左截断数据下非参数回归模型的复合分位数回归估计
第04章分位数回归模型
下式（目标函数）最小，
T
T
Q (1 )uˆ( )t uˆ( )t
uˆ( )t 0
uˆ( )t 0
T
T
(1 )(yt X βˆ ( ) )
( yt X βˆ ( ) )
t:yt X ˆ( )
t:yt X ˆ( )
(15.3)
其中 uˆ( )t 表示第分位数回归方程对应的残差。(0, 1)。第分位数的回归方程表达式是
~ Q(
)
，所以
R*(τ)的值在
0
和
1
之间，解释变量的作
用越强， Qˆ ( ) 越远远小于 Q~( ) ， R * ( ) 越接近 1。反之越接近 0。所以 R * ( ) 可用来考察解释变量对被解释 7
变量第 τ 分位数回归拟和的好坏。
（2）拟似然比检验(Quasi-Likelihood Ratio Tests) Koenker 和 Machado(1999)根据目标函数在施加约束条件前后得到的两个极小值构造了两个拟似然比 检验统计量（QLR）。这两个拟似然比检验也称作分位数 ρ 检验(quantile-ρ tests)。两统计量的表达式如下：
( β( ) β(1 )) / 2 β(1/ 2) （4.7.42）
具体而言，假定分位数过程包含了s个分位数回归，这里s
是奇数，中间值(s+1)/2为0.5，并且j = 1 i–j+1, j =1,2,…,(s-1)/2，
则对称检验的原假设为：
H0 : ( β( j ) β(1 s j1)) / 2 β(1/ 2) （4.7.43）
yˆ ( )t = X βˆ( )
其中 X，都是 k1 阶列向量。 βˆ( ) 称作分位数回归系数估计量，或最小绝对离差和估计量，估计方法称 5
复合分位数回归理解
复合分位数回归理解复合分位数回归是一种用来研究变量之间关系的统计方法。
它将分位数回归和复合估计相结合，可以更全面地分析数据，并提供更准确的结果。
分位数回归是一种用来研究因变量与自变量之间关系的方法。
在传统的最小二乘回归中，我们只考虑了因变量的均值，而分位数回归则可以考虑不同分位数下的因变量取值。
这样一来，我们可以更全面地了解因变量与自变量之间的关系，而不仅仅局限于平均水平。
复合估计是一种将多个估计结果结合起来的方法。
在传统的统计分析中，我们往往只关注单一的估计结果，而忽略了其他可能的估计结果。
复合估计可以将多个估计结果综合起来，从而得到更准确的估计结果。
将分位数回归和复合估计相结合，就得到了复合分位数回归。
这种方法可以更准确地研究因变量与自变量之间的关系，尤其是在存在异方差性或非线性关系的情况下。
它可以帮助我们更好地理解数据，并提供更准确的预测结果。
复合分位数回归的应用非常广泛。
例如，在经济学中，我们可以使用复合分位数回归来研究收入与教育水平之间的关系。
通过考察不同分位数下的收入水平，我们可以更全面地了解收入分配的不平等程度，并找出影响收入差距的主要因素。
在医学研究中，我们可以使用复合分位数回归来研究药物剂量与疗效之间的关系。
通过考察不同分位数下的药物剂量和治疗效果，我们可以更准确地确定最佳的药物剂量。
复合分位数回归的优点是可以提供更准确的结果。
传统的最小二乘回归只能给出因变量的均值，而复合分位数回归可以给出不同分位数下的因变量取值。
这样一来，我们可以更全面地了解因变量与自变量之间的关系，并得到更准确的预测结果。
此外，复合分位数回归还可以考虑异方差性和非线性关系，提高了模型的适应性和预测能力。
然而，复合分位数回归也存在一些限制。
首先，由于计算复杂度较高，需要更多的计算资源和时间。
其次，由于需要考虑多个分位数，可能会导致模型变得更加复杂，难以解释。
此外，复合分位数回归可能受到样本量的限制，当样本量较小时，可能会导致结果不稳定。
左删失右截断数据的分位数的固定宽度序贯置信区间估计
左删失右截断数据的分位数的固定宽度序贯置信区间估计一、引言在生存分析研究中，一些个体生存时间的开始点在试验开始之前，所以人们无法观察到这些个体在进入试验之前的数据。
这样所获得的个体数据就是左截断数据。
如果个体一旦进入试验，人们可能在试验结束之前未能完全观察到这个个体的全部过程，因此引起了右删失的数据。
这样的左截断右删失数据是生存分析中常常遇到的数据之一。
具体地说，设(X,T,Y)表示三维的随机变量，其中X为感兴趣的随机变量，具有连续的分布函数F；T是左截断随机变量具有分布函数G，以及Y是右删失随机量具有分布L。
假定X是与(T,Y)独立的，但T和Y可以是相关的。
所谓左截断右删失数据是：如果Z≥T,(Z,T,δ)是可以观察的，其中Z=X∧Y=min(X,Y)和δ=I(X≤Y)。
而当Z＜T时，人们无法观察到任何数据。
不失一般性，设α≡P(T≤Z)＞0和W表示Z的分布函数，即有1-W=(1-F)(1-L)。
在文中，设(Z[,i],T[,i],δ[,i])是一列独立同分布的观察样本且与(Z,T,δ),i=1,2,…,n具有相同的分布。
又设表示分布函数的累积风险函数。
周知，累积风险函数Λ与分布函数F是一对一的关系，具有如下表示式附图容易证明附图在左截断右删失数据下，固定宽度的分位数序贯置信区间估计是生存分析中的重要研究对象之一，一个例子是基于分位数估计对研究对象进行分类。
有关的真实数据是心脏病的心率数据（数据见），目的是进行它和正常人数据的比较，由于没有足够多的数据和所获数据的不完全性，难于对分位数进行准确估计。
因此准确分类也是不可能的。
但一个重要而有效的解决方法是进行序贯试验，在给定所要求的精度下，适当增加试验样本。
在独立同分布情况下，Choudhury,Serfling研究了相类似的固定长度的序贯置信区间。
在右删失数据下，Gijbels,Veraverbeke[10,11]以及Wang,Hettmansperger[12]研究了这样的置信区间，Gürler,Stute,Wang考虑了左截断的情况。
非参数分位数回归
非参数分位数回归非参数分位数回归（nonparametric quantile regression）是一种用于研究变量之间关系的统计方法。
与传统的回归分析方法相比，非参数分位数回归不需要对数据的分布做出任何假设，因此更加灵活和具有普适性。
本文将介绍非参数分位数回归的原理、应用场景以及优势。
一、原理非参数分位数回归的核心思想是通过估计不同分位点上的条件分布函数，来揭示自变量和因变量之间的关系。
与传统的回归方法只关注于均值时，非参数分位数回归能够更全面地描述变量之间的关系，并能够捕捉到数据分布的不对称性和离群值的影响。
二、应用场景非参数分位数回归在实际应用中有广泛的应用场景。
首先，它可以用于研究收入分配问题。
通过估计收入的分位数与其他变量（如教育水平、工作经验等）之间的关系，可以揭示不同因素对不同收入群体的影响程度。
其次，非参数分位数回归还可以用于金融领域的风险评估。
通过估计不同分位数下的股票收益与市场因素之间的关系，可以评估不同风险水平下的投资回报。
此外，非参数分位数回归还可以应用于医学研究、环境科学等领域。
三、优势相比传统的回归方法，非参数分位数回归有以下几个优势。
首先，非参数分位数回归不需要对数据分布做任何假设，因此更加灵活和普适。
其次，非参数分位数回归能够捕捉到数据分布的不对称性和离群值的影响，更能反映真实的数据特征。
此外，非参数分位数回归还可以提供更全面的结果，包括不同分位点下的条件分布函数和置信区间。
四、案例分析为了更好地理解非参数分位数回归的应用，我们以一个实际案例进行分析。
假设我们想要研究汽车价格与其各项特征（如车龄、里程数、品牌等）之间的关系。
我们可以利用非参数分位数回归方法，估计不同分位数下的汽车价格与这些特征之间的关系。
通过分析结果，我们可以得出不同特征对不同价格区间汽车价格的影响程度，为汽车市场的定价和销售提供参考。
五、总结非参数分位数回归是一种灵活、普适且有效的统计方法，用于研究变量之间关系。
随机效应模型的复合分位数回归估计
随机效应模型的复合分位数回归估计罗登菊;戴家佳;罗兴甸【摘要】在纵向数据处理中,随机效应模型是使用频率非常高的模型之一.本文主要采用复合分位数回归估计的方法,在对其参数进行估计的同时,证明了此估计渐近正态性.经模拟研究,比对了中位数回归估计、传统最小二乘估计和复合分位数回归估计三种估计的精度,模拟结果显示,在样本有限的情况下,本文所提出的方法对随机效应模型的参数估计是有效的,尤其当模型误差项不遵循高斯分布时,复合分位数回归估计的实用性是明显的.【期刊名称】《贵州大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(036)002【总页数】6页(P96-100,108)【关键词】随机效应模型;复合分位数回归估计;最小二乘估计;分位数回归估计【作者】罗登菊;戴家佳;罗兴甸【作者单位】贵州大学数学与统计学院,贵州贵阳550025;贵州大学数学与统计学院,贵州贵阳550025;贵州大学数学与统计学院,贵州贵阳550025【正文语种】中文【中图分类】U491随机效应模型的一般形式为：(1)其中xit=(xit,1,xit,2,…,xit,p)T为p维协变量，β=(β1,β2,…,βp)为回归系数向量，yit为响应变量，αi称为随机效应，是用来刻画一些不可观测的因素引起的个体间差异，εit是随机误差。
在随机效应模型中，一般假设相互独立的同时，与εit相互独立；且相互独立。
模型(1)的主要优点在于，在一定条件下提供了对个体进行统计推断的可能性。
为了解决此模型估计的参数估计问题，大部分的文献通过普通最小二乘和加权最小二乘等方式来解决此问题，举例说，最小二乘估计计算简单，其得到的结果拥有令人满意的表达式，尤其是在误差项遵循常态分布的前提下，最小二乘估计是有效的，而且是一致最小方差无偏估计。
但是实际数据往往不满足方差相等、独立并服从正态分布等严苛条件。
随着互联网的高速发展以及各种行业之间相互影响，我们所面临的数据维度不仅大还结构复杂，通过最小二乘估计无法满足现阶段所需理想的统计结果。
非参数分位数回归
非参数分位数回归非参数分位数回归是一种统计方法，用于分析自变量与因变量之间的关系。
与传统的线性回归模型不同，非参数分位数回归不需要对数据做出任何假设，可以更好地适应不同数据的分布特征，具有更大的灵活性和鲁棒性。
在传统的线性回归模型中，假设自变量与因变量之间存在线性关系，并且残差服从正态分布。
然而，在实际应用中，很多情况下这些假设并不成立。
例如，在收入与消费之间的关系中，可能存在一部分高收入人群的消费行为与其他人群有所不同，导致数据的分布不符合正态分布假设。
此时，非参数分位数回归可以更好地刻画收入与消费之间的关系。
非参数分位数回归的核心思想是通过计算不同分位数下的条件分布函数来建立自变量与因变量之间的关系。
具体而言，首先，将因变量按照分位数进行排序，然后根据自变量的取值将数据划分为不同的组。
接下来，对于每一组数据，计算该组数据在不同分位数下的条件分布函数。
最后，通过对条件分布函数进行插值或拟合，得到自变量与因变量之间的关系。
非参数分位数回归的优点在于不需要对数据的分布做出任何假设，对异常值和离群点具有较好的鲁棒性。
此外，非参数分位数回归还可以提供更加全面的关系描述，可以得到不同分位数下的自变量与因变量之间的关系。
这对于研究不同数据分布下的条件效应非常有用。
然而，非参数分位数回归也存在一些限制。
首先，由于不需要假设数据的分布特征，因此对于样本量较小的情况下，非参数分位数回归可能会产生不稳定的估计结果。
其次，非参数分位数回归对于自变量与因变量之间的函数形式并没有明确的假设，因此在解释结果时需要谨慎。
在实际应用中，非参数分位数回归可以用于解决各种问题。
例如，可以用于分析收入与消费之间的关系，研究某因素对人口健康水平的影响，探究气温对能源消耗的影响等。
通过非参数分位数回归，可以得到更加准确、全面的结果，为决策提供更可靠的依据。
非参数分位数回归是一种灵活、鲁棒的统计方法，不需要对数据做出任何假设，可以更好地适应不同数据的分布特征。
2.4 分位数回归估计
Q( | Xi ,β( ))=Xiβ( )
分位数回归参数估计量为
β n ( )=argmin ( ) { (Yi Xiβ( ))}
i
2、分位数回归估计方法
• 参数估计方法有两类：
– 一类是直接优化方法，例如单纯形法、内点法等； – 一类是参数化方法，例如结合MCMC（Markov Chain Monte Carlo）的贝叶斯估计方法。 – 常用的计量经济和统计软件都可以实现对分位数回归模 型的估计和假设检验，如stata、sas、r、eviews等。
i 1,, k
• 如果接受该假设，说明每个斜率对于不同分位点具 有不变性，此时，应该采用普通最小二乘估计；如 果拒绝该假设，说明模型应该采用分位数回归估计， 以反映每个斜率在不同分位点的不同值。
• 斜率相等检验可以通过约束回归检验实现。原假设 相当于对分位数回归估计施加了个约束（斜率中不 包括常数项）。 • 应用软件中给出了一些相应的检验统计量，例如， EVIEWS6.0中的Wald统计量可以实现该约束检验。
V( )=min 0 ( ) (Yi 0 ( ))
i
2、约束回归检验
• 分位数回归约束回归检验似然比统计量，采用无 约束和有约束情况下最小化θ分位数回归的目标函 数值构造。
ˆ 2(V ( ) V ( )) LR ( ) ~ 2 (q) (1 ) s ( )
3、分位数回归的扩展
• 如果被解释变量的条件密度非同质，可以采用加 权的方法提高分位数回归估计的效率，权重与某 概率水平下的局部样本密度成比例。 • 加权分位数回归估计为：
β n ( )=argmin ( ) { fi (i ) (Yi Xiβ( ))}
分位数回归估计课件
在某些情况下，分位数回归的结果可能对模型假设的违背较为敏感。
分位数回归与其他方法的比较
与普通最小二乘法的比较
普通最小二乘法只关注数据的均值和方差，而 分位数回归可以提供更全面的信息。
与核密度估计的比较
核密度估计主要用于探索性数据分析，而分位 数回归主要用于因果关系推断。
与决策树和随机森林的比较
这些方法主要用于分类问题，而分位数回归主要用于回归问题。
05 分位数回归的未来发展
分位数回归的理论研究
01
深入研究分位数回归的理论基础，包括其假设、性 质和限制条件，以完善其理论体系。
02
探讨分位数回归与其他统计方法的结合，如混合模 型、贝叶斯方法等，以拓展其应用范围。
03
针对分位数回归的统计推断问题，研究更有效的推 断方法和理论。
灵活性
可以估计多个分位数，而不仅 仅是均值。
无分布假设
不需要假定误差项服从特定的 分布，比如正态分布。
刻画异质性
可以更好地捕捉数据的异质性 ，提供更全面的信息。
分位数回归的缺点
计算复杂度
相对于普通最小二乘法，计算成本较高。
解释性
分位数回归的系数较难解释，不如普通最小二乘法直观。
对离群值的敏感性
离群值可能会对分位数回归的结果产生较大影响。
$Y = Xbeta + epsilon$，其中$Y$是因变量，$X$是自变量，$beta$是待估 计的参数，$epsilon$是误差项。
非线性分位数回归模型
通过引入非线性函数或变换，使得模型能够更好地拟合非线性关系。
分位数回归的估计方法
最小二乘法
通过最小化残差平方和来估计参数。
迭代加权最小二乘法