2018中考数学【二次函数】
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二次函数
一、二次函数的概念及其关系式 1.二次函数的概念：形如_y_=_a_x_2+_b_x_+_c_(a，b，c是常数，a≠0)
的函数. 2.二次函数的关系式： (1)一般式：_y_=_a_x_2+_b_x_+_c_(_a_≠__0_)_. (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其顶点坐标是_(_h_，__k_)_.
【规律方法】二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质 1.a>0时，开口向上，a<0时，开口向下. 2.对称轴为x=h；顶点坐标为(h，k). 3.增减性：当a>0时，当x>h时，y随x的增大而增大，当x<h 时，y随x的增大而减小；当a<0时，当x>h时，y随x的增大而 减小，当x<h时，y随x的增大而增大.
(5)最值：当x= b
2a
4ac b2
时，y最小值=____4_a_____.
2.当a<0时
(1)开口方向：向下.(2)顶点坐标：（
b 2a
，
4ac b2
___4_a__）
.(3)对
称轴：直线__x____2b_a_.
(4)增减性：当x< b 时，y随x的增大而_增__大__；当x> b 时，
热点考向一 二次函数的图象和性质
【例1】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象如图所示，则下列说法：①c=0；
②该抛物线的对称轴是直线x=-1；③
当x=1时，y=2a；④am2+bm+a>0(m≠-1).
其中正确的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【思路点拨】二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)根据a确定开口方 向，顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x=h，增减性结合开口 方向，分对称轴左右两部分来考虑.
二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
1.当a>0时
(1)开口方向：向上.(2)顶点坐标：(___2b_a_
,
4ac 4a
b2
).(3)对称
轴：直线__x____2b_a__.
(4)增减性：当x< b 时，y随x的增大而_减__小__；当x> b 时，
2a
2a
y随x的增大而_增__大__.
(3)∵抛物线对称轴为x=1，∴抛物线在2<x<3这一段与在1<x <0这一段关于对称轴对称，又直线l与直线AB关于对称 轴对称，结合图象可以观察到抛物线在-2<x <-1这一段位于 直线l的上方，在-1< x<0这一段位于直线l的下方.∴抛物线与 直线l的交点横坐标为-1； 当x=-1时，y=-2×(-1)+2=4，则抛物线过点(-1，4).当x=-1 时，m+2m -2=4，m=2. ∴抛物线的表达式为y=2x2-4x-2.
2a
2a
y随x的增大而_____减. 小
4ac b2
(5)最值：当x= b 时，y最大值=____4_a____.
2a
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1.y=ax2+2x+3是二次函数. ( × ) 2.二次函数y=3(x+3)2-2的顶点坐标是(3，-2). ( × ) 3.二次函数y=x2-2的对称轴是y轴，有最小值-2. ( √ ) 4.二次函数y=x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得 到的函数表达式是y=(x+2)2-3. ( × )
【自主解答】(1)当x=0时，y=-2，∴A(0，-2).抛物线对称轴
为 x＝－－，2m∴B1(1，0).
2m
(2)A点关于对称轴的对称点为A′(2，-2)，则直线l经过A′，
B .设直线的表达式为y=kx+b(k≠0).
则 2kkbb解0－，得2，
k －2， b 2.
∴直线l的表达式为y=-2x+2.
【自主解答】选C.∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点， ∴c=0，故①正确；∵二次函数与x轴的交点坐标是(-2，0)和 (0，0)，∴对称轴是直线x=-1，故②正确；∵ － b ， 1
2a
∴b=2a，当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a，故③不正确； ∵b=2a，∴am2+bm+a=am2+2am+a=a(m+1)2，又∵m≠-1， a>0， ∴a(m+1)2>0，故④正确.
【真题专练】
1.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，
若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图 象上，且x1<x2<1，则y1与y2的大小关 系是 ( )
A.y1≤y2 C.y1≥y2
B.y1<wk.baidu.com2 D.y1>y2
【解析】选B.根据二次函数的图象性质可知当x<1时，y随着x 的增大而增大； ∵x1<x2<1，∴点A，点B在对称轴的左侧，∴y1<y2.
【规律方法】二次函数的三种表达式 1.一般式y=ax2+bx+c(a≠0). 2.顶点式y=a(x-m)2+n(a≠0)，其中(m，n)为顶点坐标. 3.交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中(x1，0)，(x2，0)为抛 物线与x轴的交点. 一般已知三点坐标用一般式；已知顶点及另一个点坐标用顶点 式；已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交 点式.
(1)求点A，B的坐标. (2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线
l的表达式. (3)若该抛物线在-2<x<-1这一段位于(2)中直线l的上方，
并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线 的表达式.
【思路点拨】(1)令x=0求出y的值，即可得到点A的坐标，求 出对称轴方程，即可得到点B的坐标. (2)求出点A关于对称轴的对称点(2，-2)，然后设直线l的表达 式为y=kx+b(k≠0)，利用待定系数法求一次函数表达式即可. (3)根据二次函数的对称性判断在2<x<3这一段与在-1<x<0 这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横 坐标为-1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的 值即可得到抛物线的表达式.
【方法技巧】当二次函数的表达式与已知点的坐标中含有未知 字母时，可以用三种方法比较函数值的大小： (1)用含有字母的代数式表示各函数值，然后进行比较. (2)在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解. (3)根据二次函数的性质，结合函数图象比较.
热点考向二 二次函数表达式的确定 【例2】在平面直角坐标系xOy中， 抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)与y轴 交于点A，其对称轴与x轴交于点B.
一、二次函数的概念及其关系式 1.二次函数的概念：形如_y_=_a_x_2+_b_x_+_c_(a，b，c是常数，a≠0)
的函数. 2.二次函数的关系式： (1)一般式：_y_=_a_x_2+_b_x_+_c_(_a_≠__0_)_. (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其顶点坐标是_(_h_，__k_)_.
【规律方法】二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质 1.a>0时，开口向上，a<0时，开口向下. 2.对称轴为x=h；顶点坐标为(h，k). 3.增减性：当a>0时，当x>h时，y随x的增大而增大，当x<h 时，y随x的增大而减小；当a<0时，当x>h时，y随x的增大而 减小，当x<h时，y随x的增大而增大.
(5)最值：当x= b
2a
4ac b2
时，y最小值=____4_a_____.
2.当a<0时
(1)开口方向：向下.(2)顶点坐标：（
b 2a
，
4ac b2
___4_a__）
.(3)对
称轴：直线__x____2b_a_.
(4)增减性：当x< b 时，y随x的增大而_增__大__；当x> b 时，
热点考向一 二次函数的图象和性质
【例1】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象如图所示，则下列说法：①c=0；
②该抛物线的对称轴是直线x=-1；③
当x=1时，y=2a；④am2+bm+a>0(m≠-1).
其中正确的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【思路点拨】二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)根据a确定开口方 向，顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x=h，增减性结合开口 方向，分对称轴左右两部分来考虑.
二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
1.当a>0时
(1)开口方向：向上.(2)顶点坐标：(___2b_a_
,
4ac 4a
b2
).(3)对称
轴：直线__x____2b_a__.
(4)增减性：当x< b 时，y随x的增大而_减__小__；当x> b 时，
2a
2a
y随x的增大而_增__大__.
(3)∵抛物线对称轴为x=1，∴抛物线在2<x<3这一段与在1<x <0这一段关于对称轴对称，又直线l与直线AB关于对称 轴对称，结合图象可以观察到抛物线在-2<x <-1这一段位于 直线l的上方，在-1< x<0这一段位于直线l的下方.∴抛物线与 直线l的交点横坐标为-1； 当x=-1时，y=-2×(-1)+2=4，则抛物线过点(-1，4).当x=-1 时，m+2m -2=4，m=2. ∴抛物线的表达式为y=2x2-4x-2.
2a
2a
y随x的增大而_____减. 小
4ac b2
(5)最值：当x= b 时，y最大值=____4_a____.
2a
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1.y=ax2+2x+3是二次函数. ( × ) 2.二次函数y=3(x+3)2-2的顶点坐标是(3，-2). ( × ) 3.二次函数y=x2-2的对称轴是y轴，有最小值-2. ( √ ) 4.二次函数y=x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得 到的函数表达式是y=(x+2)2-3. ( × )
【自主解答】(1)当x=0时，y=-2，∴A(0，-2).抛物线对称轴
为 x＝－－，2m∴B1(1，0).
2m
(2)A点关于对称轴的对称点为A′(2，-2)，则直线l经过A′，
B .设直线的表达式为y=kx+b(k≠0).
则 2kkbb解0－，得2，
k －2， b 2.
∴直线l的表达式为y=-2x+2.
【自主解答】选C.∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点， ∴c=0，故①正确；∵二次函数与x轴的交点坐标是(-2，0)和 (0，0)，∴对称轴是直线x=-1，故②正确；∵ － b ， 1
2a
∴b=2a，当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a，故③不正确； ∵b=2a，∴am2+bm+a=am2+2am+a=a(m+1)2，又∵m≠-1， a>0， ∴a(m+1)2>0，故④正确.
【真题专练】
1.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，
若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图 象上，且x1<x2<1，则y1与y2的大小关 系是 ( )
A.y1≤y2 C.y1≥y2
B.y1<wk.baidu.com2 D.y1>y2
【解析】选B.根据二次函数的图象性质可知当x<1时，y随着x 的增大而增大； ∵x1<x2<1，∴点A，点B在对称轴的左侧，∴y1<y2.
【规律方法】二次函数的三种表达式 1.一般式y=ax2+bx+c(a≠0). 2.顶点式y=a(x-m)2+n(a≠0)，其中(m，n)为顶点坐标. 3.交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中(x1，0)，(x2，0)为抛 物线与x轴的交点. 一般已知三点坐标用一般式；已知顶点及另一个点坐标用顶点 式；已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交 点式.
(1)求点A，B的坐标. (2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线
l的表达式. (3)若该抛物线在-2<x<-1这一段位于(2)中直线l的上方，
并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线 的表达式.
【思路点拨】(1)令x=0求出y的值，即可得到点A的坐标，求 出对称轴方程，即可得到点B的坐标. (2)求出点A关于对称轴的对称点(2，-2)，然后设直线l的表达 式为y=kx+b(k≠0)，利用待定系数法求一次函数表达式即可. (3)根据二次函数的对称性判断在2<x<3这一段与在-1<x<0 这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横 坐标为-1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的 值即可得到抛物线的表达式.
【方法技巧】当二次函数的表达式与已知点的坐标中含有未知 字母时，可以用三种方法比较函数值的大小： (1)用含有字母的代数式表示各函数值，然后进行比较. (2)在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解. (3)根据二次函数的性质，结合函数图象比较.
热点考向二 二次函数表达式的确定 【例2】在平面直角坐标系xOy中， 抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)与y轴 交于点A，其对称轴与x轴交于点B.