大学物理(肖剑荣主编)-习题答案-第10章

-
x )
+
p
]
m
22
(2)将 xP = 1 m 代入上式，即得 P 点振动方程为
y
=
0.1cos[(pt
p -
p +
)] =
0.1cospt
m
22
10-11 一列机械波沿 x 轴正向传播， t =0 时的波形如图所示，已知波速为 10
m/s1，波长为 2m，求：
(1) 波动方程；
(2) P 点的振动方程及振动曲线；
(2) t = 0 时的波形如 (b)图 将 x = 0.5 m 代入波动方程，得该点处的振动方程为
y = 0.1cos[5p t - 5p ´ 0.5 + 3p ] = 0.1cos(5p t + p ) m
5
2
如 (c)图所示． 10-10 如图所示，已知 t =0 时和 t =0.5s 时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b) ， 周期 T>0.5s,波沿 x 轴正向传播，试根据图中绘出的条件求： (1)波动方程； (2) P 点的振动方程．
解: (1)由题
(a)图知， A = 0.1
m，且 t = 0 时， y0
= 0, v0
> 0 ，∴ f0
= 3p 2
，
又u
=
u l
=
5 2
=
2.5
Hz
，则 w
=
2pu
=
5p
题 10-9 图(a)
图(b)
图(c)
取
y
=
A cos[w (t
-
x) u
+ f0 ] ，
则波动方程为
y = 0.1cos[5p (t - x) + 3p ] m 52
52
55
（2）该点与波源的相位差
Df
=
(wt
+ f2 )
-
(wt
+ f1 )
=
-
3p 5
即该点相位落后波源 - 3 p 。 5
（3）该点的振幅和频率同波源一样，有 A = 6 ´10-2 (m) n = w = 0.1Hz 2p
（4）此波的波长为 l = u = 2.0 = 20m n 0.1
10-6 一平面简谐波沿 x 轴负向传播，波长l=1.0 m，原点处质点的振动频率为 n=2. 0 Hz，振幅 A＝0.1m，且在 t=0 时恰好通过平衡位置向 y 轴负向运动，求 此平面波的波动方程． 解: 由题知 t=0 时原点处质点的振动状态为 y0=0，v0<0，故知原点的振动初相为 p/2，取波动方程为
y
=
Acos[2π ( t T
+
x λ
)
+
ϕ
0
]
则有
y
=
0.1cos[2π
(2t
+
x )
+
π
]
12
= 0.1cos[4πt + 2π x + π ] m 2
10-7 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为 y = A cos( Bt - Cx )，其中
A ， B ， C 为正值恒量．求：
(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；
2
I = 1 rA2w 2u 2
( ) = 1 ´ 8.0 ´102 ´ (2p ´1.0 ´103 )2 ´ 1.0 ´10-4 2 ´1.0 ´103 2 = 1.58 ´105 (W × m-2 )
（2）1min 内垂直通过面积为 0.4m2 的总能量为 W = ISt = 1.58 ´105 ´ 0.4 ´ 60 = 3.79 ´106 (J )
解 设简谐波的波动方程为
y
=
Acosω (t
−
x υ
)
ω = 2πν = 2π ⋅ 250 = 500π
(1) 距波源为 1.0m 处的质点的振动方程:
y
=
0.02
cos500π
(t
−
1) 25
=
0.02 Fra Baidu bibliotekos 500(π
t
−
20π
)
此刻，该质点振动速度。 υ
=
dy dt
=
−10π
sin 500(π t
=
d
，及 l
=
2p C
代入上式，即得
Df = Cd ．
10-8 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为 y =0.05cos(10pt - 4px )，式中 x , y
以米计， t 以秒计．求：
(1)波的波速、频率和波长；
(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；
(3)求 x =0.2m 处质点在 t =1s 时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位
10 3
(2)由图知， t
=
0 时，
yP
=
-
A 2 ,vP
<
0 ，∴ fP
=
- 4p 3
( P 点的位相应落后于 0
点，故取负值)
∴ P 点振动方程为
yp
=
0.1cos(10pt
-
4p) 3
(3)∵
10p
(t
-
x )
10
+
p 3
|t=0
=
-
4p 3
∴ 解得
x = 5 = 1.67 m 3
(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如下图：
(3) P 点的坐标；
(4) P 点回到平衡位置所需的最短时间．
解:
由图可知 A = 0.1 m ， t
= 0 时， y0
=
A 2 ,v0
< 0 ，∴ f0
=p 3
由题知 l = 2 m ， u = 10 m × s-1 ，则u = u = 10 = 5 Hz l2
∴w = 2pu = 10p (1)波动方程为 y = 0.1cos[10p (t - x ) + p ] m
相所代表的运动状态在 t =1.25s 时刻到达哪一点?
解: (1) 将题给方程与标准式
y = Acos(wt - 2p x) l
相比，得振幅 A = 0.05 m 圆频率 w = 10p 波长 l = 0.5 m
波速 u = lu = l w = 2.5 m × s-1 ． 2p
(2) 绳上各点的最大振速，最大加速度分别为 vmax = wA = 10p ´ 0.05 = 0.5p m × s-1 amax = w 2 A = (10p )2 ´ 0.05 = 5p 2 m × s-2 (3) x = 0.2 m 处的振动比原点落后的时间为
则由 P 点回到平衡位置应经历的位相角 Df = p + p = 5 p 326
∴所属最短时间为 Dt = Df = 5p / 6 = 1 s w 10p 12
10-12 有一波在介质中传播，其波速 u = 1.0 ´103 m × s -1 ，振幅 A = 1.0 ´10-4 m ， 频率n = 1.0 ´103 Hz ，若介质的密度 r = 8.0 ´102 kg × m-3 ,求： （1）该波的能流密度； （2）1min 内垂直通过面积为 0.4m2 的总能量。 解：（1）将已知数据代入波的能流密度表达式 I = 1 rA2w2u ，可得
解: (1)由图可知， A = 0.1 m ， l = 4 m
又， t = 0 时， y0 = 0, v0 < 0
∴ f0
=
p 2
而 u = Dx = 1 = 2 m × s-1 ，u = u = 2 = 0.5 Hz ，∴w = 2pu = p
Dt 0.5
l4
故波动方程为
y
=
0.1cos[p
(t
−
20π
)
(2) 由波速公式得 λ = υT υ = λ / T = λν = 25m / s
10-5
波源的振动方程
y
=
6 ´10-2
p cos
t(m) ，它所形成的波以
2.0m/s
的速度在一
5
直线上传播，求：（1）距波源 6.0m 处一点的振动方程；（2）该点与波源的相 位差；附加两问：（3）该点的振幅和频率；（4）此波的波长。
u 的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一． （2）在谐振动方程 y = f (t) 中只有一个独立的变量时间 t ，它描述的是介质中 一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程 y = f (x,t) 中 有两个独立变量，即坐标位置 x 和时间 t ，它描述的是介质中所有质元偏离平衡 位置的位移随坐标和时间变化的规律． 10-2（1）设某一时刻，一个向右传播的平面余弦横波的波形曲线的一部分如图 (a)所示，试分别用矢量标明图中 A、B、C、D、E、F、G、H、I 等质点在该时 刻的运动方向，在经过 1/4 周期前和 1/4 周期后，这波的波形又是怎样？ 解：波形曲线表示的是某一时刻波线上所有质点偏离平衡位置的振动位移的分 布图。将波形曲线沿波的传播方向平移，就是下一时刻波线上质点偏离平衡位 置的位移分布，据此可确定各质点的运动方向，如图（b）所示。将波形曲线图 (a)沿波的传播方向平移 λ/4 就是经过 1/4 周期后的波形曲线，逆波的传播方向 平移 λ/4 就是经过 1/4 周期前的波形曲线，如图（c）所示。
x = 0.2 = 0.08 s u 2.5
故 x = 0.2 m , t = 1 s 时的位相就是原点( x = 0)，在 t0 = 1 - 0.08 = 0.92 s 时的位
相，
即
f = 9.2 π．
设这一位相所代表的运动状态在 t = 1.25 s 时刻到达 x 点，则
x = x1 + u(t - t1 ) = 0.2 + 2.5(1.25 -1.0) = 0.825 m 10-9 一列平面余弦波沿 x 轴正向传播，波速为 5 m/s，波长为 2m，原点处质点 的振动曲线如题 10-9 图所示． (1)写出波动方程； (2)作出t =0 时的波形图及距离波源 0.5m 处质点的振动曲线．
（2）以波源作谐振动时的平衡位置为坐标原点 o，以 ox 轴正方向为波的传播 方向，若以波源作谐振动的时间零点作为计时零点，
则可得波动方程为
y
=
A cos w (t
-
x )
=
4 ´10-3
cos 240p (t
-
x )
u
30
10-4 某一平面简谐波的波源的频率为 250Hz，波长为 0.1m，振幅为 0.02m，求 （1）距波源为 1.0m 处的质点的振动方程及振动速度；（2）波的传播速度。
A ，频率u
=
B 2p
，
波长 l = 2p ，波速 u = lu = B ，
C
C
波动周期T = 1 = 2p ． uB
(2)将 x = l 代入波动方程即可得到该点的振动方程 y = Acos(Bt - Cl)
(3)因任一时刻t 同一波线上两点之间的位相差为
Df
=
2p l
(x2
-
x1 )
将
x2
-
x1
(2)写出传播方向上距离波源为l 处一点的振动方程；
(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为 d 的两点的位相差． 解: (1)已知平面简谐波的波动方程 y = Acos(Bt - Cx) ( x ³ 0)
将上式与波动方程的标准形式
y = Acos(2put - 2p x ) l
比较，可知：
波振幅为
第十章 课后习题解答 桂林理工大学 理学院 胡光辉
（《大学物理·下册》主编：肖剑荣 梁业广 陈鼎汉 李明） 10-1（1）振动和波动有什么区别和联系？平面简谐波波动方程和简谐振动方程 有什么不同？又有什么联系？ （2）简谐振动的表达式里有几个独立变量？简谐波的表达式里有几个独立变 量？ 答: （1）振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位 置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可 表示为 y = f (t) ；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元 都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既 是坐标位置 x ，又是时间 t 的函数，即 y = f (x,t) ． 简谐振动方程描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规 律；平面谐波方程描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间 变化的规律．当谐波方程 y = Acosw(t - x ) 中的坐标位置给定后，即可得到该点
10-3 波源作谐振动，其振动方程为 y = 4 ´10-3 cos 240pt(m) ，它所形成的波以
30m/s 的速度沿一直线传播。（1）求波的周期和波长（2）写出波动方程
解（1）波源作谐振动的角频率也就是波的角频率w = 240p ，
故波的周期为 T
=
2π ω
= 8.33 × 10−3s
波的波长 l = uT = 0.285m
10-13 两相干波源分别在 P,Q 两处，它们相距 3 l 。由 P,Q 发出频率为 v ，波长 2
为 l 的相干波。R 为 PQ 连线上的一点，（1）自 P、Q 发出的两列波在 R 处的 相位差；（2）两波在 R 处干涉时的合振幅。
解 因两波源的初相相同，两列波在点 R 处的相位差 Δφ 仍与上题一样，由它 们的波程差决定．因 R 处质点同时受两列相干波的作用，其振动为这两个同频
解 以波源作谐振动的平衡位置为原点 o，以 ox 轴正向为波的传播方向。若以
t=0 为计时起点，则波动方程为 y = Acosw(t - x ) = 6 ´10-2 cos p (t - p )(m)
u
52
（1）距波源 x=6.0m 处的一点的振动方程
y = 6 ´10-2 cos p (t - 6) = 6 ´10-2 cos(p t - 3)