文科数学数列高考真题解析
高考求数列真题及答案解析
高考求数列真题及答案解析数列是高中数学中的重要概念，也是高考数学中的必考内容之一。
在高考数学试卷中，数列题目通常包括数列的概念、性质、递推公式、通项公式等方面的考查。
为了帮助广大考生更好地备考数列题目，在本文中，我们将对一些高考数列题目进行解析，希望对考生们有所帮助。
第一题：已知数列{an}的通项公式为an = 2^n + 3^n，求数列{an}的前n项和Sn。
解析：要求数列的前n项和Sn，我们需要先确定数列的通项公式。
题目中给出的通项公式为an = 2^n + 3^n，因此可以得到数列的前n项和Sn的表达式为：Sn = a1 + a2 + ... + an。
将通项公式代入到Sn的表达式中，我们可以得到：Sn = (2^1 + 3^1) + (2^2 + 3^2) + ... + (2^n + 3^n)。
这是一个等差数列求和的问题，由等差数列的求和公式Sn = (a1 + an) * n / 2，我们可以将Sn重新整理为：Sn = [(2^1 + 2^n) + (3^1 + 3^n)] * n / 2。
进一步化简，我们可以得到：Sn = [(2 + 2^n) + (3 + 3^n)] * n / 2。
至此，我们得到了数列{an}的前n项和Sn的表达式。
第二题：已知数列{an}满足an+1 = an + 2n + 3，a1 = 4，求数列{an}的通项公式。
解析：题目给出了数列的递推公式an+1 = an + 2n + 3，我们可以尝试寻找数列的递推关系。
观察递推公式可以得知，数字2n + 3可能是数列的公差。
我们可以将递推公式进行一下变换：an+1 - an = 2n + 3。
再次变形，我们可以得到：an+1 - an - (n + 3) = n。
将等式两边同时累加，可以得到：a2 - a1 - n - 3 = 1 + 2 + ... + (n - 1) + n。
根据等差数列的求和公式，1 + 2 + ... + (n - 1) + n 的等于n(n + 1)/2。
数列-高考真题文科数学分项汇编(解析版)
专题 12 数列1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设{a n }是等比数列，且a 1 a 2 a 3 1， a 2 a 3+a 4 2，则 a 6a 7 a 8A ．12B ．24C ．30D ．32【答案】D q 【解析】设等比数列a n的公比为，则a 1a 2a 3 a 1 1qq 21，a 2 a 3a 4 a 1q a 1q a 1q a 1q 1qqq 2，a 1q a 1q a 1q 1qq q2 3 2 因此，a 6 a 7 a 8a 1q5 6 7 52 532 .故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．S2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则 n =a nA ．2 n–1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n–1【答案】Bq【解析】设等比数列的公比为，aq 4 a 1q 2 12 q 2 ， 由a 5a 3 12,a 6a 4 24 1可得： aq 5 a 1q 324 a 1 1 1 所以a n a 1q n 1 2n 1,S n a 1(1q n ) 1 2 n2 1，n1q 1 2 S n 2 1 221n .n因此 a n 2n 1故选：B.n【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了 数学运算能力.3．【2020年高考北京】在等差数列a n中， T nA ．有最大项，有最小项a9，a 3 1．记T n a 1a 2…a n (n 1,2,…)，则数列1 B ．有最大项，无最小项 D ．无最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项 【答案】Ba 5a 1 1 92， 【解析】由题意可知，等差数列的公差d 5 1 5 1则其通项公式为：a n a 1 n 1 d9 n 1 22n 11，注意到a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 0 a 6 1 a 7，且由T 50可知T0i 6,i N，iT ia i 1i 7,i N 可知数列T n不存在最小项，由 Ti1 由于a 19,a 2 7,a 35,a 4 3,a 51,a 6 1， T 63，T 46315945 .故数列T n中的正项只有有限项： 2T故数列T n中存在最大项，且最大项为4 .故选：B ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识， 属于中等题.a 1d 4．【2020年高考浙江】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差 d 0，且 1．记b 1 S2，b n1S 2n2– S 2n ，n N，下列等式不可能成立的是．．． A ． 2a 4 a 2 a 6 B ． 2b 4 b 2b 6D ．b 4C ．a 42a 2a 82b 2b 8【答案】D【解析】对于 A ，因为数列a n 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由 4 4 2 6可得，2a 4 a 2 a 6，A 正确；对于 B ，由题意可知，b n 1S 2n2S 2n a 2n1a 2n 2，b 1 S 2 a 1 a 2，∴b 2a 3 a 4，b 4 a 7 a 8，b 6 a 11 a 12，b 8 a 15 a 16．∴ 2b 4 2 a a 8，b 2 b 6 a 3 a 4 a 11 a 12．7根据等差数列的下标和性质，由311 77,41288可得b 2 b 6a 3 a 4 a 11 a 12=2a 7 a 8=2b 4，B 正确；21a 2a 8 a3d a d a 7d 2d对于 C ，a 4 2a 1 d 2d d a ， 2 21 1 1当a 1 d时， a 42 a 2a 8，C 正确； a a 2a 1 13d 2 4a 1 2 52a 1 d 169d 对于 D ，b 4282 2 ，7 b 2b 8 a 3 a 4a 15 a 162a 1 5d 2a 1 29d 4a 1 b 2b 8 24d16a 1 d8d3d2a 1．当 d0时，a 1 d ，∴3d 2a 1 d 2da 10即b 4当 d 0时，a 1 d ，∴3d 2a 1 d 2 d a 10即b 4268a 1 d 145d 2，b 2 42 2b 2b 8 0； b 2b 8 0，所以b 4 b 2b 8 0，D 不正确．22故选：D ..【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．5．【2019年高考全国 III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列a n的前 4项和为 15，且则a 3a 3a 3 4a 1，5A ．16B ．8 D ．2C ．4 【答案】 Ca 1 a 1qa 1q a 1q 152 3，q 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为，则a 1q43a 1q 24a 1 a 1 1,，a 3 a 1q 2 4，故选 C ．解得q2【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.6．【2019年高考浙江卷】设 a ，b ∈R ，数列{a n }满足 a 1=a ，a n+1=a n +b ，nN ，则2A ．当 b1 ,a 10 10B ．当 b1 ,a 10 10 42 C ．当 b2,a 1010D ．当 b4,a 1010【答案】A【解析】①当 b=0时，取 a=0，则a n0,n N.②当b<0时，令 x x 则该方程14b 0，即必存在 x 0，使得 n 1a n 2b ，即 x 2x b0 .x 2x 0 b0，则一定存在 a 1=a=x 0，使得 a2 ba n 对任意nN成立， 解方程a 2a b0，得 a114b， 211 4b 10时，即b90时，总存在a 1 14b ，使得a 1a 2a 1010，当22故 C 、D 两项均不正确. ③当 b 0时，a 2a 1b b ，2则a 3a 2 a 4 a 3b b（ⅰ）当 b 12 bb 2b ， 22 2bb .21 2 1 1 171,a 5 11 ，22时，a 4 22 2 16 1 2 111 2， 则a 6 12 2 4 a 7 2 ，21 92 2 2a 8 9 183 4 10， 2 2则a 9a 821 10，2 a 10a 92 1 10， 2 故 A 项正确. 211 1，44 2（ⅱ）当b1 时，令a 1=a=0，则a2 1 ,a34 421 1 1 1 ，以此类推， 2， 所以a 4a 3 24 2 4 21 1 1 1 4 2所以a 10a 9 2 4 2故 B 项不正确. 故本题正确答案为 A.【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步a讨论的可能取值，利用“排除法”求解.7．【2018年高考浙江卷】已知 a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列，且 a 1 a 2a 3 a 4ln(a 1a 2a 3)．若 a 1 1，则A ． a 1a 3,a 2 a 4B ． a 1a 3,a 2 a 4D ．a 1 a 3,a 2 a 4C ． a 1 a 3,a 2 a 4 【答案】B 【解析】令 f x x lnx 1,则 fx1 1，令 fx0,得 x 1，所以当 x时， f x 0，x当0x 1时， f x 0，因此 f x f 10,x lnx 1.若公比q 0，则a 1 a 2 a 3 a 4 a 1 a 2 a 3 lna 1 a 2 a 3，不合题意； 若公比q1，则a 1 a 2 a 3 a 4 a 11q 1 q20,但lna 1 a 2 a 3 ln a 11 q q2lna 1 0，即 aa 2 a 3 a 4 0 ln a 1 a 2 a 3，不合意；1因此1 q 0,q0,1，a 1 a 1q 2a 3,a 2 a2q 2 2a 4 0，故选 B.【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法 xlnx 1,e x 1,e x1x 0.x x 2 8．【2018年高考北京卷文数】设 a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件 【答案】B B ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件14【解析】当 a4,b 1,c1,d时，a,b,c,d 不成等比数列，所以不是充分条件；当a,b,c,d 成等比 数列时，则 ad bc ，所以是必要条件.综上所述，“ad bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的必要不充分条件，故选 B.【名师点睛】证明 “ ad bc ” “ a,b,c,d 成等比数列 ”只需举出反例即可，论证 “ a,b,c,d 成等比数列”“ad bc ”可利用等比数列的性质.9．【2018年高考北京卷文数】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比 例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音， 从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 则第八个单音的频率为 12 2 .若第一个单音的频率为 f ，A ． C ． 3 2 fB ． D ． 32 f2122 5f122 f7【答案】D12 2，所以a n 12 2a n1n 2,nN*，【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为 7 又a 1f ，则a 8 a 1q7122f122 7f ，故选 D. 【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判 a n1a nq * q （q 0,n 2,n N *）， 断方法主要有如下两种：（1）定义法，若 a（q 0,nN ）或a n 1n数列a n是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列 则数列a n是等比数列.a n中，a n0且a2n 1 a n an 2（n 3,nN *），10．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1=−2，a 2+a 6=2，则S 10=__________．【答案】 25 【解析】a n 是等差数列，且a 1 2，a 2 a 62设a n 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：a n a 1 n1 d可得a 1d a 1 5d2即：2 d 25d2 整理可得：6d 6 解得： d1根据等差数列前项和公式： S nna 1 n(n 1) d ,n Nn*2可得： S 10 10210 (10 1) 2045 252S10 25 .故答案为：25 .n n【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.a 3n 1，前16项和为540，11．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】数列{a n}满足a n 2 (1)n则na 1 .【答案】 7【解析】a n 2 (1)na 3n 1，nn当为奇数时，a n 2 a n 3n 1；n当为偶数时，a n 2 a n 3n 1 .n S设数列a n的前项和为n，S16 a1 a2 a3 a4a16a1 a3 a5 a15 (a2 a4 )(a14a16 )a 1 (a1 2) (a1 10) (a1 24) (a1 44) (a170)(a1 102) (a1 140) (517 29 41)8a1 392 92 8a1 484 540，a1 7 .故答案为：7 .【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.12．【2020年高考浙江】我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列{n(n 1)}2 就是二阶等差数列．数列{n(n 1)}(n N*)的前3项和是_______．2【答案】10【解析】因为a n n 1，所以a1 1,a2 3,a3 6．n 2即 S 3 a 1 a 2 a 3 1 3 610．故答案为：10.【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．13．【2020年高考江苏】设{a n }是公差为 d 的等差数列，{b n }是公比为 q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前 n 项和 S n n 【答案】 4 2n 2n 1(n N)，则 d+q 的值是 ▲ ．【解析】设等差数列a n的公差为d ，等比数列 bnq 的公比为，根据题意q1.P na 1n n 1 dd n a d n等差数列a n 的前项和公式为2n ， n 1 22 2等比数列b n的前项和公式为Q nb 11qn， b 1 b 1nq n 1q 1q 1q1d n a d2 n 1q q b 1 b 11q 依题意S nP n Q n ，即 d n 2n2n2 n1 ， 21 2 d 2 a d 1 a 0 1 12q 2 ，故 d q 4 通过对比系数可知 . q 2b 1 1 b 11 1q故答案为： 4 .n 【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式，属于中档题.14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前 n 项和为________． 【答案】 3n22n 【解析】因为数列2n 1是以 1为首项，以 2为公差的等差数列，数列3n 2是以 1首项，以 3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列a n是以 1为首项，以 6为公差的等差数列，n 1 n(n1) 63n n所以a n的前项和为22n ，2故答案为： 3n22n . 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征， 等差数列求和公式，属于简单题目.15．【2019年高考全国 I 卷文数】记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和.若a 11，S 3 3，则 S 4=___________．45【答案】8【解析】设等比数列的公比为，由已知S 3a 1 a 1q a 1q 2 1 qq 2 3，即q 2 q 1 0q4 4解得q1，21 ( 1)4 所以S 4 a 1(1q ) 4． 5 2 1 ( 1) 1q 82【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．3 ( 1) ，5 一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算S 4 S 3 a 4 S 3 a 1q 33 4 2 8避免繁分式计算．16．【2019年高考全国 III 卷文数】记S n 为等差数列a n 的前n 项和，若a 3 5,a 7 13，则S 10 ___________.【答案】100【解析】设等差数列 a 的公差为 d ，根据题意可得n a 3 a 1 2d 5 a 1 1,a a 1 6d 13,得 d 27 S 10 10a 1 109 d 101109 2100. 22【名师点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列 的求和公式是解题的关键.17．【2019年高考江苏卷】已知数列{a n }(n N*)是等差数列，S n 是其前 n 项和.若a 2a 5 a 8 0,S 9 27，则 S 8的值是__________． 【答案】16a 2a 5 a 8 a 1 d a 1 4da 1 7d 0 【解析】由题意可得： ，S 9a 1 98d 27 92 a 1 5，则S 8 8a 1 87 d40 28 216 .解得：d 22【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程 思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建a 1,d 的方程组. 18．【2018年高考江苏卷】已知集合 A{x | x 2n 1,n N }， B {x | x 2 ,n N }．将 A B 的所* n *有元素从小到大依次排列构成一个数列 {a n }．记 S n 为数列{a n }的前 n 项和，则使得 S n 12a n 1成立的 n 的最小值为___________． 【答案】27【解析】所有的正奇数和 2 个正奇数，即a 212 ,a 38 2 不符合题意；当n=3时，S3 6 12a4 48，不符合题意；当n=4时，S 4 10<12a 5=60，不符合题意；……nnN按照从小到大的顺序排列构成{a n }，在数列|{a n }中，25前面有165 6 .当n=1时，S 1112a 2 24，不符合题意；当n=2时，S 2 312a 3 321 25441 62 503 12a 27=516，不符合题意；当n=27时，1 2 当n=26时， S 2621(1 41)2 2125484+62=546>12a 28=540 ,符合题意 .故使得 S n >12a n+1成立的n 的12S 27 22(143)2最小值为27.【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的前n 项和，考查考生的运算求解能力，考查的核心素 养是数学运算.19．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设等比数列{a n }满足 a 1 a 2 4，a 3 a 1 8．（1）求{a n }的通项公式；（2）记 S n 为数列{log 3a n }的前 n 项和．若 S m S m1S m 3，求 m ．【解析】（1）设{a n }的公比为 q ，则 a n a 1q n 1.由已知得a a 1q 41， a 1q2a 1 8解得 a 1 1,q 3 .所以{a n }的通项公式为 a n =3n 1 . （2）由（1）知 log 3a n n1.故 S n n(n1). 2由 S m S m1S m 3得 m(m 1) (m 1)m (m 3)(m 2)，即 m 5m6 0 .2解得 m 1（舍去）， m 6 . 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能 力，属于基础题目.20．【2020年高考江苏】已知数列a n (n N *)的首项 a 1=1，前 n 项和为 S n ．设λ与 k 是常数，若对一切正11 1成立，则称此数列为“λ～k ”数列． 整数 n ，均有 S k n 1 S nk a nk1（1）若等差数列a n 是“λ～1”数列，求λ的值；（2）若数列a n是“ 3 ~2 ”数列，且 a n0，求数列a n的通项公式；3（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列a n为“λ～3”数列，且a n 0？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】（1）因为等差数列{a n }是“λ～1”数列，则 S n 1S n a n 1，即 a n 1 a n1也即 ( 1)a n 10，此式对一切正整数n 均成立． ， 若1，则 a n10恒成立，故 a 3a 20，而 a 2 a 11，这与{a n }是等差数列矛盾．所以 1．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列） （2）因为数列{a n }(n N *)是“ 3 ~2 ”数列， 333S n1S n ．所以 S n1S n a n 1，即 S n1S n3 3S n 1 3 S n 1因为 a n0，所以 S n1S n 0，则 1 1．S n 3 S nS n 1 S n 3b n ，则b n 1 31 b n2 1，即 (b n 1) 23 (b n2 1)(b n 1)．令S n 1S n 1 解得b n2，即 2，也即 S 4， S n n所以数列{S n }是公比为4的等比数列． 因为 S 1 a 1 1，所以 S n 4n 11(n 1), ．则a n 34n(n 2). 2 （3）设各项非负的数列{a n }(n N*)为“ ~ 3 ”数列， 111，即 则 S n3 1 S n3a n3 1 3S n13S n3 S n 1 S n ．S n 1 S n 1因为 a n0，而 a 1 1，所以 S n1S n0，则 31=3 1． S n S nS n 1令 3 =c n ，则c n1c3 1(c n 1)，即 (c n 1) (c 1)(c n 1)．（*）3 3 3 3nnS n①若 0或 =1，则（*）只有一解为c n =1，即符合条件的数列{a n }只有一个．（此数列为1，0，0，0，…）231 c n 1) 0， ②若 1，则（*）化为 (c n 1)(cn 23 2c n1 0，则（*）只有一解为c n =1， 323 1因为c n 1，所以c n即符合条件的数列{a n }只有一个．（此数列为1，0，0，0，…）31 c n1 0的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内，③若 0 1，则c n 223 则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t ）．所以 S n1S n 或 S n1 t3S n ． 由于数列{S n }从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列 {S n }有无数多个，则对应的{a n }有无数多个．综上所述，能存在三个各项非负的数列{a n }为“ ~ 3 ”数列，的取值范围是 0 1． 21．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知公比大于1的等比数列{a n }满足 a 2 a 420,a 38．（1）求{a n }的通项公式；（2）记b m 为{a n }在区间 (0,m](m N )中的项的个数，求数列{b m }的前100项和 S 100．*【解析】（1）设{a n }的公比为 q ．由题设得a 1q a 1q 3 20，a 1q 2 8．解得 q 1（舍去），q 2．2 由题设得 a 12．所以{a n }的通项公式为 a n2 （2）由题设及（1）知b 1 0，且当 2 所以 S 100 b 1 (b 2 b 3) (b 4b 5 b 6b 7)(b 32 b 33b 63) (b 64b 65b 100) n ．n m2n 1时，b m n ．0122 23 24 25 26(100 63)2 3 4 5480．22．【2020年高考天津】已知a n为等差数列，b n 为等比数列，a 1 b 1 1,a 5 5a 4 a 3,b 5 4b 4b 3．（Ⅰ）求a n和b n的通项公式；（Ⅱ）记a n n的前项和为S n ，求证：S n S n 2 S 2 n 1n N *；3a n 2b n ,n 为奇数,（Ⅲ）对任意的正整数n ，设c n a n a n 2求数列c n 的前 2n 项和．a n 1 ,n 为偶数.b n 1【解析】（Ⅰ）设等差数列a n 的公差为d ，等比数列 b n的公比为．由a 11，a 55 a 4a，3q 可得d 1，从而a n 的通项公式为 a n ．由b 1 1,b 5 4b 4b 3，又q0，可得 nq 24q4 0，解得q2，从而b n的通项公式为b n2n 1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得S nn(n1)，故S n S n21 n(n1)(n 2)(n 3)，S 2 n11 (n 1)2n 22，2 44从而S n S n2S 2 n 11 (n 1)(n2) 0，所以S n S n2S2 n1． 2c 3a n2b n n 1 n 1 n 1（Ⅲ）解：当n 为奇数时， (3n 2)2 2 2 ；当n 为偶数时， na n a n 2n(n 2) n 2n a n 1n 1c n b． 2nn 1n 对任意的正整数n ，有 c 2k1 n22k 2 2k 22 2n1， 2n 1 2k 1 2k 1 k1k 1 nn2k 1 1 4 43245 3 2n 1和c ． ①2k4k4nk1k1 1 n c 2k 412 4 33 2n 32n1．4n 4n1由①得 ②k 1 2 11 3 n c 2k 12 2 n 2n 1 4 4n1 2n 1 n 5 6n 5 c 2kn ． 由①②得，从而得 4 n 14 4 42 4 4 n 11 1 4 9 9 4 k 1k 142nnc c 2k 1 n4 n6n 5 4．因此，c 2k k2n 1 9 4 9 k1k1k 1 4 n 6n 5 4．所以，数列c n的前 2n 项和为2n 1 9 4 n 9b n23．【2020年高考浙江】已知数列{a n }，{b n }，{c n }满足 a 1 b 1 c 1 1,c n a n1a n ,c n 1 c n ,n N *．b n 2（Ⅰ）若{b n }为等比数列，公比 q 0，且b 1 b 2 6b 3，求 q 的值及数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若{b n }为等差数列，公差 d 0，证明：c 1 c 2 c 3c n 1 1 ,n N*．d【解析】（Ⅰ）由b 1 b 2 6b 3得1 q 6q2 ，解得q 1 ． 2由c n 1 4c n 得c n 4n 1． 由a n 1 a n 4n 1得a n a 11 44n 2 4 n1 2．3（Ⅱ）由c n1b nc n 得 b 1b 2c 11 d ( 1 1 )， c n b n2 b n b n 1d b n b n 1所以c 1 c 2 c 3c n 1d (1 1 )， d bn1由b 1 1， d 0得b n10，因此c 1 c 2 c 3c n 11 ,n N* ．d24．【2020年高考北京】已知a n是无穷数列．给出两个性质：a i2 ①对于a n 中任意两项 a ,a j (ij)，在a n中都存在一项a im ，使a a m ； ja (n 3)，在a n 中都存在两项a k ,a l (kl)．使得a n a 2②对于a n中任意项k ．n a l(Ⅰ)若a n n(n 1,2,)，判断数列a n是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若a n 2n 1(n 1,2,)，判断数列a n是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若a n 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： a n为等比数列.【解析】 (Ⅰ)Q a 22,a 3 3, a 3 9Za2n不具有性质①；a 2 2,i j, a 2a 2a 2ija n具有性质①；aj(Ⅱ)Q i, j N*i2(2i j)1,2i jN*ia j Q nN *,n 3,kn 1,l n 2, ak22(2 kl) 12 n1a n , a n具有性质②；a l (Ⅲ)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然a n 0 n N *，假设数列中存在负项，设 N 0 maxn | a n 0，第一种情况：若 N 0 1，即a 0 0 a 1 a 2 a 3，aa 22 0，存在 m 2，满足a m a 2a 1 由①可知：存在m 1，满足30，m 1a 1 2由 N 01可知 a a 12 a 2 2 3，从而 a a 3，与数列的单调性矛盾，假设不成立.2a 1a2第二种情况：若 N 0 2，由①知存在实数m ，满足a m N 0 0，由 N 0的定义可知：m N 0，a 1a 2 N 0 a2 N 0另一方面，a m a N ，由数列的单调性可知：m N 0，a 1 a N 0 0这与 N 0的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号. 其次，证明a 3a 22： a 1利用性质②：取n3，此时a 3 a2 k k l，al由数列的单调性可知a k a l 0，a k而a 3a k a k ，故k 3，a l此时必有k 2,l1，即a 3 a 22，a 1最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列a n 的前k k 3项成等比数列，不妨设a a 1q s 11 sk ， s其中a 1 0,q 1，（a 1 0,0 q 1的情况类似）a 2k 由①可得：存在整数m ，满足 a ma a 1q k a k ，且a m a 1q k a k1（*）k1由②得：存在s t ，满足：a k1a 2sa s a a ta sa s ，由数列的单调性可知：t s k 1，t 由a sa q 1s 11s k可得：a k 1a 2 sa 1q 2s t 1 a k a 1q k 1（**） at由（**）和（*）式可得：a 1q ka 1q 2s t 1 a 1q k 1， 结合数列的单调性有：k2s t 1 k 1，注意到s,t,k 均为整数，故k 2s t 1，代入（**）式，从而a k1a 1qk.总上可得，数列a n的通项公式为：即数列a n为等比数列.a a q n 1 .n 1【解法二】假设数列中的项数均为正数： 首先利用性质②：取n3，此时a 3 a 2 k k l，al由数列的单调性可知a k a l 0，a k而a 3a k a k ，故k 3，a l此时必有k 2,l1，即a 3 a 22，a 1即a 1,a 2,a 3成等比数列，不妨设a 2 a 1q,a 3 a 1q2q 1， 然后利用性质①：取i3, j2，则a m a 2 3 a 2 1 q 4 a q 13， a 2 a 1q 即数列中必然存在一项的值为a 1q ，下面我们来证明a 4 a 1q3 3，否则，由数列的单调性可知a 4 a 1q， 3 在性质②中，取n 4，则a 4a a kl a k a 2 a ka k ，从而k4，lk,l 1,2,3 k l，满足a 4 a2与前面类似的可知则存在k ，a l若k3,l2，则：a 4 a2 k a q1 3，与假设矛盾； a l若k3,l1，则：a 4 a 2 k a 1q a 1q a q 4 3，与假设矛盾； 1 a l若k2,l1，则：a 4 a2 k 2 a 3，与数列的单调性矛盾； a l即不存在满足题意的正整数 k,l ，可见a 4 a 1q3不成立，从而a 4a 1q3，4 5同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数. 从而题中的结论得证，数列a n为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、 不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.25．【2019年高考全国 I 卷文数】记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和，已知 S 9=-a 5．（1）若 a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若 a 1>0，求使得 S n ≥a n 的 n 的取值范围．【答案】（1）a n 2n 10；（2）1 n 10(nN) .【解析】（1）设a n 的公差为d ． 由S 9 a 5得a 1 4d 0． 由a 3=4得a 1 2d 4． 于是a 1 8,d 2．因此a n 的通项公式为a n 10 2n ．（2）由（1）得a 1 4d ，故a n (n5)d,S n n(n9)d .2由a 10知 d0，故S n a n 等价于n 11n 10 0，解得1≤n ≤10．2所以n 的取值范围是{n |1 n 10,n N }．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数 列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.26．【2019年高考全国 II 卷文数】已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 12,a 3 2a 2 16 .（1）求{a n }的通项公式； （2）设b nlog 2 a n ，求数列{b n }的前 n 项和．【答案】（1）a n 22n 1；（2）n 2 .【解析】（1）设a n的公比为q ，由题设得2q4q 16，即q 2q 8 0．2 2解得q2（舍去）或q=4．因此a n 的通项公式为a n24n122n 1．（2）由（1）得b n (2n 1)log 2 2 2n 1，因此数列b n 的前n 项和为13 2n 1n 2．【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法， 考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题.27．【2019年高考北京卷文数】设{a n }是等差数列，a 1=–10，且 a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）记{a n }的前 n 项和为 S n ，求 S n 的最小值．【答案】（1）a n 2n 12；（2）当n 5或者n 6时，S n 取到最小值30.【解析】（1）设a n的公差为d ．因为a 1 10， 所以a 210 d,a 3102d,a 4103d ． 因为a 2 10,a 3 8,a 4 6成等比数列， 所以a 3 8 2a 2 10a 4 6．所以(22d)2d(4 3d)． 解得 d 2．所以a na 1 (n 1) d 2n12． （2）由（1）知，a n 2n12．所以，当n7时，a n 0；当n6时，a n 0．所以，S n 的最小值为 S 30．6【名师点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于 熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.28．【 2019年高考天津卷文数】设 {a n }是等差数列， {b n }是等比数列，公比大于 0 ，已a 1b 1 3,b 2 a 3,b 3 4a 2 3 .（1）求{a n }和{b n }的通项公式；1，n 为奇数,（2）设数列{c n }满足c nb n ，n 为偶数.求a 1c 1 a 2c 2 a 2n c 2n (n N *) .2 【答案】（1）a n 3n ，b n 3n ；（2） (2n 1)3n2 6n 29 (nN)2【解析】（1）设等差数列a n 的公差为d ，等比数列b n 的公比为q .3q 3 2d, d3, 依题意，得3q 15 4d,解得q 3, 2故a n3 3(n 1)3n, b n 33n13n.所以，a n 的通项公式为a n 3n ，b n 的通项公式为b n3n .（2）a 1c 1 a 2c 2 a 2 n c 2na 1 a 3 a 5 a 2n 1a 2b 1 a 4b 2 a 6b 3a 2nb n n 3 n(n 1) 6 (6 3 12 3 2 18 3 3 6n 3 n) 12 3n 2 613 2 3n 32 n .2 3n 3则3T n 1 3 2 31 记T n 1 31 2n,① 23n3n 1 ,② 31313 nn 3 n1n 13②−①得， 2T n3 323 33 nn 3 n 1(2n 1)3n13 .2所以，a 1c 1 a 2c 2a 2n c 2n 3n2 6T n 3n 23 (2n 1)3 2(2n1)3n 2 6n 29 nN.2n【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列 求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.29．【2019年高考江苏卷】定义首项为 1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }(n N )满足：a 2a 4a 5,a 3 4a 2 4a 1 0，求证:数列{a n }为“M －数列”；满足:b 11, 1 22（2）已知数列{b n }(nN ) ①求数列{b n }的通项公式；，其中 S n 为数列{b n }的前 n 项和．S b b n 1 n n②设 m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }(n N 立，求 m 的最大值．)，对任意正整数 k ，当 k ≤m 时，都有c k b k c k 1成【答案】（1）见解析；（2）① b =n n N *；②5.n【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.a 2a 4 a 5 a 2 1q 4a 1q 4 a 1 1 由a 3 4a 2 4a 1 0 ，得 4a 1q 4a 1 0，解得q 2 ．a q 12 因此数列{a n }为“M—数列”.1 22 ，所以b n 0． （2）①因为 Sb b n 1 n n由b 11,S 1 b 1，得11 221 b 2，则b 2 .21 22 b n b n 1 2(b n 1 b n )， ，得 S n 由 S b n b n 1 nb n b n 1 b n 1b n当n2时，由b nS n S n 1，得b n2b n 1 b n 2b nb n 1， 整理得b n1b n12b n ．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. .因此，数列{b n }的通项公式为b n =n nN *②由①知，b k =k ，kN .*因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q>0.q k 1k q k，其中k=1，2，3，…，m.因为c k ≤b k ≤c k+1，所以 当k=1时，有q ≥1；lnklnqlnk k 1 当k=2，3，…，m 时，有． kln x (x 1)，则 f '(x)1ln x 设f （x ）= ． xx2令 f '(x)0，得x=e.列表如下：x e (e ，+∞) (1,e)f '(x) +0 –f （x ）极大值ln 2 ln8 ln9 ln3 f (3) ln33 因为3，所以 f (k)max． ，2 6 63，当k=1，2，3，4，5时， lnk取q3lnq ，即k qkk经检验知q k 1k 也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k=3，6，得3≤q 3 ，且q ≤6，从而q ≥243，且q ≤216，5 15 15所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转 化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力． 30．【2019年高考浙江卷】设等差数列 {a n }的前 n 项和为 S n ，a 34，a 4 S 3，数列{b n }满足：对每个n N,S n b n ,S n 1 b n ,S n 2 b n 成等比数列． （1）求数列{a n },{b n }的通项公式；a n（2）记c n,n N ,证明：c 1c 2+c n2 n,n N. 2b n【答案】（1）a n 2 n 1，b n n n 1；（2）证明见解【解析】（1）设数列{a n }的公差为d ，由题意得a 1 2d4,a 1 3d 3a 1 3d ，解得a 1 0,d 2． 从而a n2n2,nN*．所以 S n n n ，n N 2* ，由S n b n ,S n 1 b n ,S n 2b n 成等比数列得S n 1b n 2 S n b nS n 2 b n ． 1 解得b n S 2 n 1 S n S n 2．d所以b n n2n,n N*．a n 2n 2 n1,n N*．n(n1)（2）c n2b n2n(n 1)我们用数学归纳法证明．（i ）当n=1时，c 1=0<2，不等式成立； （ii ）假设nk k N*时不等式成立，即c 1 c 2c k 2 k ．那么，当nk 1时， k 1 c 1 c 2c k c k12 k2 k (k1)(k2) k 122 k 2 k 2( k 1 k ) 2 k 1．k 1 k即当nk1时不等式也成立．根据（i ）和（ii ），不等式c 1c 2c n2 n 对任意n N*成立．【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算 求解能力和综合应用能力.31．【2018年高考全国 I 卷文数】已知数列a n 满足 a 1 1， na n12n1a n ，设b na n ． n（1）求b 1，b 2，b 3；（2）判断数列b n 是否为等比数列，并说明理由；（3）求a n 的通项公式．【答案】（1）b 1=1，b 2=2，b 3=4；（2）见解析；（3）a n =n·2n-1 ． 2(n 1) a n ．【解析】（1）由条件可得 a n+1 =n 将 n=1代入得，a 2=4a 1，而 a 1=1，所以，a 2=4． 将 n=2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12． 从而 b 1=1，b 2=2，b 3=4．（2）{b n }是首项为 1，公比为 2的等比数列． 2a n由条件可得 a n 1 ，即 b n+1=2b n ，n n 1 又 b 1=1，所以{b n }是首项为 1，公比为 2的等比数列． （3）由（2）可得 a n2n 1， n 所以 a n =n·2n-1． 【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根 据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是 等比数列，根据等比数列通项公式求得数列 的通项公式，借助于 的通项公式求得数列 的通项 公式，从而求得最后的结果.32．【2018年高考全国 III 卷文数】等比数列{a n }中，a 11，a 5 4a 3．（1）求{a n }的通项公式；{a n } 的前项和．若（2）记 S n 为 n S m63，求m ．【答案】（1）a n(2)n 1或 a n 2n 1；（2）m 6 .【解析】（1）设{a n }的公比为 q ，由题设得a n q n 1．由已知得 q4q4 2，解得 q 0（舍去）， q 2或q 2．故 a n (2)n 1或a n 2n 1． （2）若 a n (2)n 1，则 S n 1(2) n ． 3由 S m 63得 (2)m188，此方程没有正整数解． 若 a n 2n 1，则 S n 2 由 S m63得 264，解得 m 6．综上， m 6．n 1．m 【名师点睛】等差、等比数列中的基本量的求解，可利用通项公式及前 n 项和公式建立 a 1, d （或 q ）， n, a n ,S n 五个基本量间的关系式，即“知三求二”.非等差、等比数列的求和常用三种方法：一是分组求和法，特征是原数列可以拆成几个等差或等比数列的和；二是裂项相消求和法，特征是通项是分式形式， 11 1 1；三是错位（项）相减求和法，特征是 如等差数列{a n }的的公差是 d ，则b nd a a n 1na n a n 1通项可以看成一个等差数列与一个等比数列对应项的积（或商）.33．【2018年高考全国 II 卷文数】记S 为等差数列a n 的前项和，已知 n a 1 7，S 3 15．n （1）求a n的通项公式；（2）求 S n ，并求 S n 的最小值．【答案】（1）a n =2n –9；（2）S n =n2 –8n ，最小值为–16．【解析】（1）设{a n }的公差为 d ，由题意得 3a 1+3d=–15．由 a 1=–7得 d=2．所以{a n }的通项公式为 a n =2n –9． （2）由（1）得 S n =n–8n=（n –4） –16． 2 2所以当 n=4时，S n 取得最小值，最小值为–16．【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集 这一限制条件.（1）根据等差数列前 n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根 据等差数列前 n 项和公式得S n 关于 n 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函 数最值.34．【2018年高考北京卷文数】设a n 是等差数列，且a 1 ln2,a 2 a 3 5ln2 .（1）求a n的通项公式；（2）求e a e a e a.1 2【答案】（1）a n nln 2；（2） 2n12 .【解析】（1）设等差数列a n 的公差为d ，∵a 2 a 3 5ln2， ∴ 2a 1 3d 5ln2，又a 1 ln2，∴ d ln2 . ∴a n a 1 n 1 d nln2 .（2）由（1）知a n nln2，∵e a n e nln2 e ln2n =2n，∴e a n是以 2为首项，2为公比的等比数列.∴e a 1e a 2 e nae ln2 e ln2 2 e ln2 n =2 2 2 n=2 n 12 .2=2n12 .∴e a 1e a 2e nan【名师点睛】等差数列的通项公式及前项和共涉及五个基本量a 1,a n ,d,n,S n ，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想（. 1）设公差为d ，根据题意可列关于a 1,d 的方程组，求解a 1,d ， 代入通项公式可得；（2）由（1）可得e a n2n，进而可利用等比数列求和公式进行求解. ）；{b n }是等比数列，公比大于 *）．已知 b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6．35．【2018年高考天津卷文数】设{a n }是等差数列，其前 n 项和为 S n （n ∈N* 0，其前 n 项和为 T n （n ∈N（1）求 S n 和 T n ；（2）若 S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数 n 的值． 【答案】（1）S nn(n 1)，T n 2n 1；（2）4. 2【解析】（1）设等比数列{b n }的公比为 q ，由 b 1=1，b 3=b 2+2，可得q 2q 2 0．因为q0，可得q 2，故b n 2n 1 ．所以，T n1 2n 2n 1．1 2设等差数列{a n }的公差为d ．由b 4 a 3 a 5，可得a 1 3d 4．由b 5 a 4 2a 6，可得3a 1 13d 16从而a 11,d 1，故a n n ，所以，S nn(n 1)． 2n （2）由（1），有T 1 T 2T n (2 12 32 n)n= 2(1 2 )n 2n1n2.1 2由S n(T 1 T 2T n )a n 4b n 可得 n(n 1) 2n 1 n 2n 2n1，2整理得n23n 4 0,解得n 1（舍），或n 4．所以 n 的值为 4．【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和公式等基础知识．考查数列 求和的基本方法和运算求解能力．36．【2018年高考浙江卷】已知等比数列{a n }的公比 q>1，且 a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是 a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足 b 1=1，数列{（b n+1−b n ）a n }的前 n 项和为 2n +n ．2（1）求 q 的值； （2）求数列{b n }的通项公式． 【答案】（1）q2；（2）b n 15 (4n3)(1)n2 .2【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应 用能力. （1）由a 4 2是a 3,a 5的等差中项得a 3 a 52a 4 4，所以a 3 a 4 a 5 3a 4 4 28，解得a 4 8 .由a 3a 5 20得8(q 1)20，q因为q 1，所以q2 .（2）设c n (b n1b n )a n ，数列{c } n前 n 项和为 S n .S 1,n 1,由c nc 4n 1.n 解得 S n S n 1,n 2.由（1）可知a n 2n 1 ，所以b n1b n (4n1)(1)n 1 ，2故b n b n1(4n 5)(1)n 2,n2，2b n b 1 (b n b n 1) (b n 1 b n 2) (b 3 b 2) (b 2 b 1)(4n 5)(1)n 2 (4n 9)(1)n 3 7 1 3. 2 2 2 设T n 3 7 1 11(1) (4n 5)(1)n 2,n 2， 22 2 2 1 2 T n3 1 7(1) (4n 9)(1)n 2 (4n5)(1)n 1 2 2 2 2 21 2T n 3 4 1 4(1) 24(1)n 2 (4n 5)(1)n1，2 2 2 2 所以 因此T n 14 (4n 3)(1)n 2,n2， 2又b 1 1，所以b n 15 (4n 3)(1)n 2 . 2【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数 的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1和不等于 1两种 情况求解.37．【2018年高考江苏卷】设{a n }是首项为 a 1，公差为 d 的等差数列，{b n }是首项为b 1，公比为 q 的等比数列． （1）设 a 1 0,b 1 1,q 2，若| a n b n | b 1对n 1,2,3,4均成立，求 d 的取值范围；（2）若 a 1b 10,m N ,q(1, 2]，证明：存在 d R ，使得 | a n b n |b 1对 n2,3,,m 1均成立*m 并求 d 的取值范围（用b 1,m,q 表示）．【答案】（1）[7 , 5]；（2）见解析.3 2【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化 与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分 16分． （1）由条件知： a n (n 1)d,b n 2n1． 因为| a nb n | b 1对 n=1，2，3，4均成立，即| (n 1)d 2n1|1对 n=1，2，3，4均成立，即 1 1，1d 3，3 2d 5，73d 9，得 7d 5．23 因此，d 的取值范围为[7 , 5]．3 2 （2）由条件知： a n b 1 (n1)d,b n b 1q n 1．若存在 d ，使得| a n b n | b 1（n=2，3，···，m+1）成立， 即 |b 1 (n 1)d b 1q n1| b 1(n 2,3,,m 1)，即当 n2,3,,m 1时，d 满足 q n 1 2b 1 d q b 1．n 1n 1 n 1m 2]，则1 q n 1 qm 2， 因为 q(1,从而 q n 1 2b 1 0，q n 1b 1 0，对 n 2,3,,m 1均成立． n 1n 1 因此，取 d=0时，| a n b n | b 1对n2,3,,m 1均成立．下面讨论数列{q n 1 2}的最大值和数列{q n 1}的最小值（n2,3,,m1）．n 1 n 1①当 2 n m 时， q n 2 q 2 nq n 1 n qnnq n 12n(q n q n 1) q n 2，n n 1 n(n 1)n(n 1)1当1q 2m 时，有q n q m 2，从而n(qn q n 1) q n2 0．因此，当 2 n m 1时，数列{q n 1 2}单调递增，n 1 2．故数列{q n 1 2}的最大值为 q mn 1 m②设 f (x) 2x (1 x)，当 x>0时， f(x)(ln21 xln2)2x0，所以 f (x)单调递减，从而 f (x) <f （0）=1．qn1 1 1 n n 1当 2 n m 时， q(n 1) 2 n n (1 ) f ( ) 1， q n n n 1因此，当 2 n m 1时，数列{q n 1 }单调递减，n 1 故数列{q n 1 }的最小值为 qn 1m． m。
高考文科数学数列专题复习(附答案及解析)
高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。
2023年高考真题及答案解析《数学文》(全国乙卷)
A ．24B ．264．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是（）A ．10πB ．5π5．已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则a(1)求证：EF //平面ADO ；(2)若120POF ∠=︒，求三棱锥-P 20．已知函数()(1ln 1f x a x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2)若函数()f x 在()0,∞+单调递增，求21．已知椭圆2222:1(C b b x a a y +>=(1)求C 的方程；(2)过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线线段MN 的中点为定点．【选修4-4】（10分）该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少7．C【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解【详解】因为区域(){}22,|14x y x y ≤+≤表示以的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.故选：C.8．B【分析】写出2()3f x x a '=+，并求出极值点，转化为极大值大于【详解】3()2f x x ax =++，则f '若()f x 要存在3个零点，则()f x 令2()30f x x a '=+=，解得x =-且当,,33a ax ⎛⎫⎛⎫--∈-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当,33a a x ⎛⎫--∈- ⎪ ⎪⎝⎭，()0f x '<，故()f x 的极大值为3f a ⎛⎫⎪ ⎪-⎭-⎝，极小值为若()f x 要存在3个零点，则f f ⎧⎛-⎪ ⎪⎝⎨⎛⎪ ⎪ ⎝⎩故选：B.9．A【分析】根据古典概率模型求出所有情况以及满足题意得情况，即可得到概率【详解】甲有6种选择，乙也有6若甲、乙抽到的主题不同，则共有则其概率为305366=，故选：A.16．2【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解【详解】如图，将三棱锥S ABC -转化为直三棱柱设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则3223sin 32AB r ACB ===∠，可得3r =，设三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，连接OA 因为22211OA OO O A =+，即21434SA =+，解得故答案为：2.【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；来源：高三答案公众号（2）若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的三条线段b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据61=3320．(1)()ln 2ln 20x y +-=；(2)1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，点坐标，最后求解切线方程即可；（2）原问题即()0f x '≥在区间(0,()()()21ln 10g x ax x x x =+-++≥【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．22．(1)()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈(2)()(),022,-∞+∞-；23．(1)[2,2](2)6.【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -所以ABC 的面积12ABC S =。
文科数学高考真题分类汇编 数列的综合应用答案
(n
N )
．
11．【解析】证明:（1）因为 an 是等差数列，设其公差为 d ，则an = a1 + (n −1)d ，
从而，当n≥4 时， an−k + an+k = a1 + (n − k − 1)d + a1 + (n + k −1)d
= 2a1 + 2(n −1)d = 2an ， k =1, 2,3, 所以 an −3 + an −2 +an −1+an+1 + an+2 +an +3 = 6an ，
若 q ≤ −1，则 a1 + a2 + a3 + a4 = a1(1+ q)(1+ q2）≤0 ，
而a1 + a2 + a3 ≥ a1 1 ，所以 ln(a1 + a2 + a3 ) 0 ，
与 ln(a1 + a2 + a3 ) = a1 + a2 + a3 + a4 ≤ 0 矛盾，
所以 −1 q 0 ，所以 a1 − a3 = a1(1−q2) 0 ， a2 − a4 = a1q(1− q2) 0 ，
所以 xn
≥
1 2n−1
得
由
xn
xn+1 2
≥
2xn
+1
−
xn
得
1 − 1 ≥2( 1 − 1) 0
xn+1 2
xn 2
所以 1 − 1 ≥ 2( 1 − 1)≥≥ 2n−1 ( 1 − 1) = 2n−2
xn 2
xn−1 2
x1 2
十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编文科专题5 数列小题(文科)(解析版)
n 项和
Sn，公差
d≠0， a1 d
1 ．记
b1=S2，
bn+1=Sn+2–S2n， n N ，下列等式不可能成立的是
( )
A．2a4=a2+a6
B．2b4=b2+b6
C． a42 a2a8
D． b42 b2b8
【答案】D
解析：对于 A，因为数列an 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由 4 4 2 6 可得，
由 an
a1
n
1 d
0
可得 n
1
a1 d
，取
N0
1
a1 d
1 ，则当 n
N0
时， an
0，
所以，“an 是递增数列” “存在正整数 N0 ，当 n N0 时， an 0 ”；
若存在正整数 N0 ，当 n N0 时， an 0 ，取 k N 且 k N0 ， ak 0 ，
假设 d
0 ，令 an
Sn =
1 2
An An+1 ×tan q Bn Bn+1 ，都为定值，所以 Sn+1 - Sn 为定值．故选 A．
3．(2022 高考北京卷·第 15 题)己知数列an 各项均为正数，其前 n 项和 Sn 满足 an Sn 9(n 1, 2,) ．给
出下列四个结论：
①an 的第 2 项小于 3； ②an 为等比数列；
2a4 a2 a6 ，A 正确；
对于 B，由题意可知， bn1 S2n2 S2n a2n1 a2n2 ， b1 S2 a1 a2 ，
∴ b2 a3 a4 ， b4 a7 a8 ， b6 a11 a12 ， b8 a15 a16 ．
∴ 2b4 2 a7 a8 ， b2 b6 a3 a4 a11 a12 ．
2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解
2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解（试题部分）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,92．设z =，则z z ⋅=（ ） A ．-iB ．1C ．-1D ．23．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，则5z x y =−的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2−D ．72−4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A ．2−B ．73C ．1D ．295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．236．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．4B ．3C ．2D7．曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A ．16BC ．12D． 8．函数()()2e e sin x xf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A．1 B．1 CD．110．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ） A ．32BCD二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ． 13．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ． 14．曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为 ． 三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n S 的通项公式.16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ； (2)求点M 到ABF 的距离.17．已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+． (1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x −<恒成立．18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴． 19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于AB 、两点，若2AB =，求a 的值. 20．实数,a b 满足3a b +≥． (1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解（答案详解）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4 B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,9【答案】A【解析】根据题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=， 则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=. 故选A2．设z =，则z z ⋅=（ ） A ．-i B ．1C ．-1D ．2【答案】D【解析】根据题意得，z =，故22i 2zz =−=. 故选D3．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，则5z x y =−的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2−D ．72−【答案】D【解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =−可得1155y x z =−，即z 的几何意义为1155y x z =−的截距的15−， 则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =−过点A ， 联立43302690x y x y −−=⎧⎨+−=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =−⨯=−. 故选D.4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A ．2− B ．73C ．1D ．29【答案】D【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【解析】方法1：利用等差数列的基本量 由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选D方法2：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式， 193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=. 故选D方法3：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选D5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】B【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【解析】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选B6．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A．4 B ．3 C ．2 D 【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率. 【解析】根据题意，()10,4F −、()20,4F 、()6,4P −，则1228F F c ==，110PF =，26PF ，则1221064a PF PF =−=−=，则28224c e a ===. 故选C.7．曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A ．16B C ．12D ． 【答案】A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【解析】()563f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =−−=−，故切线的横截距为13，纵截距为1−，故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯=故选A.8．函数()()2e e sin x xf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【解析】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x −−−=−+−−=−+−=，又函数定义域为[]2.8,2.8−，故该函数为偶函数，AC 错误， 又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=−+−>−+−=−−>−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， D 错误.故选B.9．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1CD ．1【答案】B 【分析】先将cos cos sin αα−α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【解析】因为cos cos sin ααα=−11tan =−α，tan 1⇒α=，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪−α⎝⎭， 故选B.10．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【解析】①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α， 当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，①正确； ②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，②错误；③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ=，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，③正确；④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，④错误； ①③正确， 故选A.11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A ．32BC．2D【答案】C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可. 【解析】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==. 根据余弦定理可得:22294b a c ac ac =+−=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=， 因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +. 故选C. 二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ． 【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【解析】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，当ππ32x −=时，即5π6x =时，()max 2f x =.答案为：2 13．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ． 【答案】64【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解. 【解析】由题28211315log log log 4log 22a a a a −=−=−，整理得()2225log 60log a a −−=， 2log 1a ⇒=−或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==答案为：64.14．曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为 ．【答案】()2,1−【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a −=−−+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+−+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令()2331x x x a −=−−+，即3251a x x x =+−+，令()()32510,g x x x x x =+−+>则()()()2325351g x x x x x =+−=+−'，令()()00g x x '=>得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==−，因为曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈−.答案为：()2,1− 三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n S 的通项公式.【答案】(1)153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)353232n⎛⎫− ⎪⎝⎭ 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用等比数列的求和公式可求n S .【解析】（1）因为1233n n S a +=−,故1233n n S a −=−，所以()12332n n n a a a n +=−≥即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =，故1211523333533a a a a =−=⨯−=−，故11a =，故153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）根据等比数列求和公式得5113353523213n nnS ⎡⎤⎛⎫⨯−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==− ⎪⎝⎭−. 16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ； (2)求点M 到ABF 的距离. 【答案】(1)见详解；【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作FO AD ⊥，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V −−=即可求解. 【解析】（1）因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ； （2）如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM 中点，所以OB =ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，等体积法可得M ABF F ABM V V −−=，2112333F ABM ABM V S FO −=⋅=⋅=△，2222222cos2FA AB FBFAB FAB FA AB+−+−∠===∠=⋅11sin 222FAB S FA AB FAB =⋅⋅∠==△，设点M 到FAB 的距离为d ，则1133M FAB F ABM FAB V V S d d −−==⋅⋅==△解得d =M 到ABF17．已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+．(1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e x f x −<恒成立．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x −−++>即可.【解析】（1）()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x'−=−= 当0a ≤时，1()0ax f x x −'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x −−−−=−−+−≥−++，令1()e 21ln (1)x g x x x x −=−++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x −'=−+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x−'=−，显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=−=，即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=−+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增， 故0()(1)e 21ln10g x g >=−++=，问题得证18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴． (1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】(1)22143x y += (2)见解析【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y −，结合韦达定理化简前者可得10Q y y −=，故可证AQ y ⊥轴.【解析】（1）设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a −=，故2a =，故b = 所以椭圆方程为22143x y +=. （2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=−⎩可得()2222343264120k x k x k +−+−=， 故()()422Δ102443464120k k k =−+−>，故1122k −<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k −+==++， 而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭−，故22223325252Q y y y x x −−==−−， 所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯−+−=+=−− ()()()12224253425k x x k x x −⨯−+−=−()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x −⨯−⨯+−++++==−− 2222212824160243234025k k k k k x −−+++==−，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x t y t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值. 【答案】(1)221y x =+ (2)34a =【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩C 的直角方程. （2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值； 法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【解析】（1）由cos 1ρρθ=+，将cos x ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+. （2）对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+. 法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R . 将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +−+−=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=−−=−，且()()22Δ818116160a a a =−−−=−>，故1a <，12AB s s ∴=−2=，解得34a =. 法2：联立221y x a y x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +−+−=，()22Δ(22)41880a a a =−−−=−+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=−=−，则AB =2=， 解得34a = 20．实数,a b 满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【解析】（1）因为()()2222222022a b a ab b a b b a −+=−−++=≥， 当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;（2）222222222222()a b b a a b b a a b a b −+−≥−+−=+−+ 22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+−+≥+−+=++−≥⨯=。
高考数学真题解析——2023天津卷第19题(诡异的数列问题)
高考数学真题解析——2023天津卷T 19（诡异的数列问题）T 19. 已知{a n }是等差数列，a 2+a 5＝16，a 5﹣a 3＝4．（Ⅰ）求{a n }的通项公式和；（Ⅱ）已知{b n }为等比数列，若{b n }各项均为正整数，对于任意k ∈N *，若2k ﹣1≤n ≤2k ﹣1，则b k ＜a n ＜b k +1．（i ）当k ≥2时，求证：2k ﹣1＜b k ＜2k +1； （ii ）求{b n }的通项公式及其前n 项和．解题第一步，审题。
题干信息很简单，{a n }是等差数列，a 2+a 5＝16，a 5﹣a 3＝4。
很明显是基本量运算，换成1a 和d 就OK 了！⎩⎨⎧==+421621d d a⎩⎨⎧==231d a 12+=n a n第一问的前半段很简单，可是……后面这个∑-=-1221n n i ia就显得很诡异！没有办法，硬着头皮上呀！一步一步想，可能就会发现柳暗花明又一村。
那∑-=-1221n n i ia是什么意思呢？ φ(゜▽゜*)♪根据求和符号12221221221111-++-=+⋅⋅⋅+++=----∑n n n n n n a a a a ai i，这样看着还是很诡异，但是想想我们刚刚求了什么？能不能利用上？是的，我们有12+=n a n ，代入这个诡异的等式，会得到什么呢？12221221221111-++-=+⋅⋅⋅+++=----∑n n n n n n a a a a ai i()()[]()[]()[]112212221122122111+-⋅+⋅⋅⋅+++⋅+++⋅++⋅=---n n n n再整理一下，把含2的提取到一起，还有含1的呢？这样就会有一个看似很小的问题，但是却很致命，同时也是很多同学不会的一个问题。
大家知道是什么吗？对！有多少个1呢？ `(*>﹏<*)′这不重要吗？当然非常重要，直接影响着最后的结果。
这就是数列里很常见的一个问题，你会数项数吗？在咱们这道题里，你需要知道12-n 到12-n 的项数吗？很明显，有多少项就有多少1，它们是一一对应的。
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高考文科数学数列专题专练
一，选择题：
1,（2012 北京文）（6）已知为等比数列，下面结论种正确的是（ ） （A ）a 1+a 3≥2a 2（B ）
（C ）若a 1=a 3，则a 1=a 2（D ）若a 3＞a 1，则a 4＞a 2
2,(2012,全国文)（6）已知数列｛a n ｝的前n 项和为Sn, a1=1,Sn=2a n+1,则sn=
3，（2012，福建文）.数列{a n }的通项公式
，其前n 项和为S n ，则S 2012等于 （ ）
A.1006
B.2012
C.503
D.0 二，填空题
1，（2012 北京文）（10）已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1=
，S 2=a 3，则
a 2=____________，S n =_________________ 2，（2012，江苏文）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 。
3，（2012，江西文）.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比若不为1。
若a 1=1，且对任意的都有a n ＋2＋a n ＋1-2a n =0，则S 5=_________________。
4，（2012，辽宁文）已知等比数列｛a n ｝为递增数列。
若a 1>0，且2（a n +a n+2）=5a n+1，则
数列｛a n ｝的公比q = _____________________. 5，（2012，广东文）等比数列{}n a 满足2412
a a =
，则2
135a a a =_____ 6，（2012，江西文）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1。
若a 1=1，且对任意的都有a n ＋2＋a n ＋1-2a n =0，则S 5=_________________。
7,(2012,重庆文)首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S 4=__________________ 8，（2012，上海文）已知x
x f +=
11
)(.各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ，)(2n n a f a =+.
若20122010a a =，则1120a a +的值是 . 三，解答题
1，（2010，全国文）17，（本题满分10分）设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-。
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值 2，（2012，全国2文）（本小题满分12分）
已知{a n }是各项均为正数的等比例数列，且
A 1+a 2=2)11(21a a +，a 2+a 3+a 4=64(5
43111a a a ++) （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设B n =(a n +n
a 1
)2,求数列{b n }的前N 项和T n.
3，（2011，江西文）21.(本小题满分14分）
（1）已知两个等比数列{}{}n n b a ,，满足()3,2,1,03322111=-=-=->=a b a b a b a a a ， 若数列{}n a 唯一，求a 的值；
（2）是否存在两个等比数列{}{}n n b a ,，使得44332211,,,a b a b a b a b ----成公差•
不为0
的等差数列？若存在，求 {}{}n n b a , 的通项公式；若•
不存在，说明理由．
4，（2011，山东文）（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .
5，（2011，全国文）（17）本小题满分10分）
设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2136, 630a a a =+=，求n a 和n S . 6，（2012，全国文）（18）(本小题满分12分)
已知数列{}中，=1，前n 项和。
（Ⅰ）求(Ⅱ)求的通项公式。
7，（2012，福建）（本小题满分12分）在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1=b 1=1，b 4=8，{a n }的前10项和S 10=55.（Ⅰ）求a n 和b n ；（Ⅱ）现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。
8，（2012，湖北文）（本小题满分13分已知等差数列{a n }前三项的和为-3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；（2）若a 2,a 3,a 1成等比数列，求数列{}
n a 的前n 项和。
9,(2012,江西文)（本小题满分12分） 已知数列|a n |的前n 项和
（其中c ，k 为常数），且a 2=4，a 6=8a 3。
（1）求a n ；（2）求数列{na n }的前n 项和T n 。
10，（2012，四川文）
(本小题满分12分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设10a >，100λ=，当n 为何值时，数列1
{lg }n
a 的前n 项和最
11，（2012，天津文） （本题满分13分） 已知｛
｝是等差数列，其前n 项和为n S ，｛
｝是等比数列，且
==2,2744=+b a ,-=10（I ）求数列｛｝与｛
｝的通项公式；
（II ）记=+，（n ,n>2）。
12（2012，广东文）(本小题满分14分)
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足2*
2n n T S n n N =-∈，
（1） 求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式。
13，（2012，江西文）（本小题满分12分）
已知数列|a n |的前n 项和n
n S kc k =-（其中c ，k 为常数），且a 2=4，a 6=8a 3
（1） 求a n ；（2）求数列{na n }的前n 项和T n 。
14，（2012，重庆文）（本小题满分13分，已知{a n }为等差数列，且a 1+a 3=8，a 2+a 4=12. （1）求a n （2）若，2
1
,,+k k
s
a a 成等差数列 ，求K 。
15，（2012，浙江文）（本题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2n 2+n ，n∈N *
，数列{b n }满足a n =4l og 2b n ＋3，n∈N﹡。
（1）求a n ，b n ；（2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n 。
16，（2012，陕西文）已知等比数列{}n a 的公比为q=-12.（1）若3a =1
4
，求数列{}n a 的前n 项和；（Ⅱ）证明：对任意k N +∈，
k
a
，
2
k a
+，
1
k a
+成等差数列。