函数的极大值、极小值
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高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件
3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
极大值与极小值
4.(2006年北京卷)已知函数 f ( x) ax bx cx 在点 x0 处取得极大值5,其导函数 y f '( x) 的图像 (如图)过点（1,0）,（2,0）, 求： （1） x0 的值；（2）a,b,c的值； 略解： (1)由图像可知：x0 1
3 2
(2)
f / ( x）＝3ax 2 2bx c (a 0) f (1) a b c 5
0
1 1 9 因此,当x 时, f(x)有极小值f( ) . 2 2 4
1 3 1 例2 求函数 y x 4x 的极值。 3 3 解：定义域为R，y′=x2-4 由y′=0可得x=-2或 x=2
当x变化时，y′, y的变化情况如下表：
x y′ y
(-∞，-2）
-2
0 极大值 17/3
练习：
1、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为 ( D)
A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
2（ 、2006年天津卷)函数 f ( x) 的定义域为开区间( a, b) 导函数 f ( x)在 ( a, b) 内的图像如图所示，则函数f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有（ A ）个极小值点。
再根据解集写出单调递增区间
（4）求解不等式f ′(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间
（5）确定f(x)的单调区间
观察图像：函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的
函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右 近旁各点处的函数值，相比有什么特点?
函数的极值与最大值最小值
极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？ 考察x=0是否是函数y=x3的 驻点, 是否是函数的极值点.
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
函数的极值与最大、最小值
极大值点与极小值点统称为极值点.
例如
x =1 为极大值点 ,
f (1)=2是极大值;
x =2 为极小值点 ,
f (1)=2是极小值.
例如
x =0为极小值点 ,
f (0)=0是极小值.
注意:
函数的极值是函数的局部性质.
x1 , x4 , x6 为极小值点,
x2 , x5 为极大值点,
二、最大与最小值问题
第十节 函数的极值与最大、最小值
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一、函数的极值及其求法
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一、函数的极值及其求法 1.函数极值的定义
设 f(x) 在区间 (a,b) 内有定义 , x0 (a,b) ,
若对任意的 xU(x0, ) (a,b) 且 x x0 , 有
练习题答案
第二充分条件;
(注意使用条件)
注意最值与极值的区别.
最值是整体概念而极值是局部概念.
实际问题求最值的步骤.
利用最大、小值证明不等式
则:
1
且
2
当 n 为偶数时,x = x0 为极值点 , 且
3
x = x0 为极小值点 ;
4
= x0 为极大值点 .
5
当 n 为奇数时,
6
= x0 不是极值点 .
7
但点 (x0 , f (x0 ) ) 是曲线 y=f(x)的拐点 .
最大值, 最小值的特殊情形:
1)如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)
3)对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出 的可疑点是否为最大值点或最小值点 .
例3 三角形 ABC 的底为 a , 高为 h ,求内接
例如
x =1 为极大值点 ,
f (1)=2是极大值;
x =2 为极小值点 ,
f (1)=2是极小值.
例如
x =0为极小值点 ,
f (0)=0是极小值.
注意:
函数的极值是函数的局部性质.
x1 , x4 , x6 为极小值点,
x2 , x5 为极大值点,
二、最大与最小值问题
第十节 函数的极值与最大、最小值
单击此处添加副标题
一、函数的极值及其求法
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一、函数的极值及其求法 1.函数极值的定义
设 f(x) 在区间 (a,b) 内有定义 , x0 (a,b) ,
若对任意的 xU(x0, ) (a,b) 且 x x0 , 有
练习题答案
第二充分条件;
(注意使用条件)
注意最值与极值的区别.
最值是整体概念而极值是局部概念.
实际问题求最值的步骤.
利用最大、小值证明不等式
则:
1
且
2
当 n 为偶数时,x = x0 为极值点 , 且
3
x = x0 为极小值点 ;
4
= x0 为极大值点 .
5
当 n 为奇数时,
6
= x0 不是极值点 .
7
但点 (x0 , f (x0 ) ) 是曲线 y=f(x)的拐点 .
最大值, 最小值的特殊情形:
1)如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)
3)对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出 的可疑点是否为最大值点或最小值点 .
例3 三角形 ABC 的底为 a , 高为 h ,求内接
§3.4 函数的极值与最大、最小值
§3.4 函数的极值与最大、最小值
可以根据 一般在求实际问题的最大值或最小值时，
问题的性质断定相应函数确有最大值或最小值 并且 一定在定义区间内部取得 这时若函数 f ( x ) 在定义区间 内部只有一个驻点 x0 , 则可断定 f ( x0 ) 是最大值或最小值. 例3.4.4 求函数 f ( x) 2 x 3 3 x 2 12 x 14 在[3, 4]上的 最大值和最小值. 解
y
y f ( x)
a x1
有两个极小值: f ( x2 ), f ( x5 ).
x2
O
图3.10
x 3 x4 x 5
b
x
高等数学 第3章 中值定理与导数的应用
§3.4 函数的极值与最大、最小值
函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点
y
y f ( x)
x1 , x4 x2 , x5
x1 1, x2 0, x3 1 .
因为 f (0) 6 0 , 所以 f ( x )在 x 0 处取得极小值: f (0) 0. 又因为 f (1) f (1) 0, 所以用定理3.4.3无法判别
而 f ( x )在 x 1 处的左、右邻域内 f ( x ) 0,
f ( x ) 在 x0的足够小的邻域内有 由极限的保号性知， <0 . x x0
高等数学 第3章 中值定理与导数的应用
§3.4 函数的极值与最大、最小值
证明 对情形(1) 由二阶导数定义， 并注意到 f ( x0 ) 0,
f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) lim lim 则有 f ( x0 ) x ＜0 x0 x x 0 x x x x0 0
4.3.2函数的极大值和极小值
6
6
即y=f′(x)关于直线x=- a 对称.
6
从而由题设条件知- a =- 1 ,即a=3.
62
又由于f′(1)=0,即6+2a+b=0,
得b=-12.
②由①知f(x)=2x3+3x2-12x+1, 所以f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2), 令f′(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0,解得x=-2或x=1. 当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0, 即f(x)在(-∞,-2)上单调递增;
因为ex>0,所以y=f′(x)的零点就是g(x)=-ax2+
(2a-b)x+b-c的零点,且f′(x)与g(x)符号相同.
又因为a>0,所以-3<x<0时, g(x)>0,即f′(x)>0, 当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f′(x)<0, 所以f(x)的单调增区间是(-3,0), 单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞).
2.(2017·全国卷Ⅱ)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1
的极值点,则f(x)的极小值为 ( )
A.-1
B.-2e-3 C.5e-3
D.1
【解析】选A.由题可得f′(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1,因为f′(-2)=0,所以a= -1,f(x)=(x2-x-1)ex-1,故f′(x)=(x2+x-2)ex-1,令 f′(x)>0,解得x<-2或x>1,所以f(x)在(-∞,-2)和 (1,+∞)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,所以f(x) 的极小值=f(1)=(1-1-1)e1-1=-1.
函数的极值与最大值最小值
第五节 函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
极值定义 设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
如果对 x U ( x0 ) ,有 f ( x ) f ( x0 ) ( 或 f ( x ) f ( x0 ) ),
求函数 f ( x ) x 2 3 x 2 在 [3,4] 上的 例3 最大值与最小值 .
解: 显然
一定取得最大值与最小值.
f ( x) ( x 2)( x 1)
又
x 1, x 2为不可导点
x [3,1] [2,4] x (1,2).
x 2 3 x 2, f ( x) 2 x 3 x 2,
2 5
0 0.33
2 ( 5 , )
其极大值为 是极大点，
是极小点， 其极小值为
确定函数极值点和极值的步骤
(1) 确定函数定义域 , 并求导数 f ( x );
(2) 求出 f ( x ) 的全部驻点与不可导点;
(3)驻点和不可导点将定义域区间分成若干个区间， 列表考察导函数在各个区间内的符号，以便确定该点
x 最大(小)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值. o a x1 x2 x3x4 b x 2 , x4 为极小值点
费马( Fermat )引理
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
若 (1) f ( x)在 x0 点可导
则 f ( x0 ) 0.
(2) f ( x)在 x0 点取得极大值或极小值
点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
极值定义 设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
如果对 x U ( x0 ) ,有 f ( x ) f ( x0 ) ( 或 f ( x ) f ( x0 ) ),
求函数 f ( x ) x 2 3 x 2 在 [3,4] 上的 例3 最大值与最小值 .
解: 显然
一定取得最大值与最小值.
f ( x) ( x 2)( x 1)
又
x 1, x 2为不可导点
x [3,1] [2,4] x (1,2).
x 2 3 x 2, f ( x) 2 x 3 x 2,
2 5
0 0.33
2 ( 5 , )
其极大值为 是极大点，
是极小点， 其极小值为
确定函数极值点和极值的步骤
(1) 确定函数定义域 , 并求导数 f ( x );
(2) 求出 f ( x ) 的全部驻点与不可导点;
(3)驻点和不可导点将定义域区间分成若干个区间， 列表考察导函数在各个区间内的符号，以便确定该点
x 最大(小)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值. o a x1 x2 x3x4 b x 2 , x4 为极小值点
费马( Fermat )引理
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
若 (1) f ( x)在 x0 点可导
则 f ( x0 ) 0.
(2) f ( x)在 x0 点取得极大值或极小值
点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形
3.3.2 极大值与极小值
3
y
f x 1 3 x
3
4x 4
o
2
2
x
图 1 . 3 12
函数 f x
1 3
x
3
4 x 4 的图象如图
1 . 3 12 所示 .
极大值一定大于极小极 ? 吗
如果不用导数的方法你能求出上述函数的极 , 值吗? 试一试比较一下 你有什么体会? ! ,
自学检测：P31、1
h
h a 0
'
单调递增 h t 0
'
单调递减 h t 0
'
O
a
图 1 .3 8
t
图 1 .3 9
通过动画实验形象解释利用导数找极 , 值的过程 .
观察图 .3.8, 我们发现 t a时,高台跳水运动员 1 , 距水面的高度最大那么 函数ht 在此点的导数 . , 是多少呢? 此点附近的图象有什么 特点? 相应 地, 导数的符号有什么变化 规律 ?
'
f b 比它
'
值 都 大 , f b 0 ;
'
f x 0 , 右侧 f x 0 .
我们把点
a 叫做函数 ,
a a 叫做函数 的 极小值;
y f x
y f x
o b
x
点 b 叫做函数 的极大值点
y f x , f b 叫做
'
, 且 h t 连续变化
'
, 于是有 h a 0 .
'
对于一般的函数 f x , 是否也有同样的性质呢 y ?
探究
如图1.3 10 和图1.3 11 函数 y f x 在 ,
y
f x 1 3 x
3
4x 4
o
2
2
x
图 1 . 3 12
函数 f x
1 3
x
3
4 x 4 的图象如图
1 . 3 12 所示 .
极大值一定大于极小极 ? 吗
如果不用导数的方法你能求出上述函数的极 , 值吗? 试一试比较一下 你有什么体会? ! ,
自学检测：P31、1
h
h a 0
'
单调递增 h t 0
'
单调递减 h t 0
'
O
a
图 1 .3 8
t
图 1 .3 9
通过动画实验形象解释利用导数找极 , 值的过程 .
观察图 .3.8, 我们发现 t a时,高台跳水运动员 1 , 距水面的高度最大那么 函数ht 在此点的导数 . , 是多少呢? 此点附近的图象有什么 特点? 相应 地, 导数的符号有什么变化 规律 ?
'
f b 比它
'
值 都 大 , f b 0 ;
'
f x 0 , 右侧 f x 0 .
我们把点
a 叫做函数 ,
a a 叫做函数 的 极小值;
y f x
y f x
o b
x
点 b 叫做函数 的极大值点
y f x , f b 叫做
'
, 且 h t 连续变化
'
, 于是有 h a 0 .
'
对于一般的函数 f x , 是否也有同样的性质呢 y ?
探究
如图1.3 10 和图1.3 11 函数 y f x 在 ,
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【学习目标】
1.理解极大值、极小值的概念.
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.
3.掌握求可导函数的极值的步骤
【重点与难点】
极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤
【学法提示】
讲练结合
【课前预习】
用导数法求下列函数的单调区间.
(1) 2()2f x x x =-- (2)311433
y x x =
-+
1.极大值：
2.极小值：
3.极大值与极小值统称为极值
取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的即函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:
若0x 满足
0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值
5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数/()f x
(2)求方程/()f x =0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列表.检查/()f x 在方程根左右的值的符号，若左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；若左负右
正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值
【能力交流】
例1求y =31
x 3－4x +31
的极值
【课堂小结】
【课堂巩固】
1．求下列函数的极值.
(1)y =x 2－7x +6
(2)y =x 3－27x
2.求ln ,(0,2)y x x x =-∈的极值
【学后反思】。