五年级数论数论综合一学生版

数论综合一知识要点一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；常见数的整除问题【例 1】 已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【例 2】 173□是个四位数字。

数学老师说：“我在这个□中先后填人3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。

”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？【例 3】 在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?【例 4】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数. ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？【例 5】 （2008年第一届“学而思杯”综合素质测评六年级2试）a ，b ，c ，d 各代表一个不同的非零数字，如果abcd 是13的倍数，bcda 是11的倍数，cdab 是9的倍数，dabc 是7的倍数，那么abcd是______。

【例 6】 （2008年第七届“小机灵杯”数学竞赛五年级决赛）多位数2009200920092009736n L 144424443个，能被11整除，n 最小值为______。

【例 7】（第七届《小数报》数学竞赛初赛）用六位数可以表示日期，例如，960310表示1996年3月10日。

在表示1996年3月份和4月份日期的61个六位数中，能被3整除的六位数共有_______个。

整除性质应用【例 8】各位数码是0、1或2，且能被225 整除的最小自然数是多少？【例 9】张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？【例 10】在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。

【例 11】从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3、5、7、13整除，这个数最大是多少？【例 12】修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。

问修改后的这个数是几？【例 13】有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表示成5个连续自然数的和．请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由.【例 14】用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除。

这个六位数是多少？【例 15】一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？【例 16】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？【例 17】从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．【例 18】 在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a 能使2008+a 能被2007-a 整除。

【例 19】 以多位数142857为例，说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除.【例 20】 已知两个三位数abc 与def 的和abc def +能被37整除，试说明：六位数abcdef 也能被37整除．【例 21】 两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B .【例 22】 为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是1、2就是3．在密码中1的数目比2多，2的数目比3多，而且密码能被3和16所整除．试问密码是多少？【例 23】 一个19位数997777044444⋅⋅⋅⋅⋅⋅1424314243个个能被13整除，求О内的数字．【例 24】 多位数2009200920092009736n L 144424443个，能被11整除，n 最小值为多少？【例 25】 三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a 和b ，将它连续重复写2008次成为：20095555abab ab ab L L 1442443个.如果此数能被91整除，那么这个三位数5ab 是多少？【例 26】 试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．)【例 27】 1至9这9个数字，按图所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在1和7之间剪开，得到两个数是193426857和758624391)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?987654321【例 28】 一个六位数abcdef ，如果满足4abcdef fabcde ⨯=，则称abcdef 为“迎春数”(如4102564410256⨯=，则102564就是“迎春数”).请你求出所有“迎春数”的总和.整除与其他知识综合性题目【例 29】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个.【例 30】用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?【例 31】在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有多少个？【例 32】有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除．1号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对，问：⑴说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果告诉你1号写的数是五位数，请找出这个数．【例 33】某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…，12．他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？【例 34】已知：23!2582067388849766000⨯=？=．则DCB AD C AB【例 35】有一个九位数abcdefghi的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数ab可被2整除，三位数abc可被3整除，四位数abcd可被4整除，……依此类推，九位数abcdefghi可被9整除．请问这个九位数abcdefghi是多少？一课一练【练习1】若1234a a a a a能被11整除，求满足条件的整数a。

【练习2】将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能小，那么所加的整数是______。

【练习3】从0、1、2、4、7五个数中选出三个组成三位数，其中能被3整除的有______个。

【练习4】一个五位数的各个数位上的数字正好是连续的五个非零自然数。

这个数能否被9整除。

【练习5】如果七位数2008□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么，它的最后三位数是______。

【练习6】有的自然数能被它自己的数字和整除，例如24，试再写出6个位数不同的数字没有0的自然数，每一个都能被自己的数字和整除：_____________。

【练习7】求被11整除且数字和等于43的五位数。

【练习8】六位数1991x y，能被52整除，那么_____y=。

x=，_____【练习9】（2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛四年级决赛）207，2007，20007，L首位是2，个位是7，中间数字全部是0的数字中，能被27整除而不能被81整除的最小数是______。

【练习10】把三位数3ab接连重复地写下去，共有2009个3ab，所得的这个多位数恰好是91的倍数。

求ab 等于多少？【练习11】有一个正整数它的数码为0或1，它可同时被45与4整除。

请问满足上述条件的最小正整数是多少？【练习12】一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得到的三位数恰是4的倍数，这样的四位数中最大一个的末位数字是几？【巩固】六位数2008W W能被99整除，W W是多少？【巩固】六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？【巩固】731□是一个四位数，在□中依次填入三个数字，使所组成的三个四位数，依次能被9、11、6整除，这三个数之和是_____。

【巩固】某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？【巩固】如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？【巩固】已知四十一位数55…5□99…9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？【巩固】(2008“数学解题能力展示”初赛)已知九位数2007122□□既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？【巩固】一位后勤人员买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字.帐本是这样的：72本笔记本，共□67.9□元(□为被烧掉的数字)，请把□处数字补上，并求笔记本的单价.【巩固】有一个五位数可同时被9和11整除。