非对称密码体制

云南大学数学与统计学实验教学中心实验报告一、实验目的：通过实验掌握非对称密码体制的重要思想。

二、实验内容：查阅资料，实现RSA密码体制的编码算法、译码算法、密钥生成算法查阅资料，实现ECC密码体制的编码算法、译码算法、密钥生成算法三、实验环境Win7、Eclipse四、实验过程（请学生认真填写）：实验过程、结果以及相应的解释：1. 预备知识非对称密码体制也叫公钥加密技术，该技术就是针对私钥密码体制的缺陷被提出来的。

在公钥加密系统中，加密和解密是相对独立的，加密和解密会使用两把不同的密钥，加密密钥(公开密钥)向公众公开，谁都可以使用，解密密钥(秘密密钥)只有解密人自己知道，非法使用者根据公开的加密密钥无法推算出解密密钥，顾其可称为公钥密码体制。

如果一个人选择并公布了他的公钥，另外任何人都可以用这一公钥来加密传送给那个人的消息。

私钥是秘密保存的，只有私钥的所有者才能利用私钥对密文进行解密。

公钥密码体制的算法中最著名的代表是RSA系统，此外还有:背包密码、McEliece密码、Diffe_Hellman、Rabin、零知识证明、椭圆曲线、EIGamal算法等。

公钥密钥的密钥管理比较简单,并且可以方便的实现数字签名和验证。

但算法复杂,加密数据的速率较低。

公钥加密系统不存在对称加密系统中密钥的分配和保存问题，对于具有n个用户的网络，仅需要2n个密钥。

公钥加密系统除了用于数据加密外，还可用于数字签名。

2. 实验过程（一）RSA加密算法A、原理分析：RSA的具体计算算法：假设Alice想要通过一个不可靠的媒体接收Bob的一条私人讯息。

她可以用以下的方式来产生一个公钥和一个私钥：1.随意选择两个大的质数p和q，p不等于q，计算N=pq。

2.根据欧拉函数，求得r= φ(n) = φ(p)φ(q) = (p-1)(q-1)3.选择一个小于r的整数e，求得e关于模r的模反元素，命名为d。

（模反元素存在，当且仅当e与r互质）4.将p和q的记录销毁。

(N,e)是公钥，(N,d)是私钥。

Alice将她的公钥(N,e)传给Bob，而将她的私钥(N,d)藏起来。

加密消息假设Bob想给Alice送一个消息m，他知道Alice产生的N和e。

他使用起先与Alice约好的格式将m转换为一个小于N的整数n，比如他可以将每一个字转换为这个字的Unicode码，然后将这些数字连在一起组成一个数字。

假如他的信息非常长的话，他可以将这个信息分为几段，然后将每一段转换为n。

用下面这个公式他可以将n加密为c：计算c并不复杂。

Bob算出c后就可以将它传递给Alice。

解密消息Alice得到Bob的消息c后就可以利用她的密钥d来解码。

她可以用以下这个公式来将c转换为n：得到n后，她可以将原来的信息m重新复原。

解码的原理是以及ed ≡1 (mod p-1)和ed ≡ 1 (mod q-1)。

由费马小定理可证明（因为p和q是质数）和这说明（因为p和q是不同的质数，所以p和q互质）注：本内容参考维基百科RSA加密算法，可能与老师说的有略微不同。

B、具体代码如下：//具体实现的代码//RSA实现时候用大数数来做比较简单public class RSA1 {private final static SecureRandom random = new SecureRandom();private static BigInteger d; // 为私钥{d,n}中的dprivate static BigInteger e; // 其实就是公钥 <e,n>中的eprivate static BigInteger n; // 为公开的 p x qprivate static BigInteger p; // 需要保密的大素数 p qprivate static BigInteger q;/*** 产生长度为N位的公钥和私钥* @param N*/public void genKey(int N) {// 产生两个N/2位的大素数p和qp = BigInteger.probablePrime(N / 2, random);q = BigInteger.probablePrime(N / 2, random);// 计算（p-1)*(q-1)BigInteger phi =(p.subtract(BigInteger.ONE)).multiply(q.subtract(BigInteger.ONE));// 计算模数p*qn = p.multiply(q);// 随便找一个b，使得gcd(b, phi) =1;// 通用的公钥是2^16 + 1=65537e = new BigInteger("65537");// 计算出a，即b的模n逆d = e.modInverse(phi);}/*** 加密函数* @param plainText* 明文* @return密文*/public byte[] encrypt(byte[] plainText) {return new BigInteger(plainText).modPow(e,n).toByteArray();}/*** 解密函数* @param cipherText* 密文* @return明文*/public byte[] decrypt(byte[] cipherText) {return new BigInteger(cipherText).modPow(d,n).toByteArray();}public static void main(String[] args) throws FileNotFoundException,IOException, ClassNotFoundException {RSA1 rsa = new RSA1();rsa.genKey(128); // 产生密钥// 加密一句消息byte[] cipher = rsa.encrypt("hello word".getBytes());System.out.println("RSA 加密：" + new String(cipher));// 解密byte[] plain = rsa.decrypt(cipher);System.out.println("RSA 解密：" + new String(plain));}}结果如下：运行时候，主要的是以下代码：运行结果如下图：//得到结果与真实结果一样。

说明正确（二）ECC加密算法A、原理分析：椭圆曲线密码学（Elliptic curve cryptography，缩写为ECC）是基于椭圆曲线数学的一种公钥密码的方法。

椭圆曲线在密码学中的使用是在1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出的。

ECC的主要优势是在某些情况下它比其他的方法使用更小的密钥——比如RSA加密算法——提供相当的或更高等级的安全。

ECC的另一个优势是可以定义群之间的双线性映射，基于Weil 对或是Tate对；双线性映射已经在密码学中发现了大量的应用，例如基于身份的加密。

不过一个缺点是加密和解密操作的实现比其他机制花费的时间长。

ECC的具体计算算法：a）密钥的生成Bob（使用者）执行了下列计算：i) 在区间[1,n-1]中随机选取一个整数d。

ii) 计算点Q=dP (d个P相加）iii) Bob公开自己的公开密钥(E(Fq),p,n,Q)iv) Bob的私钥为整数d。

Alice要发送消息m给Bob，Alice执行：i) 查找Bob的公钥（E(Fq),p,n,Q),ii) 将m表示成一个域元素m∈Fq,iii) 在区间[1，n-1]内选取一个随机数k,iv) 依据Bob的公钥计算点(x1,y1)=kP(k个P相加）v) 计算点（x2,y2）=kQ，如果x2=0，则回到第iii）步Ⅵ）计算C=mx2Ⅶ）传送加密数据（x1,y1,C）给Bobb) Bob的解密过程Bob收到Alice的密文（x1,y1,C）后，执行i) 使用私钥d，计算点（x2，y2）=d(x1,y1）通过计算m=C*x2，恢复出明文数据B、具体代码如下：//具体实现的代码package ECC;public class ECC {private int a, p;private POINT ukAlpha, ukBeta;private int rKey;/*** Method ECCImpClass*/public ECC(int a, int p, int priK, POINT alpha) { this.a = a;this.p = p;this.rKey = priK;Alpha = alpha;this.generatingUkBeta();}/*** 欧几里得算法--求逆元*/public int[] euclid(int x0, int y0) {int x, y, a, b, c, d, pa, pb, pc, pd, q, r;int[] res = new int[2];x = x0;y = y0;pa = 1;pb = 0;pc = 0;pd = 1;a = 1;b = 0;c = 0;d = 1;while (y != 0) {r = x % y;q = (x - r) / y;a = pc;b = pd;c = pa - q * pc;d = pb - q * pd;x = y;y = r;pa = a;pb = b;pc = c;pd = d;}if (a < 0) {a = a + y0;}res[0] = x;res[1] = a;return res;}/*** 求bmod p 下的逆元** @param a* @param b* @param p* @return*/public int aUpBModP(int a, int b, int p) { int invB, res1;a = a % p;b = b % p;int[] res = this.euclid(b, p);//System.out.println("b mod p 的逆元：" + res[1]);invB = res[1];res1 = (a * invB) % p;if (res1 < 0) {res1 = res1 + p;}return res1;}/*** 求2P** @param pt* @return*/public POINT doublePoints(POINT pt) {int x1, y1, x2, y2, lambda, n1, n2;x1 = pt.getX();y1 = pt.getY();n1 = 3 * x1 * x1 + this.a;n2 = 2 * y1;lambda = this.aUpBModP(n1, n2, this.p);x2 = (lambda * lambda - 2 * x1) % (this.p);y2 = ((x1 - x2) * lambda - y1) % (this.p);if (x2 < 0) {x2 = x2 + this.p;}if (y2 < 0) {y2 = y2 + this.p;}return new POINT(x2, y2);}/*** 求nP** @param m* @param pt* @return*/public POINT anyPoint(int m, POINT pt) { int k;if (m == 1)return pt;else if (m == 2)return this.doublePoints(pt);else {if (m % 2 == 0) {k = m / 2;POINT p1 = this.doublePoints(pt);return this.anyPoint(k, p1);} else {POINT p1 = this.anyPoint(m - 1, pt);return this.add2Points(pt, p1);}}}/*** 两个点相加** @param p1* @param p2* @return*/public POINT add2Points(POINT p1, POINT p2) { int x1, y1, x2, y2, x3, y3, lambda, n1, n2;if (p1.isSamePoint(p2))return this.doublePoints(p1);x1 = p1.getX();y1 = p1.getY();x2 = p2.getX();y2 = p2.getY();n1 = y2 - y1;n2 = x2 - x1;lambda = this.aUpBModP(n1, n2, this.p);x3 = (lambda * lambda - x1 - x2) % (this.p);y3 = ((x1 - x3) * lambda - y1) % (this.p);if (x3 < 0) {x3 = x3 + this.p;}if (y3 < 0) {y3 = y3 + this.p;}return new POINT(x3, y3);}/*** Beta = d * alpha 生成*/public void generatingUkBeta() {Beta = this.anyPoint(this.rKey, Alpha);}public POINT getUkBeta() {return Beta;}/*** 加密点pt** @param pt* @param ranK* @return*/public POINT[] encripting(POINT pt, int ranK) { POINT[] ct = new POINT[2];ct[0] = this.anyPoint(ranK, Alpha); // k*PPOINT temp = this.anyPoint(ranK, Beta);//k*Q=(x2,y2)ct[1] = this.anyPoint(temp.getX(), pt);// c = mx2return ct;}/*** 解密** @param ct* @return*/public POINT decripting(POINT[] ct) {POINT p1, p2, p3;p1 = new POINT();p1.setX(ct[0].getX());p1.setY(ct[0].getY());p2 = this.anyPoint(this.rKey, p1);// (x2,y2)int[] res = this.euclid(p2.getX(), this.p);p3 = this.anyPoint(res[1], ct[1]);// p3 = this.add2Points(ct[1], p2);return p3;}/*** Method main** @param args*/public static void main(String[] args) {System.out.println("\nTesting the ecc:");System.out.println("——对(5, 19)加密——");ECC ecc3 = new ECC(1, 23, 9, new POINT(3, 13));POINT beta = ecc3.getUkBeta();System.out.println("公钥，Q=(" + beta.getX() + "," + beta.getY() + ")");POINT[] ct = ecc3.encripting(new POINT(5, 19), 5);System.out.println("(x1,y1) = ("+ ct[0].getX() + ","+ ct[0].getY()+ ")");System.out.println("(x2,y2) = ("+ ct[1].getX() + ","+ ct[1].getY()+ ")");POINT x = ecc3.decripting(ct);System.out.println("解密(" + x.getX() + "," + x.getY() + ")");}}// 点类class POINT {private int x, y;public POINT() {}public POINT(int x, int y) {this.x = x;this.y = y;}public void setX(int x) {this.x = x;}public void setY(int y) {this.y = y;}public int getX() {return x;}public int getY() {return y;}public boolean isSamePoint(POINT p) {if (x == p.getX() && y == p.getY()) {return true;} else {return false;}}public void printPoint() {System.out.println("The point is (" + this.x + "," + this.y + ")");}public POINT signPoint() {return new POINT(-this.x, -this.y);}}结果如下：运行时候，主要的是以下代码：五、实验总结1．遇到的问题及分析：遇到问题：ECC中在求几点P的素数阶n是不会求分析并解决：-查阅资料也没有解决，后来想了到找了一个k>>n的一个数，这样来解决，但是个人感觉不太严谨。