2019-2020学年天津市河西区高三(上)期中数学试卷
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（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列
的前 n 项和为 Sn，求 Sn；
（3）求
的值．
20．已知函数 f（x）＝lnx﹣ ． （1）若曲线 y＝f（x）存在斜率为﹣1 的切线，求实数 a 的取值范围； （2）求 f（x）的单调区间； （3）设函数 g（x）＝ ，求证：当﹣1＜a＜0 时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．
求 g（x）的单调递增区间． 【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝
＝
＝
∵f（x）的最小正周期为π，
∴
．
∴
．
而 y＝sinx 的对称轴为 x＝ ∴令
， ．
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从而 f（x）的对称轴方程为：
．
（2）∵将 f（x）向左平移得到 g（x）的图象，
∴g（x）＝
，
令
， 解 得 x∈[ ﹣
，
]
（k∈Z）．
，若
＝
3，则
的值为 7 ．
【解答】解：∵AB∥CD，AB＝4，CD＝2，∴ ＝ ，
∵
，∴ ＝ ＝ ，
∴＝+＝+ ，
∴
＝（ + ）•（
）＝ ﹣
﹣
＝3，
即 9﹣
﹣ ＝3，∴
＝4．
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又＝
＝
﹣＝﹣ ，
∴
＝ •（ ﹣ ）＝ ﹣
故答案为：7．
＝9﹣2＝7．
14．（3 分）已知 a＞0，b＞0，且
即 y＝|f（x）|与 y＝﹣ 有 6 个不同交点，
如图：
要使函数 g（x）＝a|f（x）|+1 有 6 个零点，
则1
，即﹣1≤a＜ ．
则实数 a 的取值范围是：[﹣1，﹣ ）．
故答案为：[﹣1，﹣ ）．
三、解答题 16．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 asinA＝4bsinB，ac＝ （a2
但函数 f（x）为奇函数不成立，
若函数 f（x）为奇函数，则 y＝|f（﹣x）|＝|f（x）|是偶函数，则图象关于 y 轴对称，即
必要性成立，
则“函数 y＝|f（x）|的图象关于 y 轴对称”是“函数 f（x）为奇函数”的必要不充分条件，
故选：B．
6．（3 分）已知各项均为正数的等比数列{an}的前 4 项和为 15，且 a5＝3a3+4a1，则 a3＝ （）
∴g（x）的单调增区间是[﹣
，
]（k∈Z）．
18．已知函数 f（x）＝x2+ax+2，a∈R． （1）若不等式 f（x）≤0 的解集为[1，2]，求不等式 f（x）≥1﹣x2 的解集；
（2）若对于任意的 x∈[﹣1，1]，不等式 f（x）≤2a（x﹣1）+4 恒成立，求实数 a 的取值
范围；
（3）已知 g（x）＝ax2+（a+2）x+1，若方程 f（x）＝g（x）在
﹣b2﹣c2）． （Ⅰ）求 cosA 的值； （Ⅱ）求 sin（2B﹣A）的值．
【解答】（Ⅰ）解：由
，得 asinB＝bsinA，
又 asinA＝4bsinB，得 4bsinB＝asinA，
两式作比得：
，∴a＝2b．
由
，得
，
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由余弦定理，得
；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得
，代入 asinA＝4bsinB，得
f（
3），b＝f（2﹣1.2），c＝f（ ），则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＞c＞b
B．b＞c＞a
8．（3 分）已知 a＞0，b＞0，
C．b＞a＞c ，则 ab 的最小值为（
D．a＞b＞c ）
A．
B．2
C．
D．4
9．（3 分）已知函数 含有 4 个元素，则实数ω的取值范围是（ ）
，若集合{x∈（0，π）|f（x）＝﹣1}
2019-2020 学年天津市河西区高三（上）期中数学试卷
一、选择题（共 9 小题，每小题 3 分，满分 27 分）
1．（3 分）设 i 为虚数单位，复数
，则 z 的共轭复数是（ ）
A．3﹣2i
B．3+2i
C．﹣3﹣2i
D．﹣3+2i
2．（3 分）已知全集 U＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，集合 A＝{0，1，2}，则∁UA＝（ ）
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10．（3 分）命题 p：“
”的否定 ∀x∈R，x2+1≥2x ．
【解答】解：特称命题的否定是全称命题 ∴命题“∃x0∈R，x02+1＜2x0”的否定是：∀x∈R，x2+1≥2x． 故答案为：∀x∈R，x2+1≥2x．
11．（3 分）在△ABC 中，若
，则三个内角中最大角的余弦值为 ﹣
（1）若不等式 f（x）≤0 的解集为[1，2]，求不等式 f（x）≥1﹣x2 的解集；
（2）若对于任意的 x∈[﹣1，1]，不等式 f（x）≤2a（x﹣1）+4 恒成立，求实数 a 的取值
范围；
（3）已知 g（x）＝ax2+（a+2）x+1，若方程 f（x）＝g（x）在
有解，求实数 a
的取值范围．
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2019-2020 学年天津市河西区高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共 9 小题，每小题 3 分，满分 27 分）
1．（3 分）设 i 为虚数单位，复数
，则 z 的共轭复数是（ ）
A．3﹣2i 【解答】解：∵
B．3+2i ＝
C．﹣3﹣2i ，
D．﹣3+2i
有解，求实数 a
的取值范围． 【解答】解：（1）若不等式 f（x）≤0 的解集为[1，2]， 即 1，2 是方程 x2+ax+2＝0 的两个根， 则 1+2＝﹣a＝3，即 a＝﹣3， 则 f（x）＝x2﹣3x+2，由 f（x）≥1﹣x2 得，x2﹣3x+2≥1﹣x2 即 2x2﹣3x+1≥0 得（2x﹣1）（x﹣1）≥0，得 x≥1 或 x≤ ，
，则
的最小值为
值时 a＝ 1+
【解答】解：因 a＞0，b＞0，且
，
∴ ＝ ＞0∴a﹣1＝ ，且 b﹣1＞0
则
＝3（b﹣1）+ ≥2
＝，
当且仅当 3（b﹣1）＝ ，即 b＝1+ 时，上式取等号，
此时 a＝1+ ，
故答案为： ，1+ ．
，取得最小
15．（3 分）已知函数 f（x）＝
，若函数 g（x）＝a|f（x）|+1
有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 [﹣1，﹣ ） ． 【解答】解：令 t＝x2+2x， ∵﹣2＜x＜0，∴t∈[﹣1，0）， 则
∈（﹣∞，﹣1]． 函数 g（x）＝a|f（x）|+1 有 6 个零点， 即方程 a|f（x）|+1＝0 有 6 个根， 也就是|f（x）|＝ 有 6 个根，
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．
由（Ⅰ）知，A 为钝角，则 B 为锐角，
∴
．
于是
，
，
故 sin （ 2B ﹣ A ） ＝ sin2BcosA ﹣ cos2BsinA ＝ ．
17．已知函数
的最小正周期为π．
（1）求ω的值及函数 f（x）的对称轴方程 （2）将函数 f（x）的图象向左平移 个单位，得到的图象对应的函数解析式为 g（x），
A．
B．
C．
D．
二、填空题
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10．（3 分）命题 p：“ 11．（3 分）在△ABC 中，若 12．（3 分）设
”的否定
．
，则三个内角中最大角的余弦值为
，且（f 2）＝4，则 a＝
，（f ﹣2）＝
．
13．（3 分）在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，AD＝3，
即不等式的解集为（﹣∞， ]∪[1，+∞）．
（2）不等式 f（x）≤2a（x﹣1）+4 恒成立，
【解答】解：在△ABC 中，∵ ∴A 为最大角，
，可得：a＝2c，
∴cosA＝
＝
＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
12．（3 分）设
，且 f（2）＝4，则 a＝ 2 ，f（﹣2）＝ 3 ．
【解答】解：∵ ∴f（2）＝a2＝4，解得 a＝2，
，且 f（2）＝4，
∴f（x）＝
，
∴f（﹣2）＝log28＝3． 故答案为：2，3． 13．（3 分）在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，AD＝3，
A．{﹣1，3}
B．{﹣1，0}
C．{0，3}
D．{﹣1，0，3}
3．（3 分）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．π
C．2π
D．4π
4．（3 分）已知 ＝（2，3）， ＝（3，t），| |＝1，则 • ＝（ ）
A．﹣3
B．﹣2
C．2
D．3
5．（3 分）设函数 f（x）的定义域为 R，则“函数 y＝|f（x）|的图象关于 y 轴对称”是“函
A．a＞c＞b
B．b＞c＞a
C．b＞a＞c
D．a＞b＞c
【解答】解：根据题意，函数 y＝f（x）满足 f（﹣x）＝f（x），则函数 f（x）为偶函数，
又由函数 y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，则 f（x）在（0，+∞）上递减，
a＝f（
天津市河西区2019-2020学年高一第二学期数学期中试卷(解析版)
2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共9小题）.1．如果a→，b→是两个单位向量，则a→与b→一定（）A．相等B．平行C．方向相同D．长度相等2．若复数z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1B．0C．1D．﹣1或13．在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如表：观看场数012345678%10%20%26%m%12%6%2%观看人数占调查人数的百分比从表中可以得出正确的结论为（）A．表中m的数值为8B．估计观看比赛不低于4场的学生约为360人C．估计观看比赛不低于4场的学生约为720人D．估计观看比赛场数的众数为24．甲、乙两个元件构成一并联电路，设E＝“甲元件故障”，F＝“乙元件故障“，则表示电路故障的事件为（）A．E∪F B．E∩C．D．E∩F5．若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i＝b+i，则（）A．a＝1，b＝1B．a＝﹣1，b＝1C．a＝1，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝﹣16．小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（ ）A ．30%B ．10%C ．3%D ．不能确定7．设A 、B 是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（ ） A ．事件A ⊆B ，则P （A ）＜P （B ） B ．若A 和B 互斥，则A 和B 一定相互独立C ．若A 和B 相互独立，则A 和B 一定不互斥D ．P （A ）+P （B ）≤18．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C +c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定9．已知向量a →，b →是两个不共线的向量，且向量m a →−3b →与a →+（2﹣m ）b →共线，则实数m 的值为（ ） A ．﹣1或3B ．√3C ．﹣1或4D ．3或4二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10．i 是虚数单位，复数6+7i 1+2i= ．11．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．12．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．则事件“x+y≤3”的概率为．13．在三角形ABC中，角A，B，C所对应的长分别为a，b，c，若a＝2，B=π6，c＝2√3，则b＝．14．已知e1→，e2→是夹角为23π的两个单位向量，a→=e1→−2e2→，b→=k e1→+e2→，若a→•b→=0，则实数k的值为．15．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则AE→•BE→的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤．16．随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30]30.12（30，35]50.20（35，40]80.32（40，45]n1f1（45，50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．17．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．18．在△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝30°，b=√2，c＝2，解这个三角形．19．已知OP→=（2，1），OA→=（1，7），OB→=（5，1），设C是直线OP上的一点（其中O为坐标原点）（1）求使CA→⋅CB→取到最小值时的OC→；（2）根据（1）中求出的点C，求cos∠ACB．20．设z1是虚数，z2＝z1+1z1是实数，且﹣1≤z2≤l．（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若ω=1−z11+z1，求证ω为纯虚数；（3）求z2﹣ω2的最小值．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果a→，b→是两个单位向量，则a→与b→一定（）A．相等B．平行C．方向相同D．长度相等【分析】根据a→，b→是两个单位向量；只能得到其模长相等，方向不定，即可判断答案．解：因为a→，b→是两个单位向量；只能得到其模长相等，其他没法确定；故选：D．2．若复数z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1【分析】复数z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，复数的实部为0，虚部不等于0，求解即可．解：由复数z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，{x2−1=0可得x＝﹣1x−1≠0故选：A．3．在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如表：观看场数01234567观看人数占调查人数的8%10%20%26%m%12%6%2%百分比从表中可以得出正确的结论为（）A．表中m的数值为8B．估计观看比赛不低于4场的学生约为360人C．估计观看比赛不低于4场的学生约为720人D．估计观看比赛场数的众数为2【分析】由频率分布表的性质，求出m＝12；先由频率分布表求出观看比赛不低于4场的学生所占比率为36%，由此估计观看比赛不低于4场的学生约为360人；出现频率最高的为3．解：由频率分布表的性质，得：m＝100﹣8﹣10﹣20﹣26﹣16﹣6﹣2＝12，故A错误；∵观看比赛不低于4场的学生所占比率为：16%+12%+6%+2%＝36%，∴估计观看比赛不低于4场的学生约为：1000×36%＝360人，故B正确，C错误；出现频率最高的为3．故D错误；故选：B．4．甲、乙两个元件构成一并联电路，设E＝“甲元件故障”，F＝“乙元件故障“，则表示电路故障的事件为（）A．E∪F B．E∩C．D．E∩F【分析】由并联电路性质得：电路故障为甲、乙两个元件同时发生故障．解：甲、乙两个元件构成一并联电路，设E＝“甲元件故障”，F＝“乙元件故障“，则电路故障为甲、乙两个元件同时发生故障，∴表示电路故障的事件为E∩F．5．若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i＝b+i，则（）A．a＝1，b＝1B．a＝﹣1，b＝1C．a＝1，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝﹣1【分析】根据所给的关于复数的等式，整理出等式左边的复数乘法运算，根据复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等，得到a，b的值．解：∵（a+i）i＝b+i，∴ai﹣1＝b+i，∴a＝1，b＝﹣1，故选：C．6．小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A．30%B．10%C．3%D．不能确定【分析】计算鸡蛋占食品开支的百分比，利用一星期的食品开支占总开支的百分比，即可求得一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比解：根据一星期的食品开支图，可知鸡蛋占食品开支的百分比为3030+40+100+80+50=10%，∵一星期的食品开支占总开支的百分比为30%，∴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×10%＝3%．7．设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（）A．事件A⊆B，则P（A）＜P（B）B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥D．P（A）+P（B）≤1【分析】根据事件的包含关系，对立事件与相互独立事件的概型与性质进行判断．解：若事件B包含事件A，则P（A）≤P（B），故A错误；若事件A、B互斥，则P（AB）＝0，若事件A、B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故B错误，C正确；若事件A，B相互独立，且P（A）＞12，P（B）＞12，则P（A）+P（B）＞1，故D错误．故选：C．8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B＝a sin A，则△ABC 的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【分析】由条件利用正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B＝sin A sin A，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sin A＝1，可得A=π2，由此可得△ABC的形状．解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵b cos C+c cos B＝a sin A，则由正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B＝sin A sin A，即sin（B+C）＝sin A sin A，可得sin A＝1，故A=π2，故三角形为直角三角形，9．已知向量a →，b →是两个不共线的向量，且向量m a →−3b →与a →+（2﹣m ）b →共线，则实数m 的值为（ ） A ．﹣1或3B ．√3C ．﹣1或4D ．3或4【分析】利用向量共线定理即可得出．解：∵向量m a →−3b →与a →+（2﹣m ）b →共线，∴存在实数k 使得：m a →−3b →=k [a →+（2﹣m ）b →]，化为：（m ﹣k ）a →+[﹣3﹣k （2﹣m ）]b →=0→，∵向量a →，b →是两个不共线的向量， ∴{m −k =0−3−k(2−m)=0，解得m ＝3或﹣1． 故选：A ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10．i 是虚数单位，复数6+7i 1+2i= 4﹣i ．【分析】根据复数的运算法则计算即可．解：6+7i 1+2i=(6+7i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=6+14+7i−12i5=20−5i 5=4﹣i ，故答案为：4﹣i11．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 60 名学生．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为44+5+5+6=15，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×15=60，故答案为：60．12．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．则事件“x+y≤3”的概率为112．【分析】基本事件总数n＝6×6＝36，利用列举法求出事件“x+y≤3”包含的基本事件（x，y）有3个，由此能求出事件“x+y≤3”的概率．解：将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．基本事件总数n＝6×6＝36，事件“x+y≤3”包含的基本事件（x，y）有：（1，1），（1，2），（2，1），共3个，则事件“x+y≤3”的概率为p=336=112．故答案为：112．13．在三角形ABC中，角A，B，C所对应的长分别为a，b，c，若a＝2，B=π6，c＝2√3，则b＝2．【分析】由题设条件知，直接利用余弦定理建立方程求出b即可．解：由余弦定理可知b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝22+(2√3)2−2×2×2√3×√32=4．因为b 是三角形的边长，所以b ＝2． 故答案为：2．14．已知e 1→，e 2→是夹角为23π的两个单位向量，a →=e 1→−2e 2→，b →=k e 1→+e 2→，若a →•b →=0，则实数k 的值为54．【分析】利用向量的数量积公式求出e 1→⋅e 2→；利用向量的运算律求出a →⋅b →，列出方程求出k ．解：∵e 1→，e 2→是夹角为23π的两个单位向量∴e 1→⋅e 2→=−12∴a →⋅b →=(e 1→−2e 2→)⋅(ke 1→+e 2→)=ke 1→2−2ke 1→⋅e 2→+e 1→⋅e 2→−2e 2→2=2k −52∵a →⋅b →=0∴2k −52=0 解得k =54 故答案为：5415．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E 为边CD 上的动点，则AE →•BE →的最小值为2116．【分析】可建立坐标系，然后根据给的条件求出A ，B ，E 的坐标，再设E （0，m ），则可将AE →•BE →整理成m 的函数，然后求其最小值．解：因为AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．故如图，建立如图所示的坐标系．则A （1，0），连接AC ，易证Rt △ACD ≌RtACB ， ∴∠DAC ＝∠DAB ＝60°＝∠BAx ＝60°，∴DC =ADtan60°=√3．x B ＝1+1×cos60°=32，y B =sin60°=√32．∴B(32，√32)．设E （0，m ），（0＜m ＜√3）．∴AE →=(−1，m)，BE →=(−32，m −√32)．∴AE →⋅BE →=32+m 2−√32m =（m −√34）2+2116．故当m =√34时，AE →•BE →的最小值为2116．故答案为：2116．三、解答题：本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤．16．随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30]30.12（30，35]50.20（35，40]80.32（40，45]n1f1（45，50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；（3）利用对立事件可求概率．解：（1）（40，45]的频数n1＝7，频率f1＝0.28；（45，50]的频数n2＝2，频率f2＝0.08；（2）频率分布直方图：（3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件，已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35]的概率为525=15，∴P（A）=C40(1−15)4=0.4096，∴P（A）＝1﹣P（A）＝1﹣0，4096＝0.5904，∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率0.5904．17．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．【分析】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则P（A）=1220=35，P（B）=820=25，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P（A B+AB）＝P（A）P（B）+P（A）P（B），由此能求出结果．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为P（AB）＝P（A）P（B）．由此能求出结果解：（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则P（A）=1220=35，P（B）=820=25，∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P（A B+AB）＝P（A）P（B）+P（A）P（B）=35×(1−25)+（1−35）×25=1325．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：P（AB）＝P（A）P（B）＝（1−35）（1−25）=625．18．在△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝30°，b=√2，c＝2，解这个三角形．【分析】根据正弦定理求得C，进而得到A，根据余弦定理求得a即可．解：由正弦定理可得sin C=cb sin B=√2×12=√22，因为b＜c，则C＝135°或45°，所以A＝15°或105°；根据余弦定理可得cos B=a2+c2−b 22ac ，即√32=a2+4−24a，解得a=√3−1（√3+1舍），故该三角形a=√3−1，A＝15°，C＝135°或a=√3−1，A＝105°，C＝45°．19．已知OP →=（2，1），OA →=（1，7），OB →=（5，1），设C 是直线OP 上的一点（其中O 为坐标原点）（1）求使CA →⋅CB →取到最小值时的OC →； （2）根据（1）中求出的点C ，求cos ∠ACB ．【分析】（1）根据题意设点C(x ，12x)，从而将CA →⋅CB →数量积的坐标表示求出来，可得一个关于x 的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案；（2）根据（1）中的点C ，可以求得CA →，CB →的坐标，利用向量的数量积即可求得cos ∠ACB 的值．解：（1）∵OP →=(2，1)，则直线OP 的方程为y =12x ， ∵C 是直线OP 上的一点，则设点C(x ，12x)，∴CA →=OA →−OC →=(1−x ，7−12x)，CB →=OB →−OC →=(5−x ，1−12x)，∴CA →⋅CB →=（1﹣x ）（5﹣x ）+（7−12x ）（1−12x ） =54x 2−10x +12 =54(x −4)2−8，∴当x ＝4时，CA →⋅CB →取到最小值，此时C （4，2），∴OC →=(4，2)；（2）由（1）可知，C （4，2），∴CA →=(−3，5)，CB →=(1，−1)，∴cos∠ACB=CA→⋅CB→|CA→|⋅|CB→|=−3−5√(−3)+5√1+(−1)=−4√1717，故cos∠ACB=−4√1717．20．设z1是虚数，z2＝z1+1z1是实数，且﹣1≤z2≤l．（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若ω=1−z11+z1，求证ω为纯虚数；（3）求z2﹣ω2的最小值．【分析】（1）设z1＝a+bi，（a，b∈一、选择题，且b≠0），则z2＝（a+aa2+b2）+（b−ba2+b2）i，因为z2是实数，所以a2+b2＝1，即|z1|＝1，且z2＝2a，由﹣1≤z2≤1，z1的实部的取值范围为[−12，12]．（2）ω=1−z11+z1=1−a−bi1+a+bi=1−a2−b2−2bi(1+a)2+b2=−bia+1，由此证明ω=1−z11+z1是纯虚数．（3）z2﹣ω2＝（a+aa2+b2）+（b−ba2+b2）i﹣（−bia+1）2＝2（a+1）+2a+1−3，a+1∈[12，32]，利用基本不等式即可得出答案．解：（1）设z1＝a+bi，（a，b∈R，且b≠0），则z2＝z1+1z1=（a+bi）+1a+bi=（a+bi）+a−bi(a+bi)(a−bi)=（a+bi）+a−bia2+b2=（a+aa2+b2）+（b−ba2+b2）i，因为z2是实数，所以b−ba2+b2=0，即b（a2+b2−1a+b）＝0，因为b≠0，所以a2+b2＝1，即|z1|＝1，且z2＝2a，由﹣1≤z 2≤1，得﹣1≤2a ≤1，解得−12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围为[−12，12]．（2）证明：∵a 2+b 2＝1，ω=1−z 11+z 1=1−a−bi 1+a+bi =1−a 2−b 2−2bi (1+a)2+b2=−bi a+1， 因为−12≤a ≤12，b ≠0，所以ω=1−z11+z 1为纯虚数．（3）z 2﹣ω2＝（a +aa 2+b 2）+（b −ba 2+b2）i ﹣（−bia+1）2，＝2a +（b ﹣b ）i +b2(a+1)2＝2a +1−a 2(a+1)2＝2a +1−aa+1=2a(a+1)+(1−a)a+1=2a 2+a+1a+1＝1+2a 2a+1＝1+2(a+1)2−4a−2a+1＝1+2(a+1)2−4(a+1)+2a+1＝1+2（a +1）﹣4+2a+1＝2（a +1）+2a+1−3，a +1∈[12，32]，2最小＝1．当2（a+1）=2a+1时，即a＝0时，z2﹣ω。
天津市河西区2024-2025学年高二上学期期中质量调查数学试卷
天津市河西区2024-2025学年高二上学期期中质量调查数学试卷一、单选题1．已知向量(1,1,1),(2,0,3)a b =--=- ，则a b ⋅等于（）A ．4-B ．5-C ．1D ．22．直线310x +=的倾斜角是（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．135°3．在空间直角坐标系中，已知点(),,P x y z ，给出下列4条叙述：①点P 关于x 轴的对称点的坐标是(),,x y z -；②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是(),,x y z --；③点P 关于y 轴的对称点的坐标是(),,x y z -；④点P 关于原点的对称点的坐标是(),,x y z ---．其中正确的个数是（）A ．3B ．2C ．1D ．04．已知向量m 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，且1cos ,2=- m n ，则直线l 与平面α所成的角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒5．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是（）A ．（－∞，－2）∪2(,)3+∞B ．2(,0)3C ．（－2，0）D ．2(2,)3-6．若直线1:(4)l y k x =-与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(2,4)-D ．(4,2)-7．设空间四点,,,O A B P 满足OP mOA nOB =+，其中1m n +=，则（）A ．点P 一定在直线AB 上B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 不一定在直线AB 上D ．以上答案都不对8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是1,CC AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值等于（）A B C ．45D ．239．已知点(1,0),(cos ,sin )A B αα-，且|AB =∣AB 的方程为（）A ．y y =B ．33 33y x =+33y x =C ．1y x =+和=1y x --D ．y =y =二、填空题10．．已知向量(2,1,3),(4,2,)a b x =-=-r r ，使a b ⊥ 成立的x 与使//a b r r成立的x 分别为．11．点A (4,5)关于直线l 的对称点为B (－2,7)，则l 的方程为_______12．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为．13．已知直线1:42l ax y +=与直线2:250l x y b -+=垂直，点(1,)c 为垂足，则a b c ++等于．14．已知圆C 1：22(2)(3)1x y -+-=，圆C 2：22(3)(4)9x y -+-=，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值．15．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A1D 1E 的距离为．三、解答题16．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，P 是1CA 的中点，M 是1CD 的中点，N 是11C D 的中点，点Q 在1CA 上，且14::1C Q Q A =，设1,,AB a AD b AA c === ，用基底{},,a b c表示以下向量：(1)AP ；(2)AM ；(3)AN ；(4)AQ ．17．已知空间三点()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ---，设,a AB b AC ==．(1)若3c = ，//c BC ，求c ；(2)求a 与b的夹角的余弦值；(3)若ka b +与2ka b - 互相垂直，求k ．18．已知点(2,0),(0,4)A B -到直线ll 的方程．19．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线40x -=相切．（Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）若圆O 上有两点,M N 关于直线20x y +=对称，且||MN =MN 的方程．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE DC ⊥；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求平面FAB 与平面PAB 所成角的余弦值．。
天津市河西区2024-2025学年上学期七年级期中数学试卷(含答案)
七年级数学试卷满分100分，考试时间90分钟．祝各位考生考试顺利！一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算的结果等于（ ）A. B. C.1 D.2．据资料显示，海河流域（海滦河流域）东临渤海，南界黄河，西起太行山，北倚内蒙古南缘，地跨京、津、冀、晋、鲁、豫、辽、内蒙古八省区，流域总面积约为318000平方千米．将318000用科学计数法表示为（）A. B. C. D.3．关于，下列语句不正确的是（ ）A.表示B.底数是－5，指数是3C.读作－5的3次方D.计算结果等于1254．用四舍五入法取近似数，将1.804精确到百分位为（）A.1.8B.1.80C.1.804D.1.815．在数轴上，在－2和3之间（不包括这两个点）表示整数的点的个数为（ ）A.4B.3C.2D.16．下列各数中，绝对值最大的是（ ）A. B. C.D.7．下列说法不正确的是（ ）A.可以写成分数形式的数，称为有理数B.有理数就是形如（a ，b 是整数，）的数C.减去一个数，等于加上这个数的绝对值D.负数的奇次幂是负数8．用代数式表示：“一辆汽车从甲地出发，行驶3.5km ，又以v km/h 的速度行驶了t h ，则这辆汽车行驶的全部路程是多少千米？”（ ）A. B. C. D.9．下面各题中，两个量之间不是成反比例关系的为（ ）A.一个长方形的面积是，它的长与宽之间B.一辆汽车行驶的路程为280km 时，这辆汽车行驶的平均速度与时间之间C.购买荧光笔和碳素笔的总费用一定，荧光笔的费用和碳素笔的费用之间D.某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系1233-13-12-5643.1810⨯53.1810⨯331810⨯431.810⨯()35-()()()555-⨯-⨯-56-76-4367ba0a ≠3.5vt+ 3.5vt- 3.5vt 3.5vt210cm10．如图，点A ，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b ，则下列结论正确的是（ ）A. B. C.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在题中横线上．11．25的相反数为______．12．计算的结果为______．13．下面各数是10名学生的数学测验成绩：88，89，76，80，90，79，76，92，82，81，则他们的平均成绩为______．14．用代数式表示a 的立方除以b 的商______．15．当，时，代数式的值为______．16．一个智能机器人的一个机械手8秒可以采摘一个苹果，一名工人m 秒可以采摘一个苹果．若同时工作1小时，一个搭载了10个机械手的机器人可比一名工人多采摘的苹果个数为______．三、解答题：本大题共7小题，共52分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（本小题6分）（Ⅰ）计算：；（Ⅱ）计算：．18．（本小题6分）小丽同学做一道计算题的解题过程如下：解：原式…………第一步…………第二步…………第三步…………第四步根据小丽的计算过程，回答下列问题：（Ⅰ）小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律；（Ⅱ）她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了；（Ⅲ）请你给出正确的解答过程．19．（本小题8分）用代数式表示：（Ⅰ）a 的相反数与b 的一半的差；a b >-a b <0ab >a b<()()10041524-⨯+-÷2x =6y =-222x xy y ++()162 1.595⎛⎫+----+ ⎪⎝⎭()()()32222524-⨯+--÷23111263423⎛⎫⎛⎫⨯-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2311121263423⎛⎫=⨯-⨯+÷- ⎪⎝⎭11896623=-+÷-÷11218=-+-7=-（Ⅱ）某商品的进价为x 元，先按进价的1.2倍标价，后又降价80元出售．现在的售价是多少元？（Ⅲ）甲乙两地之间公路全长240km ，A 汽车从甲地开往乙地，行驶速度是v km/h ，B 汽车也从甲地开往乙地，行驶速度是km/h ，则从甲地到乙地B 汽车比A 汽车早到多少小时？20．（本小题8分）（Ⅰ）如图①，从一个五边形的一个顶点出发，除去这个顶点本身及与它相邻的两个顶点，能画出条对角线．这样依次从五边形的5个顶点去画，可以画条对角线，但发现其中每一条对角线都重复画了一次，所以，五边形共有______条对角线；（Ⅱ）同理，从一个n 边形的一个顶点出发，除去它本身及与它相邻的两个顶点，有条对角线．这样，从n 个顶点出发，可以有条对角线，但每一条对角线都重复算了一次，所以，n 边形共有______条对角线，；（Ⅲ）如图②，当时，求这个十边形的对角线条数．21．（本小题8分）糖果厂生产一批水果糖，把这些水果糖平均分装在若干个袋子里，每袋装的颗数和总袋数如下表：每袋装的颗数1012182024…总袋数360300200180150…（Ⅰ）这批水果糖共有多少颗？（Ⅱ）总袋数是怎样随着每袋装的颗数的变化而变化的？（Ⅲ）用n 表示总袋数，m 表示每袋装的颗数，用式子表示n 与m 的关系．判断n 与m 成什么比例关系？22．（本小题8分）如图，图中数轴的单位长度为1．（Ⅰ）如果点A ，B 表示的数互为相反数，请在图①中标出原点O 的位置，并指出点C 表示的数是多少；（Ⅱ）如果点D ，B 表示的数互为相反数，请在图②中标出原点O 的位置，并指出点C ，点D 表示的数分别是多少；（Ⅲ）①在（Ⅱ）的条件下，数轴上到点A 和点B 的距离相等的点表示的数是______；数轴上到点E 和点A 的距离相等的点表示的数是______；②若一数轴上有任意两个点表示的数分别为a 和b ，到这两点的距离相等的点表示的数是______（用含有a ，b 的代数式表示）．()3v +()53-()553⨯-()3n -()3n n ⨯-10n =23．（本小题8分）我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．观察下列按照一定规律堆砌的小钢管的横截面图：（Ⅰ）当时，钢管总数为______；当时，钢管总数为______；当时，钢管总数为______；当时，钢管总数为______；（Ⅱ）若按照这个规律继续堆砌小钢管，计算第25个图的钢管总数，并写出你的分析过程．1n =2n =3n =4n =七年级数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）题号12345678910答案ABDBACCACD二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．-25 12．9 13．83.3 14． 15．16 16．三、解答题（本大题共7小题．共52分．）17．（本小题满分6分）解：（Ⅰ）14.3 （Ⅱ）－73．18．（本小题满分6分）解：（Ⅰ）分配律； （Ⅱ）二；（Ⅲ）解：19．（本小题满分8分）解：（Ⅰ）； （Ⅱ）元；（Ⅲ）．20．（本小题满分8分）解：（Ⅰ）5； （Ⅱ）； （Ⅲ）3521．（本小题满分8分）解：（Ⅰ）3600；（Ⅱ）总袋数是随着每袋装的颗数的增大而减少的；（Ⅲ）；n 与m 成反比例关系．22．（本小题满分8分）解：（Ⅰ）原点位置略；点C 表示的数是－1（Ⅱ）原点位置略，点C 表示的数是0.5，点D 表示的数是-4.5；（Ⅲ）①1.5；-2.5；②．23．（本小题满分8分）解：（Ⅰ）3；9；18；30；（Ⅱ）设钢管总数为，3a b 36004500m-23111121268961363534236⎛⎫=⨯-⨯+÷-=-+÷=-+= ⎪⎝⎭2b a --()1.280x -240240h 3v v ⎛⎫- ⎪+⎝⎭()32n n -3600nm =2a b+n S因为；；；，所以，将代入，得，所以第25个图的钢管总数为975个．112S =+21233S =+++3123444S =+++++412345555S =+++++++()()()()1123112n n n S n n n n n +=+++⋅⋅⋅+++=++25n =252625269752n S ⨯=+⨯=。
2019-2020学年天津市河西区八年级(上)期中数学试卷-(解析版)
2019-2020学年天津市河西区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．D．C．2．要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（）A．一条B．两条C．三条D．四条:3．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45°，则下列判断错误的是（）A．△ABC是直角三角形C．△ABC是等腰三角形B．△ABC是锐角三角形D．∠A和∠B互余4．由下列长度组成的各组线段中，不能组成三角形的是（）A．1cm，3cm，3cm C．8cm，6cm，4cm B．2cm，5cm，6cm D．14cm，7cm，7cm5．已知等腰三角形的两边长分别是5和11，则这个等腰三角形的周长为（）A．21B．16C．27D．21或27(6．在下面的四组全等的三角形中，可以看作把△ABC经过翻折（轴对称）而得到△DEF的是（）A．B．D．C．7．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°8．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（）@A．△ABC三边中线的交点B．△ABC三个角的平分线的交点C．△ABC三边高线的交点D．△ABC三边垂直平分线的交点9．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（）A．∠DAB′＝∠CAB′C．AD＝AE B．∠ACD＝∠B′CD D．AE＝CE;10．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝C D＝D E，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE 的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11．点M（3，3）关于x轴对称的点的坐标为．12．有一角为60°的等腰三角形是．13．如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是．；14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为．15．如图，A（m，0），B（0，n），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC，则C点的坐标为．（用字母m、n表示）16．如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于．三、解答题：本大题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示．·（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）；（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′（），B′（），C′（）．18．已知：∠α．求作：∠CAB，使得∠CAB＝∠α．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）19．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB．…（Ⅰ）若∠A＝60°，则∠BOC的度数为（Ⅱ）若∠A＝100°，则∠BOC的度数；；（Ⅲ）若∠A＝α，求∠BOC的度数，并说明理由．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°．（Ⅰ）求∠BCD的度数；（Ⅱ）若BD＝a，求AB的长度（用a表示）．/21．在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，3）和点C（0，2）．（Ⅰ）请直接写出OB的长度：OB＝；（Ⅱ）如图：若点D在x轴上，且点D的坐标为（﹣3，0），求证：△AOB≌△COD．22．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，AD交CE于点P，且BD＝AE．求证：（Ⅰ）AD＝CE；（Ⅱ）求∠DPC的度数．—23．已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE＝CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．2019-2020学年天津市河西区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）@1．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；B、不是轴对称图形，故错误；C、是轴对称图形，故正确；D、不是轴对称图形，故错误．故选：C．。
天津市河西区2021届高三上学期期中考试数学试卷Word版含解析
【解析】
【分析】
分别给 进行取值，可计算求得 中元素，进而确定集合 ，得到结果.
【详解】当 或 或 时，
当 ， 或 时， 或 ，
当 ， 或 时， 或 ，
当 ， 或 时， 或 ，
综上所述： ，共 个元素
故答案为：
【点睛】此题考查集合中元素个数的求解问题，关键是能够读懂描述法所表示的集合的含义，进而根据要求求得集合.
所以，当 时， .
(Ⅲ)依题意， ，即 .
记 ，那么 .
且 .
由 及(Ⅰ)得 .
由(Ⅱ)知，当 时， ，所以 在 上为减函数，
因此 .
又由(Ⅱ)知 ，故：
.
所以 .
【点睛】此题主要考查导数的运算､不等式证明､､综合分析问题和解决问题的能力.
14. ，且 ，那么 的最小值为______________.
【答案】64
【解析】
【分析】
根据根本不等式解得 取值范围，再结合等号确定最值取法.
【详解】 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为
【点睛】在利用根本不等式求最值时，要特别注意等号取得的条件，否那么会出现错误.
15.如图，在 中， ，D,E分别边AB,AC上的点, 且 ，那么 ______________，假设P是线段DE上的一个动点，那么 的最小值为_________________.
点睛：此题主要考查了周期函数与对数函数的图象，数形结合是高考中常用的方法，考查数形结合，此题属于根底题；函数 和 图象交点的个数即函数 的零点个数，分别作出函数y=f〔x〕，y=log5|x-1|的图象，结合函数的对称性，利用数形结合法进行求解.
二、填空题〔本大题共6小题〕
10.集合 ，那么集合 中元素的个数是______.
天津市河西区2024-2025学年高三上学期期中质量调查数学试卷
=
uuur EF
=
uuur FG
=
uuur GC
，则
uuur AE
×
uuur DC
+
1 2
uuur AE
×
uuur AF
=
；若
P
为线段
BC
上一动点，当
uuur PA
×
uuur PC
取得最小值时，则 cos ÐPDC = .
15．已知函数
f
(x)
=
ì ïï
2
ln x
x
,
í ïsin ïî
æçèw
x
+
π 6
【详解】由 log8 3 = b 可得 8b = 23b = 3 ，
(( )) 所以 4a-3b
=
4a 43b
=
2a 23b
2 2
=
25 ， 9
故选：C 5．C 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最大值.
【详解】由 m > -2 ， n > 1 ，可得 m + 2 > 0 ， n -1 > 0
A．若
a
<
b
，则
1 a
>
1 b
B．若
a
>
b
>
0
，则
b a
+1 +1
<
b a
C．若 a > b ，则 ac2 > bc2
D．若 ac2 > bc2 ，则 a > b
4．已知 2a = 5 ， log8 3 = b ，则 4a-3b = （ ）
A．25
2024-2025学年天津市河西区海河中学高三(上)第一次质检数学试卷(含答案)
2024-2025学年天津市河西区海河中学高三（上）第一次质检数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P ={x ∈N|1≤x ≤5}，集合Q ={x ∈R|x 2−x−6<0}，则P ∩Q 等于( )A. {1,2,3}B. {1,2}C. [1,2]D. [1,3)2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“A =B ”是“sinA =sinB ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知a =21.2，b =2lg3,c =ln 13，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. b >c >a 4.下列函数是偶函数的是( )A. f(x)=xcosxB. f(x)=x 2−x x−1C. f(x)=lg |x|D. f(x)=e x −e −x5.已知向量a =(1,2)，b =(−1,1)，若c 满足(c +a )//b ，c ⊥(a +b )，则c =( )A. (−3,0)B. (1,0)C. (0,−3)D. (0,1)6.函数f(x)=ln (4−x)sinx ⋅ x−1的定义域为( )A. (1,π2)∪(π2,4)B. (1,π)∪(π,4)C. [1,π2)∪(π2,4]D. [1,π)∪(π,4]7.已知向量a ，b 满足：|a |=1，|a +2b |=2，且(b−2a )⊥b ，则|b |=( )A. 12B. 22 C. 32 D. 18.已知函数y =2sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则( )A. ω=2，φ=5π6 B. ω=12，φ=5π6C. ω=2，φ=π6 D. ω=12，φ=π69.设a ∈R ，函数f (x )={cos (2πx−2πa)x <a x 2−2(a +1)x +a 2+5x ≥a ，若函数f (x )在区间(0,+∞)内恰有6个零点，则a 的取值范围是( )A. (2,94]∪(52,114] B. (74,2]∪(52,114]C. (2,94]∪[114,3) D.(74,2)∪[114,3)二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
河西区高三期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = 2^xC. f(x) = log2xD. f(x) = x^3 - 3x2. 若等差数列{an}的公差为d，且a1 = 3，a3 = 7，则d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知复数z = 1 + bi（b∈R），且|z| = √2，则b的值为（）A. 1B. -1C. √2D. -√24. 在三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 120°C. 135°D. 150°5. 下列各式中，等式成立的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - b^2C. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^26. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f'(x)的值为（）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. 3x - 3D. 3x + 37. 下列不等式中，恒成立的是（）A. x^2 + 1 > 0B. x^2 - 1 > 0C. x^2 + 1 < 0D. x^2 - 1 < 08. 在平面直角坐标系中，点P(2, -3)关于原点的对称点为（）A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (-2, -3)D. (2, -3)9. 下列各式中，属于一次函数的是（）A. y = x^2 + 2B. y = 2x - 3C. y = 3/xD. y = √x10. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的顶点坐标为（）A. (2, 0)B. (0, 2)C. (4, 0)D. (0, -4)二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 若等比数列{an}的公比为q，且a1 = 2，a3 = 8，则q的值为______。
天津市河西区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含解析)
天津市河西区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知全集，集合，，则( )A. B. C. D.2．对变量x ,y 有观测数据，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据,得散点图2.由这两个散点图可以判断( )A.变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B.变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D.变量x 与y 负相关，u 与v 负相关3．设，则“且”是“”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件4．的展开式中，系数最大的项是( )项B.第n 项C.第项D.第n 项与第项5．已知随机变量X 服从正态分布，且，则( )A.0.6B.0.3C.0.2D.0.16．设X 为随机变量，，若随机变量X 的数学期望，则等于( ){}1,2,3,4U ={}1,2A ={},32B =()U A B ð{}1,3,4{}3,4{}3{}4(),i i x y ()1,2,,10= i (),i i u v ()1,2,,10i = ,x y ∈R 2x ≥2y ≥224x y +≥()2*1()n x n +∈N 1+1n +1n +()22,N σ()40.8P X <=()02P X <<=1,3X B n ⎛⎫⎪⎝⎭()2E X =()2P X =7．某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A 表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则( )8．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A.-40 B.-20 C.20 D.409．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243 B.252 C.261 D.279二、填空题10．的展开式中的系数为________.11．命题,的否定是________.12．已知，则________.13．含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则________.14．三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有种________.15．某公司有甲、乙两家餐厅，小李第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第，则小李第二天去乙家餐厅的概率为________.三、解答题16．（1）证明：组合数性质；（2）计算：（用数字作答）.17．已知集合，若()|P A B =512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭822x y :p x ∀∈R 210x +>7270127(12)x a a x a x a x -=++++ 1357a a a a +++=,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}20,,a a b +20242024a b +=()1*1C C C ,m m n n n m n π-+=+∈N 2222234100C C C C ++++ {}23100A x x x =--≤（1），，求实数m 的范围；（2），，求实数m 的范围；（3），，求实数m 的范围.18．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(x 吨)与相应的生产能耗y (吨)标准煤的几组对照数据：（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？(参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式(参考数值：)19．某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有9人认为作业多，3人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有4人认为作业多，6人认为作业不多.（1）根据以上数据填写列联表；关系？参考公式：B A ⊆{}121B x m x m =+≤≤-A B ⊆{}621B x m x m =-≤≤-B A ={}621B x m x m =-≤≤-ˆybx a =+ˆb=ˆy =-3 2.543546 4.566.53242526286⨯+⨯+⨯+⨯=+++=22⨯2K =参考数据：，，，.20．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X 的分布列；(Ⅱ)求X 的数学期望E(X).2( 2.072)0.15P K ≥=2( 2.706)0.10P K ≥=2( 3.841)0.05P K ≥=()2 5.0240.025P K ≥=参考答案1．答案：D解析：易知，则，故选：D.2．答案：C解析：变量x 与中y 随x 增大而减小，为负相关；u 与v 中，u 随v 的增大而增大，为正相关.3．答案：A解析：试题分析：若且，则，，所以，即；若，则如满足条件，但不满足且.所以“且”是“”的充分而不必要条件.故选A.4．答案：C解析：在的展开式中，第项的系数与第项的二项式系数相同，再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有项，可得第项的系数最大，故选C.5．答案：B解析：由题意，随机变量X 服从正态分布，则正态分布曲线关于对称，又由，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以，故选B.6．答案：A解析：因为，得，即.所以故选A 7．答案：A解析：由题意可知{}1,2,3A B = {}()4U A B = ð2x ≥2y ≥24x ≥24y ≥228x y +≥224x y +≥224x y +≥()2,2--2x ≥2y ≥2x ≥2y ≥224x y +≥()()2*1x n n +∈N 1r +1r +21n +1n +22,N σ（）2x =(4)0.8P X <=(0)(4)1(4)0.2P X P X P X ≤=≥=-<=1(02)(0)0.50.20.32P X P X <<=-≤=-=()123E X n ==6n =16,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2426112C 133P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2265211C C C P B +==()26211C C AB ==所以故选：A.8．答案：D解析：令得.故原式=.的通项，由得,对应的常数项，由得,对应的常数项，故所求的常数项为40，故选D 9．答案：B解析：由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有，组成无重复数字的三位数共有，因此组成有重复数字的三位数共有.10．答案：70解析：设的展开式中含的项为第项，则由通项知.令，解得，的展开式中的系数为.11．答案：,或,解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，要注意否定结论，所以命题,的否定是：,故答案为：,12．答案：-1094解析：令，则，，()()()|P AB P A B P B ==1x =1a =5112x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭521552155C (2)()C (1)2r r r r rr r r T x x x ----+=-=-521r -=2r =80=521r -=-3r =80=-91010900⨯⨯=998648⨯⨯=900648252-=822x y 1r +()811882222188C 1C rrr rr r r r r r T xy x y x y -----+--++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭822r r -+-=4r =∴822x y ()4481C 70-=0x ∃∈R 2010x +≤x ∃∈R 210x +≤:p x ∀∈R 210x +>0x ∃∈R 2010x +≤0x ∃∈R 2010x +≤()7270127()12f x x a a x a x a x =-++++= 0127(1)1a a a a f ++++==- 701273(1)32187a a a a f a -++--==-=所以.故答案为：-109413．答案：1解析：因为有3个实数的集合可表示为，又可表示为，所以，即，则，即或，当时，集合为，与集合元素的互异性矛盾，故，，.故答案为：1.14．答案：60解析：若每个村去一个人，则有种分配方法；若有一个村去两人，另一个村去一人，则有种分配方法，所以共有60种不同的分配方法.解析：设“第1天去甲餐厅用餐“，“第1天去乙餐厅用餐”，“第2天去甲餐厅用餐”，“第2天去乙餐厅用餐”，根据题意得，则则由全概率公式得：，即1357(1)(1)10942f f a a a a --==-+++,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}2,0,a a b +a ≠0=0b =21a =1a =1a =-1a ={1,0,1}{1,1,0}1a =-0b =202420241a b +=34A 24=1234C A 36⨯=1A =1B =2A =2B =1122()()()()P A P B P A P B ====()21|A A =()21|P A B =21(|)P B A =()()()21211|P A B A B P B ==()214152P A B =⨯=()()()2112225|12P A B P B A P A ===()22|B A =21222121222()()()()(|)()(|)P B P A B P A B P A P B A P A P B A =+=+212113()252510P B =⨯+⨯=16．答案：（1）证明见解析；（2）166650解析：（1）证明：；（2）＝.17．答案：（1）；（2）（3）不存在满足题意的实数m解析：（1）；当时，满足，则，解得：；当时，由得：，解得：；综上所述：实数m 的取值范围为.（2）由得：，解得：，即实数m 的取值范围为.（3），，方程组无解，不存在满足题意的实数m .18．答案：（1）见解析；（2）；()()1!!!!(1)!C 1!C m m n n n n m n m m n m -+---++=()()()()()!1!1!!1!!1!!1!n n m n n m m n mm n m m n m m n m -+-++=+=-+-+-+()()11!!(1)C !(1)!!1!m n n n n m n m m n m +++===-+-+3223102222223223410044041300C C C C C C C C C C C =+++=+++++++ 22323310010010515100C C 10110099C C C 16665032C ⨯⨯==+++==+=⨯ (],3-∞[]3,4{}()(){}{}2310052025A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤B =∅B A ⊆121m m +>-2m <B ≠∅B A ⊆12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩23m ≤≤(],3-∞A B ⊆62126521m m m m -≤-⎧⎪-≥-⎨⎪≤-⎩34m ≤≤[]3,4A B = 62215m m -=-⎧∴⎨-=⎩∴ˆ0.70.35yx =+（3）19.65吨解析：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图如下；（2）由对照数据，计算得，，，，回归方程的系数为，，所求线性回归方程为；（3）由（2）的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为（吨，吨，预测比技改前降低了19.65吨标准煤.19．答案：（1）答案见解析；（2）有关系解析：（1）根据题中所给数据，得到如下列联表：1(3456) 4.54x =⨯+++=1(2.534 4.5) 3.54y =⨯+++=4222221345686ii x==+++=∑413 2.543546 4.566.5iii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑∴266.54 4.5 3.5ˆ0.7864 4.5b -⨯⨯==-⨯ 3.50.7 4.5ˆ0.35a =-⨯=∴ˆ0.70.35yx =+0.71000.3570.35⨯+=)9070.3519.65∴-=22⨯由（1）中的的列联表，可得，所以有充分的理由认为假设不成立，即认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关，这种判断出错误的概率不超过0.10.20．答案：(Ⅰ)见解析；解析：(Ⅰ)X 的可能取值有：3，4，5，6.故，所求X 的分布列为22⨯()220.10226943 2.7641 2.7061210139K K ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯3539C (3)C P X ===215439C C (4)C X ===125439C C (5)C P X ===3439C (6)C P X ===()51051345642211421E X ⨯+⨯+⨯+⨯==。
1997—2019天津市中考数学试卷含详细解答(历年真题)
2019年天津市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．（3分）计算(3)9-⨯的结果等于()A．27-B．6-C．27D．62．（3分）2sin60︒的值等于()A B．2C．1D3．（3分）据2019年3月21日《天津日报》报道，“伟大的变革--庆祝改革开放40周年大型展览”3月20日圆满闭幕，自开幕以来，现场观众累计约为4230000人次．将4230000用科学记数法表示应为()A．70.42310⨯B．64.2310⨯C．542.310⨯D．442310⨯4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是()A．B．C．D．5．（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是()A．B．C．D．6．（3()A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间7．（3分）计算2211aa a+++的结果是()A．2B．22a+C．1D．41 a a+8．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2,0)，(0,1)，点C，D 在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于()AB．C．D ．209．（3分）方程组3276211x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是( )A ．15x y =-⎧⎨=⎩B ．12x y =⎧⎨=⎩C ．31x y =⎧⎨=-⎩D ．212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩10．（3分）若点1(3,)A y -，2(2,)B y -，3(1,)C y 都在反比例函数12y x=-的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )A ．213y y y <<B ．312y y y <<C ．123y y y <<D ．321y y y <<11．（3分）如图，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到DEC ∆，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列结论一定正确的是( )A ．AC AD =B ．AB EB ⊥C ．BC DE =D ．A EBC ∠=∠12．（3分）二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y >．有下列结论：①0abc >；②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③2003m n <+<． 其中，正确结论的个数是( )A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共6小题,每小题3分,共18）13．（3分）计算5x x的结果等于．14．（3分）计算1)的结果等于．15．（3分）不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是．16．（3分）对于直线21y x=-与x轴的交点坐标是．17．（3分）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若5DE=，则GE的长为．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC∆的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，50ABC∠=︒，30BAC∠=︒，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．（Ⅰ）线段AB的长等于；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足PAC PBC PCB∠=∠=∠，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题,共66分,解答度写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解不等式组11 211 xx+-⎧⎨-⎩请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．（8分）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：)h，随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为，图①中m的值为；（Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数．21．（10分）已知PA，PB分别与O相切于点A，B，80∠=︒，C为O上一点．APB（Ⅰ）如图①，求ACB∠的大小；（Ⅱ）如图②，AE为O的直径，AE与BC相交于点D．若AB AD=，求EAC∠的大小．22．（10分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31︒，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45︒，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin310.52︒≈．︒≈，tan310.60︒≈，cos310.8623．（10分）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg ．在乙批发店，一次购买数量不超过50kg 时，价格为7元/kg ；一次购买数量超过50kg 时，其中有50kg 的价格仍为7元/kg ，超过50kg 部分的价格为5元/kg ．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为(0)xkg x >． （Ⅰ）根据题意填表：（Ⅱ）设在甲批发店花费1y 元，在乙批发店花费2y 元，分别求1y ，2y 关于x 的函数解析式； （Ⅲ）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg ；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg ，则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买数量多．24．（10分）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y 轴的正半轴上，30ABO ∠=︒．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，2OD =．（Ⅰ）如图①，求点E 的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE 沿x 轴向右平移，得到矩形C O D E ''''，点C ，O ，D ，E 的对应点分别为C '，O '，D '，E '．设OO t '=，矩形C O D E ''''与ABO ∆重叠部分的面积为S ． ①如图②，当矩形C O D E ''''与ABO ∆重叠部分为五边形时，C E ''，E D ''分别与AB 相交于点M ，F ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围；②353S 时，求t 的取值范围（直接写出结果即可）．25．（10分）已知抛物线2(y x bx c b =-+，c 为常数，0)b >经过点(1,0)A -，点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当2b =时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点(,)D D b y 在抛物线上，当AM AD =，5m =时，求b 的值；（Ⅲ）点1(2Q b +，)Q y 2QM +时，求b 的值．2019年天津市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．（3分）计算(3)9-⨯的结果等于()A．27-B．6-C．27D．6【解答】解：(3)927-⨯=-；故选：A．2．（3分）2sin60︒的值等于()A B．2C．1D【解答】解：2sin602︒==故选：A．3．（3分）据2019年3月21日《天津日报》报道，“伟大的变革--庆祝改革开放40周年大型展览”3月20日圆满闭幕，自开幕以来，现场观众累计约为4230000人次．将4230000用科学记数法表示应为()A．7⨯B．60.4231042310⨯⨯D．442.3104.2310⨯C．5【解答】解：6=⨯．4230000 4.2310故选：B．4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是()A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．5．（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：从正面看，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、1、2． 故选：B ．6．（3( ) A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间【解答】解：253336<<，∴，56∴<．故选：D ． 7．（3分）计算2211a a a +++的结果是( ) A ．2B ．22a +C ．1D ．41aa + 【解答】解：原式221a a +=+ 2(1)1a a +=+ 2=．故选：A ．8．（3分）如图，四边形ABCD 为菱形，A ，B 两点的坐标分别是(2,0)，(0,1)，点C ，D 在坐标轴上，则菱形ABCD 的周长等于( )AB ．C ．D ．20【解答】解：A ，B 两点的坐标分别是(2,0)，(0,1)，AB ∴=， 四边形ABCD 是菱形，∴菱形的周长为故选：C ．9．（3分）方程组3276211x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是( )A ．15x y =-⎧⎨=⎩B ．12x y =⎧⎨=⎩C ．31x y =⎧⎨=-⎩D ．212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩【解答】解：3276211x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①+②得，2x =，把2x =代入①得，627y +=，解得12y =， 故原方程组的解为：212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩．故选：D ．10．（3分）若点1(3,)A y -，2(2,)B y -，3(1,)C y 都在反比例函数12y x=-的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )A ．213y y y <<B ．312y y y <<C ．123y y y <<D ．321y y y <<【解答】解：当3x =-，11243y =-=-； 当2x =-，21262y =-=-； 当1x =，312121y =-=-， 所以312y y y <<． 故选：B ．11．（3分）如图，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到DEC ∆，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列结论一定正确的是( )A ．AC AD =B ．AB EB ⊥C ．BC DE =D ．A EBC ∠=∠【解答】解：将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到DEC ∆， AC CD ∴=，BC CE =，AB DE =，故A 错误，C 错误； ACD BCE ∴∠=∠，1802ACD A ADC ︒-∠∴∠=∠=，1802BCECBE ︒-∠∠=，A EBC ∴∠=∠，故D 正确； A ABC ∠+∠不一定等于90︒，ABC CBE ∴∠+∠不一定等于90︒，故B 错误故选：D ．12．（3分）二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y >．有下列结论：①0abc >；②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③2003m n <+<． 其中，正确结论的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：当0x =时，2c =-， 当1x =时，22a b +-=-， 0a b ∴+=，22y ax ax ∴=--， 0abc ∴>，①正确； 12x =是对称轴， 2x =-时y t =，则3x =时，y t =，2∴-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；②正确；2m a a =+-，422n a a =--， 22m n a ∴==-， 44m n a ∴+=-，当12x =-时，0y >，803a ∴<<， 203m n ∴+<， ③错误； 故选：C ．二、填空题（本大题共6小题,每小题3分,共18） 13．（3分）计算5x x 的结果等于 6x ． 【解答】解：56x x x =． 故答案为：6x14．（3分）计算1)的结果等于 2 ． 【解答】解：原式31=-2=．故答案为2．15．（3分）不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 37． 【解答】解：从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率37=． 故答案为37． 16．（3分）对于直线21y x =-与x 轴的交点坐标是 1(2，0) ．【解答】解：根据题意，知，当直线21y x =-与x 轴相交时，0y =， 210x ∴-=，解得，12x =； ∴直线21y x =+与x 轴的交点坐标是1(2，0)；故答案是：1(2，0)．17．（3分）如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，E 是边CD 上一点，连接AE 、折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若5DE =，则GE 的长为4913．【解答】解：四边形ABCD 为正方形，12AB AD ∴==，90BAD D ∠=∠=︒，由折叠及轴对称的性质可知，ABF GBF ∆≅∆，BF 垂直平分AG ，BF AE ∴⊥，AH GH =，90FAH AFH ∴∠+∠=︒，又90FAH BAH ∠+∠=︒，AFH BAH ∴∠=∠，()ABF DAE AAS ∴∆≅∆， 5AF DE ∴==，在Rt ADF ∆中，13BF =， 1122ABF S AB AF BF AH ∆==， 12513AH ∴⨯=，6013AH ∴=， 120213AG AH ∴==，13AE BF ==，12049131313GE AE AG ∴=-=-=， 故答案为：4913．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC ∆的顶点A 在格点上，B 是小正方形边的中点，50ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，经过点A ，B 的圆的圆心在边AC 上．（Ⅰ）线段AB 的长等于； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P ，使其满足PAC PBC PCB ∠=∠=∠，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明） ．【解答】解：（Ⅰ）AB ，（Ⅱ）如图，取圆与网格的交点E ，F ，连接EF 与AC 交于一点，则这一点是圆心O ，AB 与网格线相交于D ，连接DO 并延长交O 于点Q ，连接QC 并延长，与B ，O 的连线相交于点P ，连接AP ，则点P 满足PAC PBC PCB ∠=∠=∠，故答案为：取圆与网格的交点E ，F ，连接EF 与AC 交于一点，则这一点是圆心O ，AB 与网格线相交于D ，连接DO 并延长交O 于点Q ，连接QC 并延长，与B ，O 的连线相交于点P ，连接AP ，则点P 满足PAC PBC PCB ∠=∠=∠．三、解答题（本大题共7小题,共66分,解答度写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（8分）解不等式组11211x x +-⎧⎨-⎩请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 2x - ； （Ⅱ）解不等式②，得 ；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）原不等式组的解集为 ．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得2x -； （Ⅱ）解不等式②，得1x ；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为21x -． 故答案为：2x -，1x ，21x -．20．（8分）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：)h ，随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为40，图①中m的值为；（Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数．【解答】解：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为：410%40÷=，10%100%25%40m=⨯=，故答案为：40，25；（Ⅱ）平均数是：0.94 1.28 1.515 1.810 2.131.540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，众数是1.5，中位数是1.5；（Ⅲ）40480072040-⨯=（人)，答：该校每天在校体育活动时间大于1h的学生有720人．21．（10分）已知PA，PB分别与O相切于点A，B，80APB∠=︒，C为O上一点．（Ⅰ）如图①，求ACB∠的大小；（Ⅱ）如图②，AE为O的直径，AE与BC相交于点D．若AB AD=，求EAC∠的大小．【解答】解：（Ⅰ）连接OA、OB，PA，PB是O的切线，90OAP OBP∴∠=∠=︒，360909080100AOB ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，由圆周角定理得，1502ACB AOB ∠=∠=︒；（Ⅱ）连接CE ，AE 为O 的直径，90ACE ∴∠=︒， 50ACB ∠=︒，905040BCE ∴∠=︒-︒=︒， 40BAE BCE ∴=∠=︒，AB AD =，70ABD ADB ∴∠=∠=︒， 20EAC ADB ACB ∴∠=∠-∠=︒．22．（10分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点C 的仰角为31︒，再向东继续航行30m 到达B 处，测得该灯塔的最高点C 的仰角为45︒，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD （结果取整数）． 参考数据：sin310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan310.60︒≈．【解答】解：在Rt CAD ∆中，tan CDCAD AD∠=， 则5tan313CD AD CD =≈︒，在Rt CBD ∆中，45CBD ∠=︒， BD CD ∴=，AD AB BD =+，∴5303CD CD =+， 解得，45CD =，答：这座灯塔的高度CD 约为45m ．23．（10分）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg ．在乙批发店，一次购买数量不超过50kg 时，价格为7元/kg ；一次购买数量超过50kg 时，其中有50kg 的价格仍为7元/kg ，超过50kg 部分的价格为5元/kg ．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为(0)xkg x >． （Ⅰ）根据题意填表：（Ⅱ）设在甲批发店花费1y 元，在乙批发店花费2y 元，分别求1y ，2y 关于x 的函数解析式； （Ⅲ）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg ；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg ，则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买数量多．【解答】解：（Ⅰ）甲批发店：630180⨯=元，6150900⨯=元；乙批发店：730210⨯⨯=元，7505(15050)850⨯+-=元．故依次填写：180 900 210 850． （Ⅱ）16y x = (0)x >当050x <时，27y x = (050)x <当50x >时，27505(50)5100y x x =⨯+-=+ (50)x >因此1y ，2y 与x 的函数解析式为：16y x = (0)x >；27y x = 2(050)5100x y x <=+ (50)x >（Ⅲ）①当12y y =时，有：67x x =，解得0x =，不和题意舍去； 当12y y =时，也有：65100x x =+，解得100x =， 故他在同一个批发店一次购买苹果的数量为100千克． ②当120x =时，16120720y =⨯=元，25120100700y =⨯+=元， 720700>∴乙批发店花费少．故乙批发店花费少．③当360y =时，即：6360x =和5100360x +=；解得60x =和52x =， 6052>∴甲批发店购买数量多．故甲批发店购买的数量多．24．（10分）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y 轴的正半轴上，30ABO ∠=︒．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，2OD =．（Ⅰ）如图①，求点E 的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE 沿x 轴向右平移，得到矩形C O D E ''''，点C ，O ，D ，E 的对应点分别为C '，O '，D '，E '．设OO t '=，矩形C O D E ''''与ABO ∆重叠部分的面积为S ． ①如图②，当矩形C O D E ''''与ABO ∆重叠部分为五边形时，C E ''，E D ''分别与AB 相交于点M ，F ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围；②353S 时，求t 的取值范围（直接写出结果即可）．【解答】解：（Ⅰ）点(6,0)A ， 6OA ∴=， 2OD =，624AD OA OD ∴=-=-=，四边形CODE 是矩形， //DE OC ∴，30AED ABO ∴∠=∠=︒，在Rt AED ∆中，28AE AD ==，ED == 2OD =，∴点E 的坐标为(2，；（Ⅱ）①由平移的性质得：2O D ''=，E D ''=ME OO t '='=，////D E O C OB ''''， 30E FM ABO ∴∠'=∠=︒，∴在Rt MFE ∆'中，22MF ME t ='=，FE '，1122MFE S ME FE t ∆'∴=''=⨯=，2C O D E S O D E D ''''=''⋅''=⨯矩形，MFE C O D E S S S ∆'''''∴=-=矩形2S ∴=+，其中t 的取值范围是：02t <<；②当S ③所示： 6O A OA OO t ''=-=-，90AO F '∠=︒，30AFO ABO '∠=∠=︒，)O F A t ''∴==-1(6))2S t t ∴=--=解得：6t =6t =，6t ∴=S =④所示：6O A t '=-，624D A t t '=--=-，)O G t '∴=-，)D F t '=-，1))]22S t t ∴=--⨯=，解得：52t =， ∴353S 时，t 的取值范围为5622t -．25．（10分）已知抛物线2(y x bx c b =-+，c 为常数，0)b >经过点(1,0)A -，点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当2b =时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点(,)D D b y 在抛物线上，当AM AD =，5m =时，求b 的值；（Ⅲ）点1(2Q b +，)Q y 2QM +时，求b 的值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线2y x bx c =-+经过点(1,0)A -， 10b c ∴++=，即1c b =--，当2b =时，2223(1)4y x x x =--=--，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)-；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为21y x bx b =---， 点(,)D D b y 在抛物线21y x bx b =---上，211D y b b b b b ∴=---=--， 由0b >，得02bb >>，10b --<， ∴点(,1)D b b --在第四象限，且在抛物线对称轴2bx =的右侧， 如图1，过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ，则点(,0)E b ， 1AE b ∴=+，1DE b =+，得AE DE =，∴在Rt ADE ∆中，45ADE DAE ∠=∠=︒，AD ∴=，由已知AM AD =，5m =，5(1)1)b ∴--=+，1b ∴=；（Ⅲ）点1(2Q b +，)Q y 在抛物线21y x bx b =---上， 2113()()12224Q b y b b b b ∴=+-+--=--，可知点1(2Q b +，3)24b --在第四象限，且在直线x b =的右侧，22()2QM AM QM +=+， ∴可取点(0,1)N ，如图2，过点Q 作直线AN 的垂线，垂足为G ，QG 与x 轴相交于点M ，由45GAM ∠=︒，得2AM GM =， 则此时点M 满足题意，过点Q 作QH x ⊥轴于点H ，则点1(2H b +，0)， 在Rt MQH ∆中，可知45QMH MQH ∠=∠=︒，QH MH ∴=，QM =，点(,0)M m ，310()()242b b m ∴---=+-，解得，124b m =-，24QM +=，∴1112[()(1)])()]24224b b b ---++--=4b ∴=．2018年天津市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。