自回归模型的参数估计案例
自回归模型的参数估计
自回归模型的参数估计 1.局部调整模型的估计对于局部调整模型*1)1(t t t t u Y X Y +-++=-δδβδα，有t t u u δ=*，假定原模型中随机扰动项t u 满足古典假定，即0)(=t u E ，2)(σ=t u Var ，(,)0i j Cov u u i j =≠则有 ()()**21111(,)()()()0t t t t t tt t C o v u u E uE u uE u E u u δδδδδ----=--==*111(,)(,)(,)0t t t t t t Cov Y u Cov Y u Cov Y u δδ---===由此可见，随机解释变量1-t Y 与i u 不相关；随机扰动项i u 也不存在自相关，因此可以直接用最小二乘法对其进行估计。
具体操作过程如下 例1天津市城镇居民人均消费性支出Y 与人均可支配收入X 的关系 年份 人均消费性支出Y 人均可支配 收入X 年份 人均消费性支出Y 人均可支配收入X 1978 344.88 388.32 1990 731.203 831.9391 1979 381.386139 421.188119 1991 730.4053 849.8296 1980 447.00565 496.158192 1992 788.7386 925.7155 1981 451.981395 501.87907 1993 816.5225 973.7201 1982 459.352451 533.506013 1994 936.2933 1129.362 1983 479.594843 556.45488 1995 999.5327 1212.378 1984 542.169982 658.381555 1996 1055.869 1346.505 1985 616.512 700.416 1997 1139.044 1446.391 1986 710.389222 800.606287 1998 1203.478 1564.131 1987 751.079944 832.741935 1999 1301.497 1701.475 1988 767.168566 797.660468 2000 1366.9211817.89919896712.256276772.892259建立局部调整模型 t t t u X Y ++=βα*，将模型形式转化成下面的形式：*1*1*0*t t t t u Y X Y +++=-ββα然后直接用OLS 法估计模型参数。
自回归
第4章 自回归模型
谢琴
焦玉凤
内 容
4.1 4.2 4.3 4.4
• 自回归的基本概念 • 自回归过程的平稳条件 • 自回归过程的自相关函数 • 自回归过程的识别与估计
4.4自回归过程的识别与估计
4.4自回归过程的识别与估计
4.4自回归过程的识别与估计
(1
1
L
L
2
2
L
L ) y ε
p p t 2 2
t
(13.2.8)
p
引进算符多项式：
p
( L) 1
1
L
L
1 p
L
L
p
(13.2.9)
则(13.2.8)可改写成：
p ( L) y ε
t
1
t
或
y
t
( L) εt
若(13.2.2)是平稳随机过程，则必定收敛，即yt可表示为白噪声的无穷加权和。 可以证明 p (L) ，收敛的充要条件是算符多项式
ρ2 =φ1 ρ1 + φ2 +φ3 ρ1 + …+φp ρp-2
ρ3 =φ1 ρ2 + φ2 ρ1+φ3 + …+φp ρp-3 … … … ρp =φ1 ρp-1 + φ2ρp-2+φ3 ρp-3 + …+φp (13.2.21)
4.3自回归过程的自相关函数
向量自回归模型
诊断主要是对模型残差进行一系列检验， 如果诊断结果表明模型存在问题，需要
以判断模型是否充分拟合了数据，是否 对模型进行修正或重新设定，以确保模
存在异常值或违反模型假设的情况。常
型的准确性和可靠性。
见的诊断方法包括残差诊断、正态性检
验、异方差性检验等。
03
向量自回归模型的实现
向量自回归模型的编程语言实现
诊断与修正困难
向量自回归模型在诊断和修正模型中的问题时较为复杂，需要较高 的统计技巧和经验。
对数据要求高
向量自回归模型要求数据具有平稳性，对于非平稳数据需要进行差分 或其他处理，可能会影响模型的准确性和稳定性。
向量自回归模型的发展趋势与未来展望
改进估计方法
针对向量自回归模型参数过多的问题，未来研究可以探索更加有 效的参数估计方法，提高模型的泛化能力。
能够更好地捕捉时间序列数据的长期趋势和稳定性。
解释性强
02
向量自回归模型能够清晰地揭示多个变量之间的相互影响关系，
有助于理解经济现象之间的内在联系。
适用范围广
03
向量自回归模型适用于多种类型的数据，包括平稳和非平稳时
间序列数据。
向量自回归模型的缺点
参数过多
向量自回归模型需要估计的参数数量较多，容易产生过拟合问题， 导致模型泛化能力下降。
极端天气事件预测
通过向量自回归模型预测极端天气事件的发生， 如暴雨、洪涝、干旱等，有助于减轻灾害损失。
3
气候变化对生态系统的影响
利用向量自回归模型分析气候变化对生态系统的 影响，如植被分布、物种多样性和生态平衡等。
向量自回归模型在社会科学领域的应用
经济发展预测
通过分析历史经济发展数据，利用向量自回归模型预测未来经济 发展趋势，为政策制定提供依据。
eviews操作实例-向量自回归模型VAR和VEC
-5.4324 -5.7557
5% 临界值
-2.9202 -2.9202 -2.9202
模型形式 （C t p）
(c 0 3) (c 0 0) (c 0 0)
DW值
1.6551 1.9493 1.8996
结论
LGDPt ～I(1) LCt ～I( 1)
LIt～I(1)
注 C为位移项， t为趋势，p为滞后阶数。
yNt
的最大p阶滞后变量为解释变量的方程组模型，方程组模 型中共有N个方程。显然，VAR模型是由单变量AR模型推广到 多变量组成的“向量”自回归模型。
对于两个变量（N=2），Yt ( yt xt )T 时，VAR(2)模型为
2
Yt iYti Ut 1Yt1 2Yt2 Ut i 1
6
用矩阵表示：
xt
121 yt1
122xt1
221yt2
222xt2
u2t
显然，方程组左侧是两个第t期内生变量；右侧分 别是两个1阶和两个2阶滞后应变量做为解释变量，且 各方程最大滞后阶数相同,都是2。这些滞后变量与随 机误差项不相关（假设要求）。
7
由于仅有内生变量的滞后变量出现在等式的 右侧，故不存在同期相关问题，用“LS”法估计 参数，估计量具有一致和有效性。而随机扰动列 向量的自相关问题可由增加作为解释应变量的滞 后阶数来解决。
3
政策分析。但实际中，这种模型的效果并不令人满 意。
联立方程组模型的主要问题：
（1）这种模型是在经济理论指导下建立起来的结构模型 。遗憾的是经济理论并不未明确的给出变量之间的动态关 系。
（2）内生、外生变量的划分问题较为复杂； （3）模型的识别问题，当模型不可识别时,为达到可识别 的目的，常要将不同的工具变量加到各方程中，通常这种 工具变量的解释能力很弱； （4）若变量是非平稳的（通常如此），则会违反假设， 带来更严重的伪回归问题。
第七章自回归模型
●自回归模型的构建 ●自回归模型的估计
第三节 自回归模型的构建
本节基本内容:
●库伊克模型 ●自适应预期模型 ●局部调整模型
一、库伊克模型
无限分布滞后模型中滞后项无限多，而样本观测 总是有限的，因此不可能对其直接进行估计。要 使模型估计能够顺利进行，必须施加一些约束或 假定条件，将模型的结构作某种转化。
库伊克变换的缺陷
1.它假定无限滞后分布呈几何递减滞后结构。 这种假定对某些经济变量可能不适用，如固定资
产投资对总产出影响的滞后结构就不是这种类型。
2.库伊克模型的随机扰动项形如 u* = u - λu t t t-1 说明新模型的随机扰动项存在一阶自相关，且与
解释变量相关。
3.将随机变量作为解释变量引入了模型，不一定符合
三、德宾h-检验
DW检验法不适合于方程含有滞后被解释变量的 场合。在自回归模型中，滞后被解释变量是随机
变量，已有研究表明，如果用DW检验法，则d
统计量值总是趋近于2。也就是说，在一阶自回 归中，当随机扰动项存在自相关时，DW检验却 倾向于得出非自相关的结论。 德宾提出了检验一阶自相关的h统计量检验法。
i=0Yt -1 = α + β0 λi-1 X t -i +ut -1
i=1
∞
（7.9）
对（7.9）式两边同乘 λ并与（7.8）式相减得：
Yt - λYt-1 = (α+ β0 λi X t-i +ut ) - ( λα+ β0 λi X t-i + λut-1 )
（3）给定显著性水平 ，查标准正态分布表 得临界值 h 。若 h > h，则拒绝原假 设ρ = 0 ，说明自回归模型存在一阶自相关； 若
一阶自回归的方差协方差矩阵
一阶自回归的方差协方差矩阵
一阶自回归模型（AR(1)）的方差协方差矩阵可以通过自回归模型的参数估计来计算。
假设AR(1)模型为：
X_t = c + φ*X_{t-1} + ε_t
其中，X_t表示时间t的随机变量，c是常数项，φ是自回归系数，ε_t是时间t的随机误差项。
方差协方差矩阵可以表示为：
Var(X_t) = Var(c + φ*X_{t-1} + ε_t)
= φ^2 * Var(X_{t-1}) + Var(ε_t)
因为AR(1)模型中的随机变量是序列相关的，所以需要计算时间t-1的随机变量X_{t-1}的方差。
根据AR(1)模型，可以得到X_{t-1}的方差为：
Var(X_{t-1}) = Var(c + φ*X_{t-2} + ε_{t-1})
= φ^2 * Var(X_{t-2}) + Var(ε_{t-1})
通过递归计算，可以得到方差协方差矩阵的形式为：
Var(X_t) = φ^2 * Var(X_{t-1}) + Var(ε_t)
= φ^2 * (φ^2 * Var(X_{t-2}) + Var(ε_{t-1})) + Var(ε_t)
= φ^4 * Var(X_{t-2}) + φ^2 * Var(ε_{t-1}) + Var(ε_t)
= …
可以发现，方差协方差矩阵的形式为无穷级数。
一般情况下，我们可以假设时间序列满足平稳性（即方差和自相关系数随时间不变），从而简化方差协方差矩阵的计算。
向量自回归模型
为了叙述方便，下面先考虑的VAR模型都是不含外生 变量的非限制向量自回归模型，用下式表示
yt A1 yt1 Ap yt p εt 或
A(L) yt εt
(1.5)
11
VAR模型的稳定性
现在讨论VAR模型的稳定性。稳定性是指当 把一个脉动冲击施加在VAR模型中某一个方 程的新息（innovation）过程上时，随着时 间的推移，这个冲击会逐渐地消失。如果是 不消失，则系统是不稳定的。
42
可以在对话框内添入相应的信息： (1) 选择模型类型（VAR Type）：
无约束向量自回归（Unrestricted VAR）或者向量误 差修正（Vector Error Correction）。无约束VAR模型是 指VAR模型的简化式。 (2) 在Estimation Sample编辑框中设置样本区间。
9
IPt a11IPt1 a12M1t1 b11IPt2 b12M1t2 C1 1,t
M1t a2,1IPt1 a22M1t1 b21IPt2 b22M1t2 C2 2,t
其中，aij ,bij , ci 是要被估计的参数。也可表示成：
参数的估计量误差较大。
（5）无约束VAR模型的应用之一是预测。由于在VAR模型
中每个方程的右侧都不含有当期变量，这种模型用于样本
外一期预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做
任何预测。
（6）用VAR模型做样本外近期预测非常准确。做样本外长
期预测时，则只能预测出变动的趋势，而对短期波动预测
C(L) C0 C1L C2 L2 C0 Ik
39
自回归模型的参数估计案例
自回归模型的参数估计案例案例一：建立中国长期货币流通量需求模型。
中国改革开放以来，对货币需求量（Y）的影响因素，主要有资金运用中的贷款额（X）以及反映价格变化的居民消费者价格指数（P）。
长期货币流通量模型可设定为Y—B o "iX t +為只+片（1）其中，Y t e为长期货币流通需求量。
由于长期货币流通需求量不可观测，作局部调整:Y t -YL（Y t e-Y.）（2）其中，Y为实际货币流通量。
将（1）式代入（2）得短期货币流通量需求模型：Y 二o Mt 2p （1- ）Y「J表1中列出了1978年到2007年我国货币流通量、贷款额以及居民消费者价格指数的相关数据。
居民消费者价格指数年份货币流通量Y （亿元）贷款额X （亿元）P （1990 年=100）1978212.046.21850.01979267.747.12039.61980346.250.62414.31981396.351.92860.21982439.152.93180.61983529.854.03589.91984792.155.54766.11985987.860.65905.6 19861218.464.67590.819871454.569.39032.519882134.082.310551.3 19892344.097.014360.1 19902644.4100.017680.7 19913177.8103.421337.8 19924336.0110.026322.9 19935864.7126.232943.1 19947288.6156.739976.0 19957885.3183.450544.1 19968802.0198.761156.6 199710177.6204.274914.1 199811204.2202.686524.1 199913455.5199.793734.3200014652.7200.699371.1 200115688.8201.9112314.7 200217278.0200.3131293.9 200319746.0202.7158996.2 200421468.3210.6178197.8 200524031.7214.4194690.4 200627072.6217.7225347.2 200730375.2228.1261690.9对局部调整模型1X t + P2r t(1-「JYx ”运用OLS法估计结果如图1:D E餐n血nt Vanable Y fJethac Least Squares Date Tima 21 12Sample r3C|U3tedj 1979 2007Included otsen'aticns 29 after adj」wtnignt辱Vansble Coefficient Std Errcr t-Statistic ProbC-202 5275 221 964S -O 91Z430 0 3703X0D36T100012565 2842001 C 003SP 7 4557283065733 2.431956 C 022bYM)0 723634 0 132796 5 449199 0 0030^squared 0.9985B2F^ean depencent /ar 9059.631Adjjsted R-squared 0.998412S.D lepsndent ,ar 9007.257S.E of regression358.9392 Akaike irfir ci iltn uri14.73163Sum squand rssid 3220934Schwarz cnterior U 92022Loc likelihcod-209.6086 F-statisti：50E8 997L;urb i r-atscn sta:1724407ProbiF-statistic)U U'JUUJU图1回归估计结果由图1短期货币流通量需求模型的估计式:Y = -202.5+ 0.0357Xt + 7.4557R + 0.7236Y T 由参数估计结果? 0.7236,得? 0.2764o由于= -202.5= 0.0357, 、2 = 7.4557。
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案例一：
建立贵州省长期个人收入量差距模型。贵州省改革开放以来，对个人收入差距量(Y)的影响因素，主要有收入运用中的收入额(X)以及反映价格变化的居民消费者价格指数(P)。
个人收入量模型可设定为
（1）
其中， 为长期个人收入差距量。由于长期个人收入差距量不可观测，作局部调整:
（2）
42964.60
22863.90
2001
46385.40
24370.10
2002
51274.00
26243.20
2003
57408.10
28035.00
2004
64623.10
30306.20
2005
74580.40
33214.40
2006
85623.10
36811.20
取1阶滞后，Eviews操作及输出结果为：在Eviews建立工作文件和录入数据后，格兰杰因果检验步骤为：
228.1
261690.9
对局部调整模型 运用
由回归估计结果的个人收入量差距模型的估计式：
由参数估计结果 ，得 。
由于 ， ， 。将 分别带入上述三个方程，可求得 ， ， 。最后得到长期个人收入差距模型的估计式为：
估计结果表明：
1收入额对贵州省个人收入量的影响，为0.0357，长期为0.1292，即收入额每增加1元，个人收入差距量将增加0.0357元，长期个人收入差距量将增加0.1292元。
15688.8
201.9
112314.7
2002
17278.0
200.3
131293.9
2003
19746.0
202.7
158996.2
2004
21468.3
210.6
178197.8
2005
24031.7
214.4
194690.4
2006
27072.6
217.7
225347.2
2系检验）
根据宏观经济学可知，可支配收入与消费之间可能存在互为因果的关系。表2中列出了1978-2006年贵州省居民实际可支配收入与居民实际消费总支出的相关数据，下面我们检验1978~2006年间实际可支配收入（X）与居民实际消费总支出(Y)之间的因果关系。
表2
年份
实际可支配收入（X）
居民实际消费总支出（Y）
1978
6678.800
3806.700
1979
7551.600
4273.200
1980
7944.200
4605.500
1981
8438.000
5063.900
1982
9235.200
5482.400
1983
10074.60
5983.200
1984
11565.00
6745.700
1985
11601.70
7729.200
1986
13036.50
8210.900
1987
14627.70
8840.000
1988
15794.00
9560.500
1989
15035.50
9085.500
1990
16525.90
9450.900
1991
18939.60
10375.80
1992
22056.50
2居民消费物价指数对贵州省个人收入量的影响，为7.4557，长期为26.97，即价格指数每增加1个百分点，将导致个人收入差距量增加7.4557元，长期个人收入差距量增加26.97元。
注意：尽管D.W.=1.724407，但不能据此判断自回归模型不存在自相关(Why?)。
由LM检验或者B-G检验可用于检验随机误差项的高阶自相关性。
2039.6
1980
346.2
50.6
2414.3
1981
396.3
51.9
2860.2
1982
439.1
52.9
3180.6
1983
529.8
54.0
3589.9
1984
792.1
55.5
4766.1
1985
987.8
60.6
5905.6
1986
1218.4
64.6
7590.8
1987
1454.5
如果直接对下式作OLS回归
可得如图3的估计结果：
图3回归估计结果
在图3中，D.W=0.959975，查自由度n=30，k=3的D.W.检验表可知dl=1.28，du=1.57，容易判断该模型随机误差项存在一阶正自相关。事实上，对于自回归模型，t项的自相关问题始终存在，对于此问题，至今没有完全有效的解决方法。唯一可做的，就是尽可能地建立“正确”的模型，以使序列相关性的程度减轻。因此，上述个人收入量差距模型的估计式 的设定更“正确”。
11815.30
1993
25897.30
13004.70
1994
28783.40
13944.20
1995
31175.40
15467.90
1996
33853.70
17092.50
1997
35956.20
18080.60
1998
38140.90
19364.10
1999
40277.00
20989.30
2000
步骤1：
步骤2
步骤3：
单击OK后有如图1的检验结果：
图1 X与Y的格兰杰因果关系检验结果
其中， 为实际个人收入量。
将（1）式代入（2）得个人收入量差距模型：
表1中列出了1978年到2007年贵州省个人收入量、收入额以及居民消费者价格指数的相关数据。
表1
年份
个人收入量Y（元）
居民消费者价格指数P（1990年=100）
收入额X（元）
1978
212.0
46.2
1850.0
1979
267.7
47.1
LM检验的Eviews步骤：
1、估计方程
2、在Equation窗口中单击“View”→“Residual Test”→“Serial Correlation LM Test”，并选择滞后期为1，屏幕将显示如图2所示的信息。
图2回归结果
在图2中，LM=0.636639，小于显著性水平5%下自由度为1的卡方分布的临界值 ，因此，可以接受随机误差项不存在一阶自相关性的原假设。
156.7
39976.0
1995
7885.3
183.4
50544.1
1996
8802.0
198.7
61156.6
1997
10177.6
204.2
74914.1
1998
11204.2
202.6
86524.1
1999
13455.5
199.7
93734.3
2000
14652.7
200.6
99371.1
2001
69.3
9032.5
1988
2134.0
82.3
10551.3
1989
2344.0
97.0
14360.1
1990
2644.4
100.0
17680.7
1991
3177.8
103.4
21337.8
1992
4336.0
110.0
26322.9
1993
5864.7
126.2
32943.1
1994
7288.6