初二数学特殊三角形试题附答案
八年级数学特殊三角形测试题答案

特殊三角形测试题参考答案与试题解析一、选择题(共14小题)7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.下列结论中,不一定成立的是()二.填空题(共4小题)11.(2002•福州)等腰三角形的两边长分别为2和7,则它的周长是12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,则顶角的度数是13.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为6和9两部分,则它的底边长是.14.已知直角三角形的两直角边长为3cm和4cm,则斜边上的中线长是cm,斜边上的高为cm.斜边长为=5cm•3•4=•5•x cm故答案为,15.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC与∠BCA的平分线AD、CD交于点D,若∠B=70°,则∠ADC=度.(∠(16.如图,要为一段高为5米,长为13米的楼梯铺上红地毯,则红地毯至少要米长.解:根据勾股定理,楼梯水平长度为三.解答题(共5小题)17.如图,△ABC中,∠C=90°,AB的中垂线DE交AB于E,交BC于D,若AB=13,AC=5,则△ACD的周长为18.如图,已知在△ABC中,∠A=75°,∠B=35°,∠C=70°,请将这个三角形分成两个等腰三角形.(要求标出每个等腰三角形的内角度数)19.如图,AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高,DE∥AB,交AC于点E,判断△ADE是不是等腰三角形,并说明理由.20.在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边的中点,点F在AC边上,DE与CF平行且相等.试说明AE=DF的理由.考点:全等三角形的判定与性质.分析:可通过构建全等三角形来证明,连接CD,那么CD就是直角三角形斜边上的中线,那么DC=AD,∠DAC=∠DCA,在三角形AED和DFC中,已知的条件有AD=CD,ED=FC,只要再证得两组对应边的夹角相等即可得出全等的结论,由于ED、CF平行,那么∠EDA=∠DAF=∠DCA,这样就构成了两三角形全等的条件(SAS)就能得出AE=DF的结论了.解答:解:连接CD,∵∠ACB=90°,D是AB边的中点∴CD=AD,∠DAC=∠DCF∵DE与CF平行且相等∴∠EDA=∠DAC∴∠EDA=∠DCF在△AED和△CFD中AD=CD,∠EDA=∠DCF,DE=CF∴△AED≌△CFD(SAS)∴AE=DF.点评:此题考查简单的线段相等,可以通过构建全等三角形来证明.判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.21.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于D,过C作BD垂线交BD的延长线于E,交BA的延长线于F,求证:BD=2CE.22.如图,在△ABC中,已知AB=AC,∠BAC=90°,D是BC上一点,EC⊥BC,EC=BD,DF=FE.求证:(1)△ABD≌△ACE;如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证:CE=CF;(2)在图①中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?(3)运用①②解答中所积累的经验和知识,完成下题.如图②在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD)∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,求DE长.考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;直角梯形.分析:(1)利用已知条件,可证出△BCE≌△DCF(SAS),即CE=CF.(2)借助(1)的全等得出∠BCE=∠DCF,∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°-∠GCE=45°,即∠GCF=∠GCE,又因为CE=CF,CG=CG,∴△ECG≌△FCG,∴EG=GF,∴GE=DF+GD=BE+GD.(3)过C作CG⊥AD,交AD延长线于G,先证四边形ABCG是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).再设DE=x,利用(1)、(2)的结论,在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE.解答:(1)证明:在正方形ABCD中,BC=CD,∠B=∠CDF=90°在△CBE和△CDF中BC=CD∠B=∠CDF=90°BE=DF,∴△CBE≌△CDF(SAS),∴CE=CF;(2)解:GE=BE+GD,理由:∵△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF,∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD,即∠ECF=∠BCD=90°,又∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°,在△ECG和△FCG中CE=CF,∠GCF=∠GCE,GC=GC,∴△ECG≌△FCG(SAS),∴EG=GF,∴GE=DF+GD=BE+GD;(3)解:过C作CG⊥AD于G,在直角梯形ABCD中AD∥BC,∠A=∠B=90°又∵∠CGA=90°,AB=BC,∴四边形ABCG为正方形,∴AG=BC=12,∵∠DCE=45°,由①②可得ED=BE+DG,设DE=x,则DG=x-4,∴AD=16-x在Rt△AED中,∵DE2=AD2+AE2,∴x2=(16-x)2+82∴x=10,即DE=10.点评:本题是一道几何综合题,内容涉及三角形的全等、图形的旋转以及勾股定理的应用,重点考查学生的数学学习能力,是一道好题.本题的设计由浅入深,循序渐进,考虑到学生的个体差异.从阅卷的情况看,本题的得分在4-8分的学生居多.前两个小题学生做得较好,第三小题,因为学生不懂得用前面积累的知识经验答题,数学学习能力不强,造成本小题得分率较低.。
浙教版八年级数学上册第二章:特殊三角形 培优检测卷(含答案)

第2章特殊三角形培优提高卷一、选择题。
(本题有10个小题,每小题3分,共30分)1.如图,等腰直角△ABC中AB=AC,将其按下图所示的方式折叠两次,若DA’=1,给出下列说法:①DC’平分∠BDA’;②BA’长为;③△BC’D是等腰三角形;④△CA’D的周长等于BC的长.其中正确的有﹙﹚A.1个B.2个C.3个D.4个2.在如图所示的正方形网格中,网格线的交点成为格点.已知A,B是两个格点,如果点C 也是图中的格点,且使△ABC为等腰直角三角形,则点C的个数是﹙﹚A.6个B.7个C.8个D.9个(第2题) (第3题) (第4题)3.如图,在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点B顺时针旋转α度,得到△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC,BC于点D,F,下列结论:①∠CDF=α;②A1E=CF;③DF=FC;④BE=BF.其中正确的有﹙﹚A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③4.如图,△ABC中,AB=20㎝,AC=12㎝,点P从点B出发以3㎝/s的速度向点A运动,点Q从点A同时出发以2㎝/s的速度想点C运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,当△APQ是等腰三角形时,运动的时间是()A.2.5s;B.3s;C.3.5s;D.4s请你帮他找来﹙ ﹚ A .13,12,12B .12,12,8C .13,10,12D .5,8,46.如图,△ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ,过D 作直线平行于BC ,交AB 、AC 于E 、F ,当∠A 的位置及大小变化时,线段EF 和BE +CF 的大小关系﹙ ﹚ A .EF =BE +CF B .EF >BE +CF C .EF <BE +CF D .不能确定(第6题) (第7题) (第8题)7.如图,Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC =3,AC =4,AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ,则CE 的长为﹙ ﹚ A .67 B .65 C .35 D .348.如图,在四边形ABCD 中,∠BAD =∠ADC =90°,AB =AD =22,CD =2,点P 在四边形ABCD 的边上.若点P 到BD 的距离为23,则点P 的个数为﹙ ﹚ A .2 B .3 C .4 D .59.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,∠B =30°,AC =1,AC 在直线l 上.将△ABC 绕点A 顺时针旋转到位置①,可得到点P 1,此时AP 1=2;将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②,可得到点P 2,此时AP 2=23;将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③,可得到点P 3,此时AP 3=33;…,按此规律继续旋转,直到得到点P 2014为止,则P 1P 2014=﹙ ﹚A .2012+3B .2013+3C .2014+3D .2015+3(第9题) (第10题)10.如图,已知△ABC 中,∠ABC =45°,AC =4,H 是高AD 和BE 的交点,则线段BH 的长度为( )A.6 B .23 C .5 D .4 二、填空题。
浙教版八年级上册数学第二章《特殊三角形》测试卷含答案

浙教版八年级上册数学第二章《特殊三角形》测试卷含答案(总8页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--浙教版八年级上册数学第二章《特殊三角形》测试卷考试时间:120分钟满分:120分一、选择题(本大题有12小题,每小题3分,共36分)下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.1.下列图形中是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.已知等腰三角形的一边长为3,另一边长为6,则这个等腰三角形的周长为()A. 12B. 12或15 C. 15 D. 93.在中,,,则BC边上的高为()A. 12B. 10C. 9D. 84.若等腰三角形一个外角等于100 ,则它的顶角度数为()A. 20°B. 80°C. 20°或80° D. 50°或80°5.如图△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D 交AC于点E,那么下列结论中正确的是()①△BDF和△CEF都是等腰三角形②DE=BD+CE③△ADE的周长等于AB和AC的和④BF=CFA. ①②③④B. ①②③C. ①②D. ①6.如图,将绕点A按逆时针方向旋转100°,得到,若点在线段BC 的延长线上,则的大小为()A. 70°B. 80°C. 84°D. 86°(第5题)(第6题)(第7题)(第9题)7.如图,正方形A,B,C的边长分别为直角三角形的三边长,若正方形A,B的边长分别为3和5,则正方形C的面积为( )A. 4B. 15C. 16D. 188.以下列长度的线段不能围成直角三角形的是()A. 5,12, 13B.C. ,3,4 D. 2,3,49.如图由于台风的影响,一棵树在离地面处折断,折断后树干上部分与地面成30度的夹角,折断前长度是()A. B. C.D. .10.如图,AC=BC,AE=CD,AE⊥CE于点E,BD⊥CD于点D,AE=7,BD=2,则DE 的长是()A. 7B. 5C. 3D. 2(第10题)(第11题)11.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。
特殊三角形-练习题(含答案)

特殊三角形-练习题(含答案)特殊三角形-练习题(含答案)一、选择题1. 在直角三角形中,若一条直角边的长度为3,另一条直角边的长度为4,那么斜边的长度是:A. 5B. 7C. 9D. 122. 一个等腰三角形的两条等边分别为5,那么等腰三角形的底边长为:A. 2.5B. 4C. 5D. 103. 在等边三角形中,每个角的度数为:A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°4. 若一个三角形有一条边长为2,另外两条边长为3和4,那么这个三角形是:A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形5. 在等腰直角三角形中,两条直角边的长度分别为3和4,那么斜边的长度为:A. 5B. 7C. 9D. 12二、填空题1. 正三角形的每个角度数为__________。
2. 整数边长的直角三角形有__________组。
3. 锐角三角形的内角和为__________度。
4. 勾股定理可以用来判断一个三角形是否为__________。
5. 一个等腰三角形的两条等边分别为6,那么等腰三角形的底边长为__________。
三、解答题1. 证明等腰直角三角形的两条直角边相等。
解答思路:通过证明直角三角形两个角相等,并且直角三角形的两边长相等,可以得出等腰直角三角形的两条直角边相等。
2. 在等边三角形ABC中,边长为6。
连接点A和边BC的垂线段AD,求垂足D与点C之间的距离。
解答思路:利用等边三角形的性质,可以得出垂足D与点C之间的距离等于等边三角形的边长的一半。
四、答案选择题答案:1. A2. B3. B4. D5. A填空题答案:1. 60°2. 3组3. 180°4. 直角三角形5. 6解答题答案:1. 略2. 等边三角形的边长为6,所以垂足D与点C之间的距离为3。
结束语通过以上练习题的答案,我们可以对特殊三角形的性质和计算有更深入的了解。
8年级 数学 特殊三角形参考答案

【题 11】
【分析】证明:∵AF=AG,∴∠G=∠GFA. ∵∠ADC=∠GEC, ∴AD∥GE. ∴∠BAD=∠GFA,∠DAC=∠G. ∴∠BAD=∠DAC,即 AD 平分∠BAC.
2
业精于勤荒于嬉, 行成于思毁于随
【暑假收心· 第四练参考答案】
学员检测反馈体系
可预期 可检测 可反馈
【题 12】
【题 19】①②
【分析】在等边△ABC 中,AB=AC,∠BAC=∠B=60°, ∵在△ABE 和△CAD 中, , ∴△ABE≌△CAD(SAS),
∴AE=CD,故①正确; ∵∠ACD=∠BAE, ∴∠CAF+∠ACD=∠CAF+∠BCE=∠BAC=60°, 在△ACF 中,∠AFC=180°﹣(∠CAF+∠ACD)=180°﹣60°=120°,故②正确; ∵∠FAD<∠BAC,∠BAC=60°, ∴∠FAD≠60°, ∴△ADF 不是正三角形,故③错误.
【题 3】9 或 13
【分析】设等腰三角形的底边长为 x,腰长为 y,则根据题意得:
或
, 解得
或
,
经检验,这两组解均能构成三角形,所以底边长为 9 或 13.
【题 4】8 或 4
【分析】设等腰三角形的腰长是 x, ∵等腰△ABC 的底边长为 6, ∴分两种情况,①x﹣6=2;②6﹣x=2, 解得:x=8 或 4.
【题 17】等边三角形
【分析】∵△ABC 为等边三角形,且 AD=BE,∴AF=BD,∠A=∠B=60°, ∴在△ADF 与△BED 中, , ∴△ADF≌△BED(SAS).
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业精于勤荒于嬉, 行成于思毁于随
【暑假收心· 第四练参考答案】
学员检测反馈体系
三角形初二试题及答案

三角形初二试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 在三角形中,如果一个角是直角,那么这个三角形被称为()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案:B2. 三角形的内角和是()A. 180°B. 360°C. 90°D. 120°答案:A3. 如果一个三角形的两边相等,那么这个三角形被称为()A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形答案:B4. 在三角形中,如果有一个角大于90°,那么这个三角形被称为()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案:C5. 一个三角形的两边之和大于第三边,这个性质被称为()A. 三角不等式B. 勾股定理C. 欧拉公式D. 费马原理答案:A6. 如果一个三角形的三边都相等,那么这个三角形被称为()A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形答案:A7. 三角形的外角和是()A. 180°B. 360°C. 90°D. 120°答案:B8. 在三角形中,如果一个角是锐角,那么这个三角形被称为()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案:A9. 如果一个三角形的两边之差小于第三边,这个性质被称为()A. 三角不等式B. 勾股定理C. 欧拉公式D. 费马原理答案:A10. 在三角形中,如果有一个角等于90°,那么这个三角形被称为()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案:B二、填空题(每题3分,共30分)11. 在三角形中,如果一个角是60°,那么这个三角形可能是等边三角形,也可能是等腰三角形,还可能是______三角形。
答案:锐角12. 一个三角形的两边之和大于第三边,这个性质被称为三角形的______。
浙教版八年级数学上《第2章特殊三角形》单元测试含答案

第2章特殊三角形一、选择题1.若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数为()A.40° B.50° C.60° D.70°2.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为()A.35° B.45° C.55° D.60°3.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为()A.35° B.40° C.45° D.50°4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为()A.15° B.17.5°C.20° D.22.5°5.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5,则它的周长为()A.12 B.9 C.12或9 D.9或76.若等腰三角形中有两边长分别为2和5,则这个三角形的周长为()A.9 B.12 C.7或9 D.9或127.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为()A.8或10 B.8 C.10 D.6或128.如图,C,D分别是线段AB,AC的中点,分别以点C,D为圆心,BC长为半径画弧,两弧交于点M,测量∠AMB的度数,结果为()A.80° B.90° C.100°D.105°9.如图,△ABC、△ADE中,C、D两点分别在AE、AB上,BC与DE相交于F点.若BD=CD=CE,∠ADC+∠ACD=114°,则∠DFC的度数为何?()A.114 B.123 C.132 D.14710.已知等腰△ABC的两边长分别为2和3,则等腰△ABC的周长为()A.7 B.8 C.6或8 D.7或811.一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为()A.17 B.15 C.13 D.13或1712.如图,在△ABC中,点D在BC上,AB=AD=DC,∠B=80°,则∠C的度数为()A.30° B.40° C.45° D.60°13.已知等腰三角形△ABC中,腰AB=8,底BC=5,则这个三角形的周长为()A.21 B.20 C.19 D.1814.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以B为圆心,BC的长为半径圆弧,交AC于点D,连接BD,则∠ABD=()A.30° B.45° C.60° D.90°15.如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E=35°,则∠BAC的度数为()A.40° B.45° C.60° D.70°16.已知等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为()A.11 B.16 C.17 D.16或1717.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,∠ABC=72°,则∠ABD=()A.36° B.54° C.18° D.64°18.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,∠A=36°,则∠1的度数为()A.36° B.60° C.72° D.108°19.如图,在五边形ABCDE中,AB=AC=AD=AE,且AB∥ED,∠EAB=120°,则∠DCB=()A.150°B.160°C.130°D.60°20.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,AD平分∠BAC交BC于D,则BD的长为()A .B .C .D .二、填空题21.等腰三角形的一个外角是60°,则它的顶角的度数是______.22.如图,△ABC 中,D 是BC 上一点,AC=AD=DB ,∠BAC=102°,则∠ADC=______度.23.如图,a ∥b ,∠ABC=50°,若△ABC 是等腰三角形,则∠α=______°(填一个即可)24.一个等腰三角形的两边长分别是2cm 、5cm ,则它的周长为______cm .25.若等腰三角形的两条边长分别为7cm 和14cm ,则它的周长为______cm .26.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,则顶角的度数是______.27.如图,∠BOC=9°,点A 在OB 上,且OA=1,按下列要求画图:以A 为圆心,1为半径向右画弧交OC 于点A 1,得第1条线段AA 1;再以A 1为圆心,1为半径向右画弧交OB 于点A 2,得第2条线段A 1A 2;再以A 2为圆心,1为半径向右画弧交OC 于点A 3,得第3条线段A 2A 3;…这样画下去,直到得第n 条线段,之后就不能再画出符合要求的线段了,则n=______.第2章特殊三角形参考答案一、选择题1.D;2.C;3.A;4.A;5.A;6.B;7.C;8.B;9.B;10.D;11.A;12.B;13.A;14.B;15.A;16.D;17.B;18.C;19.A;20.A;二、填空题21.120°;22.52;23.130;24.12;25.35;26.110°或70°;27.9;。
最新八年级上册数学特殊三角形经典习题(含答案)

八年级上特殊三角形复习一、等腰三角形1、如图,∠AOB=30̊,OC平分∠AOB,P为OC上一点,PD∥OA交OB于D,PE垂直OA于E,若OD=4cm,求PE的长.2、如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.(1)求证:BE=CE;(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变.求证:EF=CF.3.如图,在四边形ABCD中,AD=4,BC=1,∠A=30°,∠B=90°,∠ADC=120°,求CD的长.4.如图,△ABC 为等边三角形,BD 平分∠ABC 交AC 于点D ,DE ∥BC 交AB 于点E . (1)求证:△ADE 是等边三角形.(2)求证:AE =21AB .5.如图所示,D 、E 分别是 △ABC 的边 BC 、AC 上的点,且 AB =AC ,AD =AE . (1)若 ∠BAD =20̊,则∠EDC = ; (2)若 ∠EDC =20̊,则∠BAD = ;(3)设∠BAD =ɑ ,∠EDC =β,你能由(1)(2)中的结果找到 ɑ、β 所满足的关系吗?请说明理由.6.如图,CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线,点A关于CN的对称点为D,连接AD,BD,CD,其中AD,BD分别交射线CN于点E,P.(1)依题意补全图形;(2)若∠ACN=α,求∠BDC的大小(用含的式子表示);(3)用等式表示线段PB,PC与PE之间的数量关系,并证明.7.如图,点A、B、C在同一直线上,△ABD,△BCE都是等边三角形。
(1)求证:AE=CD;(2)若M,N分别是AE,CD的中点,试判断△BMN的形状,并证明你的结论。
8.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F.(1)求证:AD=CE;(2)求∠DFC的度数.9.如图,点O是等边三角形ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.(1)求证:△COD是等边三角形;(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?二、直角三角形1.如图1,在△ABC中,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于D,BD=2,DC=3,求AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB、AC为对称轴,画出△ABD、△ACD 的轴对称图形,D点的对称点为E、F,延长EB、FC相交于G点,得到四边形AEGF是正方形.设AD=x,利用勾股定理,建立关于x的方程模型,即可求出x的值.参考小萍的思路,探究并解答新问题:如图2,在△ABC中,∠BAC=30°,AD⊥BC于D,AD=4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF,求△BGC的周长.(画图所用字母与图1中的字母对应)2.已知,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=18cm.动点P从点A出发,沿AB向点B 运动,动点Q从点B出发,沿BC向点C运动,如果动点P以2cm/s,Q以1cm/s的速度同时出发,设运动时间为t(s),解答下列问题:(1)t为时,△PBQ是等边三角形?(2)P,Q在运动过程中,△PBQ的形状不断发生变化,当t为何值时,△PBQ是直角三角形?说明理由.3.两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,图中AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD=900,B,C,E在同一条直线上,连结DC.(1)图2中的全等三角形是_______________ ,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母);(2)指出线段DC和线段BE的关系,并说明理由.4.已知:如图T5-6,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.(1)求证:△ACE≌△BCD;(2)求证:2CD2=AD2+DB2.5.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC上一动点,连接AD,过点A作AE⊥AD,并且始终保持AE=AD,连接CE.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)若AF平分∠DAE交BC于F,探究线段BD,DF,FC之间的数量关系,并证明;(3)在(2)的条件下,若BD=3,CF=4,求AD的长.6.如图,折叠长方形纸片ABCD,使点D落在边BC上的点F处,折痕为AE.已知该纸片宽AB=3cm,长BC=5cm.求EC的长.7.已知,如图,∠ABC=∠ADC=90°,点E、F分别是AC、BD的中点,AC=10,BD=6.(1)求证:EF⊥BD;(2)求EF的长.8.在△ABC 中,AB =15,BC =14,AC =13,求△ABC 的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.9.如图,在△ABC 中,∠C =90°,点P 在AC 上运动,点D 在AB 上,PD 始终保持与PA 相等,BD 的垂直平分线交BC 于点E ,交BD 于点F ,连接DE . (1)判断DE 与DP 的位置关系,并说明理由; (2)若AC =6,BC =8,PA =2,求线段DE 的长.10.如图, C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB BD ,ED BD ,连结AC 、EC ,已知线段AB =5,DE =1,BD =8,设CD =x (1)用含x 的代数式表示AC +CE 的长;(2)请问点C 满足什么条件时,AC +CE 最小?最小为多少?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求代数式9)12(422+-++x x 的最小值.11.(1)问题发现:如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,当△DCE旋转至点A,D,E在同一直线上,连接BE,易证△BCE≌△ACD.则①∠BEC=______°;②线段AD、BE之间的数量关系是______.(2)拓展研究:如图2,△ACB和△DCE均为等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,若AE=15,DE=7,求AB的长度.(3)探究发现:如图3,P为等边△ABC内一点,且∠APC=150°,且∠APD=30°,AP=5,CP=4,DP=8,求BD 的长.一、等腰三角形1.过点P 作PH ⊥BO 于点H ,则PE =PH =21PD =2 2.证明:(1)∵AB =AC ,D 是B C 的中点,∴∠BAE =∠EAC , ∴△ABE ≌△ACE (S A S ),∴BE =CE ; (2)∵∠BAC =45°,BF ⊥AF ,∴△ABF 为等腰直角三角形,∴AF =BF , ∵AB =AC ,点D 是BC 的中点,∴AD ⊥BC ,∴∠EAF +∠C =90°, ∵BF ⊥AC ,∴∠CBF +∠C =90°,∴∠EAF =∠CBF ,∴△AEF ≌△BCF (A S A ).∴EF =CF 3.延长AD 、BC ,两条延长线交于点E ∵∠B =90°,∠A =30°∴∠E =60° ∵∠ADC =120°∴∠CDE =60°∴△CDE 是等边三角形,则CD =CE =DE 设CD =x ,则CE =DE =x ,AE =x +4,BE =x +1∵ 在Rt △ABE 中,∠A =30°,∴ x +4=2(x +1),解得:x =2,∴CD =2 4.(1)∵△ABC 为等边三角形∴∠A =∠ABC =∠C =60° ∵DE ∥BC ,∴∠AED =∠ABC =60º,∠ADE =∠C =60º∴∠AED =∠ADE =∠A =60º,∴△ADE 是等边三角形 (2)∵△ABC 为等边三角形,∴AB =BC =AC ∵AB =BC ,BD 平分∠ABC ,∴AD =21AC ∵△ADE 是等边三角形,∴AE =AD ,∴AE =21AB 5.(1) 10° (2)40°(3) α=2β.理由如下:(4)因为 AB =AC ,AD =AE ,所以 ∠B =∠C ,∠ADE =∠AED . 又∠ADC =∠B +∠BAD ,得∠AED +∠EDC =∠B +∠BAD .所以∠EDC +∠C +∠EDC =∠B +∠BAD ,所以2∠EDC =∠BAD ,即α=2β .6.(1)(2)解:∵点A 与点D 关于CN 对称, ∴CN 是AD 的垂直平分线, ∴CA =CD . ∵∠AC N=α, ∴∠ACD =2α.∵等边△ABC ,∴CA =CB =CD ,∠ACB =60°. ∴∠BCD =∠ACB +∠ACD =60°+2α. ∴∠BDC =∠DBC =21(180°∠BCD )=60°-α. (3)结论:PB =PC +2PE . 本题证法不唯一,如:证明:在PB 上截取PF 使PF =PC ,连接CF . ∵CA =CD ,∠ACD =2 ∴∠CDA =∠CAD =90°-α.∵∠BDC =60°-α, ∴∠PDE =∠CDA ∠BDC =30°. ∴PD =2PE . ∵∠CPF =∠DPE =90°∠PDE =60° ∴△CPF 是等边三角形. ∴∠CPF =∠CFP =60°∴∠BFC =∠DPC =120°∴△BFC ≌△DPC . ∴BF =PD =2PE ∴PB = PF +BF =PC +2PE .7.因为,△ABD ,△BCE 都是等边三角形,AB =BD ,BE =BC ∠ABD +∠DBE =∠EBC +∠DBE ,所以∠ABE =∠DBC 所以△ABE 全等△DBC ,所以AE =CD (2)等边三角形8.证明:∵△ABC 是等边三角形,∴∠BAC =∠B =60°,AB =AC 又∵AE =BD ,∴△AEC ≌△BDA ,∴ AD =CE(2)解由(1)△AEC ≌△BDA ,得∠ACE =∠BAD ∴∠DFC =∠FAC +∠ACE =60° 9.(1)证明:∵CO =CD ,∠OCD =60°,∴△COD 是等边三角形;(2)解:当α=150°时,△AOD 是直角三角形.(5分)理由如下:由题意可得△BOC ≌△ADC ,∴∠ADC =∠BOC =150°.又∵△COD 为等边三角形,∴∠ODC =60°,∴∠ADO =90°.即△AOD 是直角三角形;(3)解:①要使AO =AD ,需∠AOD =∠ADO .∵∠AOD =190°-α,∠ADO =α-60°,∴190°-α=α-60°,∴α=125°.②要使OA =OD ,需∠OAD =∠ADO .∵∠OAD =180°-(∠AOD +∠ADO )=180°-(190°-α+α-60°)=50°,∴α-60°=50°.∴α=110°;③要使OD =AD ,需∠OAD =∠AOD ,∴190°-α=50°,∴α=140°.综上所述,当α的度数为125°或110°或140°时,△AOD 是等腰三角形.二、直角三角形1.参考小萍的做法得到四边形AEGF ,∠EA F =60°, ∠EGF =120°,∠AEG =∠AFG = 90°,AE =AF =AD =4. 连结EF ,可得 △AEF 为等边三角形.∴ EF =4. ∴ ∠FEG =∠EFG = 30°.∴ EG =FG .在△EFG 中,可求,EG =334. ∴△EFG 的周长=BG +CG +BC =BG +CG +EB +FC =2EG =338.2.(1)要使,△PBQ 是等边三角形,即可得:PB =BQ , ∵在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,BC =18cm .∴AB =36cm , 可得:PB =36﹣2t ,BQ =t ,即36﹣2t=t ,解得:t=12,故答案为;12(2)当t 为9或572时,△PBQ 是直角三角形,理由如下: ∵∠C =90°,∠A =30°,BC =18cm ∴AB =2BC =18×2=36(cm )∵动点P 以2cm/s ,Q 以1cm/s 的速度出发∴BP =AB ﹣AP =36﹣2t ,BQ =t∴∠4=∠B =45°,BD =CE ∴∠ECF =∠3+∠4=90°, ∴CE 2+CF 2=EF 2,∴BD 2+FC 2=EF 2,∵AF 平分∠DAE ,∴∠DAF =∠EAF ,∴△DAF ≌△EAF ∴DF =EF ∴BD 2+FC 2=DF 2.(3)解:过点A 作AG ⊥BC 于G ,由(2)知DF 2=BD 2+FC 2=32+42=25∴DF =5, ∴BC =BD +DF +FC =3+5+4=12,∵AB =AC ,AG ⊥BC ,∴BG =AG =21BC =6,∴DG =BG ﹣BD =6﹣3=3, ∴在Rt △ADG 中,AD =53.6.由折叠可知AD=AF=5cm ,DE=EF∵∠B =90°∴ AB 2+BF 2= AF 2,∵AB=3cm ,AF=5cm∴BF=4cm ,∵BC=5cm ,∴FC=1cm ∵∠C =90°,∴ EC 2+FC 2= EF 2 设EC =x ,则DE=EF=3-x ∴(3-x )2=12+x 2∴ x =347.证明:(1)连接BE ,DE∵∠ABC =∠ADC =90°,点E 是AC 的中点,∴BE =21AC ,DE =21AC ∴BE =DE ∵点F 是BD 的中点,BE =DE ∴EF ⊥BD(2)∵BE =21AC ∴BE =5 ∵点F 是BD 的中点∴BF =DF =3在Rt △BEF 中,EF ==48.作AD ⊥BC 于D ,如图所示:设BD = x ,则CD =x -14. ∴2222)14(1315x x --=-, 解之得:9=x . ∴. ∴84=S9.(1)DE ⊥DP ,理由如下:连接OD ,∵PD =PA ,∴∠A =∠PDA ,∵EF 是BD 的垂直平分线,∴EB =ED ,∴∠B =∠EDB ,∵∠C =90°,∴∠A +∠B =90°,∴∠PDA +∠EDB =90°,∴∠ODE =180°﹣90°=90°,∴DE ⊥DP (2)连接PE ,设DE =x ,则EB =ED =x ,CE =8﹣x ,∵∠C =∠PDE =90°,∴PC 2+CE 2=PE 2=PD 2+DE 2,∴42+(8﹣x )2=22+x 2,解得:x =4.75,则DE =4.75. (10分)10.(1)125)8(22+++-x x(2)解:当点C 为AE 和BD 的交点时,根据两点之间线段最短,所以AC +CE 的值最小(3)解:如图(1),C 为线段BD 上一动点,分别过点B ,D 作AB BD ,ED BD ,连接AC ,ED 。
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初二数学特殊三角形试题附答案
一、选择题(每小题 3 分,共30分)
1. 下列图形中,不一定是轴对称图形的是()
A.线段
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.圆
2. 若等腰三角形的两边长分别为4和9,则周长为()
A.17
B.22
C.13
D.17 或22
3. 如果三角形一边上的高平分这条边所对的角,那么此三角形一定是()
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
4. 小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角板拼成如图所示的图形,其中两条较长直角边在同一直线上,则图中等腰三角形的个数是()
A.4
B.3
C.2
D.1
5. 如图,已知在厶ABC中,/ ABC=90,/ A=30°, BDLAC
DE I BC D, E为垂足,下列结论正确的是()
A.AC=2AB
B.AC=8EC
C.CE=BD
D.BC=2BD
6. 有四个三角形, 分别满足下列条件:(1) 一个角等于另外两个内角之和;(2) 三个内角之比为3:4:5;(3) 三边之比为5:12:13;(4) 三边长分别为5, 24, 25. 其中直角三角形有()
A.1 个
B.2个
C.3个
D.4个
7. 如图,EA^AB, BJAB, AB=AE=2B,D为AB的中点,有以
下判断:①DE二AO②DEL AC;③/ CAB=30 ;④/ EAF玄ADE其中正确结论的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
8. 如图,以点A和点B为两个顶点作位置不同的等腰直角三角
形,一共可以作出()
A.2 个
B.4 个
C.6 个
D.8 个
9. 如图所示,已知△ ABC中, AB=6 AC=9 AD L BC于D, M为AD上任一点,则MC2二MB等于()
A.9
B.35
C.45
D. 无法计算
10. 若厶ABC是直角三角形,两条直角边分别为5和12,在三角形内有一
点D, D到厶ABC各边的距离都相等,则这个距离等于()
A.2
B.3
C.4
D.5
二、填空题(每小题 4 分,共24分)
11. 已知等腰三角形中顶角的度数是底角的3倍,那么底角的度
数是 ________ .
12. 已知等腰厶ABC的底边BC=8cm且|AC-BC|=2cm,那么腰AC 的长为 __________ .
13. 如图,学校有一块长方形花圃, 有极少数人为了避开拐角走
“捷径”,在花圃内走出了一条小路, 他们仅仅少走了_________ 步路, (假设2步为1m),却踩伤了花革.
14. 如图,在△ ABC中, AB=5cr p BC=12cr p AC=13cm 那么AC 边上的中线BD的长为______ cm.
15. 已知,如图,△ ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC到E,使CE=CD不添加辅助线,请你写出三个正确结论:
(1) _________ ;(2)_________ ;(3)__________ .
16. 已知,如图,正方形ABCD中对角线AC和BD相交于点0, E, F分别是边AD, DC上的点,若AE=4cm FC=3cm且0E丄0F,则EF= _____ cm.
三、解答题(共66分)
17. (6 分)如图,在厶ABC中, AB=AC点D在BC边上,DEL AB DF丄AC垂足分别为E, F,添加一个条件,使DE=DF.
18. (6 分)如图,已知/ AOB=30 , 0C平分/ AOB P为OC上一点,PD// 0A交OB于D, PE! OA于E,如果OD=4 求PE的长.
19. (6 分)如图,△ ABC是等边三角形,ABCD^等腰直角三角形,其中/ BCD=90,求/ BAD的度数.
20. (8 分)如图,E为等边三角形ABC i AC上的点,/仁/2,
CD二BE判断△ ADE的形状.
21. (8 分)如图所示,已知:在厶ABC中,/
A=80°,BD=BECD=CF.
求/ EDF的度数.
22. (10 分)如图,已知点B, C, D在同一条直线上,△ ABC^H^ CDE都是等边三角形,BE交AC于点F, AD交CE于点H.
(1) 说明:△ BCE^A ACD;
(2) 说明:CF=CH;
(3) 判断△ CFH勺形状并说明理由.
23. (10 分)如图,已知在厶ABC中,/ ABC=90 , AB=BC三角形勺顶点分别在相互平行勺三条直线l1,l2,l3 上,且l1,l2 之间勺距离为2, 12,13之间的距离为3,求AC的长.
24. (12 分)如图(1)所示,在△ ABC 中,/ BAC=90 , AB=AC AE 是过A的一条直线,且B, C在AE的异侧,BD丄AE于D, CE! AE于 E. 说明:
(1) BD=DE+EC :
(2) 若直线AE绕点A旋转到图(2)位置时(BD
(3) 若直线AE绕点A旋转到图⑶时(BD>CE,其余条件不变,问BD与DE CE的关系如何?请直接写出结果.
参考答案
第2章水平测试
1.C
2.B
3.A
4.B
5.B
6.C
7.C
8.C
9.CI0.AII.36 ° 12.6cm 或
12cm13.414.6.5l5.解:答案不唯一,Z E=30°, Z ABD2 DBC=30 , BD!AC 等16.517.解:BD=CEg BE二CF说明厶BDE^A CDF18解:作PF 丄
OB于F,A PF二PE.9C平分Z AOB.Z l= Z 2v PD// 0A「・Z 2=Z 3 •••Z l= Z 3二PD=OD=4 PE=PF=PD=2
19. 解:ABC是等边三角形• AC=BC*A BCD是等腰直角三角形,Z BCD=90 • BC=C D AC=C QZ CAD Z ADC===75 BAD Z CAD Z BAC=75
+60° =l35 ° 20.解:ABC为等边三角形ABE 刍\ACD. AE=AD.Z DAE M BAC=60 :. △ ADE为等边三角形21.解:v BD二BE. / l= M 2二T CD 二CF M 3=M 4=v/ EDF+M 2+M 3=180°二/ EDF=180°-
( M2+M3)=180°-(+)=( M B+M C)=(180°-M A)=(180°-80°)=50°
22. 解:(1) •••△ ABC^H^CDE都是正BC=AC/ BCE M ACD=120 CE=C D.^ BCE^A ACD(SAS)
(2) •/△BCE^Z ACD.M CBF M CAH又v BC=AC/ BCF M ACH=60 •••△BCF^M ACH(ASA).CF二CH(3>\CFH是等边三角形,理由:v CF=CH M FCH=60 CFH是等边三角形23.解:分别过A, C作AE! 13 , CD! 13,垂足分别为E,D由题意可知AE=3 CD=2+3=5又v AB=BC M ABE M BCD. Rt△AEB^A CBD(AAS. AE二BD=3
CB2=BD2+CD2=32+52=34\C2=AB2+CB2=342=68v AC>0\ AC==
24. 解:(1) vA ABC为等腰直角三角形3M BAE M EAC=90 v BD! AE, CE! AE.M ADB=M AEC=90 M BAE+M ABD=90 .M EAC=M ABD/
AB=AC.^ ABD^A CAE\ BD=AE AD=E3 BD=AD+DE=EC+DE(2)BD=EC
仍成立(3)BD=EC+DF仍成立。