2013届高考数学总复习(五年高考三年模拟)圆锥曲线专题
第一部分 五年高考荟萃 2009 年高考题
2009 年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线
一、选择题
x2 y 2 2 1. （2009 全国理） 设双曲线 2 2 1（a＞0,b＞0） 的渐近线与抛物线 y=x +1 相切， 则该双曲线的离心率等于( a b
2
2
的面积为 4,则抛物线方程为( A. y 4 x
2 2
). C. y 4 x
2
B. y 8 x
2
D. y 8 x
2
【解析】
抛物线 y ax (a 0) 的焦点 F 坐标为 ( , 0) , 则直线 l 的方程为 y 2( x ) , 它与 y 轴的交点为
x2 y2 1 的渐近线与圆 ( x 3) 2 y 2 r 2 (r 0) 相切，则 r= ( 6 3
C.3 D.6
)
A. 3
B.2
【解析】本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于 r，可求 r= 3 .【答案】A 9. （09） 已知直线 y k ( x 2)(k 0) 与抛物线 C: y 8 x 相交 A、 B 两点， F 为 C 的焦点。 若 FA 2 FB ,则 k=
A. 3 B.2 C. 5
'
)
D. 6
【解析】设切点 P ( x0 , y0 ) ，则切线的斜率为 y
|x x0 2 x0 .由题意有
y0 2 x0 又 y0 x0 2 1 x0
解得: x0 1,
2
b b 2, e 1 ( ) 2 5 . 【答案】C a a
2.（2009 全国卷Ⅰ理）已知椭圆 C :
x2 y 2 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ，点 A l ，线段 AF 交 C 于点 B ，若 2
FA 3FB ,则 | AF | =(
A.
) C. 3 D. 3
2
B. 2
【解析】过点 B 作 BM l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意 FA 3FB ,故 | BM | 圆的第二定义,得 | BF |
△= ( ) 4 0 ,所以
2
b a
b c a 2 b2 b 2,e 1 ( ) 2 5 ,故选 D. 【答案】D a a a a
【命题立意】 :本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解 方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能. 7.(2009 山东卷文)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ax (a 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)
4.（2009 浙江文）已知椭圆
x2 y 2 1 (a b 0) 的左焦点为 F ，右顶点为 A ，点 B 在椭圆上，且 BF x 轴，直 a 2 b2 ） 线 AB 交 y 轴于点 P ．若 AP 2 PB ，则椭圆的离心率是（
1
A．
3 2
B．
2 2
C．
1 3
D．
1 2
【解析】对于椭圆，因为 AP 2 PB ，则 OA 2OF , a 2c, e
1 【答案】D 2,
2
5.（2009 北京理）点 P 在直线 l : y x 1 上，若存在过 P 的直线交抛物线 y x 于 A, B 两点，且 | PA | AB | ，则 称点 P 为“ 点” ，那么下列结论中正确的是 点”; 点”; B．直线 l 上仅有有限个点是“ （ ） 点” 点”
是(. ( )
12.（2009 安徽卷文）下列曲线中离心率为的
A.
B.
C.
D.
3
【解析】依据双曲线
x2 y 2 c c 6 2 1 的离心率 e 可判断得. e .选 B。 【答案】B 2 a b a a 2 x2 y 2 1 ( a 0, b 0 )的两个焦点, 若 F1，F2 ， P (0, 2b) 是正三角形的 a 2 b2
A．直线 l 上的所有点都是“ C．直线 l 上的所有点都不是“
D．直线 l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“
【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创 新题型. 本题采作数形结合法易于求解，如图， 设 A m, n , P x, x 1 ， 则 B 2 m x, 2 n x 2 ， ∵ A, B在y x 上 ，
a 4
a 4
A (0, ) ,所以△OAF | | 4 ,解得 a 8 .所以抛物线方程为 y 2 8 x ,故选 B. 2 4 2
【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的 数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数 a 的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变 化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一. 8.（2009 全国卷Ⅱ文）双曲线
13.（2009 江西卷文）设 F1 和 F2 为双曲线 三个顶点,则双曲线的离心率为 A．
3 2
B． 2
C．
5 2
D．3
【解析】由 tan
6
c 3 c 2 2 2 2 有 3c 4b 4(c a ) ,则 e 2 ,故选 B.【答案】B 2b 3 a x2 y 2 1 ( a b 0 ) 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ， F2 为右焦点，若 a 2 b2
2 2 .【答案】D 3
x2 y2 1 2 4
Ｂ.
x2 y2 1 4 2
2 2 Ｃ. x y 1
4
6
2 2 Ｄ. x y 1
4
10
【解析】由 e
6 c2 3 b2 3 b2 1 得 2 ,1 2 , 2 ，选 B.【答案】Ｂ a 2 a 2 a 2 2
2 .又由椭 3
2 2 2 | AF | 2 .故选 A 2 3 3
3.（2009 浙江理）过双曲线
x2 y 2 1 (a 0, b 0) 的右顶点 A 作斜率为 1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 a 2 b2 1 的交点分别为 B, C ．若 AB BC ，则双曲线的离心率是 ( ) 2
2
∴
n m2 2 2n x 1 (2m x)
2 2
消去 n,整理得关于 x 的方程 x (4m 1) x 2m 1 0 ∵ (4m 1) 4(2m 1) 8m 8m 5 0 恒成立，
2 2 2
（1）
∴方程（1）恒有实数解，∴应选 A. 6.(2009 山理)设双曲线
2
(
)
Ａ.
1 3
Ｂ.
2 3
Ｃ.
2 3
Ｄ.
2 2 3
【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0） ，由 FA 2 FB 及第二定义
知 x A 2 2( xB 2) 联立方程用根与系数关系可求 k= 1０.（2009 安徽卷理）下列曲线中离心率为 6 的是 2 Ａ.
y
b 2 x x 【答案】C 2 ; a
【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。
x2 y2 x2 y2 则直线 y kx 2 与椭圆至多有一个交 1 的准线过椭圆 2 1 的焦点， 16.(2009 湖北卷理)已知双曲线 2 2 4 b
x2 y2 1 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( a2 b2
B. 5 C.
).
A.
5 4
5 2
D. 5
b b x2 y2 b y x 2 【解析】双曲线 2 2 1 的一条渐近线为 y x ,由方程组 a ,消去 y,得 x x 1 0 有唯一解,所以 a a a b 2 y x 1
A． 2 B． 3 C． 5 D． 10
【 解 析 】 对 于 A a, 0 ， 则 直 线 方 程 为 x y a 0 ， 直 线 与 两 渐 近 线 的 交 点 为 B ， C ，
ab a2 2a 2b 2a 2b ab ab a2 ab BC ( , ), AB , B , , C ( , ) 则有 ， 2 2 2 2 a b a b a b a b ab ab ab ab 2 2 因 2 AB BC , 4a b , e 5 ． 【答案】C
【解析】易得准线方程是 x
a2 2 x2 y 2 1 ,所以 c 2 a 2 b 2 4 b 2 1 即 b 2 3 所以方程是 1 b 2 4 3
4
联立 y kx 2 可得 3x 2 +(4k 2 +16k)x 4 0 由 0 可解得 A.【答案】A
点的充要条件是( A. K ) B. K , 2 D. K ,
1 1 , 2 2
1
2 ,
1
C. K
2 2 , 2 2
2 2 , 2 2
)
x2 y 2 11.（2009 福建卷文）若双曲线 2 2 1 a o 的离心率为 2，则 a 等于( 3 a
江苏省各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编(10) 圆锥曲线
点 P 是椭圆上的任意一点, 则 答案： [0, 2 2 2]
| PF1 PF2 | 的取值范围是 PF1
▲
6 、（ 苏 州 市 2013 届 高 三 期 末 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 双 曲 线
E:
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的左顶点为 A ，过双曲线 E 的右焦点 F 作与实轴垂直的直线 a 2 b2
从
而
x1 y2 x2 y1 2 y1 y 2
.
从
而
4 y1 4 y2 x y x2 y1 5 y1 y2 7 y1 y2 7k1 y3 y4 x1 5 x2 5 4k k2 1 2 .故 k1 2 0 ， 从 x3 x4 5 x1 9 5 x2 9 4 x1 x2 4 x1 x2 4 7 x1 5 x2 5
4 而存在满足条件的常数 ， l . 7
x2 y 2 2、 （连云港市 2013 届高三期末）已知椭圆 C： 2 2 1 (a>b>0)的上顶点为 A，左， a b 4 b 右焦点分别为 F1， F2,且椭圆 C 过点 P( ， )，以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2. 3 3 (1)求椭圆 C 的方程；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x12 y12 x2 y 2 1 ①， 2 2 1 ②． 3 2 3 2
( x2 x1 )( x2 x1 ) ( y2 y1 )( y2 y1 ) 0． 3 2
y2 y1 2( x2 x1 ) 4x P 2 ． x2 x1 3( y2 y1 ) 6 yP 3
x2
2
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的一条渐近线经过点 (1, 2) ， a 2 b2
【三维设计】2013年高考数学二轮复习 第一阶段 专题五 第三节 圆锥曲线的综合问题课件 理
故 |b2| ＝1，即 b2＝2.
由y2＝x2－x＋y2b＝，1， 得 x2－2bx－b2－1＝0. 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则xx11＋x2＝x2－＝12b－，b2. 又 y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，
所以OP ·OQ＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)
3．代入法 如果轨迹中的点P(x，y)依赖于另一动点Q(a，b)，而Q(a， b)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，a，b的方程组， 利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便得点P的 轨迹方程，这种方法称为代入法(也称相关点法)．
[考情分析] 曲线与方程是解析几何中的基本问题之 一，高考对曲线与方程的要求不是很高，但高考中经常会 有一些试题是以建立曲线方程作为命题点的．从近几年高 考试题看，试题还是存在一定难度的，因此考生在复习时 不应忽视．
[冲关集训] 3．(2012·江西重点中学联考)已知椭圆的焦点 F1(1,0)，F2(－1,0)，
过 P0，12作垂直于 y 轴的直线被椭圆所截线段长为 6，过 F1 作直线 l 与椭圆交于 A，B 两点． (1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在实数 t，使 PA＋ PB＝t PF 1，若存在，求 t 的值
所以|ON|2＝14＋＋kk22.
同理|OM|2＝21k＋2－k21. 设 O 到直线 MN 的距离为 d. 因为(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2·|ON|2， 所以d12＝|O1M|2＋|O1N|2＝3kk22＋＋13＝3，即 d＝ 33. 综上，O 到直线 MN 的距离是定值．
[类题通法] 1．定值问题的求解策略 在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值” 问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少， 再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变 量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即 可得到定值．
(三轮冲刺)2013年高考数学复习 点睛专题(考向聚焦+解题反思) 第8讲 直线与圆、圆锥曲线课件
名师导引: 如何从直线 x-2y-2=0 打开解题的突破口? (1) 【利用平行求出所求直线的斜率, 根据点斜式写出直线 方程】 (2) 如何通过点( 0) 1, 寻求解题的方法? 设出平行直线系方 【 程, 把已知点的坐标代入求出参数】 (3)如何利用选项提供的信息进行排除?【检验选项中与 已知直线平行且过点( 0) 1, 的直线】
平面几何中研究过直线且有结 论: 过两点确定一条直线” “ . 而此结论体现在确定直 线方程中就是: 给出两个独立的条件即可求出直线 方程或一点和斜率或两个点或两截距等, 解题时要 把握好目标. 同时, 灵活运用直线系方程中的平行直 线系、垂直直线系、定点直线系会简化解题过程.
考向二: 利用直线与圆的位置关系解题 2 2 【例 2】 若过点 A(4, 的直线 l与曲线( 0) x-2) +y = 1 没 有公共点, 则直线 l的斜率的取值范围为( ) (A) [ , ] (B) ( , )
举一反三 2 1: 已知直线 ly=-x+1 与圆 : C : 2+y2-2x-2y-2=0 交于 A、 两点, ( a) x B M a, 是圆内一点, 则 S△AB M 的取值范围为 .
解析: 圆 C : 2+y2-2x-2y-2=0 的圆心为 C (1, , ∵ x 1) 半径 r=2, ∴ (1, 到 lx+y-1=0 的距离为 d= C 1) : = ,
点 M ( a) a, 在直线 y=x上, y=x与 y=-x+1 垂直, 而 y=x 过圆心 C (1, M 到 AB 的距离的范围为[0, 1), 2+ ), 又 ∴ △AB M 的取值范围为( S 0, 答案: 0, ( + ) + ).
2013年高考数学 学困生专用精品复习资料（08）圆锥曲线（教师版）
2013年高考数学学困生专用精品复习资料（08）圆锥曲线（教师版）一、圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。
③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质。
④理解数形结合的思想。
⑤了解圆锥曲线的简单应用。
【专题知识网络】圆锥曲线的定义圆锥曲线的内容：椭圆、双曲线、抛物线（定义、性质、方程）直线与圆锥曲线的位置关系圆锥曲线综合问题（弦长、中点、最值、参数问题）【剖析高考真题】考点：圆锥曲线的定义与标准方程（2012年高考陕西卷）右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.考点：圆锥曲线的几何性质（2012年高考安徽卷）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =______。
【答案】32【解析】设(0)AFx θθπ∠=<<及BF m =；则点A 到准线:1l x =-的距离为3， 得：1323cos cos 3θθ=+⇔=又232cos()1cos 2m m m πθθ=+-⇔==+。
（2012年高考天津卷）已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为(5,0)F ,则a = b =【答案】1，2【解析】双曲线的116422=-y x 渐近线为x y 2±=，而12222=-b y a x 的渐近线为x a b y ±=，所以有2=a b，a b 2=，又双曲线12222=-b y a x 的右焦点为)0,5(，所以5=c ，又222b a c +=，即222545a a a =+=，所以2,1,12===b a a 。
2013年高考理科数学试题分类汇编圆锥曲线含答案
2013年全国高考理科数学试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1 ．（2013年高考江西卷（理））过点引直线l与曲线y =A,B两点,O 为坐标原点,当∆AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于（ ） A ．3B．3-C．3±D．【答案】B2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ．25B ．45CD【答案】C3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（ ）A．2214x -= B ．22145x y -= C ．22125x y -= D．2212x =【答案】B4 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b-=(0,0a b >>)的离心率则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =± B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C5 ．（2013年高考湖北卷（理））已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ） A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等 D ．离心率相等【答案】D6 ．（2013年高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ） A ．12BC ．1 D【答案】B7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是A ．2B ．3C ．23D ．26 【答案】D8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的则p =（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B10．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（ ）A ．12B ．2C D ．2【答案】D11．（2013年高考北京卷（理））若双曲线22221x y a b-=,则其渐近线方程为（ ）A ．y =±2xB ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】B12．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知抛物线1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D13．（2013年高考新课标1（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（ ） A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =【答案】C15．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】C16．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为 （ ）A ．4B 1C ．6-D【答案】A 二、填空题17．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为_____________.【答案】x y 43±=18．（2013年高考江西卷（理））抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF ∆为等边三角形,则P =_____________【答案】619．（2013年高考湖南卷（理））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为___.【答案】3 20．（2013年高考上海卷（理））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4CBA π∠=,若AB=4,BC =则Γ的两个焦点之间的距离为________【答案】3. 21．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知直线y a=交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得ABC ∠为直角,则a 的取值范围为___ _____.【答案】),1[+∞22．（ 2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））抛物线2xy =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,223．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为_______.【答案】324．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________125．（2013年高考陕西卷（理））双曲线22116x y m -=的离心率为54, 则m 等于___9_____.【答案】926．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,A F B F ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______.【答案】5727．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）抛物线28y x =的准线方程是_______________【答案】2x =-28．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数xy 1=(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为_______.【答案】1-或1029．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设F为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于________.【答案】1±三、解答题30．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、(1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程.【答案】[解](1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b =故椭圆C 的方程为2214133x y +=.(2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=.当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=. 设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则 2212121111222242(1)(1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++，，，，， 因为11F P FQ ⊥,所以110F P FQ ⋅=,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271021k k -==+, 解得217k =,即7k =±故直线l的方程为10x +-=或10x --=.31．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.【答案】解:122a PF PF =+==所以,a =又由已知,1c =, 所以椭圆C的离心率2c e a=== ()II 由()I 知椭圆C 的方程为2212x y +=.设点Q 的坐标为(x,y).(1)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于()()0,1,0,1-两点,此时Q点坐标为0,2⎛ ⎝⎭(2) 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为2y kx =+. 因为,M N 在直线l 上,可设点,M N 的坐标分别为1122(,2),(,2)x k xx k x ++,则22222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()222222(1).AQ x y k x =+-=+由222211AQAMAN=+,得()()()22222212211111k x k x k x =++++,即 ()212122222212122211x x x x x x x x x +-=+= ① 将2y kx =+代入2212x y +=中,得()2221860kx kx +++= ②由()()22842160,k k ∆=-⨯+⨯>得232k >.由②可知12122286,,2121k x x x x k k +=-=++ 代入①中并化简,得2218103x k =- ③ 因为点Q 在直线2y kx =+上,所以2y k x-=,代入③中并化简,得()22102318y x --=.由③及232k >,可知2302x <<,即60,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又0,25⎛- ⎝⎭满足()22102318y x --=,故22x ⎛∈⎝⎭. 由题意,(),Q x y 在椭圆C 内部,所以11y -≤≤, 又由()22102183y x -=+有()2992,54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤,则1,225y ⎛∈- ⎝⎦. 所以点Q 的轨迹方程是()22102318y x --=,其中,22x ⎛∈- ⎝⎭,1,225y ⎛∈- ⎝⎦32．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值. 【答案】解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=得2b y a =±由题意知221b a =,即22a b = 又ce a ==2所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2214x y +=1||||PF PM PF PM ⋅=2||||PF PM PF PM ⋅,1||PF PM PF ⋅=2||PF PMPF ⋅,设00(,)P x y 其中204x ≠,将向量坐标代入并化简得:m(23000416)312x x x -=-,因为204x ≠, (3)由题意可知,l 为椭圆的在p 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:得001200114(8x x kk kk x x +=-+=-为定值.33．（2013年高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线221:12x C y -=,曲线2:||||1C y x =+,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点,则称P 为“C 1—C 2型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证); (2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“C 1—C 2型点”;(3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”.【答案】:(1)C 1的左焦点为(F ,过F 的直线x =C 1交于(2±,与C 2交于(1))±+,故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”,且直线可以为x =(2)直线y kx =与C 2有交点,则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩,若方程组有解,则必须||1k >; 直线y kx =与C 2有交点,则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩,若方程组有解,则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点,即原点不是“C 1-C 2型点”.(3)显然过圆2212x y +=内一点的直线l 若与曲线C 1有交点,则斜率必存在;根据对称性,不妨设直线l 斜率存在且与曲线C 2交于点(,1)(0)t t t +≥,则:(1)()(1)0l y t k x t kx y t kt =+=-⇒-++-=直线l 与圆2212x y +=内部有交点,<化简得,221(1)(1)2t tk k +-<+............① 若直线l 与曲线C 1有交点,则2222211()2(1)(1)10212y kx kt t k x k t kt x t kt x y =-++⎧⎪⇒-++-++-+=⎨-=⎪⎩ 22222214(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2k t kt k t kt t kt k ∆=+---+-+≥⇒+-≥-化简得,22(1)2(1)t kt k +-≥-.....②由①②得,222212(1)(1)(1)12k t tk k k -≤+-<+⇒<但此时,因为2210,[1(1)]1,(1)12t t k k ≥+-≥+<,即①式不成立;当212k =时,①式也不成立综上,直线l 若与圆2212x y +=内有交点,则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点,即圆2212x y +=内的点都不是“C 1-C 2型点” .34．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤.(1)求证:点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线的方程.【答案】解:(Ⅰ)依题意,过*(,19)∈≤≤i A i Ni 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i ,∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ,由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x ii y x 得:2110=y x ,即210=x y , ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为210=x y(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ,直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N设:1122(,)(,)M x y N x y ,则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<x x ,∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y,解得32=±k直线的方程为3+102=±y x ,即32200-+=x y 或3+2200-=x y35．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ,且122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l .(I)若120,0k k >>,证明;22FM FN P <;(II)若点M 到直线l 的距离的最小值为,求抛物线E 的方程. 【答案】解: (Ⅰ)，设),(),,(),,(),,(),,(),,().2,0(3434121244332211y x N y x M y x D y x C y x B y x A pF 02,221211=++-+=p x pk x E px k y l ：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线),(2,20,2211211212112221121p k p k FM p p k y p k x x x p x x p k x x -=⇒+==+=⇒=-=⋅=+⇒),(2,2,222223422134p k p k FN p p k y p k x x x -=⇒+==+=⇒同理. )1(2121222221221+=+=⋅⇒k k k k p p k k p k k FN FM22121221212121212)11(1)1(,122,,0,0pp k k k k p FN FM k k k k k k k k k k =+⋅⋅<+=⋅∴≤⇒≥+=≠>> 所以,22p FN FM <⋅成立. (证毕) (Ⅱ),)]2(2[21)]2()2[(21,212121121p p k p p k p y p y p r r r N M +=++=+++=⇒的半径分别为、设圆,2同理,221211p p k r p p k r +=+=⇒.,21r r N M 的半径分别为、设圆则21212212)()(r y y x x N M =-+-的方程分别为、,的方程为：，直线l r y y x x 22234234)()(=-+- 0-)(2)(2222123421223421212341234=+-+-+-+-r r y y x x y y y x x x .))(-())(())(()(2)(212123412341234123412212212=++--+--+-+-⇒r r r r y y y y x x x x y k k p x k k p2)((1))(()(2)(2)(2222121222222122212212212212++-+++-+-+-+-⇒k k k k p k k k k p k k p y k k p x k k p0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒y x k k p k k p p y x55758751)41()41(2|512||52|),(212112121212==+-+-⋅≥++⋅=+=p p k k p y x d l y x M 的距离到直线点y x p 1682=⇒=⇒抛物线的方程为.36．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D(1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2214x y +=; (Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=,所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =,所以（第21题图）直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==;由2222248014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以228||44D P k x x DP k k +=-∴==++,所以11||||22444313ABDS AB DP k k k ∆====++++2323213==≤=+当252k k =⇒=⇒=时等号成立,此时直线1:1l y x =- 37．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点,4AA '=. (1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P ',过,P P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ P Q '⊥,求圆Q 的标准方程.【答案】38．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设椭圆2222:11x y E a a+=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P F Q ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上.【答案】解:(Ⅰ)13858851,12,122222222=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为： .(Ⅱ) ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x P F m Q y x P c F c F -=-=-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012∈∈⇒∈⇒>-y x a a .⎩⎨⎧=++=-⊥=+=0)()(,//).,(),,(112211my c x c ycx c m F F QF F m c F y c x F 得：由 解得联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c xy x y x y x yx y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222 所以动点P 过定直线01=-+y x .39．（2013年高考新课标1（理））已知圆M:22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.【答案】由已知得圆M的圆心为M (-1,0),半径1r =1,圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.设动圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R. (Ⅰ)∵圆P与圆M外切且与圆N内切,∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4,由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,短(左顶点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-.(Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM|-|PN|=22R -≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.∴当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=, 当l 的倾斜角为090时,则l 与y 轴重合,可得|AB|=当l 的倾斜角不为090时,由1r ≠R 知l 不平行x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则||||QP QM =1Rr ,可求得Q(-4,0),∴设l :(4)y k x =+,由l 于圆M 相1=,解得k =当k =时,将y x =代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=,解得1,2x 12||x x -=187.当k 时,由图形的对称性可知|AB|=187,综上,|AB|=187或|AB|=. 40．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.【答案】41．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,直线l 的方程为=4x . (1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b+= ① 依题设知2a c =,则223b c = ② ②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④ 在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y yk x x ==--. 所以1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++ ⑤④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++, 又312k k =-,所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意.方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:00(1)1y y x x =--, 令4x =,求得003(4,)1y M x -, 从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-,联立0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0000583(,)2525x y A x x ---, 则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=-,直线PB 的斜率为:020232(1)y k x -=-, 所以00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---,故存在常数2λ=符合题意.42．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '=设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --= 因为切线,P AP B 均过点()00,P x y ,所以1220x x y y --=,2002220x x y y --=所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=. (Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+ 又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭ 所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F 作直0x y +=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】44．（2013年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆1C与2C的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n()m n>,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S . (I)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(II)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.【答案】解:(I)12S S λ=()m n m n λ⇒+=-,1111m n m n λλλ++∴==--解得:1λ=+(舍去小于1的根)(II)设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22222:1x y C a n +=,直线l :ky x =22221ky x x y a m =⎧⎪⎨+=⎪⎩2222221a m k y a m +⇒=A y ⇒= 同理可得,B y =又BDM ∆和ABN ∆的的高相等12B D B AA B A BS BD y y y y S AB y y y y -+∴===-- 如果存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B y y λλ-=+,即:()()222222222211a n k a n kλλλλ-+=++,解得()()2222232114a k n λλλλ--+=第21题图∴当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .45．（2013年高考北京卷（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上的三个点,O是坐标原点.(I)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;(II)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.【答案】解:(I)椭圆W :2214x y +=的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A(1,m ),代入椭圆方程得2114m +=,即m =. 所以菱形OABC 的面积是11||||22||22OB AC m ⋅=⨯⨯=. (II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠.由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=. 设A 1,1()x y ,C 2,2()x y ,则1224214x x km k +=-+,121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M(2414km k -+,214mk+). 因为M 为AC 和OB 的交点,所以直线OB 的斜率为14k-.因为1()14k k⋅-≠-,所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形,与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形.46．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.【答案】解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C2222,2),,(EC ME CM CA MNME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（ (Ⅱ)点B (-1,0),222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y yy y x y x y 直线PQ 方程为:)8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=- 1,088)(8)()(122112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y所以,直线PQ 过定点(1,0)47．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )01x =,切线.MA 的斜率为12-.(I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为【答案】48．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，,离心率为3，直线2y =与C . (I)求,;a b ;(II)设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点,且11AF BF =,证明:22AF AB BF 、、成等比数列.【答案】49．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.已知抛物线2 4C y x =：的焦点为F . (1)点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P。
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二、圆锥曲线试题的特点：1、突出重点知识的考查。
直线与圆的方程、圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是圆锥曲线命题的根本，在对圆锥曲线的考查中，直线与圆锥曲线的位置关系仍然是重点。
2、注重数学思想与方法的考查。
3、融合代数、三角、不等式、排列组合、向量和几何等知识，在知识网络的交汇点处设计问题是高考的一大特点，由于向量具有代数和几何的双重身份，使得圆锥曲线与平面向量的整合交汇成为高考命题的热点，导数知识的引入为我们解决圆锥曲线的最值问题和切线问题提供了新的视角和方法。
三、命题重点趋势：直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线1、高考圆锥曲线内容重点仍然是直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现。
2、热点主要体现在：直线与圆锥曲线的基础题；涉及位置关系的判定；轨迹问题；范围与位置问题；最值问题；存在性问题；弦长问题；对称问题；与平面向量或导数相结合的问题。
【备战】高考数学_2013全国统考区(甘肃、贵州、云南)精选试题分类汇编9_圆锥曲线_理
F1、 F2 是一对
相关曲线的焦点， P 是它们在第一象限的交点， 当 F1PF2
曲线的离心率是（
）
60 时， 这一对相关曲线中双
A． 3
B． 2
C． 2 3 3
D．2
【答案】 A【解析】设椭圆的半长轴为
a1，椭圆的离心率为 e1 ，则 e1
c , a1
a1
c
. 双曲线
e1
的实半轴为 a ，双曲线的离心率为
又
因
为
y2
t2 9(1 ) 9
9 t2
25
25
，
所
以
FP FQ (t 4) 2 y2 t 2 8t 16 9 9 t 2 34 t 2 8t 7 ，所以当 t
b
50
25 25
2a 17
时， FP FQ 取值最小，选 B.
错误！ 未指定书签。 ．（云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考理科数学） 已知点 F1 ， F2 分
25 9
取最小值的 t 值为
A．— 100 17
B．— 50 17
C． 50 D． 100
17
17
【答案】 B【解析】椭圆的左焦点 F ( 4,0) ，根据对称性可设 P (t , y) ， Q(t, y) , 则
2
2
FP (t 4, y) ， FQ (t 4, y) ，所以 FP FQ (t 4, y) (t 4, y) (t 4) y ，
设 F 是双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的右焦点，双曲线两条渐近线分别为
l1, l2 ，过 F 作
直线 l1 的垂线，分别交 l1, l2 于 A 、 B 两点，且向量 BF 与 FA 同向．若 | OA |,| AB |,| OB | 成 等差数列，则双曲线离心率 e 的大小为
2013届高考数学 押题精选试题分类汇编9 圆锥曲线 理
2013届全国各地高考押题数学（理科）精选试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）已知直线l 交椭圆805422=+y x 于N M ,两点,椭圆与y 轴的正半轴交于B 点,若BMN ∆的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线l 的方程是 （ ）A ．02856=--y xB ．02856=-+y xC ．02865=-+y xD ．02865=--y x【答案】（ ） A ．设1122(,),(,)M x y N x y ,又(0,4),(2,0)B F ,由重心坐标得1212042,033x x y y ++++== 121264x x y y +=⎧⇒⎨+=-⎩（1）（2）,所以弦MN 的中点为(3,2)-. 因为点1122(,),(,)M x y N x y 在椭圆上,所以,2211222245804580x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,作差得 121212124()()4()()0x x x x y y y y +-++-=,将(1)和(2)代入得121265l y y k x x -==-,所以,直线L 为:62(3)5y x +=-2 ．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）已知抛物线y 2=4x 的准线过双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点,且此双曲线的一条渐 近线方程为y =2x ,则双曲线的焦距等于 （ ）A ． 5B ．2 5C ． 3D ．2 3【答案】B 【解析】∵抛物线y 2=4x 的准线x =-1过双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点,∴a =1,∴双曲线的渐近线方程为y =±b ax =±bx .∵双曲线的一条渐近线方程为y =2x ,∴b =2,∴c =a 2＋b 2=5,∴双曲线的焦距为2 5.3 ．（2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线的斜率为2,且右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合,则该双曲线的离心率等于 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．23【答案】B 【解析】抛物线的焦点为,即c =双曲线的渐近线方程为by x a=,由ba=,即b =,所以22222b a c a ==-,所以223c a =,即23,e e ==,即离心率为3,选B ．4 ．（2013届安徽省高考压轴卷数学理试题）双曲线228x y -=的左右焦点分别是12F F ，,点n P ()()123n n x y n =，，，在其右支上,且满足121||||n n P F P F +=,1212PF F F ⊥,则2012x 的值是（ ）A ．B ．C ．8048D ．8040【答案】C 【解析】(方法一)22884a b c ==∴=，，，即14x =,又121||||n n P F P F +=， 2222222211111(4)(4)816816n n n n n n n n n n x y x y x x y x x y +++++∴-+=++-++=-++， 即22111114()()()4()n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x +++++-=+⇔+-=+，由题意知,0n x >, 14n n x x +∴-=，故20121(20121)48048x x =+-⨯=. (方法二)焦半径公式法:11211||(2)||(2)4n n n n n n P F e x P F e x x x +++=+=-∴=+，，14x ∴=,故20121(20121)48048x x =+-⨯=.选C ．点评:本题考查双曲线的简单几何性质和等差数列前n 项和的求法. 通过121||||n n P F P F +=得出1n n x x +，的关系式解题的关键.5 ．（2013届四川省高考压轴卷数学理试题）已知双曲线的方程为2221(0)4x y m m m -=>+,则离心率的范围是（ ）A．)+∞ B．)+∞ C ．[1,)+∞ D ．[3,)+∞【答案】B6 ．（2013届福建省高考压轴卷数学理试题）设双曲线22143x y -=的左,右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点,则22BF AF +的最小值为 （ ）A ．192B ．11C ．12D ．16 【答案】B【解析】由题意,得:21221121248824AF AF a BF AF AF BF AB BF BF a ⎧-==⎪⇒+=++=+⎨-==⎪⎩ 显然,AB 最短即通径,2min23b AB a=⋅=,故()22min11BF AF +=7 ．（2013届新课标高考压轴卷（二）理科数学）已知双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ,过左焦点1F 作斜率为33的直线交双曲线的右支于点P,且y 轴平分线段P F 1,则双曲线的离心率为 （ ）AB1+CD．2+【答案】A8 ．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（理）试题）若双曲线222(0)x y a a -=>的左、右顶点分别为,A B ,点P 是第一象限内双曲线上的点.若直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,且(1)k k βα=>,那么α的值是（ ）A ．21k π-B ．2k πC ．21k π+D ．22k π+【答案】D 【解析】:∵双曲线的方程为222x y a -=,22221x y a a-=,∴双曲线的左顶点为(,0)A a -,右顶点为(,0)B a .设(,)P m n ,得直线PA 的斜率PA nk m a=+,直线PB 的斜率PBn k m a=-,∴222PA PB n k k m a ⋅=-①.∵(,)P m n 是双曲线222x y a -=上的点,∴222m n a -=,得222n m a =-,代人①式得1PA PB k k ⋅=.∵直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,所以tan ,tan PA PB k k αβ==,∴tan tan 1αβ⋅=.∵P 是第一象限内双曲线上的点,易知,αβ均为锐角,∴(1)2k παβα+=+=,解得22k πα=+.故选 D ．9 ．（2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是（ ）A ．78 B ．1516C ．34 D ．0 【答案】B 【解析】抛物线的标准方程为214x y =,抛物线的焦点坐标为1(0,)16,准线方程为116y =-,因为M 到焦点的距离为1,则M 到准线的距离为1,即1()116M y --=,所以11511616M y =-=,选B ． 10．（2013届辽宁省高考压轴卷数学理试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛 物线224y x =的准线上,则双曲线的方程为（ ）A ．22136108x y -=B ．221927x y -=C ．22110836x y -=D ．221279x y -=【答案】B依题意知2222269,27ba c abc a b +⎧=⎪⎪=⇒==⎨⎪=⎪⎩,所以双曲线的方程为221927x y -=11．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）设M(x 0,y 0)为抛物线C:x 2=8y 上一点,F 为抛物线C 的焦点,以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交,则y 0的取值范围是 （ ） A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2,+∞)D ．[2,+∞) 【答案】答案:C考点:抛物线的简单性质.分析:由条件|FM|>4,由抛物线的定义|FM|可由y 0表达,由此可求y 0的取值范围 解答:解:由条件|FM|>4,由抛物线的定义|FM|=y 0+2>4,所以y 0>2(13)=1 (14)16 (15)m<-1 (16)910π 12．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（理）试题）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ,斜率为43的直线交抛物线于,A B 两点,若(1)AF FB λλ=>,则λ的值为（ ）A ．4B ．5C ．43D ．52【答案】A 【解析】:据题意设1122(,),(,)A x y B x y . 由AF FB λ=1122(,)(,)22p px y x y λ⇒--=-,则1122y y y y λλ-=⇒=-. 联立24(),322,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得22302y py p --=,则212123,2y y p y y p +==-. ∴212121221()924y y y y y y y y +=++=-,即1924λλ--+=-,即241740λλ-+=,解得4λ=或14λ=(舍去).故选（ ）A ．二、填空题 13．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C 的方程为________________.【答案】x 216+y 28=1 【解析】 设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),因为离心率为22,所以22=1－b 2a 2,解得b 2a 2=12,即a 2=2b 2.又△ABF 2的周长为|AB |+|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|BF 1|+|BF 2|+|AF 2|=(|AF 1|+|AF 2|)+(|BF 1|+|BF 2|)=2a +2a =4a ,,所以4a =16,a =4,所以b =22,所以椭圆方程为x 216+y 28=1.14．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两渐近线围成的三角形的面积为【答案】【解析】抛物线212y x =-的准线为3x =,双曲线22193x y -=的两渐近线为y x =和y x =,令3x =,分别解得12y y ==,所以三角形的低为(-=,高为3,所以三角形的面积为132⨯=.15．（2013届新课标高考压轴卷（二）理科数学）过点M(—2,0)的直线m 与椭圆2122,12P P y x 交于=+两点,线段21,P P 的中点为P,设直线m 的斜率为)0(11≠k k ,直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为_______ 【答案】 -1/216．（2013届四川省高考压轴卷数学理试题）M 是抛物线24y x =上一点,F 是抛物线24y x =的焦点.以Fx 为始边,FM 为终边的角60xFM ∠=︒,则MOF ∆(O 是坐标原点)的面积为____________________. 【答案】317．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,A B 、在抛物线上,且2AFB π∠=,弦AB 的中点M 在其准线上的射影为N ,则MNAB的最大值为【答案】. 如图,1111()()22MN AA BB AF BF =+=+, 2222()2AF BF AB AF BF +=+≥,当且仅当AF BF=时取“=”号222222()112222MN AF BF AB AB AF BF AB AB AB⎛⎫⎛⎫+∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⋅≤= 12MNAB ∴≤18．（2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点12,F F 在x 轴上,离心率为22.过1F 的直线L 交C 于,A B 两点,且2ABF 的周长为16,那么C 的方程为______.【答案】解析:由22416c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a=4.c=22,从而b=8,221168x y ∴+=为所求.19．（2013届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2,且12||F F =2c,若点P 在椭圆上,且满足2212120,PF F F PF PF c ⋅=⋅=,则该椭圆的离心率e 等于________【答案】512-20．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）已知双曲线和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为_______ 【答案】考点:圆锥曲线的综合;椭圆的简单性质.分析:先利用双曲线和椭圆有相同的焦点求出c=,再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,求出a=2,即可求双曲线的方程.解答:解:由题得,双曲线的焦点坐标为(,0),(﹣,0),c=:且双曲线的离心率为2×==⇒a=2.⇒b 2=c 2﹣a 2=3,双曲线的方程为=1.故答案为:=1.三、解答题21．（2013届新课标高考压轴卷（二）理科数学）已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21,以原点O 为圆心,椭圆的短半轴长 为半径的圆与直线06=+-y x 相切(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程(Ⅱ)若直线L:m kx y +=与椭圆C 相交于A 、B 两点,且22ab k k OB OA -=⋅①求证:AOB ∆的面积为定值②在椭圆上是否存在一点P,使OAPB 为平行四边形,若存在,求出OP 的取 值范围,若不存在说明理由.请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号.【答案】(Ⅰ)解:由题意得3,426002122222==⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+-=-==b a b b a c a c ∴椭圆的方程为13422=+y x .(Ⅱ)设)(1,1y x A ,)(2,2y x B 则A,B 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y y x 13422消去y 化简得()0124843222=-+++m kmx xk∴221438kkm x x +-=+,222143124k m x x +-= ,0>∆得03422>+-m k 2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++= =2222222243123)438(43124kk m m k km km k m k +-=++-++-. 43-=•OB OA K K432121-=x x y y ,即212143x x y y -= ∴22222431244343123k m kk m +-⋅-=+-即34222=-k m []22222212212)43()34(48)1(4)()1(k m k k x x x x k AB ++-⋅+=-++= =243)43()1(482222k k k +⋅++2243)1(24kk ++=. O 到直线m kx y +=的距离21km d +=∴2121==∆AB d S AOB21k m +2243)1(24k k ++=222243)1(24121k k k m ++⋅+=22432424321k k +⋅+=3 为定值..(Ⅲ)若存在平行四边形OAPB 使P 在椭圆上,则OB OA OP +=设),(00y x P ,则2210438k kmx x x +-=+=2210436kmy y y +=+= 由于P 在椭圆上,所以1342020=+yx从而化简得 1)43(12)43(162222222=+++k m k m k 化简得 22434k m += (1) 由43-=•OB OA K K 知 34222=-k m (2) 解(1)(2)知无解不存在P 在椭圆上的平行四边形. 22．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 已知AOB ∆的顶点A在射线()1:0l y x =>上,A 、B 两点关于x 轴对称,0为坐标原点,且线段AB 上有一点M 满足 3.AM MB •=当点A 在1l 上移动时,记点M 的轨迹为W. (Ⅰ)求轨迹W 的方程;(Ⅱ)设()2,0,N 是否存在过N 的直线l 与W 相交于P,Q 两点,使得1?OP OQ •=若存在,求出直线l ;若不存在,说明理由.【答案】解:(Ⅰ)因为A,B 两点关于x 轴对称, 所以AB 边所在直线与y 轴平行.设(),,M xy 由题意,得()(),,,3,A x B xAM MB ⋅=)223,1,3y yy x ∴-+=-=所以点M 的轨迹W 的方程为()2210.3y x x -=> (Ⅱ)假设存在,设()()()1122:22,,,,l y k x x P x y Q x y =-=或，当直线():2l y k x =-时,由题意,知点P,Q 的坐标是方程组()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩的解, 消去y 得 ()222234430,k x k x k -+--=所以()()()()22222244343361030k k k k k ∆=----=+>-≠且22121222443,,33k k x x x x k k ++==--直线l与双曲线的右支(即W)相交两点P,Q,221212224430,0,33k k x x x x k k +∴+=>=>--即2 3.k >①()()()2121212122224y y k x k x k x x x x ⎡⎤=-⋅-=-++⎣⎦()()22212121212124OP OQ x x y y k x x k x x k ∴⋅=+=+-++ ()22222222243435124333k k k k k k k k k +-=+⋅-⋅+=--- 要使1,OP OQ ⋅=则必须有22351,3k k -=-解得21,k =代入①不符合.所以不存在直线l ,使得1,OP OQ ⋅=当直线:2l x =时,()()2,3,2,3,5,P Q OP OQ -⋅=-不符合题意, 综上:不存在直线l ,使得1,OP OQ ⋅=23．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在s 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,OPOM=λ,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.2013海南省高考压轴卷数学【答案】(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a c ，,由已知得1,4,37a c a c a c -=⎧==⎨+=⎩解得, 所以椭圆C 的标准方程为221167x y +=(Ⅱ)设(,)M x y ,其中[]4,4x ∈-.由已知222OP OMλ=及点P 在椭圆C 上可得2222911216()x x y λ+=+. 整理得2222(169)16112x y λλ-+=,其中[]4,4x ∈-.(i)34λ=时.化简得29112y = 所以点M的轨迹方程为44)y x =±-≤≤,轨迹是两条平行于x 轴的线段. (ii)34λ≠时,方程变形为2222111211216916x y λλ+=-,其中[]4,4x ∈-当304λ<<时,点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足44x -≤≤的部分. 当314λ<<时,点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足44x -≤≤的部分;当1λ≥时,点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆24．（2013届辽宁省高考压轴卷数学理试题）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左顶点)0,2(-A ,过右焦点F 且垂直于长轴的弦长为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若过点A 的直线l 与椭圆交于点Q ,与y 轴交于点R ,过原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ,求证:2OPAR AQ ⋅为定值.【答案】解:(1)2=a ,设过右焦点F 且垂直于长轴的弦为MN ,将),(M y c M 代入椭圆方程12222=+by a c M ,解得a b y m 2±=,故322=ab ,可得32=b所以,椭圆方程为13422=+y x(2)由题意知,直线OP AQ ,斜率存在,故设为k ,则直线AQ 的方程为)2(+=x k y ,直线OP 的方程为kx y =.可得)2,0(k R ,则212k AR +=设),(11y x A ,),(22y x Q ,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=134)2(22y x x k y , 消去y 得:0121616)34(2222=-+++k x k x k ,34162221+-=+k k x x ,3412162221+-=k k x x , 则341124)(1122212212212++=-++=-+=k k x x x x kx x k AQ 设kx y =与椭圆交另一点为),(33y x M ,),(44y x P ,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=13422y x kx y , 消去y 得012)34(22=-+x k ,341224+=k x ,所以3412112242++=+=k kx k OP 故2)34121(34112122222222=+++++=⋅k k k k k OP AR AQ . 所以2OPAR AQ ⋅等于定值225．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,过点F作直线l 与抛物线交于A 、B 两点,抛物线的准线与x 轴交于点C .(1)证明:ACF BCF ∠=∠;(2)求ACB ∠的最大值,并求ACB ∠取得最大值时线段AB 的长.【答案】解:(Ⅰ)由题设知,F ( p 2,0),C (- p2,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l 方程为x =my + p2,代入抛物线方程y 2=2px ,得y 2-2pmy -p 2=0. y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=-p 2.不妨设y 1>0,y 2<0,则 tan ∠ACF =y 1x 1＋ p 2=y 1y 212p ＋p 2=2py 1y 21＋p 2=2py 1y 21－y 1y 2=2p y 1－y 2, tan ∠BCF =-y 2x 2＋p 2=-2p y 2－y 1,∴ta n ∠ACF =tan ∠BCF ,所以∠ACF =∠BCF .(Ⅱ)如(Ⅰ)所设y 1>0,tan ∠ACF =2py 1y 21＋p2≤2py 12py 1=1,当且仅当y 1=p 时取等号, 此时∠ACF 取最大值 π 4,∠ACB =2∠ACF 取最大值 π2,并且A ( p 2,p ),B ( p2,-p ),|AB |=2p .26．（2013届上海市高考压轴卷数学（理）试题）本题共3小题,第(Ⅰ)小题4分,第(Ⅱ)小题6分,第(Ⅲ)小题6分.已知点)2,1(A 是离心率为22的椭圆C :)0(12222>>=+b a a y b x 上的一点.斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点,且A 、B 、D 三点不重合. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)ABD ∆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由? (Ⅲ)求证:直线AB 、AD 的斜率之和为定值.【答案】本题共3小题,第(Ⅰ)小题4分,第(Ⅱ)小题6分,第(Ⅲ)小题6分.解:(Ⅰ) a c e ==22, 12122=+ab ,222c b a +=∴2=a ,2=b ,2=c∴14222=+y x(Ⅱ)设直线BD 的方程为b x y +=2∴⎩⎨⎧=++=42222y x b x y 0422422=-++⇒b bx x ∴06482>+-=∆b 2222<<-⇒b,2221b x x -=+ ----① 44221-=b x x -----② 222128264864343)2(1b b x x BD -=-=∆=-+= ,设d 为点A 到直线BD :b x y +=2的距离, ∴3b d =∴2)8(422122≤-==∆b b d BD S ABD ,当且仅当2±=b 时取等号. 因为2±)22,22(-∈,所以当2±=b 时,ABD ∆的面积最大,最大值为2. (Ⅲ)设),(11y x D ,),(22y x B ,直线AB 、AD 的斜率分别为:AB k 、AD k ,则=+AB AD k k 122122121222112211--++--+=--+--x b x x b x x y x y =]1)(2[22212121++--++x x x x x x b ------* 将(Ⅱ)中①、②式代入*式整理得]1)(2[22212121++--++x x x x x x b =0,即=+AB AD k k 027．（2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 是抛物线24y x=上相异两点,且满足122x x +=.(Ⅰ)若AB 的中垂线经过点(0,2)P ,求直线AB 的方程;(Ⅱ)若AB 的中垂线交x 轴于点M ,求AMB ∆的面积的最大值及此时直线AB 的方程.【答案】解:(I)当AB 垂直于x 轴时,显然不符合题意, 所以可设直线AB 的方程为y kx b =+,代入方程24y x =得:222(24)0k x kb x b +-+=∴122422kbx x k -+== 得:2b k k =- ∴直线AB 的方程为2(1)y k x k=-+ ∵AB 中点的横坐标为1,∴AB 中点的坐标为2(1,)k∴AB 的中垂线方程为1213(1)y x x k k k k=--+=-+∵AB 的中垂线经过点(0,2)P ,故32k =,得32k =∴直线AB 的方程为3126y x =-(Ⅱ)由(I)可知AB 的中垂线方程为13y x k k=-+,∴M 点的坐标为(3,0)因为直线AB 的方程为2220k x ky k -+-= ∴M 到直线AB 的距离22242|32|21||k k k d k k k +-+==+由222204k x ky k y x ⎧-+-=⎨=⎩ 得,222204k y ky k -+-=, 212122482,k y y y y k k -+=⋅=12||||AB y y=-=∴214(1AMBSk∆=+t=,则01t<<,234(2)48S t t t t=-=-+,2'128S t=-+,由'0S=,得t=348S t t=-+在上递增,在上递减,当t=,S有最大值得:k=时,maxS=AB方程310x-=28．（2013届广东省高考压轴卷数学理试题）动圆P在x轴上方与圆F:()2211x y+-=外切,又与x轴相切.(1)求圆心P的轨迹C的方程;(2)已知A.B是轨迹C上两点,过A.B两点分别作轨迹C的切线,两条切线的交点为M, 设线段AB的中点为N,是否存在Rλ∈使得MN OFλ=(F为圆F的圆心);(3)在(2)的条件下,若轨迹C的切线BM与y轴交于点R,A.B两点的连线过点F,试求△ABR面积的最小值.【答案】解:(1)设P(x,y)由题意知()22211(1)y x y y=+⇒+-=+21y4x∴=)0(≠x.即圆心P的轨迹C的方程为21y4x=)0(≠x(2)设11(,)A x y,22(,)B x y由1'2y x=得直线AM的斜率112AMk x=直线BM 的斜率212BM k x =∴直线AM 的方程为1111()2y y x x x -=---------------①直线BM 的方程为2221()2y y x x x -=--------------②由①②消去y 得21112211()()22y y x x x x x x -=---2212211111()2222x x x x x =-+-∵11(,)A x y ,22(,)B x y 在抛物线21y 4x =)0(≠x 上∴2222211221111111()442222x x x x x x x -=-+- ∴121()2x x x =+即点M 的横坐标121()2x x x =+,又∵点N 的横坐标为也为122x x +∴MN//y 轴,即MN 与OF 共线 ∴存在R λ∈使得MN OF λ=(3)设点B 的坐标为2(,)(0)4t t t ≠,则轨迹C 的切线BM 的方程为2()42t ty x t -=-可得R 的坐标为2(0,)4t -,直线BA 的方程为2414t y x t -=+,由224414y xt y x t ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩可得点A 的坐标为244(,)t t - ∴1||||2ABR B A S FR x x ∆=⋅-=214|1|||24t t t +⋅+3114|2|24t t t=++∵3114|2|24t t t++是关于t 的偶函数,∴只须考虑0t >的情况, 令3114()(2)24f t t t t =++(0t >)则22134'()(2)24f t t t=+-,令'()0f t =解得t =∵当t ∈时,'()0f t <,当)t ∈+∞时,'()0f t >∴当且仅当233t =时,()f t 取得最小值min 23163()()39f t f == 29．（2013届江苏省高考压轴卷数学试题）在直角坐标系xoy 上取两个定点12(2,0),(2,0)A A -,再取两个动点1(0,),N m 2(0,)N n ,且3mn =.(Ⅰ)求直线11A N 与22A N 交点的轨迹M 的方程;(Ⅱ)已知点(1,)A t (0t >)是轨迹M 上的定点,E,F 是轨迹M 上的两个动点,如果直 线AE 的斜率AE k 与直线AF 的斜率AF k 满足0AE AF k k +=,试探究直线EF 的斜率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.【答案】30．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）如图,设椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,上顶点为A ,左、右焦点分别为F 1,F 2,线段OF 1,OF 2的中点分别为B 1,B 2,且△AB 1B 2 是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ,Q 两点,使PB 2⊥QB 2,求直线l 的方程.【答案】【解析】 (1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),右焦点为F 2(c,0).因为△AB 1B 2是直角三角形,又|AB 1|=|AB 2|,故∠B 1AB 2为直角,因此|OA |=|OB 2|,得b =c2.结合c 2=a 2-b 2,得4b 2=a 2-b 2,故a 2=5b 2,c 2=4b 2,∴离心率e =c a =255.在Rt △AB 1B 2中,OA ⊥B 1B 2,故S △AB 1B 2=12|B 1B 2|·|OA |=|OB 2|·|OA |=c 2·b =b 2.由题设条件S △AB 1B 2=4,得b 2=4,从而a 2=5b 2=20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220+y 24=1.(2)由(1),知B 1(-2,0),B 2(2,0).由题意,知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为x =my -2,代入椭圆方程,得(m 2+5)y 2-4my -16=0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则y 1,y 2是上面方程的两根,因此y 1+y 2=4m m 2＋5,y 1·y 2=-16m 2＋5. 又B 2P →=(x 1-2,y 1),B 2Q →=(x 2-2,y 2), ∴B 2P→·B 2Q→=(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=(my 1-4)(my 2-4)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2-4m (y 1+y 2)+16=-16m 2＋1m 2＋5-16m2m 2＋5+16=-16m 2－64m 2＋5.由PB 2⊥QB 1,得B 2P →·B 2Q →=0,即16m 2-64=0,解得m =±2.∴满足条件的直线有两条,其方程分别为x +2y +2=0和x -2y +2=0.31．（2013届江苏省高考压轴卷数学试题）抛物线y x 22-=上有两点),().,(2211y x B y x A 且)2,0(,0-==⋅OM OB OA (O 为坐标原点)(1)求证:AM ∥AB (2)若MB MA 2-=,求AB 所在直线方程.【答案】抛物线y x 22-=上有两点),().,(2211y x B y x A 且)2,0(,0-==⋅OM OB OA (O 为坐标原点)(1)求证:AM ∥AB (2)若MB MA 2-=,求AB 所在直线方程.32．（2013届四川省高考压轴卷数学理试题）如图,(1,1)S 是抛物线为22(0)y px p =>上的一点,以S 为圆心,r 为半径(12r <<)做圆,分别交x 轴于A ,B 两点,连结并延长SA 、SB ,分别交抛物线于C 、D 两点.(1)求证:直线CD 的斜率为定值;(2)延长DC 交x 轴负半轴于点E,若EC : ED = 1 : 3,求sin 2cos CSD CSD ∠+∠的值.【答案】(1)将点(1,1)代入px y 22=,得 12=p∴ 抛物线方程为x y =2设)1(1-=-x k y SA 的方程为直线,),(11y x C 与抛物线方程x y =2联立得:012=-+-k y kyk y 111=+∴111-=∴ky )11,)1((22--∴kk k C由题意有SB SA =,k SB -∴的斜率为直线)11,)1((22--+∴kk k D21)1()1(11112222-=+--++-=∴k k k k k k K CD(2)设)0,(t EEC = )11,)1((31)11,)1((2222---+=---∴k t k k k t k k )11(3111--=-k k 2=∴k12-=∴x y SA 的方程为直线)0,21(A ∴同理)0,23(B532cos cos 222=⋅-+=∠=∠∴SA SB AB SB SA ASB CSD∴4sin 5CSD ∠=,24sin 225CSD ∠=,因此:39sin 2cos 25CSD CSD ∠+∠=33．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）在周长为定值的∆DEC 中,已知|DE |=8,动点C的运动轨迹为曲线G ,且当动点C 运动时,cos C 有最小值725-. (1) “以DE 所在直线为x 轴,线段DE 的中垂线为y 轴建立直角坐标系,求曲线G 的方程”.2)直线l 分别切椭圆G 与圆M :x 2+y 2=R 2(其中3<R <5)于A 、B 两点,求|AB |的最大值.【答案】【解析】(1)设 |CD |+|CE |=2a (a >8)为定值,所以C 点的轨迹是以D 、E 为焦点的椭圆,所以焦距2c =|DE |=8. 因为2222222||||8(||||)2||||828cos 12||||2||||||||CD CE CD CE CD CE a C CD CE CD CE CD CE +-+---===-又 222||||()2a CD CE a ⋅≤=,所以 228cos 12C a ≥-,由题意得222871,25225a a -=-=.所以C 点轨迹G 的方程为 22 1.259x y +=(2)设1122(,),(,)A x y B x y 分别为直线l 与椭圆和圆的切点, 直线AB 的方程为:y kx m =+因为A 既在椭圆上,又在直线AB 上, 从而有221259x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩, 消去y 得:222(259)5025(9)0k x kmx m +++-=由于直线与椭圆相切,故222(50)4(259)25(9)0km k m ∆=-+⨯-= 从而可得:22925m k =+ ① 125kx m=-② 由222x y R y kx m ⎧+=⎨=+⎩ 消去y 得:2222(1)20k x kmx m R +++-= 由于直线与圆相切,得222(1)m R k =+ ③ 22kR x m=- ④由②④得:221(25)k R x x m --= 由①③得:222925R k R -=-22222212121||()()(1)()AB x x y y k x x ∴=-+-=+-222222222222(25)9(25)22525925m k R R R R R m R R R ---=⋅=⋅=+---3434304≤-=-= 即||2AB ≤,当且仅当R =,所以|AB|的最大值为2.34．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为12,短轴长为43. (I)求椭圆C 的标准方程;(II)直线x =2与椭圆C 交于P 、Q 两点,A 、B 是椭圆O 上位于直线PQ 两侧的动点,且直线AB 的斜率为12. ①求四边形APBQ 面积的最大值;②设直线PA 的斜率为1k ,直线PB 的斜率为2k ,判断1k +2k 的值是否为常数,并说明理由.【答案】解:(Ⅰ)设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x由已知b=32 离心率222,21c b a a c e +===,得4=a 所以,椭圆C 的方程为1121622=+y x(Ⅱ)①由(Ⅰ)可求得点P 、Q 的坐标为)3,2(P ,)3,2(-Q ,则6||=PQ ,设A (),,11y x B(22,y x ),直线AB 的方程为t x y +=21,代人1121622=+y x得:01222=-++t tx x .由△>0,解得44<<-t ,由根与系数的关系得⎩⎨⎧-=-=+1222121t x x t x x 四边形APBQ 的面积2212212134834)(3621t x x x x x x s -=-+⨯=-⨯⨯= 故当312,0max ==S t②由题意知,直线PA 的斜率23111--=x y k ,直线PB 的斜率23222--=x y k则2321232123232211221121--++--+=--+--=+x t x x t x x y x y k k =2222122)2(2122)2(21212211--+--+=--+-+--+-x t x t x t x x t x =4)(2)4)(2(1212121++--+-+x x x x x x t ,由①知⎩⎨⎧-=-=+1222121t x x t x x 可得011828214212)4)(2(122221=-=-++--+=++----+=+t t t t t t t t k k所以21k k +的值为常数035．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（理）试题）如图,已知2(,)M m m 、2(,)N n n 是抛物线C :2y x =上的两个不同的点,且221m n +=,0m n +≠,直线l 是线段MN 的垂直平分线.设椭圆E 的方程为221022(,)x y a a a +=>≠.(1)当M 、N 在C 上移动时,求直线l 的斜率k 的取值范围;(2)已知直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点,与椭圆E 交于P 、Q 两点,设线段AB 的中点为R ,线段QP 的中点为S ,若0OR OS ⋅=,求椭圆E 的离心率的取值范围.【答案】(1)由题意知,直线MN 的斜率为22MNm n k m n m n-==+-, 又l MN ⊥,0m n +≠,∴直线l 的斜率为1k m n=-+. ∵221m n +=,由222m n mn +≥,得2222()()m n m n +≥+,即22()m n ≥+(当m n =时,等号成立),∴2m n +≤∵M 、N 是不同的两点,即m n ≠,∴0m n <+<,∴k >,即k <或k >.∴直线l 的斜率k 的取值范围为22(,(,)-∞+∞. (2)由题意易得,线段MN 的中点坐标为2222(,)m n m n ++.∵直线l 是线段MN 的垂直平分线,∴直线l 的方程为2222()m n m ny k x ++-=-,又∵221m n +=,1k m n =-+,即1m n k+=-, ∴直线l 的方程为1y kx =+.将直线l 的方程分别代入抛物线方程和椭圆方程并整理得,210x kx --=, ①2224220()a k x kx a +++-=.②易知方程①的判别式2140k ∆=+>, 方程②的判别式22821()a k a ∆=+-, 由(1)易知212k >,又0a >,∴2210k a a +->>,∴20∆>恒成立. 设(,),(,),(,),(,)A A B B P P Q Q A x y B x y P x y Q x y ,则21122,()A B A B A B A B x x k y y kx kx k x x k +=+=+++=++=+,∴线段AB 的中点R 的坐标为2122(,)k k +, 又∵224211222,()P Q P Q P Q P Qk ax x y y kx kx k x x a k a k +=-+=+++=++=++, ∴线段QP 的中点S 的坐标为22222(,)k aa k a k -++.∴2122(,)k k OR =+,22222k aOS a k a k -=++(,),由0OR OS ⋅=得,2221202()k k a a k-++=+,即22102()k k a -++=, ∴2222k a k =+. ∵212k >,∴2222222251k a k k ==>++,222242222k a k k ==-<++,∴225a <<.由题易知,椭圆E的离心率e =,222a e ∴=-, ∴222225e <-<,∴2405e <<,∴0e <<. 故椭圆E的离心率的取值范围为0(. 36．（2013届江西省高考压轴卷数学理试题）如图,在矩形ABCD中,8,4,,,,AB BC E F G H ==分别为四边的中点,且都在坐标轴上,设→→=OF OP λ,)0(≠=→→λλCF CQ .(Ⅰ)求直线EP 与GQ 的交点M 的轨迹Γ的方程;(Ⅱ)过圆222x y r +=(02)r <<上一点N 作圆的切线与轨迹Γ交于,S T 两点,若02=+⋅→→r NT NS ,试求出r 的值.【答案】解:(I)设(,)M x y ,由已知得(4,0),(4,22)P Q λλ-,则直线EP 的方程为22x y λ=-,直线GQ 的方程为22x y λ=-+,消去λ即得M 的轨迹Γ的方程为221(0)164x y x +=≠(II)方法一:由已知得2NS NT ON=,又ON ST ⊥,则OS OT ⊥,设直线:(2)ST y kx m m =+≠±代入221164x y +=得222(14)84160k x kmx m +++-=,设1122(,),(,)S x y T x y ,则21212228416,1414km m x x x x k k -+=-=++ 由OS OT ⊥得12120x x y y +=,即221212()(1)0km x x k x x m ++++=,则22516(1)m k =+, 又O 到直线ST的距离为r =,故(0,2)r =.经检验当直线ST 的斜率不存在时也满足方法二:设00(,)N x y ,则22200x y r +=,且可得直线ST 的方程为200x x y y r += 代入221164x y +=得222242000(4)84160y x x r x x r y +-+-=, 由2NS NT ON =得220200120(1)()()x x x x x r y +--=,即201212()x x x x x r +-=, 则2242200220084164r x r y r y x -+=+,故(0,2)r =37．（2013届天津市高考压轴卷理科数学）已知椭圆1:2222=+by a x C (a >b >0)的焦距为4,且与椭圆1222=+y x 有相同的离心率,斜率为k 的直线l 经过点M(0,1),与椭圆C 交于不同两点A 、B.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时,求k 的取值范围. 【答案】解:(1)∵焦距为4,∴ c =2 又∵1222=+y x 的离心率为22 ∴222===a a c e ,∴a =22,b =2 ∴标准方程为14822=+y x (2)设直线l 方程:y =kx +1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎪⎩⎪⎨⎧=++=148122y xkx y 得064)21(22=-++kx x k∴x 1+x 2=2214k k +-,x 1x 2=2216k +-由(1)知右焦点F 坐标为(2,0), ∵右焦点F 在圆内部,∴BF AF ⋅<0 ∴(x 1 -2)(x 2-2)+ y 1y 2<0即x 1x 2-2(x 1+x 2)+4+k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1<0 ∴222221185214)2(216)1(k k k k k k k +-=++-⋅-++-⋅+<0 ∴k <81经检验得k <81时,直线l 与椭圆相交,∴直线l 的斜率k 的范围为(-∞,81) .38．（2013届福建省高考压轴卷数学理试题）已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12,右焦点到直线1:3l x + 40y =的距离为35.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若直线2:(0)l y kx m km =+≠ 与椭圆C 交于A 、B 两点,且线段AB 中点恰好在直线1l 上,求△OAB 的面积S 的最大值.(其中O 为坐标原点).【答案】【解析】 (I)由题意得21==a c e ,1=c ,所以2=a ,所求椭圆方程为13422=+y x . (II)设()()2211,,,y x B y x A ,把直线m kx y l +=:2代入椭圆方程13422=+y x 得到01248)34(222=-+-+m kmx x k ,因此34822221+-=+k kmx x ,341242221+-=k m x x , 所以AB 中点)343,344(22++-k mk km M ,又M在直线1l 上,得03434344322=+⨯++-⨯k mk km , 1.0=∴=/k m , 故7821m x x -=+,7124221-=m x x , 所以22127764||1||m x x k AB -=-+=,原点O 到AB 的距离为2||m d =, 得到32)7(732)7(7322222=-+⨯≤-=m m m m S ,当且仅当272=m 取到等号,检验0>∆成立.39．（2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）给定抛物线2:4C y x =,F 是抛物线C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)设l 的斜率为1,求以AB 为直径的圆的方程; (Ⅱ)设2FA BF =,求直线l 的方程. 【答案】(Ⅰ)解:()24,1,0,y x F =∴又直线l 的斜率为1,∴直线∴l 的方程为:1y x =-,代入24y x =,得:2610x x -+=,由根与系数的关系得:121261x x x x +=⎧⎨⋅=⎩,易得AB 中点即圆心的坐标为()3,2,又128,4AB x x p r =++=∴=,∴所求的圆的方程为:()()223216x y -+-=.^(Ⅱ)2,2,FA BF FA BF =∴=而()()11221,,1,FA x y BF x y =-=--,()12121212x x y y -=-⎧∴⎨=-⎩,直线l 的斜率存在,设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为:()1y k x =-,代入24y x =,得:()2222240k x k x k -++=,由根与系数的关系得:212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪⋅=⎩,()12121x x -=-,∴1211x x =⎧⎨=⎩或12212x x =⎧⎪⎨=⎪⎩,∴k =±,∴直线l 的方程为:)1y x =±-40．（2013届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）设21,F F 分别为椭圆右两个焦点,若椭圆C 上的点到F 1,F 2两点的距离之和等于4.⑴写出椭圆C 的方程和焦点坐标;⑵过点P(1,的直线与椭圆交于两点D 、E,若DP=PE,求直线DE 的方程;⑶过点Q(1,0)的直线与椭圆交于两点M 、N,若△OMN 面积取得最大,求直线MN 的方程. 【答案】⑴椭圆C 的焦点在x 轴上,由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2.;又点在椭圆上,b 2=1,于是c 2=3; 所以椭圆C⑵∵P 在椭圆内,∴直线DE 与椭圆相交,∴设D(x 1,y 1),E(x 2,y 2),代入椭圆C 的方程得x 12+4y 12-4=0, x 22+4y 22-4=0,相减得2(x 1-x 2y 1-y 2)=0,∴斜率为k =-1 ∴DE 方程为y -1= -1(x即4x +4y =5; (3)直线MN 不与y 轴垂直,∴设MN 方程为my =x -1,代入椭圆C 的方程得 (m 2+4)y 2+2my -3=0, 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则y 1+y 2y 1y 2且△>0成立.又S △OMNy 1-y 2设t则 S △OMNt-t -2>0对ttt,S △OMN 最大,此时m =0,∴MN 方程为x =141．（2013届陕西省高考压轴卷数学（理）试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离,且椭圆C 上一点与两个焦点构成的三角形的周长为222+. (I)求椭圆C 的方程;(II)设过椭圆C 右焦点F 的动直线l 与椭圆C 交于A B 、两点,试问:在x 轴上是否存在定点M ,使716MA MB ⋅=-成立?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】【解析】(I)由题意知:c a =,且222a c +=+,解得1a c ==,2221b a c =-=,∴ 椭圆C 的方程为2212x y +=.(II)易求得右焦点(1,0)F ,假设在x 轴上存在点(,0)M t (t 为常数),使716MA MB ⋅=-. ①当直线l 的斜率不存在时,则:1l x =,此时(1,A B, 217(1(1,(1)216MA MB t t t ⋅=-⋅-=--=-,解得54t =或34. ②当直线l 的斜率存在时,设:(1)l y k x =-,联立方程组22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 整理得2222(21)4220k x k x k +-+-=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++ 1122(,(1))(,(1))MA MB x t k x x t k x ⋅=--⋅--22221212(1)()()k x x t k x x k t =+-++++22222222224(1)()2121k k k t k k t k k -=+⋅-+⋅++++222(41)221t k t k -+=-+ 当41221t -=即54t =时,MA MB ⋅为定值:27216t -=-由①②可知,在x 轴上存在定点5(,0)4M ,使716MA MB ⋅=-成立. 42．（2013届安徽省高考压轴卷数学理试题）已知椭圆的焦点坐标是12(10)(10)F F --，，,过点2F 垂直与长轴的直线交椭圆与P Q ，两点,且||3PQ =. (1)求椭圆的方程(2)过2F 的直线与椭圆交与不同的两点M N ，,则1F MN ∆的内切圆面积是否存在最大值?若存在,则求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.【答案】【解析】(1)设椭圆的方程是22221(0)x y a b a b+=>>,由交点的坐标得:1c =,---------------由||3PQ =,可得223b a=----------------解得2a b ==，故椭圆的方程是22143x y +=-----------(2)设1122()N()M x y x y ，，，,不妨设1200y y ><， 设1F MN ∆的内切圆半径是R ,则1F MN ∆的周长是48a =,1111()42F MN S MN F M F N R R ∆=++=, 因此1F MN S ∆最大,R 就最大-----------------------11212121()2F MN S F F y y y y ∆=-=- 由题知,直线l 的斜率不为0,可设直线l 的方程为1x my =+,由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得,22(34)690m y my ++-=,--------------解得12y y ==则12121()2AMNS AB y y y y ∆=-=-=-----------------。
【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题10 圆锥曲线最新模拟 理
【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题10 圆锥曲线最新模拟 理1、（2012某某一中模拟）过双曲线2222x y a b -=1(a >0,b >0)的左焦点F ，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为.2、（2012滨州二模）设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点PA⊥l ，A 为垂足，如果AF 的斜率为－3，那么｜PF ｜＝＿＿＿＿3、（2012某某二模）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，316λμ=，则该双曲线的离心率为A ．322 B ．355 C ．233 D ．98答案：C解析：双曲线的渐近线为：y ＝bx a±，设焦点F （c ，0），则 A （c ，bc a ），B （c ，－bca ），P （c ，2b a ），因为OP OA OB λμ=+所以，（c ，2b a ）＝（()c λμ+，()bcaλμ-），所以，λμ+＝1，λμ-＝b c ，解得：,22c b c b c c λμ+-==，又由316λμ=，得： 32216c b c b c c +-⨯=，解得：2234a c =，所以，e ＝233，选C 。
4、（2012某某二模）设斜率为1的直线l 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF（O 为坐标原点）的面积为8，则a 的值为。
5、（2012某某一模）已知抛物线240y px(p )=>与双曲线2222100x y (a ,b )a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为( )A 51+ B 21 C 31 D 221+答案：B解析：依题意，得F （p ，0），因为AF x ⊥轴，设A （p ，y ），224y p =，所以y ＝2p ，所以，A （p ，2p ），又A 点在双曲线上，所以，22224p p a b-＝1，又因为c ＝p ，所以，222224c c a c a--＝1，化简，得：42246c a c a -+＝0，即：42610c c a a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2322e =+e 21，选B 。
高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结
高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结1.椭圆的概念椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （大于|F1F2|）的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|+|MF2|=2a。
椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0，焦点在x轴上）或x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0，焦点在y轴上）。
2.椭圆的性质①范围：由标准方程得知，椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。
②对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。
③顶点：椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e=c/a。
其中，c表示焦距，a表示长半轴长。
椭圆的离心率可以通过长轴和短轴的长度计算得出。
由于长轴大于短轴，因此离心率e的值介于0和1之间。
当离心率接近1时，短轴b的长度会越来越小，导致椭圆变得越扁；反之，当离心率接近0时，短轴b的长度会越来越接近长轴a的长度，此时椭圆会趋向于圆形。
当长轴和短轴的长度相等时，椭圆的两个焦点重合，这时椭圆就变成了圆形，其方程为x+y=a。
双曲线是平面上距离两个定点距离之差绝对值等于常数2a的动点轨迹。
需要注意的是，这里的距离差的绝对值是小于焦距F1F2的。
当距离差等于2a时，得到的是双曲线的一支；当距离差等于-2a时，得到的是双曲线的另一支（含F1的一支）。
当距离差等于0时，得到的是两条射线；当距离差大于2a时，得不到任何图形。
双曲线的焦点是F1和F2，焦距为F1F2.双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.由此可以看出，双曲线在坐标系中的范围为两条直线x=±a的外侧。