专题10 数列与不等式的综合问题
第二章 数列与不等式
专题10 数列与不等式的综合问题
【压轴综述】
纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n 项和与第n 项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n 项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列与不等式的结合,一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.
①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；
②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到； ③比较方法：作差或者作商比较．
【压轴典例】
例1.（2013·全国高考真题（理））设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,… 若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2
n n
b a +，则( ) A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列
C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列
D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列
例2. （2018·江苏高考真题）已知集合*
{|21,}A x x n n N ==-∈，*
{|2,}n
B x x n N ==∈．将A
B 的
所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________．
例3. （2018·浙江高考模拟）设数列的前项和分别为，其中
，使
成立的最大正整数__________,
__________．
例4.（2019·江西师大附中高考模拟（文））数列{}n a 中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行1项，排
1a ；第二行2项，从左到右分别排2a ，3a ；第三行3项，……依此类推，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则
满足2019n S >的最小正整数n 的值为（ ）
A ．20
B ．21
C ．26
D ．27
例5.（2019·内蒙古高考模拟（理））数列()
1
1n a n n =+的前n 项和为n S ，若1S ，
m S ，n S 成等比数列()1m >，则正整数n 值为______.
例6.（2016·天津高考真题（理））已知{}是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的，是
和的等比中项.
（Ⅰ）设
求证：数列{}是等差数列；
（Ⅱ）设求证：
例7.（2016·四川高考真题（理））已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n 项和，，
其中q>0，.
（Ⅰ）若
成等差数列，求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线的离心率为，且，证明：.
例8.（2016·浙江高考真题（理））设数列满足，．
（Ⅰ）证明：，；
（Ⅱ）若
，
，证明：
，．
【压轴训练】
1.（2019·安徽高考模拟（理））设
是等差数列，下列结论一定正确的是（ ）
A ．若，则
B ．若，则
C ．若
，则
D ．若
，则
2．（2018·浙江高考模拟）已知等差数列的前项和是，公差不等于零，若
成等比数列，则
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（2019·山东高考模拟（文））已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a
，使得
1a =，则
91
m n
+的最小值为__________． 4．（2019·湖南师大附中高考模拟（理））已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若124a =-，489
a =-，则当T n 取最大值时，n 的值为_____.
5．（2019·安徽高考模拟（理））已知数列
的各项均为正数，记为的前项和，若
，
，则使不等式
成立的的最小值是________.
6．（2019·甘肃天水一中高考模拟（文））已知数列{}n a 满足11a =，0n a >
1=，那么32n a <成立的n 的最大值为______
7．（2019·河北高考模拟（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2
119*2
n n n n
S S n N +-+=∈，若
24a <-，则n S 取最小值时n =__________.
8．（2019·河南高考模拟（理））记首项为11(0)a a >，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
121
2
a d =-，且1n n n S a S λ+≤+，则实数λ的取值范围为__________． 9．（2019·四川重庆南开中学高考模拟（理））在正项递增等比数列{}n a 中，51a =，记12...n n S a a a =+++，12111
...n n
T a a a =
+++，则使得n n S T ≤成立的最大正整数n 为__________． 10．（2017·吉林高考模拟（理））已知数列{}n a 满足()
113
,31.2
n n a a a n N *+==-∈ （1）若数列{}n b 满足1
2
n n b a =-
，求证：{}n b 是等比数列；
（2）若数列{}n c 满足312log ,n n n n c a T c c c ==++
+，求证：()1.2
n n n T ->
11．（2019·江苏金陵中学高考模拟）已知各项均为正整数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S n ﹣1+ka n ＝ta n 2﹣1，n≥2，n∈N *（其中k ，t 为常数）． （1）若k ＝
12，t ＝1
4
，数列{a n }是等差数列，求a 1的值； （2）若数列{a n }是等比数列，求证：k ＜t ．
12．（2019·天津高考模拟（理））已知单调等比数列{}n a ，首项为
12
，其前n 项和是n S ，且331
2a S +，5S ，
44a S +成等差数列，数列{}n b 满足条件
123
1
(2)n b n
a a a a =
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设1
n n n
c a b =-
，记数列{}n c 的前n 项和是n T . ①求n T ；
②求正整数k ，使得对任意*n N ∈，均有k n T T ≥. 13．（2019·安徽高考模拟（文））已知数列
为等差数列，且公差
，其前项和为，
，且，
，成等比数列. （1）求等差数列
的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，求证.
14．（2019·广东高考模拟（理））已知数列{}n a 满足11*121
(22)2()n n n a a a n N n
-++++=∈.
（1）求12,a a 和{}n a 的通项公式；
（2）记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若4n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，求实数k 的取值范围． 15. （2017·浙江高考模拟）已知无穷数列{}n a 的首项11
2a =，
*
1111,2n n n a n N a a +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭
. （Ⅰ）证明： 01n a <<；
（Ⅱ） 记()2
11
n n n
n n a a b a a ++-=
， n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：对任意正整数n ， 3
10
n T <
. 16. （2017·浙江高考模拟）已知数列{}n a 满足： 11
p a p
+=， 1p >， 11ln n n n a a a +-=.
（1）证明： 11n n a a +>>； （2）证明：
121
12
n n
n n a a a a ++<<+； （3）证明：
()1211121121
ln 122
n n n n n a a a p p ----⨯<⋯<⨯+.。
高考数学一轮总复习课件：数列的综合应用
又因为an≤15，所以6×1.2n－1≤15， 所以n－1≤5，所以n≤6. 所以an＝611×，1n.2＝n－11，，2≤n≤6，
15，n≥7.
(2)由(1)得，2021年全年的投资额是(1)中数列{an}的前12项 和，所以S12＝a1＋(a2＋…＋a6)＋(a7＋…＋a12)＝11＋6×(1.2＋… ＋1.25)＋6×15＝101＋6×1.2×（1.21－.251－1）≈154.64(万元)．
(1)证明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 【思路】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn与相邻两项an，an＋1间 的递推关系式anan＋1＝λSn－1，要证an＋2－an＝λ，故考虑利用an＋1＝ Sn＋1－Sn消去Sn进行证明． (2)若{an}为等差数列，则有2a2＝a1＋a3，故可由此求出λ，进 而由an＋2－an＝4验证{an}是否为等差数列即可．
【解析】 (1)证明：由已知，得bn＝2an>0. 当n≥1时，bbn＋n 1＝2an＋1－an＝2d. 所以数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列． (2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x －a2)，它在x轴上的截距为a2－ln12. 由题意，a2－ln12＝2－ln12，解得a2＝2. 所以d＝a2－a1＝1，所以an＝n，bn＝2n，anbn2＝n·4n.
比数列．所以an＋1＝45＋－25190n.
(3)因为an＋1>60%，即
4 5
＋
－25
9 10
n
>
3 5
，则
9 10
n
<
1 2
，所以
n(lg9－1)<－lg2，n>1－lg22lg3≈6.572 1.
数列专题复习之典型例题(含答案)
数列知识点-——-求通项一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-—-—-猜测———-证明（略）二、由a n 与S n 的关系求通项a n例1已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝3n －1，则它的通项公式为a n ＝________。
答案2·3n －1练1 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 答案a n ＝错误!三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =,13n n n a S +=+，*n ∈N ．设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;答案： 13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N ．(2）（4)在数列{}n a 中,11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠)．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式；答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩(3）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；答案:(1)2nnn a n λ=-+21212(1)22(1)(1)n n n n n n S λλλλλ+++--+=+-≠- 1(1)22(1)2n n n n S +-=+-λ=(4）已知数列{}n a 满足：()213,22n n a a a n n N *+=+=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2)设1234212111n n nT a a a a a a -=+++，求lim n n T →∞答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记)1.)(1n f a a n n +=+ 2 . n n a n f a )(1=+.3 q pa a n n +=+1（其中p,q 均为常数，)0)1((≠-p pq )。
《高考真题》专题14 等差数列-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________． 【答案】4【解析】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．【母题原题2】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-．故选A ．专题14 等差数列【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【命题意图】主要考查考生的数学运算能力和逻辑推理能力,以及考生对函数与方程思想的应用.要求： 1．熟练掌握等差的通项公式、前n 项和公式． 2．掌握与等差数列有关的数列的求和的常见方法． 3．了解等差数列与一次函数的关系．【命题规律】等差数列是高考的考查热点，主要考查等差数列的基本运算和性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题． 【答题模板】求数列的通项、求和问题时，第一步：根据题意求通项．注意等差数列通项形如关于n 的一次函数的形式． 第二步：利用函数性质研究数列的性质，例如周期、单调性等． 第三步：利用函嫩、数列的交汇性质来综合求解问题．第四步：查看关键点、易错点及解题规范，例如错位相减去的计算量较大，注意检验． 【知识总结】1．等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：a n =a m +（n –m ）d （n ，m ∈N *）．（2）若{a n }是等差数列，且k+l=m+n （k ，l ，m ，n ∈N *），则a k +a l =a m +a n ；反之，不一定成立． （3）若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． （4）若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n +qb n }（p ，q ∈N *）也是等差数列．（5）若{a n }是等差数列，则a k ，a k+m ，a k+2m ，…（k ，m ∈N *）组成公差为md 的等差数列． 2．与等差数列各项的和有关的性质（1）若S m =n ，S n =m ，则S m+n =–（m+n ）；若S m =S n ，则S m+n =0． （2）若{a n }是等差数列，则{n S n}也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12．（3）若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m –S m ，S 3m –S 2m 成等差数列．（4）关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶–S 奇=nd ，S S 奇偶=1nn a a +； ②若项数为2n –1，则S 偶=（n –1）a n ，S 奇=na n ，S 奇–S 偶=a n ，S S 奇偶=-1nn ．（5）两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为2-12-1n n S T =nna b ． 【方法总结】 （一）等差数列1．等差数列的判定与证明方法有以下四种：（1）定义法：a n+1–a n =d （常数）（n ∈N *）或a n –a n –1=d （n ∈N *，n ≥2）⇔{a n }为等差数列． （2）等差中项法：2a n+1=a n +a n+2（n ∈N *）⇔{a n }为等差数列． （3）通项公式法：a n =an+b （a ，b 是常数，n ∈N *）⇔{a n }为等差数列． （4）前n 项和公式法：S n =an 2+bn （a ，b 为常数）⇔{a n }为等差数列．若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项a n ，a n+1，a n+2，使得这三项不满足2a n+1=a n +a n+2即可．判断一个数列是否为等差数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的方法，一般优先考虑定义法，即先表示出a n +1–a n ，然后验证其是否为一个与n 无关的常数．也可根据已知条件求出一些项，根据求解过程寻找具体的解题思路．注意常数列{a n }的通项公式为a n =a （a 为常数），它是一个首项为a ，公差为0的等差数列．2．等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差d 或项数n ．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．a 1和d 是等差数列的两个基本元素．（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．（4）求前n 项和．利用等差数列的前n 项和公式直接求解，或利用等差中项间接求解． 3．求数列前n 项和的最值的方法：（1）通项法：①若a 1>0，d<0，则S n 必有最大值，其n 可用不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩，来确定；②若a 1<0，d>0，则S n 必有最小值，其n 可用不等式组100n n a a +≤⎧⎨≥⎩，来确定．（2）二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n =na 1+–12n n （）d=2d n 2+（a 1–2d）n ，可用求函数最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值． （3）不等式组法：借助S n 最大时，有–11n n nn S S S S +≥⎧⎨≥⎩，（n ≥2，n ∈N *），解此不等式组确定n 的范围，进而确定n 的值和对应S n 的值（即S n 的最值）． （二）其他数列1．求数列前n 项和的常用方法 （1）分组求和法分组转化法求和的常见类型①若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．②通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． （2）裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项． 如：是公差为的等差数列，求解：由∴ （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加．{}n a d 111nk k k a a =+∑()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·11111223111*********nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑……11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭相加2．数列与函数综合（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决． 3．数列与不等式综合与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法（作差作商）、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点．利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩． 4．以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解； 5．以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明．1．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】在数列{}n a 中，35a =，()120n n a a n ++--=∈N ，若25n S =，则n =A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】因为()120n n a a n ++--=∈N ，所以1=2n n a a +-=d ，所以数列{}n a 是等差数列，121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……所以()11145 ,1,512252a a n n n na +=⎧⎪∴==⎨-+⋅=⎪⎩．故选C ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的判定，考查等差数列的通项和前n 项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．2．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模）数学】等差数列{}n a 中，27a =，623a =，则4a = A ．11 B ．13 C ．15 D ．17【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，27a =，623a =，62423744,a a d d d =+⇒=+⇒= 根据等差数列的通项公式得到42215.a a d =+=故选C ．【名师点睛】这个题目考查了等差数列的概念以及通项公式的应用属于基础题． 3．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】等差数列{}n a 中，若46131520a a a a +++=，则101215a a -的值是A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】A【解析】∵()461315415220a a a a a a +++=+=，∴41510a a +=， ∴()1012101211555a a a a -=-()891011121215a a a a a a =++++- ()89101115a a a a =+++()41525a a =+4=．故选A ． 【名师点睛】本题考查等差数列中下标和性质的应用，解题的关键是进行适当的变形，以得到能运用性质的形式．本题也可转化为等差数列的首项和公差后进行求解，属于基础题．4．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若21016a a +=，714S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．3C ．6D ．2【答案】B【解析】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为1777()142a a S +==，得174a a +=①， 因为21016a a +=，所以11116a a +=②，②–①得，11712a a -=，即412d =，所以3d =，故选B ．方法二：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为21016a a +=，714S =，所以112101672114a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得173a d =-⎧⎨=⎩，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列基本量求解，属于基础题．等差数列基本量求解的通法是方程组法，利用等差数列的通项公式、求和公式将条件转化为关于1a 和d 的方程组，进而求解；另外也可以运用性质法，即利用等差数列的相关性质公式以及通项公式、求和公式直接求出基本量．5．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A ．66 B ．132 C ．–66 D ．–132【答案】D【解析】因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以3924a a +=-， 又396242a a a +=-=，所以612a =-，61111111211()13222a a a S ⨯⨯+===-，故选D ．【名师点睛】本题考查等差数列的性质及求和公式，考查方程思想，是基础题．6．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且728S =，则4a = A ．4 B ．7 C ．8 D ．14【答案】A 【解析】()177477282a a S a +===，故44a =，故选A ．【名师点睛】本题考查等差数列求和及基本性质，熟记求和公式及性质，准确计算是关键，是基础题． 7．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且86a =，828S =，则其公差为A ．47 B ．57 C ．47-D ．57-【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由86a =，828S =，则1176878282a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得57d =，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】已知等差数列{}n a ，12018a =-，其前n 项和为n S ，20192018120192018S S -=，则2019S = A ．0 B ．1 C ．2018 D ．2019【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112n n n S na d -=+， 所以2019110092019S a d =+，20181201720182S a d =+，代入20192018120192018S S -=，得2d =． 所以()20192019201820192018202S ⨯=⨯-+⨯=．故选A ． 【名师点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和公式，考查方程思想及计算能力，属于中档题．9．【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学】等差数列{}n a 的前7项和为28，108a =，则7a = A ．6B ．7【答案】A【解析】由题得11717672822,2,,26623398a d a d a a d ⨯⎧+⨯=⎪∴==∴=+⨯=⎨⎪+=⎩．故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n 项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．10．【贵州省贵阳市2019届高三2月适应性考试（一）数学】已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=–8，则公差d = A ．6 B ．6- C ．2- D ．4【答案】A【解析】∵{a n }为递增的等差数列，且a 4+a 7=2，a 5•a 6=–8，∴a 5+a 6=2，∴a 5，a 6是方程22x 80x --=的两个根，且a 5<a 6，∴a 5=–2，a 6=4，∴d =a 6–a 5=6，故选A ． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查方程的构造及解法，是基础的计算题． 11．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】在等差数列{}n a 中，若35791155a a a a a ++++=，33S =，则5a 等于A ．9B ．7C ．6D ．5【答案】B【解析】因为35791155a a a a a ++++=，所以5a 7=55，所以711a =， 因为33S =，所以21a =，所以公差7225a a d -＝＝，所以5237a a d =+=．故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列的第5项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．12．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】在等差数列{}n a 中，若357911355,3a a a a a s ++++==，则5a 等于A ．5B ．6【答案】C【解析】在等差数列{}n a 中，因为35791155a a a a a ++++=，所以7755511a a =⇒=， 又33S =，123223331a a a a a ∴++=⇒=⇒=，又因为7252a a d d =+⇒=，5237a a d ∴=+=，故选C ．【名师点睛】本题考查了等差数列的性质．13．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】在数列{}n a 中，已知121n n n n a a a a +++-=-，10101a =，则该数列前2019项的和2019S =A ．2019B ．2020C ．4038D ．4040【答案】A 【解析】121n n n n a a a a +++-=-，122n n n a a a ++∴=+，{}n a ∴为等差数列，10101a =，()1201910102019201920192201922a a a S +⨯∴===．【名师点睛】本题考查等差中项，等差数列的基本性质，属于简单题．14．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】在等差数列{}n a 中，已知10101a =，则该数列前2019项的和2019S = A ．2018 B ．2019 C ．4036 D ．4038【答案】B【解析】由题得2019S =1201910102019)201920192a a a +==（．故选B ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和，考查等差中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．15．【贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试数学】等差数列{}n a 中，2a 与4a 是方程2430x x -+=的两根，则12345a a a a a ++++=A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【解析】∵2a 与4a 是方程2430x x -+=的两根，∴2a +4a ＝4＝1a +532a a =， 则1234510a a a a a ++++=．故选C ．【名师点睛】本题考查了等差数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题． 16．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（二）数学】若等差数列{}n a 的前n 项和为258,2,8n S a a S +=-=，则n S =A ．22n n -B ．27n n -C ．251n n ++D ．27n n -+【答案】B【解析】令()11n a a n d =+-，则1114287882a d a d a d +++=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩162a d =-⎧⇒⎨=⎩ 所以()216272n n n S n n n ⨯-=-⨯+⨯=-，故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列基本量的计算，关键在于能够将已知条件转化为关于基本量的方程，属于基础题．17．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和分别为n S ，912162a a =+，24a =，若数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和为1011，则k =A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11118116,24,a d a d a d ⎧+=++⎪⎨⎪+=⎩解得12a d ==．()21222n n n S n n n-∴=+⨯=+，()111111nS n n n n ∴==-++， 1211111111110112231111k S S S k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，10k =．故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查裂项相消法，考查计算能力与推理能力，属于中档题．18．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，721S =，则4a = A ．0 B ．2 C ．3 D ．6【答案】C【解析】因为{}n a 是等差数列，所以1717744217)2(6263S a a a a a a ++=⇒=⇒=⇒==，故本题选C ．【名师点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式和等差数列的性质．考查了运算能力． 19．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知等差数列{}n a 满足711a =，2810a a +=，则11=SA ．176B ．88C ．44D ．22【答案】B【解析】因为数列{}n a 是等差数列，由2810a a +=，得55a =，又711a =， 则()()111571*********a a a a S ++===，故选B ．【名师点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．20．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，34222S a S =+，则8a =A ．8B ．9C ．16D ．15【答案】D【解析】由题意，因为11a =，34222S a S =+， 即111322(3)2(3)22a d a d a d ⨯⨯+=+++，解得2d =， 所以81717215a a d =+=+⨯=，故选D ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．21．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和2n S n bn c =++，等比数列{}n b 的前n 项和3nn T d =+，则向量(,)c d =a 的模为A ．1 BCD ．无法确定【答案】A【解析】等差数列{}n a 前n 项和()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，即常数项为0的二次式， 而根据已知2n S n bn c =++，故可得0c =，等比数列{}n b 的前n 项()1111111n n n b q b bT q qq q-==----， 而根据已知3nn T d =+，可得11111b d q b q⎧=⎪-⎪⎨⎪-=⎪-⎩，即1d =-，因此向量()0,1=-a ，则1=a ，故选A ．【名师点睛】本题考查等差数列和等比数列求和公式的性质，属于中档题．22．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】在等差数列{}n a 中，1516a a +=，则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．31-【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中，1516a a +=，()51555164022S a a ∴=+=⨯=，故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．23．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且859a a -=，8566S S -=，则33a =A ．82B ．97C ．100D ．115【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且859a a -=，所以39d =，解得3d =， 又由8566S S -=，所以11875483536622a a ⨯⨯+⨯--⨯=，解得14a =， 所以331324323100a a d =+=+⨯=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．24．【四川省凉山州2019届高中毕业班第二次诊断性检测数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，116m S -=，25m S =，11a =（2m ≥，且m ∈N ），则m 的值是A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，116m S -=，25m S =， ∴19m m m a S S -=-=，又25m S =，11a =，∴()15252m m a a m S m +===，∴5m =，故选B ．【名师点睛】本题考查等差数列前n 项和公式，考查前n 项和与通项的关系，考查计算能力．25．【四川省内江市2019届高三第一次模拟考试数学】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =，621S =，则数列{}n a 的公差为 A ．1 B ．–1 C ．2 D ．–2【答案】A【解析】∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3＝3，S 6＝21，∴316123656212a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得a 1＝1，d ＝1．∴数列{a n }的公差为1．故选A ． 【名师点睛】本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．26．【四川省成都市2019届高三毕业班第一次诊断性检测数学】设n S 为等差数列的前n 项和，且3652a a a +=+，则7S =A ．28B ．14C ．7D ．2【答案】B【解析】因为563542a a a a a +=+=+，所以42a =，177477142a a S a +=⨯==，故选B ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，属于中档题．求解等差数列有关问题时，要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系．27．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57a =，则9S =__________． 【答案】63【解析】因为57a =，所以()199599632a a S a +===．故答案为：63． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和，以及等差数列的性质，熟记公式即可，属于基础题型． 28．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211n n n n a a a a +++-=-，12a =，38a =，则4S =__________．【答案】26【解析】因为211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，则8232d -==，所以443423262S ⨯=⨯+⨯=．故答案为：26． 【名师点睛】本题主要考查了等差数列的定义及求和公式的应用，属于基础题．29．【四川省南充市高三2019届第二次高考适应性考试高三数学】设等差数列{}n a 满足：127a a +=，136a a -=-，则5a =__________．【答案】14【解析】∵等差数列{a n }满足：a 1+a 2＝7，a 1–a 3＝–6．∴1111726a a d a a d ++=⎧⎨--=-⎩，解得a 1＝2，d ＝3，∴5a ＝a 1+4d ＝2+4×3＝14．故答案为：14． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质等基础知识，属于基础题． 30．【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学】中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走1260里，第一日，第四日，第七日所走之和为390里，则该男子的第三日走的里数为__________． 【答案】120【解析】由题意，男子每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为{}n a ，其公差为d ，前n 项和为n S ．根据题意可知，91471260,390S a a a =++=，法一：()199********,1402a a S a a +===∴=，147443390,130a a a a a ++==∴=， 5410d a a ∴=-=，34120a a d ∴=-=．故答案为：120．法二：91471260390S a a a =⎧⎨++=⎩，11119891260236390a d a a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，解得110010a d =⎧⎨=⎩， 所以312120a a d =+=．故答案为：120．【名师点睛】本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于简单题．。
2024年高考数学专题10 数列不等式的放缩问题 (练习)(原卷版)
(2)是否存在
n
Î
N*
，使得
ln
2
<
sin
1 1´
3
+
sin
2
1 ´
4
+
×
×
×
+
sin
1 n(n +
2)
<
3 4
成立？请说明理由．
23．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）记 Sn 为数列an 的前 n 项和，已知
专题 10 数列不等式的放缩问题
目录
01 先求和后放缩 .................................................................................................................................1
明理由；
a
-
1
£0
(3)对任意正整数
n
，不等式
1 +
1 b1
1 +
1 b2
××
×
1
+
1 bn
n - 2 + an
都成立，求实数 a 的取值范围．
n
06 å ai < (>)b 型不等式的证明 i =1
22．（2023·山西·高三统考阶段练习）已知函数 f (x) = sin x - x + 1 x3 ． 6
等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
(1)求an 的通项公式；
专题10 放缩法证明数列不等式之常数型与函数型(解析版)
放缩法证明数列不等式之常数型与函数型◆题型一:放缩法证明数列不等式之常数型 方法解密:放缩法证明数列不等式属于数列大题中较有难度的一种题型.大部分是以证明某个数列和大于或小于一个常数类型,小部分是证明某个数列前n 项和或者积大于或小于一个函数(下一专题详解).本专题我们来介绍最常见的常数类型. 放缩的目的有两个:一是通过放缩使数列的和变换成比如裂项相消等可以简单求和的形式,这样可以方便比较大小.二是两者之间无法直接比较大小,这样我们需要通过寻找一个媒介,来间接比较大小. 放缩的原则:放缩必然会导致数变大或者变小的情况,我们的原则是越精确越好.在证明过程中,为了使放缩更精确,往往会第一项不变,从第二项或者第三项开始放缩(例题会有讲解). 放缩的方法:(1)当我们要证明多项式M A <时,我们无法直接证明两者的大小,这时我们可以将多项式M 放大为1N ,当我们能够证明1N A <,也间接证明了M A <.切不可将M 缩小为2N ,即使能够证明2N A <,M 与A 的关系无法得证.(2)当我们要证明多项式M A >时,这时我们可以将多项式M 缩小为1N ,当我们能够证明1N A >,也间接证明了M A >.需要放缩的多项式多以分式形式出现,要使得分式的值变大,就是将分母变小,常见是将分母减去一个正数,比如1. 常见的放缩形式:（1）()()21111211n n n n n n<=-≥--； （2）()2111111n n n n n >=-++；（3）2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭； （5(()2121n n n n n n n n==--≥+-+； （6(211n n n n n n n =>=++++；（7222212111212122n n n n nn n n n ==--++-++-++； （8）()()()()()()()1211222211212121212122212121nn n n n n n n n n n n n ---=<==----------()2n ≥；（12）()()()111121122121212121n nn n n n n ---<=-≥-----.类型一:裂项放缩 【经典例题1】求证22221111.....2123n ++++< 【解析】因为()()2211111211n n n n n n n n <==-≥---,所以2222222211111111111111..........11.....=22123122332231n n n n n n ++++<++++=+-+-++--<----,所以原式得证. 为什么第一项没有经过放缩,因为分母不能为0,所以只能从第二项进行放缩.总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式1】求证222211117 (1234)n ++++< 【解析】因为()()()221111112111211n n n n n n n ⎛⎫<==-≥ ⎪-+--+⎝⎭,所以222222221111111111111111........11....1231213112324351n n n n ⎛⎫++++<++++=+-+-+-+- ⎪----⎝⎭11117=112214n n ⎛⎫++--< ⎪+⎝⎭,所以原式得证. 总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式2】求证222211115 (1233)n ++++<【解析】因为()()()221111112111211n n n n n n n ⎛⎫<==-≥ ⎪-+--+⎝⎭,所以 222222222111111111111111111........1....12312311222435461n n n n ⎛⎫++++<++++=++-+-+-++- ⎪---⎝⎭11111151115=1=422313213n n n n ⎛⎫⎛⎫+++---+< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,注意这是保留前两项,从第三项开始放缩.总结:通过例1和变式题我们发现,我们对分式的进行放大,分母我们依次减去的数是n,1.不难发现,这些数递减,所得的结果也是递减的.说明减去的数越小,所得的结果越精确.同时通过两道变试题我们也发现,保留前几项不动,这样放缩的精度也会高一些.有些模拟题中,经常出现保留前2项到3项不动的情况.那么作为学生如何判断从第几项开始放缩呢?这需要学生去尝试和试错,如果第一项不行,那就尝试第二项,第三项.【经典例题2】已知2,2n n n a b n ==,设1n n nc a b =+,求证:1243n c c c +++<.【解析】已知2,2n n na b n ==,因为 222441122(21)2(21)(21)(21)2121n c n n n n n n n n n n ⎛⎫===<=- ⎪+++-+-+⎝⎭所以1221111112224233557212133132n c c c n n n ⎛⎫+++<+-+-++-=+-< ⎪-++⎝⎭,故不等式得证.【经典例题3】已知数列{}n a 满足11a =，*11(2,)n n n a a n n n--≥∈=N ， （1）求n a ;（2）若数列{}n b 满足113b =，*121()n n n b b n a ++∈=N ，求证：2512n b <． 【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析． 【详解】 （1）由题意11n n a na n -=-（2n ≥）， ∴321121231121n n n a a a na a n a a a n -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=-，11a =也适合．所以n a n =（*n N ∈）； （2）由已知1125312b =<，214251312b b =+=<，32214119252341212b b =+=+=<， 当3n ≥时，121111(1)1n n b b n n n n n+-=<=---， 因此1343541()()()n n n b b b b b b b b ++=+-+-++-1911111125125()()()12233411212n n n <+-+-++-=-<-， 则1212512n n b b n +=-< 综上，2512n b <．类型二:等比放缩所谓等比放缩就是数列本身并非为标准的等比数列,我们将数列的通项经过一定的放缩使之成为一个等比数列,然后再求和,我们通过例题进行观察了解. 【经典例题4】证明:12311115 (212121213)n ++++<----【解析】令121n na =-,则1111212111212222n n n n n n n n a a a a ++++--=<=⇒<-- 又因为1211,3a a ==,由于不等式右边分母为3 ,因此从第三项开始放缩,得21121222111115321122312n n n a a a a a a a --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++<++++=+<⎪⎝⎭-故不等式得证.【经典例题5】已知数列{}n a 满足：12a =，1122n n n a a ++=+，*n N ∈.（1）求证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列并求n a ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）求证：2132431111112n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<----. 【答案】（1）证明见解析，2nn a n =⋅；（2）1(1)22n n S n +=-+；（3）证明见解析.【详解】（1）证明：1111122211222222n n n n n n nn n n n n na a a a a a ++++++-=-=+-=， ∴2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1112a =，公差为1的等差数列， ∴1(1)12nn a n n =+-=，∴2n n a n =⋅. （2）∵1231222322n nS n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅， ∴234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 两式相减得：123122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，()1212212n n n n S +-=-⋅--，∴1(1)22n n S n +=-+.（3）证明：∵2n n a n =⋅，∴11(1)2n n a n ++=+⋅，∴1(2)2n n n a a n +-=+⋅，当*n N ∈时，22n +>，∴1(2)22n n n ++⋅>， ∴111(2)22n n n +<+⋅，∴21324311111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅----234111112222n ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅< 111421111122212nn ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-.【练习1】已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21nn n S a S =-．（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）证明：2221274n S S S +++<． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）当2n ≥时，211nn n n S S S S --=-，11n n n n S S S S ---=，即1111n n S S --=从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）可知，()11111n n n S S =+-⨯=，1n S n∴=． 则当2n ≥时222111111211n S n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭． 故当2n ≥时22212111111111123224211n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111137111221224n n ⎛⎫=++--<+⋅= ⎪+⎝⎭ 又当1n =时，21714S =<满足题意，故2221274n S S S +++<． 法二：则当2n ≥时22211111n S n n n n n =<=---， 那么222121111111717142334144n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<++-+-+-=-< ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又当1n =时，21714S =<，当时，21714S =<满足题意.【练习2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：32n T <． 【答案】（1）()*1n a n n N =+∈．（2）见解析【解析】（1）当1n =时，111112S a a =+-，即12a =， 当2n ≥时，112n n n S na a =+-①，()1111112n n n S n a a ---=-+-②， ①-②，得：()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+， 11n n a a n n-∴=+，且112a=，∴数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以每一项均为1的常数列，则11n a n =+，即()*1n a n n N =+∈；（2）由（1）得1n a n =+，()()2222211221n a n n n n n ∴=<=-+++， 11111111113113243522122n T n n n n ∴<-+-+-++-=+--<+++.【练习3】已知函数()32x f x x=-，数列{}n a 中，若1()n n a f a +=，且114a =.（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：12n S <. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 （1）由函数()32x f x x=-，在数列{}n a 中，若1()n n a f a +=，得：132n n n a a a +=-， 上式两边都倒过来，可得：11n a +＝32n na a -＝3n a ﹣2，∴11n a +﹣1＝3n a ﹣2﹣1＝3n a ﹣3＝3（1n a ﹣1）．∵11a ﹣1＝3．∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以3为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1），可知：11n a -＝3n ，∴a n ＝131n +，n ∈N*．∵当n ∈N*时，不等式131n +＜13n成立． ∴S n ＝a 1+a 2+…+a n ＝2121111111 (313131333)nn +++<++++++＝11133113n⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭-＝12﹣12•13n＜12．∴1S 2n <．【练习4】已知函数2()2f x x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n P n S 均在函数()y f x =的图象上．若()132n n b a =+ （1）当2n ≥时，试比较1n b +与2nb 的大小；（2）记)*1n nc n N b =∈试证1240039c c c ++⋯+<. 【答案】（1）12bnn b +<；（2）证明见解析. 【详解】（1）2()2f x x x ∴=-，故22n S n n =-，当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=-， 当1n =时，111a S ==-适合上式，因此()*23n a n n N =-∈.从而1,1,22nb nn n b n b n +==+=，当2n ≥时，()01211 1nn n n C C n =+=++⋯>+故122nb nn b +<=（2）1n n c b n=11c =，()*2(1),21n n n N n n n n n n =<=-∈≥++- )12400 (12212)32 (2)400399c c c +++<++++400139==.◆题型二:放缩法证明数列不等式之函数型 方法解密:数列放缩较难的的两类便是形如数列的前n 项和与函数()f n 的不等关系,即12()n a a a f n +++<或者数列前n 项积与函数()f n 的不等关系,即12n a a a ⋅⋅⋅<()f n 的问题,其中,这里的前n 项和与前n 项积难求或者是根本无法求.面对这类题时,首先,我们可以将()f n 看成某个数列的和或者积,然后通过比较通项的大小来解决;其次,我们也可以对n a 进行变形,使之能求和或者求积.往往第二种方法难以把握,对学生综合素质要求较高.而第一种方法相对简单易行,所以本专题以“拆项”为主线详细讲解.【经典例题1】已知数列*113,31,2n n a a a n N +==-∈ (1)若数列{}n b 满足12n n b a =-,求证:数列{}n b 是等比数列。
高一数学难题综合
高一数学难题综合10、已知O 为△ABC 的外心,，的最大值为DA 、13B 、12D 、3411. ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，0=++AC AB OA 且||||AB OA =，则向量CA在CB 向上的投影为AA.3B. 3C. 3-D. 3- 16．已知b a ,是两个互相垂直的单位向量，且2||,1==⋅=⋅c b c a c ，则对任意的正实数t ，|1|b ta t c ++的最小值是 22 。
2014(天津)8.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，BE BC λ=，DF DC μ=.若1AE AF ⋅=，23CE CF ⋅=-，则λμ+=A.12B.23C.56D.71214．已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为_____5_______. 20．（本题满分12分）函数2sin 2cos2sin3)(2ϕωϕωϕω++++=x x x x f 0(>ω,)20πϕ<<.其图象的最高点与相邻对称中心的距离为1612π+,且过点(,1)3π.(1)求函数()f x 的表达式;(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,5a =,10=⋅CB CA ,角C 为锐角，且满足A c C a a sin sin 42-=,求c 的值.10．如题10图，半径都为1的三个圆两两相交，且AB 弧长BC =弧长AC =弧长，CD 弧长等于2π，则图中阴影部分的面积为 A ．π3 B ．π2C ．52πD ．332π+20．（本小题满分12分）已知函数y ＝f （x ）的图象可由y ＝sinx 的图象经过如下变换得到：①将y ＝sinx 的图象的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的2π： ②将①中的图象整体向左平移23个单位； ③将②中的图象的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍．（Ⅱ）函数f （x ）的部分图象如图所示，若直线x －2y －43＝0与y ＝f （x ）的图象交于 A ，B ，C 三点，试求：OC ·（OA ＋OB ）的值．（12）若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是 （A ）23 （B ）3 （C ）2 （D 3题10图44. 函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为(15)若实数,,满足,，则的最大值是 .18. （本小题满分13分）已知向量(cos ,sin )(0)OA m m m αα=≠，(sin ,cos )OB ββ=-．其中O 为坐标原点．（Ⅰ）若6παβ=+且0m >，求向量OA 与OB 的夹角；（Ⅱ）若12OB AB ≤对任意实数α、β都成立，数m 的取值围． 18．(本小题满分13分)解： （Ⅰ）设它们的夹角为θ，则(cos sin sin cos )cos sin()OA OB m m OA OBαβαβθαβ⋅-+===-=1sin 62π=，故3πθ=……6分．OB AB ≥得22(cos sin )(sin cos )4m m αβαβ++-≥即212sin()4m m βα++-≥对任意的,αβ恒成立…………9分则2214m m m >⎧⎨-+≥⎩或2214m m m <⎧⎨++≥⎩，解得33m m ≤-≥或…………13分高考综合题22014(天津)8.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，BE BC λ=，DF DC μ=.若1AE AF ⋅=，23CE CF ⋅=-，则λμ+=A.12B.23C.56D.712 2014(天津)19.（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{0M =，1，2，...，1}q -，集合12{|A x x x x q ==++...1n n x q -+，i x M ∈，1i =，2，...，}n . ⑴当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ；⑵设s 、t A ∈，12s a a q =++...1n n a q -+，12t b b q =++...1n n b q -+，其中i a 、i b M ∈，1i =，2，...，n .证明：若n n a b <，则t s <.16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为2 .2014（全国课标）15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 90°.(2013辽林)（9）已知点()()()30,0,0,,,.O A b B a a 若OAB ∆为直角三角形，则必有（ C ）。
专题10 一元一次不等式(组)(归纳与讲解)(解析版)
专题10 一元一次不等式(组) 【专题目录】技巧1：一元一次不等式组的解法技巧技巧2：一元一次不等式的解法的应用技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用【题型】一、不等式的性质【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围【题型】六、一元一次不等式的应用【考纲要求】1、了解不等式(组)有关的概念，理解不等式的基本性质；2、会解简单的一元一次不等式(组)；并能在数轴上表示出其解集．3、能列出一元一次不等式(组)解决实际问题.【考点总结】一、一元一次不等式(组)【注意】1. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系：1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
2. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。
2．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．3．列不等式(组)解应用题的一般步骤： (1)审题； (2)设未知数；(3)找出能够包含未知数的不等量关系； (4)列出不等式(组)； (5)求出不等式(组)的解；(6)在不等式(组)的解中找出符合题意的值； (7)写出答案(包括单位名称)．【技巧归纳】技巧1：一元一次不等式组的解法技巧 【类型】一、解普通型的一元一次不等式组1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＜6，x －2≤0的解集，在数轴上表示正确的是( )2．解不等式组，并把解集表示在数轴上．⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5≤3（x ＋2），①1－2x 3＋15＞0.②【类型】二、解连写型的不等式组3．满足不等式组－1<2x －13≤2的整数的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．无数4．若式子4－k 的值大于－1且不大于3，则k 的取值范围是____________． 5．用两种不同的方法解不等式组－1<2x －13≤5.【类型】三、“绝对值”型不等式转化为不等式组求解． 6．解不等式⎪⎪⎪⎪3x －12≤4.【类型】四、“分式”型不等式转化为不等式组求解 7．解不等式3x －62x ＋1<0.参考答案 1．C2．解：由①得，x≥－1.由②得，x ＜45.∴不等式组的解集为－1≤x ＜45.表示在数轴上，如图所示．3．B 4.1≤k ＜55．解：方法1：原不等式组可化为下面的不等式组⎩⎨⎧－1<2x －13，①2x －13≤5.②解不等式①，得x>－1.解不等式②，得x≤8.所以不等式组的解集为－1<x≤8.方法2：－1<2x －13≤5，－3<2x －1≤15，－2<2x≤16，－1<x≤8.6．分析：由绝对值的知识|x|＜a(a ＞0)，可知－a ＜x ＜a.解：由⎪⎪⎪⎪3x －12≤4，得－4≤3x －12≤4.则原不等式可转化为⎩⎨⎧3x －12≥－4，①3x －12≤4.②解不等式①，得x≥－73.解不等式②，得x≤3.所以原不等式的解集为－73≤x≤3.点拨：解题时要先将不等式转化为不等式组再进行求解． 7．解：∵3x －62x ＋1＜0，∴3x －6与2x ＋1异号．即：(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧3x －6＞0，2x ＋1＜0或(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧3x －6＜0，2x ＋1＞0.解(Ⅰ)的不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x ＜－12.∴此不等式组无解． 解(Ⅱ)的不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，x ＞－12.∴此不等式组的解集为－12＜x ＜2.∴原不等式的解集为－12＜x ＜2.技巧2：一元一次不等式的解法的应用 【类型】一、直接解不等式1．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．(1)x ＞13x －2； (2)4x －13－x ＞1； (3)x ＋13≥2(x ＋1)．2．下面解不等式的过程是否正确？如不正确，请找出开始错误之处，并改正．解不等式：4－3x 3－1＜7＋5x5.解：去分母，得5(4－3x)－1＜3(7＋5x)． ① 去括号，得20－15x －1＜21＋15x. ② 移项，合并同类项，得－30x ＜2. ③ 系数化为1，得x ＞－115. ④【类型】二、解含字母系数的一元一次不等式 3．解关于x 的不等式ax －x －2＞0.【类型】三、解与方程(组)的解综合的不等式4．当m 取何值时，关于x 的方程23x －1＝6m ＋5(x －m)的解是非负数？5．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝10，4x －3y ＝2的解满足不等式ax ＋y ＞4，求a 的取值范围．【类型】四、解与新定义综合的不等式6．定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a(a －b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2★5＝2×(2－5)＋1＝－5.(1)求(－2)★3的值；(2)若3★x 的值小于13，求x 的取值范围，并在数轴上表示出来． 【类型】五、解与不等式的解综合的不等式7．已知关于x 的不等式3x －m ≤0的正整数解有四个，求m 的取值范围． 8．关于x 的两个不等式①3x ＋a2<1与②1－3x>0.(1)若两个不等式的解集相同，求a 的值； (2)若不等式①的解都是②的解，求a 的取值范围． 参考答案1．解：(1)x ＞13x －2，23x ＞ －2， x ＞ －3.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．(2)4x －13－x ＞1，4x －1－3x ＞ 3，x ＞ 4.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．(3)x ＋13≥2(x ＋1)，x ＋1≥ 6x ＋6， －5x ≥ 5， x ≤ －1.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．2．解：第①步开始错误，应该改成：去分母，得5(4－3x)－15＜3(7＋5x)． 去括号，得20－15x －15＜21＋15x. 移项，合并同类项，得－30x ＜16. 系数化为1，得x ＞－815.3．解：移项，合并同类项得，(a －1)x ＞2，当a －1＞0，即a ＞1时，x ＞2a －1； 当a －1＝0，即a ＝1时，x 无解； 当a －1＜0，即a ＜1时，x ＜2a －1. 4．解：解方程得x ＝－313(m ＋1)，由题意得－313(m ＋1)≥0，解得m ≤－1.5．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝10，4x －3y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.代入不等式得2a ＋2＞4.所以a ＞1.6．解：(1)(－2)★3＝－2×(－2－3)＋1＝－2×(－5)＋1＝10＋1＝11.(2)∵3★x ＜13，∴3(3－x)＋1＜13， 去括号，得9－3x ＋1＜13， 移项，合并同类项，得－3x ＜3， 系数化为1，得x ＞－1. 在数轴上表示如图所示．7．解：解不等式得x ≤m 3，由题意得4≤m3＜5，解得12≤m ＜15.方法规律：已知一个不等式的解集满足特定要求，求字母参数的取值范围时，我们可先解出这个含字母参数的不等式的解集，然后根据题意列出一个(或几个)关于字母参数的不等式，从而可求出字母参数的取值范围．8．解：(1)由①得x ＜2－a 3，由②得x ＜13，由两个不等的解集相同，得2－a 3＝13，解得a ＝1.(2)由不等式①的解都是②的解，得2－a 3≤13，解得a ≥1.技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用 【类型】一、与方程组的综合问题1．已知实数x ，y 同时满足三个条件：①x －y ＝2－m ；②4x －3y ＝2＋m ；③x ＞y.那么实数m 的取值范围是( )A ．m ＞－2B ．m ＜2C ．m ＜－2D ．m ＞22．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－7－a ，x －y ＝1＋3a的解中，x 为非正数，y 为负数．(1)求a 的取值范围； (2)化简|a －3|＋|a ＋2|.3．在等式y ＝ax ＋b 中，当x ＝1时，y ＝－3；当x ＝－3时，y ＝13.(1)求a ，b 的值；(2)当－1＜x ＜2时，求y 的取值范围． 【类型】二、与不等式(组)的解集的综合问题 题型1：已知解集求字母系数的值或范围4．已知不等式(a －2)x ＞4－2a 的解集为x ＜－2，则a 的取值范围是__________．5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ＜1，x －2b ＞3的解集为－1＜x ＜1，求(b －1)a ＋1的值．题型2：已知整数解的情况求字母系数的值或取值范围6．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x ＜a 的解集中共有5个整数，则a 的取值范围为( )A ．7＜a ≤8B ．6＜a ≤7C ．7≤a ＜8D ．7≤a ≤87．如果不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ≥0，3x －b ＜0的整数解是1，2，3，求适合这个不等式组的整数a ，b 的值．题型3：已知不等式组有无解求字母系数的取值范围8．如果不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x －a ＜0无解，则a 的取值范围是__________．9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜a ①，3x ＋5＞x －7 ②有解，求实数a 的取值范围．参考答案 1．B2．解：(1)解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋a ，y ＝－4－2a.∵x 为非正数，y 为负数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＋a ≤0，－4－2a ＜0，解得－2＜a ≤3. (2)∵－2＜a ≤3，即a －3≤0，a ＋2＞0，∴原式＝3－a ＋a ＋2＝5.3．解：(1)将x ＝1时，y ＝－3；x ＝－3时，y ＝13代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－3，－3a ＋b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝1.(2)由y ＝－4x ＋1，得x ＝1－y 4.∵－1＜x ＜2，∴－1＜1－y4＜2，解得－7＜y ＜5.4．a ＜25．解：⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ＜1.①，x －2b ＞3.②，解①得x ＜a ＋12；解②得x ＞2b ＋3.根据题意得a ＋12＝1，且2b ＋3＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，则(b －1)a ＋1＝(－3)2＝9. 6．A7．解：解不等式组得a 2≤x ＜b3.∵不等式组仅有整数解1，2，3， ∴0＜a 2≤1，3＜b3≤4.解得0＜a ≤2，9＜b ≤12. ∵a ，b 为整数，∴a ＝1，2，b ＝10，11，12. 8．a ≤19．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜a ①，3x ＋5＞x －7②，解不等式①得x ＜a －1.解不等式②得x ＞－6.∵不等式组有解，∴－6＜x ＜a －1，则a －1＞－6，a ＞－5. 【题型讲解】【题型】一、不等式的性质例1、若a＞b，则下列等式一定成立的是（）A．a＞b+2B．a+1＞b+1C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|【答案】B【分析】利用不等式的基本性质判断即可．【详解】A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意；B、若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意；C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意．故选：B．【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示例2、不等式组20240xx+>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式x+2＞0，得：x＞-2，解不等式2x-4≤0，得：x≤2，则不等式组的解集为-2＜x≤2，将解集表示在数轴上如下：故选C．【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法例3、不等式12x-≤的非负整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【详解】解：12x-≤，解得：3x≤，则不等式12x-≤的非负整数解有：0，1，2，3共4个．故选：D．【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围例4、若不等式组130x abx->⎧⎨+≥⎩的解集是﹣1＜x≤1，则a＝_____，b＝_____．【答案】-2 -3 【详解】解：由题意得：1?30? x abx->⎧⎨+≥⎩①②解不等式① 得: x>1+a ,解不等式①得:x≤3 b -不等式组的解集为: 1+a＜x≤3 b -不等式组的解集是﹣1＜x≤1,∴..1+a=-1,3b-=1,解得:a=-2,b=-3故答案为: -2, -3.【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围例5、若不等式组841x xx m+<-⎧⎨>⎩的解集是x＞3，则m的取值范围是（）.A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【答案】C【解析】详解：841x xx m+<-⎧⎨>⎩①②，解①得，x>3；解①得，x>m，①不等式组841x xx m+<-⎧⎨>⎩的解集是x>3，则m①3.故选：C.【题型】六、一元一次不等式的应用例6、某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（ ） A ．13 B ．14C ．15D ．16【答案】C【分析】根据竞赛得分10=⨯答对的题数(5)+-⨯未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过120分，列出不等式即可．【详解】解：设要答对x 道．10(5)(20)120x x +-⨯->，10 100 5 120x x -+>， 15 220x >，解得：443x >， 根据x 必须为整数，故x 取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题． 故选C ．一元一次不等式(组)（达标训练）一、单选题1．若m n >，则下列不等式一定成立的是（ ）． A ．2121m n -+>-+ B ．1144m n ++> C ．m a n b +>+ D ．am an -<-【答案】B【分析】根据不等式的性质解答．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A 、①m >n ，①-2m <-2n ，则-2m +1<-2n +1，故该选项不成立，不符合题意； B 、①m >n ，①m +1>n +1，则1144m n ++>，故该选项成立，符合题意； C 、①m >n ，①m +a >n +a ，不能判断m +a >n +b ，故该选项不成立，不符合题意；D 、①m >n ，当a >0时，-am <-an ；当a <0时，-am >-an ；故该选项不成立，不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．2．北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x 件，则能够得到的不等式是（ ）A ．100x +80（10﹣x ）＞900B ．100+80（10﹣x ）＜900C ．100x +80（10﹣x ）≥900D ．100x +80（10﹣x ）≤900【答案】D【分析】设购买冰墩墩礼品x 件，则购买雪容融礼品（10﹣x ）件，根据“冰墩墩单价×冰墩墩个数+雪容融单价×雪容融个数≤900”可得不等式．【详解】解：设购买冰墩墩礼品x 件，则购买雪容融礼品（10﹣x ）件， 根据题意，得：100x +80（10﹣x ）≤900， 故选：D ．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的不等关系．3．不等式组3050x x +>⎧⎨-≤⎩的解是（ ）A ．3x >-B ．5x ≤C ．35x -<≤D ．无解【答案】C【分析】先求出每个不等式的解集，再结合起来即可得到不等式组的解集． 【详解】由30x +>得：3x >- 由50x -≤得：5x ≤ ①35x -<≤ 故选C【点睛】本题考查一元一次方程组的求解，掌握方法是关键． 4．不等式3﹣x ＜2x +6的解集是（ ）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜﹣1D ．x ＞﹣1【答案】D【分析】根据一元一次不等式的解法，移项、合并同类项、系数化1求解即可． 【详解】解：326x x -<+， 移项得362x x -<+， 合并同类项得33x -<， 系数化1得1x >-，∴不等式326x x -<+的解集是1x >-，故选：D ．【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解决问题的关键． 5．在数轴上表示不等式1x >-的解集正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据不等式解集的表示方法依次判断． 【详解】解：在数轴上表示不等式x >−1的解集的是A ． 故选：A ．【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确掌握不等式解集的表示方法,区分实心点与空心点，是解题的关键．二、填空题6．超市用1200元钱批发了A ，B 两种西瓜进行销售，两种西瓜的批发价和零售价如下表所示，若计划将这批西瓜全部售完后，所获利润率不低于40%，则该超市至少批发A 种西瓜__________kg ．【答案】120【分析】设批发A 种西瓜x kg ，根据“利润率不低于40%”列出不等式，求解即可．【详解】解：设批发A 种西瓜x kg ，则 （6-4）x +120043x-×（4-3）≥1200×40%， 解得x ≥120．答：该超市至少批发A 种西瓜120kg ． 故答案为：120．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的不等关系，列不等式求解． 7．不等式2103x --<的解集为____． 【答案】5x <【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；本题可以采用去括号、移项、合并同类项即可求解． 【详解】解：去分母，得：230x --<， 移项，得：23x <+， 合并同类项，得：5x <． ①不等式的解集为：5x <． 故答案为：5x <．【点睛】本题考查了解一元一次不等式．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意①不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向改变；在数轴上表示不等式的解集要注意实心点和空心点的区别．三、解答题8．解不等式组：()36,3121,x x x x ≤-⎧⎨+>-⎩并将解集在数轴上表示．【答案】3x ≥，数轴表示见解析【分析】先求出每个一元一次不等式的解集，再求两个解集的公共部分，即是不等式组的解集． 【详解】解：解不等式36x x -≤，得：3x ≥， 解不等式312(1)x x +>-，得：3x >-， ①3x ≥与3x >-的公共部分为3x ≥， ①不等式组的解集是：3x ≥． 在数轴上表示解集如下：【点睛】本题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组解集的求解方法是解题关键．一元一次不等式(组)（提升测评）一、单选题1．2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏：①画一条数轴，在数轴上用点A ，B ，C 分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示； ①将这条数轴在点A 处剪断，点A 右侧的部分称为数轴I ，点A 左侧的部分称为数轴①； ①平移数轴①使点A 位于点B 的正下方，如图2所示；①扩大数轴①的单位长度至原来的k 倍，使点C 正上方位于数轴I 的点A 左侧． 则整数k 的最小值为（ ）A ．511B ．510C ．509D ．500【答案】A【分析】根据题意可得k ⋅AC AB >，列出不等式，求得最小整数解即可求解． 【详解】解：依题意，4AC =，2042AB =①扩大数轴①的单位长度至原来的k 倍，使点C 正上方位于数轴I 的点A 左侧， ∴k ⋅AC AB >，即42042k >， 解得15102k >，k 为正整数，①k 的最小值为511， 故选A ．【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次不等式的应用，根据题意得出k ⋅AC AB >是解题的关键．2．不等式12<32x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的解在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，继而可得答案．【详解】解：去括号，得：21<3x x -， 移项，得：3+2<1x x -， 合并同类项，得：<1x -， 系数化为1，得>1x -， 在数轴上表示为：故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．3．已知实数a ，b ，c 满足2a c b +=，112a c b+=．则下列结论正确的是（ ）A ．若0a b >>，则0c b >>B ．若1ac =，则1b =±C ．a ，b ，c 不可能同时相等D ．若2a =，则28b c =【答案】B【分析】A.根据0a b ＞＞，则11a b ＜，根据112a c b+=，得出c b ＜；B.根据112a cb +=，得出()2ac b a c =+，把2a c b +=代入得：21b ac ==，即可得出答案；C.当a b c ==时，可以使2a c b +=，112a c b+=，即可判断出答案；D.根据解析B 可知，22b ac c ==，即可判断． 【详解】A.①0a b ＞＞， ①11a b ＜， ①112a c b+=，①11c b＞， ①c b ＜，故A 错误；B.①112a cb +=，即2a c ac b+=， ①()2ac b a c =+，把2a c b +=代入得：222ac b =，21b ac ∴==，解得：1b =±，故B 正确；C.当a b c ==时，可以使2a c b +=，112a c b+=，①a ，b ，c 可能同时相等，故C 错误；D.根据解析B 可知，2b ac =，把2a =代入得：22b c =，故D 错误． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质，是解题的关键．4．若数a 使关于x 的分式方程1133x a x x ++=--有非负整数解，且使关于y 的不等式组3212623y y y y a++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．﹣5 B ．﹣3C ．0D ．2【答案】D【分析】解不等式组，根据题意确定a 的范围；解出分式方程，根据题意确定a 的范围，根据题意计算即可．【详解】解：3212623y y y y a ++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞①②，解不等式①得：y ＞﹣8， 解不等式①得：y ≤a ，①原不等式组的解集为：﹣8＜y ≤a ， ①不等式组至少有3个整数解， ①a ≥﹣5， 1133x ax x++=--， 去分母得①1﹣x ﹣a ＝x ﹣3，解得：x 42a-=， ①分式方程有非负整数解， ①x ≥0（x 为整数）且x ≠3， ①42a-为非负整数，且42a -≠3， ①a ≤4且a ≠﹣2，①符合条件的所有整数a 的值为：﹣4，0，2，4， ①符合条件的所有整数a 的和是：2， 故选：D ．【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．5．已知三个实数a 、b 、c ，满足325a b c ++=，231a b c +-=，且0a ≥、0b ≥、0c ≥，则37+-a b c 的最小值是（ ） A ．111-B ．57-C ．37D ．711【答案】B【分析】由两个已知等式3a +2b +c ＝5和2a +b ﹣3c ＝1．可用其中一个未知数表示另两个未知数，然后由条件：a ，b ，c 均是非负数，列出c 的不等式组，可求出未知数c 的取值范围，再把m ＝3a +b ﹣7c 中a ，b 转化为c ，即可得解．【详解】解：联立方程组325231a b c a b c ++=⎧⎨+-=⎩，解得，73711a c b c =-⎧⎨=-⎩，由题意知：a ，b ，c 均是非负数， 则07307110c c c ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩， 解得37711c ≤≤， ①3a +b ﹣7c＝3（﹣3+7c ）+（7﹣11c ）﹣7c ＝﹣2+3c，当c ＝37时，3a+b ﹣7c 有最小值，即3a+b ﹣7c ＝﹣2+3×37＝﹣57．故选：B ．【点睛】此题主要考查代数式求值，考查的知识点相对较多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另外还要求有充分利用已知条件的能力．二、填空题6．一元二次方程x 2+5x ﹣m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 _____． 【答案】254m >-## 6.25m >-##164m >- 【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得254()0m =-->Δ，进行计算即可得． 【详解】解：根据题意得254()0m =-->Δ， 解得，254m >-， 故答案为：254m >-． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式并认真计算． 7．若关于x 的分式方程232x mx -=-的解是非负数，则m 的取值范围是________． 【答案】m ≤6且m ≠4【分析】先求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：关于x 的分式方程232x mx -=-的解为：x ＝6−m ， ①分式方程有可能产生增根2， ①6−m ≠2， ①m ≠4，①关于x 的分式方程232x mx -=-的解是非负数， ①6−m ≥0， 解得：m ≤6，综上，m 的取值范围是：m ≤6且m ≠4． 故答案为：m ≤6且m ≠4．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能产生增根的情况，这是解题的关键．三、解答题8．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型a 个，销售这批模型的利润为w 元． ①求w 与a 的函数关系式（不要求写出a 的取值范围）；①若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元(2)①51000w a =+①购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为1250元【分析】（1）根据总数，设立未知数，建立分式方程，即可求解.（2）①设“神舟”模型a 个，则“天宫”模型为200a -（）个，根据利润关系即可表示w 与a 的关系式. ①根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，即可找到a 的取值范围，利用一次函数性质即可求解. （1）解：设“天宫”模型成本为每个x 元，则“神舟”模型成本为每个10x +（）元. 依题意得100100510x x =++. 解得10x =.经检验，10x =是原方程的解.答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元； （2）解：①“神舟”模型a 个，则“天宫”模型为200a -（）个.()()()3020151020051000w a a a ∴=-+--=+.①购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13. ()12003a a ∴≤-. 解得：50a ≤.51000w a =+.50k =>.()max 5055010001250a w ∴==⨯+=当时，元.即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.【点睛】本题考查了分式方程、一次函数的性质，关键在于找到等量关系，建立方程，不等式，函数模型.9．解不等式组：3(2)821+1<52x x x x --≥--⎧⎪⎨⎪⎩ 【答案】1x ≥-【分析】先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”即可求解． 【详解】解：3(2)821+1<52x x x x --≥--⎧⎪⎨⎪⎩①②， 解不等式①，得 1x ≥-，解不等式①，得 >7x -，①该不等式组的解集为 1x ≥-．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，理解并掌握求不等式组的原则“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”是解题的关键．。
数列与不等式综合习题
数列与不等式的题型分类。
解题策略题型一求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1）若函数f(x）在定义域为D,则当x∈D时，有f（x)≥M恒成立⇔f(x）min≥M;f(x）≤M恒成立⇔f(x）max≤M；（2）利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得。
【例1】等比数列｛a n｝的公比q＞1,第17项的平方等于第24项，求使a1＋a2＋…＋a n＞错误!＋错误!＋…＋错误!恒成立的正整数n的取值范围.【分析】利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a1与公比q之间的关系，再利用等比数列前n项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n的取值范围。
【解】由题意得：（a1q16）2＝a1q23，∴a1q9＝1.由等比数列的性质知：数列{错误!}是以错误!为首项，以错误!为公比的等比数列,要使不等式成立，则须错误!＞错误!，把a错误!＝q-18代入上式并整理,得q-18（q n－1）＞q（1－错误!），q n＞q19，∵q＞1，∴n＞19，故所求正整数n的取值范围是n≥20.【点评】本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果。
本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用。
【例2】(08·全国Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1＝a，a n+1＝S n＋3n,n∈N*．(Ⅰ）设b n＝S n－3n，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n,n∈N*，求a的取值范围．【分析】第（Ⅰ）小题利用S n与a n的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件a n+1≥a n转化为关于n与a的关系，再利用a≤f（n)恒成立等价于a≤f(n）min求解．【解】（Ⅰ）依题意，S n+1－S n＝a n+1＝S n＋3n，即S n+1＝2S n＋3n，由此得S n+1－3 n+1＝2(S n－3n）．因此，所求通项公式为b n＝S n－3n＝(a－3）2 n-1，n∈N*, ①（Ⅱ)由①知S n＝3n＋（a－3）2 n-1,n∈N＊，于是，当n≥2时,a n＝S n－S n-1＝3n＋(a－3）2 n-1－3n-1－（a－3)2 n-2＝2×3n-1＋（a－3)2 n-2，a n+1－a n＝4×3 n-1＋(a－3)2 n-2＝2 n-2·［12·（错误!)n-2＋a－3]，当n≥2时，a n+1≥a n，即2 n-2·［12·（错误!）n-2＋a－3］≥0,12·(错误!）n-2＋a－3≥0，∴a≥－9，综上，所求的a的取值范围是［－9，＋∞]．【点评】一般地，如果求条件与前n项和相关的数列的通项公式，则可考虑S n与a n 的关系求解。
高中数学数列与不等式(解析版)
数列与不等式在新高考卷的考点中，数列主要以两小和一大为主的考查形式，在小题中主要以数列极限和等差等比数列为主，大题考察位置21题，题型可以是多条件选择的开放式的题型。
由于三角函数与数列属于解答题第二题或第五题的位置，三角函数考查的内容相对比较简单，这一部分属于必得分。
数列大题属于压轴题难度较高。
对于小题部分，一般分布为一题简单题一道中等难度题目。
对于不等式主要考察不等式性质和基本不等式和线性规划。
基本不等式考察往往都是已基本不等式作为切入点形式出现，题目难度中等。
专题针对高考中数列、不等式等高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列，不等式。
请学生务必注意题目答案后面的名师点睛部分，这是对于本类题目的一个总结。
【满分技巧】1、等差、等比数列如果记住基本的通项公式以及求和公式和性质，基本上所有的等差、等比数列问题都可以解决。
2、数列求通项主要方法有：公式法、利用前n项和求通项、累加、累乘、构造等方法；这里要注意各个方法中递推关系的模型结构特点。
3、数列求和问题主要包含裂项求和，分组求和，绝对值求和，错位相减求和，掌握固定的求和方式即可快速得到答案；这里要注意各个方法中数列通项的结构模型；本专题有相应的题目供参考。
4、对于基本不等式类的题目应注意等号成立地条件和基本不等式的模型结构，对“1”的活用。
【考查题型】选择题、填空、解答题【常考知识】数列的概念、等差等比数列的概念和公式和性质、数列求通项的方法、数列求和的方法、不等式的性质、基本不等式【限时检测】（建议用时：120分钟）1.（2020•上海卷）已知2230x yyx y+≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x=-的最大值为【答案】－12.（2020•上海卷）下列不等式恒成立的是（）A 、222a b ab +≤B 、22-2a b ab +≥C 、2a b ab +≥-D 、2a b ab +≤【答案】B3.（2020•上海卷）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅=【答案】2784．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知O 是正三角形ABC 内部的一点，230OA OB OC ++=，则OAC ∆的面积与OAB ∆的面积之比是A ．32B ．23C ．2D ．1【答案】B试题分析：如下图所示，D 、E 分别是BC 、AC 中点，由230OA OB OC ++=得()2OA OC OB OC +=-+即2OE OD =-，所以2OE OD =，设正三角形的边长为23a ，则OAC ∆底边AC 上的高为13AC h BE a ==，OAB ∆底边AB 上的高为1322AB h BE a ==，所以123221332322ACOACOABAB AC h S a a S AB h a a ∆∆⋅⨯===⋅⨯，故选B .考点：1.向量的几何运算；2.数乘向量的几何意义；3.三角形的面积. 5．（2020·上海高三二模）设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（） A ．若120z z -=，则12z z = B ．若12z z =，则12z z = C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =【答案】D试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真；对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真； 对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z 22221122a b a b +=+，222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．6．（2020·上海杨浦区·高三二模）设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断．可取特例说明一个命题为假． 【详解】充分性：取132z =-+，故31z =是实数，故充分性不成立；必要性：假设z 是实数，则3z 也是实数，与3z 是虚数矛盾，∴z 是虚数，故必要性成立． 故选：B ．.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查复数的概念，属于基础题． 7．（2020·上海松江区·高三其他模拟）若复数z =52i-，则|z |=（ ） A ．1 B 5C ．5D ．5【答案】B【分析】利用复数的模的运算性质，化简为对复数2i -求模可得结果 【详解】|z |=5||2i -=5|2i|-5 故选：B.【点睛】此题考查的是求复数的模，属于基础题8．（2020·上海高三一模）设12,z z 为复数,则下列命题中一定成立的是( ) A ．如果120z z ->,那么12z z >B ．如果12=z z ,那么12=±z zC ．如果121z z >,那么12z z > D ．如果22120z z +=,那么12 0z z ==【答案】C【分析】根据复数定义,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,取13z i =+,21z i =+时,120z z ->,即31i i +>+,但虚数不能比较大小, ,故A 错误; 对于B,由12=z z ,可得2222+=+a b c d ,不能得到12=±z z ,故B 错误;对于C ,因为121z z >,所以12z z >,故C 正确; 对于D ,取11z =,2z i =,满足22120z z +=,但是12 0z z ≠≠,故D 错误. 故选:C.【点睛】本题解题关键是掌握复数定义,在判断时可采用特殊值法检验,考查了分析能力,属于基础题. 9．（2020·上海高三二模）关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（ ） A ．{}5 B ．{}1- C ．()0,1 D ．(){}0,11-【答案】D【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD ，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.【详解】解：由已知x 2﹣4x +5＝0的解为2i ±，设对应的两点分别为A ，B ， 得A （2，1），B （2，﹣1），设x 2+2mx +m ＝0的解所对应的两点分别为C ，D ，记为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），（1）当△＜0，即0＜m ＜1时，220x mx m ++=的根为共轭复数，必有C 、D 关于x 轴对称，又因为A 、B 关于x 轴对称，且显然四点共圆；（2）当△＞0，即m ＞1或m ＜0时，此时C （x 1，0），D （x 2，0），且122x x +＝﹣m ， 故此圆的圆心为（﹣m ，0），半径122x x r -====，又圆心O 1到A 的距离O 1A =，解得m ＝﹣1，综上：m ∈（0，1）∪{﹣1}. 故选：D.【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题. 10．（2020·上海徐汇区·高三一模）已知x ∈R ，条件p ：2x x <，条件q ：11x>，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分别求两个命题下的集合，再根据集合关系判断选项. 【详解】201x x x <⇔<<，则{}01A x x =<<，1101x x>⇔<<，则{}01B x x =<<，因为A B =， 所以p 是q 的充分必要条件. 故选：C11．（2020·上海市建平中学高三月考）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线22322():16C x y x y =+为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）（1）方程22322()16x y x y +=（0xy <），表示的曲线在第二和第四象限； （2）曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2； （3）曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；（4）曲线C 上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）； A ．（1）（2） B ．（1）（2）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（1）（3）（4）【答案】A【分析】因为0xy <，所以x 与y 异号，仅限与第二和四象限，从而判断（1）．利用基本不等式222x y xy +即可判断（2）；将以O 为圆心、2为半径的圆的面积与曲线C 围成区域的面积进行比较即可判断（3）；先确定曲线C 经过点，再将x <y <(1,1)，(1,2)和(2,1)逐一代入曲线C 的方程进行检验即可判断（4）；【详解】对于（1），因为0xy <，所以x 与y 异号，仅限与第二和四象限，即（1）正确．对于（2），因为222(0,0)x yxy x y +>>，所以222x y xy +，所以22222322222()()16164()4x y x y x y x y ++=⨯=+， 所以224x y +，即（2）正确；对于（3），以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即（3）错误；对于（4），只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C 的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C 在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C 只经过整点(0,0)，即（4）错误； 故选：A.【点睛】本题考查曲线的轨迹方程，涉及特殊点代入法、均值不等式、圆的面积等知识点，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识和方法的能力，属于中档题．12．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，当0FA FB FC ++=时，则存在横坐标2x >的点A 、B 、C 有（ ） A ．0个 B ．2个 C ．有限个，但多于2个 D ．无限多个【答案】A【分析】首先判断出F 为ABC 的重心，根据重心坐标公式可得2312313,x x x y y y +=-+=-，结合基本不等式可得出()2221232y y y ≤+，结合抛物线的定义化简得出12x ≤，同理得出232,2x x ≤≤，进而得出结果.【详解】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，先证12x ≤，由0FA FB FC ++=知，F 为ABC 的重心， 又131132(1,0),1,033x x x y y yF ++++∴==，2312313,x x x y y y ∴+=-+=-， ()()222222323232322y y y y y y y y ∴+=++≤+，()2221232y y y ∴≤+， 2223122444y y y ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，()1232x x x ∴≤+，()1123x x ∴≤-12x ∴≤， 同理232,2x x ≤≤， 故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，基本不等式的应用，解本题的关键是判断出F 点为三角形的重心，属于中档题.13．（2020·上海杨浦区·高三二模）不等式102x x -≤-的解集为（ ） A ．[1,2] B ．[1,2)C ．(,1][2,)-∞⋃+∞D ．(,1)(2,)-∞⋃+∞【答案】B【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解．注意分母不为0．【详解】原不等式可化为(1)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得12x ≤<．故选：B ．【点睛】本题考查解分式不等式，解题方法是转化为整式不等式求解，转化时要注意分式的分母不为0． 14．（2020·上海市南洋模范中学高三期中）下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤ B ．222a b ab +≥-C ．a b +≥-D ．a b +≤【答案】B【分析】根据基本不等式即可判断选项A 是否正确，对选项B 化简可得()20a b +≥，由此即可判断B 是否正确；对选项C 、D 通过举例即可判断是否正确.【详解】A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；B. 2222220a b ab a b ab +≥-⇒++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确； C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确；D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用以及不等式大小的比较，属于基础题.15．（2020·上海崇明区·高三一模）设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】对于任意的*2,m m m N a a +∈> ，即()210m a q >﹣.可得：2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈，解出即可判断出结论.【详解】解：对于任意的*2,m m m N a a +∈>，即()210m a q >﹣. ∴2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈， ∴01m a q ⎧⎨⎩＞＞，或001m a q ⎧⎨⎩＜＜＜. ∴“{}n a 为递增数列”，反之也成立.∴“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题.16．（2020·上海高三其他模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()1n n a a n *+<∈N ”是“()11n n S S n n n *+<∈+N ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先证明充分性，由条件1n n a a +<，可得121n n a a a na +++⋅⋅⋅+<，通过变形得到11n n S S n n +<+，再由条件11n n S S n n +<+，列举特殊数列，说明是否成立. 【详解】充分性：若1n n a a +<，则有121n n a a a na +++⋅⋅⋅+<，即()1n n n S n S S +<-，得()11n n n S nS ++<，于是有()11n n S S n n n *+<∈+N 成立，故充分性成立. 必要性：若()11n n S S n n n *+<∈+N 成立，取数列{}n a 为0,1,1,1,⋅⋅⋅，但推不出()1n n a a n *+<∈N ，故必要性不成立. 故选:A【点睛】本题考查判断充分不必要条件，数列的递推公式和前n 项和公式的综合应用，重点考查转化与化归的思想，逻辑推理能力，属于中档题型.17．（2020·上海交大附中高三其他模拟）已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且20,2,n n n n a S a a n >=+∈*N ,1121(2)(2)n n n n n n b a a +++=++，对任意的*,n n N k T ∈>恒成立，则k 的最小值是（ ） A ．13B ．12C ．16D ．1【答案】A【分析】由22n n n S a a =+可得21112n n n S a a ---=+，两式相减整理后可知11n n a a --=，则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，从而可得n a n =，进而可以确定111221n n n b n n +=-+++，则可求出121111 (3213)n n n T b b b n +=+++=-<++，进而可求出k 的最小值. 【详解】解：因为22n n n S a a =+，所以当2,n n N *≥∈时，21112n n n S a a ---=+，两式相减得22112n n n n n a a a a a --=+-- ，整理得，()()1101n n n n a a a a --+--=，由0n a > 知， 10n n a a -+≠，从而110n n a a ---=，即当2,n n N *≥∈时，11n n a a --=，当1n =时，21112a a a =+，解得11a =或0（舍），则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，则()111n a n n =+-⨯=.所以112111(2)(21)221n n n n n n b n n n n +++==-++++++，则1211111111111 (366112213213)n n n n n T b b b n n n ++=+++=-+-++-=-<+++++，所以13k ≥.则k 的最小值是13. 故选:A【点睛】本题考查了由递推数列求数列通项公式，考查了等差数列的定义，考查了裂项相消法求数列的和.一般如果已知了,n n S a 的关系式，一般地代入11,1,2,n n n S n a S S n n N*-=⎧=⎨-≥∈⎩ 进行整理运算.求数列的和常见的方法有，公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等.18．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知0a b >>，若12lim 25n n n nn a b a b ++→∞-=-，则（ ）A ．25a =-B ．5a =-C ．25b =-D ．5b =-【答案】D【分析】由0a b >>，可得01ab<<，将原式变形，利用数列极限的性质求解即可 【详解】因为0a b >>，且12lim 25n n n nn a b a b ++→∞-=-，所以01ab<<， 可得12limn n n nn a b a b ++→∞-=-2220lim 25011nn n a a b b b b a b →∞⎛⎫⋅- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 5b ∴=-，故选：D.【点睛】本题主要考查数列极限的性质与应用，属于基础题.19．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）如图，已知函数()y f x =与y x =的图象有唯一交点()1,1，无穷数列{}()*n a n N∈满足点()1,n n n P a a +()*n N ∈均落在()y f x =的图象上，已知()13,0P ，()20,2P ，有下列两个命题：（1）lim 1n n a →∞=；（2）{}21n a -单调递减，{}2n a 单调递增；以下选项正确的是（ ）A ．（1）是真命题，（2）是假命题B ．两个都是真命题C ．（1）是假命题，（2）是真命题D ．两个都是假命题【答案】B【分析】根据函数()y f x =的图象和()11f =可得出n a 的取值范围，再根据函数()y f x =的单调性判断{}21n a -和{}2n a 的单调性，结合数列各项的取值范围和单调性可得数列的极限值.【详解】()1n n a f a +=，当01n a <<时，由图象可知，112n a +<<；当13n a <<时，101n a +<<.13a =，20a =，32a =，401a ∴<<，512a <<，601a <<，712a <<，，因为函数()y f x =在区间()0,3上单调递减，因为5302a a <<=，()()53f a f a ∴>，即64a a >，()()64f a f a <，即75a a <，()()75f a f a >，即86a a >，，以此类推，可得1357a a a a >>>>，数列{}21n a -单调递减，2468a a a a <<<<，数列{}2n a 单调递增，命题（2）正确；当2n ≥时，2112n a -<≤，201n a <<，且数列{}21n a -单调递减，{}2n a 单调递增，所以，lim 1n n a →∞=，命题（1）正确. 故选：B.【点睛】本题考查数列单调性的判断以及数列极限的求解，考查推理能力，属于难题. 二、填空题20．（2019·上海高考真题）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ⋅≤，则1F P 与2F Q 的夹角范围为____________【答案】1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】通过坐标表示和121F P F P ⋅≤得到[]21,2y ∈；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为：222238cos 322y y y θ-==-+++；利用2y 的范围得到cos θ的范围，从而得到角的范围.【详解】由题意：()1F，)2F设(),P x y ，(),Q x y -，因为121F P F P ⋅≤，则2221x y -+≤ 与22142x y +=结合 224221y y ⇒--+≤，又y ⎡∈⎣ []21,2y ⇒∈(22221212cos F P F Q F P F Qθ⋅===⋅与22142x y +=结合，消去x ，可得：2222381cos 31,223y y y θ-⎡⎤==-+∈--⎢⎥++⎣⎦所以1arccos ,3θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解.21．（2018·上海高考真题）在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____． 【答案】-3【分析】据题意可设E （0，a ），F （0，b ），从而得出|a ﹣b|=2，即a=b +2，或b=a +2，并可求得2AE BF ab ⋅=-+，将a=b +2带入上式即可求出AE BF ⋅的最小值，同理将b=a +2带入，也可求出AE BF ⋅的最小值． 【详解】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a +2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．22．（2020·上海高三三模）设点O 为ABC 的外心，且3A π=，若(),R AO AB AC αβαβ=+∈，则αβ+的最大值为_________. 【答案】23【分析】利用平面向量线性运算整理可得()1OA OB OC αβαβ+-=+，由此得到1αβ+<；由3A π=可求得cos BOC ∠，设外接圆半径为R ，将所得式子平方后整理可得()213αβαβ+=+，利用基本不等式构造不等关系，即可求得所求最大值. 【详解】()()AO AB AC OB OA OC OA αβαβ=+=-+-()1OA OB OC αβαβ∴+-=+ 10αβ∴+-<，即1αβ+<，1cos 2A =1cos cos 22BOC A ∴∠==-， 设ABC 外接圆半径为R ，则()22222222222212cos R R R R BOC R R R αβαβαβαβαβ+-=++∠=+-，整理可得：()()22321313124αβαβαβαβ+⎛⎫+=+≤+⨯=++ ⎪⎝⎭， 解得：23αβ+≤或2αβ+≥（舍）,当且仅当13时，等号成立， αβ∴+的最大值为23.故答案为：23.【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够利用平面向量线性运算和平方运算将已知等式化为与外接圆半径有关的形式，进而消去外接圆半径得到变量之间的关系.23．（2020·上海高三一模）已知非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()a b c //+，()//b a c +，设c xa yb =+，,x y ∈R ，则2x y +=______.【答案】－ 3【分析】先根据向量共线把c 用a 和b 表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解． 【详解】解：因为非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()//a b c +，()//b a c +，(),0a m b c m ∴=+≠， 1c a b m∴=- (),0b n a c n ∴=+≠ 1c b a n∴=-1111m n ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩c xa yb =+1x y ∴==- 23x y ∴+=-故答案为：3-．【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题， 属于基础题.24．（2020·上海高三一模）已知向量1,22AB ⎛= ⎝⎭，31,22AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则BAC ∠=________． 【答案】6π【分析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出AB 、AC 的夹角的余弦值，进而可求得BAC ∠的大小.【详解】由平面向量的数量积的坐标运算可得3442AB AC ⋅=+=，1AB AC ==， 3cos 2AB AC BAC AB AC⋅∴∠==⋅， 0BAC π≤∠≤，6BAC π∴∠=．故答案为：6π 【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．25．（2020·上海崇明区·高三二模）在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC面积的最大值是____________ 【答案】34【分析】计算113sin 22624ABC S x π⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭△，得到答案.【详解】()22211sin ,1cos,2ABCS AB AC AB AC AB ACAB AC=⋅=⋅-△()22212AB AC AB AC=⋅-⋅=2113sin cos sin 22624x x x x π⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时等号成立.此时262x ππ-=-，即6x π=-时，满足题意.故答案为：34.【点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.26．（2020·上海高三其他模拟）已知ABC 的面积为1，点P 满足324AB BC CA AP ++=，则PBC 的面积等于__________． 【答案】12【分析】取BC 的中点D ，根据向量共线定理可得,,A P D 共线，从而得到1122PBC ABC S S ∆∆==． 【详解】取BC 的中点D ，1()2AD AC AB ∴=+． 432()()AP AB BC CA AB BC CA AB BC AB AC AB =++=+++++=+，1()4AP AC AB ∴=+∴12AP AD =，即,,A P D 共线．1122PBC ABC S S ∆∆==．故答案为：12．【点睛】本题主要考查向量共线定理，中点公式的向量式的应用以及三角形面积的计算，属于基础题．27．（2020·上海大学附属中学高三三模）设11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y 是平面曲线2226x y x y +=-上任意三点，则12A x y =-212332x y x y x y +-的最小值为________ 【答案】-40【分析】依题意看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积，()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和，根据点所在曲线及向量数量积的几何意义计算可得；【详解】解：因为2226x y x y +=-，所以()()221310x y -++=，该曲线表示以()1,3-为圆心，10为半径的圆．12212332A x y x y x y x y =-+-，可以看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积，()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和，因为点22(,)x y 在2226x y x y +=-上，点()33,y x -在2226x y y x +=+，点()11,y x -在2226x y y x +=--上，结合向量的几何意义，可知最小值为()()210102101040-+-=-，即()()()()2,64,22,62,440--+-=-故答案为：40-【点睛】本题考查向量数量积的几何意义的应用，属于中档题.28．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则复数z 的虚部为________ 【答案】1【分析】求解z 再得出虚部即可. 【详解】因为i 1i z ⋅=-+，故1111i iz i i i i i-+-==+=+=+，故虚部为1. 故答案为：1【点睛】本题主要考查了复数的运算与虚部的概念，属于基础题. 29．（2020·上海高三一模）复数52i -的共轭复数是___________. 【答案】2i -+【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数52i -，求出z 即可． 【详解】解：55(2)5(2)22(2)(2)5i i i i i i ----===----+--， ∴复数52i -的共轭复数是2i -+ 故答案为2i -+【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．30．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知复数22(13)(3)(12)i i z i +-=-，则||z =______【答案】【分析】根据复数乘法与除法运算法则化简，再根据共轭复数概念以及模的定义求解.【详解】22(13)(3)(13)(68)26(12)34i i i i z i i i +-++===-----|||26|z i ∴=-+==故答案为：【点睛】本题考查复数乘法与除法运算、共轭复数概念以及模的定义关系，考查基本分析求解能力，属基础题.31．（2020·上海高三其他模拟）若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________【答案】1-【分析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部.【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1- 故答案为1-【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.32．（2020·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为________ 【答案】32-【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=），将原方程变为()()222220ax ax bx bx i +++-=，则2220ax ax ++=①且220bx bx -=②；再对b 分类讨论可得；【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=）则原方程2220zx zx ++=变为()()222220ax ax bx bx i +++-= 所以2220ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去； 从而1a =-，此时1x =-1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得14a =-，b =所以144z =-±综上满足条件的所以复数的和为113144442⎛⎛-+-++--=- ⎝⎭⎝⎭故答案为：32-【点睛】本题考查复数的运算，复数相等的充要条件的应用，属于中档题.33．（2020·上海高三其他模拟）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，使得关于x 的方程2220x ax b ++=有两个虚根，则不同的选取方法有________种 【答案】3【分析】关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，即△＜0，即a ＜b ．用列举法求得结果即可． 【详解】∵关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，∴△＝4a 2﹣4b 2＜0，∴a ＜b ． 所有的（a ，b ）中满足a ＜b 的（a ，b ）共有（1，2）、（1，3）、（2，3），共计3个， 故答案为3．【点睛】本题考查列举法表示满足条件的事件，考查了实系数方程虚根的问题，属于中档题．34．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知复数13z i =-+（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的一个虚根，则::a b c =________.【答案】1:2:10【分析】利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，利用韦达定理即可求出a 、b 、c 的关系，从而可得 ::a b c【详解】利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，由韦达定理可得()()()13131313b i i a c i i a ⎧-++--=-⎪⎪⎨⎪-+--=⎪⎩ ，整理得：210bac a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2b a =，10c a =，所以:::2:101:2:10a b c a a a == 故答案为：1:2:10【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的虚根成对的原理，互为共轭复数，考查了韦达定理，属于基础题.35．（2020·上海高三其他模拟）设复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，则pq =________【答案】20-【分析】由题意复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，利用一元二次方程根与系数的关系求出p q 、的值，可得答案.【详解】解：由复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，故2-i 是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，故2+2i i p +-=-，(2+)(2)i i q -=， 故4p =-，5q =，故20pq =-， 故答案为：20-.【点睛】本题主要考查实系数的一元二次方程虚根成对定理，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型.36．（2020·上海徐汇区·高三一模）已知函数()f x ax b =+(其中,a b ∈R )满足：对任意[]0,1x ∈，有()1f x ≤，则()()2121a b ++的最小值为_________．【答案】9-【分析】根据题意()0f b =，()1f a b =+，可得()0b f =，()()10a f f =-，且()101f -≤≤，()111f -≤≤，所以将()()2121a b ++用()0f 和()1f 表示，即可求最值. 【详解】因为()f x ax b =+，对任意[]0,1x ∈，有()1f x ≤， 所以()0f b =，()1f a b =+，即()0b f =，()()10a f f =-，所以()()()()()()()21214214100211a b ab a b f f f f ++=+++=-⨯++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2224040111211f f f f f f =-+-+++()()()()()22212011120f f f f f =--++≥--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，当()11f =-，()01f =时()()2120f f -⎡⎤⎣⎦最大为9， 此时()()2120f f --⎡⎤⎣⎦最小为9-， 所以()()2121a b ++的最小值为9-， 故答案为：9-【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据[]0,1x ∈，有()1f x ≤，可知()101f -≤≤，()111f -≤≤，由()0f b =，()1f a b =+可得()0b f =，()()10a f f =-，所以()()2121a b ++可以用()0f 和()1f 表示，再配方，根据平方数的性质求最值. 37．（2020·上海高三其他模拟）设全集U ＝R ，若A ＝{x |21x x-＞1}，则∁U A ＝_____． 【答案】{x |0≤x ≤1}【分析】先解得不等式,再根据补集的定义求解即可 【详解】全集U ＝R ,若A ＝{x |21x x-＞1}, 所以211x x -＞,整理得10x x-＞,解得x ＞1或x ＜0, 所以∁U A ＝{x |0≤x ≤1} 故答案为：{x |0≤x ≤1}【点睛】本题考查解分式不等式,考查补集的定义38．（2020·上海市建平中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|(|||2|4)(|2|||4)0}K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为________【答案】323【分析】利用不等式对应区域的对称性求出在第一象限的面积，乘以4得答案．【详解】解：(||2||4)(2||||4)0x y x y +-+-对应的区域关于原点对称，x 轴对称，y 轴对称，∴只要作出在第一象限的区域即可．当0x ，0y 时，不等式等价为(24)(24)0x y x y +-+-，即240240x y x y +-⎧⎨+-⎩或240240x y x y +-⎧⎨+-⎩，在第一象限内对应的图象为， 则(2,0)A ，(4,0)B ，由240240x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得4343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即44(,)33C ，则三角形ABC 的面积1442233S =⨯⨯=，则在第一象限的面积48233S =⨯=，则点集K 对应的区域总面积832433S =⨯=．故答案为：323．【点睛】本题考查简单的线性规划，主要考查区域面积的计算，利用二元一次不等式组表示平面区域的对称性是解决本题的关键，属于中档题．39．（2020·上海高三其他模拟）已知()22log 2log a b ab +=4a b +的最小值是______．【答案】9【分析】根据对数相等得到111b a +=，利用基本不等式求解()114a b b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值得到所求结果. 【详解】因为22222log log log ab abab ==，所以()22l og og l a b ab +=，所以a b ab +=，所以111a b+=， ()1144414a ba b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=+++ ⎪⎝⎭，由题意知0ab >，则0a b >，40b a >，则441459a b a b b a +=+++≥=，当且仅当4a b b a =，即2a b =时取等号，故答案为：9.【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到111b a+=的关系，从而构造出符合基本不等式的形式，属于中档题.40．（2020·上海高三二模）已知0,0x y >>，且21x y +=，则11x y+的最小值为________．【答案】3+【分析】先把11x y+转化为11112(2)()3y x x y x y x y x y +=++=++，然后利用基本不等式可求出最小值 【详解】解：∵21x y +=，0,0x y >>，∴11112(2)()33y x x y x y x y x y +=++=++≥+(当且仅当2y xx y=，即x =时，取“=”)． 又∵21x y +=，∴11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴当1x =，12y =-时，11x y +有最小值，为3+．故答案为：3+【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，利用1的代换，属于基础题.41．（2020·上海高三月考）已知实数x 、y 满足条件01x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩.则目标函数2z x y =+的最大值为______. 【答案】2【分析】作出约束条件所表示的可行域，当目标函数所表示的直线过点(1,0)A 时，目标函数取得最大值. 【详解】作出约束条件所表示的可行域，易得点(1,0)A ，当直线2y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上的截距达到最大，∴max 2z =，故答案为：2【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意利用直线截距的几何意义进行求解.42．（2020·上海高三其他模拟）若()211,1nn N n x *⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭的展开式中的系数为n a ，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭=____________． 【答案】2试题分析：由二项式定理知4x -的系数是2(1)2n n n n a C -==，12112()(1)1n a n n n n ==---，所以 231111lim()lim[2(1)]2n n n a a a n→∞→∞+++=-=.考点：二项式定理，裂项相消求和，数列极限.43．（2020·上海高三其他模拟）设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项之积为n T ，且1n n S T +=，则lim n n S →∞=______． 【答案】1【分析】令1n =可得11112a S T ===，利用n T 的定义，1(2)n n n T S n T -=≥，可得n T 的递推关系，从而得1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出n T 后可得n S ，从而可得lim n n S →∞．【详解】111T a S ==，∴121a =，112a =，即1112S T ==，1(2)n n n T S n T -=≥，∴11n n n T T T -+=，∴1111n n T T --=，即{}n T 是以2为首项，1为公差的等差数列， 故1211n n n T =+-=+，11n T n =+，1n n S n =+，112S =也符合此式，所以1n n S n =+， 所以lim limlim lim +1111111n n n n n n n S n n n →∞→∞→∞→∞-⎛⎫==-= ⎪++⎝⎭=，故答案为：1.【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题中注意数列的和、数列的积与项的关系，进行相应的转化． 如对积n T 有1(2)nn n T S n T -=≥，对和n S 有1(2)n n n a S S n -=-≥，另外这种关系中常常不包括1n =的情形，需讨论以确定是否一致，属于较难题．三、解答题44．（2020·上海徐汇区·高三一模）设()x μ表示不小于x 的最小整数，例如(0.3)1,( 2.5)2μμ=-=-． （1）解方程(1)3x μ-=；（2）设()(())f x x x μμ=⋅，*n N ∈，试分别求出()f x 在区间(]0,1、(]1,2以及(]2,3上的值域；若()f x 在区间(0,]n 上的值域为n M ，求集合n M 中的元素的个数； （3）设实数0a >，()()2x g x x a xμ=+⋅-，2sin 2()57x h x x x π+=-+，若对于任意12,(2,4]x x ∈都有12()()g x h x >，求实数a 的取值范围．【答案】（1）34x <≤；（2）当(]0,1x ∈时，值域为{}1；当(]1,2x ∈时，值域为{}3,4；当(]2,3x ∈时，值域为{}7,8,9；(1)2n n +个；（3）(3,)+∞． 【分析】（1）根据()x μ的定义，列式解不等式；（2）根据定义分别列举()f x 在区间(]0,1、(]1,2以及(]2,3上的值域，和(1,]x n n ∈-时函数的值域，最后利用等差数列求和；（3）分别求两个函数的值域，并转化为()()max g x f x >，利用参变分离求实数a 的取值范围. 【详解】【解】（1）由题意得：213x <-≤，解得：34x <≤． （2）当(]0,1x ∈时，(]()1,()0,1x x x x μμ=⋅=∈，于是(())1x x μμ⋅=，值域为{}1当(]1,2x ∈时，(]()2,()22,4x x x x μμ=⋅=∈，于是(())3x x μμ⋅=或4，值域为{}3,4 当(]2,3x ∈时，(]()3,()36,9x x x x μμ=⋅=∈，于是(())7x x μμ⋅=或8或9，值域为{}7,8,9设*n N ∈，当(1,]x n n ∈-时，()x n μ=，所以()x x nx μ⋅=的取值范围为22(,]n n n -，-所以()f x 在(1,]x n n ∈-上的函数值的个数为n ，-由于区间22(,]n n n -与22((1)(1),(1)]n n n +-++的交集为空集， 故n M 中的元素个数为(1)1232n n n +++++=．- （3）由于2140573x x <≤-+，1sin 23x π≤+≤，因此()4h x ≤，当52x =时取等号，即即(2,4]x ∈时，()h x 的最大值为4，由题意得(2,4]x ∈时，()4g x >恒成立，当(2,3]x ∈时，223x a x >-恒成立，因为2max (2)33x x -=，所以3a >当(3,4]x ∈时，2324x a x >-恒成立，因为239244x x -<，所以94a ≥综合得，实数a 的取值范围是(3,)+∞．【点睛】关键点点睛：1.首先理解()x μ的定义，2.第三问，若对于任意12,(2,4]x x ∈都有12()()g x h x >，转化为()()max g x f x >，再利用参变分离求a 的取值范围.45．（2020·上海市建平中学高三月考）已知数列{}n a 满足：10a =，221n n a a =+，2121n n a a n +=++，*n ∈N .（1）求4a 、5a 、6a 、7a 的值； （2）设212n n na b -=，212333nn n S b b b =++⋅⋅⋅+，试求2020S ；（3）比较2017a 、2018a 、2019a 、2020a 的大小关系. 【答案】（1）3、5、5、8；（2）202120204037398S ⋅+=；（3）2017201820202019a a a a ==<. 【分析】。
高考数学《数列》大题训练50题含答案解析
一．解答题（共30小题）1．（2012•上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式．2．（2011•重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n．3．（2011•重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤．4．（2011•浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n 与B n的大小．5．（2011•上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，c n，…（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{c n}的通项公式．6．（2011•辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和．7．（2011•江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值；（2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列？若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由．8．（2011•湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（I）求数列{b n}的通项公式；（II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列．9．（2011•广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．10．（2011•安徽）在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n，再令a n=lgT n，n≥1．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=tana n•tana n+1，求数列{b n}的前n项和S n．11．（2010•浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15=0．（Ⅰ）若S5=5，求S6及a1；（Ⅱ）求d的取值范围．12．（2010•四川）已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．13．（2010•四川）已知数列{a n}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2a m+n﹣1+2（m﹣n）2（1）求a3，a5；（2）设b n=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{b n}是等差数列；（3）设c n=（a n+1﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．14．（2010•陕西）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和S n．15．（2010•宁夏）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列的前n项和S n．16．（2010•江西）正实数数列{a n}中，a1=1，a2=5，且{a n2}成等差数列．（1）证明数列{a n}中有无穷多项为无理数；（2）当n为何值时，a n为整数，并求出使a n＜200的所有整数项的和．17．（2009•陕西）已知数列{a n}满足，，n∈N×．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．18．（2009•山东）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点（n，S n），均在函数y=b x+r（b＞0）且b≠1，b，r均为常数）的图象上．（1）求r的值；（2）当b=2时，记b n=n∈N*求数列{b n}的前n项和T n．19．（2009•江西）数列{a n}的通项，其前n项和为S n，（1）求S n；（2），求数列{b n}的前n项和T n．20．（2009•辽宁）等比数列{a n}的前n项和为s n，已知S1，S3，S2成等差数列，（1）求{a n}的公比q；（2）求a1﹣a3=3，求s n．21．（2009•湖北）已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a2a6=55，a2+a7=16（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．22．（2009•福建）等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．23．（2009•安徽）已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+2n，数列{b n}的前n项和Tn=2﹣b n（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n2•b n，证明：当且仅当n≥3时，c n+1＜c n．24．（2009•北京）设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由．25．（2008•浙江）已知数列{x n}的首项x1=3，通项x n=2n p+np（n∈N*，p，q为常数），且成等差数列．求：（Ⅰ）p，q的值；（Ⅱ）数列{x n}前n项和S n的公式．26．（2008•四川）设数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）证明：{a n+1﹣2a n}是等比数列；（Ⅲ）求{a n}的通项公式．27．（2008•四川）在数列{a n}中，a1=1，．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）求数列{a n}的前n项和T n．28．（2008•陕西）已知数列{a n}的首项，，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．29．（2008•辽宁）在数列{a n}，{b n}是各项均为正数的等比数列，设．（Ⅰ）数列{c n}是否为等比数列？证明你的结论；（Ⅱ）设数列{lna n}，{lnb n}的前n项和分别为S n，T n．若a1=2，，求数列{c n}的前n项和．30．（2008•辽宁）在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：．答案与评分标准一．解答题（共30小题）1．（2012•上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式．考点：数列递推式；数列的函数特性。