三角形解题技巧及例题

三角形解题技巧及例题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
三角形解题口诀及例题
角平分线四连线，边垂折叠全等现.
垂线要把三线连，平行等腰来构建.
垂直平分若出现，线上一点两相连.
六十三十四十五，等边直角作三角.
要证线段倍与半，延长缩短与直角.
两线之和等一线，截长补短试试看.
线段和差比大小，三角形中来相见.
三角形中有中线，延长中线等中线.
中点若与中点见，两点相连中位线
1．在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，所示，E、F分别是AB、AC上的
＝DF．
点，且∠EDF+∠BAC＝180°，求证：DE
边垂作全等Array证明：作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，如右图所示，
则∠EMD＝∠FND＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴DM＝DN，
∵∠EDF+∠BAC＝180°，
∴∠AED+∠AFD＝180°，
又∵∠DFN+∠AFD＝180°，
∴∠DEM＝∠DFN，
在△EMD和△FND中，
，
∴△EMD≌△FND（AAS），
∴DE＝DF．
2．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线．如图，∠C≠90°，如果∠C＝2∠B，求证：AB＝AC+CD．
折叠作全等
解：在AB上截取AE＝AC，连接DE，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
在在△AED和△ACD中
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠C＝∠AED，CD＝ED，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AED＝2∠B，
∵∠AED＝∠B+∠EDB，
∴∠B＝∠EDB，
∴ED＝EB，
∴EB＝CD，
∵AB＝AE+EB，
∴AB＝AC+CD．
3．如图，点O是△ABC边AC上的一个动点，过O点作直线MN∥BC．设MN 交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．求证：OE＝OF；
证明：∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ， ∴∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∵MN ∥BC ，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴EO ＝CO ，FO ＝CO ， ∴OE ＝OF ；
4．如图，在△ABC 中，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ，且AE ＝BD ，求证：BD 是∠ABC 的角平分线．
证明：延长AE 、BC 交于点
F ． ∵AE ⊥BE ，
∴∠BEF ＝90°，又∠ACF ＝∠ACB ＝90°， ∴∠DBC +∠AFC ＝∠FAC +∠AFC ＝90°， ∴∠DBC ＝∠FAC ， 在△ACF 和△BCD 中，
∴△ACF ≌△BCD （ASA ）， ∴AF ＝BD ． 又AE ＝BD ，
角平分线与平行于角一边的线构造等腰三角形
垂直于角平分线，构造三线合一
∴AE ＝AF＝EF，即点E是AF的中点．
∵BE⊥AF
∴DE是AF的垂直平分线
∴AB＝BF，
根据等腰三角形三线合一的性质可知：
BD是∠ABC的角平分线．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB，AC 于点D，E．
求证：AE＝2CE；
有中垂线即向两端连线
证明：连接BE．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE；
6．如图，已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC＝8，求菱形ABCD 的周长和面积．
60°角找等边三角形
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB ＝BC ， ∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝AC ＝8．
∴菱形ABCD 的周长＝4×8＝32， ∵BO ＝＝4，
∴BD ＝2BO ＝8
，
∴菱形ABCD 的面积＝×8×
＝32
．
7．如图，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，AC ＝10，求边AB 的长．
解：作AD ⊥BC 于点D ，
在Rt △ADC 中，∠C ＝60°， ∴∠CAD ＝30°， ∴CD ＝AC ＝5， ∴AD ＝
＝5
，
在Rt △ADB 中，∠B ＝45°， ∴BD ＝AD ＝5
，
由勾股定理得，AB ＝
＝
＝5
．
8．如图，四边形ABCD 中，AD ＝4，BC ＝1，∠A ＝30°，∠B ＝90°，∠ADC ＝120°，求CD 的长．
解：延长AD 、BC 交于E ，
60°角找直角三角形，45°角构造直
30°角找直角三角形
∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠E＝60°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形，
设CD＝CE＝DE＝x，
∵AD＝4，BC＝1，
∴2（1+x）＝x+4，
解得；x＝2，
∴CD＝2．
9．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝15°，求等腰△ABC腰上高的值．
解：作BD⊥AC交CA的延长线于D，
∵AB＝AC，∠B＝15
°，
∴∠C＝∠B＝15°，
∴∠DAB＝∠C+∠B＝30°，
∴BD＝AB＝1．
10．已知，如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．求证：BD＝2CD；
解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，
∴DE＝CD，
又∵∠B＝30°，
15°角构造30°找直角三角形
线段倍与半构造直角三角形
∴Rt△BDE中，DE ＝BD，
∴BD＝2DE＝2CD；
11．已知：如图，AD、AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD，求证：AE ＝AC．
证明：延长AE至F，使EF＝AE，连接DF．
∵AE是△ABD的中线，
∴BE＝DE．
∵∠AEB＝∠FED，
∴△ABE≌△FDE（SAS）．
∴∠B＝∠BDF，AB＝DF．
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，BD＝DF．
∵∠ADF＝∠BDA+∠BDF，∠ADC＝∠BAD+∠B，
∴∠ADF＝∠ADC．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD．
∴DF＝CD．
∴△ADF≌△ADC（SAS）．
∴AC＝AF＝2AE，即AE ＝AC．
12．如图，在△ABC中，AB＞BC，BD是高，P是BD上任意一点，求证：PA ﹣PC＜AD﹣CD．
线段倍与半延长缩短
证明：在AD 上取一点E ，使得DE ＝CD ， ∴AD ﹣CD ＝AD ﹣DE ＝AE ， ∵BD ⊥AC ， ∴PD ⊥CE ， ∵DE ＝CD ， ∴PE ＝PC ， ∵PA ﹣PE ＜AE ， 故PA ﹣PC ＜AD ﹣CD ．
13．如图，DC ∥AB ，∠BAD 和∠ADC 的角平分线相交于E ，过E 的直线分别交DC ，AB 于CB 两点．求证：AD ＝AB +DC
证明：在AD 上截取AF ＝AB ，连接EF ，如图所示： 在△ABE 和△AFE 中，，
∴△ABE ≌△AFE （SAS ）， ∴∠AFE ＝∠B ， ∵AB ∥DC ， ∴∠B +∠C ＝180°， ∵∠AFE +∠DFE ＝180°， ∴∠DFE ＝∠C ，
线段和差比大小，构造三角形
两线之和等一线，截长补短
在△DEF和△DEC 中，，
∴△DEF≌△DEC（AAS），
∴DF＝DC，
∴AB+DC＝AF+DF＝AD，
即AD＝AB+DC．
14．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．
中线倍长
证明：延长DE到F，使EF＝DE，连接BF，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∵在△BEF和△CED中
，
∴△BEF≌△CED．
∴∠F＝∠CDE，BF＝CD．
∵∠BAE＝∠CDE，
∴∠BAE＝∠F．
∴AB＝BF，
又∵BF＝CD，
∴AB＝CD．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，F是BC延长线上的一点，且CF ＝BC．试猜想DE与CF有怎样的数量关系，并说明理由．
中位线
解：DE＝CF，
理由如下：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE ＝BC，
∵CF ＝BC，
∴DE＝CF．。