3.3二阶系统的动态性能(上)解析
第三章二阶系统
n C ( s) ( s) 2 R( s) s 2n s n 2
2
（3-18）
S n n 1 S (S n ) 2 d 2 (S n ) 2 d 2
nt
d
n n d d d n 1 2 1 2
2 ω 二阶系统单位 n 2 Φ(s)= 2 s +2ξωns+ωn2 阶跃响应定性分析
＞ 1 ξξ ＞ 1
j 2- 1 ± √ ξ Tξω T ω ξ＝1 S1,2= n n 0
1 1
2 1
j
j
e = -ωh(t)= 1 -(1+ω t) 0 e过阻尼 -ωnt ξ ω S = e ξ＝ 1 n n h(t)= 1+ 1,2 n + T T 1 1
对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为
h(t ) 1 e
1 1
[cos d t
1
2
sin d t ]
t 0
1
稳态分量
1 2
e nt sin( d t )
瞬态分量
1 2
arctg
1 2
arccos
d n 1 2 －阻尼振荡频率
A1 1
衰减快
慢
jω
A2
1
S2
S1
0
σ
S n ( 2 1)
A3
1 2 2 1( 2 1)
ξ
基 本 上 由 S1决 定
图 3-10二 阶 系 统 的 实 极 点
h(t ) 1
1 2 1( 1)
自动控制原理第三章3.3
h(t ) 1
1 1
2
e
n t
sin( d t )
弧度
d
三、欠阻尼二阶系统动态性能计算
令 h(t ) 1取其解中的最小值，
tr
令h(t)一阶导数=0，取其解 得 t p 中的最小值 d cos 所以 cos
附加零点对过阻尼二阶系统的影响
σ%=33%
j 0
无振荡有超调
0.333
结论：
ts可能大了可能小了 上升时间减小
1 零点有削弱阻尼的作用 2 零点越靠近原点该作用越明显
附加零点对欠阻尼二阶系统的影响
j 0
四、二阶系统性能的改善
常用附加装置有比例微分环节和微分负反馈 环节，通过附加的装置改变系统的结构,从而达 到改善系统性能的目的.
75 t rຫໍສະໝຸດ t r 1 d .9tp tp
d 1 .9
tts
s
？0 . 5
n
3 3
% e % e
tg tg 75
e ss 0
例 已知系统的闭环传递函数 ，当 K K= 2, K = 4 时，求系统的单位阶跃 Ф(s)= s2 +3s+K 响应和σ% ,ts 。
R(s)
s 1
n
2
C(s)
s ( s 2 n )
2
j
临界阻尼
s 2 s1
1
0
1
0
s1, 2 n n 1
j
1
s1, 2 n
j
欠阻尼 s
无阻尼
n 1
自动控制原理二阶系统动态性能研究报告
关于二阶系统的动态性能研究报告（图文中曲线由matlab作图得来）（1）对于标准闭环二阶系统当确定时，设，研究阻尼比，调节时间ts，超调量%之间的关系曲线，以及通过对不同状态下的响应曲线分析做出结论。
图 1图 2○1图一第一张图表示的是调节时间ts随着阻尼比的增大的变化趋势，二者图像关系符合反比例图像关系，随着阻尼比较小时小范围内增加，调节时间急剧下降，随着阻尼比继续升高，调节时间继续减小，但是变化极慢，这也符合系统的调节特点。
○2图一第二张图表示的是超调量随着阻尼比增大时的变化趋势，二者关系没有规则的数学模型，只是超调量一直在减小，减小的速率逐渐降低，如果阻尼可以增大到1以上，超调量可以减小到零，在给定的0.1-0.7的阻尼范围内，响应曲线第一个峰值是越过平衡线的，所以超调量不为零。
○3图一中的第三张图是%—ts的图像，在三维坐标系将他们三者关系表示出来，其实是第一张图和第二张图的结合，从整体上看，超调量和调节时间都是和阻尼比呈现反相变化的趋势的，即阻尼增大，超调量减小，调节时间减小，而且减小的速率都是减小的。
○4图二画的是不同阻尼比下阶跃响应随着时间的变化关系，由这张图可以验证图一中的关系，第一个峰值中，阻尼为0.1的图像峰值最高，即超调量最大，调节时间也能看出阻尼为0.1的调节时间远大于其他图像。
可以概述为：阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短，图二与图一关系完全符合。
总结：阻尼比值主要根据对系统超调量的要求确定，调节时间主要由自然频率决定，若能保持阻尼比不变增大自然频率值，则可以在不改变超调量情况下缩短调节时间。
从各项性能指标的图像以及表达式可以看出各指标之间是有矛盾的：上升时间和超调量，即响应速度和阻尼程度，不能同时达到满意结果，因此，对于既要增加系统阻尼程度，又要使得系统具有较快的响应速度的二阶系统设计，需要采取合理的折中方案来达到设计的目的。
（2）对于含有零点的闭环二阶系统自然频率=1，阻尼比=0.5，研究，调节时间ts，超调量%之间的关系曲线，以及通过对不同状态下的响应曲线分析做出结论。
二阶系统动态性能指标
代表
过阻尼二阶系统的动态表现
时化成两个一阶惯性环节串联 三、二阶系统的动态性能指标与系统参数的关系
[例] 控制系统如图，求
R(s) + -
解：
C(s)
欠阻尼系统
第五次 作业
• P134
3-9
作业三 P60 2-12 解 信号流图
1
1
梅逊公式
欠阻尼二阶系统的动态性能指标
例2（P88 例3-12）图3-24为单位反馈二阶系统的单位阶 跃响应曲线。已知性能指标为：超调量=37%，调节时间 =5s，稳态值=0.95。试确定系统的开环传函。 解 二阶系统的传函为
1
2
闭环闭环主导极点
[例] 闭环控制系统的传递函数为 ，求单位阶跃响应
解：
第六节 稳态误差分析
一、稳态误差的定义 （１）从输入端定义 （２）从输出端定义
R(s) +
C(s)
G(s)
-
H(s)
由终值定理：
开环传递函数
二、控制系统的型别
开环传递函数中积分环节的个数 上很少见
-
++
一.一阶系统的瞬态响应
-
+
=
二.一阶系统的动态性能指标
ts 是一阶系统的动态性能指标。
增大系统的开环放大系数K0 都会使T 减小，使ts 减小。
第四节 二阶系统的动态性指标
一、二阶系统的动态响应
二阶标准型
或称典型二阶系 统传递函数
P75 二阶系统的 结构图
当 ξ=0 时
Ct(t)=L -1[
当 0<ζ<1时
误差带
=37%
根据终值定理
例3（大连理工大学2001年）单位负反馈二阶系统的单位 阶跃响应曲线如图所示。试确定系统的开环传函。 解 依图可知
自动控制原理3.3~3.4 二阶系统时域分析
闭环特征方程： D( s ) s 2 2 s 2 0 n n 闭环特征根： s1, 2 n n
2
1
二、二阶系统单位阶跃响应
单位阶跃输入r(t)=1(t)时，其二阶系统的输出的拉氏变换为
2 2 n n 1 C ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 s 2 n s n s s( s s1 )(s s2 )
e
(ζ ζ 2 1 ) n t
ζ 2 1 ) n t
c(t ) 1
1
2 ζ 2 1 (ζ ζ 2 1) 1 (ζ e 2 ζ 2 1 (ζ ζ 2 1)
e
(ζ ζ 2 1 ) n t
ζ 2 1 ) n t
c(t)
1
0 t
单调上升过程
2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 c(t) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0
=0
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
1
2
3
4
5
• 在0<<1, 越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长； • =0.7，调节时间短，而超调量%<5%，平稳性也好，故称 ζ=0.7为最佳阻尼比。工程希望=0.4～0.8为宜； •在≥1 , 越大，系统响应速度慢，调节时间ts也长。
例题：设角度随动系统如图所示，T=0.1为伺服电机时间常数， 若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间ts≤1s，问K应 取多大？此时上升时间等于多少？
Θi(s)
_
K s(Ts 1)
Θo(s)
解：闭环传递函数为
K K K /T s (Ts 1) (s) 2 2 K Ts s K s s / T K / T 1 s (Ts 1)
二阶系统分析
573.3 二阶系统的时间响应及动态性能3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类常见二阶系统结构图如图3-６所示其中K ，T 为环节参数。
系统闭环传递函数为Ks s T Ks ++=Φ21)(化成标准形式2222)(nn ns s s ωξωω++=Φ （首1型） （3-5） 121)(22++=Φs T s T s ξ （尾1型） （3-6）式中，KT T 1=，11T K T n ==ω，1121KT =ξ。
ξ、n ω分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。
二阶系统的首1标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾1标准型。
二阶系统闭环特征方程为02)(22=++=n n s s s D ωξω其特征特征根为122,1-±-=ξωξωλn n若系统阻尼比ξ取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分类，见表3-3。
58数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。
通解由微分方程的特征根决定，代表自由响应运动。
如果微分方程的特征根是1λ，2λ，, n λ且无重根，则把函数te1λ，te 2λ，, tn eλ称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。
如果特征根中有多重根λ，则模态是具有tte λ， ,2t e t λ形式的函数。
如果特征根中有共轭复根ωσλj ±=，则其共轭复模态t e )j (ωσ+与te )j (ωσ-可写成实函数模态t etωσsin 与t e t ωσcos 。
每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其相应模态的线性组合。
3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算设过阻尼二阶系统的极点为()n T ωξξλ11211---=-= ()n T ωξξλ11222-+-=-= )(21T T > 系统单位阶跃响应的拉氏变换sT s T s s R s s C n1)1)(1()()()(212++==ωΦ进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应 111)(211221-+-+=--T T eT T e t h T t T t0≥t （3-7）59过阻尼二阶系统单位阶跃响应是无振荡的单调上升曲线。
二阶系统动态性能分析
δ1%= e
ts =
−
π 1 ζ 2 1−ζ1
×100%=16%
4
ωn1ζ1
=
4 =1 s) ( 0.5×8
Monday, October 17, 2011
11
How to improve the performance of second order system
a. Derivative feedback of output
e − ζω n t 1−ζ
2
sin( ω d t + tg −1
1− ζ
2
ζ
) ≤ ∆%
for convenience
e − ζω n t s 1−ζ 2
= ∆%
2
ts = −
Monday, October 17, 2011
ln(
1−ζ
× ∆ %)
ζω
n
6
衰减振荡瞬态过程的性能指标 Transient response specification
cos β = ζ
β is damped angle
td =
Monday, October 17, 2011
1+ 0.7ξ
ωn
2
Transient response specification Peak time ：t p ,for c′(t p ) = 0 when t = t p
c (t ) = 1 − e −ζω n t 1−ζ 2 sin(ω d t + β ) , t ≥ 0
Qts = 4
ωnζ
(or
3
ωnζ
),∴ωn is increased, ts . For a certain
二阶系统的时间响应及动态性能介绍
二阶系统的时间响应及动态性能介绍二阶系统是指具有两个自由度的动力系统，例如二阶电路、二阶机械系统等。
在控制系统和信号处理的领域中，二阶系统有着广泛的应用。
二阶系统的时间响应和动态性能是评价系统性能的重要指标之一在阶跃信号输入时，二阶系统的时间响应可以分为三个阶段：超调阶段、振荡阶段和稳定阶段。
超调阶段是指系统在初期反应过程中，输出信号的幅值超过了稳态值。
振荡阶段是指系统在超调过程之后，输出信号会出现一定的振荡现象。
稳定阶段是指系统输出信号逐渐趋于稳定的阶段。
超调量是指系统在初期反应过程中，输出信号的峰值与稳态值之间的差值，通常用百分比表示。
超调量越小，系统的动态性能越好。
调节时间是指系统从初始状态到达稳态的时间。
当输出信号接近稳态值时，调节时间结束。
调节时间越短，系统的动态性能越好。
上升时间是指系统从初始状态到达信号波形上升至稳定值的时间。
上升时间越短，系统的动态性能越好。
峰值时间是指系统输出信号达到超调量峰值的时间。
峰值时间越短，系统的动态性能越好。
除了上述指标外，二阶系统的频率响应和阶数也是评价系统性能的重要指标之一、频率响应是指系统对不同频率的输入信号的响应特性。
系统的阶数表示系统的自由度，同时也反映了系统的复杂性。
综上所述，二阶系统的时间响应和动态性能是评价系统性能的重要指标。
不同的二阶系统在时间响应和动态性能上有不同的特点和表现。
对于
不同应用场景的二阶系统，我们可以根据需要选择合适的指标和方法进行评估和优化，以提高系统的性能和效果。
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s 2n 1 s [( s n ) jd )][( s n ) jd ]
s 2n 1 s 2n 1 s ( s n )2 ( jd )2 s ( s n )2 d 2
at
s n n 1 s (s n )2 d 2 (s n )2 d 2 n 1 2 1 s n 1 2 2 s ( s n ) d ( s n )2 d 2
5.84 n ts 4.75 n
4、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差， 系统为无静差系统。
4.过阻尼（ζ>1）状态
闭环特征方程
特征根
2 s 2 2n s n 0
s1 n n 2 1
s2 n n 2 1
nt
d
L[e at cos t ]
上式取拉氏反变换，得
y(t ) 1 e
1 1
cos d t
1
2
sa ( s a)2 2 L[e at sin t ] ( s a)2 2
ent sin d t
e nt 1 2 e
Δ 2 Δ 5
4T1 1.25 ts 3T 1
Δ 2 Δ 5
1.34
3、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误 Y(t) 差，系统为无静差系统。
2
4、需要说明的是，对于临界阻尼和过阻 尼的二阶系统，其单位阶跃响应都没有 振荡和超调，系统的调节时间随ζ的增加 而变大，在所有无超调的二阶系统中， 临界阻尼时，响应速度最快。
2 n 1 1 s Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 2 s n s s s 2 n
上式取拉氏反变换，得
y(t ) 1 cos nt
t 0
图3.13 ζ=0时二阶系统的 单位阶跃响应曲线
响应曲线为等幅振荡曲线，称为无阻尼状态。
2. 欠阻尼（ 0<ζ<1 ）状态
ents 1
2
sin(d ts )
Y(t)
1 1 1 2
可见，写出调节时间的表达式是困难 的。由右图可知响应曲线总在一对包络线之 内。包络线为
1
e n t 1 2
Δ =5
1
1
e nt 1
2
1
e n t 1 2
2
0
1
1 1
100%
将t p 代入 d
%
e
n
e nt 1 2
n
sin(d t )
t t p
100%
e
n
d
1 2
sin(d
) 100% d
n 1 2
1 2
n 1 2
2
sin 100%
d tr K ( K 1 ， 2， 3......)
弧度制计算
d tr
2 1 tr ( arctg ) 2 d n 1
tP处有极值，故该处导数值为0 e nt dy (t ) [1 sin(d t )] tp 0 2 1 dt e nt e nt n sin(d t P ) d cos(d t P ) 0 2 2 1 1
t 0
y(t ) 1 ent (1 nt )
t 0
1、响应具有非周期性，没有振荡和超调， 其响应曲线如图所示。
图3.17 ζ=1时二阶系统的 2、该响应曲线不同于典型一阶系统的单位阶跃响应。 单位阶跃响应曲线
dy (t ) dt
3、动态性能指标为：
t 0
0
Δ 2 Δ 5
2 n 1 Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 s 2n s n s n 1 1 s s n (s n )2
上式取拉氏反变换，得出输出的表达式
图3.16 ζ=1时特征根
y(t ) 1 e
nt
nte
nt
1 ent (1 nt )
系统特征根为一对不等的负实根，见图3.18
图3.18 ζ>1时特征根
令
1 1 T1 s1 n n 2 1
1 1 T2 s2 n n 2 1
其输出量的拉普拉斯变换
2 2 n n 1 1 Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 s 2n s n s (s s1 )(s s2 ) s 2 n 1 a3 a1 a2 1 1 s s 1 1 ( s )( s ) s s T1 T2 T1 T2 1 1 1 1 1 T 1 T 1 s 2 1 1 s 1 s T1 T2 T2 T1
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
设初始条件为零，当输入量为单位阶跃函数时，输出量的拉普拉斯变换式为
2 n 1 Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 s 2n s n s
闭环特征方程
2 s 2 2n s n 0
其特征根即为闭环传递函数的极点为
sin(d t )
t 0
根据上升时间的定义,当t=tr时，y(tr)=1
y (tr ) 1
e
1
sin(d tr ) 1
e ntr 1
2
sin(d tr ) 0
sin(d tr ) 0
∵上升时间tr是y(t)第一次达到稳态时间
t 0
y (t ) 1
ent 1
2
sin(d t )
t 0
e nt 1 2
(1)衰减的正弦振荡曲线,振幅按
d
指数衰减,振荡频率为 ，称为阻尼
自然振荡频率；
(2)
越小，振荡越强；
图3.14 0<ζ<1时特征根
(3) 阻尼角 只与阻尼系数有关。
3.3 二阶系统的动态性能
凡是由二阶微分方程描述的系统，称为二阶 系统。在控制工程中的许多系统都是二阶系统， 如电学系统、力学系统等。即使是高阶系统， 在简化系统分析的情况下有许多也可以近似成 二阶系统。因此，二阶系统的性能分析在自动 控制系统分析中有非常重要的地位。
3.3.1 二阶系统的数学模型 1、数学模型的标准式
图3.3.1 标准化的二阶系统
2、学习过的二阶系统的数学模型
1 1/ ( LC ) 2 2 LCs RCs 1 s Rs / L 1/ ( LC )
n 1/ ( LC )
1 R/L R LC 2 1/ ( LC ) 2L
1 1 m f k ms 2 fs k 2 s s m m k f n , m 2 mk
ts t'
s
t
由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快，因此可用包 络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线的包络线进入误差带时， 1 Y(t) 调整过程结束。 1 当t=t’s时，有：
( arctg
1 2
)
sin 1 2
e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1 2 100%
% e
1 2
100%
上式表明，超调量σ％仅是阻尼比ζ的函数，与自然频率ωn无关。
图3.21 σ％ 和ζ的关系
（4）调节时间ts
据定义
y() 1
y(ts ) y() y()
闭环特征方程 特征根
s 2n s 0
2 2 n
( s1,2 n n 2 1)
s1,2 n jn 1 2
n jd
d n 1 2
阻尼自然振荡频率
系统有一对共轭复根，见图3.14．
图3.14 0<ζ<1时特征根
1
0
nt
6 8 10 12
0
2
4
图3.20 二阶系统在单位阶跃作用下的响应曲线
3.3.3 典型二阶系统的动态性能指标 1. 欠阻尼二阶系统的动态性能指标
当0<ζ<1时,二阶系统的单位阶跃响应为
y (t ) 1
（1）上升时间tr
n tr 2
ent 1 2
s1,2 n n 2 1
闭环极点的性质决定了二阶系统在单位阶跃信号下响应的不同性质。
1.无阻尼（ζ=0）状态时
闭环特征方程 特征根
2 s 2 2n s n 0
s1,2 jn
图3.12 ζ=0时特征根
系统有一对共轭纯虚根，见图3.12 其输出量的拉普拉斯变换
tg (d t P )
1 2
tg
d t p K (K 1 ， 2， 3......)
峰值对应振荡第一个周期内极大值
tP d n 1 2
（3）超调量σ% 当t=tP时,y(t)有最大值
据定义 %
y(t p ) y () y()
（2）峰值时间tP
t t p
0
n
e nt 1
2
sin(d t P ) n 1
2
e nt 1
2
cos(d t P ) 0
sin(d t P ) 1 2 cos(d t P ) 0
sin(d t P ) 1 2 cos(d tP )
n t 2
d n 1 2
令
( 1 2 cos d t sin d t )