2021年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(文科)(含答案解析)
2020年甘肃省兰州市高考(文科)数学一诊试卷(Word解析版)
2020年高考（文科）数学一诊试卷一、选择题.1．已知集合A ＝{0，1，2，3，4，5}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，2，4} B ．{2，4} C ．{1，3，5} D ．{1，2，3，4，5}2．已知复数z =5i2−i+2，则|z |＝（ ） A ．√5B ．5C ．13D ．√133．已知非零向量a →，b →，给定p ：∃λ∈R ，使得a →=λb →，q ：|a →+b →|=|a →|+|b →|，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若2sin 5π12cos7π12=1−tan 2α2tanα2，则tan α＝（ ）A ．4B ．3C ．﹣4D ．﹣35．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（ ） A ．√52B ．√3C ．√5D ．2√36．已知集合A ={π6，5π6，7π6，11π6，13π6}，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ） A ．110B ．25C ．35D ．3107．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份 1 2 3 4 5 羊只数量（万只） 1.40.90.750.60.3草地植被指数1.14.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．38．已知函数f(x)=ln(√x2+1)，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），c=f(log133)，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A．√32B．√22C．√33D．1310．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（12，34]B．（12，54]C．（54，32]D．（54，52]11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．1+2√5B．2√5C．√17D．512．已知定义在R上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且满足xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，f（1）＝e，则f（x）的最小值为（）A．﹣e B．e C．1eD．−1e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={2x ，x ＜12x +1，x ≥1，则f(f(log 232))= ．14．已知向量a →，b →满足|b →|=√2，向量a →，b →夹角为120°，且（a →+b →）⊥b →，则向量|a →+b →|＝ ．15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且c 2=a 2+b 2−√2ab ，a ＝8，sin A2=13，则c ＝ ．16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF ，侧棱AA '、BB '、CC '、DD '、EE '、FF '相互平行且与平面ABCDEF 垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B ′C ′D ′＝109°28′16''．已知一个房中BB '＝5√3，AB ＝2√6，tan54°44′08''=√2，则此蠊房的表面积是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在等差数列{a n }中，a 1＝﹣8，a 2＝3a 4． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =4n(12+a n)(n ∈N ∗)，T n 为数列{b n }的前n 项和，若T n =95，求n 的值．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底前ABCD 为平行四边形，点P 在面ABCD 内的射影为A ，PA ＝AB ＝1，点A 到平面PBC 的距离为√33，且直线AC 与PB 垂直．（Ⅰ）在棱PD 找点E ，使直线PB 与平面ACE 平行，并说明理由； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P ﹣EAC 的体积．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为x1和x2，若|x1−x2|＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算x1和x2（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)． P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82820．已知点F 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M 、N 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM ∥直线BN ，直线AN 、BM 的斜率分别为k 1和k 2，求证：k 1•k 2＝e 2﹣1（e 为椭圆的离心率）． 21．已知函数f(x)=2√3x −alnx −12x 2+12（a ∈R 且a ≠0）．（Ⅰ）当a =2√3时，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y ＝f （x ）有两个极值点x 1，x 2，证明：f （x 1）+f （x 2）＜9﹣lna ．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1−√22ty =2+√22t （t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2√2cos(α+π4)，曲线C 2的直角坐标方程为y =√4−x 2． （Ⅰ）若直线l 与曲线C 1交于M 、N 两点，求线段MN 的长度；（Ⅱ）若直线l 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，点P 在曲线C 2上，求AB →⋅AP →的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2|，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ． （Ⅰ）求不等式f （x ）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求a 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，∴A∩B＝{2，4}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．已知复数z=5i2−i+2，则|z|＝（）A．√5B．5C．13D．√13【分析】利用复数的运算法则求出z，再求其模长即可．解：因为复数z=5i2−i+2=5i(2+i)(2−i)(2+i)+2＝i（2+i）+2＝1+2i；∴|z|=√12+22=√5；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，复数的模长，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知非零向量a→，b→，给定p：∃λ∈R，使得a→=λb→，q：|a→+b→|=|a→|+|b→|，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由q可得向量a→，b→同向共线，进而判断出关系．解：由q可得向量a→，b→同向共线，∴q⇒p，反之不成立．∴p 是q 的必要不充分条件． 故选：B ．【点评】本题考查了向量共线定理、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．若2sin 5π12cos7π12=1−tan 2α2tanα2，则tan α＝（ ）A ．4B ．3C ．﹣4D ．﹣3【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，求得tan α的值． 解：若2sin5π12cos7π12=1−tan 2α2tanα2，即2cosπ12•（﹣sinπ12）＝2•1tanα，即﹣sinπ6=2cosαsinα=−12， ∴cosαsinα=−14，故tan α＝﹣4，故选：C ．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题． 5．已知双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（ ） A ．√52B ．√3C ．√5D ．2√3【分析】根据题意可知（2，﹣1）在y =−bax 上，可得a 2＝4b 2，即可得到离心率． 解：由题可知（2，﹣1）在双曲线的渐近线y =−bax 上，则a ＝2b ，即a 2＝4b 2，所以e =√c 2a 2=√a 2+b 2a2=√52， 故选：A ．【点评】本题考查双曲线离心率的求法，根据条件表示出a 、b 关系是关键，属于中档题． 6．已知集合A ={π6，5π6，7π6，11π6，13π6}，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ）A ．110B ．25C ．35D ．310【分析】从A 中任选两个角，基本事件总数n =C 52=10，其正弦值相等包含的基本事件个数m =C 41=4，由此能求出其正弦值相等的概率． 解：∵集合A ={π6，5π6，7π6，11π6，13π6}， sinπ6=sin5π6，sinπ6=sin 13π6，sin 5π6=sin 13π6，sin 7π6=sin 11π6， 从A 中任选两个角，基本事件总数n =C 52=10， 其正弦值相等包含的基本事件个数m =C 41=4， ∴其正弦值相等的概率是p =m n =410=25． 故选：B ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份 1 2 3 4 5 羊只数量（万只） 1.40.90.750.60.3草地植被指数1.14.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r 1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r 2，则|r 1|＜|r 2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【分析】根据两组数据的相关性，对题目中的命题判断正误即可．解：对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以①错误；对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，因为第一组数据（1.4，1.1）是离群值，去掉后得到的相关系数为r2，其相关性更强，所以|r1|＜|r2|，②正确；对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，所以③错误；综上知，正确的判断序号是②，共1个．故选：B．【点评】本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，是基础题．3)，则a、8．已知函数f(x)=2+1)，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），c=f(log13b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a3=−1，由此能比较三个数的大小．【分析】推导出0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，log13解：∵函数f(x)=2+1)的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞），3=−1，0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，log133)，∵a＝f（0.20.2），b＝f（log34），c=f(log13∴b＞c＞a．故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD ＝60°，则异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为（ ） A ．√32B ．√22C ．√33D ．13【分析】建立直角坐标系．不妨设OB ＝1．高和底面的半径相等，得OE ＝OB ＝OA ，OA ⊥底面DEB ，利用向量夹角公式即可得出． 解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB ＝1．因为高和底面的半径相等，∴OE ＝OB ＝OA ，OA ⊥底面DEB ．∵点D 为底面圆周上的一点，且∠ABD ＝60°， ∴AB ＝AD ＝DB ； ∴D 为BÊ的中点 则O （0，0，0），B （0，﹣1，0），D （1，0，0），A （0，0，1），E （0，1，0）， ∴AB →=（0，﹣1，﹣1），DE →=（﹣1，1，0）， ∴cos ＜AB →，DE →＞=|AB →⋅DE→|AB →|⋅|DE →||=12，∴异面直线AM 与PB 所成角的大小为π3． ∴异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为√32．故选：A ．【点评】本题考查了异面直线所成的角，本题转化为向量的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知函数f （x ）＝sin ωx （sin ωx +cos ωx ）（ω＞0），若函数f （x ）的图象与直线y ＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是 A ．（12，34]B ．（12，54]C ．（54，32]D ．（54，52]【分析】先根据两角和与差的三角函数个数化简解析式，再把问题转化为sin （2ωx −π4）=√22有三个根，借助于正弦函数的性质即可求解．解：因为函数f （x ）＝sin ωx （sin ωx +cos ωx ）=12（1﹣cos2ωx ）+12sin2ωx =√22sin（2ωx −π4）+12（ω＞0），∵函数f （x ）的图象与直线y ＝1在（0，π）上有3个不同的交点； 即√22sin （2ωx −π4）+12=1有3个根；∴sin （2ωx −π4）=√22有三个根；∵x ∈（0，π）；∴2ωx −π4∈（−π4，2ωπ−π4）； ∵2π+π4＜2ωπ−π4≤2π+3π4⇒54＜ω≤32． 故选：C ．【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数以及方程根的个数问题的求解，属于综合性题目．11．已知点M （﹣4，﹣2），抛物线x 2＝4y ，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P 做PQ ⊥l ，点Q 为垂足，过P 作抛物线的切线l 1，l 1与l 交于点R ，则|QR |+|MR |的最小值为（ ） A ．1+2√5B ．2√5C ．√17D ．5【分析】画出图形，设出P 的坐标，结合抛物线的定义，转化说明|QR |+|MR |的最小值就是MF 的距离即可． 解：设P （m ，m 24），则过P 的切线的斜率为：k =m 2，Q （m ，﹣1），k PQ =−2m ，k PQ＞k ＝﹣1，根据抛物线的定义，|PF |＝|PQ |． l 1为FQ 的垂直平分线，|RF |＝|RQ |，|QR |+|MR |的最小值为|MF |=√(−4−0)2+(−2−1)2=5， 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想计算能力，是中档题．12．已知定义在R 上的函数f （x ），f '（x ）是f （x ）的导函数，且满足xf '（x ）﹣f （x ）＝x 2e x ，f （1）＝e ，则f （x ）的最小值为（ ） A ．﹣eB ．eC ．1eD ．−1e【分析】构造函数F(x)=f(x)x ，则F′(x)=xf′(x)−f(x)x2=e x ，设F （x ）＝e x +c ，即f （x ）＝xe x +cx ，又f （1）＝e 得c ＝0，所以f （x ）＝xe x ，再利用导数即可求得f （x ）的最小值．解：由xf '（x ）﹣f （x ）＝x 2e x ，构造函数F(x)=f(x)x，则F′(x)=xf′(x)−f(x)x2=e x ， 所以可以设F （x ）＝e x +c ，即f(x)x=e x +c ，f （x ）＝xe x +cx ，又因为f （1）＝e 得c ＝0，所以f （x ）＝xe x ， 由f '（x ）＝e x （x +1）＝0得x ＝﹣1，所以当x ＜﹣1时f '（x ）＜0，即f （x ）在（﹣∞，﹣1）上为减函数， 当x ＞﹣1时f '（x ）＞0，f （x ）在（﹣1，+∞）上为增函数， 所以f(x)min =f(−1)=−1e ，故选：D ．【点评】本题主要考查了构造函数，以及利用导数研究函数的最值，是中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知函数f(x)={2x ，x ＜12x +1，x ≥1，则f(f(log 232))= 4 ．【分析】先求出f （log 232）=2log 232=32，从而f(f(log 232))=f （32），由此能求出结果．解：∵函数f(x)={2x ，x ＜12x +1，x ≥1，∴f （log 232）=2log 232=32，∴f(f(log 232))=f （32）＝2×32+1=4．故答案为：4．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知向量a →，b →满足|b →|=√2，向量a →，b →夹角为120°，且（a →+b →）⊥b →，则向量|a →+b →|＝ √6 ．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式可得|a →|•|b →|cos ＜a →，b→＞=−2，及|a →|的值，而|a →+b →|=√(a →+b →)2展开可求出其值． 解：因为（a →+b →）⊥b →，所以（a →+b →）•b →=0，即a →⋅b →+b →2＝0，因为|b →|=√2，向量a →，b →夹角为120°，整理可得−b →2＝|a →|•|b →|cos ＜a →，b →＞=−2， 即﹣2＝|a →|⋅√2•（−12），所以|a →|＝2√2，所以|a →+b →|=√(a →+b →)2=√a →2+b →2+2a →⋅b →=√8+2+2⋅(−2)=√6故答案为：√6．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，及和向量的模的求法，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且c 2=a 2+b 2−√2ab ，a ＝8，sin A 2=13，则c ＝ 9 ．【分析】根据c 2=a 2+b 2−√2ab 可求出cos C ，进而求出sin C ．由sin A 2=13可得sin A ，最后利用正弦定理求出c 的值．解：由c 2=a 2+b 2−√2ab 得cosC =a 2+b 2−c 22ab =√2ab 2ab =√22，∴sinC =√1−cos 2C =√22．显然A2∈(0，π2)，结合sin A 2=13，∴cos A2=√1−sin2A2=2√23，∴sinA=2sin A2cos A2=4√29．∵a＝8，由正弦定理得asinA =csinC，即4√29=√22，∴c＝9．故答案为：9．【点评】本题考查正余弦定理的应用及二倍角公式等知识点．同时考查学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养．属于基础题．16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5√3，AB＝2√6，tan54°44′08''=√2，则此蠊房的表面积是216√2．【分析】连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6√2，由OB′C′D′为菱形，可求OC′＝2•12B′D′tan54°44′08″=6，B′C′＝3√3，进而可求CC′，可求S梯形BB′CC′，即可计算得解S表面积的值．解：连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6√2，∵OB′C′D′为菱形，∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''=√2，∴OC′＝2•12B′D′tan54°44′08″=2×3√22=6，B′C′＝3√3，∴CC′＝BB′−√B′C′2−BC2=4√3，∴S 梯形BB ′CC ′=2√6×(5√3+4√3)2=27√2，∴S 表面积＝6×27√2+3×12×6×6√2=216√2． 故答案为：216√2．【点评】本题主要考查了勾股定理在解三角形中的应用，考查了菱形的性质，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在等差数列{a n }中，a 1＝﹣8，a 2＝3a 4． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =4n(12+a n)(n ∈N ∗)，T n 为数列{b n }的前n 项和，若T n =95，求n 的值．【分析】（Ⅰ）先设公差为d ，由a 1＝﹣8，a 2＝3a 4，求出d ，进而求出a n ；（Ⅱ）先利用（1）中求出的a n 求b n ，再利用裂项相消法求T n ，从而解决n 的值得问题． 解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差是d ，由a 1＝﹣8，a 2＝3a 4得：﹣8+d ＝3（﹣8+3d ）解得d ＝2，所以a n ＝﹣10+2n ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n ＝﹣10+2n ，∴b n =4n(12+a n )=4n(2n+2)=2(1n −1n+1)，所以T n ＝2[（11−12）+（12−13）+…+（1n−1n+1）]=2nn+1， 由T n =95解得n ＝9．【点评】本题主要考查等差数列及裂项相消法求和，属于基础题．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底前ABCD 为平行四边形，点P 在面ABCD 内的射影为A ，PA ＝AB ＝1，点A 到平面PBC 的距离为√33，且直线AC 与PB 垂直．（Ⅰ）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P﹣EAC的体积．【分析】（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．连接BD，交AC点O，说明OE∥PB，然后证明PB与平面ACE平行（Ⅱ）说明AC⊥平面PAB，则AC⊥AB，设AC＝x，通过等体积法转化求解即可．解：（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．证明：连接BD，交AC点O，则点O为BD的中点，因为点E为PD中点，故OE为△PDB的中位线，则OE∥PB，OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意AC⊥PB，PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，则有AC⊥PA，PA∩PB ＝P，所以AC⊥平面PAB，则AC⊥AB设AC＝x，V p−ACB=V A−PBC=13×12×x×1×1=1×12×√2×√x2+12×√33，得AC＝1，3则V P−EAC=12V P−ACD=12×13×12×1×1×1=112．【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断定理与形状的应用，是基本知识的考查．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I ）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记 不标记 合计 坡腰 坡顶 合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？ （Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为x 1和x 2，若|x 1−x 2|＞20cm ，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算x 1和x 2（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【分析】（I ）利用频率分布直方图计算“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的频率值； （Ⅱ）由频率分布表填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）计算x 1和x 2，求出|x 1−x 2|，即可得出结论． 解：（I ）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的事件为C ， 则P （C ）＝0.08+0.16+0.36＝0.6； （Ⅱ）由频率分布表，填写列联表如下：标记 不标记 合计 坡腰 30 20 50 坡顶 20 30 50 合计5050100由表中数据，计算K 2=100×(30×30−20×20)250×50×50×50=4＞3.841，所以有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关；（Ⅲ）计算x 1=0.08×5+0.16×15+0.36×25+0.24×35+0.12×45+0.04×55＝25.8（cm ）， x 2=0.04×5+0.12×15+0.24×25+0.32×35+0.20×45+0.08×55＝32.6（cm ）， 且|x 1−x 2|＝4.8＜20，所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异．【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是中档题． 20．已知点F 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M 、N 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM ∥直线BN ，直线AN 、BM 的斜率分别为k 1和k 2，求证：k 1•k 2＝e 2﹣1（e 为椭圆的离心率）．【分析】（Ⅰ）由题意可知，a +c ＝3，a ﹣c ＝1，可求出a ，c 的值，再利用b 2＝a 2﹣c 2求出b 的值，即可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线AM 的斜率为k ，则直线BN 的斜率也为k ，所以直线AM 的方程为y ＝k （x ﹣2），直线BN 的方程为y ＝kx −√3，联立直线AM 与椭圆方程求出点M 的坐标，联立直线BN 与椭圆方程求出点N 的坐标，再利用斜率公式分别求出k 1，k 2，化简k 1•k 2=−14，从而得到k 1•k 2＝e 2﹣1．解：（Ⅰ）由题意可知，{a +c =3a −c =1，解得{a =2c =1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，A （2，0），B （0，−√3）， 设直线AM 的斜率为k ，则直线BN 的斜率也为k ，故直线AM 的方程为y ＝k （x ﹣2），直线BN 的方程为y ＝kx −√3， 由{3x 2+4y 2=12y =k(x −2) 得：（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣12＝0， ∴2x M =16k 2−123+4k2，∴x M =8k 2−63+4k2，y M =−12k 3+4k2，∴M(8k 2−63+4k2，−123+4k2)，由{3x 2+4y 2=12y =kx −√3 得：(3+4k 2)x 2−8√3kx =0， ∴x N =8√3k 3+4k2，y N=4√3k 2−3√33+4k2，∴N(8√3k3+4k2，4√3k 2−3√33+4k2)，∴k 1=4√3k 2−3√33+4k 283k 3+4k2=√3(4k 2−2(4k 2−43k+3)， k 2=−12k 3+4k2+√38k 2−63+4k2=√3(4k 2−4√3k+3)2(4k 2−3)， ∴k 1k 2=√3(4k 2−2(4k 2−4√3k+3)•√3(4k 2−4√3k+3)2(4k 2−3)=−34，又∵e =c a =12， ∴k 1•k 2＝e 2﹣1．【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，考查了韦达定理得应用，是中档题．21．已知函数f(x)=2√3x −alnx −12x 2+12（a ∈一、选择题且a ≠0）．（Ⅰ）当a =2√3时，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y ＝f （x ）有两个极值点x 1，x 2，证明：f （x 1）+f （x 2）＜9﹣lna ．【分析】（Ⅰ）因为a =2√3时，f ′（x ）＝2√3−2√3x−x ⇒f ′（1）＝﹣1，易求f （1）＝2√3，从而可得曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）由题意可知f ′（x ）＝2√3−a x −x =−x 2+2√3−a x（x ＞0），令﹣x 2+2√3x ﹣a ＝0，通过对△＝12﹣4a符号的分析，即可求得函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）依题意，f′（x）=−x2+2√3−ax=0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2√3，x1•x2＝a＞0，f（x1）+f（x2）＝2√3（x1+x2）﹣aln（x1x2）−12（x12+x22）+1＝﹣alna+a+7，利用分析法，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，通过对其导数的分析，存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，且g（x0）为（1，2）上的最小值，g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0+1x0），利用对勾函数的单调性即可证得结论成立．解：（Ⅰ）因为a=2√3时，f(x)=2√3x−2√3lnx−12x2+12，所以f′（x）＝2√3−2√3x−x，那么f′（1）＝﹣1，f（1）＝2√3，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2√3=−（x﹣1），即x+y ﹣2√3−1＝0，（Ⅱ）由题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝2√3−ax−x=−x2+2√3−ax，由﹣x2+2√3x﹣a＝0可得：△＝12﹣4a＞0，即a＜3时，有x1=√3+√3−a，x2=√3−√3−a，x1＞x2，又当x∈（0，3）时，满足x1＞x2＞0，所以有x∈（0，x2）和（x1，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在区间（0，x2）和（x1，+∞）上为减函数．又x∈（x2，x1）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（x2，x1）上为增函数．当a＜0时，有x1＞0，x2＜0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（x1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a≥3时，△≤0，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）为减函数，综上所述，当a＜0时，在（0，3+√3−a），f（x）为增函数；在（3+√3−a，+∞），f（x）为减函数；当0＜a＜3时，f（x）在区间（0，3−√3−a）和（3+√3−a，+∞）上为减函数，在（3−√3−a，3+√3−a），f（x）为增函数；当a≥3时，在（0，+∞）上，f（x）为减函数．（Ⅲ）因为y＝f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）=−x2+2√3−ax=0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2√3，x1•x2＝a＞0，即a∈（0，3），所以f（x1）+f（x2）＝2√3（x1+x2）﹣aln（x1x2）−12（x12+x22）+1＝﹣alna+a+7，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，则g′（x）＝1+lnx−1x−1＝lnx−1x，且在（0，3）上为增函数，又g′（1）＝﹣1＜0，g′（2）＝ln2−12＞0，所以存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，即lnx0=1x0，且x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）在（1，2）上有最小值g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0+1x0），又因为x0∈（1，2），则x0+1x0∈（2，52），所以g（x0）＞0在x0∈（1，2）上恒成立，即f（x1）+f（x2）＜9﹣lna成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查导数的几何意义的应用，突出考查函数与方程思想、分类讨论思想及等价转化思想的综合运用，考查了逻辑推理能力与综合运算能力，属于难题．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=−1−√22ty=2+√22t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ= 2√2cos(α+π4)，曲线C2的直角坐标方程为y=√4−x2．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C2上，求AB→⋅AP→的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围．解：（Ⅰ）直线l 的参数方程为{x =−1−√22t y =2+√22t（t 为参数），转换为直角坐标方程为x +y ﹣1＝0，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2√2cos(α+π4)，转换为直角坐标方程为x 2+y 2﹣2x +2y ＝0，转换为标准式为（x ﹣1）2+（y +1）2＝2，所以圆心（1，﹣1）到直线x +y ﹣1＝0的距离d =2=√22， 所以弦长|MN |＝2√(√2)2−(22)2=√6． （Ⅱ）线C 2的直角坐标方程为y =√4−x 2．转换为直角坐标方程为x 2+y 2＝4，转换为参数方程为{x =2cosθy =2sinθ（0≤θ≤π）．由于A （1，0），B （0，1），点P 在曲线C 2上，故P （2cos θ，2sin θ），所以AB →=(−1，1)，AP →=(2cosθ−1，2sinθ)，（0≤θ≤π），所以AB →⋅AP →=2√2sin(θ−π4)+1，故：−√22≤sin(θ−π4)≤1， 所以AB →⋅AP →∈[−1，2√2+1]．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2|，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ．（Ⅰ）求不等式f （x ）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）将函数化为分段函数的形式，再分类讨论分别解不等式，最后把每种情况的解集取并集即可；（Ⅱ）易知f （x ）min ＝2，g （x ）≥|2a +2|+a ，结合题意可知2≥|2a +2|+a ，由此求得实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）f(x)={−3x −1，x ≤−1x +3，−1＜x ＜13x +1，x ≥1，∴f （x ）＞4即为{x ≤−1−3x −1＞4或{−1＜x ＜1x +3＞4或{x ≥13x +1＞4， ∴x ＜−53或x ∈∅或x ＞1，∴不等式的解集为(−∞，−53)∪(1，+∞)； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x ＝﹣1时，f （x ）min ＝2，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ≥|（x +2）﹣（x ﹣2a ）|+a ＝|2a +2|+a ，由题意，对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，故f （x ）min ≥g （x ）min ，即2≥|2a +2|+a ，解得﹣4≤a ≤0，∴实数a 的取值范围为[﹣4，0]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，同时也涉及了绝对值不等式性质的运用，属于基础题．。
2022年甘肃省兰州市高考数学诊断试卷(文科)+答案解析(附后)
2022年甘肃省兰州市高考数学诊断试卷（文科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数( )A. B. 0 C. 1 D. 0或12.已知集合，，则( )A. B. C. D.3.已知，，与的夹角为，则( )A. 6B.C.D.4.圆的圆心到直线的距离是( )A. B. C. 1 D.5.已知一个半径为4的扇形圆心角为，面积为，若，则( )A. 0B.C. 2D.6.已知是奇函数，当时，，若，则( )A. B. C. 2 D. 17.2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京盛大开幕，中国冬奥健儿在赛场上摘金夺银，在国内掀起一波冬奥热的同时，带动了奥运会周边产品的热销，其中奥运吉祥物冰墩墩盲盒倍受欢迎，已知冰墩墩盲盒共有7个，6个是基础款，1个是隐藏款，随机购买两个，买到隐藏款的概率为( )A. B. C. D.8.已知l、m、n为空间中的三条直线，为平面．现有以下三个命题：①若l、m、n两两相交，则l、m、n共面；②若，，则；③若，，则其中的真命题是( )A. ①②③B. ①③C. ①②D. ③9.已知在上单调，且值域为，则( )A. 1B.C.D.10.如图，网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，若此多面体的所有顶点均可以放置在一个正方体的各面内，则此正方体的对角线长为( )A.B.C.D.11.已知定义在R上的奇函数满足当时，，则( )A. 7B. 10C.D.12.已知椭圆与双曲线在公共的焦点、，A为曲线、在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则( )A. B. 2 C. 1 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若实数x、y满足，则的最大值是______.14.为了践行绿色发展理念，近年来我国一直在大力推广使用清洁能源．2020年9月我国提出了“努力争取2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和”的新目标．如图是2016至2020年我国清洁能源消费占能源消费总量的比重y的数据统计图，根据图中数据可以得到y关于年份序号x的回归直线方程：，由回归方程可预测2022年我国的清洁能源消费占能源消费总量的比重约为______15.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，在方向上的投影是的的面积为，则______.16.函数有三个零点，，，且，则的取值范围是______.三、解答题：本题共7小题，共82分。
2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(文科) (含答案解析)
2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,1,2,3},B={x|−1≤x<3}则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. ⌀2.已知z=1−i，则|z|等于()A. 2B. √2C. 1D. 03.已知向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(2,m)，则“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.已知sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，则tan2α=()A. −4√3B. −√32C. 4√3 D. √325.若双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(√3,1)，则该双曲线的离心率为()A. √5B. 2C. √3D. √26.已知函数f(x)=cosπx4，集合A={2,3，4，5，6}，现从集合A中任取两数m，n，且m≠n，则f(m)⋅f(n)≠0的概率为()A. 310B. 715C. 35D. 7107.如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是()A. DB. EC. FD. A8. 已知函数，若f(a)=12，则a 的值为( )A. −1B. √2C. −1或√2D. −1或129. 如图，圆锥的底面直径AB =4，高OC =2√2，D 为底面圆周上的一点，且∠AOD =2π3，则直线AD 与BC 所成的角为( )A. π6B. π3C. 5π12D. π210. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx 的最小正周期为π.则函数f(x)在区间[−π4,π4]上的取值范围是( )A. [−2,2]B. [−2,√3]C. [−√3,2]D. [−√3,√3]11. 过焦点为F 的抛物线y 2=12x 上一点M 向其准线作垂线，垂足为N ，若直线NF 的斜率为−√33，则|MF|=( )A. 2B. 2√3C. 4D. 4√312. 函数f(x)=xe −x ，x ∈[0,4]的最小值为( )A. 0B. 1eC. 4e 4D. 2e 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)={−e x ,x >0x 2−1,x ≤0，则f(f(ln2))=________．14. 已知向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(m,−6)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|2a ⃗ +b ⃗ |=______．15. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2+b 2−c 2=√3ab ，则∠C = ． 16. 如图所示，在△ABC 中，C =π3，BC =4，点D 在边AC 上，AD =DB ， DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE =2√2，则cos A =________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等差数列{a n}中，a4+a5=4a2,2a3−a6=1.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+118.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PC=2√7，E，F分别是棱PC，AB的中点．(1)证明：直线EF//平面PAD；(2)求三棱锥P−AEF的体积．19.某学校共有1500名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层抽样的方法，收集100名学生每周上网时间的样本数据(单位：小时).根据这100个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．(1)估计该校学生每周平均使用手机上网时间(每组数据以组中值为代表)；(2)估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率；(3)将每周使用手机上网时间在(4,12]内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在(0,4]内的定义为“不长时间使用手机上网”.在样本数据中，有25名学生不近视．请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机15合计25．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.10.050.0100.005k0 2.7063.8416.6357.87920.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F1(2,0)，离心率为e．(1)若e=√22，求椭圆的方程；(2)设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．①证明点A在定圆上；②设直线AB的斜率为k，若k≥√3，求e的取值范围．21.已知函数．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性与极值点．22. 已知过点P (0,−1)的直线的参数方程为{x =12ty =−1+√32t(t 为参数)，在以坐标原点OI 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)． (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．23. 设函数f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0)．(1)当a =2时，求不等式f(x)>8的解集；(2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤32成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，是基础题，利用交集定义直接求解．解：∵集合A={0,1，2，3}，B={x|−1≤x<3}，∴A∩B={0,1，2}．故选：B．2.答案：B解析：解：∵z=1−i，∴|z|=√12+(−1)2=√2故选：B由条件代入复数的模长公式可得．本题考查复数的模长公式，属基础题．3.答案：B解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，可得b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m，即可判断出结论．解：a⃗+b⃗ =(1,3+m)，∵b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，∴b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m=−1或−2，∴“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的充分不必要条件．故选：B．4.答案：A解析：本题考查同角三角函数的基本关系，是基础题．利用同角三角函数的基本关系式，求出sinα，然后得到tanα，即可求解，解：由有sinαcosπ3−cosαsinπ3=−3(cosαcosπ6+sinαsinπ6)，故12sinα−√32cosα=−3√32cosα−32sinα，则有2sinα=−√3cosα，显然cosα≠0，所以tanα=−√32，故tan2α=2tanα1−tan2α=−√31−34=−4√3，故选A．5.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．由条件求得b=√3a，进一步即可求离心率．解：双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线：by−ax=0，渐近线经过点(√3,1)，可得b=√3a，即b2=3a2，可得c2−a2=3a2，所以：c2=4a2，c=2a，所以双曲线的离心率为：e=ca=2．故选：B．6.答案：A解析：解：∵集合A={2,3，4，5，6}，现从集合A中任取两数m，n，且m≠n，∴基本事件总数N=A52=20，∵函数f(x)=cosπx 4，∴f(m)⋅f(n)≠0包含的基本事件有： (3,4)，(4,3)，(3,5)，(5,3)，(4,5)，(5,4)， 共有M =6个，∴f(m)⋅f(n)≠0的概率为p =M N=620=310．故选：A ．先求出基本事件总数，再用列举法求出f(m)⋅f(n)≠0包含的基本事件的个数，由此能求出f(m)⋅f(n)≠0的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．7.答案：B解析：本题主要考查回归直线和相关系数，属于基础题． 根据散点图分析即可得解．解：因为点E 到回归直线的距离最远，所以去掉点E ，余下的5个点所对应的数据的相关系数最大． 故选B ．8.答案：C解析：本题考查分段函数，已知函数值求解自变量的值，属于基础题． 根据分段函数讨论计算f(a)=12可得结论． 解：当a >0时，f(a)=12，即，解得a =√2，当a ⩽0时，f(a)=12，即2a =12，解得a =−1， 综上，a =√2或a =−1． 故选C ．9.答案：B解析：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．取AB 弧的中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两条直线AD 与BC 所成的角．解：如图，取AB 弧的中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴建立空间直角坐标系．∵AB =4，OC =2√2，∠AOD =2π3，∴A(0,−2,0)，B(0,2，0)，C(0,0，2√2)， D(√3,1，0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2√2)，∴cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= 62√3×2√3= 12， ∴空间中两条直线AD 与BC 所成的角为π3， 故选：B.10.答案：C解析：解：∵函数f(x)=√3sinωx +cosωx =2sin(ωx +π6)的最小正周期为2πω=π， ∴ω=2，函数f(x)=2sin(2x +π6). ∵x ∈[−π4,π4]，∴2x +π6∈[−π3,2π3]，∴2sin(2x +π6)∈[−√3,2]．即函数f(x)在区间[−π4,π4]上的取值范围是[−√3,2]，故选：C．根据函数的最小正周期为π求得ω的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f(x)在区间[−π4,π4]上的取值范围．本题主要考查两角和的正弦公式，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．11.答案：C解析：解：抛物线y2=12x的焦点坐标(3,0)，则DF=6，直线NF的斜率为−√33，可得DN=2√3，则抛物线y2=12x可得：12=12x，解得x=1，所以M(1,2√3)，|MF|=|MN|=3+1=4．故选：C．利用抛物线的方程求出焦点坐标，利用已知条件转化求解|MF|即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.答案：A解析：本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于基础题．求出函数的导数，根据其单调性即可求解函数的最值．解：因为f′(x)=1−xe x，当x∈[0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1,4]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，因为f(0)=0，f(4)=4e4>0，所以当x=0时，f(x)有最小值，且最小值为0，故选A．13.答案：3解析：本题考查分段函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．判断ln2的范围，求出，即可求出结果．解：∵f(x)={−e x ,x >0x 2−1,x ≤0，， ，∴f(f(ln2))=f(−2)=4−1=3．故答案为3．14.答案：13解析：解：∵向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(m,−6)，a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b⃗ =2m −18=0， 解得m =9，∴2a ⃗ +b ⃗ =(13,0)|2a ⃗ +b ⃗ |=√132+02=13．故答案为：13．由a ⃗ ⊥b ⃗ ，求出m =9，从而2a ⃗ +b ⃗ =(13,0)，由此能求出|2a ⃗ +b ⃗ |的值．本题考查向量的模的求法，考查平面向量坐标运算法则，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.答案：π6解析：本题考查余弦定理，属于基础题．由余弦定理即可求解．解： 因为a 2+b 2−c 2=√3ab ，所以由余弦定理有cosC =a 2+b 2−c 22ab =√3ab 2ab =√32，又0<C <π，所以C =π6．故答案为π6．16.答案：√64解析：由已知可得∠A =∠ABD ，∠BDC =2∠A ，设AD =BD =x ，由正弦定理在△BCD 中4sin2A =x sin60°，在△AED 中，可得2√2sinA =x 1，联立即可解得cos A 的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．解：∵C =π3，BC =4，点D 在边AC 上，AD =DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，DE =2√2， ∴∠A =∠ABD ，∠BDC =2∠A ，设AD =BD =x ，∴在△BCD 中，BC sin∠CDB =BD sinC ，可得：4sin2A =x sin60°，①在△AED 中，ED sinA =AD sin∠AED =，可得：2√2sinA =x 1，② ∴联立可得：42sinAcosA=2√2sinA √32，解得：cosA =√64． 故答案为√64．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵由{a 4+a 5=4a 22a 3−a 6=1, ∴得{2a 1−3d =0a 1−d =1, ∴解得a 1=3,d =2，∴数列{a n }的通项公式为a n =2n +1;(2)∵b n =1a n a n+1 =1(2n +1)(2n +3)=12(12n+1−12n+3)，∴{b n }的前n 项和：S n =12(13−15+15−17+⋯+12n +1−12n +3) =12(13−12n+3)=n 6n+9， ∴S n =n 6n+9．解析：本题考查了等差数列的通项公式，以及利用裂项相消法求数列的和，属于中档题．(1)由条件，得到{2a 1−3d =0a 1−d =1，解得a 1=3,d =2，从而得到通项公式； (2)由题意得到b n =1a n a n+1=12(12n+1−12n+3)，利用裂项相消法，得到数列的和．18.答案：(1)证明：如图，取PD 中点为G ，连结EG ，AG ，则EG//CD,EG =12CD,AF//CD,AF =12CD ，所以EG 与AF 平行与且相等，所以四边形AGEF 是平行四边形，所以EF//AG ，AG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF//平面PAD ．(2)连结AC ，BD ，交于点O ，连结EO ，因为E 为PC 的中点，所以EO 为△PAC 的中位线，又因为PA ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面ABCD ，即EO 为三棱锥E −AFC 的高．在菱形ABCD 中可求得AC =2√3，在Rt △PAC 中，PC =2√7，所以PA =√PC 2−AC 2=4,EO =2所以S △ACF =12S △ABC2=12×12×AB ×BCsin∠ABC =√32， 所以V C−AEF =V E−ACF =13S △ACF ×EO =13×√32×2=√33．解析：【试题解析】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力．(1)取PD 中点为G ，连结EG ，AG ，证明四边形AGEF 是平行四边形，得到EF//AG ，然后证明EF//平面PAD ．(2)连结AC ，BD ，交于点O ，连结EO ，说明EO 为三棱锥E −AFC 的高．通过V C−AEF =V E−ACF .转化求解即可．19.答案：解：(1)根据频率分布直方图，计算 x =1×0.025×2+3×0.100×2+5×0.150×2+7×0.125×2+9×0.075×2+11×0.025×2=5.8；估计该校学生每周平均使用手机上网时间为5.8小时；(2)由频率分布直方图得1−2×(0.100+0.025)=0.75，估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率为0.75；(3)根据题意填写2×2列联表如下，由表中数据，计算K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(65×15−10×10)275×25×75×25≈21.78>3.841， ∴有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．解析：(1)根据频率分布直方图，计算平均数即可；(2)由频率分布直方图求得对应的频率值； (3)根据题意填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．20.答案：解：(1)由e =√22=c a，c =2，得a =2√2，b =√a 2−c 2=2． 故所求椭圆方程为x 28+y 24=1．(2)设A(x 1,y 1)，则B(−x 1,−y 1)，故M(x 1+22,y 12)，N(2−x 12,−y12)． ①由题意，得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.化简，得x 12+y 12=4，∴点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上． ②设A(x 1,y 1)，则{y 1=kx 1x 12a 2+y 12b 2=1x 12+y 12=4得到1a 2+k 2b 2=14(1+k 2)．将e=ca =2a，b2=a2−c2=4e2−4，代入上式整理，得k2(2e2−1)=e4−2e2+1；∵e4−2e2+1>0，k2>0，∴2e2−1>0，∴e>√22．∴k2=e4−2e2+12e2−1≥3，化简得{e4−8e2+4≥02e2−1>0，解之得12<e2≤4−2√3，√22<e≤√3−1．故离心率的取值范围是(√22,√3−1]．解析：(1)利用离心率的计算公式e=ca及b2=a2−c2即可得出椭圆的标准方程；(2)利用①的结论，设出直线AB的方程与椭圆的方程联立即可得出关于a、b与k的关系式，再利用斜率与a、b的关系及其不等式的性质即可得出．熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、参数a、b、c的关系、中点坐标公式、直线方程、离心率的计算公式、不等式的基本性质是解题的关键．21.答案：解：(1)当a=1时，f(x)=x+1x ，f′(x)=1−1x2，则f(2)=2+12=52，f′(2)=1−14=34，∴切线方程为y−52=34(x−2)，整理得：3x−4y+4=0；(2)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=a−1x +1−ax2=(x+a)(x−1)x2，当a≥0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，此时f(x)的极小值点为1，无极大值点；当a<0时，令f′(x)=0，x=−a或x=1，(i)若−1<a<0，则−a<1，f(x)在(0,−a)和(1,+∞)上单调递增，在(−a,1)上单调递减，此时f(x)的极小值点为1，极大值点为−a；(ii)若a =−1，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(x)无极值；(iii)若a <−1，则−a >1，f(x)在(0,1)和(−a,+∞)上单调递增，在(1,−a)上单调递减，此时f(x)的极小值点为−a ，极大值点为1．综上可得，当a ≥0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，此时f(x)的极小值点为1，无极大值点；当−1<a <0时，f(x)在(0,−a)和(1,+∞)上单调递增，在(−a,1)上单调递减，此时f(x)的极小值点为1，极大值点为−a ；当a =−1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(x)无极值；当a <−1时，f(x)在(0,1)和(−a,+∞)上单调递增，在(1,−a)上单调递减，此时f(x)的极小值点为−a ，极大值点为1．解析：本题考查导数的几何意义和曲线切线的求法，考查利用导数研究函数单调性、极值，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)当a =1时，直接求出f ′(x)从而确定f(2)和f ′(2)，利用点斜式方程即可求出切线方程；(2)分类讨论，当a ≥0时，当a <0时，再分情况讨论−1<a <0，a =−1，a <−1三种情况下，确定f(x)的单调性和极值点.22.答案：解：(1)曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)．∴2aρsinθ−ρ2cos 2θ=0．即x 2=2ay(a >0)．(2)将{x =12t y =−1+√32t代入x 2=2ay ， 得t 2−4√3at +8a =0，得{△=(−4√3a)2−4×8a >0t 1+t 2=4√3at 1t 2=8a.①． ∵a >0，∴解①得a >23．∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2=|PM|⋅|PN|，即|t 1−t 2|2=t 1t 2，∴(t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 1t 2，即(4√3a)2−40a =0，解得a =0或a =56．∵a >23， ∴a =56.解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线的参数方程及其应用，一元二次方程根与系数的关系的应用．(1)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；(2)利用直线和曲线的位置关系，把方程组转换为一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果． 23.答案：解：(1)f(x)>8即|x +1|+|x −2|>8，当x ≥2时，x +1+x −2>8，解得x >92；当−1<x <2时，x +1+2−x >8，解得x ∈⌀；当x ≤−1时，−x −1+2−x >8，可得x <−72．综上可得，原不等式的解集为{x|x >92或x <−72}；(2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤32成立，可得f(x)min ≤32，由f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0)≥|x +1−x +a|=|1+a|=a +1，当−1≤x ≤a 时，f(x)取得最小值a +1，由a+1≤3，2，可得0<a≤12].即a的范围是(0,12解析：本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用：求最值，考查分类讨论思想方法和转化思想，考查运算能力，属于中档题．(1)去绝对值，讨论x的范围，解不等式求并集，即可得到所求解集；(2)由题意可得f(x)min≤3，运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值，解不等式可得a的范围．2。
2021年甘肃省兰州市高考数学(一模)诊断试卷(文科)(解析版)
2021年甘肃省兰州市高考数学诊断试卷（文科）（一模）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|y＝lg（1﹣x）}，则M∩N＝（）A．[0，1）B．（0，1]C．（﹣∞，1）D．[0，1]2．已知复数z满足＝（为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣i B．﹣1C．i D．13．已知向量，满足＝（4，0），＝（m，1），且||＝•，则，的夹角大小为（）A．B．C．D．4．如图是甲、乙两组数据的频率分布折线图，s12，s22分别表示甲、乙两组数据的方差，则，s12，s22大小关系正确的是（）A．s12＞s22B．s12＝s22C．s12＜s22D．无法确定5．点P为双曲线＝1（a＞0）右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝7，|PF2|＝3，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．2x+3y＝0B．4x+9y＝0C．3x﹣2y＝0D．9x﹣4y＝06．函数f（x）＝xlnx的图象如图所示，则函数f（1﹣x）的图象为（）A．B．C．D．7．《九章算术》卷五《商功》中有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高四丈．”意思是：今将粟放在平地，谷堆下周长12丈，高4丈．将该谷堆模型看作一个圆锥，π取近似值3，则该圆锥外接球的表面积约为（）A．55平方丈B．75平方丈C．110平方丈D．150平方丈8．已知cos（﹣α）＝，﹣＜α＜，则sin2α的值是（）A．﹣B．C．﹣D．9．已知命题p：“a，b是两条不同的直线，α是一个平面，若b⊥α，a⊥b，则a∥α”，命题q：“函数f（x）＝为R上的增函数”．下列说法正确的是（）A．“￢p∧q”为真命题B．“p∧￢q”为真命题C．“p∧q”为真命题D．“￢p∧￢q”为真命题10．英国物理学家、数学家牛顿曾提出在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，那么经过t小时后物体的温度θ℃将满足θ＝θ0+（θ1﹣θ0）•e﹣kt.通过实验观察发现，在20℃室温下，一块从冰箱中取出的﹣20℃的冻肉经过0.5小时后温度升至0℃，在相同的环境下利用牛顿冷却模型计算：温度为100℃的水，冷却到40℃，大约经过的时间为（）（忽略体积等其它因素的影响）A．1小时B．1.5小时C．2小时D．2.5小时11．已知函数f（x）＝﹣bx（a＞0，b＞0）的一个极值点为1，则ab的最大值为（）A．1B．C．D．12．已知P（4，﹣5）是椭圆＝1（a＞3）外一点，经过点P的光线被y轴反射后，所有有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
甘肃省兰州市2021届高考数学诊断试卷(理科)(3月份)(一模)(含答案解析)
甘肃省兰州市2021届高考数学诊断试卷(理科)(3月份)(一模)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={1,3,5,7}，B={1,3,5,6,7}，则集合∁U(A∩B)是()A. {2,4,6}B. {1,3,5,7}C. {2,4}D. {2,5,6}2.已知复数z=2−3i2+i(i是虚数单位)，则z的实部和虚部的比值为()A. −18B. 18C. −8D. 83.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗⋅b⃗ =10，|a⃗+b⃗ |=5√2，且a⃗=(2,1)，则|b⃗ |=()A. 3√2B. 5C. 2D. √24.等轴双曲线x2−y2=1上一点P与两焦点F1，F2连线互相垂直，则△PF1F2的面积()A. 12B. 2C. 1D. 45.2个人分别从3部电影中选择一部电影购买电影票，不同的购买方式共有()A. 6B. 9C. 8D. 276.已知函数y=f(x)的大致图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式可能为()A. f(x)=cosx⋅ln x−11+xB. f(x)=cosx⋅ln x+1x−1C. f(x)=sinx⋅ln x−11+xD. f(x)=sinx⋅ln x+1x−17.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的表面积为27π，△A1DB与A1DC1的重心分别为E，F，球O与该正方体的各条棱都相切，则球O被EF所在直线截的弦长为()A. √172B. 2√3C. 3√2D. √178.机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器.它可以辅助甚至替代人类完成某些工作，提高工作效率，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范畴.某公司为了研究M、N两个机器人的销售情况，统计了2020年2月至7月M、N两店每月的营业额(单位：万元)，得到如图折线图，则下列说法中错误的是()A. N店营业额的平均值是29B. M店营业额的平均值在[34,35]内C. N店营业额总体呈上升趋势D. M店营业额的极差比N店营业额的极差大9.设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()．A. x∈R，f(x)≤f(x0)B. −x0是f(−x)的极小值点C. −x0是−f(x)的极小值点D. −x0是−f(−x)的极小值点10.已知命题p：若θ=150°，则sinθ=12，则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 311.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为12，点P为椭圆上一点，且△PF1F2的周长为12，那么C的方程为()A. x225+y2=1 B. x216+y24=1 C. x225+y224=1 D. x216+y212=112.方程2x+x=0的根为a，方程log3x+x=0的根为b，那么()A. a>bB. a<bC. a=bD. 不确定二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为______．14. 已知，实数满足约束条件，若的最小值为，则的值为 ．15. 已知正方体的棱长为a ，该正方体的外接球的半径为√3，则a = ______ ．16. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，BC =1，∠ABC =120°，P 是AC 上一点，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 7=7，S 15=75，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =S n n ，求证数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n ．18. 如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 为AB 的中点．(Ⅰ) 求证：CD ⊥平面ABB 1A 1；(Ⅱ) 求证：BC 1//平面A 1CD ．19. 某校高三年级组为了缓解学生的学习压力，举办元宵猜灯谜活动。
2021年甘肃省高考数学一诊试卷(文科)
2021年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合{|13}A x x =-<<，{1B =-，1，2}，则(A B = )A ．{1，2}B ．{1-，1，2}C ．{0，1，2}D ．{1-，0，1，2，3}2．（5分）若复数z 满足12||2i z ⋅=，则(z = ) A ．12B ．12-C ．12i -D ．12i3．（5分）下列函数中，在(,0)-∞单调递增且图象关于坐标原点对称的是( ) A ．1()f x x x=+B ．1()2x f x +=C ．2()log ||f x x =D ．3()f x x =4．（5分）2020年第三届中国国际进口博览会开幕，时值初冬呼吸系统传染病高发期，防疫检测由上海交通大学附属瑞金医院与上海联通公司合作研发的“5G 发热门诊智慧解决方案”完成．该方案基于5G 网络技术实现了患者体温检测、人证核验、导诊、诊疗、药品与标本配送的无人化和智能化．5G 技术中数学原理之一就是香农公式：2log (1)SC W N=+．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C （单位/)bit s 取决于信道带宽W （单位：)HZ 、信道内信号的平均功率S （单位：)dB 、信道内部的高斯噪声功率N （单位：)dB 的大小，其中S N 叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约是原来的( ) A ．2倍B ．1.1倍C ．0.9倍D ．0.5倍5．（5分）若向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且a <，3b π>=，则a b <-，(b >= )A ．56π B ．2π C ．3π D ．6π 6．（5分）已知m ，n 表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面．设有四个命题： 1p ：若//m α，m n ⊥，则n α⊥； 2p ：若//m α，n α⊥，则m n ⊥； 3p ：若//m α，αβ⊥，则//m β； 4p ：若//m α，//m β，则//αβ．则下列复合命题中为真命题的是( )A ．12p p ∧B ．14p p ⌝∧C ．23p p ∨D ．34p p ∨7．（5分）已知α是第四象限角，且5sin α=-，则tan 2(α= ) A ．12-B ．43-C ．12D ．438．（5分）圆224x y +=上任意一点M 到直线34150x y +-=的距离大于2的概率为( ) A ．16B ．13C ．23D ．569．（5分）甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击10次，中靶环数情况如图所示．则甲、乙两人中靶环数的方差分别为( )A ．7，7B ．7，1.2C ．1.1，2.3D ．1.2，5.410．（5分）在ABC ∆中，120A =︒，6BC =，则ABC ∆的面积的最大值为( ) A ．12B ．1C 33D ．3311．（5分）玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器．《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文．如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径2.0cm ，外径2.4cm ，通高6.0cm ，方高4.0cm ，则其体积约为( )（单位：3)cmA ．23.04 3.92π-B ．34.56 3.92π-C ．34.56 3.12π-D ．23.04 3.12π-12．（5分）设1F ，2F 是双曲线2221(0)6x y a a -=>的左、右焦点，一条渐近线方程为6y x =，P 为双曲线上一点，且12||3||PF PF =，则△12PF F 的面积等于( )A ．6B ．12C ．610D ．310二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）曲线x y e x =+在点(0,1)处的切线方程为 ． 14．（5分）设log 2022a =，120222021b =，20221log 2021c =，则a ，b ，c 的大小关系是 .（按照从大到小的顺序排列）15．（5分）抛物线22(0)y px p =->的准线经过椭圆22195x y +=的右焦点，则p = ．16．（5分）函数()cos 232f x x x =，x R ∈，有下列命题： ①()y f x =的表达式可改写为2cos(2)3y x π=+；②直线12x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；③函数()f x 的图象可以由函数2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度得到； ④满足()3f x 的x 的取值范围是3{|124x k xk ππππ-++，}k Z ∈． 其中正确的命题序号是 .（注:把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：共70分。
2022年甘肃省高考数学一诊试卷(文科)+答案解析(附后)
2022年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.设，则( )A. B. C. D.3.2021年7月下甸某省遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐款5000万元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐．如图为该品牌服饰某分店月的销量单位：件情况．以下描述不正确的是( )A. 这8个月销量的极差为4132B. 这8个月销量的中位数2499C. 这8个月中2月份的销量最低D. 这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份4.若角的终边经过点，则( )A. B. C. D.5.向量，满足，，，则向量，的夹角是( )A. B. C. D.6.已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则7.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A. 的最小正周期是B. 直线是图象的一条对称轴C. 点是图象的一个对称中心D. 的单调递减区间是8.曲线在点处的切线方程为，则实数( )A. B. 16 C. D. 209.定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则( )A. 8B. 2C.D.10.在直角中，，，，且，分别以BC，AC，AB所在直线为轴，将旋转一周，形成三个几何体，其表面积和体积分别记为，，和，，，则它们的关系为( )A. ，B. ，C.， D. ，11.已知以圆C：的圆心为焦点的抛物线与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线：上任意一点，BM与直线垂直，垂足为M，则的最大值为 ( )A. 1B. 2C.D. 812.下列命题正确的是( )A. 若，，则B. 若，，则C. 若，则D. 若，则13.若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______.14.已知等差数列满足，，则______.15.如图，阴影部分由四个全等的直角三角形组成的图形是三国时代吴国赵爽创制的“勾股弦方图”，也称“赵爽弦图”．若直角三角形中较大锐角的正弦值为，则在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为______.16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则______.17.已知数列满足，，数列满足，，，求数列及的通项公式；求数列的前n项和18.2021年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了150个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如下：增长率分组企业数1530503817根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例用百分数表示；估计这150个企业同期产值增长率的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值代表；现从同期产值增长率的上述5个分组中各选1个对应企业，进行后疫情时期复工复产与防疫情况调研，并在选出的5个企业中再随机选取其中2个企业对后疫情时期生产数据进行重点分析，求选取的这2个企业恰有一家企业同期产值负增长的概率．19.如图，是边长为3的等边三角形，E，F分别在边AB，AC上，且，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将折到DEF的位置，使证明：平面EFCB；若平面EFCB内的直线平面DOC，且与边BC交于点N，R是线段DM的中点，求三棱锥的体积．20.已知动点P到点的距离与它到直线l：的距离之比为求动点P的轨迹所形成曲线C的方程；，分别过，作斜率为的直线与曲线C交于x轴上方A，B两点，若四边形的面积为，求k的值．21.已知函数，判断函数的单调性；当时，关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围．22.如图，曲线是著名的笛卡尔心形曲线．它的极坐标方程为曲线是经过极点且在极轴上方的圆，其圆心在经过极点且垂直于极轴的直线上，直径为求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线交点的极坐标；以极点为坐标原点，极轴所在的直线为x轴，经过极点且垂直于极轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为为参数若曲线与曲线相交于除极点外的M，N两点，求线段MN的长度．23.已知函数求不等式的解集；若，，且，求证：答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合，，，故选：由对数函数的性质解出集合A，再求出本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2.【答案】A【解析】解：，故选：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：对于A，由销量折线图得极差为：，故A正确；对于B，销量由小到大排列为：712，1433，1533，1952，2822，3046，4532，4844，中位数为：，故B错误；对于C，由折线图得2月份销量最低，故C正确；对于D，由折线图知7月份销量比6月份销量增长件，最大，这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份，故D正确．故选：根据销量折线图，结合极差、中位数的定义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：角的终边经过点，，，故选：由题意，利用任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：，，，，，，向量，的夹角是故选：根据已知条件，对平方，再结合向量的夹角公式，即可求解．本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，知：对于A，由，，得到：若，过n的平面，则，又，则，，则，若，又，则综上，，故A正确；对于B，若，，，则与相交或平行，故B错误；对于C，若，，，则n与相交、平行或，故C错误；对于D，若，，，则n与相交或，故D错误．故选：根据线线、线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质判断面面、线面的位置关系，从而求出结果．本题考查命题真假的判断，考查空间线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．7.【答案】C【解析】解：由图象可知，即，故A错误；由可得，又因为函数图象过点，所以，由五点法作图可知，，即，又，故，所以，当时，，故B错误；因为，所以点是图象的一个对称中心，故C正确；令，解得，即函数的单调递减区间为，故D错误．故选：根据函数图象求出周期T，，，判断A，再由正弦型函数的对称轴、对称中心、单调区间判断BCD即可．本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由，得，，又，故选：求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，可得k，再由时的函数值相等求解本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义及应用，是基础题．9.【答案】A【解析】解：根据题意，函数，满足，则有，则函数是周期为8的周期函数，则，当时，，则，则，故选：根据题意，分析函数的周期，由此可得，结合函数的解析式计算可得答案．本题考查函数的奇偶性和周期性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：由直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥，直角三角形绕其斜边旋转可以得到两个共用同一底面的圆锥的组合体，采用特例法，不妨令、、，当绕边旋转时，其表面展开后是两个扇形，其表面积为；体积；当绕边旋转时，，体积；当绕边旋转时，，体积；故选：由选项可知，，，和，，的关系唯一，故采用特例法，不妨令、、，绕三边旋转一周分别形成三个几何体的形状，求出他们的表面积和体积，进行比较可得答案．本题考查旋转体的表面积与体积的求法，采用特例法求解是关键，是基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查圆方程和抛物线的定义和方程的运用，考查方程思想和定义法解题，以及三点共线取得最值，属于中档题．求得圆心，可得抛物线方程，与圆C的交点A，运用抛物线的定义和三点共线，即可得到所求最大值．【解答】解：圆C：的圆心为焦点的抛物线方程为，由，解得，抛物线：的焦点为，准线方程为，即有，当且仅当A，B，在B，F之间三点共线，可得最大值1，故选：12.【答案】C【解析】解：对于A，构造函数，当时，，则在上单调递减，所以，即，故A错误；对于B，函数与函数的图象关于直线对称，则，即，故B错误；对于C，不等式整理为，构造函数，则为增函数，由，得，故C正确：对于D，不等式整理为，构造函数，在上单调递增，则，故D错误．故选：分别构造函数，利用导数研究函数的单调性，再进行大小比较，即可得到答案．本题考查了利用函数的单调性比较大小的问题，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由题意得，且，解得，则渐近线方程为故答案是：利用双曲线的离心率求出a，然后可求渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.【答案】6【解析】解：设等差数列的公差为d，由，得，解得，所以故答案为：设等差数列的公差为d，利用可求出d值，进一步根据即可求解．本题考查等差数列的通项公式，考查学生基本的运算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设直角三角形中较大锐角为，则，所以，设大正方形边长为1，则直角三角形两直角边长分别为故小正方形边长为，面积为而大正方形的面积为1，故所求概率为故答案为：利用几何概型的定义，分别求出面积，即可求概率．本题考查几何概型，考查学生的运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：，由正弦定理，可得，，，，即，，，由余弦定，即，解得，由正弦定理，得，即，故故答案为：由，及正弦定理可得，再运用余弦定理，以及正弦定理，即可求解．本题主要有考查正弦定理，以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．17.【答案】解：因为，，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，所以，因为，所以数列是等差数列，又，，所以公差，所以，所以【解析】根据等比数列的概念与通项公式可得数列的通项公式，由等差中项的性质与等差数列的通项公式可得数列的通项公式；根据分组求和法，即可得解．本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：估计这些企业中产值负增长的企业比例为这150个企业同期产值增长率的平均数为将欲调研的这5个企业按分组区间从左至右依次记为：a ，b ，c ，d ，e ，则从5个调研企业中任选2个企业的基本事件有：，，，，，，，，，共10种，事件“这2个企业中恰有一家企业同期产值负增长”包含的基本事件有：，，，，，共6种，所以这2个企业中恰有一家企业同期产值负增长的概率：【解析】根据已知条件，结合平均数公式，即可求解．根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．本题主要考查列举法和古典概型的概率公式，以及平均数公式，属于基础题．19.【答案】解：证明：在中，，，，所以，即，又，，所以平面连接OC ，过E 在平面EBCF 上作，交BC 于点N ，则由平面DOC ，平面DOC ，得面DOC ，即存在点N ，且，使得平面则，所以三棱锥的体积为【解析】推导出，，由此能证明平面连接OC ，过E 在平面EBCF 上作，交BC 于点N ，推导出面DOC ，从而存在点N ，且，使得平面DOC ，由此能求出三棱锥的体积．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．20.【答案】解：设，由题意得，整理得，即为曲线C 的方程．由题意知，延长交椭圆C于点，由椭圆的对称性知，所以，设，与联立消得：，设，，则，，所以，因为点到直线的距离，所以，平方化简得，解得或舍，所以【解析】设，利用直接法即可求解；延长交椭圆C于点，根据椭圆的对称性，设，将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，进而表示出，解方程即可．本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中等题．21.【答案】解：，，，当时，，恒成立，在上单调递增，当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增．当时，，即恒成立，所以，所以，即恒成立，令，，，令，，因为，所以，，，所以恒成立，所以在上单调递增，时，，，所以，而，所以，使得，即，所以，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，而，令，，则，，所以在上单调递增，所以，即，所以，所以b的取值范围为【解析】求导得，分两种情况：当时，当时，分析的正负，的单调性．根据题意可得当时，恒成立，即恒成立，令，，只需，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：曲线是著名的笛卡尔心形曲线．它的极坐标方程为曲线的极坐标方程为，与方程联立代入得，，解得或，曲线和曲线交点的极坐标分别为，曲线为过原点倾斜角为的直线，其极坐标方程为和，联立两曲线和的方程，解得两交点的极坐标分别为，，【解析】根据圆的极坐标方程方程求出，联立曲线和曲线的方程，求出交点即可．写出的极坐标方程，求出M，N的极坐标，由极坐标的意义求出线段MN的长度．本题考查极坐标方程、线段长度的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：解法一：，由，得或或，解得或或，故所求不等式的解集为证明：要证成立，只需证成立，即证，由，，，故只需证，由基本不等式可知，成立当且仅当时“=”成立，故命题得证．解法二：因为，作函数图象与直线，如图所示：其交点为，，所以不等式的解集为证明：，又，，，，成立当且仅当时“=”成立【解析】法一求出的分段函数形式，通过讨论x的范围，去掉绝对值解不等式求出不等式的解集即可；结合基本不等式的性质证明即可；法二：画出函数的图象，结合图象求出交点坐标，求出不等式的解集即可；结合基本不等式的性质证明即可．本题考查了解绝对值不等式问题，不等式的证明以及转化思想，是中档题．。
甘肃省五市2021-2021年部分普通高中第一次联考高三数学(文)试题及答案
五市部分普通高中高三第一次联考数学试卷(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题纸和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．已知集合{| lg(1)0}A x x =-≤，={|13}B x x -≤≤，则A B ⋂=（） A ．[1,3]-B ．[1,2]-C ．1,3]（D ．1,2]（2．复数z 满足1+)|3|i z i =（，则=z （） A ．1+i B ．1i -C ．1i --D ．1+i -3．设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ,则||a b +=（）A 510．5．104．已知2:,10p m R x mx ∀∈--=有解，2000:,210q x N x x ∃∈--≤,则下列选项中是假命题的为（）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧（）C ．p q ∨D ．p q ⌝∨（）5．若不等式222x y +≤所表示的平面区域为M ，不等式组0026x y x y y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为（） A ．8πB ．9πC ．24πD ．6π6．函数]),[()(cos ππ-∈=x xe x f x 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．正项等比数列{}n a 中的1a ，4031a 是函数321()4633f x x x x =-+-的极值点，则20166log =（） A ．1-B ．1C 2．28．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为（）A ．43B ．1C ．52D 59．阅读如下图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为 （）A ．7B ．9C ．10D ．1110．已知抛物线22y x =-的焦点到双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的距离为55，则该双曲线的离心率为 （） A 5B 210D 51 1133的正六边形的六个顶点都在球O 的球面上，球心O 到正六边形所在平面的距离为 22记球O 的体积为V ,球O 的表面积为S ,则VS的值是 （）A ．2B ．1C 3212．已知函数3||,03()cos(),393log x x f x x x π<<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同实根，则m 的范围是（） A ．(1,2)-B ．1(0,)2C ．[1,)+∞D ．(0,1)第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必修作答．第22题第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）． 13．已知2sin cos αα=，则2015cos(2)2πα-的值为.14．若直线220ax by +-=，(0,0)a b >>平分圆222460x y x y +---=,则12a b+的最小值是.15．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若61012+8a a a -=，1484a a -=，则19=S .16．如右图:A ，B 是半径为1的圆O 上两点，且3AOB π∠=．若点C 是圆O 上任意一点，则OA ·BC 的取值范围是．三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)． 17．(本小题满分12分)已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且22,b c 是关于x 的一元二次方程22()0x a bc x m -++=的两根.(Ⅰ)求角A 的大小； (Ⅱ)若3a ==B θ，ABC ∆的周长为y ，求()y f θ=的最大值．18．(本小题满分12分)为了调查高一新生中女生的体重情况，校卫生室随机选20名女生作为样本，测量她们的体重(单位：kg )，获得的所有数据按照区间(40，45]，(45，50]，(50，55]，(55，60]进行分组，得到频率分布直方图如图所示．已知样本中体重在区间(45，50]上的女生数与体重在区间(55，60]上的女生数之比为4:3． (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)从样本中体重在区间(50，60]上的女生中随机抽取两人，求体重在区间(55，60]上的女生至少有一人被抽中的概率．19．(本小题满分12分)OBCO4055图3a频率组距产量/kg605045(第18题图) 体重(kg )在三棱柱111ABC A B C -中,12AB BC CA AA ====, 侧棱1AA ⊥平面ABC .D ,E 分别是棱11A B ,1AA 的中点,点F 在棱AB 上,且14AF AB =. (Ⅰ)求证：||EF 平面1BDC ；(Ⅱ)求三棱锥1D BEC -的体积.20．(本小题满分12分)已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>，的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.21．(本小题满分12分)已知函数()sin xf x e x =，其中x R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数.(Ⅰ) 求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当[0,]2x π∈时，()f x kx ≥，求实数k 的取值范围。
(优辅资源)甘肃省兰州市高三一诊数学(文)试题Word版含答案
兰州市高三诊断考试数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.C N=）1. ()U+∞A)2. ，则下列说法正确的是（）AC3. ）A4..）A5.概率是（）A6.）A7. ）A8. 刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A9.）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要的条件10.值为（）A11.） A12.间的大小关系为（ ）A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.的均方差为．15.16.为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.(3,1)（1（2.=18.BD GACE.（1（2.19.交管部门为宣传新交规举办交通知识问答活动，回答问题统计结果如图表所示：（1（2各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，.20.（1（2）..21.（1（2.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程].（1（2.23.[选修4-5：不等式选讲]（1（2.兰州市高三诊断考试数学（文科）试题参考答案及评分参考一、选择题1-5: DDCBB 6-10: AABCD 11、12：AC二、填空题三、解答题17.解：（1（2）由（118.解：（1=BF B（219.解：（1（2.（3）20.解：（1（2.21.解：（1列表可得（2作出不等式组表示的平面区域如图22.解：（1（2）方法1方法223.解：（1（2。
甘肃省兰州市2021届高考数学诊断试卷(文科)(一模)(含答案解析)
甘肃省兰州市2021届高考数学诊断试卷(文科)(一模)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A ={x|x >1}，函数y =lg(2−x)的定义域为B ，则( )A. A ∪B ={x|1<x <2}B. A ∪B =RC. A ∩B ={x|x >1}D. A ∩B ={x|x <2}2.设复数z 满足(1+i)z =2i ，则z 的共轭复数z =( )A. −1−iB. −1−iC. 1+iD. 1−i3.(理)已知向量{a n ⃗⃗⃗⃗ }是以a 1⃗⃗⃗⃗ =(1,3)为首项，公差d ⃗ =(1,0)的等差向量列，若向量{a n ⃗⃗⃗⃗ }与非零向量b n ⃗⃗⃗⃗ =(x n ,x n+1)(n ∈N ∗)垂直，则x10x 1=( ) A.44800729B.4480243C. −44800729D. −44802434.某学校举办校园演讲大赛，如图为七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，要求去掉一个最高分和一个最低分点，求出所剩数据的平均数和方差为( )A. 84，4.84B. 84，1.6C. 85，4D. 85，1.65.在直角坐标系中，圆锥曲线C ：{x =t +1ty =t −1t(t 为参数)的焦点坐标是( )A. (±1,0)B. (±2,0)C. (±2√2,0)D. (±4,0)6.设0<a <1，函数f(x)=log a |x|的图象大致是( )A. B. C. D.7.正棱台的顶点都在同一球面上，且侧棱与下底面所成的角为π3，上、下底面边长分别为2，4，则该球的表面积为( )A. 54πB. 32πC. 16πD. 8π8.已知sin10°=k ，则sin 70°=( )A. 1−k 2B. 1+k 2C. 2k 2−1D. 1−2k 29.已知命题p 1：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1<0；p 2：∀x ∈[1,2]，x 2−1≥0.以下命题为真命题的是( ) A. (￢p 1)∧(￢p 2) B. p 1∨(￢p 2) C. (￢p 1)∧p 2 D. p 1∧p 210.某学生想测量学校的旗杆高度，如图已知测得学生的身高和其影子长均为1.75m，旗杆的影子长为13.8m，则旗杆的高度约为()A. 15.55mB. 13.8mC. 12.05mD. 数据不够不能确定11.已知函数f(x)=2ax3−3ax2+1，g(x)=−a4x+32，若对任意给定的m∈[0,2]，关于x的方程f(x)=g(m)在区间[0,2]上总存在唯一的一个解，则实数a的取值范围是()A. (−∞,1]B. [18,1) C. (0,1)∪{−1} D. (−1,0)∪(0,18]12.已知A、B、C三点在曲线y=√x(x≥0)上，其横坐标依次为1，m，4(1<m<4)，当△ABC的面积最大时，m=()A. 3B. 94C. 52D. 32二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲，乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h，2h，加工1件乙产品所需工时分别为2h，1h，A，B两种设备每月有效使用时数分别为400h和500ℎ.若合理安排生产可使收入最大为______元．14.在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之和为5的概率是______．15.已知△ABC的面积是3−√32，∠B为钝角，AB=2，BC=√3−1，则∠C的度数为______．16.三棱锥P−ABC中PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1.则下列结论中正确的是①PA⊥BC②△ABC为正三角形③体积为12④表面积为3+√32，将你认为正确的序号填上______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知S n是正项数列{a n}的前n项和，且S n=14a n2+12a n−34(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a n=2n b n，求数列{b n}的前n项和．18. 底面为菱形的直棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱A 1B 1，A 1D 1的中点(Ⅰ)在图中作出有关平面α，使得BD ⊂α，且平面AEF//α(不必给出证明过程，只要求作出α与直棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的截面)(Ⅱ)(文科)若AB =AA 1=2，∠BAD =60°，求平面AEF 截直棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1所得两个多面体的体积比．(理科)若AB =AA 1=2，∠BAD =60°求平面AEF 与平面α的距离d ．19. 某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，它的灌溉是将海水稀释后进行灌溉．某实验基地为了研究海水浓度x(%)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如表： 海水浓度x(%) 3 4567亩产量y(吨) 0.57 0.53 0.44 0.36 0.30 残差êi −0.05 0mn0.04绘制散点图发现，可以用线性回归模型拟合亩产量y(吨)与海水浓度x(%)之间的相关关系，用最小二乘法计算得y 与x 之间的线性回归方程为y ̂=−0.09x +a ̂． (1)求a^，m ，n 的值； (2)统计学中常用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，回归效果越好，如假设R 2=0.85，就说明预报变量y 的差异有85%是解释变量x 引起的．请计算相关指数R 2(精确到0.01)，并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？ (附：残差e ̂i =y i −y ̂i ，相关指数R 2=1−n i=1i i 2∑(n y −y)2，其中∑(5i=1y i −y)2=0.051)20. 已知向量a ⃗ =(x 2,x +1),b ⃗ =(1−x,1)，函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ． (1)求f(x)在x ∈[0,2]的值域；(2)若f(x)−t =0至少有两个实数解，求t 的取值范围．21.设曲线在点处的切线斜率为，且。