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6区间估计
2 2 σ1 σ 2 σ 2 , σ 2 已知 2
( X Y ) ( μ1 μ2 ) t ( n1 n2 2) 1 1 Sω n1 n2
2 其中 Sω Sω , S 2 ( n1 1) S ( n2 1) S . ω n1 n2 2
2. 两个总体成数差 p1 p2 的置信区间
ˆ ˆ ( P1 P2 ) ( p1 p2 ) n1 , n2充分大时， p (1 p ) p (1 p ) N (0,1) 1 1 2 2 n1 n2
ˆ ˆ 用 P1 , P2 代替 p1 , p2 .
于是得到 p1 p2 的置信水平为 1 α 的置信区间为
速度 ,随机地取 I 型子弹 10 发 ,得到枪口速度的平
2 均值 为 x1 500( m s ) , 标准差 s1 1.10( m s ) ,随 机地取 Ⅱ 型子弹 20 发 ,得到枪口速度的平均值为 2 x2 496( m s ) , 标准差 s2 1.20( m s ) . 假设两总
1. 两个总体均值差 μ1 μ2 的置信区间
2 2 σ1 , σ 2 已知 1
( X Y ) ( μ1 μ2 )
2 2 σ1 σ 2 n1 n2
N (0,1)
于是得到 μ1 μ2 的置信水平为 1 α 的置信区间为
[ X Y Zα 2
2 2 2 2 σ1 σ 2 σ1 σ 2 , X Y Zα 2 ] n1 n2 n1 n2
解：
这里 1 α 0.95, α 2 0.025, n 1 15,
t0.025 (15) 2.1315.
1 16 x xi 503.75 , 16 i 1
概率论与数理统计-第6章-第4讲-区间估计
5
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
02 求置信区间的步骤
例 设X1,…Xn 是取自 N (, 2 ) 的样本， 2已知,
求参数 的置信水平为 1 的置信区间.
明确问题：求什么参数的置信区间?置信水平是多少？
解 选 的点估计为 X
寻找未知参数的
取 U X N (0,1) 一个良好估计 n
u
2} 1
1
为什么 这样取？
u
u
2
2
8
02 求置信区间的步骤
从中解得
P{|
X
n
|u2}源自1P{Xn u 2
X
n
u
2}
1
于是所求 的 置信区间为
[X
n u 2 ,
X
n u
2]
也可简记为 X n u 2
从例题的过程，我们归纳出求置信区间的
一般步骤如下:
1
u
u
2
2
9
02 求置信区间的步骤
求置信区间的步骤
10
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
03 几点说明
1. 要求 θ 以很大的可能被包含在 [θˆ1, θˆ2 ]
内，P(ˆ1 ˆ2 ) 1 要尽可能大.
即要求估计尽量可靠. 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间
长度 θˆ2 θˆ1 尽可能短.
置信度与精度是一对矛盾，当样本容 量固定时，置信度越高，则精度越差.
u
u
2
2
区间的长度为 2u —— 达到最短
2n
14
03 几点说明
特别说明
即使在概率密度不对称的情形，如
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
02 求置信区间的步骤
例 设X1,…Xn 是取自 N (, 2 ) 的样本， 2已知,
求参数 的置信水平为 1 的置信区间.
明确问题：求什么参数的置信区间?置信水平是多少？
解 选 的点估计为 X
寻找未知参数的
取 U X N (0,1) 一个良好估计 n
u
2} 1
1
为什么 这样取？
u
u
2
2
8
02 求置信区间的步骤
从中解得
P{|
X
n
|u2}源自1P{Xn u 2
X
n
u
2}
1
于是所求 的 置信区间为
[X
n u 2 ,
X
n u
2]
也可简记为 X n u 2
从例题的过程，我们归纳出求置信区间的
一般步骤如下:
1
u
u
2
2
9
02 求置信区间的步骤
求置信区间的步骤
10
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
03 几点说明
1. 要求 θ 以很大的可能被包含在 [θˆ1, θˆ2 ]
内，P(ˆ1 ˆ2 ) 1 要尽可能大.
即要求估计尽量可靠. 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间
长度 θˆ2 θˆ1 尽可能短.
置信度与精度是一对矛盾，当样本容 量固定时，置信度越高，则精度越差.
u
u
2
2
区间的长度为 2u —— 达到最短
2n
14
03 几点说明
特别说明
即使在概率密度不对称的情形，如
区间估计的基本概念
握不大.
05
区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 .
06
1
2
3
4
5
6
也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值. 湖中鱼数的真值 [ ] 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 习惯上 这里α是一个很小的正数. 称为置信概率，置信度或置信水平. 置信水平记作1-α,
我们选取未知参数的某个估计量 ，
只要知道 的概率分布，确定误差限并不难.
称δ为 与θ之间的误差限.
由不等式
*
可以解出θ ：
下面我们就来正式给出置信区间的定义, 这个不等式就是我们所求的置信区间. 并通过例子说明求置信区间的方法.
置信区间定义：
*
满足
设θ是一个待估参数，给定α>0,
例1 从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验，测得寿命X（单位：小时）如下：
1050，1100，1120，1250，1280
由于方差 未知，取样本函数
解： 的点估计取为样本均值
使
01
即
02
对给定的置信度1-α,确定分位数
03
得均值μ的置信水平为1-α的单侧置信区间为
04
将样本值代入得
*
若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量
分别称为置信下限和置信上限.
则称区间
是θ的置信水平(置信度、置信概率)
为1-α的置信区间.
可见，
*
内.
对参数θ作区间估计，就是要设法找出两个 只依赖于样本的界限(构造统计量)
这里有两个要求:
2. 估计的精度要尽可能的高. 就是说，概率 要尽可能大. 即要求估计尽量可靠. 可靠度与精度是一对矛盾， 1. 要求θ以很大的可能被包含在区间 内. 尽可能短， 如要求区间长度 或能体现该要求的其它准则. 一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.
05
区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 .
06
1
2
3
4
5
6
也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值. 湖中鱼数的真值 [ ] 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 习惯上 这里α是一个很小的正数. 称为置信概率，置信度或置信水平. 置信水平记作1-α,
我们选取未知参数的某个估计量 ，
只要知道 的概率分布，确定误差限并不难.
称δ为 与θ之间的误差限.
由不等式
*
可以解出θ ：
下面我们就来正式给出置信区间的定义, 这个不等式就是我们所求的置信区间. 并通过例子说明求置信区间的方法.
置信区间定义：
*
满足
设θ是一个待估参数，给定α>0,
例1 从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验，测得寿命X（单位：小时）如下：
1050，1100，1120，1250，1280
由于方差 未知，取样本函数
解： 的点估计取为样本均值
使
01
即
02
对给定的置信度1-α,确定分位数
03
得均值μ的置信水平为1-α的单侧置信区间为
04
将样本值代入得
*
若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量
分别称为置信下限和置信上限.
则称区间
是θ的置信水平(置信度、置信概率)
为1-α的置信区间.
可见，
*
内.
对参数θ作区间估计，就是要设法找出两个 只依赖于样本的界限(构造统计量)
这里有两个要求:
2. 估计的精度要尽可能的高. 就是说，概率 要尽可能大. 即要求估计尽量可靠. 可靠度与精度是一对矛盾， 1. 要求θ以很大的可能被包含在区间 内. 尽可能短， 如要求区间长度 或能体现该要求的其它准则. 一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.
§6.5 区间估计 演示文稿1
由 1 X 1， n
2
2 Y 2, m
2
1 2 X Y 1 2 , n m
2 2
U=
X Y (1 2 )
1
n
2
2 2
0 ,1
U
X
/
N ( 0 , 1)
n
按 照 给 定 的 置 信 度 1 0.9 5 ， 可 查 正 态 分 布 表 得
P (|U |< 1 .9 6 ) = 0 .9 5
即 P( |
X
把上式括号内的不等式变形得：
/
| 1.9 6 ) 0 .9 5
n
P X 1.9 6
n
2
X + 1.9 6
0 .9 5 n
2
由 置 信 区 间 的 定 义 可 看 出 ： 区 间 [ X 1.9 6 内 环 高 度 的 置 信 度 为 0 .9 5 的 置 信 区 间 。
n
2
， X + 1.9 6
n
2
]就 是
下面把样本观察值代入
x 1.9 6
二、正态总体期望和方差的置信区间
1、已知方差，求期望的置信区间 因为样本均值是期望的无偏估计量，所以要构造的样本 函数必须含有样本均值和数学期望
由经验可知： U X
/
N ( 0 , 1)
U 1 - /2， 使 得
n
按 给 定 的 置 信 度 1 - ， 查 正 态 分 布 表 得
§6.5 区间估计
一、基本概念和方法
2
2 Y 2, m
2
1 2 X Y 1 2 , n m
2 2
U=
X Y (1 2 )
1
n
2
2 2
0 ,1
U
X
/
N ( 0 , 1)
n
按 照 给 定 的 置 信 度 1 0.9 5 ， 可 查 正 态 分 布 表 得
P (|U |< 1 .9 6 ) = 0 .9 5
即 P( |
X
把上式括号内的不等式变形得：
/
| 1.9 6 ) 0 .9 5
n
P X 1.9 6
n
2
X + 1.9 6
0 .9 5 n
2
由 置 信 区 间 的 定 义 可 看 出 ： 区 间 [ X 1.9 6 内 环 高 度 的 置 信 度 为 0 .9 5 的 置 信 区 间 。
n
2
， X + 1.9 6
n
2
]就 是
下面把样本观察值代入
x 1.9 6
二、正态总体期望和方差的置信区间
1、已知方差，求期望的置信区间 因为样本均值是期望的无偏估计量，所以要构造的样本 函数必须含有样本均值和数学期望
由经验可知： U X
/
N ( 0 , 1)
U 1 - /2， 使 得
n
按 给 定 的 置 信 度 1 - ， 查 正 态 分 布 表 得
§6.5 区间估计
一、基本概念和方法
6-5 两个正态总体均值及方差比的置信区间
6.5 两个正态总体均值差及 方差比的置信区间
1. 两正态总体均值差 µ1 − µ 2的置信区间
2 σ1 2. 两个总体方差比 2 的置信区间 σ2
3. 小结
设给定置信度为1 − α , 并设 X 1 , X 2 ,⋯, X n 为 第一个总体 N ( µ1 ,σ 1 )的样本 , Y1 ,Y2 ,⋯,Yn 为第二
要点回顾
无偏性 1. 估计量的评选的三个标准 有效性 相合性 2. 置信区间是一个随机区 (θ , θ ), 它覆盖未知参 间 ( 数具有预先给定的概率置信水平) , 即对于任
意的θ ∈Θ, 有 P{θ < θ < θ } ≥ 1−α. 求置信区间的一般步骤(分三步 分三步). 求置信区间的一般步骤 分三步
例4 分别由工人和机器人操作钻孔机在纲部件 上钻孔，今测得所钻的孔的深度（以cm计）如下 上钻孔，今测得所钻的孔的深度（ 计
工人 操作 机器人 操作 4.02 3.64 4.03 4.02 3.95 4.06 4.00 4.01 4.03 4.02 4.01 4.00 3.99 4.02 4.00
2 σ1 , 由 X , Y 的独立性及 X ~ N µ1 , n1 2 2 σ1 σ 2 , + 可知 X − Y ~ N µ1 − µ 2 , n1 n2
2 σ2 , Y ~ N µ2 , n2
或
( X − Y ) − (µ1 − µ 2 ) ~ N (0, 1),
2 s1 s12 1 1 2 , 2 s F (6,7) s F (6,7) = ( 2.87,46.81). 0.95 2 2 0.05
这个区间的下限大于1，在实际中， 这个区间的下限大于 ，在实际中，我们就认为
区间估计
§ 8.3 区间估计
引例 已知 X ~ N ( ,1), x1,x2,…,xn 是一组样本值
的无偏、有效点估计为 X
常数 随机变量
不同的样本值算得的 的估计值不同， 因此除了给出未知参数的点估计外， 还希望 根据所给的样本确定一个随机区间，使其包 含参数真值的概率达到指定的要求.
如引例中，若要找一个区间,使其包含 的真 值的概率为0.95. ( 设 n = 5 )
~ N (0,1)
n
X 由 P z1 n
解
2
X
确定
2
z
1
2
n
z1
得 的置信度为 1 的置信区间为
( X z1
0
2
n
,
X z1
0
2
n
)
(2) 方差 2未知 , 的置信区间
S S X t1 (n 1) , X t1 (n 1) (2) n n
为什么要取 z1 / 2 ?
当置信区间为 ( X z1 区间的长度为 2 z
1
2
1 , X z 1 5
2
1 ) 时 5
1
2
5
——— 达到最短
0.4 0.3 0.2 0.1
取 = 0.05
-2
z
2
-1
0.4 0.3 0.2 0.1
1
z1
2 2
z1 z 1.96 (1.96)
14.95 1.96 0.1 )
X ~ t (5) 查表得 t (2) 取 T (5) 2.5706 S 10.025 6
引例 已知 X ~ N ( ,1), x1,x2,…,xn 是一组样本值
的无偏、有效点估计为 X
常数 随机变量
不同的样本值算得的 的估计值不同， 因此除了给出未知参数的点估计外， 还希望 根据所给的样本确定一个随机区间，使其包 含参数真值的概率达到指定的要求.
如引例中，若要找一个区间,使其包含 的真 值的概率为0.95. ( 设 n = 5 )
~ N (0,1)
n
X 由 P z1 n
解
2
X
确定
2
z
1
2
n
z1
得 的置信度为 1 的置信区间为
( X z1
0
2
n
,
X z1
0
2
n
)
(2) 方差 2未知 , 的置信区间
S S X t1 (n 1) , X t1 (n 1) (2) n n
为什么要取 z1 / 2 ?
当置信区间为 ( X z1 区间的长度为 2 z
1
2
1 , X z 1 5
2
1 ) 时 5
1
2
5
——— 达到最短
0.4 0.3 0.2 0.1
取 = 0.05
-2
z
2
-1
0.4 0.3 0.2 0.1
1
z1
2 2
z1 z 1.96 (1.96)
14.95 1.96 0.1 )
X ~ t (5) 查表得 t (2) 取 T (5) 2.5706 S 10.025 6
区间估计资料
1-91
37
对给定的置信水平 使
，确定分位数
即
于是得到 的置信水平为 信区间为
的单侧置
1-91
38
即 的置信水平为 的单侧置信下限为
将样本值代入得 的置信水平为0.95的单侧置信下限是 1065小时
1-91
39
例5 为估计制造某种产品所需要的单件平均工时 （单位：小时），现制造5件，记录每件所需工时如 下 10.5 11.0 11.2 12.5 12.8 假设制造单位产品所需工时 试求平均工时的置信水平为0.95的单侧置信上限.
解 已知
由样本值算得：
查正态分布表得
得置信区间：
1-91
13
注意：置信区间并不是唯一的。 同样给定
置信区间越短,估计精度越高
1-91
14
(2) 未知方差，估计均值
可用样本方差：
构造统计量：
对于给定 的使 我们取对称区间
即：
查 分布表，得临界值 使
1-91
15
由 分布表
查 分布表
找出
其中， 是样本容量
第五讲 区间估计
在估计湖中鱼数的问题中,若我们根 据一个实际样本，得到鱼数 N 的极大似 然估计为1000条.
实际上，N的真值可能大于1000条， 也可能小于1000 条.
若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理 地相信 N 的真值位于其中.这样对鱼数的估计就 有把握多了.
1-91
1
也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以 比较高的可靠程度相信它包含真参数值.
28
经计算得 X 6.0, (n1 1)S12 0.64 Y 5.7, (n2 1)S22 0.24
查表得t0.0025 (18) 2.1009, SW 0.2211
6.5 区间估计
此处 s 2 1
n 1
2 2 ( x x ) 是 的无偏估计。 i
18 July 2014
第六章 参数估计
第25页
例6.5.5 假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某 种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用， 测得它们的寿命（单位：万公里）如下： 4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 此处正态总体标准差未知，可使用t分布求均值 的置信区间。经计算有 x =4.7092，s2=0.0615。取 =0.05，查表知t0.975(11)=2.2010，于是平均寿命 的0.95置信区间为（单位：万公里）
取 查表得
0.05
z / 2 1.96
18 July 2014
第六章 参数估计
第4页
这说明
X P 1.96 0.05 1 5
即
P X 1.96 15 X 1.96 15 0.95
X 1.96 15 , X 1.96 15
4.7092 2.2010 0.0615 / 12 [4.5516, 4.8668]
第六章 参数估计
第1页
第六章 参数估计
§6.1 §6.2 §6.3 §6.4 §6.5 点估计的几种方法 点估计的评价标准 最小方差无偏估计 贝叶斯估计 区间估计
18 July 2014
第六章 参数估计
第2页
§6.5 区间估计
引例 已知 X ~ N ( ,1),
的无偏、有效点估计为 X
常数 随机变量
称随机区间
为未知参数 的置信度为0.95的置信区间.
n 1
2 2 ( x x ) 是 的无偏估计。 i
18 July 2014
第六章 参数估计
第25页
例6.5.5 假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某 种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用， 测得它们的寿命（单位：万公里）如下： 4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 此处正态总体标准差未知，可使用t分布求均值 的置信区间。经计算有 x =4.7092，s2=0.0615。取 =0.05，查表知t0.975(11)=2.2010，于是平均寿命 的0.95置信区间为（单位：万公里）
取 查表得
0.05
z / 2 1.96
18 July 2014
第六章 参数估计
第4页
这说明
X P 1.96 0.05 1 5
即
P X 1.96 15 X 1.96 15 0.95
X 1.96 15 , X 1.96 15
4.7092 2.2010 0.0615 / 12 [4.5516, 4.8668]
第六章 参数估计
第1页
第六章 参数估计
§6.1 §6.2 §6.3 §6.4 §6.5 点估计的几种方法 点估计的评价标准 最小方差无偏估计 贝叶斯估计 区间估计
18 July 2014
第六章 参数估计
第2页
§6.5 区间估计
引例 已知 X ~ N ( ,1),
的无偏、有效点估计为 X
常数 随机变量
称随机区间
为未知参数 的置信度为0.95的置信区间.
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p(x)
G ~ 2(n)
α/2 α/2
2 2 (n)
2 1
2 (n)
x
单个正态总体置信区间常用公式
(1) 方差 2已知, 的置信区间
[
x
u1
2
n
,
x
u1
2
] LLL n
(1)
(2) 方差 2未知 , 的置信区间
x
t1
2
(n
1)
S, n
x
t1
2
(n
1)
S n
LLL
(2)
(3) 当 未知时, 方差 2 的置信区间
对任意的θΘ,有 P($L ) 1 则θ称Θ成ˆL立是,则θ称的置信为水ˆθL平的为1-1α- α的的(单(单侧侧)同)置等信置下信限下.若限等. 号对一切 任定则切意义θ称的4ΘˆθU:成设是Θ立,θθ有$,U的则置称θ$信UP水((x为平1,ˆULθ为的1ˆ,U-x1)αn-的是)α1的(统单(计单侧量侧)置,)若同信对等上给置限定信. 若的上等α限(号0.<对α<一1),对
(n 1)S 2
,
(n
1)S
2
LLL
(3)
2
1
2
(n
1)
2
2
(n
1)
(2)推导
选取枢轴量
T
x
S
~
t(n 1)
n
由
P
x
S n
t1
2
(n
1)
1
确定 t1 (n 1) 2
故 的置信区间为
注2: 要求θ以很大的可能被包含在区间 [ˆL ,ˆU ]
内，即概率 P($L ˆU ) 要尽可能大 .也就
是要求估计尽量可靠.
估计的精度要尽可能的高. 即要求区间长度
ˆU $L 尽可能短.
可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度 的条件下尽可能提高精度.
注3: 置信水平 1 的频率解释: 在大数次的区间 估计的观测值中, 至少有100(1 )%次包含θ.
p( x)
0.04
0.01
由 P(-1.75≤G≤2.33)=0.95
x
1.75
2.33
得到均值μ的置信水平为1-α=0.95的置信区间为
[x 1.75 n , x 2.33 n]这个区间比前面一个要长一些.
类似地，可得到若干个不同的置信区间.
任意两个数c和d，只要它们的纵标包含p(x)下 95%的面积，就确定一个95%的置信区间.
二、置信区间的求法 — 枢轴量法
在求同等置信区间时最常用的方法是枢轴量法. 步骤如下:
1、设法构造一个样本和θ的函数G=G(x1,….xn ,θ), 使得G的分布为 已知（即不依赖于未知参数）. 称G为枢轴量.
2、适当地选择两个常数c、d, 使对给定的α(0< α<1), 有
P(c G d) 1 α ,
p(x)
0.95
c
dx
c
0.95
d
x
c
0.95
0d
x
c =-d
注2: 实际中, 选平均长度最短的c, d很难实现. 因此常选 择这样的c,d, 使得两个尾部概率各为α/2, 即:
P(G c) P(G d ) α / 2 ,
这样的置信区间称为等尾置信区间. 这是在G的分布为 偏态分布场合常采用的方法. 如 2分布、F分布
(参见P316页，例6.5.1)
上述定义在实际中常用的都是等式:
定义2: 沿用定义1的记号,若对给定的 (0< <1),对任意的
θΘ,有
则称[ˆL
,ˆUP]是($θL 的 1-α的ˆU )同等1置信区间.
有时在实际中常用的还有单侧置信区间: 定义3: 设θ$L θ$L( x1,L , xn )是统计量, 若对给定的α(0<α <1)
3、将 c G d进行不等式变形化为 $L $U ,则有 P($L ˆU ) 1
最后的 [ˆL ,ˆU ] 就是θ的1- α的同等置信区间.
三、单个正态总体的置信区间
例如: 设x1,…,xn是取自 N (, 2 ) 的样本， 2已知,
求参数 的置信度为 1 的置信区间.
解： 选 的点估计为x ,
由此，可以得到未知参数的的任何置信水平小于 1 的置信区间，并且置信水平越高，相应的置信区间平均 长度越长.
我们总是希望置信区间尽可能短.
实用中应在保证足够可靠的前提下，尽量使得区间 的长度短一些 .
注1: 满足置信度要求的c,d通常不唯一.若有可能, 应选择平 均长度 E(ˆU $L ) 达到最短的c与d , 这在G的分布为单峰 且对称分布通常容易实现. 如正态分布、t分布.
第五节 区间估计
一、置信区间的定义 二、置信区间的求法 三、单个正态总体参数的置信区间 四、大样本置信区间 五、两个正态总体下的置信区间
一、 区间估计的定义
定义1: 设θ是 一个待估参数，其参数空间为Θ。对给
定的 (0< <1)若由样本 x1, x2,…, xn 确定的两个统计量
θ$L θ$L( x1,L , xn ) θ$U θ$U ( x1,L , xn )
构造许多置信区间.
上例中， 取置信水平为1- α=0.95
G
x
n
~
N(0,
1)
由标准正态分布表, 满足P(c<G<d)＝0.95的c、d 有很多.
比如，由 P(-1.96≤G≤1.96)=0.95
p(x) 0.025
0.95
1.96
x
1.96
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可得到均值μ的置信水平为1-α=0.95的置信区间为
[x 1.96 n , x 1.96 n]
取值于该区间的概率为置信水平.
对给定的置信水平1- α，查正态分布表得 u1 2 ,
使
P
x
n
u1 2
1
5、变形可得 未知参数的置 信区间.
变形为
P
x
n
u1
2
x
n
u1
2
1
于是所求μ的置信度为1-α的置信区间为
x
n u1
2,
x
n u1
2
也可简记为
x
m
σ n
u1α
2
给定样本，给定置信水平 ，置信区间不是唯一的.对同一个参数，我们可以
满足 P $L ˆU 1
则称区间[ˆL ,ˆU ]是θ的置信水平(置信度)为 1 的
(双侧)置信区间.
注1: 对ˆL 和参数ˆUθ分作别区称间为估(计双，侧就)置是信要下设限法和找置出信两上个限. 只依赖于样本的界限(构造统计量) ˆL 和ˆU
一旦有了样本，就把θ估计在区间 [ˆL ,ˆU 内] .
取枢轴量G x ~ N(0, 1) n
3、寻找一个待估参数和 样本的函数，要求其
1、明确问题,是求哪个参数的 置信区间?置信水平是多少？
0.4
0.3
2、寻找未知
0.2
参数的一个良
0.1
好估计.
分布为已知.
u-2
1
2
-1
u 1 12 2
4、对于给定的置信水平, 根据G的分布，确定一个区间, 使得G