2020_2021学年高中数学6.3平面向量基本定理及坐标表示课件新人教A版必修第二册
2．平面向量的坐标运算
运算
坐标表示
和(差)
已知 a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则 a ＋b ＝ (x1＋x2，y1＋y2)，a －b ＝(x1－x2，y1－y2)
数乘
已知 a ＝(x1，y1)，则 λa ＝(λx1，λy1)，其中 λ 是实数
任一向量 已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则―A→B ＝(x2－ 的坐标 x1，y2－y1)
―→ AB
＝23
―→ AB
＋
2 3
―→ AD
，
于
是
―→ BF
＝
―→ AF
－
―→ AB
＝
1 2
―→ AE
－
―→ AB
＝
1 2
2 3
―A→B ＋23
―A→D －―A→B ＝－23―A→B ＋13―A→D ，故选 C.
(2)在△ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且―C→P ＝23―C→A ＋13―C→B ， Q 是 BC 的中点，AQ 与 CP 的交点为 M，又―CM→＝t―C→P ，则
平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.
[熟记常用结论]
1．若 a 与 b 不共线，且 λa ＋μb ＝0，则 λ＝μ＝0. 2．已知 P 为线段 AB 的中点，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 P
点坐标为x1＋2 x2，y1＋2 y2. 3．已知△ABC 的顶点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底． ( × )
(2)一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所
有向量的基底．
(√)
(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何
一个向量都可被这组基底唯一表示．
( √)
(4)已知向量 a ＝(1，m)，b ＝(m,1)，则 m＝1 是 a ∥b 的充分
△ABC 的重心 G 的坐标为x1＋x32＋x3，y1＋y32＋y3. 4．A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2
－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0，或(x2－x1)(y3－y2)＝(x3 －x2)(y2－y1)，或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)·(y3－y1)．
(C )
1 B.3
―A→B －23―A→D
C．－23―A→B ＋13―A→D
D．－13―A→B ＋23―A→D
[解析] 如图，取 AB 的中点 G，连接 DG，
CG，易知四边形 DCBG 为平行四边形，所以
―B→C ＝―G→D ＝―A→D －―A→G ＝―A→D －12―A→B ，
∴―A→E ＝―A→B ＋―B→E ＝―A→B ＋23―B→C ＝―A→B ＋23―A→D －12
2．已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量―A→C ＝(－4，－3)，则向量―B→C
＝
(A )
A．(－7，－4)
B.(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
解析：根据题意得―A→B ＝(3,1)，∴―B→C ＝―A→C －―A→B
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选 A.
3．若向量 a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c＝0，52，则 c 可用向量 a ，
b 表示为
(A )
a ＋b
B.－12a －b
C.32a ＋12b
D．32a －12b
解析：设 c＝xa ＋yb ，则0，52＝(2x－y，x＋2y)，
2x－y＝0， 所以x＋2y＝52，
解得x＝12， y＝1，
则 c＝12a ＋b .
4．向量 a ，b 满足 a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则 b ＝ _(_－__3_,4_)__. 解析：由 a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，
不必要条件．
(√)
二、选填题
1．已知平面向量 a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( D )
A．(－2，－1) C．(－1,0)
B.(－2,1) D．(－1,2)
解析：因为 a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，所以12a －32b ＝12(1,1)
－32(1，－1)＝12，12－32，－32＝(－1,2)．
＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底❶.
(1)基底 e1，e2 必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量 不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一； (3)如果对于一组基底 e1，e2，有 a ＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2， 则可以得到λλ12＝＝μμ12，.
得 2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)， 所以 b ＝12(－6,8)＝(－3,4)．
5．在平行四边形 ABCD 中，―A→B ＝a ，―A→D ＝b ，―A→N ＝3―N→C ， M 为 BC 的中点，则―M→N ＝_－__14_a_＋__14_b___(用 a ，b 表示)． 解析：因为―A→N ＝3―N→C ，所以―A→N ＝34―A→C ＝34(a ＋b )，又因为 ―AM→＝a ＋12b ，所以―M→N ＝―A→N －―AM→＝34(a ＋b )－a＋12b ＝－14a ＋14b .
3.平面向量共线的坐标表示
设 a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，其中 b ≠0，则 a ∥b ⇔x1y2－
x2y1＝0❷.
(1)a ∥b 的充要条件不能表示为xx12＝yy12，因为 x2，y2 有可 能为 0.
(2)当且仅当
x2y2≠0
时，a ∥b
与x1＝y1等价．即两个不 x2 y2
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
考点一 平面向量基本定理及其应用[师生共研过关]
[典例精析]
(1)(2019·郑州模拟)如图，在直角梯形
ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边
上一点，―B→C ＝3―E→C ，F为AE的中点，
则―B→F ＝ A.23―A→B －13―A→D
6.3平面向量基本定理及坐标表示
目录
基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
课时跟踪检测
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
1．平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这
一平面内的任意向量 a ，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a
人教A版高中数学必修二讲义第六章 6.3 6.3.2 6.3.3
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示知识点一平面向量的正交分解及坐标表示( 1)平面向量的正交分解□01把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解．( 2)平面向量的坐标表示知识点二平面向量加、减运算的坐标运算1．在直角坐标平面内,以原点为起点的向量OA →＝a ,点A 的位置被向量a 唯一确定,此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为( x ,y )．2．平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关;应把向量的坐标与点的坐标区别开来,只有起点在原点时,向量的坐标才与终点的坐标相等．3．符号( x ,y )在直角坐标系中有两重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量．为了加以区分,在叙述中,就常说点( x ,y )或向量( x ,y )．特别注意:向量a ＝( x ,y )中间用等号连接,而点的坐标A ( x ,y )中间没有等号． 4．( 1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式,只是两个基向量e 1和e 2互相垂直．( 2)由向量坐标的定义,知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等,即a ＝b ⇔x 1＝x 2且y 1＝y 2,其中a ＝( x 1,y 1),b ＝( x 2,y 2)．( 3)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关． ( 4)当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变．1．判一判( 正确的打“√”,错误的打“×”)( 1)与x 轴平行的向量的纵坐标为0;与y 轴平行的向量的横坐标为0.( ) ( 2)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同．( ) ( 3)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) ( 4)向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化．( ) 答案 ( 1)√ ( 2)× ( 3)√ ( 4)× 2．做一做( 1)已知AB →＝( －2,4),则下列说法正确的是( ) A ．A 点的坐标是( －2,4) B ．B 点的坐标是( －2,4)C ．当B 是原点时,A 点的坐标是( －2,4)D ．当A 是原点时,B 点的坐标是( －2,4)( 2)已知AB →＝( 1,3),且点A ( －2,5),则点B 的坐标为( ) A ．( 1,8) B ．( －1,8) C ．( 3,－2) D ．( －3,2) ( 3)若a ＝( 2,1),b ＝( 1,0),则a ＋b 的坐标是( )A ．( 1,1)B ．( －3,－1)C ．( 3,1)D ．( 2,0)( 4)若点M ( 3,5),点N ( 2,1),用坐标表示向量MN →＝________. 答案 ( 1)D ( 2)B ( 3)C ( 4)( －1,－4)题型一 平面向量的正交分解及坐标表示例1 ( 1)已知向量i ＝( 1,0),j ＝( 0,1),对坐标平面内的任一向量a ,给出下列四个结论:①存在唯一的一对实数x ,y ,使得a ＝( x ,y );②若x 1,x 2,y 1,y 2∈R ,a ＝( x 1,y 1)≠( x 2,y 2),则x 1≠x 2,且y 1≠y 2; ③若x ,y ∈R ,a ＝( x ,y ),且a ≠0,则a 的始点是原点O ; ④若x ,y ∈R ,a ≠0,且a 的终点坐标是( x ,y ),则a ＝( x ,y )． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4( 2)如图所示,在边长为1的正方形ABCD 中,AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标以及AB →与AD →的坐标．[详细解析] ( 1)由平面向量基本定理,知①正确;例如,a ＝( 1,0)≠( 1,3),但1＝1,故②错误;因为向量可以平移,所以a ＝( x ,y )与a 的始点是不是原点无关,故③错误;当a 的终点坐标是( x ,y )时,a ＝( x ,y )是以a 的起点是原点为前提的,故④错误．( 2)由题知B ,D 分别是30°,120°角的终边与单位圆的交点． 设B ( x 1,y 1),D ( x 2,y 2)．由三角函数的定义,得 x 1＝cos30°＝32,y 1＝sin30°＝12,∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.x 2＝cos120°＝－12,y 2＝sin120°＝32, ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. ∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12,AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.[答案] ( 1)A ( 2)见详细解析求点和向量坐标的常用方法( 1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． ( 2)在求一个向量时,可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．( 1)如图,{e 1,e 2}是一个正交基底,且e 1＝( 1,0),e 2＝( 0,1),则向量a 的坐标为( )A ．( 1,3)B ．( 3,1)C ．( －1,－3)D ．( －3,－1)( 2)已知O 是坐标原点,点A 在第一象限,|OA →|＝43,∠xOA ＝60°, ①求向量OA →的坐标;②若B ( 3,－1),求BA →的坐标． 答案 ( 1)A ( 2)见详细解析详细解析 ( 1)由图可知a ＝e 1＋3e 2,又e 1＝( 1,0),e 2＝( 0,1), 则a ＝( 1,3)．故选A.( 2)①设点A ( x ,y ),则x ＝43cos60°＝23, y ＝43sin60°＝6,即A ( 23,6),故OA →＝( 23,6)． ②BA →＝( 23,6)－( 3,－1)＝( 3,7). 题型二 平面向量加、减运算的坐标表示例2 ( 1)已知三点A ( 2,－1),B ( 3,4),C ( －2,0),则向量AB →＋CA →＝________,BC →－AB →＝________;( 2)已知向量a ,b 的坐标分别是( －1,2),( 3,－5),求a ＋b ,a －b 的坐标． [详细解析] ( 1)∵A ( 2,－1),B ( 3,4),C ( －2,0), ∴AB →＝( 1,5),CA →＝( 4,－1),BC →＝( －5,－4)．∴AB →＋CA →＝( 1,5)＋( 4,－1)＝( 1＋4,5－1)＝( 5,4)．BC →－AB →＝( －5,－4)－( 1,5)＝( －5－1,－4－5)＝( －6,－9)． ( 2)a ＋b ＝( －1,2)＋( 3,－5)＝( 2,－3), a －b ＝( －1,2)－( 3,－5)＝( －4,7)．[答案] ( 1)( 5,4) ( －6,－9) ( 2)见详细解析平面向量坐标运算的技巧( 1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． ( 2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算．( 3)向量加、减的坐标运算可完全类比数的运算进行．( 1)已知a ＝( 1,2),b ＝( －3,4),求向量a ＋b ,a －b 的坐标;( 2)已知A ( －2,4),B ( 3,－1),C ( －3,－4),且CM →＝CA →,CN →＝CB →,求M ,N 及MN →的坐标．解 ( 1)a ＋b ＝( 1,2)＋( －3,4)＝( －2,6), a －b ＝( 1,2)－( －3,4)＝( 4,－2)． ( 2)由A ( －2,4),B ( 3,－1),C ( －3,－4), 可得CA →＝( －2,4)－( －3,－4)＝( 1,8), CB →＝( 3,－1)－( －3,－4)＝( 6,3), 设M ( x 1,y 1),N ( x 2,y 2),则CM →＝( x 1＋3,y 1＋4)＝( 1,8),x 1＝－2,y 1＝4; CN →＝( x 2＋3,y 2＋4)＝( 6,3),x 2＝3,y 2＝－1, 所以M ( －2,4),N ( 3,－1),MN →＝( 3,－1)－( －2,4)＝( 5,－5).题型三 平面向量加、减坐标运算的应用例3 如图所示,已知直角梯形ABCD ,AD ⊥AB ,AB ＝2AD ＝2CD ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ,用向量的方法证明:DE ∥BC .[证明] 如图,以E 为原点,AB 所在直线为x 轴,EC 所在直线为y 轴建立直角坐标系,设|AD →|＝1,则|DC →|＝1,|AB →|＝2. ∵CE ⊥AB ,而AD ＝DC , ∴四边形AECD 为正方形,∴可求得各点坐标分别为E ( 0,0),B ( 1,0),C ( 0,1),D ( －1,1)． ∵ED →＝( －1,1)－( 0,0)＝( －1,1), BC →＝( 0,1)－( 1,0)＝( －1,1),∴ED →＝BC →,∴ED →∥BC →,即DE ∥BC .通过建立平面直角坐标系,可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来表示;反过来,任一有序实数对都表示一个向量．因此向量的坐标表示实质上是向量的代数表示,引入向量的坐标后,可使向量运算代数化,将数和形结合起来,从而将几何问题转化为代数问题来解决．已知平行四边形ABCD 的四个顶点A ,B ,C ,D 的坐标依次为( 3,－1),( 1,2),( m,1),( 3,n )．求m sin α＋n cos α的最大值．解 ∵四边形ABCD 为平行四边形,则AD →＝BC →,即( 3－3,n ＋1)＝( m －1,1－2),即⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝0，n ＋1＝－1，得m ＝1,n ＝－2,得m sin α＋n cos α＝sin α－2cos α＝5sin( α＋φ),其中tan φ＝－2,故m sin α＋n cos α的最大值为 5.1．设平面向量a ＝( 3,5),b ＝( －2,1),则a ＋b ＝( ) A ．( 1,6) B ．( 5,4) C ．( 1,－6) D ．( －6,5)答案 A详细解析 a ＋b ＝( 3,5)＋( －2,1)＝( 3－2,5＋1)＝( 1,6)． 2．已知向量OA →＝( 1,－2),OB →＝( －3,4),则AB →＝( ) A ．( －4,6) B ．( 2,－3) C ．( 2,3) D ．( 6,4) 答案 A详细解析 AB →＝OB →－OA →＝( －3,4)－( 1,－2)＝( －4,6)． 3．如图,向量a ,b ,c 的坐标分别是________,________,________.答案 ( －4,0) ( 0,6) ( －2,－5)详细解析 将各向量分别向基底i ,j 所在直线分解,则a ＝－4i ＋0·j ,∴a ＝( －4,0);b ＝0·i ＋6j ,∴b ＝( 0,6);c ＝－2i －5j ,∴c ＝( －2,－5)．4．在平面直角坐标系中,|a |＝22,a 的方向相对于x 轴正方向的逆时针转角为135°,则a 的坐标为________．答案 ( －2,2)详细解析 因为|a |cos135°＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2,|a |·sin135°＝22×22＝2,所以a 的坐标为( －2,2)．5．在平面直角坐标系xOy 中,向量a ,b 的位置如图所示,已知|a |＝4,|b |＝3,且∠AOx ＝45°,∠OAB ＝105°,分别求向量a ,b 的坐标．解 设a ＝( a 1,a 2),b ＝( b 1,b 2),由于∠AOx ＝45°, 所以a 1＝|a |cos45°＝4×22＝22, a 2＝|a |sin45°＝4×22＝2 2.由已知可以求得向量b 的方向相对于x 轴正方向的逆时针转角为120°, 所以b 1＝|b |cos120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32,b 2＝|b |sin120°＝3×32＝332. 故a ＝( 22,22),b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332.。
平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示课件(共25张PPT)
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
2020-2021高中数学人教版第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析6.3平面向量基本定理及坐标表示6．3.1平面向量基本定理[目标］1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义,理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．[重点] 平面向量基本定理．[难点] 平面向量基本定理的应用．要点整合夯基础知识点平面向量基本定理[填一填］(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.（2）若e1，e2不共线，我们把｛e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．［答一答］1．基底有什么特点?平面内基底唯一吗？提示：基底中的两向量e1，e2不共线,这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．2．如图,设OA、OB、OC为三条共端点的射线，P为OC上一点，能否在OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使OP →＝错误!＋错误!？提示：能。
过点P 作OA 、OB 的平行线，分别与OB 、OA 相交，交点即为N 、M .3．若向量a ，b 不共线，且c ＝2a －b ,d ＝3a －2b ，试判断c ，d 能否作为基底．提示：设存在实数λ使得c ＝λd ，则2a －b ＝λ（3a －2b )，即(2－3λ)a ＋（2λ－1)b ＝0.由于a ，b 不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0,这样的λ是不存在的，从而c ，d 不共线，故c ，d 能作为基底。
典例讲练破题型类型一 基底的概念［例1] 下面说法中，正确的是（ ）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的．A ．②④B ．②③④C ．①③D ．①③④［解析] 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．［答案]B根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线,则它们不能作为一组基底。
平面向量的正交分解及坐标 高中数学课件6-3-2
跟踪训练1 (1)如图，分别取与x轴，y轴正方向 相同的两个单位向量{i，j}作为基底，若|a|＝ 2 ， θ＝45°，则向量a的坐标为
√A.(1, 1)
C.( 2， 2)
B.(－1，－1) D.(－ 2，－ 2)
解析 由题意，得 a＝( 2cos 45°)i＋( 2sin 45°)j＝i＋j＝(1,1).
(2)已知点 M(5，－6)，且M→N＝(－3,6)，则点 N 的坐标为_(_2_,0_)__.
解析 ∵M→N＝(－3,6)，设 N(x，y)， 则M→N＝O→N－O→M＝(x－5，y＋6)＝(－3,6). ∴xy－ ＋56＝ ＝－6，坐标表示
例 2 在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，若A→B＝(2,4)，A→C＝(1,3)， 求B→D的坐标.
解 ∵A→C＝A→B＋A→D， ∴A→D＝A→C－A→B＝(－1，－1)， ∴B→D＝A→D－A→B＝(－3，－5).
反思 感悟
平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法 则进行运算. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标， 然后再进行向量的坐标运算.
思考 点的坐标与向量的坐标有什么区别和联系？
答案
表示形 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有 式不同 等号
区 别 意义
不同
联系
点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的 位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也 表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表 示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量 终点的坐标相同
(2)若 B( 3，－1)，求B→A的坐标. 解 B→A＝(2 3，6)－( 3，－1)＝( 3，7).
6.3.2平面向量基本定理及坐标表示课件2020-2021学年高一下学期数学人教A版(2019)
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6．3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
1
PART ONE
知识对点练
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示 1.给出下列几种说法： ①相等向量的坐标相同； ②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应唯一的一个向量； ④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
知识对点练
课时综合练
②当平行四边形为 ABDC 时，同①可得 D(2，－3)； ③当平行四边形为 ADBC 时，同①可得 D(6,15)． 综上所述，点 D 的坐标可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．
知识对点练
课时综合练
8．已知点 A(2,3)，B(5,4)，A→C＝(5λ，7λ)．若A→P＝A→B＋A→C(λ∈R)，试求 λ 为何值时：
知识对点练
课时综合练
其中正确说法的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量， 故③错误．
知识对点练
课时综合练
2．如下图，向量 a，b，c 的坐标分别是________、________、________.
答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5)
课时综合练
三、解答题 9．已知 a＋b＝(2，－3)，a－b＝(－6,7)，求 a 和 b.
m＋p＝2， 解 设 a＝(m，n)，b＝(p，q)，则有mn＋－qp＝＝－－36，，
n－q＝7，
m＝－2， 解得np＝ ＝24， ，
q＝－5.
所以 a＝(－2,2)，b＝(4，－5)．
知识对点练
课时综合练
6-3-3平面向量加、减、数乘运算的坐标表示 课件20张-人教A版(2019)高中数学必修第二册
6.3.3 平面向量加、减、数乘运算的坐标
表示
复习引入
平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于
这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a=λ1e1+λ2e2.
e1
e1
a
O
e2
e2
a
探究新知
思考：向量的坐标与点的坐标有何联系与区别？
(-2, 1)，(-1, 3)，(3, 4)，求顶点D的坐标．
解法2：如图，由向量加法的平行四边形
法则可知 BD ＝ BA ＋BC ＝(-2-(-1),1-3)
＋(3-(-1),4-3)＝(3,-1)，
而 OD ＝ OB ＋ BD ＝(-1,3)＋(3,-1)
＝(2,2)，
所以顶点D的坐标为(2，2)．
∴a＋b＝(2,1) ＋(－3，4)＝(－1，5)，a－b＝(2,1) －(－3，4)＝(5，－3)，
3a＋4b＝3(2,1) ＋4(－3，4)＝(6,3) ＋(－12，16)＝(－6,19)。
典例分析
例3 如图，已知□ABCD的三个顶点A, B, C的坐标分别是
(-2, 1)，(-1, 3)，(3, 4)，求顶点D的坐标．
目标检测
2．在下列各小题中，已知A、B两点的坐标，分别求 AB ， BA
的坐标：
（1）A（3，5），B（6，9）；
（2）A（－3，4），B（6，3） ；
（3）A （0，3）， B（0，5）；
（4）A （3，0）， B（8，0）．
的位置的坐标．
2.求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点
坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该
6.3平面向量及运算的坐标表示课件(人教版)
（3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关。（ ） （4）向量（2，3）与向量（-4，-6）同向。（ ）
【提示】（1）×。对于同一个向量，无论位置在哪里， 坐标都一样。 （2）√。根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终 点与始点坐标之差等于终点坐标。 （3）×。根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两 向量的顺序有关。
2
线，则C的坐标可以是（ ）
A.（-9，1） B.（9，-1）
C.（9，1）
D.（-9，-1）
【思维·引】设出点C的坐标，因为A，B，C三点共线， 写出向量 AB,AC（或 BC），由向量共线的条件结合选项 求解。
【解析】选C。设点C的坐标是（x，y），
【内化·悟】 1.由共线的坐标条件求参数的解题步骤是怎样的？ 提示：（1）分别写出共线的两个向量的坐标。 （2）通过共线条件列出方程（组）。 （3）解方程（组）求出参数。
2.如何判断共线的向量u与v是同向还是反向？ 提示：写成u=λv的情势，若λ>0，同向，若λ<0，反向。
角度3 三点共线问题 【典例】已知A（1，-3），B (8，1 )，且A，B，C三点共
量 AB共线的单位向量是（ ）
A.(3， 4) C.(6，8)
B.( 3，4 ) 55
D.( 4， 3 ) 55
【思维·引】利用向量共线的坐标表示判断。 【解析】选B。因为AB =（7，-3）-（4，1）=（3，-4）， 由向量共线的条件可知，A，B，C选项中的向量均与AB共 线，但A，C中向量不是单位向量。
因为A（0，1），AC=（-3，-3），
所以
x y
3, 1 3,
解得
x y
3, 2,
所以点C的坐标为（-3，-2）。又B（3，2），所以BC=（-
6.3.1 平面向量基本定理课件(共54张PPT)
解 因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以D→C＝A→F＝12A→B＝12b. E→F＝E→D＋D→A＋A→F ＝－12D→C－A→D＋12A→B ＝－12×12b－a＋12b＝14b－a.
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解析 B错，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任意 向量； C错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋ λ2e2一定在平面α内； D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对.
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6.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为 平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为__(－__∞__，__4_)_∪__(_4_，__＋__∞__) _.
解析 若能作为平面内的一个基底，则a与b不共线. a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2， 所以21≠2λ，得 λ≠4.
跟踪训练 2 如图，在正方形 ABCD 中，设A→B＝a，A→D ＝b，B→D＝c，则以{a，b}为基底时，A→C可表示为__a_＋__b___， 以{a，c}为基底时，A→C可表示为__2_a_＋__c__.
解析 以{a，b}为基底时，A→C＝A→B＋A→D＝a＋b； 以{a，c}为基底时，将B→D平移，使 B 与 A 重合， 再由三角形法则或平行四边形法则即得A→C＝2a＋c.
高中数学 平面向量的基本定理及坐标表示 第3课时 平面向量共线的坐标表示课件 新人教A必修4
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．