二阶系统的性能指标

一、二阶系统传递函数的标准形式
二阶系统的闭环传递函数写成标准形式为：22
2
2)()(n
n n
s s s R s C ωξωω++=
式中，ξ为阻尼比；n ω为无阻尼自振频率。

所以，二阶系统的特征方程为：022
=++n n s s ωξω
由上式解得二阶系统的二个特征根（即闭环极点）为：22.11ξωξω-±-=n n j s 随着阻尼比ξ取值的不同，二阶系统的特征根（即闭环极点）也不相同。

二、单位阶跃函数作用下二阶系统的过渡过程（针对欠阻尼状态，10<<ξ ）
令)(1)(t t r =，则有s s R 1
)(=
，二阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为：2
2222
22)()(1
)
)((211
2)(d n d d n d n n d n d n n n n n s s s s j s j s s s s
s s s C ωξωωωξωωξωξωωξωωξωξωωξωω++⋅
-+++-=-++++-
=⋅++=
式中，2
1ξωω-=n d 为有阻尼自振频率
对上式进行反拉氏变换，得：
)
sin(11)
sin 1(cos 1sin cos 1)(2
2
ϕωξ
ωξ
ξ
ωωωξωωξωξωξωξω+--
=-+-=⋅-
-=----t e t t e t e t e t c d t d d t d t
d n d t n n
n
n
式中，ξ
ξϕ2
1-=arctg
由上式看出，对应10<<ξ时的过渡过程，)(t c 为衰减的正弦振荡曲线。

其衰减速度取决
ϕ角的定义
于n ξω值的大小，其衰减振荡的频率便是有阻尼自振频率d ω，即衰减振荡的周期为：
2
122ξ
ωπ
ωπ
-=
=
n d
d T
三、二阶系统的性能指标
1．上升时间tr ：上升时间是响应曲线由零上升到稳态值所需要的时间。

根据定义，当r t t =时，1)(=r t c 。

即 0sin 1cos 2
=-+
r d r d t t ωξ
ξ
ω
或 n
n r d t tg ξωξωω2
1-=，)(ϕπω-=tg t tg r d
所以，上升时间为：2
1ξ
ωϕπ--=
n r t
2．峰值时间tp ：过渡过程曲线达到第一个峰值所需的时间。

ϕϕωtg t tg dt t dc p d t t p
=+⇒==)(0)
( （Λ,3,2,,0πππω=p d t ）
由于峰值时间tp 是过渡过程曲线达到第一个峰值所需的时间，故取πω=p d t
即 21ξ
ωπωπ-=
=
n d p t 3．最大超调量p σ
最大超调量为：%100)
()()(•∞∞-=
c c t c p p σ
%
100%
100)sin 1(cos %
100)sin 1(cos 2
12
2
⋅=⇒•-+
-=•-+-=--
--ξξπξωξωσπξξ
πωξ
ξ
ωe
e
t t e p t p d p d t p
n p
n
式中，)(p t c 为过渡过程曲线第一次达到的最大输出值；)(∞c 为过渡过程的稳态值（)(∞c =1）。

4．过渡过程时间ts ：在过渡过程的稳态线上，用稳态值的百分数∆（通常取∆=5%或∆=2%）作一个允许误差范围，进入允许误差范围所对应的时间叫～。

)1sin(11)(2
2
ξ
ξωξ
ξω-+--
=-arctg
t e t c d t n
从上式看出，2
11ξ
ξω-±
-t n e 是此时系统
过渡过程)(t c 的包络线方程。

即过渡过程
)(t c 总是包含在一对包络线内，包络线的
时间常数为
n
ξω1。

根据过渡过程时间的定义，可近似认为就是包络线衰减到∆区域所需的时间，则有：
)
11ln 1(ln
1
122
ξ
ξωξξω-+∆=
⇒∆=--n
s t t e n
若取%5=∆，并忽略2
11ln
ξ-，则得：n
s t ξω3
≈
若取%2=∆，并忽略2
11ln ξ-，则得：n
s t ξω4
≈
二阶系统单位阶跃响应的一对包络线。