数学建模-安全跳伞的研究
关于跳伞极限速度的求解
摘要： 很多人喜欢跳伞运动， 而对于跳伞运动员降落的速度肯定有一定 的限制范围，才能保证人的安全。因此本文主要讨论了跳伞运动 员打开伞时的速度，以及打开伞后的极限速度，以及降落到地面 时的速度能否在运动员的接受范围内。
关键词：跳伞，空气阻力，重力，极限速度。
一、 问题重述 跳伞运动员由静止状态向地面降落，人和伞共重 161 磅（一 磅=0.45359237） ，在降落伞打开以前，空气阻力等于 V/2，在开 始降落 5s 后降落伞张开，这时空气阻力是v 2 /2，试求运动员张 开伞后的速度 V（t）,并讨论极限速度。
由上式易知当limt →∞ V t = lim 37.83 所以运动员的极限速度为37.83m/s。
=37.83（m/s）。
五、模型的检验与对跳伞运动的建议 在v(t)中，当t=0时，v=48.17m/s，符合刚打开伞时的速度。而极 限速度等于37.83m/s，这对人落地时还是有比较大的伤害的。要 对跳伞运动提出建议，由建立的模型可知，应当增加空气阻力的 大小，比如说增大伞的面积，运动员的体重较轻等，都可以减小 极限速度，而使运动员的健康得到更大的保护。
利用积分公式:
ax +c
2
dx=
In
(a< 0, c> 0 )
2 −ac
并将v0 =48.17；m=73 g=9.8代入可得： V(t)=37.83
e 2.12+0.518 t +1 e 2.12+0.518 t −1
(m/s)
e 2.12+0.518 t +1 e 2.12+0.518 t −1 t →∞
dt dv
分离变量得：
dv
论文题目
79 1 信息与计算科学 1 网上拍卖系统设计----商品发布与展示模块 设计 其他 自 拟 常杰 讲师 刘金轩
80 2 信息与计算科学 1 网上拍卖系统设计----商品拍卖算法设计模块 设计 其他 自 拟 常杰 讲师 王春鹏
41 4 信息与计算科学 1 ? 信计专业本科生数学质量评价的模糊数学模型 论文 科研 自拟 海射香 助教 张建宁
42 5 信息与计算科学 1 ? 模糊控制系统的辨识与应用 论文 科研 自拟 海射香 助教 晏敏
43 6 信息与计算科学 1 ? 数据挖掘的常用方法介绍 论文 科研 自拟 海射香 助教 蓝斌
91 1 信息与计算科学 1 保险公司客户管理系统 设计 科研 自拟 黄灿云 副教授 董丽娜
92 2 信息与计算科学 1 保险公司业务员管理系统 设计 科研 自拟 黄灿云 副教授 罗声远
93 3 信息与计算科学 1 网上超市商品管理系统 设计 科研 自拟 黄灿云 副教授 肖生青
94 4 信息与计算科学 1 网上超市销售系统 设计 科研 自拟 黄灿云 副教授 李文涛
47 2 信息与计算科学 2 微分方程边值问题数值解 论文 科研 自拟 孙建平 副教授 车支强 钱发杰
48 3 信息与计算科学 2 微分方程边值问题解的积分表示 论文 科研 自拟 孙建平 副教授 钱发杰
49 1 信息与计算科学 1 非线性代数方程的解法 论文 科研 自拟 马成业 讲师 田旭
50 2 信息与计算科学 1 线性方程组的迭代解法的探讨 论文 科研 自拟 马成业 讲师 陈琳娜
1 1 信息与计算科学 1 DOL系统图形生成器设计 Win32SDK 软件工程 自选 刘树群 副教授 魏国宁
数学建模-降落伞的选择
降落伞的选择摘要本文讨论并确定了降落伞的最佳选购方案，使费用最低。
通过对问题的分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，通过以救灾物资2000kg，5种不同半径的降落伞的最大载重量为限制条件，建立优化模型。
通过优化模型最终解出最佳方案，以及最小费用。
继而我们继续讨论了在投放降落伞与救灾物资时，风速、偏角对降落伞下降时绳索拉直的影响。
在绳索拉直的情况下，我们才能确保救灾物资能在已有的约束条件下到达目的地。
所以最后我们通过数据的拟合，找出了最适合投放降落伞的风速及偏角范围，以此来增加救灾物资到达灾区的可靠性。
首先，我们要确定阻力系数。
通过对表二的数据分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，运用matlab插点作图进行数据拟合，得到半径为3m，载重为500kg 的降落伞从500m高度下落的运动曲线，发现物体在运动后期做了直线运动，通过对图形的分析得出了阻力系数2.959,.落地速度为17.5794m/s.其次，我们要确定不同半径的降落伞的最大载重。
通过对表一的数据分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，通过以空投高度为500m，以降落伞落地的速度不能超过20m/s为约束条件，代入阻力系数及相关数据求的每种半径下的降落伞最大载重。
运用优化模型的解题方法，我们得出最低费用为4932元，降落伞的最佳选购方案为半径为3m的降落伞数量为6个，其他半径的降落伞不予选购。
最后，我们根据查找数据，得到风速、偏角与降落伞下降时绳索拉直的关系，得到相关图片，然后进行拟合得到，从而在已选条件下，选择降落伞最好的投放地点（该地点要符合风速、偏角对绳索拉直的最佳状态）。
关键字：降落伞的选择、拉直问题、微分方程、matlab、数据拟合问题重述为了向灾区空投救灾物资，需要选择不同类型的降落伞。
降落伞根据半径不同分为半径为2米、2.5米、3米、3.5米、4米五种型号，降落伞的造价由伞面费用，绳索费用和固定费用三部分组成。
每个降落伞均是半径为的球形，并且用长为l的16跟绳索连接重物，重物位于球心正下方的球面处，降落伞在下降过程中除了受到重力的影响外，还受到空气的阻力。
数学建模A题：降落伞在下降过程中安全性问题
A题：降落伞在下降过程中安全性问题
降落伞是利用空气阻力，依靠相对于空气运动充气展开的可展式气动力减速器，使人或物从空中安全降落到地面的一种航
空工具。
主要由柔性织物制成。
是空降兵作战和
训练、航空航天人员的救生和训练、跳伞运动员
进行训练、比赛和表演，空投物资、回收飞行器
的设备器材（如右图所示）。
降落伞的主要组成
部分有伞衣、引导伞、伞绳、背带系统、开伞
部件和伞包等。
随着我国航空、航天事业的飞
跃发展，降落伞的性能好坏直接关系到飞行员、宇航员和飞行设备的安全性，所以对于降落伞性能的研究就显得越来越重要。
就降落伞性能研究，完成以下问题：
1、参照所给图像，人体和伞衣之间由四根弹性绳连接，从一定高度处降落。
忽略降落伞的重力，考虑人体的重力、伞的空气阻力(与受力面积成正比)，弹性绳的拉力。
各参数自拟，通过受力分析，进行合理假设，建立人体竖直方向的运动模型，并得到相应的运动方程。
2、通过该模型，讨论在不同参数下，对系统的运动情况进行分析。
3、考虑到人员的安全性，分析该系统在何种条件下可以让人员安全降落。
4、对于你所提出的安全条件进行可行性分析和评价。
降落伞选择的数学模型
降落伞选择的数学模型
降落伞选择的数学模型是一个用于确定合适的降落伞尺寸的数学模型。
此模型基于物体的重量、体积、下降速度等因素来计算需要的降落伞尺寸。
数学模型公式
根据相关研究和实验数据，我们可以使用下面的公式来计算降落伞的尺寸：
降落伞尺寸= (0.5 * 物体重量* 下降速度) / (空气密度* 降落伞开伞面积)
公式中的各个参数含义如下：
•物体重量：降落伞需要支撑的物体总重量，单位为千克。
•下降速度：物体从空中下降的速度，单位为米/秒。
•空气密度：当前环境中的空气密度，单位为千克/立方米。
•降落伞开伞面积：降落伞完全展开后的表面积，单位为平方米。
实际应用
降落伞选择的数学模型在航空、运动、救援等领域具有重要应用价值。
通过合理选择降落伞尺寸，可以确保物体在下降过程中获得自由落体状态下的最小加速度，同时确保降落过程的稳定和安全。
(新)大学生建模报告汇总-数学建模报告——降落伞的选择_
数学建模报告——降落伞的选择指导老师：窦老师彭老师报告人：刘原20031090118朱业帅20031090122马占奎20031090123一、问题重述降落伞的选择为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500米，要求降落伞落地时的速度不能超过20米/秒，降落伞面为半径r的半球面，用每根长1共16根绳索连接的载重m仅位于球心正下方球面处，如图：每个降落伞的价格由三部分组成，伞面费用c1由伞的半径r决定，见表1；绳索费用c2由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用c3为200元。
降落伞在降落过程中受到的空气阻力可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比。
为了确定阻力系数，用半径r=3m，载重m=300kg的降落伞以500m高度作试验，测得各时刻t的高度x，见表2。
试确定降落伞降落的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表 1 中选择）在满足空投的要求下，使总的费用最低。
二、模型的假设1、设每个降落伞的绳长、伞面积均相等；2、降落伞投放立即打开，承受能力符合要求；3、降落伞的降落排除质量等不利因素的影响；4、降落伞和降落合乎所需的要求，且落地的速度不超过20 m/s。
三、符号说明c1: 伞面费用;c2: 绳索费用;c3: 固定费用(200元)；C : 总费用；t：时刻（用S表示）；S: 伞面面积；r: 伞的半径；K: 阻力系数。
四、问题和分析问题要求使总费用C最小，由于受c1、c2 、c3的影响，c3固定，c2,c1均受伞的半径r的影响，同时降落伞要受下降阻力的影响，我们考虑以下3个问题：（一）确定c1、c2 [通过数据拟合确定c1]（二）确定阻力系数K[通过t及h ,运用数据拟合确定K]（三）确定n 和总费用C[运用动能守恒定律、建立非线性规划方程]解决此3个问题即解决了此题目。
五、模型的建立与求解我们在考虑（一）问题时，只要通过图表一的数据来拟合c1 的方程：c1=4.3055r^3.9776；c2 的方程：c2=4*16*2^0.5*r；对于（二）确定一组关于速度和加速度的数据进行求解k值。
数学建模-安全跳伞的研究
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2010年6月28日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：安全跳伞的研究摘要本文从建立跳伞安全的数学模型开始，从跳伞运动员在下落过程中各个时刻的速度和达到第一收尾速度的时刻出发，分别通过对这两个方面的深入研究从而制定出跳伞运动员打开降落伞的最佳时机，最后再综合考虑这两个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优解。
模块Ⅰ中，我们将焦点锁定运动的独立性上。
我们通过建立数学模型，并利用MATLAB 软件编程求得的v —t 图中可比较直观地了解到速度的变化特点。
我们可以发现发现跳伞运动员在空气中下落时，由于受到的摩擦力正比于速度v 的一次方或二次方，故当经过一段时间后，竖直方向所受的力会达到平衡，之后跳伞运动员的速度将通过一个极小值min v ，随后开始增加，逐渐趋于速度t v ，我们称之为第一收尾速度。
跳伞运动员必须等待这个速度极小值以减小开伞时的震动。
开伞后，经过一段时候后，竖直方向所受的力会达到第二次平衡，之后跳伞运动员的速度将通过另一个极小值，随后也会逐渐增加，直到趋于第二收尾速度。
降落伞安全问题-数模论文
本文主要研究降落伞在下降过程 中的安全性问题，关键在建立降落伞 下降过程的数学模型，通过给定不同 参数，对降落过程模型进行求解分析， 确定影响下降过程的安全因素后，在 安全因素限制下，确定安全下降的条 件，并对安全条件进行可行性分析和 评价。
条件假设
• 降落伞的质量忽略不计； • 假设空气密度均匀，不随高度变化； • 忽略降落伞打开过程的时间和速度的
第二阶段，伞打开，
考虑伞所受到的阻 力和人的重力，建 立了加速度逐渐减 小的减速运动模型， 求解得到含第一阶 段运动的末速度、 人的质量和伞面积 的运动方程
问题一-----运动过程的示意
问题一------运动微分方程模型
第一阶段
第二阶段
问题一---运动方程
阶段一
阶段二
问题一----运动图像
（3）落地速度过大
当系统在第二阶段末速度基本稳定时，由第一问中人的 运动分析，取安全速度为7米/秒知：
取安全速度为7米/秒：
问题三
（4）高空稀薄空气导致人缺氧 由第一阶段运动状态知：
问题四
由问题三所得限制条件，我们可以得到如 下符合安全条件的参数:
问题四----安全条件可行性分析
将我们在安全条件限制下得到的数值与实际情况和能 够承受的情况相比，一般的伞制作工艺和标准即可达 到我们的安全限制要求，而人在跳伞时可以配备手表， 用手表大致确定97秒的开伞时间，故我们的安全条件 可行性较强，易于实现，我们提出的安全条件合理。
模型的检验
• 通过模型的求解，我们得到了系统在整个阶段的运动情况： 先加速运动，然后打开伞做减速运动，直到速度接近稳定。 而现实情况中跳伞的情形是，人在跳下以后，加速运动， 速度迅速增大，然后打开伞，速度又迅速减小，最终以一 个较稳定的收尾速度着陆。而我们的模型在运动员快着陆 时，虽然是减速运动，但加速度很小，基本近似是匀速运 动的，这与现实情况是很吻合的，则证明本文第一问的模 型是合理的。
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承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2010年6月28日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：安全跳伞的研究摘要本文从建立跳伞安全的数学模型开始，从跳伞运动员在下落过程中各个时刻的速度和达到第一收尾速度的时刻出发，分别通过对这两个方面的深入研究从而制定出跳伞运动员打开降落伞的最佳时机，最后再综合考虑这两个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优解。
模块Ⅰ中，我们将焦点锁定运动的独立性上。
我们通过建立数学模型，并利用MATLAB 软件编程求得的v —t 图中可比较直观地了解到速度的变化特点。
我们可以发现发现跳伞运动员在空气中下落时，由于受到的摩擦力正比于速度v 的一次方或二次方，故当经过一段时间后，竖直方向所受的力会达到平衡，之后跳伞运动员的速度将通过一个极小值min v ，随后开始增加，逐渐趋于速度t v ，我们称之为第一收尾速度。
跳伞运动员必须等待这个速度极小值以减小开伞时的震动。
开伞后，经过一段时候后，竖直方向所受的力会达到第二次平衡，之后跳伞运动员的速度将通过另一个极小值，随后也会逐渐增加，直到趋于第二收尾速度。
跳伞时应该有足够的高度，以确保张伞后能有充分时间达到第二收尾速度。
最后，我们通过题中所给出的数据和利用公式()2223033021401e e km v kv t m e ---⎛-⋅ ⎝⎭-+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
求出w 和min v 。
但我们通过计算发现，当10125v m s -=⋅时，本方程无解，说明此模型不太合理，我们采用模块Ⅱ。
在模块Ⅱ中，我们从运动的迭加性出发，利用跳伞运动员受到与v 的平方成正比的阻力和运动的合成与分解建立相关数学模型，我们发现跳伞者在一个方向的运动状态必然影响到另一个方向的运动。
因此，这两个分运动彼此交叉关联，不能独立，即跳伞运动员离机后的动力学方程在x 、y 轴方向的投影不是模块Ⅰ中的（3）、（4）式，而是本模块的（3）、（4）式。
由此可见运动的合成和分解时普遍的。
无条件的，运动的独立性只有在特定条件下才成立。
所以，所谓“运动的独立性”不是运动本身的特征。
利用MATLAB 软件编程求得的a —v 图中可比较直观地了解到加速度的变化特点，我们发现加速度逐渐减小到零。
说明在此模块中，当其加速度将为零时，即为运动员开伞的最佳时刻，此外，我们从图中也可以看出：当初速度大于125m/s 时，就不会出现极小值。
我们发现当跳伞运动员速度降为44.72m.s -1时，就可以打开降落伞，以实现安全降落。
最后，我们从本论文研究方向考虑，为优化安全跳伞指出了一些参考性意见，如：适当增加飞机高度，把握好打开降落伞的时间等。
【关键词】第一收尾速度 运动的独立性 雷诺数一、问题提出安全跳伞事关跳伞运动员的生命安全，因此组织方、跳伞运动员及社会各方面的广泛关注。
安全跳伞的一个核心指标是确定打开伞的时间后，能安全地完成软着陆。
跳伞属于一项惊险、刺激、挑战自我的运动，优秀的跳伞运动员能在空中做各种惊险动作，从而给人以深刻的印象。
除此之外，自从苏联1930年建立世界上第一支正式伞兵部队以来，各国相继建立了自己的伞兵部队。
作为国防中的重要力量，我国对伞兵部队的训练和投入也在加大，伞兵的安全面临着新的挑战。
随着我国经济的发展，跳伞运动逐渐在民间兴起，跳伞的安全也面临着严重的矛盾。
跳伞安全涉及每一个跳伞运动员和伞兵的生命安全以及其引起的一系列社会问题。
由于跳伞在对很多国人还比较陌生，缺乏经验，民间并没有完全掌握其中的规律，且缺乏一些紧急处理方案。
因此，跳伞安全问题将来可能会逐渐出现在人们的视野中。
从跳伞安全的探索出发，通过建立数学模型，就跳伞者打开降落伞的时间的标准进行定量分析，并从中得出明确、有说服力的结论。
二、问题分析(一) 关于跳伞运动员离机后的运动的讨论跳伞运动员在下落过程中，究竟做什么运动，需要我们进行讨论。
人教版物理必修1的第1章“运动描述”第1节中，为了说明选择不同的参考系观察同一物体的运动结果会不同，绘制了一幅图片。
图片内同为一跳伞运动员跳伞的过程，飞机做匀速直线运动，运动员从飞机上跳下做平抛运动。
但是这幅图片是不妥的，因为实际生活中永远不可能看到这样的景象。
看过跳伞运动的人都应该注意到，人从飞机中跳出后，很快就落到了飞机的后面，而不是像图中画的那样。
以前这类图片是以炸弹为例面的，将炸弹换成人，就从正确走向了错误，因为炸弹都是流线型的，在空中运动阻力较小，炸弹的运动可看成平抛运动。
但由于人的身体构造复杂，加上背上的背包和自身密度较小，所以阻力对运动的影响很大。
这就导致了炸弹和人的运动规律完全不同[1]。
本论文为了说明问题的简便性，我们假设跳伞员动员在降落过程中做平抛运动。
(二) 跳伞运动员离机后的下降过程在高空中从飞机上跳伞后，下降的第一阶段是在阻尼介质中做平抛运动，持续一段时间后，跳伞者打开降落伞完成软着陆。
对于跳伞者来说至关重要的是打开降落伞的时机，显然不能打开太晚，否则着陆时速度过大，会造成伤害乃至致命。
另一方面，由于高空空气稀薄，下落速度迅猛，能大大增强跳伞的乐趣，有时可能由于跳伞者与飞机或其他跳伞者太近，以致无法打开降落伞。
我们需要考虑跳伞运动员的重量，准确估计空气阻力及打开伞后空气阻力的明显变化，着陆速度，讨论打开伞的最佳位置。
因受到与速度v 的平方成正比的阻力，其竖直方向所受的力会逐渐达到平衡，速度将随时间减小，再通过一个极小值后，逐渐达到稳定的收尾速度。
跳伞者须在该速度极小值到来之时张开降落，以减小伞的震动，我们称之为第一收尾速度[2]。
打开降落伞后，会逐渐达到另一个稳定的速度值，我们称为，第二收尾速度。
我们采用MATLAB 编程画出的图形得的v —t 和a —v 图中可比较直观地了解到速度和加速度的变化特点.(三) 雷诺数雷诺数就是表征流体流动特性的一个重要参数，雷诺数的大小取决于三个参数，即流体的速度、流束的定型尺寸以及工作状态下的粘度。
实验表明，外部条件几何相似时（几何相似的管子，流体流过几何相似的物体等），若它们的雷诺数相等，则流体流动状态也是几何相似的（流体动力学相似）。
这一相似规律正是流量测量节流装置标准化的基础。
可见，雷诺数确切地反映了流体的流动特性是流量测量中常用的参数。
在本次跳伞安全研究中，我们使用公式/N vD ρη=，来估算雷诺数的大小。
错误!未找到引用源。
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三、 模型假设1、假设本次模型结果不受跳伞运动员主观因素影响；2、假设跳伞运动员下降过程中不受其他外力作用；3、假设不考虑题中假设数据所带来的影响。
四、 定义与符号说明N ——雷诺数ρ——介质密度S ——物体垂直运动方向的横截面积η——在工作状态，流体的动力粘度k ——常数min v ——速度极小值 t v ——第一收尾速度 w ——开伞最佳时刻0v ——跳伞运动员离开飞机时的初速度a ——加速度五、 模型的建立与求解（一）基于运动的独立性的跳伞安全标准——模块Ⅰ 1. 动力学特征跳伞员的跳伞过程可视作在阻尼介质空气中的平抛运动，在此过程中，动力学方程为：()ma mg f v =+ 公式1- 1为了确定空气阻力()f v 与速度v 的关系，我们先估算雷诺数的大小由：/N vD ρη=取ρ=1.25kg.m -1 η=1.87ⅹ10-5Pa.s v =125m.s -1 D =2m 可得到：N ≈1.67ⅹ107根据这一结果，可将阻力近似地取为：()212f v c Sv ρ= 公式1- 2式中ρ为介质密度，S 为物体垂直运动方向的横截面积，c 为阻力系数，与物体的形状大小有关2. 张伞前的速度变化为简化计算，我们令12k c S ρ=，我们就可以将（2）式写为2()f v kv =。
我们选取脱离飞机开始跳伞处为坐标原点，竖直向上为y 轴正向，沿飞机飞行方向为x 轴正向。
将（1）式在x 、y 轴上投影得：21xx x mdv ma k v dt==- 22yy y mdv ma k v mg dt==-近似地取作12k k =，则2xx x mdv ma kv dt==- 公式1- 32/y y y ma mdv dt kv mg ==- 公式1- 4初始条件：t=0时，0x v v =,0y v =，将（3）、（4）两式分离变量后积分可得到x v 、y v 随t 的变化规律为：0x mv v m kv t=+ 公式1- 5y v = 公式1- 6由此可知222222x y o o v v v mv mg m kv t k -=+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭ 公式1- 7 以m =75kg ，c =1.20，ρ=1.25kg.m -3，S =0.5m 2，0v =125m.s -1，g=10N.kg -1作为一般值，将以上数据代入公式后，并化简得：2220.05220.0537520003 1.8751t t v t e --⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭用v 作为纵坐标，t 为横坐标，利用MATLAB 作图得到图5.1，如下所示（相关程序代码见附录1）：图表 五-1 速度v 随时间t 的变化曲线我们发现，当跳伞员降落后，其速度减小，经过一段时间后，在w 时刻达到极小值min v ，随后开始增加，逐渐趋于速度t v ，我们称之为第一收尾速度。
显然，根据曲线所反映的规律，我们可以看出w 便是开伞的最佳时期。
3. 关于最佳跳伞时刻t 由（7）式可得222y x x yt dv dv dvv v v dt dv dvt =+ 故：1y x x y t dv dv dv v v dx v dv dvt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当min v v =时，应有0dvdt=即 0y xxy dv dv v v dt dt+= 公式1- 8 将（5）、（6）式代入（8）式得()2223033021401e e km v kv t m e ---⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭-+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭公式1- 9w 便是方程（9）的解，利用利用MATLAB 编程求解（相关程序代码见附录2），并且准确地确定min v 及相应的w 值。