校分类汇编考试试题类汇编导数1
2013年全国重点名校分类汇编试题类汇编:导数11【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】已知曲线x x y ln 342-=的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为( ) A. 3 B. 2C. 1D.21 【答案】A【解析】函数的定义域为(0,)+∞，函数的导数为3'2x y x =-，由31'22x y x =-=，得260x x --=，解得3x =或1x =-（舍去），选A. 2【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】如图3，直线y=2x 与抛物线y=3－x 2所围成的阴影部分的面积是（ ）A ．353B ．C ．2D ．323【答案】D【解析】12332(32)d 3S x x x -=--=⎰，故选D. 3【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】如图所示，曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图（阴影部分），则该叶形图的面积是（ ）A.21 B. 41 C. 61 D. 31【答案】D【解析】由2y xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或00x y =⎧⎨=⎩，所以根据积分的应用可得阴影部分的面积为3123120021211)()33333x dx x x =-=-=⎰，选D. 4【山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考（理）】由直线2,21==x x ，曲线xy 1=及x 轴所谓成图形的面积为A.415B.417 C.2ln 21D. 2ln 2【答案】D【解析】根据积分的应用可知所求22112211ln ln 2ln2ln 22dx x x==-=⎰，选D. 5【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】已知()f x 为R 上的可导函数，且,x R ∀∈均有()f x f >′（x ），则有 （ ）A ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<> B ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<< C ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f ->>D ．20132013(2013)(0),(2013)(0)ef f f e f -><【答案】A【解析】构造函数()()x f x g x e=，则2()()()()()()()x x x x f x e e f x f x f x g x e e ''''--==，是20132013(2013)(0)(2013)(0)e f f f e f -><，，故选A.6【山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考（理）】曲线x e y 21=在点()2,4e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A.2eB.24eC.22eD.229e 【答案】A【解析】121'2x y e =，所以在点()2,4e 的导数为142211'22y e e ⨯==，即切线斜率为212k e =，所以切线方程为221(4)2y e e x -=-，令0x =得，2y e =-，令0y =，得2x =.所以三角形的面积为22122e e ⨯⨯=，选A. 7【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】函数22ln y x x e ==在处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为A ．292e B ．212Se =C ．22eD ．2e【答案】D 【解析】212'2y x x x =⨯=，所以在2x e =处的切线效率为22k e =，所以切线方程为2224()y x e e-=-，令0x =，得2y =，令0y =，得2x e =-，所以所求三角形的面积为22122e e ⨯⨯=，选D. 8【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】曲线()ln 2y x =+在点()1,0P -处的切线方程是A.1y x =+B.1y x =-+C.21y x =+D.21y x =-+【答案】A 【解析】1'2y x =+,所以在点P 处的切线斜率1112k ==-+，所以切线方程为(1)1y x x =--=+，选A.9【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】由直线2,,0sin 33x x y y x ππ====与所围成的封闭图形的面积为 A.12B.1【答案】B 【解析】由积分的应用得所求面积为2233332sin cos coscos 2cos 1333xdx xπππππππ=-=-+==⎰，选B. 10【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】 已知函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数21)('<x f ，则212)(+<x x f 的解集为 A. {}11<<-x x B. {}1-<x x C. {}11>-<x x x 或 D. {}1>x x 【答案】D【解析】设1()()()22xF x f x =-+, 则11(1)(1)()11022F f =-+=-=，1'()'()2F x f x =-，对任意x R ∈，有1'()'()02F x f x =-<，即函数()F x 在R 上单调递减，则()0F x <的解集为(1,)+∞，即212)(+<x x f 的解集为(1,)+∞，选D.11【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】函数()32f x x bx cx d=+++的大致图象如图所示，则2212x x +等于A.89B.109C.169D.289【答案】C【解析】函数过原点，所以0d =。
2013高考(理数)分类解析(概率统计-函数导数)word版
2013年全国各省（市）高考数学试题分类汇编(概率统计)1.（2013XX 卷.理16题）（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品． （1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分．解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X ”，224(5)3515==⨯=P X ，11()1(5)15∴=-==P A P X∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115． （Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X 由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ，224()255=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ，2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．2．（本小题满分12分）(XX 卷.文)某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名。
为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：))50,60,60,70,⎡⎡⎣⎣)70,80,⎡⎣))80,90,90,100⎡⎡⎣⎣分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（I ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（II ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？（注：此公式也可以写成22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++）解：（I ）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人）， 故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共+=7种，故所求的概率为：；（II ）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得22()P x k ≥ 0.100 0.050 0.010 0.001k2.7063.841 6.635 10.8282112212211212()n n n n n x n n n n ****-=附：1 7 92 0 1 53 0 第17题图×2列联表如下：生产能手非生产能手 合计 25周岁以上组 15 45 60 25周岁以下组 15 25 40 合计 3070100所以可得==≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．3.（2013广东卷.理17题）．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工 人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有 名优秀工人的概率. 【解析】 (Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则() P A=1148212C CC1633=.4．（本小题满分13分）(2013广东文)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．【解析】（1）苹果的重量在[)95,90的频率为20=0.450；（2）重量在[)85,80的有54=15+15⋅个；（3）设这4个苹果中[)85,80分段的为1，[)100,95分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[)85,80和[)100,95中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31(A)62P==.5.（2013全国新课标二卷.理18题）（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元。
2013年高考试题分项版解析数学(理) 专题03 导数(Word精析版)
第三章 导数（理）一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（ ）A. s 1＜s 2＜s 3B. s 2＜s 1＜s 3C. s 2＜s 3＜s 1D. s 3＜s 2＜s 12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】设函数)(x f 的定义域为R ，()000≠x x 是)(x f 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ． )()(,0x f x f R x ≤∈∀ B.0x -是)-(x f 的极小值点C. 0x -是)(-x f 的极小值点D.0x -是)-(-x f 的极小值点3.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】已知函数f(x)=32x ax bx c +++,下列结论中错误的是（ ）（A ）∃0x R ∈, f(0x )=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若0x 是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, 0x ）单调递减 （D ）若0x 是f （x ）的极值点，则 'f (0x )=04.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情 况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶 的距离（单位：m ）是（ ）125ln5+ B ．11825ln 3+ C ．425ln5+ D ．450ln2+5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】若209,Tx dx T =⎰则常数的值为 .7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且(),x x f e x e =+则(1)f '=__________.二．能力题组8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】直线l 过抛物线C : x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A.43B.2C.83D.39.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则（ ）A ．1()0f x >，21()2f x >-B ．1()0f x <，21()2f x <- C ．1()0f x >，21()2f x <- D ．1()0f x <，21()2f x >-10.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,0]-B ．[1,)-+∞C ．[0,3]D ．[3,)+∞11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】设函数()f x 满足()()()()222,2,0,8x e e x f x xf x f x f x x '+==>则时，（ ） （A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值（C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值[考点定位]:本题考查导数的应用.12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】已知e 为自然对数的底数，设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k x ，则（ ）A. 当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值B. 当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C. 当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D. 当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值三．拔高题组13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ). (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【答案】 (Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x =当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:【考点定位】本题考查函数的单调性和函数的最值问题，考查学生的分类讨论思想和构造函数的解题能力.14.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】 已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+. （Ⅰ）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值；（Ⅱ）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++，证明：21ln 24n n a a n-+>.15.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】设函数()ln f x x ax =-，()xg x e ax =-，其中a 为 实数.（1）若()f x 在(1,)+∞上是单调减函数，且()g x 在(1,)+∞上有最小值，求a 的取值范围；（2）若()g x 在(1,)-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论.[考点定位]本小题主要考查导数的运算及用导数研究函数的性质，考查函数、方程及不等式的相互转化，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力.16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=（1）当2=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f A 处的切线方程；（2）求函数)(x f 的极值.17.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】已知函数()()()[]321,12cos .0,12x x f x x e g x ax x x x -=+=+++∈当时， （I ）求证：()11;1x f x x-≤≤+ （II ）若()()f x g x ≥恒成立，a 求实数的取值范围.18.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】已知函数()ln().xf x e x m =-+(Ι)设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >.19.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】已知函数()2x x f x c e=+（ 2.71828...e =是自然对数的底数，c R ∈）. （Ⅰ）求()f x 的单调区间、最大值；（Ⅱ）讨论关于x 的方程()ln x f x =根的个数.（Ⅱ）因为22(1,)x e e ∈，210x e x >>>，又211x -<【考点定位】本题考查了函数的单调性、函数的最值等主干知识，考查了数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想的综合应用.第一问的研究为第二问进行数形结合铺平了“道路”，使()2ln ,xx y x f x c e ==+的相对位置关系更明晰.20【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理】已知函数()e ,x f x x =∈R .(Ⅰ) 若直线y ＝kx ＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值; (Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y ＝f (x) 与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数.(Ⅲ) 设a<b, 比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小, 并说明理由.，能够比较清晰的分类，做到不吃不漏.最后一问,考查函数的凹凸性，富有明显的几何意义,为考生探索结论提供了明确的方向,对代数手段的解决起到导航作用.【考点定位】本题考查考查函数的凹凸性、导数、不等式、参数等问题.属于难题.21.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（浙江卷）理】已知R a ∈，函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f （Ⅰ）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）当]2,0[∈x 时，求|)(|x f 的最大值.综上所诉，4,0142()1,12aaag aa-⎧<≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩；23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】已知函数1()(12),2f x a x=--a为常数且0.a>（1）证明：函数f（x）的图像关于直线x=错误！未找到引用源。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编14：导数与积分(修改)(2)
2013年全国高考理科数学试题分类汇编14：导数与积分一、选择题1 ．(2013年高考湖北卷（理))已知a 为常数,函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <,则( ）A ．121()0,()2f x f x >>- B ．121()0,()2f x f x <<-C ．121()0,()2f x f x ><-D ．121()0,()2f x f x <>-【答案】D2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是（ ）A ．0x ∃∈R,0()0f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形 C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减 D ．若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =【答案】C3．（辽宁（理）)设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， （ ）A ．有极大值,无极小值B ．有极小值,无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值【答案】D4 ．（全国（理)）设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点,以下结论一定正确的是( ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点【答案】D5 ．(浙江数学（理））已知e 为自然对数的底数，设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k x ,则 （ )A ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值B ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值【答案】C二、填空题6 ．(2013年高考江西卷(理））设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且()x x f e x e =+，则(1)xf =______________ 【答案】27。
2013高考理科数学试题分类导数与积分含答案
2013年全国高考理科数学试题分类汇编：导数与积分一、选择题1．（新课标Ⅱ卷）已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是 （ ）A ．0x ∃∈R,0()0f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =2 ．（江西）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为（ ） A ．123S S S << B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<3．（辽宁）设函数()()()()()222,2,0,8xe ef x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（ ） A ．有极大值,无极小值 B ．有极小值,无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值4．（福）设函数()f x 的定义域为R,00(0)x x ≠是()f x 的极大值点,以下结论一定正确的是（ ） A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤ B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点5．（北）直线l 过抛物线C : x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A ．43 B ．2 C ．83 D ．36．（浙江））已知e 为自然对数的底数,设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k x ,则（ ） A ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值B ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值7．（江西）设函数()f x 在(0,)+∞内可导,且()x x f e x e =+,则(1)x f =______2________8．（湖南）若209,Tx dx T =⎰则常数的值为___3______.9．（广东）若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =____1-__. 二、解答题10．（新课标Ⅱ）已知函数)ln()(m x e x f x +-=.(Ⅰ)设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)当2m ≤时,证明()0f x >.11．（江苏卷）设函数ax x x f -=ln )(,ax e x g x-=)(,其中a 为实数. (1)若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数,且)(x g 在),1(+∞上有最小值,求a 的取值范围;(2)若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数,试求)(x f 的零点个数,并证明你的结论.12．（广东省）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .13．（2013年高考江西卷（理））已知函数1()=(1-2-)2f x a x ,a 为常数且>0a . (1) 证明:函数()f x 的图像关于直线1=2x 对称; (2) 若0x 满足00(())=f f x x ,但00()f x x ≠,则称0x 为函数()f x 的二阶周期点,如果()f x 有两个二阶周期点12,,x x 试确定a 的取值范围;14．（重庆数学）设()()256ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6.(1)确定a 的值; (2)求函数()f x 的单调区间与极值.15．（四川）已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩,其中a 是实数.设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <.(Ⅰ)指出函数()f x 的单调区间;16．（福建）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈(1)当2a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程;(2)求函数()f x 的极值.17．（新课标1）已知函数()f x =2x ax b ++,()g x =()x e cx d +,若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P(0,2),且在点P 处有相同的切线42y x =+(Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值;(Ⅱ)若x ≥-2时,()f x ≤()kg x ,求k 的取值范围.18．（山东）设函数2()x x f x c e =+(e =2.71828是自然对数的底数,c R ∈).(Ⅰ)求()f x 的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于x 的方程ln ()x f x =根的个数.19．（浙江）已知R a ∈,函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f (1)求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程;(2)当]2,0[∈x 时,求|)(|x f 的最大值.20．（大纲版）已知函数()()()1=ln 1.1x x f x x xλ++-+ (I)若0x ≥时,()0f x ≤,求λ的最小值;(II)设数列{}211111,ln 2.234n n n n a a a a n n=+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明： 21．（天津）已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<. 22．（北京）设L 为曲线C:ln x y x=在点(1,0)处的切线. (I)求L 的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线L 的下方.。
2013高考真题数学分类---导数--李远敬整理
2013高考真题数学分类 导数 李远敬整理一．用导数求单调区间、极值、函数的单调性1.（新课标2文11）已知函数c bx ax x x f +++=23)(，下列结论错误的是 .A R x ∈∃0，0)(0=x f.B 函数)(x f y =的图像是中心对称图形.C 若0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f 在区间),(0x -∞单调递减.D 若0x 是)(x f 的极值点，则0)(0'=x f2.（福建理8）设函数)(x f 的定义域为R ，)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点，以下结论：.A )()(,0x f x f R x ≤∈∀ .B 0x -是)(x f -的极小值点.C 0x -是)(x f -的极小值点 .D 0x -是)(x f --的极小值点3.（浙江理8）已知e 为自然对数的底数，设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f kx ，则 A. 当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值B. 当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C. 当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D. 当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值4.（新课标2，21）已知函数)ln()(m x e x f x+-=（1）设0=x 是)(x f 的极值点，求m ，并讨论)(x f 单调性；（2）当2≤m 时，证明0)(>x f5.（新课标2理10）已知函数c bx ax x x f +++=23)(，下列结论错误的是 .A R x ∈∃0，0)(0=x f.B 函数)(x f y =的图像是中心对称图形.C 若0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f 在区间),(0x -∞单调递减.D 若0x 是)(x f 的极值点，则0)(0'=x f6.（辽宁理12）设函数)(x f 满足x e x xf x f x x =+)(2)('2，8)2(2e f =，则0>x 时，)(x f .A 有最大值，无极小值 .B 有最小值，无极大值.C 既有极大值，也有极小值 .D 既无极大值，也无极小值7.（2013重庆卷理17）设x x a x f ln 6)5()(2+-=，其中R a ∈，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线与y 轴相交于点)6,0(。
专题03导数2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(解析版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题03 导数选填题一、选择题1．(2022年全国甲卷理科·第6题)当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=( )A 1-B ．12-C ．12D ．1【答案】B解析：因为函数()f x 定义域为()0,∞+，所以依题可知，()12f =-，()10f '=，而()2a bf x x x '=-，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x'=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()112122f '=-+=-．故选：B ．【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的最值\含参函数的最值问题【题目来源】2022年全国甲卷理科·第6题2．(2022新高考全国I 卷·第7题)设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则( )A ．a b c <<B ．c b a<<C ．c a b <<D ．a c b<<【答案】C解析: 设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1()(0)09f f <=，所以101ln099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln+01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--,令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，.当01x <<-时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x -<<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =， 所以当01x <<-时，()0h x <，所以当01x <<-时，()0g x '>，函数()e ln(1)xg x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c >故选：C ．【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的最值\具体函数的最值问题【题目来源】2022新高考全国I 卷·第7题3．(2021年新高考Ⅰ卷·第7题)若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( )A ．e b a <B ．e a b <C ．0e b a <<D ．0e ab <<【答案】D解析:在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t -=-，即()1t ty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e +-上，可得()()11t t tb ae t e a t e =+-=+-，令()()1t f t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-．当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点,故选D ．【题目栏目】导数\导数的概念及运算\导数的几何意义【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第7题4．(2021年高考全国乙卷理科·第10题)设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则( )A a b < B ．a b >C ．2ab a <D ．2ab a >【答案】D解析：若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故a b ¹．()f x ∴有x a =和x b =两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的．依题意，为函数的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的．当0a <时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x的图象如下图所示：.由图可知b a <，0a <，故2ab a >．当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >．综上所述，2ab a >成立．故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答．【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的极值\含参函数的极值问题【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第10题5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第6题)函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为( )A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【答案】B【解析】()432f x x x =- ，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+．故选：B ．【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题【题目栏目】导数\导数的概念及运算\导数的几何意义【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第6题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第10题)若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为( )A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D解析：设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =的导数为y '=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-(舍)，则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+．故选：D ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题．【题目栏目】导数\导数的概念及运算\导数的几何意义【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第10题7．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则( )A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a eb -==-【答案】【答案】D【解析】由/ln 1x y ae x =++，根据导数的几何意义易得/1|12x y ae ==+=，解得1a e -=，从而得到切点坐标为(1,1)，将其代入切线方程2y x b =+，得21b +=，解得1b =-，故选D ．【点评】准确求导是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．另外对于导数的几何意义要注意给定的点是否为切点，若为切点，牢记三条：①切点处的导数即为切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上。
2013年全国高考函数与导数真题汇编 -
2013年全国高考函数与导数真题汇编一、选择题1. 【2013·安徽理·4】" a≤0"是"函数f(x)=∣(ax−1)x∣在区间(0,+∞)内单调递增"的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 【2013·安徽理·8】函数y=f(x)的图象如图所示，在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,⋯,x n，使得f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n，则n的取值范围是( )A. {3,4}B. {2,3,4}C. {3,4,5}D. {2,3}3. 【2013·安徽理·10】若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2，且f(x1)=x1，则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是( )A. 3B. 4C. 5D. 64. 【2013·北京理·10】函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y轴对称，则f(x)=( )A. e x+1B. e x−1C. e−x+1D. e−x−15. 【2013·福建理·8】设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )A. ∀x∈R,f(x)≤f(x0)B. −x0是f(−x)的极小值点C. −x0是−f(x)的极小值点D. −x0是−f(−x)的极小值点6. 【2013·广东理·8】定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 17. 【2013·湖北理·8】已知a为常数，函数f(x)=x(lnx−ax)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，则( )A. f(x1)>0，f(x2)>−12B. f(x1)<0，f(x2)<−12C. f(x1)>0，f(x2)<−12D. f(x1)<0，f(x2)>−128. 【2013·湖南理·8】函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2−4x+5的图象的交点个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 09. 【2013·江西理·2】函数y=√xln(1−x)的定义域为( )A. (0,1)B. [0,1)C. (0,1]D. [0,1]10.【2013·江西理·10】如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于E,D两点．设弧FG⏜的长为x(0<x<π)，y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f(x)的图象大致是( )A. B.C. D.11. 【2013·辽宁理·11】已知函数f(x)=x2−2(a+2)x+a2，g(x)=−x2+2(a−2)x−a2+8，设H1(x)=max{f(x),g(x)}，H2(x)=min{f(x),g(x)}（max{p,q}表示p，q中的较大值，min{p,q}表示p，q中的较小值）．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A−B=( )A. 16B. −16C. a2−2a−16D. a2+2a−1612. 【2013·辽宁理·12】设函数f(x)满足x2fʹ(x)+2xf(x)=e xx ，f(2)=e28，则x>0时，f(x)( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值13. 【2013·全国大纲理·4】已知函数f(x)的定义域为(−1,0)，则函数f(2x+1)的定义域为( )A. (−1,1)B. (−1,−12)C. (−1,0)D. (12,1)14. 【2013·全国大纲理·5】函数f(x)=log2(1+1x)(x>0)的反函数f−1(x)=( )A. 12x−1(x>0) B. 12x−1(x≠0)C. 2x−1(x∈R)D. 2x−1(x>0)15. 【2013·全国大纲理·9】若函数f(x)=x2+ax+1x 在(12,+∞)是增函数，则a的取值范围是( )A. [−1,0]B. [−1,+∞)C. [0,3]D. [3,+∞)16. 【2013·新课标Ⅱ理·8】设a=log36，b=log510，c=log714，则( )A. c>b>aB. b>c>aC. a>c>bD. a>b>c17. 【2013·新课标Ⅱ理·10】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是( )A. ∃x0∈R，f(x0)=0B. 函数y=f(x)的图象是中心对称图形C. 若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(−∞,x0)单调递减D. 若x0是f(x)的极值点，则fʹ(x0)=018. 【2013·陕西理·3】已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+1x，则f(−1)=( )A. 2B. 1C. 0D. −219. 【2013·四川理·7】函数y=x33x−1的图象大致是( )A. B. C. D.20. 【2013·四川理·10】设函数 f (x )=√e x +x −a （a ∈R ，e 为自然对数的底数）．若曲线 y =sinx 上存在 (x 0,y 0) 使得 f(f (y 0))=y 0，则 a 的取值范围是 ( ) A. [1,e ] B. [e −1−1,1] C. [1,1+e ] D . [e −1−1,e +1]21. 【2013·天津理·7】函数 f (x )=2x ∣log 0.5x ∣−1 的零点个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 422. 【2013·天津理·8】已知函数 f (x )=x (1+a∣x∣)．设关于 x 的不等式 f (x +a )<f (x ) 的解集为 A ，若 [−12,12]⊆A ，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (1−√52,0) B. (1−√32,0)C. (1−√52,0)∪(0,1+√32) D. (−∞,1−√52)23. 【2013·浙江理·3】已知 x ，y 为正实数，则 ( )A. 2lgx+lgy =2lgx +2lgyB. 2lg (x+y )=2lgx ⋅2lgyC. 2lgx⋅lgy =2lgx +2lgyD. 2lg (xy )=2lgx ⋅2lgy 24. 【2013·浙江理·8】已知 e 为自然对数的底数，设函数 f (x )=(e x −1)(x −1)k (k =1,2) ，则 ( ) A. 当 k =1 时， f (x ) 在 x =1 处取得极小值 B. 当 k =1 时， f (x ) 在 x =1 处取得极大值 C. 当 k =2 时， f (x ) 在 x =1 处取得极小值 D. 当 k =2 时， f (x ) 在 x =1 处取得极大值25. 【2013·重庆理·6】若 a <b <c ，则函数 f (x )=(x −a )(x −b )+(x −b )(x −c )+(x −c )(x −a ) 的两个零点分别位于区间 ( ) A. (a,b ) 和 (b,c ) 内 B. (−∞,a ) 和 (a,b ) 内 C. (b,c ) 和 (c,+∞) 内 D. (−∞,a ) 和 (c,+∞) 内二、填空题1.【2013·湖北理·12】若曲线 y =kx +lnx 在点 (1,k ) 处的切线平行于 x 轴， 则 k = ．2. 【2013·湖南理·12】若 ∫x 2T0dx =9，则常数 T 的值为________________ ．3. 【2013·湖南理·16】设函数 f (x )=a x +b x −c x ，其中 c >a >0，c >b >0． （1）记集合 M ={(a,b,c )∣ a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长,且 a =b}，则 (a,b,c )∈M 所对应的 f (x ) 的零点的取值集合为________________ ；（2）若 a ，b ，c 是 △ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________________ ．（写出所有正确结论的序号） ① ∀x ∈(−∞,1)，f (x )>0； ② ∃x ∈R ，使 a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若 △ABC 为钝角三角形，则 ∃x ∈(1,2)，使 f (x )=0．4. 【2013·江苏理·11】已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数．当 x >0 时， f (x )=x 2−4x ，则不等式 f (x )>x 的解集用区间表示为________________ ．5. 【2013·江苏理·13】在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A (a,a ) ， P 是函数 y =1x(x >0) 图象上一动点，若点 P,A 之间的最短距离为 2√2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为________________ ．6. 【2013·江西理·13】设函数 f (x ) 在 (0,+∞) 内可导，且 f (e x )=x +e x ，则 fʹ(1)=________________ ．7. 【2013·新课标Ⅰ理·16】若函数 f (x )=(1−x 2)(x 2+ax +b ) 的图象关于直线 x =−2 对称，则 f (x ) 的最大值是________________ ．8. 【2013·陕西理·16】定义"正对数"：ln +x ={0,0<x <1lnx,x ≥1，现有四个命题：①若 a >0,b >0，则 ln +(a b )=bln +a ；②若 a >0,b >0，则 ln +(ab )=ln +a +ln +b ； ③若 a >0,b >0，则 ln +(ab)≥ln +a −ln +b ；④若 a >0,b >0，则 ln +(a +b )≤ln +a +ln +b +ln2．其中真命题有________________ （写出所有真命题的编号）．9. 【2013·上海理·12】设 a 为实常数，y =f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x <0 时，f (x )=9x +a 2x+7，若 f (x )≥a +1 对一切 x ≥0 成立，则 a 的取值范围为________________ ．10. 【2013·上海理·14】对区间 I 上有定义的函数 g (x )，记 g (I )={y∣ y =g (x ),x ∈I }，已知定义域为 [0,3] 的函数 y =f (x ) 有反函数 y =f −1(x )，且 f −1([0,1))=[1,2),f −1((2,4])=[0,1)，若方程 f (x )−x =0 有解 x 0，则 x 0=________________ ．11. 【2013·四川理·14】已知 f (x ) 是定义域为 R 的偶函数，当 x ≥0 时， f (x )=x 2−4x ，那么，不等式 f (x +2)<5 的解集是________________ ．2013参考答案一、选择题1. C2. B3. A4. D5. D6. C7. D8. B9. B 10. D 11. B 12. D 13. B 14. A 15 D 16. D 17. C 18. D 19. C 20. A 21. B 22. A 23. D 24. C 25. A二、填空题1. -12. 33. {x∣ 0<x≤1}；①②③4. (−5,0)∪(5,+∞)5. −1；√106. 27. 168. ①③④9. a≤−8710. 211. {x∣ −7<x<3}2013年高考真题1. 【2013·安徽理·20】设函数f n(x)=−1+x+x222+x332+⋯+x nn2(x∈R,n∈N∗)．证明：Ⅰ 对每个n∈N∗，存在唯一的x n∈[23,1]，满足f n(x n)=0；Ⅰ 对任意p∈N∗，由（1）中x n构成的数列{x n}满足0<x n−x n+p<1n．2. 【2013·北京理·20】设L为曲线C:y=lnxx在点(1,0)处的切线．Ⅰ 求L的方程；Ⅰ 证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．3. 【2013·广东理·17】已知函数f(x)=x−alnx(a∈R)．Ⅰ 当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；Ⅰ 求函数f(x)的极值．4. 【2013·福建理·17】设函数 f (x )=(x −1)e x −kx 2(k ∈R )． Ⅰ 当 k =1 时，求函数 f (x ) 的单调区间；Ⅰ 当 k ∈(12,1] 时，求函数 f (x ) 在 [0,k ] 上的最大值 M ．5. 【2013·湖北理·22】设 n 为正整数，r 为正有理数． Ⅰ 求函数 f (x )=(1+x )r+1−(r +1)x −1(x >−1) 的最小值； Ⅰ 证明：n r+1−(n−1)r+1r+1<n r <(n+1)r+1−n r+1r+1;Ⅰ 设 x ∈R ，记 [x ] 为不小于 x 的最小整数，例如 [2]=2，[π]=4，[−32]=−1．令 S =√813+√823+√833+⋯+√1253，求 [S ] 的值．（参考数据：8043≈344.7，8143≈350.5，12443≈618.3，12643≈631.7）6. 【2013·湖南理·22】已知 a >0，函数 f (x )=∣∣x−a x+2a ∣∣．Ⅰ 记 f (x ) 在区间 [0,4] 上的最大值为 g (a )，求 g (a ) 的表达式；Ⅰ 是否存在 a ，使函数 y =f (x ) 在区间 (0,4) 内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直?若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．7. 【2013·江苏理·20】设函数 f (x )=lnx −ax,g (x )=e x −ax ，其中 a 为实数．Ⅰ 若 f (x ) 在 (1,+∞) 上是单调减函数，且 g (x ) 在 (1,+∞) 上有最小值，求 a 的取值范围；Ⅰ 若 g (x ) 在 (−1,+∞) 上是单调增函数，试求 f (x ) 的零点个数，并证明你的结论．8. 已知函数f(x)=a(1−2∣∣x−12∣∣)，a为常数且a>0．Ⅰ 证明：函数f(x)的图象关于直线x=12对称；Ⅰ 若x0满足f(f(x0))=x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点，如果f(x)有两个二阶周期点x1,x2，试确定a的取值范围；Ⅰ 对于（2）中的x1,x2和a，设x3为函数f(f(x))的最大值点，A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0)，记△ABC的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性9. 【2013·辽宁理·21】已知函数f(x)=(1+x)e−2x,g(x)=ax+x32+1+2xcosx，当x∈[0,1]时，Ⅰ 求证：1−x≤f(x)≤11+x；Ⅰ 若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．10. 【2013·全国大纲理·22】已知函数f(x)=ln(1+x)−x(1+λx)1+x．Ⅰ 若x≥0时f(x)≤0，求λ的最小值；Ⅰ 设数列{a n}的通项a n=1+12+13+⋯+1n，证明：a2n−a n+14n>ln2．11. 【2013·新课标Ⅰ理·21】设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=e x(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y=4x+ 2．Ⅰ 求a，b，c，d的值；Ⅰ 若 x ≥−2 时， f (x )≤kg (x ) ，求 k 的取值范围．12. 【2013·新课标Ⅱ理·21】已知函数 f (x )=e x −ln (x +m )． Ⅰ 设 x =0 是 f (x ) 的极值点，求 m ，并讨论 f (x ) 的单调性； Ⅰ 当 m ≤2 时，证明 f (x )>0．13. 【2013·陕西理·21】设函数 f (x )=xe 2x +c （e =2.71828⋯ 是自然对数的底数，c ∈R ）． Ⅰ 求f (x ) 的单调区间、最大值；Ⅰ 讨论关于 x 的方程 ∣lnx∣=f (x ) 根的个数14. 【2013·四川理·21】已知函数 f (x )={x 2+2x +a,x <0lnx,x >0，其中 a 是实数．设A(x 1,f (x 1))，B(x 2,f (x 2)) 为该函数图象上的两点，且 x 1<x 2．Ⅰ 指出函数 f (x ) 的单调区间；Ⅰ 若函数 f (x ) 的图象在点 A ，B 处的切线互相垂直，且 x 2<0，求 x 2−x 1 的最小值； Ⅰ 若函数 f (x ) 的图象在点 A ，B 处的切线重合，求 a 的取值范围．15. 【2013·天津理·20】 已知函数 f (x )=x 2lnx ． Ⅰ 求函数 f (x ) 的单调区间；Ⅰ 证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使t=f(s)．Ⅰ 设（2）中所确定的s关于t的函数为s=g(t)，证明：当t>e2时，有25<lng(t)lnt<12．16. 【2013·浙江理·20】已知a∈R，函数f(x)=x3−3x2+3ax−3a+3Ⅰ 求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；Ⅰ 当x∈[0,2]时，求∣f(x)∣的最大值．17. 【2013·重庆理·17】设f(x)=a(x−5)2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．Ⅰ 确定a的值；Ⅰ 求函数f(x)的单调区间与极值．2013参考答案1. （1） 对每个 n ∈N ∗，当 x >0 时，f n ′(x )=1+x 2+⋯+x n−1n>0,故 f n (x ) 在 (0,+∞) 内单调递增． 由于 f 1(1)=0，当 n ≥2，f n (1)=122+132+⋯+1n 2>0, 故 f n (1)≥0．又f n (23)=−1+23+∑(23)kk2nk=2≤−13+14∑(23)knk=2=−13+14⋅(23)2[1−(23)n−1]1−23=−13⋅(23)n−1<0,所以存在唯一的 x n ∈[23,1]，满足 f n (x n )=0．（2） 当 x >0 时，f n+1(x )=f n (x )+x n+1(n +1)2>f n (x ),故f n+1(x n )>f n (x n )=f n+1(x n+1)=0.由 f n+1(x ) 在 (0,+∞) 内单调递增知，x n+1<x n ，故 {x n } 为单调递减数列．从而对任意的 n,p ∈N ∗,x n+p <x n ，对任意的 p ∈N ∗，由于f n (x n )=−1+x n +x n 222+⋯+x n nn2=0, ⋯⋯①f n+p (x n+p )=−1+x n+p +x n+p 222+⋯+x n+p n n 2+x n+pn+1(n +1)2+⋯+x n+p n+p (n +p )2=0, ⋯⋯②①式减去②式并移项，利用 0<x n+p <x n ≤1，得x n −x n+p=∑x n+pk−x nk k 2nk=2+∑x n+pk k 2n+pk=n+1≤∑x n+pk k 2n+pk=n+1≤∑12n+pk=n+1<∑1k (k −1)n+pk=n+1=1n −1n +p <1n .因此，对任意 p ∈N ∗，都有0<x n −x n+p <1n.2（1） 设 f (x )=lnx x，则fʹ(x )=1−lnxx 2. 所以 fʹ(1)=1 ，所以 L 的方程为 y =x −1 ．（2） 令 g (x )=x −1−f (x ) ，则除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0,x ≠1).g (x ) 满足 g (1)=0 ，且gʹ(x )=1−fʹ(x )=x 2−1+lnx x 2.当 0<x <1 时，x 2−1<0,lnx <0,所以 gʹ(x )<0 ，故 g (x ) 单调递减； 当 x >1 时，x 2−1>0,lnx >0,所以 gʹ(x )>0 ，故 g (x ) 单调递增．所以，g (x )>g (1)=0(∀x >0,x ≠1).所以除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方．3（1） 当 a =2 时，f (x )=x −2lnx,fʹ(x )=1−2x(x >0),因而f (1)=1,fʹ(1)=−1,所以曲线 y =f (x ) 在点 A(1,f (1)) 处的切线方程为y −1=−(x −1),即x +y −2=0.（2） 由fʹ(x )=1−a x =x −ax,x >0知：①当 a ≤0 时，fʹ(x )>0，函数 f (x ) 为 (0,+∞) 上是增函数，函数 f (x ) 无极值． ②当 a >0 时，由 fʹ(x )=0，解得 x =a ． 又当 x ∈(0,a ) 时，fʹ(x )<0； 当 x ∈(a,+∞) 时，fʹ(x )>0，从而函数 f (x ) 在 x =a 处取得极小值，且极小值为f (a )=a −alna,无极大值．综上，当 a ≤0 时，函数 f (x ) 无极值；当 a >0 时，函数 f (x ) 在 x =a 处取得极小值 a −alna ，无极大值． 4（1）fʹ(x )=(x −1)e x +e x −2kx=xe x −2kx=x (e x−2k ).当 k =1 时，令 fʹ(x )=x (e x −2)=0，得x 1=0,x 2=ln2;当 x <0 时，fʹ(x )>0；当 0<x <ln2 时，fʹ(x )<0；当 x >ln2 时，fʹ(x )>0； Ⅰ函数 f (x ) 的单调递增区间为 (−∞,0),(ln2,+∞)；单调递减区间为 (0,ln2)． （2） Ⅰ 12<k ≤1，Ⅰ 1<2k ≤2，所以0<ln (2k )<ln2.记 h (k )=k −ln (2k )，则 hʹ(k )=1−22k=k−1k在 k ∈(12,1) 有 hʹ(k )<0，Ⅰ当 k ∈(12,1) 时，h (k )=k −ln (2k )>h (1)=1−ln2>0，即k >ln (2k )>0.Ⅰ当 k ∈(12,1) 时，函数 f (x ) 在 [0,ln (2k )) 单调递减，在 (ln (2k ),k ] 单调递增． f (0)=−1，f (k )=(k −1)e k −k 3，记 g (k )=f (k )=(k −1)e k −k 3，下证明 g (k )≥−1．gʹ(k )=k(e k −3k),设 p (k )=e k −3k ，令pʹ(k )=e k −3=0,得k =ln3>1, Ⅰ p (k )=e k −3k 在 (12,1] 为单调递减函数，而p (12)=√e −32>√2.25−1.5=0,p (1)=e −3<0,Ⅰ gʹ(k )=k(e k −3k)=0 的一个非零的根为 k 0∈(12,1]，且 e k 0=3k 0． 显然 g (k )=(k −1)e k −k 3 在 (12,k 0) 单调递增，在 (k 0,1] 单调递减， Ⅰ g (k )=f (k )=(k −1)e k −k 3 在 (12,1) 上的最大值为g (k 0)=(k 0−1)3k 0−k 03=−k 03+3k 02−3k 0=(1−k 0)3−1>−1,g (12)=−12√e −18>−1⇔74>√e 而 74>√3>√e 成立，Ⅰ g (12)>−1,g (1)=−1．综上所述，当 k ∈(12,1] 时，函数 f (x ) 在 [0,k ] 的最大值M =(k −1)e k −k 3.5（1）因为fʹ(x)=(r+1)(1+x)r−(r+1)=(r+1)[(1+x)r−1],令fʹ(x)=0，解得x=0.当−1<x<0时，fʹ(x)<0，所以f(x)在(−1,0)内是减函数；当x>0时，fʹ(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)内是增函数．故函数f(x)在x=0处取得最小值f(0)=0.（2）由（1）知，当x∈(−1,+∞)时，f(x)≥f(0)=0，即(1+x)r+1≥1+(r+1)x,当且仅当x=0时等号成立，故当x>−1且x≠0时，有(1+x)r+1>1+(r+1)x. ⋯⋯①在①中，令x=1n（这时x>−1且x≠0），得(1+1n)r+1>1+r+1n.上式两边同乘n r+1，得(n+1)r+1>n r+1+n r(r+1)，即n r<(n+1)r+1−n r+1r+1. ⋯⋯②当n>1时，在①中令x=−1n（这时x>−1且x≠0），类似可得n r>n r+1−(n−1)r+1r+1. ⋯⋯③且当n=1时，③也成立．综合②③，得n r+1−(n−1)r+1r+1<n r<(n+1)r+1−n r+1r+1. ⋯⋯④（3）在④中，令r=13，n分别取值81,82,83,⋯,125，得34(8143−8043)<√813<34(8243−8143),34(8243−8143)<√823<34(8343−8243),34(8343−8243)<√833<34(8443−8343),⋯⋯,34(12543−12443)<√1253<34(12643−12543). 将以上各式相加并整理，得34(12543−8043)<S <34(12643−8143). 代入数据计算，可得34(12543−8043)≈210.2,34(12643−8143)≈210.9. 由 [S ] 的定义，得 [S ]=211．6（1） 当 0≤x ≤a 时，f (x )=a−x x+2a ；当 x >a 时，f (x )=x−a x+2a．因此，当 x ∈(0,a ) 时，fʹ(x )=−3a(x+2a )2<0，f (x ) 在 (0,a ) 上单调递减； 当 x ∈(a,+∞) 时，fʹ(x )=3a(x+2a )2>0，f (x ) 在 (a,+∞) 上单调递增． ①当 a ≥4 时，则 f (x ) 在 x ∈(0,4) 上单调递减，g (a )=f (0)=12．②当 0<a <4 时，则 f (x ) 在 (0,a ) 上单调递减，在 (a,4) 上单调递增，所以g (a )=max {f (0),f (4)}. 而f (0)−f (4)=12−4−a 4+2a =a −12+a, 故当 0<a ≤1 时，g (a )=f (4)=4−a4+2a ；当 1<a <4 时，g (a )=f (0)=12． 综上所述，g (a )={4−a4+2a ,0<a ≤1,12,a >1.（2） 由（1）知，当 a ≥4 时，f (x ) 在 x ∈(0,4) 上单调递减，故不满足要求． 当 0<a <4 时，f (x ) 在 (0,a ) 上单调递减，在 (a,4) 上单调递增．若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2)使曲线y=f(x)在(x1,f(x1))，(x2,f(x2))两点处的切线互相垂直，则x1∈(0,a)，x2∈(a,4)，且fʹ(x1)⋅fʹ(x2)=−1，即−3a (x1+2a)2⋅3a(x2+2a)2=−1亦即x1+2a=3ax2+2a. ⋯⋯①由x1∈(0,a)，x2∈(a,4)得x1+2a∈(2a,3a)，3ax2+2a ∈(3a4+2a,1)．故①成立等价于集合A={x∣ 2a<x<3a}与集合B={x∣ 3a4+2a<x<1}的交集非空．因为3a4+2a <3a，所以当且仅当0<2a<1，即0<a<12时，A∩B≠∅．综上所述，存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是(0,12)．7（1）令fʹ(x)=1−a=1−ax<0,考虑到f(x)的定义域为(0,+∞)，故a>0，进而解得x>a−1,即f(x)在(a−1,+∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0,a−1)上是单调增函数．由于f(x)在(1,+∞)上是单调减函数，故(1,+∞)⊆(a−1,+∞),从而a−1≤1，即a≥1．令gʹ(x)=e x−a=0,得x=lna.当x<lna时，gʹ(x)<0；当x>lna时，gʹ(x)>0．又g(x)在(1,+∞)上有最小值，所以lna>1，即a>e.综上可知，a∈(e,+∞)．（2）当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a>0时，令gʹ(x)=e x−a>0,解得a<e x，即x>lna.因为g(x)在(−1,+∞)上是单调增函数，类似（1）有lna≤−1，即0<a≤e−1．结合上述两种情况，得a≤e−1.①当a=0时，由f(1)=0以及fʹ(x)=1x>0，得f(x)存在唯一的零点；②当a<0时，由于f(e a)=a−ae a=a(1−e a)<0,f(1)=−a>0,且函数f(x)在[e a,1]上的图象连续，所以f(x)在(e a,1)上存在零点．另外，当x>0时，fʹ(x)=1x−a>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．③当0<a≤e−1时，令fʹ(x)=1−a=0,解得x=a−1.当0<x<a−1时，fʹ(x)>0；当x>a−1时，fʹ(x)<0，所以，x=a−1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a−1)=−lna−1.a．当−lna−1=0，即a=e−1时，f(x)有一个零点x=e．b．当−lna−1>0，即0<a<e−1时，f(x)有两个零点．实际上，对于0<a<e−1，由于f(e−1)=−1−ae−1<0,f(a−1)>0,且函数f(x)在[e−1,a−1]上的图象连续，所以f(x)在(e−1,a−1)上存在零点．另外，当x∈(0,a−1)时，fʹ(x)=1x−a>0,故f(x)在(0,a−1)上是单调增函数，所以f(x)在(0,a−1)上只有一个零点．下面考虑f(x)在(a−1,+∞)上的情况．先证f(e a−1)=a(a−2−e a−1)<0.为此，我们要证明：当x>e时，e x>x2．设h(x)=e x−x2，则hʹ(x)=e x−2x,再设l(x)=hʹ(x)=e x−2x，则lʹ(x)=e x−2.当x>1时，lʹ(x)=e x−2>e−2>0,所以l(x)=hʹ(x)在(1,+∞)上是单调增函数．故当x>2时，hʹ(x)=e x−2x>hʹ(2)=e2−4>0,从而h(x)在(2,+∞)上是单调增函数，进而当x>e时，h (x )=e x −x 2>h (e )=e e −e 2>0,即当 x >e 时，e x >x 2．当 0<a <e −1，即 a −1>e 时，f(e a −1)=a −1−ae a−1=a(a −2−e a −1)<0. 又 f (a −1)>0，且函数 f (x ) 在 [a −1,e a −1] 上的图象连续，所以 f (x ) 在 (a −1,e a −1) 上存在零点． 又当 x >a −1 时，fʹ(x )=1x−a <0, 故 f (x ) 在 (a −1,+∞) 上是单调减函数， 所以 f (x ) 在 (a −1,+∞) 上只有一个零点． 综合①②③可知，当 a ≤0 或 a =e −1 时，f (x ) 的零点个数为 1，当 0<a <e −1 时，f (x ) 的零点个数为 2．8（1） 因为f (1+x)=a (1−2∣x∣), f (12−x)=a (1−2∣x∣), 有f (1+x)=f (1−x). 所以函数 f (x ) 的图象关于直线 x =12 对称． （2） 当 0<a <12 时，有f(f (x ))={4a 2x,x ≤12,4a 2(1−x ),x >12,所以 f(f (x ))=x 只有一个解 x =0． 又 f (0)=0，故 0 不是二阶周期点． 当 a =12 时，有f(f (x ))={x,x ≤12,1−x,x >12,所以 f(f (x ))=x 有解集 {x∣ x ≤12}．又当 x ≤12时，f (x )=x ，故 {x∣ x ≤12} 中的所有点都不是二阶周期点．当 a >12 时，有f(f (x ))={4a 2x,x ≤14a ,2a −4a 2x,14a <x ≤12,2a (1−2a )+4a 2x,12<x ≤4a −14a ,4a 2−4a 2x,x >4a −14a,所以 f(f (x ))=x 有四个解：0,2a 1+4a2,2a1+2a ,4a 21+4a 2．又f (0)=0,f (2a )=2a,f (2a 1+4a 2)≠2a 1+4a 2,f (4a 21+4a 2)≠4a 21+4a 2, 故只有 2a1+4a 2,4a 21+4a 2 是 f (x ) 的二阶周期点． 综上所述，所求 a 的取值范围为 a >12． （3） 由（2）得x 1=2a1+4a 2,x 2=4a 21+4a 2, 因为 x 3 为函数 f(f (x )) 的最大值点，所以x 3=14a 或 x 3=4a −14a. 当 x 3=14a 时，S (a )=2a−14(1+4a 2)，求导得Sʹ(a )=2(a −1+√22)(a −1−√22)(1+4a 2)2,所以当 a ∈(12,1+√22) 时，S (a ) 单调递增，当 a ∈(1+√22,+∞) 时，S (a ) 单调递减；当x3=4a−14a 时，S(a)=8a2−6a+14(1+4a2)，求导得Sʹ(a)=12a2+4a−32(1+4a2)2,因为a>12，从而有Sʹ(a)=12a2+4a−32(1+4a2)2>0,所以当a∈(12,+∞)时，S(a)单调递增．9（1）要证x∈[0,1]时，(1+x)e−2x≥1−x,只需证明(1+x)e−x≥(1−x)e x.记h(x)=(1+x)e−x−(1−x)e x，则hʹ(x)=x(e x−e−x),当x∈(0,1)时，hʹ(x)>0，因此h(x)在[0,1]上是增函数，故h(x)≥h(0)=0.所以f(x)≥1−x,x∈[0,1].要证x∈[0,1]时，(1+x)e−2x≤11+x，只需证明e x≥x+1.记K(x)=e x−x−1，则Kʹ(x)=e x−1,当x∈(0,1)时，Kʹ(x)>0，因此K(x)在[0,1]上是增函数，故K(x)≥K(0)=0.所以f(x)≤11+x,x∈[0,1].综上，1−x≤f(x)≤11+x,x∈[0,1].（2）方法一：f(x)−g(x)=(1+x)e−2x−(ax+x32+1+2xcosx)≥1−x−ax−1−x32−2xcosx=−x(a+1+x22+2cosx).设G(x)=x22+2cosx，则Gʹ(x)=x−2sinx.记H(x)=x−2sinx，则Hʹ(x)=1−2cosx,当x∈(0,1)时，Hʹ(x)<0，于是Gʹ(x)在[0,1]上是减函数，从而当x∈(0,1)时，Gʹ(x)<Gʹ(0)=0,故G(x)在[0,1]上是减函数，于是G(x)≤G(0)=2，从而a+1+G(x)≤a+3,所以，当a≤−3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立，下面证明，当a>−3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．f(x)−g(x)≤11+x−1−ax−x32−2xcosx=−x1+x−ax−x32−2xcosx=−x(11+x +a+x22+2cosx).记I(x)=11+x+a+x22+2cosx=11+x+a+G(x),则Iʹ(x)=−1(1+x)2+Gʹ(x),当x∈(0,1)时，Iʹ(x)<0．故I(x)在[0,1]上是减函数．于是I(x)在[0,1]上的值域为[a+1+2cos1,a+3].因为当a>−3时，a+3>0，所以存在x0∈(0,1)，使得I(x0)>0,此时f(x0)<g(x0),即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(−∞,−3]．方法二：先证当x∈[0,1]时，1−12x2≤cosx≤1−14x2.记F(x)=cosx−1+12x2，则Fʹ(x)=−sinx+x.记G(x)=−sinx+x，则Gʹ(x)=−cosx+1,当x∈(0,1)时，Gʹ(x)>0，于是G(x)在[0,1]上是增函数，因此当x∈(0,1)时，G(x)>G(0)=0,从而F(x)在[0,1]上是增函数，因此F(x)≥F(0)=0,所以当x∈[0,1]时，1−12x2≤cosx.同理可证，当x∈[0,1]时，cosx≤1−14x2.综上，当x∈[0,1]时，1−12x2≤cosx≤1−14x2.因为当x∈[0,1]时，f(x)−g(x)=(1+x)e−2x−(ax+x32+1+2xcosx)≥(1−x)−ax−x32−1−2x(1−14x2)=−(a+3)x.所以当a≤−3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立．下面证明，当a>−3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．因为f(x)−g(x)=(1+x)e−2x−(ax+x32+1+2xcosx)≤1−1−ax−x3−2x(1−1x2)=x2+x3−(a+3)x≤32x[x−23(a+3)],所以存在x0∈(0,1)（例如x0取a+33和12中的较小值）满足f(x0)<g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(−∞,−3]．10（1） 由已知f (0)=0,fʹ(x )=(1−2λ)x −λx 2(1+x )2,fʹ(0)=0.若 λ≤0，则在 (0,+∞) 上，fʹ(x )>0，f (x ) 单调递增，f (x )>f (0)=0，不符题意； 若 0<λ<12，则当 0<x <1−2λλ时，fʹ(x )>0，所以 f (x )>0．若 λ≥12，则当 x >0 时，fʹ(x )<0，f (x ) 单调递减，所以当 x >0 时，f (x )<0． 综上，λ 的最小值是 12．（2） 令 λ=12．由（1）知，当 x >0 时，f (x )<0，即x (2+x )2+2x>ln (1+x ).取 x =1k ，则2k +12k (k +1)>ln (k +1k).于是a 2n −a n +14n =∑(12k +12(k +1))2n−1k=n=∑2k +12k (k +1)2n−1k=n >∑lnk +1k2n−1k=n=ln2n −lnn =ln2,所以a 2n −a n +14n>ln2.11. （1） 由已知得 f (0)=2，g (0)=2，fʹ(0)=4，gʹ(0)=4． 而fʹ(x)=2x+a,gʹ(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4，b=2，c=2，d=2．（2）由（1）知f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1).设函数F(x)=kg(x)−f(x)=2ke x(x+1)−x2−4x−2，则Fʹ(x)=2ke x(x+2)−2x−4=2(x+2)(ke x−1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1．令Fʹ(x)=0，得x1=−lnk,x2=−2.（i）若1≤k<e2，则−2<x1≤0,从而当x∈(−2,x1)时，Fʹ(x)<0；当x∈(x1,+∞)时，Fʹ(x)>0，即F(x)在(−2,x1)上单调递减，在(x1,+∞)上单调递增，故F(x)在[−2,+∞)上的最小值为F(x1)，而F(x1)=2x1+2−x12−4x1−2=−x1(x1+2)≥0.故当x≥−2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．（ii）若k=e2，则Fʹ(x)=2e2(x+2)(e x−e−2),从而当x>−2时，Fʹ(x)>0，即F(x)在(−2,+∞)上单调递增，而F(−2)=0，故当x≥−2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．（iii）若k>e2，则F(−2)=−2ke−2+2=−2e−2(k−e2)<0.从而当x≥−2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1,e2]．12. （1）fʹ(x)=e x−1x+m.由x=0是f(x)的极值点得fʹ(0)=0，所以m=1．于是f(x)=e x−ln(x+1),定义域为(−1,+∞)，fʹ(x)=e x−1 x+1.函数fʹ(x)=e x−1x+1在(−1,+∞)上单调递增，且fʹ(0)=0，因此，当x∈(−1,0)时，fʹ(x)<0；当x∈(0,+∞)时，fʹ(x)>0．所以f(x)在(−1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．（2）当m≤2，x∈(−m,+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时，f(x)>0．当m=2时，函数fʹ(x)=e x−1 x+2在(−2,+∞)上单调递增．又fʹ(−1)<0，fʹ(0)>0，故fʹ(x)=0在(−2,+∞)上有唯一实根x0，且x0∈(−1,0)．当x∈(−2,x0)时，fʹ(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，fʹ(x)>0，从而当x=x0时，f(x)取得最小值．由fʹ(x0)=0得e x0=1x0+2,ln(x0+2)=−x0,故f(x)≥f(x0)=1x0+2+x0=(x0+1)2 x0+2>0.综上，当m≤2时，f(x)>0．13. （1）因为fʹ(x)=(1−2x)e−2x,由fʹ(x)=0，解得x=1 2 .当x<12时，fʹ(x)>0，f(x)单调递增；当x>12时，fʹ(x)<0，f(x)单调递减．所以，函数f(x)的单调递增区间是(−∞,12)，单调递减区间是(12,+∞)，最大值为f(12)=12e−1+c．（2）令g(x)=∣lnx∣−f(x)=∣lnx∣−xe−2x−c,x∈(0,+∞).（1）当x∈(1,+∞)时，lnx>0，则g (x )=lnx −xe −2x −c,所以gʹ(x )=e−2x(e 2x x+2x −1). 因为e 2x x>0，2x −1>0，所以gʹ(x )>0.因此 g (x ) 在 (1,+∞) 上单调递增． （2）当 x ∈(0,1) 时，lnx <0，则g (x )=−lnx −xe −2x −c,所以gʹ(x )=e −2x(−e 2xx +2x −1).因为 e 2x ∈(1,e 2),e 2x >1>x >0，所以−e 2x x<−1. 又 2x −1<1，所以 −e 2x x+2x −1<0，即gʹ(x )<0.因此 g (x ) 在 (0,1) 上单调递减． 综合（1）（2）可知，g (x ) 在 (0,1) 单调递减，在 (1,+∞) 单调递增； 所以，g (x ) 的最小值是 g (1)=−e −2−c ．①当 g (1)=−e −2−c >0，即 c <−e −2 时，g (x ) 没有零点，故关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 0；②当 g (1)=−e −2−c =0，即 c =−e −2 时，g (x ) 只有一个零点，故关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 1；③当 g (1)=−e −2−c <0，即 c >−e −2 时， 当 x ∈(1,+∞) 时，由（1）知g (x )=lnx −xe −2x −c ≥lnx −(12e −1+c)>lnx −1−c,要使 g (x )>0，只需 lnx −1−c >0，，即 x ∈(e 1+c ,+∞)； 当 x ∈(0,1) 时，由（1）知g (x )=−lnx −xe −2x −c ≥−lnx −(12e −1+c)>−lnx −1−c,要使 g (x )>0，只需 −lnx −1−c >0，即 x ∈(0,e −1−c )．所以当 c >−e −2 时，g (x ) 有两个零点，故关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 2． 综上所述，当 c <−e −2 时，关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 0； 当 c =−e −2 时，关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 1； 当 c >−e −2 时，关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 2．14. （1）函数f(x)的单调递减区间为(−∞,−1)，单调递增区间为[−1,0),(0,+∞)．（2）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为fʹ(x1)，点B处的切线斜率为fʹ(x2)，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有fʹ(x1)fʹ(x2)=−1.当x<0时，对函数f(x)求导，得fʹ(x)=2x+2.因为x1<x2<0，所以(2x1+2)(2x2+2)=−1,所以2x1+2<0,2x2+2>0.因此x2−x1=12[−(2x1+2)+2x2+2]≥√[−(2x1+2)](2x2+2)=1,当且仅当−(2x1+2)=2x2+2=1,即x1=−32且x2=−12时，等号成立．所以函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，x2−x1的最小值为1．（3）当x1<x2<0或x2>x1>0时，fʹ(x1)≠fʹ(x2),故x1<0<x2.当x1<0时，函数f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为y−(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x−x1),即y=(2x1+2)x−x12+a.当x2>0时，函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为y−lnx2=1x2(x−x2),即y=12⋅x+lnx2−1.两切线重合的充要条件是{1x2=2x1+2, ⋯⋯①lnx2−1=−x12+a. ⋯⋯②由①及x1<0<x2知，−1<x1<0．由①②，得a=x12+ln12x1+2−1=x12−ln(2x1+2)−1.∵函数y=x12−1，y=−ln(x1+2)在区间(−1,0)上单调递减，∴a(x1)=x12−ln(2x1+2)−1在(−1,0)上单调递减，且x1→−1时，a(x1)→+∞；x1→0时，a(x1)→−1−ln2．∴a的取值范围是(−1−ln2,+∞)．15. （1）函数f(x)的定义域为(0,+∞)．fʹ(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1),令fʹ(x)=0，得x=√e．当x变化时，fʹ(x),f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的单调递减区间是√e )，单调递增区间是(√e+∞)．（2）当0<x≤1时，f(x)≤0．t>0，令h(x)=f(x)−t,x∈[1,+∞).由（1）知，h(x)在区间(1,+∞)内单调递增．h(1)=−t<0,h(e t)=e2t lne t−t=t(e2t−1)>0.故存在唯一的s∈(1,+∞)，使得t=f(s)成立．（3）因为s=g(t)，由（2）知，t=f(s)，且s>1，从而lng(t)=lns ()=lnsln(s2lns)=lns2lns+ln(lns)=u2u+lnu,其中u=lns．要使2 5<lng(t)lnt<12成立，只需0<lnu<u2．当t>e2时，若s=g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t=f(s)≤f(e)=e2,矛盾，所以s>e，即u>1，从而lnu>0成立．另一方面，令F(u)=lnu−u,u>1,Fʹ(u)=1u−12,令Fʹ(u)=0，得u=2，当1<u<2时，Fʹ(u)>0，当u>2时，Fʹ(u)<0．故对u>1，F(u)≤F(2)<0,因此lnu<u2成立．综上，当t>e2时，有2 5<lng(t)lnt<12.16. （1）由题意fʹ(x)=3x2−6x+3a,故fʹ(1)=3a−3.又f(1)=1，所以所求的切线方程为y=(3a−3)x−3a+4.（2）由于fʹ(x)=3(x−1)2+3(a−1)，0≤x≤2．故①当a≤0时，有fʹ(x)≤0，此时f(x)在[0,2]上单调递减，故∣f(x)∣max=max{∣f(0)∣,∣f(2)∣}=3−3a.② 当a≥1时，有fʹ(x)≥0，此时f(x)在[0,2]上单调递增，故∣f(x)∣max=max{∣f(0)∣,∣f(2)∣}=3a−1.③ 当0<a<1时，设x1=1−√1−a，x2=1+√1−a，则0<x1<x2<2,fʹ(x)=3(x−x1)(x−x2).列表如下：由于 f (x 1)=1+2(1−a )√1−a,f (x 2)=1−2(1−a )√1−a,故f (x 1)+f (x 2)=2>0,f (x 1)−f (x 2)=4(1−a )√1−a >0,从而f (x 1)>∣f (x 2)∣.所以∣f (x )∣max =max {f (0),∣f (2)∣,f (x 1)}.① 当 0<a <23 时，f (0)>∣f (2)∣．又f (x 1)−f (0)=2(1−a )√1−a −(2−3a )=a 2(3−4a )2(1−a )√1−a +2−3a>0,故 ∣f (x )∣max=f (x 1)=1+2(1−a )√1−a ． ② 当 23≤a <1 时，∣f (2)∣=f (2)，且 f (2)≥f (0)． 又f (x 1)−∣f (2)∣=2(1−a )√1−a −(3a −2)=a 2(3−4a )2(1−a )√1−a +3a −2所以1）当 23≤a <34 时，f (x 1)>∣f (2)∣．故∣f (x )∣max =f (x 1)=1+2(1−a )√1−a.2）当 34≤a <1 时，f (x 1)≤∣f (2)∣．故∣f (x )∣max =∣f (2)∣=3a −1.综上所述，∣f (x )∣max={ 3−3a,a ≤0,1+2(1−a )√1−a,0<a <34,3a −1,a ≥34.17. （1）因为f(x)=a(x−5)2+6lnx，故fʹ(x)=2a(x−5)+6 x .令x=1，得f(1)=16a,fʹ(1)=6−8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−16a=(6−8a)(x−1).由点(0,6)在切线上可得6−16a=8a−6，故a=1 2 .（2）由（1）知，f(x)=12(x−5)2+6lnx(x>0),fʹ(x)=x−5+6x=(x−2)(x−3)x.令fʹ(x)=0，解得x1=2,x2=3.当0<x<2或x>3时，fʹ(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数；当2<x<3时，fʹ(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知，f(x)在x=2处取得极大值f(2)=9+6ln2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln3.。
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2013年各地解析分类汇编:导数客观题部分
1．已知曲线x x y ln 34
2
-=的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 2
1 2.已知()f x 为R上的可导函数，且,x R ∀∈均有()f x f >′（x），则有 （ ）
A．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<>
B．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<<
C．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f ->> D ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f ->< 3. 曲线x e
y 21=在点()2,4e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A.2e B.24e C.22e D.22
9e 4. 函数22ln y x x e ==在处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
A ．292e
B ．212Se =
C ．22e
D ．2
e 5. 曲线()ln 2y x =+在点()1,0P -处的切线方程是
A.1y x =+
B.1y x =-+
C.21y x =+
D.21y x =-+
6. 已知函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数21)('<
x f ，则2
12)(+<x x f 的解集为 A. {}11<<-x x B. {}1-<x x C. {}11>-<x x x 或 D. {}
1>x x
7.函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象如图所示，则2212x x +等于
A.89
B.109
C.169
D.289
8.曲线x y )21(=在0=x 点处的切线方程是
A ．02ln 2ln =-+y x B. 012ln =-+y x
C. 01=+-y x
D. 01=-+y x
9.已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数0)0('),('>f x f ，且)(x f 的值域为),0[+∞，则)
0(')1(f f 的最小值为（ ） A.3 B.
25 C.2 D.23 10. 已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当()()0,0x f x xf x '>+>（其中()f x '是()f x 的导函数）
，设1122log 4log 4,,a f b ⎛
⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1lg 5c ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 115f g ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系是 A.c a b >> B.c b a >> C.a b c >> D.a c b >>
11.我们常用以下方法求形如)()(x g x f y =的函数的导数：先两边同取自然对数得：)(ln )(ln x f x g y =，再两边同时求导得到：)(')
(1)()(ln )('1'x f x f x g x f x g y y ⋅⋅+=⋅，于是得到：)](')
(1)()(ln )('[)(')(x f x f x g x f x g x f y x g ⋅⋅+=，运用此方法求得函数x x y 1
=的一个单调递增区间是
A.（e ，4）
B.（3，6） C （0，e ） D.（2，3）
12.若a>0,b>0,且函数224)(23---=bx ax x x f 在x=1处有极值，则ab 的最大值（）
A.2
B.3
C.6
D.9
13.函数f(x)的定义域为R ，f(-1)=2,对任意x R ∈，'()2f x >,则()24f x x >+的解集为
( )
A.(-1，1)
B.(-1，+∞)
C.(-∞，-l)
D.(-∞,+∞)
14. 若函数(1)4a x y e x -=+（x ∈R ）有大于零的极值点，则实数a 范围是 （ ）
A ．3a >-
B ．3a <-
C ．1
3a >- D ．13a <-
15
若曲线()()(1,1)a f x g x x P =
=在点处的切线分别为1212,,,l l l l a ⊥且则的值为 A ．—2 B ．2 C ．12 D ．—12
16. 设函数)0(ln 3
1)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（ ） A ．在区间),1(),1,1(e e 内均有零点 B ．在区间),1(),1,1(e e
内均无零点 C ．在区间)1,1(e
内有零点，在区间),1(e 内无零点 D ．在区间)1,1(e
内无零点，在区间),1(e 内有零点 17. 已知0>a 函数ax x x f -=3)(在),1[+∞是单调增函数，则a 的最大值是 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
18.已知函数1()cos f x x x =，则()()2f f ππ'+= A ．2
π- B ．3π C ．1π- D ．3π
- 19.已知函数(
)11sin cos 24f x x x x =-的图像在点()00,A x y 处的切线斜率为1，则0tan x =___.___.
20.若曲线2
1232-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，则切点坐标为 ，切线方程为 ．
21. 已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p ≠，不等式
1)1()1(>-+-+q
p q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 22.若函数a x x x f +-=3)(3有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .
23. 已知函数)(x f 的定义域［-1，5］，部分对应值如表，)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示，
下列关于函数)(x f 的命题；
①函数)(x f 的值域为［1，2］；
②函数)(x f 在［0，2］上是减函数；
③如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当21<<a 时，函数a x f y -=)(最多有4个零点.
其中正确命题的序号是 .。