高二新数学(3)
高二数学复习讲义三
高二数学复习讲义（3） ——《导数及其应用》<知识点>1、导数的背景：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
如一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）2、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0fx '，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数， 记作 ()0limx y f x y x∆→∆'='=∆()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆，导函数也简称为导数。
3、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率()()00f x x f x y xx+∆-∆=∆ ；（3）取极限，得导数()00limx yf x x →∆'=∆ 。
4、导数的几何意义：函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。
特别提醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是0()f x '。
5、导数的运算法则：（1）常数函数的导数为0，即0C '=（C 为常数）； （2）()()1n n x nx n Q -'=∈，与此有关的如下：()112211,x x x x ''-⎛⎫⎛⎫='=-'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）若(),()f x g x 有导数，则①[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；②[()]()C f x Cf x ''= 。
高中数学 第三章第3节几何概型 理 知识精讲人教新课标A版必修3
高二数学 第三章第3节几何概型 理 知识精讲人教新课标A 版必修3一、学习目标：（1）了解几何概型的概念及基本特点 （2）熟练掌握几何概型中概率的计算公式 （3）会进行简单的几何概率计算（4）能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想二、重点、难点：重点：掌握几何概型中概率的计算公式；并能进行简单的几何概率计算。
难点：将实际问题转化为几何概型，并能正确应用几何概型的概率计算公式解决问题。
三、考点分析：本部分内容是新增的内容，对几何概型的要求仅限于体会几何概型的意义，所以在练习时，侧重于一些简单的试题即可。
（1）区别古典概型与几何概型（2）理解随机模拟求几何概型的概率1、几何概型的概念： 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的可以几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则可以理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。
这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型。
2、几何概型的基本特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。
3、几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D的测度的测度。
说明：（1）D 的测度不为0；（2）其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的“测度”分别是长度，面积和体积。
（3）区域为“开区域”；（4）区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关。
4、模拟计算几何概型的步骤： （1）构造图形（作图）；（2）模拟投点，计算落在阴影部分的点的频率m n； （3）利用()m d P A n D ≈=的测度的测度算出相应的量。
高二数学必修三重点知识点归纳
高二数学必修三重点知识点归纳(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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思考题
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第三讲 球面上的基本图形 一 极与赤道
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思考题
二 欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型
阅读与思考 非欧几何简史
引言
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第一讲 从欧氏几何看球面 一 平面与球面的位置关系
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二 直线与球面的位置关系和 球幂定理
思考题
二 球面二角形
3．对顶三角形
4．球极三角形
Hale Waihona Puke 第四讲 球面三角形 一 球面三角形三边之间的关
三 球面三角形的周长
思考题
2．“边角边”(s.a.s.)判定定理
3．“角边角”(a.s.a.
第六讲 球面多边形与欧拉公式 一 球面多边形及
思考题
二 用向量方法证明球面上的余弦定理
1．向量
三 从球面上的正弦定理看球面与平面
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0002页 0055页 0089页 0123页 0135页 0240页 0266页 0283页 0300页 0302页 0314页 0368页 0395页 0397页 0414页 0458页 0460页
引言
二 直线与球面的位置关系和球幂定理
第二讲 球面上的距离和角 一 球面上的距离
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三 球面的对称性 思考题
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第二讲 球面上的距离和角 一 球面上的距离
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二 球面上的角
超几何分布-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第三册)
n
N
C C
P( X = k ) =
C
, k = m , m + 1, m + 2 , , r .
其中n，M，N∈N*，m＝max{0，n-N+M}，r=min{n , M}.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式, 那么称随机
变量X服从超几何分布.
公式中字母的含义: N—总体中的个体总数;
, k = 0 , 1, 2 , 3 .
10
C 30
至少有1件不合格的概率为
P(X ≥1)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)≈0.7192.
也可以按如下方法求解：
0 10
C 3 C 27
0.7192 .
P(X≥1)=1−P(X=0) = 1 10
C 30
探究！服从超几何分布的随机变量的均值是什么?
(2)分别就有放回和不放回摸球, 用样本中黄球的比例估
计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.
分析：因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯
努利试验，摸出20个球，采用有放回摸球，各次实验结果
相互独立，X~B(20，40); 而采用不放回摸球，各次实验结
果不独立，X服从几何分布.
例6 一袋中有100个大小相同的小球, 其中有40个黄球、
k
20
k
20- k
, k = 0, 1, 2, , 20.
对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超
几何分布，X的分布列为 k 20- k
p2 k
C 40C 60
= P( X = k ) =
, k = 0 , 1, 2 , , 20.
20
(新教材人教A版)高二数学选择性必修第三册同步练习 分类变量与列联表 基础练(解析版)
8.3 分类变量与列联表---A基础练一、选择题1．（2021·全国高二课时练习）如表是一个2×2列联表：则表中a,b的值分别为（）A．94,72B．52,50C．52,74D．74,52【答案】C【详解】a=73-21=52,b=a+22=52+22=74.故选：C.2．（2021·江苏高二）为了调查中学生近视情况,某校150名男生中有80名近视,140名女生中有70名近视,在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时,用什么方法最有说服力（）A．平均数B．方差C．回归分析D．独立性检验【答案】D【详解】分析已知条件,得如下表格．的值,再与临界值比较,检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关,根据列联表利用公式可得2故利用独立性检验的方法最有说服力．故选：D．3．（2021·全国高二课时练）对于分类变量X与Y的随机变量x2的值,下列说法正确的是（）A．x2越大,“X与Y有关系”的可信程度越小B．x2越小,“X与Y有关系”的可信程度越小C．x2越接近于0,“X与Y没有关系”的可信程度越小D．x2越大,“X与Y没有关系”的可信程度越大【答案】B【详解】根据独立性检验的基本思想可知,分类变量X与Y的随机变量x2的观测值越大,“X与Y没有关系”的可信程度越小,则“X与Y有关系”的可信程度越大；x2越小,“X与Y有关系”的可信程度越小,“X 与Y没有关系”的可信程度越大,故ACD错误,B正确.故选：B.4．（2021·江苏星海实验中学高二）某班班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如表所示：临界值表：根据表中数据分析,以下说法正确的是（）A．有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系B．有99.5%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系C．有99%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系D．没有充分的证据显示学生的学习积极性对待班级工作的态度有关系【答案】A【详解】2250(181976)11.5410.82825252426χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯, 所以有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．故选：A．5．（多选题）（2021·全国高二课时练习）因防疫的需要,多数大学开学后启用封闭式管理．某大学开学后也启用封闭式管理,该校有在校学生9000人,其中男生4000人,女生5000人,为了解学生在封闭式管理期间对学校的管理和服务的满意度,随机调查了40名男生和50名女生,每位被调查的学生都对学校的管理和服务给出了满意或不满意的评价,经统计得到如下列联表：附表：附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++ 以下说法正确的有（ ）A ．满意度的调查过程采用了分层抽样的抽样方法B ．该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值为0.6C ．有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系D ．没有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系 【答案】AC【详解】因为男女比例为4000︰5000,故A 正确．满意的频率为204020.667903+=≈,所以该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值约为0.667,所以B 错误．由列联表2290(20102040)9 6.63540506030χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯,故有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系,所以C 正确,D 错误．故选：AC.6．（多选题）（2021·全国高二课时练）针对时下的“抖音热”,某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关“作了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢抖音的人数占男生人数的45,女生喜欢抖音的人数占女生人数35,若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关,则调查人数中男生可能有（ ）人 附表：附： 22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++ A ．25 B ．35 C ．45 D ．60【答案】CD【详解】设男生可能有x 人,依题意得女生有x 人,可得22⨯列联表如下：若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关,则2 3.841K >,即224231225555 3.841732155x x x x x x x x x x χ⎛⎫⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭==>⋅⋅⋅,解得40.335x >,由题意知0x >,且x 是5的整数倍,所以45和60都满足题意.故选：CD. 二、填空题7.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人的一年中的感冒记录作比较,提出假设H 0:“这种血清不能起到预防感冒的作用”。
高二必修三数学知识点归纳
高二必修三数学知识点归纳1.高二必修三数学知识点归纳篇一(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件;(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件;(3)确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件;(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件;(5)频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率。
(6)频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的`前提下可以近似地作为这个事件的概率2.高二必修三数学知识点归纳篇二直线方程：1.点斜式：y-y0=k(x-x0)(x0,y0)是直线所通过的已知点的坐标，k是直线的已知斜率。
x是自变量，直线上任意一点的横坐标;y是因变量，直线上任意一点的纵坐标。
2.斜截式：y=kx+b直线的斜截式方程：y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。
此斜截式类似于一次函数的表达式。
3.两点式;(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)如果x1=x2,y1=y2,那么两点就重合了,相当于只有一个已知点了,这样不能确定一条直线。
如果x1=x2,y1y2,那么此直线就是垂直于X轴的一条直线,其方程为x=x1,不能表示成上面的一般式。
如果x1x2,但y1=y2,那么此直线就是垂直于Y轴的一条直线,其方程为y=y1,也不能表示成上面的一般式。
(新教材人教A版)高二数学选择性必修第三册同步练习 分类变量与列联表 提高练(解析版)
8.3 分类变量与列联表 ---B 提高练一、选择题1．（2021·全国高二课时练）在一次独立性检验中,得出列联表如下：且最后发现,两个分类变量A 和B 没有任何关系,则a 的可能值是（ ） A ．200 B ．720 C ．100 D ．180 【答案】B 【详解】由题意知a ab +与c c d+基本相等,由列联表知2001000与180180a +基本相等,2001801000180a=+,解得720a =．故选：B 2．（2021·江苏高二专题练习）为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算得x 2＝7.01,则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为（ ）A ．0.1%B ．1%C ．99%D ．99.9% 【答案】C【详解】易知x 2＝7.01>6.635,对照临界值表知,有99%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关系． 故选：C3．（2021·江苏盐城市高二月考）某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查,随机抽取了200人进行调查统计得下方的22⨯列联表.则根据列联表可知（ ）参考公式：独立性检验统计量22()()()()()n ad bcXa b c d a c b d-=++++,其中n a b c d=+++.下面的临界值表供参考：A．有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系B．没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系C．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系D．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系【答案】A【详解】22200(25152535)4.167 3.8411604050150X⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯,根据临界值知有95%的把握认为经常用流行语与年轻人有关系,故选：A4．（2021·河南信阳市高二月考）某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对流感的预防作用,根据1000名注射了疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人半年的感冒记录作出如下的22⨯的列联表,并提出假设:oH“这种疫苗不能起到预防流感的作用”’则下列说法正确是（）附：22()()()()()n ad bcXa b c d a c b d-=++++．A．这种疫苗能起到预防流感的有效率为99%；B．若某人未使用该疫苗,则他在半年中有超过99%的可能性得流感；C．有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防流感的作用”；D．有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防流感的作用”．【答案】D【详解】222()2000(200740260800)=10.164 6.635 ()()()()100010004601540n ad bcXa b c d a c b d-⨯-⨯=≈> ++++⨯⨯⨯,由临界值表可知,有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防流感的作用”,故选：D5．（多选题）（2021·山东泰安一中高二月考）为了增强学生的身体素质,提高适应自然环境、克服困难的能力,某校在课外活动中新增了一项登山活动,并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,得到如图所示的等高条形统计图,则下列说法中正确的有（）附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++,其中n a b c d=+++.A．被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多B．被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多C．若被调查的男女生均为100人,则有99%的把握认为喜欢登山和性别有关D．无论被调查的男女生人数为多少,都有99%的把握认为喜欢登山和性别有关【答案】AC【详解】因为被调查的男女生人数相同,由等高条形统计图可知,喜欢登山的男生占80%,喜欢登山的女生占30%,所以A 正确,B 错误；设被调查的男女生人数均为n ,则由等高条形统计图可得22⨯列联表如下：由公式可得()2220.80.70.30.2501.10.999n n n n n n n n n n χ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯. 当100n =时,250006.63599χ=>,所以有99%的把握认为喜欢登山和性别有关； 当10n =时,2500 6.63599χ=<,所以没有99%的把握认为喜欢登山和性别有关,显然2χ的值与n 的取值有关,所以C 正确,D 错误.故选：AC.6．（多选题）（2021·全国高二专题练）在一次恶劣气候的飞行航程中,调查男女乘客在机上晕机的情况,如下表所示：则下列说法正确的是（ ）附：参考公式：()()()()()22n ad bc a c b d a b c d χ-=++++ ,其中n a b c d =+++. 独立性检验临界值表A ．11126n n n ++> B ．2 2.706χ<C ．有90%的把握认为,在恶劣气候飞行中,晕机与否跟男女性别有关D ．没有理由认为,在恶劣气候飞行中,晕机与否跟男女性别有关 【答案】ABD【详解】由列联表数据,知1112211122211261528156284646n n n n n n n n n n +++++++=⎧⎪+=⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪+=⎪⎩,得11221121213182719n n n n n +++=⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩ ∴11121246627919n n n ++==>=,即A 正确∴2246(1213615)0.77518281927χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯< 2.706,即B 正确且没有理由认为,在恶劣气候飞行中,晕机与否跟男女性别有关；即D 正确,故选：ABD 二、填空题7．（2021·河南濮阳市高二期末）下表是不完整的22⨯列联表,其中3a c =,2b d =,则a =______.【答案】15【详解】由题意得5512055a b c d +=⎧⎨+=-⎩,又3a c =,2b d =,所以255365a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得15a =. 8. （2021·山东高二专题练习）为了判断某高中学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取50名学生,得到如下2×2列联表：已知P (x 2≥3.841)≈0.05,P (x 2≥6.635)≈0.01.根据表中数据,得到x 2＝250(1320107)23272030⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈4.844,则认为选修文科与性别有关系出错的概率约为________． 【答案】0.05【详解】因为x 2≈4.844>3.841,而P (x 2≥3.841)≈0.05,故认为选修文科与性别有关系出错的概率约为0.05. 9．（2021·江苏高二专题练习）某卫生机构对366人进行健康体检,有阳性家族史者糖尿病发病的有16例,不发病的有93例,有阴性家族史者糖尿病发病的有17例,不发病的有240例,认为糖尿病患者与遗传有关系的概率约为________．参考数据：P (x 2≥3.841)≈0.05,P (x 2≥6.635)≈0.01. 【答案】95%【详解】列出2×2列联表：所以随机变量x 2的值为x 2＝2366(162401793)10925733333⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈6.067>3.841,而P (x 2≥3.841)≈0.05, 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下,即有95%的把握认为糖尿病患者与遗传有关． 10．（2021·河南郑州市高二）假设有两个分类变量X 和Y ,它们的可能取值分别为{}12,x x 和{}12,y y ,其22⨯列联表如表,对于以下数据,对同一样本能说明X 和Y 有关系的可能性最大的一组为______. ①9,8,7,6a b c d ==== ②9,7,6,8a b c d ====③8,6,9,7a b c d ==== ④6,7,8,9a b c d ====【答案】② 【详解】对于选项A,69872ad bc -=⨯-⨯=；对于选项B,896730ad bc -=⨯-⨯=；对于选项C,87692ad bc -=⨯-⨯=；对于选项D,69872ad bc -=⨯-⨯=；由ad bc-越大,说明X 和Y 有关系的可能性越大.三、解答题11.（2020·江苏南京市高三期中）在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用,把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较,结果如下表所示．（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人,以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X ,试写出X 的分布列；（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由． 附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A ,类B ）和Ⅱ（有两类取值：类1,类2）统计数据的一个2×2列联表：有22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,其中n a b c d =+++. 临界值表（部分）为【详解】（1）因为使用血清的人中感冒的人数为3,未使用血清的人中感冒的人数为6,一共9人,从这9人中选4人,其中使用血清的人数为X ,则随机变量X 的可能值为0,1,2,3．因为0436495(0)42C CP X C ===,13364910(1)21C C P X C ===, 2236495(2)14C C P X C ===,3136491(3)21C C P X C ===, 所以随机变量X 的分布列为（2）将题中所给的2×2列联表进行整理,得提出假设0H ：是否使用该种血清与感冒没有关系.根据2χ公式,求得2240(176314) 1.29032020319χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为当0H 成立时,“20.708χ≥”的概率约为0.40,“21.323χ≥”的概率约为0.25,所以有60%的把握认为：是否使用该种血清与感冒有关系,即“使用该种血清能预防感冒”,得到这个结论的把握不到75%． 由于得到这个结论的把握低于90%,因此,我的结论是：没有充分的证据显示使用该种血清能预防感冒,也不能说使用该种血清不能预防感冒.12．（2021·江苏南通高二月考）学生视力不良问题突出,是教育部发布的我国首份《中国义务教育质量监测报告》中指出的众多现状之一.习近平总书记作出重要指示,要求全社会都要行动起来,共同呵护好孩子的眼睛,让他们拥有一个光明的未来.为了落实总书记指示,掌握基层情况,某单位调查了某校学生的视力情况,随机抽取了该校100名学生(男生50人,女生50人),统计了他们的视力情况,结果如下：（1）是否有90%的把握认为近视与性别有关？ 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,其中n a b c d =+++.（2）如果用这100名学生中男生和女生近视的频率分别代替该校男生和女生近视的概率,且每名学生是否近视相互独立.现从该校学生中随机抽取4人(2男2女),设随机变量X 表示4人中近视的人数,试求X 的分布列及数学期望()E X . 【详解】（1）根据22⨯列联表中的数据可得22100(25302520)100 1.01 2.7065050455599χ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯=,根据临界值表可知,没有90%的把握认为近视与性别有关； （2）由题意可知男生近视的概率为12,女生近视的概率为35,X 的可能取值为0,1,2,3,4,则 220022121(0)2525P X C C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 22210021222121231(1)252555P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,22222200211222222121312337(2)2525255100P X C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,22221122222123133(3)2552510P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,222222139(4)25100P X C C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以X 的分布列如下：于是X 的数学期望为11373911()01234255100101005E X =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=. 35。
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普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—1[人教版]高中学生学科素质训练新课标高二数学同步测试（3）—（2－1第二章2.4－2.5）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．x =231y -表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分2．设双曲线2222by a x -=1（0＜a ＜b ＝的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点.已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．332 3．中心在原点，焦点坐标为(0, ±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 （ ）A ．2522x +7522y =1B ．7522x +2522y =1 C ．252x +752y =1D ．752x +252x =14．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若｜ＡＢ｜＝４，则这样的直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．过椭圆22a x +22by =1（0<b<a ）中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是（ ）A ．abB ．acC ．bcD ．b 26．椭圆122222=+a y a x 与连结A (1，2)，B (2，3)的线段没有公共点，则正数a 的取值范围是（ ）A ．(0,6)∪ (17,∞)B ．(17,∞)C ．[6，17]D ．（6，17）7．以椭圆的右焦点F ２为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M 、N ，椭圆的左焦点为F １，且直线ＭＦ１与此圆相切，则椭圆的离心率ｅ为 （ ）A ．22B ．23 C ．２－3 D ．3－１8．已知F 1, F 2是双曲线的两个焦点, Q 是双曲线上任意一点, 从某一焦点引∠F 1QF 2平分线的垂线, 垂足为P, 则点P 的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 9．已知抛物线y =2x 2上两点A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)关于直线y =x +m 对称, 且x 1x 2=－21, 那么m 的值等于（ ）A ．25B ．23C ．2D ．310．对于抛物线C: y 2=4x , 我们称满足y 02<4x 0的点M(x 0, y 0)在抛物线的内部, 若点M(x 0, y 0)在抛物线的内部, 则直线l : y 0y =2(x + x 0)与C （ ） A ．恰有一个公共点 B ．恰有二个公共点 C ．有一个公共点也可能有二个公共点 D ．没有公共点 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．椭圆x 2＋4y 2＝4长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是 ．12．设P 为双曲线-42x y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 ．13．定长为l (l >ab 22)的线段AB 的端点在双曲线b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2的右支上, 则AB 中点M 的横坐标的最小值为14．如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是_____________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）． 15．（12分）已知抛物线y 2=8x 上两个动点A 、B 及一个定点M （x 0, y 0），F 是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于一点N ． （1）求点N 的坐标（用x 0表示）；（2）过点N 与MN 垂直的直线交抛物线于P 、Q 两点，若|MN|=42，求△MPQ 的面积．16．（12分）已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.17．（12分）已知抛物线x y =2的弦AB 与直线y =1有公共点，且弦AB 的中点N 到y 轴的距离为1，求弦AB 长度的最大值，并求此直线AB 所在的直线的方程．18．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．（1）求这三条曲线的方程；（2）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由．19．（14分）设F 1、F 2分别为椭圆C ：22228by a x + =1（a ＞b ＞0）的左、右两个焦点.（1）若椭圆C 上的点A （1，23）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.试对双曲线12222=-by a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明．20．（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与(3,1)a =-共线． （1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB R λμλμ=+∈，证明22μλ+为定值．参考答案一、1．D ；解析：x =231y -化为x 2＋3y 2＝1（x ＞0）．2．A ；解析：由已知，直线l 的方程为ay +bx －ab =0，原点到直线l 的距离为43c ，则有c b a ab 4322=+，又c 2=a 2+b 2，∴4ab =3c 2，两边平方，得16a 2（c 2－a 2）=3c 4，两边同除以a 4，并整理，得3e 4－16e 2+16=0，∴e 2=4或e 2=34.而0＜a ＜b ，得e 2=222221ab a b a +=+＞2，∴e 2=4.故e =2．评述：本题考查点到直线的距离，双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大，特别是求出e 后还须根据b ＞a 进行检验.3．C ；4．C ；5．C ；6．A ；7．D ；8．B ；9．B ；10．D 二、11．2516；解析：原方程可化为42x ＋y 2＝1，a 2＝4，b 2＝1，∴a ＝2，b ＝1，c ＝3．当等腰直角三角形，设交点（x ，y ）（y ＞0）可得2－x ＝y ，代入曲线方程得：y ＝54∴S ＝21³2y 2＝2516． 12．x 2－4y 2＝1；解析：设P （x 0，y 0）∴M （x ，y ），∴2,200y y x x ==∴2x ＝x 0，2y ＝y 0 ∴442x －4y 2＝1⇒x 2－4y 2＝1．13．222)2(ba a l a ++；14．13,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；三、15．（1）设A(x 1, y 1)、B(x 2、y 2)，由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得x 1+x 2=2x 0． 得线段AB 垂直平分线方程：),(20212121x x y y x x y y y ----=+-令y =0，得x =x 0+4, 所以N(x 0+4, 0)．（2）由M(x 0, y 0) , N(x 0+4, 0), |MN|=42, 得x 0=2．由抛物线的对称性，可设M 在第一象限，所以M(2, 4), N(6,0)．直线PQ: y =x －6, 由),4,2(),12,18(.8,62-⎩⎨⎧=-=Q P x y x y 得得△MPQ 的面积是64．16．解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-b y a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d ．故所求双曲线方程为 .1322=-y x（2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k . 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则 .11,315531152002002210kx y k k kx y k k x x x BE-=+=-=+=⋅-=+= ,000=++∴k ky x即7,0,03153115222=∴≠=+-+-k k k kk k k 又 故所求k=±7.说明：为了求出k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构k 的方程. 17．解：设),(11y x A 、),(22y x B ，中点),1(0y N当AB 直线的倾斜角90°时，AB 直线方程是.2||,1==AB x （2分）当AB 直线的倾斜角不为90°时，222211,y x y x ==相减得))((212121y y y y x x -+=- 所以ky k y AB 211200==即（4分） 设AB 直线方程为：)1(21)1(0-=--=-x k ky x k y y 即，由于弦AB 与直线y =1有公共点，故当y =1时，21021112112≥∴≥-≥+-k k k k k 即0121)1(21222=-+-⎪⎩⎪⎨⎧=-=-kk y y y x x k k y 故 所以121122121-==+ky y ky y ， 故)14)(11(]4))[(11(||11||22212212212k k y y y y k y y k AB -+=-++=-+= 014,011],41,0(1,21222≥->+∴∈∴≥kk k k 25)21411()14)(11(||22222=-++≤-+=∴k kkk AB 故当25||,361411max 22==-=+AB k k k 时即 18．解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =，24y x ∴= 抛物线方程为: ；由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1； 对于椭圆，1222a MF MF =+=+(222222211321a ab ac ∴=+∴=+=+∴=-=+∴+= 椭圆方程为：对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：（2）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C()1112312322DC AP x CH a x a ∴=+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为：19．解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a =4，即a =2.又点A （1，23）在椭圆上，因此222)23(21b +=1得b 2=3，于是c 2=1.所以椭圆C 的方程为3422y x +=1，焦点F 1（－1，0），F 2（1，0）. （2）设椭圆C 上的动点为K （x 1，y 1），线段F 1K 的中点Q （x ，y ）满足：2,2111yy x x =+-=， 即x 1=2x +1，y 1=2y . 因此3)2(4)12(22y x ++=1.即134)21(22=++y x 为所求的轨迹方程.（3）类似的性质为：若M 、N 是双曲线：2222by a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中2222bn a m -=1.又设点P 的坐标为（x ，y ），由mx ny k m x n y k PN PM++=--=,， 得k PM ²k PN =2222m x n y m x n y m x n y --=++⋅--，将22222222,a b n b x a b y =-=m 2－b 2代入得k PM ²k PN =22ab .评述：本题考查椭圆的基本知识，求动点轨迹的常用方法.第（3）问对考生的逻辑思维能力、分析和解决问题的能力及运算能力都有较高的要求，根据提供的信息，让考生通过类比自己找到所证问题，这是高考数学命题的方向，应引起注意20．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知训，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.（1）解：设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a b y a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令),,(),,(2211y x B y x A 则 .,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ ),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e a b a c b a c ba c a cx x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又（2）证明：由（I ）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x OM μλ+==由已知得设⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ ))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c ba b a c a x x --++=+∴=+-=∴ .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ故22μλ+为定值，定值为1.。