中考数学动点最值问题归纳及解法
中考数学动点最值问题归纳及解法最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
“坐标几何题”（动点问题）分析动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点①菱形性质②特殊角三角函数③求直线、抛物线解析式④相似三角形⑤不等式①求直线解析式②四边形面积的表示③动三角形面积函数④矩形性质①求抛物线顶点坐标②探究平行四边形③探究动三角形面积是定值④探究等腰三角形存在性特点①菱形是含60°的特殊菱形；△AOB是底角为30°的等腰三角形。
②一个动点速度是参数字母。
③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。
④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。
①观察图形构造特征适当割补表示面积②动点按到拐点时间分段分类③画出矩形必备条件的图形探究其存在性①直角梯形是特殊的（一底角是45°）②点动带动线动③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）近几年共同点：①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
小类知识归纳：一、问题原型：如图1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。
解这类问题二、基本解法：对称共线法。
利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。
三、一般结论：(在线段上时取等号)（如图1-2）线段和最小，常见有三种类型：（一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。
1.两个定点+一个动点。
如图1-3，作一定点关于动点所在直线的对称点，线段（是另一定点）与的交点即为距离和最小时动点位置，最小距离和。
例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形的边长为，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值是。
解析：与关于直线对称，连结，则。
连结,在中，，，则故的最小值为例2（2009年济南市中考题）如图3，已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中，。
（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标。
解析：（1）对称轴为，，由对称性可知：。
根据、、三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：（2）与关于对称轴对称，连结，与对称轴交点即为所求点。
设直线解析式为：。
把、代入得，。
当时，，则2.两个定点+两个动点。
两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。
用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。
例3如图4，河岸两侧有、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？解析：设桥端两动点为、，那么点随点而动，等于河宽，且垂直于河岸。
将向上平移河宽长到，线段与河北岸线的交点即为桥端点位置。
四边形为平行四边形，，此时值最小。
那么来往、两村最短路程为：。
例4(2010年天津市中考)在平面角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，，为边的中点。
（1）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；（2）若，为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点，的坐标。
解析：作点关于轴的对称点，则，。
（1）连接交轴于点，连接，此时的周长最小。
由可知，那么，则。
（2）将向左平移2个单位（）到点，定点、分别到动点、的距离和等于为定点、到动点的距离和，即。
从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。
在上截取，连接交轴于，四边形为平行四边形，。
此时值最小，则四边形的周长最小。
由、可求直线解析式为，当时，，即，则。
（也可以用（1）中相似的方法求坐标）（二）“|动定|+|动动|”型：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。
利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。
例5（2009年陕西省中考）如图6，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为 4 。
解析：角平分线所在直线是角的对称轴，上动点关于的对称点在上，，，当时，最小。
作于，交于，∵，∴作交于，3.“|定动|+|动动|+|动定|”型：两定点到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。
例6（2009年漳州中考）如图8，，是内一点，，、分别是和上的动点，求周长的最小值。
解析：分别作关于、的对称点、，连接，则，当、在线段上时，周长最小，∵，∴。
则周长的最小值为例7（2009年恩施中考）恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，如图9建立直角坐标系。
著名的恩施大峡谷（）和世界级自然保护区星斗山（）位于两高速公路同侧，，到直线的距离为，到直线和的距离分别为和。
请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。
解析：作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，。
当、在线段上时，最小。
过、分别作轴、轴的平行线交于。
在中，，，交轴于，交轴于。
，而∴四边形的周长最小值为：大类考题总结：一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。
凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
二、利用函数模型求最值例1 、如图（1），平行四边形ABCD 中，120,3,4BAD BC AB，E 为BC 上一动点（不与B 重合），作AB EF于F ，设,x BEDEF 的面积为.S 当E 运动到何处AD时，S 有最大值，最大值为多少？（1【观察与思考】容易知道S 是x 的函数，为利用函数的性质求S 的最大值，就应先把S 关于x 的函数关系式求出来，而这又需要借助几何计算。
（1）解：如图（1`），延长FE 交DC 的延长线于,G 易知DG FG。
DG EF S21，而x B BE EF23sin ，又，在CEG Rt 中，2360cos )3(,3xx CG x CE。
211234xxCG DC DG。
,831183212x xDGEF S 中30x 。
,083对称轴,211x 当30x，S 随x 的增大而增大。
当3x，即E 与C 重合时，S 有最大值，33最大S 。
【说明】可以看出，函数是解决“数量”最值问题的最基本的方法。
三、利用几何模型求最值（1）归入“两点之间的连线中，线段最短”例1、几何模型：条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB 的值最小．方法：作点A 关于直线l 的对称点A ，连结A B 交l 于点P ，则PAPB A B 的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE 的最小值是___________；（2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OAOB ，60AOC °，P 是OB 上一动点，求PAPC 的最小值；（3）如图3，45AOB°，P 是AOB 内一点，10PO，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值．ABCDEFGABAPlOAB PRQ 图3 OAB C图2ABECP D图1（第1题）P例2 如图（1）所示，在一笔直的公路MN 的同一旁有两个新开发区B A,，已知AB10千米，直线AB 与公路MN 的夹角,30AON 新开发区B 到公路MN 的距离3BC千米。
（1）求新开发区A 到公路MN 的距离；（2）现从MN 上某点P 处向新开发区B A,修两条公路PB PA,，使点P 到新开发区B A,的距离之和最短，请用尺规作图在图中找出点P 的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时PB PA的值。
【观察与思考】对于（1），直接归于几何计算。
对于（2），首先利用“轴对称”的性质，把原题中的求“PB PA ”最短，转化成求“PB PA'”最短（其中'A 是A 关于MN的对点。
解：（1）先作AD 垂直于MN 于点D 如图（1`）在OBC Rt 中，62BC OB （千米）在AOD Rt 中，16BOABAO（千米）30AOD821AO AD（千米）（2）作点A 关于MN 的对称点'A ，连结'BA 交MN 于点P 。
（1`）结果如图（1``），点P 即为所求。
如图（1``），作'//''BA CA 交'AA 的延长线于点''A 。
在D CA Rt ''中，11''BC AD DA （千米），353338OC OD CD （千米）。
动点最值问题归纳及解法
在直线两侧找一点，使得到两定点的距离之和最短
作对称点，连接对称点与另一定点，与直线的交点即为所求
构造平行四边形
利用平移构造平行四边形，求最小或最大值
过一点作平行线，构造平行四边形，利用平行四边形的性质求解
相似三角形
利用相似三角形求解最值问题
根据题目条件，构造相似三角形，利用相似比求解
三角函数
利用三角函数求解最值问题
根据题目条件，构造直角三角形，利用三角函数求解
定圆到定圆
圆圆之间连心线截距最短（长）
连接两圆心，求两圆的位置关系（相交、相切、相离），再计算截距
动点路径待确定
动点路径不明确，需先确定路径
根据题目条件，利用几何性质或代数方法确定动点路径
动线（定点）位置需变换
动线或定点位置需通过变换求解
利用翻折、平移、相似、三角等变换方法，将问题转化为基本图形求解
最值问题归纳及解法
问题类型
归纳描述
解法
定点到定点
两点之间线段最短
直接连接两点求线段长度
定点到定线
点线之间垂线段最短
过点作线的垂线，求垂线段长度
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定点到定圆
点圆之间点心线截距最短（长）
连接圆心与点，利用勾股定理或相似三角形求解
定线到定圆
线圆之间心垂线截距最短
过圆心作线的垂线，求垂线段与圆的交点，再计算截距
初中数学动点最值问题19大模型+例题详解,彻底解决压轴难题
动点最值问题永远都是中考最难的压轴类题目，很多同学都反应不知道该怎么下手寻找思路。
其实这类题目的题型有限，全部总结归纳就是这19种，希望同学们对每一种都能掌握技巧，再遇见类似的就能及时找到思路。
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1、将军饮马模型（对称点模型）
2、利用三角形两边差求最值
3、手拉手全等取最值
4、手拉手相似取最值
5、平移构造平行四边形求最小
6、两点对称勺子型连接两端求最小
7、两点对称折线连两端求最小
8、时钟模型，中点两定边求最小值
9、时钟模型，相似两定边求最小值
10、转化构造两定边求最值
11、面积转化法求最值
12、相似转化法求最值
13、相似系数化一法求最值
14、三角函数化一求最值
15、轨迹最值
16、三动点的垂直三角形
17、旋转最值
18、隐圆最值-定角动弦
19、隐圆最值-动角定弦。
动点问题最值
A动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。
一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。
方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。
1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是〔〕 A ．32-B ．13+C ．2D ．13-提示：点M 在以AC 为直径的圆上2．〔2015•XX 〕如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是②③．〔把你认为正确的说法的序号都填上〕提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为ABC4、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°,M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是5、如图，等腰直角△ACB，AC=BC=5，等腰直角△CDP，且PB=2，将△CDP绕C点旋转. 〔1〕求证：AD=PB〔2〕若∠CPB=135°，求BD；〔3〕∠PBC=时，BD∠PBC=时，BD有最小值，并画图说明.分析：在△ABD中有：BD≤AB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上，且AD在BA的延长线上，又△ACB是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由〔1〕知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135°BD≥AB-AD，当BD=AB-AD时BD最小，此时，AB与AD在一条直线上，且AD在线段AB上，此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°6、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1，，F为BE中点.〔1〕求CF的长〔2〕将△ADE绕A旋转一周，求点F运动的路径长；〔3〕△ADE绕点A旋转一周，求线段CF的X围.A BAACCAGDAGDA提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF∽△BAE,且12OF AE==7、如图，AB=4，O为AB中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以点P为直角顶点的等腰△PBC〔点P，B，C按逆时针方向排列〕则线段AC的取值X提示：发现定等腰直角△AOC与等腰直角△OBE，从而得到相似。
中考数学选择填空压轴题之动点或最值问题(共19张PPT)
动点问题是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题， 常见的形式是：点在线段、射线或弧线上运动等。此类题的解题方法：
1、利用动点(图形)位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后 运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题。
2、利用函数与方程的思想和方法将要解决图形的性质(或所求图形面积)直 接转化为函数或方程。
∵PQ为正数，∴PQ²最小时PQ也最小，利用二次函数的 增减性来解决。
5、如图，在△AOB中，∠O＝90°，AO＝8 cm，BO＝6 cm，点C从A点出发， 在边AO上以2 cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上 1以7 1.5 cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 _8___s时，以C点为圆心，1.5 cm为半径的圆与直线EF相切．
图解
→
2cm/s
解析:
↓ 1.5cm/s 本题主要考查图形运动、直角三角形以及相似三角形的 应用 。
当以点C为圆心、1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，因 为EF⊥CD，所以切点就为点F，则CF=1.5cm。点C速度为 2cm/s，点D的速度为1.5cm/s，则运动t秒后，AC=2t， BD=1.5t,因为AO=8cm，BO=6cm，所以，CO=AO-AC=82t，DO=BO-BD=6-1.5t,因为E是CO的中点，所以 CE=½CO=½(8-2t)=4-t。 因为∠FCE公用，又因为∠CFE=∠DOC=90°,所以，所 以△CFE∽△COD，则EF:DO=CF:CO，所以 EF:(6-1.5t)=1.5:(8-2t),解得EF=9/8。在Rt△CFE中，根据勾 股定理，则CF²+EF²=CE²，即1.5²+(9/8)²=(4-t)²，所以解得
精编中考数学压轴题动点产生的定值与最值问题8个专题讲解
中考数学压轴题动点产生的定值与最值问题8个专题讲解目录第 1 讲角为定值的常规解法第 2 讲角为定值的高级解法第3讲边为定值的动点问题第4讲线段的和或差为定值的动点问题第5讲比值为定值的动点问题第6讲乘积为定值的动点问题第7讲面积为定值的动点问题第8讲动点产生的几何最值问题第1讲角为定值的常规解法【几何法证明角为定值】（1）三角形内角和定理（2）三角形外角定理（3）等腰三角形底角相等（4）直角三角形两锐角互余（5）平行线的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补（6）平行四边形的对角相等、邻角互补（7）等腰梯形底角相等（8）圆所涉及的角的关系：圆心角、圆周角、弦切角定理等【例】如图,平面内两条互相垂直的直线相交于点O,∠MON=90°，点A、B分别在射线O M、ON 上移动，AC是△BAO的角平分线，BD为∠ABN的角平分线，AC与B D的反向延长线交于点P.试问：随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化?若保持不变，请求出∠APB 的度数；若发生变化，求出变化范围。
、【例】如图所示,O的直径A B=4,点P是A B延长线上的一点,过P点作O的切线,切点为C，连接AC.(1)若∠CPA=30°，求P C的长；(2)若点P在A B的延长线上运动，∠CPA的平分线交A C于点M，你认为∠CMP 的大小是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP 的大小。
【代数法求角为定值】一般在直角坐标系中，可以用坐标的方法表示出边或角，从而求解具体角为定值的问题。
【例】如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t 秒(t>0),抛物线y = ax2 + bx + c 经过点O和点P,已知矩形A BCD的三个顶点为A(1,0),B(1,−5),D(4,0).(1)求c,b (用含t的代数式表示):(2)当4<t<5时，设抛物线分别与线段A B，CD交于点M，N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时,S=218；(3)在矩形A BCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”。
初中数学动点问题归纳
xA OQP By 图（3）ABC OEF A BCOD图（1）ABOEFC 图（2）动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间 的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 解：1、A （8，0）B （0，6）2、当0＜t ＜3时，S=t2当3＜t ＜8时，S=3／8(8-t)t提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。
然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60o ．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形． 注意：第（3）问按直角位置分类讨论 3、（2009重庆綦江）如图，已知抛(1)233(0)y a x a =-+≠经过物线OM B H ACxy图（1）OM B H ACxy图（2）xyMC D PQOAB PQAB CD点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。
初中数学动点产生的最值问题专项讲解
初中数学动点产生的最值问题专项讲解一、如图1,在直线l上找到一点P,使得PA+PB最短.做法如图2,连接A、B与l的交点即为所求.图1 图2 图3 图4二、如图3,在直线l上找到一点P,使得PA+PB最短.做法如图4,做点B关于直线l 的对称点B/,连接AB/与l的交点即为点P.因为A、B两点是固定的,所以当题目要求找到一点P使得△PAB的周长最小时,做法也是一样的.三、如图5,在直线l上找到两点EF(点E在点F的左侧),EF的距离是定值,使得AE+EF+FB最小.做法如图6,过A做AA'∥l且AA'=EF,做B关于直线l的对称点B′,连接A'B'与直线l的交点即为F,过A做A'F的平行线与直线l的交点即为点E 同样地,因为AB两点是固定的,所以当题目要求使得四边形AEFB周长最小时,也是用同样的方法图5 图6 图7 图8四、如图7,直线a与直线b平行,在直线a上找到一点A,过点A作直线b的垂线交于点B,如何确定点A的位置可以使PA+AB+BQ最短.做法如图8,做PD垂直直线b交直线a于点C,交直线b于点D,在PD上截取PECD,连接EQ,EQ与直线b的交点即为点B,过点B做直线a的垂线,交点即为点A,连接PA即可.这种方法在实际生活中的应用就是著名的修桥问题.五、如图9,在直线l上找到一点M,使得|MA-MB|最小;直线l上找到一点N,使|NA-NB|最大.做法如图10,做AB 的中垂线与直线l 相交,交点即为M 、此时|MA-MB|有最小值0.如图11,延长BA 与直线l 相交,交点即为N 、此时|NA-NB|有最大值为AB.图9 图10 图11六、如图12,点P 是∠AOB 内部一点,在OA 上找到一点M 、OB 上找到一点N 使三角形PMN 的周长最小.做法如图13,分别作点P 关于QA 、OB 的对称点P1、P2,连接P1P2、与OA 的交点即为M,与OB 的交点即为N.此时,三角形PMN 的周长最短.图12 图13 图14 图15七、如图14,点P 是∠AOB 内部一点,在OA 上找到一点M 、过点M 作AMN 垂直OB 交OB 于点N,使得PM+MN 的最小.做法如图15,作点P 关于OA 的对称点Q,做QN 垂直OB 于N 、则QN 与OA 的交点为M.八、如图16,在三角形ABC 中找到一点P,使得PA+PB+PC 最小.做法如图17,分别以AB 、BC 、AC 为边向外做等边三角形,连接AD 、BE 、CF 的交点就是符合条件的点P.lABlP2OOO图16 图17 图18 图19九、如图18,三角形ABC 是等腰直角三角形,C 是直角顶点、以C 为圆心,21AB 长为半径作圆,在⊙C 上找到一点P,使得PA+22PB 最短. 做法如图19,取BC 的中点D,连接AD,则AD 与⊙C 的交点即为P. 注:在⊙C 上任取一点P,连接PC,PB,∵CP CD =CB CP =22,且∠PCD=∠BCP ∴△PCD ∽△BCP ， ∴PD =22PB学思路铺垫已知:二次函数y=-2x 2+3x-23与直线y=x 交于A 、B 两点,点A 在点B 的左侧. (1)A 、B 两点的坐标分别是__________、(2)在y 轴上找到一点C,使得三角形ABC 的周长最小,则点C 的的坐标为_______ (3)若以M 为圆心的圆经过AB 两点,且圆心角AMB 是直角,请写出M 的坐标_____;若以M 为圆心,以2为半径作圆,在此圆上找到一个点P,使PA+22PB 最小,则此最小值为_____________，_____________ 思路：①两定点在定直线同侧,作对称；②先转化22PB,取MB 的中点Q,连接AQ, 则AQ 的长度即为所求. 压轴题(山东滨州中考)如图2-4-20,已知直线y=kx+b(k 、b 为常数)分别与x 轴、y 轴交于点A(-4,0)、B(0,3),抛物线y=-x 2+2x+1与y 轴交于点C. (1)求直线y=kx+b 的函数解析式；(2)若点P(x,y)是抛物线y=-x 2+2x+1上的任意一点,设点P 到直线AB 的距离为d,求d 关于x 的函数解析式,并求d 取最小值时点P 的坐标;(3)若点E 在抛物线y=-x 2+2x+1的对称轴上移动,点F 在直线AB 上移动,求CE+EF 的最小值提能力1.(山东烟合中考)如图2-4-21,抛物线y=ax 2+bx+2与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,AB=4,矩形OBDC 的边CD=1,延长DC 交抛物线于点E (1)抛物线的解析式为________;(2)如图2-4-22,点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点,过点P 作y 轴的平行线交直EO 于点G,作PH ⊥EO,垂足为H.设PH 的长为l,点P 的横坐标为m,求L 与m 的函解析式(不必写出m 的取值范围),并求出l 的最大值.2.(山东东营中考)如图2-4-23,直线y=33x+3分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点,点A 在x 轴上,∠ACB=90°,抛物线y=ax 2+bx+3经过A,B 两点.(1)A 、B 两点的坐标分别为_____________;抛物线的解析式为____________ (2)点M 是直线BC 上方抛物线上的一点,过点M 作MH ⊥BC 于点H,作MD ∥y 轴交BC 于点D,求△DMH 周长的最大值.3.(湖南岳阳中考)如图2-4-24,抛物线y=32x 2+bx+c 经过点B(3,0),C(0,-2),直线l:y=-32x-32交y 轴于点E,且与抛物线交于A,D 两点,P 为抛物线上一动点(不与A,D 重合.(1)抛物线的解析式为________;(2)当点P 在直线l 下方时,过点P 作PM ∥x 轴交l 于点M,PN ∥y 轴交l 于点N,求PM+PN 的最大值4.(天津中考)已知抛物线y= x 2+bx-3(b 是常数)经过点A(-1,0). (1)该抛物线的解析式和顶点坐标分别为________;(2)P(m,t)为抛物线上的一个动点,P 关于原点的对称点为P /.当点P /落在第二象限内,并且P /A 2取得最小值时,求m 的值.5.(湖南怀化中考)如图2-4-25,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax 2+bx-5与x 轴交于点A(-1,0),B(5,0),与y 轴交于点C. (1)抛物线的函数表达式为________;(2)若点K 为抛物线的顶点,点M(4,m)是该抛物线上的一点,在x 轴,y 轴上分别找点P,Q,使四边形PQKM 的周长最小,求出点P,Q 的坐标6.(甘肃兰州中考)如图2-4-26,抛物线y=-x 2+bx+c 与直线AB 交于A(-4,-4),B(0,4)两点,直线AC:y=-21x-6交y 轴于点C.点E 是直线AB 上的动点,过点E 作EF ⊥x 轴交AC 于点F,交抛物线于点G.(1)抛物线y=-x 2+bx+c 的表达式为________;(2)已知E(-2,0),H(0,-1)以点E 为圆心,EH 长为半径作圆,点M 为⊙E 上一动点,求21AM+CM 的最小值.。
中考数学动点最值问题
动点最值问题【考查知识点】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
【解题思路】找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.求线段和的最小值需要用到三个基本知识：两点之间，线段最短；轴对称的性质；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.常见情况有三种：“两点一线”型、“一点两线”型和“两点连线” 型.平面上最短路径问题：(1)归于“两点之间的连线中，线段最短”。
凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
(2)归于“三角形两边之差小于第三边”。
凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
(3)平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题。
【方法归纳】在平面几何的动态问题中，求几何量的最大值或最小值问题常会运用以下知识：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点之间线段最短；③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长；⑤利用对称的性质求两条线段之和最小的问题，解决此类问题的方法为：如图，要求线段l上的一动点P 到点A、B距离和的最小值，先作点A关于直线L的对称点A′,连接A′B,则A′B与直线L的交点即为P点，根据对称性可知A′B的长即为PA+PB的最小值，求出A′B的值即可.【典型例题】一、将军饮马基础1．如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝1，AF＝3，P为BD上一动点，则线段EP ＋FP 的长最短为( )A ．3B ．4C ．5D ．62．如图，MN 是等边三角形ABC 的一条对称轴，D 为AC 的中点，点P 是直线MN 上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD 的度数是( )A ．30°B ．15°C ．20°D ．35°3. 如图：等腰△ABC 的底边BC 长为6，面积是18，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为( )A ．6B ．8C ．9D ．104．如图，等腰三角形ABC 底边BC 的长为4 cm ，面积为12 cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一点，则△BDM 的周长最小值为( )A ．5 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm二、平面直角坐标系中的最值1．如图，在R t A B O 中，90O B A ∠=︒，()4,4A ，点C 在边A B 上，且13A CC B =，点D 为O B 的中点，点P 为边O A 上的动点，当点P 在O A 上移动时，使四边形P D B C 周长最小的点P 的坐标为( )A ．()2,2B ．55,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．88,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()3,32．在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的两条直角边OA 、OB 分别在x 轴和y 轴上，OA=3，OB=4．把△AOB 绕点A 顺时针旋转120°，得到△ADC ．边OB 上的一点M 旋转后的对应点为M′，当AM′+DM 取得最小值时，点M 的坐标为( )A ．(0，335 ) B ．(0，34) C ．(0，35) D ．(0，3)3．直线y ＝x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为( ).A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－，0)D ．(－，0)三、双动点最值问题1. 如图，A B C ∆是等边三角形，13A D A B =，点E 、F 分别为边A C 、B C 上的动点，当D E F ∆的周长最小时，F D E ∠的度数是______________.2. 如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O 的动点，则△PMN周长的最小值是()A．362B．332C．6 D．33．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为( )A．130°B．120°C．110°D．100°4．如图，四边形ABCD中，∠C=，∠B=∠D=，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( )．A．50°B．60°C．70°D．80°四、与圆有关的最值1. 如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD 的最大值为___．2．如图，已知点A 是以MN 为直径的半圆上一个三等分点，点B 是弧A N 的中点，点P 是半径ON 上的点．若⊙O 的半径为l ，则AP+BP 的最小值为( )A ．2B ．3C ．2D ．1 3．如图，A C 是O 的弦，5A C ＝，点B 是O 上的一个动点，且45A B C ∠︒＝，若点,M N 分别是,A C B C 的中点，则M N 的最大值是_____．五、角平分线有关的最值1．如图，∠AOB ＝60°，点M ，N 分别是射线OA ，OB 上的动点，OP 平分∠AOB ，OP ＝8，当△PMN 周长取最小值时，△OMN 的面积为_____．2．如图，在R t A B C ∆中，90A C B ∠=︒，3A C =，4B C =，A D 是B A C ∠的平分线.若P ，Q 分别是A D 和A C 上的动点，则P C P Q +的最小值是__________.3．如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为．六、最值与特殊角1．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N(3，0)是OB上的一定点，点M 是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．。
动点与最值问题解题技巧
动点与最值问题解题技巧【实用版4篇】篇1 目录1.动点与最值问题概述2.动点与最值问题的解题技巧3.动点与最值问题的应用篇1正文一、动点与最值问题概述动点与最值问题是数学中的一类常见问题，主要涉及到点在平面直角坐标系中的运动以及函数的最值求解。
这类问题通常需要结合几何知识、函数知识以及代数知识进行求解。
二、动点与最值问题的解题技巧1.理解问题：仔细阅读题目，理解问题的含义和限制条件，明确求解的目标。
2.建立模型：根据问题建立合适的数学模型，可以使用函数、方程、几何图形等方法。
3.求解模型：使用数学工具和方法求解模型，得到结果。
4.验证结果：验证所得结果是否符合问题要求，是否具有实际意义。
三、动点与最值问题的应用动点与最值问题在生活和工程中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计、桥梁设计、道路设计等领域中，需要考虑动点的运动和最值问题，以保证设计的合理性和可行性。
篇2 目录1.动点与最值问题概述2.动点与最值问题的解题技巧3.动点与最值问题的应用篇2正文一、动点与最值问题概述动点与最值问题是数学中的常见问题，涉及到的知识点包括几何、函数、导数等。
这类问题具有综合性强、难度较大的特点，需要学生具备扎实的基础知识和灵活的解题技巧。
二、动点与最值问题的解题技巧1.理解问题本质：首先需要仔细阅读题目，理解问题的本质，确定动点的运动方式和约束条件。
2.建立数学模型：根据题目中的几何关系和函数关系，建立数学模型，使用几何或函数的方法描述问题。
3.寻找解题方法：根据具体问题选择合适的方法，如代数方法、几何方法、微积分方法等。
4.优化解题过程：在解题过程中，要善于利用各种技巧，如配方、拆项、代入数值等，使解题过程更加简洁。
三、动点与最值问题的应用动点与最值问题在日常生活和工程中都有广泛的应用，如建筑工程中的最短路径问题、交通规划中的最优路径问题等。
篇3 目录1.动点与最值问题的联系与区别2.动点问题的解题技巧3.最值问题的解题技巧篇3正文一、动点与最值问题的联系与区别动点问题与最值问题都是中学数学中常见的几何问题，它们在解题思路上有许多相似之处，但也有一些区别。
2024年中考数学复习 瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造(原卷版+答案解析)
瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造【专题说明】近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。
很多考生碰到此类试题常常无所适从，不知该从何下手。
动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形,构建问题解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径.本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述.动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.其实初中阶段如遇求轨迹长度仅有2种类型：“直线型”和“圆弧型”（两种类型中还会涉及点往返探究“往返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3处以上的点来确定轨迹类型进而求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释清楚。
瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同．只要满足：1.两“动”，一“定”；2.两动点与定点的连线夹角是定角3.两动点到定点的距离比值是定值。
【引例】（选讲）如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ（当∠P AQ≤90°时，∠P AQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）如图，D 、E 是边长为4的等边三角形ABC 上的中点，P 为中线AD 上的动点，把线段PC 绕C 点逆时针旋转60°，得到P ’，EP ’的最小值【分析】结合这个例题我们再来熟悉一下瓜豆模型第一层：点P ’运动的轨迹是直线吗？第二层：点P ’的运动长度和点P 的运动长度相同吗？第三层：手拉手模型怎么构造？第四层：分析∠CAP 和∠CBP ’第五层：点P 和点P ’轨迹的夹角和旋转角的关系P'P'P'总共提到了3种处理方式： 1.找始末，定轨迹2.在轨迹上找一点旋转，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹.3.反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段，即逆向构造. 那么什么具体选择什么方法更合适呢？我们再看一道例题 【例题2 宿迁中考】如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．现在，我们分别用上面提到的3种策略来处理这个题目策略一：找始末，定轨迹我们分别以BE ，AE 为边，按题目要求构造等边三角形得到G 1与G 2，连接G 1与G 2得到点G 的轨迹，再作垂线CH 得到最小值.前面提到过从动点轨迹和主动点轨迹的夹角与旋转角有关，我们可以调用这个结论，得到∠AMG 1＝60°，BABABABA22进一步得到△MBG 1为等腰三角形后，求CH 就不难了.策略二：在点F 轨迹上找一点进行旋转.我们分别对A ，B 顺时针旋转60°，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹，对A 点旋转会得到一个正切值为14的角，即1tan tan 4∠G M E =∠A FE=，然后进一步算出最值【简证】311202EM AE EN NEC IC ⇒°⇒∠,则5=2CH对B 点旋转得到∠EMG ＝∠FBE ＝90°，相对来说要容易一些.策略三：反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段.将点C 逆时针旋转60°，得到点H ，易证△CGE ≌△HFE ，则有CG ＝HF ，作MH ⊥AB 于M ，HM 即为所求．相比之下，先求轨迹后再求垂线段时，比较麻烦，而反向旋转代换所求线段感觉清爽很多.BABA如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为底向右侧作等腰直角△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，F 为AB 边上一点，连接EF ，以EF 为底向右侧作等腰直角△EFG ，连接CG ，则AG 的最小值为 ．1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边△PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是2.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5 3,点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A 为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为3、如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点,连接DP,将直线DP绕点P顺时针旋转,使∠1=∠2,且过点D作DG⊥PG,连接CG.则CG最小值为瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造【专题说明】近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。