二阶系统的性能指标

一、二阶系统传递函数的标准形式

二阶系统的闭环传递函数写成标准形式为：22

2

2)()(n

n n

s s s R s C ωξωω++=

式中，ξ为阻尼比；n ω为无阻尼自振频率。

所以，二阶系统的特征方程为：022

=++n n s s ωξω

由上式解得二阶系统的二个特征根（即闭环极点）为：22.11ξωξω-±-=n n j s 随着阻尼比ξ取值的不同，二阶系统的特征根（即闭环极点）也不相同。 二、单位阶跃函数作用下二阶系统的过渡过程（针对欠阻尼状态，10<<ξ ）

令)(1)(t t r =，则有s s R 1

)(=

，二阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为：2

2222

22)()(1

)

)((211

2)(d n d d n d n n d n d n n n n n s s s s j s j s s s s

s s s C ωξωωωξωωξωξωωξωωξωξωωξωω++⋅

-+++-=-++++-

=⋅++=

式中，2

1ξωω-=n d 为有阻尼自振频率

对上式进行反拉氏变换，得：

)

sin(11)

sin 1(cos 1sin cos 1)(2

2

ϕωξ

ωξ

ξ

ωωωξωωξωξωξωξω+--

=-+-=⋅-

-=----t e t t e t e t e t c d t d d t d t

d n d t n n

n

n

式中，ξ

ξϕ2

1-=arctg

由上式看出，对应10<<ξ时的过渡过程，)(t c 为衰减的正弦振荡曲线。其衰减速度取决

ϕ角的定义

于n ξω值的大小，其衰减振荡的频率便是有阻尼自振频率d ω，即衰减振荡的周期为：

2

122ξ

ωπ

ωπ

-=

=

n d

d T

三、二阶系统的性能指标

1．上升时间tr ：上升时间是响应曲线由零上升到稳态值所需要的时间。

根据定义，当r t t =时，1)(=r t c 。 即 0sin 1cos 2

=-+

r d r d t t ωξ

ξ

ω

或 n

n r d t tg ξωξωω2

1-=，)(ϕπω-=tg t tg r d

所以，上升时间为：2

1ξ

ωϕπ--=

n r t

2．峰值时间tp ：过渡过程曲线达到第一个峰值所需的时间。

ϕϕωtg t tg dt t dc p d t t p

=+⇒==)(0)

( （Λ,3,2,,0πππω=p d t ）

由于峰值时间tp 是过渡过程曲线达到第一个峰值所需的时间，故取πω=p d t

即 21ξ

ωπωπ-=

=

n d p t 3．最大超调量p σ

最大超调量为：%100)

()()(•∞∞-=

c c t c p p σ

%

100%

100)sin 1(cos %

100)sin 1(cos 2

12

2

⋅=⇒•-+

-=•-+-=--

--ξξπξωξωσπξξ

πωξ

ξ

ωe

e

t t e p t p d p d t p

n p

n

式中，)(p t c 为过渡过程曲线第一次达到的最大输出值；)(∞c 为过渡过程的稳态值（)(∞c =1）。

4．过渡过程时间ts ：在过渡过程的稳态线上，用稳态值的百分数∆（通常取∆=5%或∆=2%）作一个允许误差范围，进入允许误差范围所对应的时间叫～。

)1sin(11)(2

2

ξ

ξωξ

ξω-+--

=-arctg

t e t c d t n

从上式看出，2

11ξ

ξω-±

-t n e 是此时系统

过渡过程)(t c 的包络线方程。即过渡过程

)(t c 总是包含在一对包络线内，包络线的

时间常数为

n

ξω1

。

根据过渡过程时间的定义，可近似认为就是包络线衰减到∆区域所需的时间，则有：

)

11ln 1(ln

1

122

ξ

ξωξξω-+∆=

⇒∆=--n

s t t e n

若取%5=∆，并忽略2

11ln

ξ-，则得：n

s t ξω3

≈

若取%2=∆，并忽略2

11ln ξ-，则得：n

s t ξω4

≈

二阶系统单位阶跃响应的一对包络线