高二数学12月联考试题文
高二数学12月考试题 文含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校灌南华侨高级二零二零—二零二壹第一学期12月份月考高二数学文科试卷一．填空题“，〞的否认是______．【答案】，【解析】【分析】〞即可得结果.“，：，故答案为，．的准线方程是______．【答案】【解析】【分析】由求得，利用抛物线的性质即可求得答案．【详解】抛物线的方程为，，，其准线方程为．故答案为．【点睛】此题主要考察抛物线的方程与性质，意在考察对根底知识的掌握与理解应用，属于简单题．+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2}，那么a-b=_______.【答案】0【解析】【分析】由条件利用一元二次方程根与系数的关系求得a、b的值．【详解】由于不等式ax2+bx+12＜0的解集为{x|-3<x<2}，，解得．即答案为0.【点睛】此题主要考察三个二次之间的关系，属于中档题．4.执行如以下图的程序框图，假设输入，那么输出的值是______________.【答案】2.【解析】【分析】首先分析程序框图，循环体为“直到型〞循环构造，按照循环构造进展运算，可求出满足题意时的.【详解】根据题意，循环体为“直到型〞循环构造，输入，第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：，完毕循环，输出，故答案为2.【点睛】此题主要考察程序框图的循环构造流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支构造还是循环构造；(3)注意区分当型循环构造和直到型循环构造；(4)处理循环构造的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,〔6〕在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到到达输出条件即可.5.某校高中一共有720人，其中理科生480人，文科生240人，现采用分层抽样的方法从中抽取90名学生参加调研，那么抽取理科生的人数__________．【答案】60【解析】由题意结合分层抽样的概念可得：抽取理科生的人数为.名学生参加数学调研测试成绩〔总分值是120分〕分布直方图如图．分数在100～110的学生有21人，那么=_______________.【答案】60【解析】【分析】由测试成绩〔总分值是分〕分布直方图求出分数在的频率，再由分数在的学生有人，即可求出答案【详解】由测试成绩〔总分值是分〕分布直方图可得：分数在的频率为分数在的学生有人，那么故答案为【点睛】此题主要考察了频率分布直方图，先求出满足题意得频率，注意在计算时乘以组距，然后求解，属于根底题。
湖北省十堰市六县市区一中教联体2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题含解析
2023-2024学年度十堰市六县市区教联体12月联考高二数学试卷（答案在最后）一､单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.直线20x ++=的倾斜角是（）A.30B.60C.120D.150【答案】D 【解析】【分析】由直线方程求出直线斜率，由斜率求出直线倾斜角即可.【详解】设直线的倾斜角为α，由20x ++=可得33y x =--，即直线的斜率为3tan 3k α==-，由0180α︒≤<︒知，150α=︒，故选：D2.已知向量()0,2,1a = ，()1,1,b m =- ，若a ，b分别是平面α，β的法向量，且αβ⊥，则m =（）A.1-B.1C.2- D.2【答案】C 【解析】【分析】转化为0a b ⋅=，利用空间向量数量积的坐标运算，即得解【详解】由题可知，a b ⊥，则20a b m ⋅=+= ，即2m =-.故选：C3.已知两条直线l 1：x +m 2y +6＝0，l 2：(m －2)x +3my +2m ＝0，若l 1与l 2平行，则m ＝（）A.－1或3B.－1或0或3C.0D.－1或0【答案】D 【解析】【分析】解方程213(2)0m m m ⨯-⨯-=，再检验即得解.【详解】因为l 1与l 2平行，所以213(2)0m m m ⨯-⨯-=，2(23=0m m m ∴--）,所以(3)(1)=0m m m -+0m ∴=或1m =-或3m =当3m =时，两直线重合为x +9y +6＝0，与已知不符，所以舍去，当0m =或1-时，符合题意.故选：D4.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（）A.53B.103C.56 D.116【答案】A 【解析】【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，依题意可得，15535()51002a a S a +===，33451220,7()a a a a a a ∴=++=+，6037(403)d d ∴+=-，解得556d =，1355522033a a d ∴=-=-=.故选:A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.5.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，N 为11A C 与11B D 的交点，M 为1DD 的中点，若AB a=，AD b = ，1AA c =，则MN = （）A.111222a b c ++B.111222a b c -+C.111222a b c +- D.111222a b c-- 【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.【详解】因为N 为11A C 与i 1B D 的交点，所以11111111111222222D N D A D C AD AB b a =+=-+=-+，故111111111112222222MN D N D M D N D b a c a b c D ⎛⎫=-=-=-+--=-+ ⎪⎝⎭.故选：B.6.已知木盒中有围棋棋子15枚（形状大小完全相同，其中黑色10枚，白色5枚），小明有放回地从盒中取两次，每次取出1枚棋子，则这两枚棋子恰好不同色的概率是（）A.49B.59C.29D.23【答案】A 【解析】【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.【详解】从盒中随机取出1枚棋子，“是黑棋子”记为事件A ，“是白棋子”记为事件B ，则()23P A =，()13P B =，两枚棋子恰好不同色包含：第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子，这两个事件是互斥事件．第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子相互独立，概率为()()()29P AB P A P B =⋅=；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子也相互独立，概率为()()()29P BA P B P A =⋅=．所以这两枚棋子恰好不同色的概率是()()49P AB P BA +=．故选：A ．7.已知抛物线216y x =的焦点为F ，P 点在抛物线上，Q 点在圆()()22:624C x y -+-=上，则PQ PF +的最小值为（）A.4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离.【详解】如图，过点P 向准线作垂线，垂足为A ，则PF PA =，当CP 垂直于抛物线的准线时，CP PA +最小，此时线段CP 与圆C 的交点为Q ，因为准线方程为4x =-，()6,2C ，半径为2，所以PQ PF +的最小值为21028AQ CA =-=-=.故选：C8.若直线y x b =+与曲线y =有两个公共点，则实数b 的取值范围为()A.[-B.[-C.(0,D.[2,【答案】D 【解析】【分析】由题可知，曲线表示一个半圆，结合半圆的图像和一次函数图像即可求出b 的取值范围.【详解】画家曲线y =得224(0)x y y +=≥，画出图像如图：当直线1l 与半圆O 相切时，直线与半圆O 有一个公共点，此时，2d ==，所以b =±，由图可知，此时0b >，所以b =.当直线2l 如图过点A 、B 时，直线与半圆O 刚好有两个公共点，此时2b y x =-=.由图可知，当直线介于1l 与2l 之间时，直线与曲线有两个公共点，所以2b ≤<故选：D.二､多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）9.已知向量()(),1,2,1a m b =-=-，则下列说法正确的是（）A.若1m =，则a b -=B .若a⊥b，则2m =C.“12m >-”是“a 与b的夹角为钝角”的充要条件D.若1m =-，则b在a上的投影向量的坐标为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，求出()3,2a b -=- ，利用模长公式求出答案；B 选项，根据垂直得到方程，求出12m =-；C 选项，根据夹角为钝角得到不等式，求出m 的取值范围，作出判断；D 选项，根据投影向量公式求出答案.【详解】A 选项，1m =时，()()()1,12,13,2a b -=---=-，故a b -== ，A 正确；B 选项，a ⊥b ，故()(),12,1210a b m m ⋅=-⋅-=--= ，解得12m =-，B 错误；C 选项，a 与b的夹角为钝角，则要满足210121a b m m ⎧⋅=--<⎪⎨-≠⎪-⎩，解得12m >-且2m ≠，C 错误；D 选项，1m =-时，则b在a上的投影向量为()1111,1,222b a a a a-⋅----⋅⎛⎫⋅=--=-- ⎪⎝⎭，D 正确.故选：AD10.下列叙述正确的是（）A.互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件B.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件C.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为56D.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率为710【答案】ACD 【解析】【分析】由互斥和对立事件的概念可判断A ，B ；根据概率的基本性质可判断C ，D .【详解】对于A 选项：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，它可以同时不发生，对立事件是必有一个发生的互斥事件，A 正确；对于B 选项：由给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的两个球这一基本事件，即它们不互斥，B 错误；对于C 选项：甲不输的事件是下成和棋的事件与甲获胜的事件和，它们互斥，则甲不输的概率为115236+=，C 正确；对于D 选项：5件产品中任取两件有10个基本事件，它们等可能，其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰两件一等品”，有3个基本事件，从而所求概率为3711010-=，D 正确．故选：ACD ．11.已知动点P 在左、右焦点分别为1F 、2F 的双曲线C 22:13y x -=上，下列结论正确的是（）A.双曲线C 的离心率为2B.当P 在双曲线左支时，122PF PF 的最大值为14C.点P 到两渐近线距离之积为定值D.双曲线C的渐近线方程为3y x =±【答案】AC 【解析】【分析】先利用双曲线方程得到对应的,,a b c ，直接求得离心率和渐近线方程，判断AD 的正误，设00(,)P x y ，知220033x y -=，结合点到直线的距离公式直接计算点P 到两渐近线距离之积得到定值判断C 正确；利用双曲线定义将122PF PF 转化成关于1PF 的关系式，再利用基本不等式即求得最值，判断选项B 的正误.【详解】在双曲线C 22:13y x -=中，实半轴长1a =，虚半轴长b =，半焦距2c =.对于AD ，双曲线的离心率2ce a==，渐近线方程为y =，故A 正确，D 错误；对于B ，当P 在双曲线的左支上时，12111,22PF c a PF a PF PF ≥-==+=+，故()11122221111111484424PF PF PF PF PF PF PFPF PF ===≤+++++，当且仅当114PF PF =时，即12=PF 时等号成立，故122PF PF 的最大值为18，故B 错误；对于C ，设00(,)P x y ，则220013y x -=，即220033x y -=0y +=0y -=，故00(,)P x y 到渐近线的距离之积为22003344x y -==为定值，故C 正确.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于突破选项B ，其关键点在于利用双曲线定义将比值转化到一个变量的关系式上，利用基本不等式突破最值.12.已知椭圆22:142x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，直线():0l y kx k =≠与椭圆C 交于M ，N两点，点()4T ，则（）A.1114MF NF +的最小值为9B.四边形12MF NF 的周长为8C.直线BM ，BN 的斜率之积为12-D.若点P 为椭圆C 上的一个动点，则1PT PF -的最小值为4-【答案】BCD 【解析】【分析】先根据椭圆定义得到椭圆,,a b c ，再由均值不等式进行不等式判断，同时应用椭圆定义求解四边形的周长和1PT PF -最小值求解，最后应用对称点特点求解斜率之积即可.【详解】由题意知对于椭圆22:142x y C +=，2a =，b =，c ==如图所示，，对于A ，():0l y kx k =≠与椭圆C 交于M ，N 两点，所以,M N 关于原点对称，而12,F F 也关于原点对称，所以12NF MF =，1224MF MF a +==，所以()1211121214141144MF MF MF NF MF MF MF MF ⎛⎫+=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭2112411955444MF MF MF MF ⎛⎛⎫ =+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝≥，当且仅当21124MF MF MF MF =即143MF =，283MF =时等号成立，A 错误；对于B ，1224MF MF a +==，1224NF NF a +==，故四边形12MF NF 的周长为121248MF MF NF NF a +++==，B 正确；对于C ，设()11,M x y ，则()11,N x y --，而(B ，故21112111222BM BNy y y k k x x x ---⋅==-，又因为()11,M x y 在椭圆22:142x y C +=上，即2211142x y +=，化简可得2211122y x -=-，所以2121212BM BN y k k x -⋅==-，C 正确；对于D ，由于点P 为椭圆C 上的一个动点，所以1224PF PF a +==，所以124PF PF =-，所以12244PT PF PT PF TF -=+--≥，当且仅当2,,T P F 三点共线且P 在2,T F 之间时等号成立，又因为)2F ，所以2TF ==，所以1PTPF -的最小值为4-，D 正确，故选：BCD【点睛】关键点睛：圆锥曲线的解决很多时候关键在于善于应用圆锥曲线的定义，借助定义解决不等式或者焦点三角形的相关问题会更加直接和简洁.三､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.求经过()2,2且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．【答案】y x =或4x y +=【解析】【分析】注意直线过原点的情况，直线不过原点时用截距式结合题意列方程即可求解【详解】当直线过原点时，方程为y x =，当直线不过原点时，设直线方程为1x ya a+=，则有221a a+=，解得4a =，故直线方程为144x y+=，即4x y +=，综上所述，所求直线方程为y x =或4x y +=．故答案为：y x =或4x y +=．14.记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35a S =，145a a a =，则n a =________.【答案】3n -##3n -+【解析】【分析】利用1,a d 表示出已知的等量关系，解方程组求得1,a d 后，利用等差数列通项公式求解即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由35145a S a a a =⎧⎨=⎩得：()111115425234a d a d a a d a d⨯⎧+=+⎪⎨⎪+=+⎩，解得：121a d =⎧⎨=-⎩，()213n a n n ∴=--=-.故答案为：3n -.15.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12,1,120AA AB AC BAC ∠====，点E F ､分别是棱1AB CC ､的中点，一只蚂蚁从点E 出发，绕过三棱柱111ABC A B C -的一条棱爬到点F 处，则这只蚂蚁爬行的最短路程是__________．【答案】2【解析】【分析】要使爬行的最短路程，只要将底面ABC 和侧面11BCC B 展在同一个平面，连接EF ，求出EF 的长度即可.【详解】若将底面ABC 沿AC 展开使其与侧面11ACC A 在同一个平面，连接EF ，因为120BAC ∠= ，所以EF 与棱不相交，所以不合题意，若将底面ABC 沿BC 展开和侧面11BCC B 展在同一个平面，连接EF ，则EF 与棱BC 相交，符合题意，此时EF 为这只蚂蚁爬行的最短路线，如图所示，过E 作1BB 的平行线，过F 作11B C 的平行线，交于点G ，EG 交BC 于H ，因为12,1,120AA AB AC BAC ∠====，点E F ､分别是棱1AB CC ､的中点，所以1,12BE CF HG ===，30ABC ∠=︒，BC ==，所以13,44EH BH ==，所以33315,14444FG EG ===+=,所以2EF ====，故答案为：216.已知1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=的左､右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=有公共点，则双曲线的离心率的最大值是___________.【答案】53【解析】【分析】结合平面几何性质得到12a c F M +=，进而结合勾股定理求得2222a c OM c +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据直线1PF 与圆222x y a +=有公共点得到22OMa ≤，从而得到,a c 的齐次式，进而解不等式即可求出结果.【详解】过点O 作1OM PF ⊥于M ，过点2F 作21F N PF ⊥于N ，因为212PF F F =，所以1PN F N =，又因为21OF FO =，所以1MN F M =，故1114F M F P =，又因为122PF PF a -=，且2122PF F F c ==，所以122PF a c =+，因此12a c F M +=，所以2222a c OM c +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又因为直线1PF 与圆222x y a +=有公共点，所以22OM a ≤，故2222a c c a +⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，即223250c ac a --≤，则23250e e --≤，所以513e -≤≤，又因为双曲线的离心率1e >，所以513e <≤，故离心率的最大值为53，故答案为：53.四､解答题17.在等差数列{}n a 中，已知12318a a a ++=且45654a a a =++．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设14n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）42n a n =-（2）21n nS n =+【解析】【分析】（1）由等差数列基本量的计算即可求解；（2）由裂项相消求和法即可求解.【小问1详解】解：由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则13318a d +=,131254a d +=，解得12a =,4d =∴24(1)42n a n n =+-=-,*n ∈N ；【小问2详解】解：()()()()14411114242212122121n n n b a a n n n n n n +⎛⎫====- ⎪⋅-+-+-+⎝⎭，111111111111233557212122121n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ .18.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，BC =M 为BC 的中点．（1）求证：PB AM ⊥；（2）求平面PAM 与平面PDC 所成的角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）147．【解析】【分析】（1）以点D 为原点，依次以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出0PB AM ⋅=，利用数量积即可证明.（2）求出两平面PAM 与平面PDC 的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦．【详解】解：（1）依题意，棱DA ，DC ，DP 两两互相垂直.以点D 为原点，依次以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，如图，建立空间直角坐标系.则2,1,0)B ，(0,0,1)P ，(2,0,0)A ，2,1,02M ⎛⎫⎪⎪⎝⎭.可得2,1,1)PB =- ，2,1,02AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ .所以221002PB AM ⎛⎫⋅=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以PB AM⊥（2）由（1）得到(2,0,0)A ，2,1,02M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因此可得2,1,02AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(2,0,1)AP =- .设平面PAM 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则由110,0,n AM n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得20,220,x y x z ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩令22z =，解得12,22)n =.同理，可求平面PDC 的一个法向量2(1,0,0)n =.所以，平面PAM 与平面PDC 所成的锐二面角θ满足：1212cos7n nn nθ⋅===.即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为7.19.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，为做好本次亚运会的服务工作，从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的100名学生进行综合素质考核，根据学生考核成绩分为,,,A B C D四个等级，最终的考核情况如下表：等级A B C D人数10404010（1）将频率视为概率，从报名的100名学生中随机抽取1名，求其成绩等级为C或D的概率；（2）已知,A B等级视为成绩合格，从成绩合格的学生中，根据考核情况利用比例分配的分层随机抽样法抽取5名学生，再从这5名学生中选取2人进行座谈会，求这2人中有A等级的概率．【答案】（1）12（2）25【解析】【分析】（1）根据等可能事件概率计算公式求解即可；（2）取的5名学生中成绩为,A B等级的人数分别为1，4，从这5名学生中选取2人，列举出所有结果，根据古典概型概率计算公式计算即可.【小问1详解】由题知，任意抽取1人，抽到的学生成绩等级为C或D的概率为401011002+=．【小问2详解】由题知，抽取的5名学生中成绩为,A B等级的人数分别为1，4，记这5人分别为1234,,,,A B B B B，从中抽取2人的样本空间为()()()()()({)()()()()} 1234121314232434,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B B B B B B B B B B B B B，共10个样本点，其中有A等级的样本点有()()()()2341,,,,,,,A B A B A B A B，共4个，所以这2人中有A等级的概率为42105=．20.在直角坐标系xOy中，直线:40l x --=交x 轴于M ，以O 为圆心的圆与直线l 相切.（1）求圆O 的方程；（2）是否存在定点S ，对于经过点S 的直线L ，当L 与圆O 交于A ，B 时，恒有AMO BMO ∠=∠？若存在，求点S 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）224x y +=；（2）存在，(1,0)S .【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切及点线距离公式求圆O 的半径，写出圆的方程即可.（2）讨论直线AB 斜率存在或不存在两种情况，斜率存在时设:AB y kx m =+且11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立圆的方程并应用韦达定理求12x x +、12x x 、12y y +，由题设易知0AM BM k k +=即可求,m k 的关系，进而可判断AB 是否过定点.【详解】（1）若圆O 的半径为r，则2r ==，∴圆O 的方程为224x y +=.（2）由AMO BMO ∠=∠，由（1）知：(4,0)M 且直线l 与圆O的切点坐标为(1,C ，如下图：若直线AB 斜率存在时，设:AB y kx m =+且11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线AB 与圆O ，整理可得：22(1)k x ++2kmx +240m -=，且22222244(1)(4)440k m k m k m ∆=-+-=-+>∴12221km x x k +=-+，212241m x x k-=+，则121222()21m y y k x x m k +=++=+，又1212044AM BM y y k k x x +=+=--，11y kx m =+，22y kx m =+，∴1212122()4()0kx x m x x y y ++-+=，可得m k =-符合题设，∴直线:(1)AB y k x =-过(1,0).若直线AB 斜率不存在时，易知当直线AB 为1x =时也过定点(1,0)；综上，直线L 必过定点(1,0)S .21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，12AD BC ==，PC =，//AD BC ，AB AC =，150BAD ∠= ，30PDA ∠=o ．（1）证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）在线段PD 上是否存在一点F ，使直线CF 与平面PBC 所成角的正弦值等于14？【答案】（1）证明见解析（2）存在【解析】【分析】（1）证明PA ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）证明出AD CD ⊥，以点A 为坐标原点，DC 、AD 、AP的方向分别为x 、y 、z 轴的方向建立空间直角坐标系，设PF PD λ=，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的方程，结合λ的取值范围可求得λ的值，即可得出结论.【小问1详解】证明：在Rt PAD △中，AD =，30PDA ∠=o ，tan 1PA AD PDA ∴=∠=，//AD BC ，150BAD ∠= ，所以30ABC ∠= ，又AB AC =，30ACB ∴∠= ，120BAC ∠= ，在ABC 中，由正弦定理得sin120sin 30BC AC = ，sin 302sin120BC AC ∴==，PC = ，所以，222PA AC PC +=，PA AC ∴⊥，PA AD ⊥ ，AC AD A = ，PA ∴⊥平面ABCD ，PA ⊂ 平面PAD ，所以，平面PAB ⊥平面ABCD .【小问2详解】解：因为AD =，2AC =，30CAD BAD BAC ∠=∠-∠= ，在ACD中，由余弦定理可得1CD ==，222AD CD AC ∴+=，则AD CD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，DC 、AD 、AP的方向分别为x 、y 、z 轴的方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,B、()C、()D 、()0,0,1P ，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，()0,BC =，()BP =- ，则00n BC n BP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取1x =可得()1,0,1n = ，设(),PF PD λλ==-，其中01λ≤≤，则()()()1,,CF CP PF λλ=+=-+-=--，由已知可得1cos ,4n CF n CF n CF⋅<>==⋅，整理可得24850λλ+-=，因为01λ≤≤，解得12λ=，因此，当点F 为线段PD 的中点时，直线CF 与平面PBC 所成角的正弦值等于14.22.已知C 为圆()22112x y ++=的圆心，P 是圆C 上的动点，点()1,0M ，若线段MP 的中垂线与CP 相交于Q 点．（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹N 的方程；（2）过点()1,0的直线l 与点Q 的轨迹N 分别相交于A ，B 两点，且与圆O ：222x y +=相交于E ，F 两点，求2AB EF ⋅的取值范围．【答案】（1）22132x y +=；（2）3⎡⎢⎣．【解析】【分析】（1）由线段MP的垂直平分线，得到QC QM +=，结合椭圆的定义，即可求解；（2）①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，分别求得2AB EF ⋅；②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，联立方程组，结合弦长公式，求得AB 和2EF ，进而求得2AB EF ⋅的值.【小问1详解】解：由线段MP的垂直平分线，可得2CP QC QP QC QM CM =+=+==，所以点Q 的轨迹是以点C ，M 为焦点，焦距为2，长轴长为所以a =1c =，则b ==，所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=．【小问2详解】解：由（1）可知，椭圆的右焦点为()1,0，①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，则1,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,3B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,1E ，()1,1F -，所以3AB =，24EF =，23AB EF ⋅=．②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组()221321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得()2222236360k x k x k +-+-=，则2122623k x x k+=+，21223623k x x k -=+，所以)22123k AB k +==+，因为圆心()0,0O 到直线l 的距离d =所以()22222424211k k EF k k +⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，所以)())2222222221422222312333k k k k AB EF k k k k ++++⋅=⋅==⋅++++2431233k ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，因为[)20,k∈+∞，所以23AB EF ⎛⋅∈⎝，。
浙江省杭州市2023_2024学年高二数学上学期12月阶段联考试题含解析
考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.准线方程为2y =的抛物线的标准方程是（）A.24x y = B.24x y =-C.28x y= D.28x y=-2.直线210x ay +-=和直线()3110a x ay ---=垂直，则a =（）A.1B.12C.1或12D.1或12-3.已知在等比数列{}n a 中，4816a a ⋅=，则6a 的值是（）A.4B.-4C.±4D.164.如图，在三棱台111ABC A B C -中，且112AB A B =，设1,,AB a AC b AA c ===，点D 在棱11B C 上，满足112B D DC = ，若AD xa yb zc =++，则（）A.11,,163x y z === B.111,,632x y z ===C.11,,136x y z === D.111,,362x y z ===5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且202220230,0S S ><，则下列说法错误的是（）A.10120a < B.10110a >C.数列{}n a 是递减数列D.{}n S 中1010S 最大6.已知圆221:20(0)C x ax y a -+=>，直线:0l x =，圆1C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则圆1C 与圆222:(1)(1C x y -+=的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.相离7.已知圆22:(4)1C x y +-=上有一动点P ，双曲线22:197x y M -=的左焦点为F ，且双曲线的右支上有一动点Q ，则PQ QF +的最小值为（）A.1- B.5- C.7D.58.阅读材料：空间直角坐标系O xyz -中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =的平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为21x y z -+=，点()3,1,1Q -，则点Q 到平面α距离为（）A.6B.2C.102D.34二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()()2,2,2,1,2,1a b =-=-，则下列说法正确的是（）A.()1,4,1a b +=-B.a∥bC.a b⊥D.3cos ,23a ab -=10.已知直线()():2220l mx m y m m R ++--=∈，圆22:(1)(2)25C x y -+-=，点P 为圆C 上的任意一点，下列说法正确的是（）A.直线l 恒过定点()1,1B.直线l 与圆C 恒有两个公共点C.直线l 被圆C 截得最短弦长为D.当1m =-时，点P 到直线l 距离最大值是252+11.已知数列{}{},n n a b 满足()*123111,23n n n a a a a b n N S n++++=∈ 是{}n a 的前n 项和，下列说法正确的是（）A.若2n a n n =+，则232n n nb +=B.若n b n =，则{}n a 为等差数列C.若1n b n =+，则{}n a 为等差数列D.若2nn b =，则()122nn S n =-⋅+12.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，过M 的直线l 与抛物线C 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，点D 是点A 关于x 轴的对称点，则下列说法正确的是（）A.124y y =- B.4AF BF +的最小值为10C.,,B F D 三点共线D.0MB MD ⋅>三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.在空间直角坐标系O xyz -中，已知点()()3,1,4,2,1,5M N -，则MN =__________.14.过点()0,0作圆22:430C x y y +-+=的两条切线，切点为A B ､，则劣弧长 AB =__________.15.如图，已知正方形0000A B C D 的边长为2，分别取边00000000,,,D A A B B C C D 的中点1111,,,A B C D ，并连接形成正方形1111A B C D ，继续取边11111111,,,D A A B B C C D 的中点2222,,,A B C D ，并连接形成正方形2222A B C D ，继续取边22222222,,,D A A B B C C D 的中点3333,,,A B C D ，并连接形成正方形3333,A B C D ，依此类推；记011A A B 的面积为1122,a A A B 的面积为2,a ，依此类推，()*1n n n A A B n N -∈ 的面积为n a ，若12310231024n a a a a +++=，则n =__________.16.设12F F ､是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，点,P Q 为椭圆C 上的两点，且满足21260,2PF Q PF QF ∠==，则椭圆C 的离心率为__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3,4AB AD AA ===，点,E F 分别为棱1,AB DD的中点，（1）求证：1C F ⊥平面BCF ；（2）求直线1C F 与平面1DEC 所成角的正弦值.18.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，点()*111,n n n N a a +⎛⎫∈⎪⎝⎭在直线210x y -+=上.（1）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）求满足11635n a ≤≤的n 的取值构成的集合.19.（本题满分12分）已知动点P 与两个定点()()1,0,4,0A B 的距离的比是2.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）直线l 过点()2,1，且被曲线C 截得的弦长为3，求直线l 的方程.20.（本题满分12分）已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，满足343,10a S ==.数列{}n b 满足12b =，*112,n n n nb a n N b a ++=∈.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设数列{}nc 满足()*1(1)32,n n n n n c n N a b +-+=∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .21.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2,,AB PA E F ==分别为,PB PD 的中点.（1）求平面CEF 与底面ABCD 所成角的余弦值；（2）求平面CEF 与四棱锥P ABCD -表面的交线围成的图形的周长.22.（本题满分12分）已知双曲线C 的中心为坐标原点，上顶点为()0,2，离心率为2.（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）记双曲线C 的上､下顶点为12,,A A P 为直线1y =上一点，直线1PA 与双曲线C 交于另一点M ，直线2PA 与双曲线C 交于另一点N ，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标.2023学年第一学期金华卓越联盟12月阶段联考高二年级数学参考答案命题人：东阳二中吕夏雯陆琳琳；审题人：汤溪中学张拥军一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.D 【解析】242pp =⇒=，又抛物线开口向下，所以抛物线的方程为28,D x y =-正确.2.C 【解析】()()311201a a a a -⋅+⋅-=⇒=或1,C 2a =正确.3.C 【解析】2486616,4,C a a a a ⋅==∴=±正确.4.A 【解析】1111111111111212,,3333AD AA A D A D A B AC AD AA A B AC =+=+∴=++又111111111,,,2263A B a AC b AA c AD a b c ===∴=++ ，A 正确.5.D 【解析】()()120222022101110121011101220221011002a a S a a a a +==+>⇒+>()1202320231012101220232023002a a S a a +==<⇒<，则10110a >所以数列{}n a 单调递减，{}n S 中1011S 最大.D 正确.6.B 【解析】圆上3个点到直线的距离是1，则圆心到直线的距离应是1,12aa a -∴=-，则2a =，圆1C 的圆心为()2,0，半径是2，圆2C 的圆心为(，半径是1，则12C C =，所以两圆的位置关系是相交.B 正确.7.D 【解析】圆心()0,4C ，取双曲线的左焦点()224,0,1,6F PQ QC QF QF ≥-=+ ，则()22216555PQ QF QC QF QC QF CF +≥-++=++≥+=PQ QF ∴+的最小值为5+，D 正确.8.A 【解析】平面α的法向量()1,1,2n =-，在平面α上任取一点()1,0,1A -，则()4,1,0QA =- ，556A 66QA n d n ⋅== 正确.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.ACD 【解析】()1,4,1a b +=- ，选项A 正确，a b λ≠ ，选项B 错误；()()2122210a b -⋅+⋅+⋅-=∴⊥选项C 正确；()12324,2,4cos ,23236a b a a b -=--∴->=⋅，选项D 正确，正确答案是A.C.D 10.ABD 【解析】直线():2220l m x y y +-+-=，所以恒过定点()1,1.选项A 正确；因为定点()1,1在圆C 内，所以直线l 与圆C 恒有两个公共点.选项B 正确；l 被圆C 截得的最短弦长2516-=C 错误；当1m =-时，:0l x y -=，点P 到直线l 的距离的最大值是25522+=+，选项D 正确.正确答案是A.B.D11.ABD 【解析】当2n a n n =+，则11n a n n =+，所以()221322n n n n n b +++==，选项A 正确；已知12311123n a a a a n n++++= ，当1n =时，11a =，当2n ≥时，12311111231n a a a n n -++++=-- ，则(11,1n n a a n n n=∴==时也成立），所以{}n a 为等差数列，选项B 正确；已知123111123n a a a a n n++++=+ ，当1n =时，12a =，当2n ≥时，1231111231n a a a a n n -++++=- ，则(11,1n n a a n n n=∴==时不成立），所以{}n a 不是等差数列，选项C 不正确；已知123111223n n a a a a n++++= ，当1n =时，12a =，当2n ≥时，112311112231n n a a a a n --++++=- ，则1112,2(1n n n n a a n n n--=∴=⋅=时不成立)，所以12,1;2,2n n n a n n -=⎧=⎨⋅≥⎩当1n =时，12S =，1n =时，12112,222322n n a S n -==+⋅+⋅++⋅ ()2122222122n nn S n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅ ()()22314122022222212212n n n nnn S n n n ----=++++-⋅=+-⋅=-⋅-- 所以()122,1nn S n n =-⋅+=时也成立，选项D 正确.正确答案是A.B.D 12.CD【解析】设直线:1l x my =-，联立方程组224,4401y x y my x my ⎧=-+=⎨=-⎩，则121244y y m y y +=⎧⎨=⎩，选项A 不正确；221212144y y x x =⋅=，所以()121244114559AF BF x x x x +=+++=++≥=当且仅当2142x x ==时等号成立，所以4AF BF +的最小值为9，选项B 不正确；()11,D x y -，设:l x ny t =+，联立方程组224,440y x y ny t x ny t ⎧=--=⎨=+⎩，则121244y y my y t -+=⎧⎨-=-⎩，所以1t =，即直线BD 过点F ，选项C 正确；对于D 选项，()()22111,,1,MB x y MD x y =+=+-，22121212114214440MB MD x x x x y y m m ∴⋅=+++-=+-++=+>，选项D 正确.正确答案是C.D三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.【解析】()1,2,1,MN MN =-∴==.14.23π【解析】圆C ：22(2)1x y +-=，2,63COB COA ACB ππ∠∠∠∴==∴=，故劣弧长23AB π=.15.10【解析】由题意可知三角形的面积构成首项为12，公比为12的等比数列，12311122110231,1012102412nnn a a a a n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴+++==-=∴=-.16.9【解析】如图，过1F 作12F M QF = ，连接2MF ，因为122PF QF = ，所以12260F PF PF Q ∠∠==，设2QF t =，则11222,,22,2PF t MF t PF a t MF a t ===-=-，在2PMF 中，222222||||PM PF PM PF MF +-=，即22222294846644t a at t at t a at t +-+-+=-+，化简得1210859,,99a t PF a PF a ===，所以1006480221299c t a ==，所以离心率219c a =.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）方法一：因为F 是1DD 的中点，所以111112,D F D C FD DC D FC ==== 和FDC 是等腰直角三角形，所以1145D FC CFD ∠∠==，1C F CF ∴⊥，因为BC ⊥平面111,CDD C C F ⊂平面11CDD C ，所以1BC C F ⊥，,BC CF ⊂平面11BCF C F ∴⊥平面BCF方法二：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，()()()()()()()110,3,0,2,3,0,0,0,2,0,2,4,2,0,0,0,2,2,0,2,2,C B F C CB CF C F ==-=--所以111440,0,C F CF C F CB C F ⋅=-=⋅=∴⊥平面BCF ；（2）()()13,1,0,0,2,4DE DC == ，设平面1DEC 的法向量为(),,n x y z =，则130240DE n x y DC n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，所以取()2,6,3n =- ，又()10,2,2C F =--，11132sin cos ,14||C F n C F n C F n θ⋅∴==== .直线1C F 与平面1DEC所成角的正弦值为14.18.【解析】（1）由已知得111212121,21111n n n n nn a a a a a a ++++=+∴==++，且11120a +=≠，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，112n n a ∴+=，则1;21n n a =-（2）因为11635n a ≤≤，所以111,52163,626463215n n n ≤≤≤-≤∴≤≤-，得2log 66n ≤≤，又因为*n N ∈，所以n 的取值构成的集合是{}3,4,5,6.19.【解析】（1）设点(),P x y=，化简得2210210x y x +-+=，所以动点P 的轨迹C 的方程为22(5)4x y -+=；（2）由（1）可知点P 的轨迹C 是以()5,0为圆心，2为半径的圆，可计算得圆心()5,0到直线l的距离1d ==，①当直线l 的斜率不存在时，圆心到直线l 的距离是3，不符合条件，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=，所以1d ==，化简得229611k k k ++=+，解得0k =或34k =-，所以直线l 的方程是1y =或34100x y +-=.20.【解析】（1）设数列{}n a 的公差为1123,4610a d d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得11,1,n a d a n ==∴=.()11211,2n n n n b n b n b b n n ++++=∴= ，且121b =，所以n b n ⎧⎫⎨⎩⎭是等比数列，2,2n nn n b b n n∴=∴=⋅（也可用累乘法求{}n b 的通项公式）（2）()()()()1111(1)3211(1)(1)(1)12212212n n n nn n n n n n n c n n n n n n ++++⎛⎫-+--==-+=- ⎪ ⎪+⋅⋅+⋅⋅+⋅⎝⎭，()1111(1)212n n n T n ++∴=---+⋅21.【解析】（1）以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，平面ABCD 的法向量为()0,0,1m =，()()()()()2,2,0,1,0,1,0,1,1,1,2,1,1,1,0C E F CE EF =--=- ，设平面CEF 的法向量为(),,n x y z = ，所以200CE n x y z EF n x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，所以取()1,1,3n = ，所以cos ,||||11m n m n m n ⋅〈〉=== ，所以平面CEF 与底面ABCD所成角的余弦值为11；（2）由对称性可知平面CEF 与棱PA 交于一点，设交点()()40,0,,1,0,1,1330,3Q t QE t QE n t t =-⋅=+-=∴= ，103QE QF ∴==又CE CF ==，所以围成的图形的周长为210263+22.【解析】（1）设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，由上顶点坐标可知2a =，则由52c e a ==可得225,1c b c a ==-，双曲线的渐近线方程为2y x =±.（2）由（1）可得()()120,2,0,2A A -，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+，与2214y x -=联立可得()2224240k x kmx m -++-=，且()22Δ1640k m =-+>，则212122224,44km m x x x x k k --+==--，()2212122248,44k m m y y y y k k -+-∴+==--设()1213,1,,A P A P P t k k t t ∴=-=，2111233,4A P A P MA MA MA k k k k k ∴=-=-⋅= ，得2212MA NA k k ⋅=-2221221222441641612,124y y k m m k x x m ++---+-∴⋅=-=--，化简得22(2)3,4m m +=-。
高二数学12月月考试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹高二数学12月月考试题〔含解析〕一、选择题(本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分) 1.如下列图，正方体1111ABCDA B C D 的棱长为1，那么1B 的坐标是〔〕A.(1,0,0)B.(1,0,1)C.(1,1,1)D.(1,1,0) 【答案】C 【解析】试题分析：由空间直角坐标系和棱长为1，可得那么1B 的坐标是(1,1,1)。
考点：1．空间直角坐标系；310y 的倾斜角为〔〕A.30°B.60°C.120°D.150° 【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，利用倾斜角和斜率的对应关系得出倾斜角.【详解】直线的斜率为33A kB ，设倾斜角为，那么3tan ,1503.应选D.【点睛】本小题主要考察由直线方程的一般式求得直线的斜率，考察倾斜角和斜率的对应关系.对应直线的一般方程0Ax By C ，化为斜截式得到A C yxB B ，其中AB是斜率，CB是纵截距.直线的斜率，是倾斜角的正切值.要注意的是当倾斜角为90时，斜率不存在.3.某校老年、中年和青年老师的人数见右表，采用分层抽样的方法调查老师的身体状况，在抽取的样本中，老年老师一共有180人，那么该样本中的青年老师人数为〔〕A.320B.360C.90D.180【答案】A【解析】【分析】先求得老年老师抽样的比例，用青年老师人数乘以这个比例得到样本中青年老师的人数.【详解】老年老师抽样的比例为18019005，故样本中青年老师的人数为116003205人.应选A.【点睛】本小题主要考察分层抽样，利用分层抽样中某一层的抽样比例，得到总体的抽样比例，由此计算的其它层抽样的样本数.属于根底题.1，a2，…，a n的平均数为a，方差为s 2，那么数据2a1，2a2，…，2a n的平均数和方差分别为()A.a，s2B.2a，s2C.2a，2s2D.2a，4s2【答案】D【解析】【分析】考虑到数据2a1，2a2，…，2a n的各个数据是原数据的2倍，充分利用两者的关系结合平均数、方差的计算公式计算即可．【详解】数据a1，a2，…，a n的平均数为a，方差为S2，那么另一组数据2a 1，2a2，…，2a n的平均数为22x x a，方差是s′2，∵S2=1n[〔x1﹣x〕2+〔x2﹣x〕2+…+〔x n﹣x〕2]，∴S′2=1n[〔2x 1﹣2x 〕2+〔2x 2﹣2x 〕2+…+〔2x n ﹣2x 〕2] =1n[4〔x 1﹣x 〕2+4〔x 2﹣x 〕2+…+4〔x n ﹣x 〕2]， =4S 2应选：D ．【点睛】此题考察了当数据都乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，平均数也乘以这个数，属于根底题．5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子〔它们六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6〕，骰子朝上的点数分别为X ，Y ，那么log 2X Y ＝1的概率为〔〕． A.16B.536C.112D.12【答案】C 【解析】试题分析：由题意知、应满足，所以满足题意的有三种，所以概率为313612． 考点：1．古典概型； 6.以下说法正确的选项是() A.22＝1，那么x≠1〞B.∃x0∈R，20210x x ，那么p ：∀x∈R，x2－2x －1＜0C.x ＝sinD.“x＝－1〞是“x 2－5x －6＝0〞的必要不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】AA 是否正确； BB 是错误的； CD 中，判断充分性和必要性是否成立即可； 【详解】对于Ax 2≠1，那么x≠1，∴A 错误； 对于B2210x R x x ，－－〞，∴B 错误；对于Cx=y ，那么sin x=sin y∴C 正确；对于D ，x=-1时，x 2-5x-6=0，∴充分性成立，x 2-5x-6=0时，x=-1或者x=6，必要性不成立，是充分不必要条件，D 错误 应选：C ．7.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆22194x y 的位置关系为()A.相切B.相离C.相交D.不确定 【答案】C 【解析】 【分析】求得直线过的定点，这个定点在椭圆内部，由此判断直线和椭圆相交. 【详解】依题意，直线方程为11y k x ，所以直线过点1,1，这个点在椭圆的内部，故直线和椭圆一定相交，应选C.【点睛】本小题主要考察直线和椭圆的位置关系，考察含有参数的直线方程过定点的问题，属于根底题.221:4470O x y x y 和222:410130O x y y y 都相切的直线条数是〔〕A.4B.3C.2D.1【答案】B 【解析】试题分析:圆11(2,2),1O r ，22(2,5),4O r，12125OO r r ，圆1O 和圆2O 外相切，所以与圆1O 和圆2O 相切的直线有3条.应选B ． 考点：1、直线与圆的位置关系；2、两圆的位置关系．x y 、满足条件101010x y y x y ，那么z=2x-y 的最大值为〔〕 A.2B.3C.2D.1 【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线20x y 到可行域边界的位置，由此求得目的函数的最大值.【详解】画出可行域如以下列图所示，由图可知，目的函数2z x y 在点0,1A 处获得最大值，且最大值为011z.应选D【点睛】本小题主要考察利用线性规划求线性目的函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目的函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于根底题.10.在区间[0，1]上任取两个实数a，b，那么函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为()A.12B.34C.23D.14【答案】B【解析】【分析】函数f〔x〕=x2+ax+b2无零点的条件，得到a，b满足的条件，利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论．【详解】∵a，b是区间[0，1]上的两个数，∴a，b对应区域面积为1×1=1假设函数f〔x〕=x2+ax+b2无零点，那么△=a2-4b2＜0，对应的区域为直线a-2b=0的上方，面积为113 11224，那么根据几何概型的概率公式可得所求的概率为34．应选：B．【点睛】此题主要考察几何概型的概率计算，根据二次函数无零点的条件求出a，b满足的条件是解决此题的关键．2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为2，那么mn的值是()A.2C.2【答案】A 【解析】 【分析】设MN 的中点为A ，利用点差法，列出直线MN 的斜率和直线OA 斜率的关系式，由此求得mn的值. 【详解】设1122,,,M x y N x y ，设MN 中点为1212,22x x y y A，直线MN 的斜率为1，直线OA 的斜率为121212122,22y y x x x x y y .由于,M N 在椭圆上，故2211222211mx ny mxny，两式相减得222212120m x x n y y ，化简为12121212x x y y m n y y x x ，即221,2m mn n .应选A. 【点睛】本小题主要考察利用点差法，解有关直线和椭圆相交所得弦的中点有关的问题，属于根底题.22:5C x y x 内，过点53,22A有n 条弦的长度成等差数列，最短的弦长为数列的首项1a ，最长的弦长为n a ，假设公差11,63d，那么n 的取值集合为() A.4,5,6 B.6,7,8,9 C.3,4,5 D.3,4,5,6 【答案】A 【解析】由题设圆的圆心坐标与半径分别为55(,0),22C r，最长弦与最短弦分别为125925,2444na L ra ，所以1111(,]1163n a a dn n ，解之得47n ，即4,5,6n，应选答案A 。
2024学年重庆市育才中学、西南大学附中、万州中学高二上学期12月联考数学及答案
高2025届2023—2024学年（上）12月名校联考数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线1l ：230ax y -+=与直线2l ：()120x a y +--=互相垂直，则a =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-12．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（ ）A ．π4B ．π3C ．3π4D ．5π63．若圆E ：224x y +=与圆F ：()221x y a +-=仅有一条公切线，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．1±C ．3±D ．14．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，12a =，则2023a =（ ）A ．2B ．12C ．-1D ．20235．已知F 是椭圆22195x y +=的左焦点，P 是椭圆上一动点，若()1,2A ，则PA PF +的最大值为（ ）A ．6-B ．6+C ．6-D ．66．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线为l ，与x 轴平行的直线与l 和抛物线C 分别交于A ，B 两点，且60AFB ∠=︒，则AB =（ ）A ．2B ．C ．D ．47．已知椭圆M ：()222210x y a b a b +=>>，点,2a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在其上，直线l 交椭圆于A ，B 两点，△ABC 的重心是坐标原点，则直线l 的斜率为（ ）A B C ．D 8．已知1F ，2F 是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点，过点2F 倾斜角为150°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A ，B ，若11AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ．2C D 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知方程22141x y t t +=--表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．当14t <<时，曲线C 是椭圆B ．当4t >或1t <时，曲线C 是双曲线C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则4t >10．已知直线l ：0kx y k --=，圆M ：2210x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,1，则下列说法正确的是（ ）A ．直线l 恒过点()1,0B ．4D =，2E =C ．直线l 被圆M 截得的最短弦长为D ．当1k =时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称11．已知斜率为2的直线交抛物线2y x =于()11,A x y 、()22,B x y 两点，下列说法正确的是（）A ．12x x 为定值B ．线段AB 的中点在一条定直线上C ．11OA OBk k +为定值（O 为坐标原点，OA k 、OB k 分别为直线OA 、OB 的斜率）D ．AFBF为定值（F 为抛物线的焦点）12．已知椭圆C ：22163x y +=，1F ，2F 是其左、右焦点，P 为椭圆C 上的一点，下列结论正确的是（ ）A ．满足12F PF △是直角三角形的点P 有四个B ．直线l 为椭圆C 在P 点处的切线，过1F 作1F H l ⊥于H ，则2HF 可能为4C ．过点()2,1P 作圆M ：222x y +=的一条切线，交椭圆C 于另一点Q ，（O 为坐标原点）则OP OQ⊥D ．过点()2,1P 作圆M ：()(22210x y rr -+=<<的两条切线，分别交椭圆C 于E ，H 两点，则直线EH过定点()6,3-三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知抛物线C ：214x y =，则抛物线C 的焦点坐标为________．14．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()00,M x y 在椭圆C 上，且1260F MF ∠=︒，则0y =________．15．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ．过2F 作其中一条渐近线的垂线，垂足为P ．已知22PF =，直线1PF ，则双曲线的方程为________．16．若0m >，则2m +的最小值是________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知{}n a 是等差数列()*n N ∈，若12a=，514a =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明{}1n n a a ++是等差数列．18．（12分）设a 为实数，已知双曲线C ：2213x y a -=与椭圆22215x y a+=有相同的焦点1F ，2F ．（1）求a 的值；（2）若点P 在双曲线C 上，且12PF PF ⊥，求12F PF △的面积．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，设点P 的轨迹为曲线C ．①点P 到1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比P 到y 轴的距离大12；②过点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的动圆恒与y 轴相切，FP 为该圆的直径．在①和②中选择一个作为条件．（1）选择条件：________，求曲线C 的方程；（2）设直线()()20y k x k =-≠与曲线C 相交于M ，N两点，若MN =，求实数k 的值．20．（12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>点1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，点A 是椭圆上任意一点，O 为坐标原点，且OA 的最小值为1，124AF AF +=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()3,0H -作直线l 与椭圆C 交于不同两点P ，Q ，点M 是线段PQ 的中点，过点M 作直线l 的垂线交x 轴于点N ．求MN 的取值范围．21．（12分）已知圆C与直线20x -+=相切于点(，且圆心C 在x 轴的正半轴上．（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0A 作直线交圆C 于M ，N 两点，且M ，N 两点均不在x 轴上，点()4,0B ，直线BN 和直线OM 交于点G ．证明：点G 在一条定直线上，并求此直线的方程．22．（12分）设()2,0F 是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，离心率2e =，过F 的直线l交双曲线C 的右支于P 、Q 两点．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点P 作PA x ⊥轴于A ，过点Q 作QB x ⊥轴于B ，直线AQ 交直线12x =于M ，记△MAB 的面积为1s ，△MPQ 的面积为2s ．求12s s 的值．高2025届2023—2024学年（上）12月名校联考数学试题参考答案1—5 CBBAB 6—8 DBD 9．BC 10．ACD 11．BC12．BCD13．()1,01415．22124x y -=16．2-17．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，12a =，514a =-，5144a a d -==-所以()()11446n a a n n =+--=-+，*n N∈（2）因为()()21128n n n n n n a a a a a a +++++-+=-=-所以{}1n n a a ++是公差为-8的等差数列18．解：（1）根据题意，显然0a >，且双曲线C 的焦点在x 轴上，故235a a +=-，即220a a +-=，()()210a a +-=，解得2a =-或1a =，又0a >，故1a =；（2）由（1）可得双曲线C 方程为：2213y x -=，设其左右焦点分别为1F ，2F ，故可得()12,0F -，()22,0F ；不妨设点P 在双曲线C 的左支上，由双曲线定义可得：212PF PF -=，又三角形12PF F 为直角三角形，则22212121242PF PF PF PF F F +=+=，即126PF PF =故12PF F △的面积12132S PF PF ==．19．解：（1）选①：即点P 到F 的距离等于点P 到12x =-的距离，由抛物线定义可得22y x =．选②：过P 作y 轴的垂线，垂足为H ，交直线12x =-于点P '，设动圆的圆心为E ，半径为r ，则E 到y 轴的距离为r ，在梯形OFPH 中，由中位线性质可得122PH r =-，所以112222PP r r '=-+=，又2PF r =，所以PP PF '=，由抛物线的定义知，点P 是以1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点的抛物线，所以曲线C 的方程为：22y x =．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，将()2y k x =-代入22y x =，消去y 整理得()222222140k x k x k -++=．当()2222421440k k k ∆=+-⋅>时，()22122222142k kx x kk+++==，124x x =．2MN x =-=MN ==，化简得：()()224116440kkk ++=，解得21k =，经检验，此时0∆>，故1k =±．20．解：（1）由题即OA的最小值为1，故1b =，又24a =，2a =，所以椭圆的标准方程为：2214x y +=（2）①设直线l 的方程为：3x ty =-，()11,P x y ，()22,Q x y 联立223,1,4x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224650t y ty +-+=，由()22362040t t ∆=-+>得25t >，12264t y y t +=+，12254y y t =+∴234M t y t =+，21234M M x ty t -=-=+，22123,44t M t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭直线MN 的方程：2212344ty t x t t ⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭令0y =，294N x t -=+，∴294N MN x t =-==+令m =>∴23333m MN m m m==++，3y m m =+在)+∞单调递增∴3y m m ⎫=+∈+∞⎪⎪⎭，∴MN ⎛∈ ⎝②若直线l 倾斜角为0时，则直线l 方程为0y =，此时M ，N 重合，0MN =综上：MN ⎡∈⎢⎣21．解：（1）设圆心()(),00C a a >，点C在与切线垂直且过切点的直线：y =+上∴()2,0C ，半径2r ==∴圆C 的方程为：()2224x y -+=（2）设()11,M x y ，()22,N x y 直线MN 方程为：1x my =+联立()22241x y x my ⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩得()221230m y my +--=，0∆>，12221m y y m +=+，12231y y m -=+直线OM 方程为：11y y x x =，直线BN 方程为：()2244y y x x =--联立()112244y y x x y y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩可得()2222121221221112122223344411422343321m my y x y my y y m m x m x y x y y y y y y y y m --+++++=====--+++-+∴点G 在直线2x =-上22．解：（1）由题226b a=，2c =得1a =，b =故双曲线的标准方程为2213y x -=（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，易知PQ 斜率不为0，故设直线PQ 的方程为2x my =+联立22132y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()22311290m y my -++=，2310m -≠，()2214436310m m ∆=-->，1221231m y y m -+=-，122931y y m =-由PQ直线与双曲线右支交于两点得m ⎛⎫⎛∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ 直线AQ 的方程为()2121y y x x x x =--所以()()2121121,22y x M x x ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭法一：下证明P ，B ，M 三点共线112PB y k x x =-，()()()()()2121212122122121122MBy x x x y x k x x x x ---==---即证()()12212112y x y x -=-，也即证()121234y y my y +=-由韦达定理显然成立。
高二数学12月月考试题文PDF(共8页)
一、 选择题DDACA DCCDD BB二、填空题 13 14 15 16三、解答(ji ěd á)题17. 解：〔Ⅰ〕由，解得，所以 又，因为，解得，所以． 当时，，又为真，都为真，所以．……5分 〔Ⅱ〕由是的充分不必要条件，即，，其逆否命题为，由〔Ⅰ〕:25p x <<，:3q m x m <<， 所以，即 . ……10分18. 解：〔1〕因为， ， 成等差数列， 所以， 所以，所以(suǒyǐ)，因为数列是等比数列，所以，又，所以，所以数列{}n a的通项公式．………………6分〔2〕由〔1〕知，，，所以．故．…………………………………12分19. 〔1〕证明：连接是长方体，平面又平面ABCD，在长方形ABCD中，，又平面(píngmiàn)而平面BB D D,………………………………6分11〔2〕如图，以为坐标原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,那么,设平面的法向量为,那么令那么所以与平面AD E所成角的正弦值为………………………………12分120．解：〔Ⅰ〕∵圆G：经过(jīngguò)点．，∴，．∴．故椭圆的方程为．…………4分〔Ⅱ〕设直线的方程为．由消去得．设，，那么，，………6分∴．∵，……………………………8分∴=……………………10分∵点F在圆G的内部，∴，即，解得由△=，解得．又，∴．…………………………………12分21. 证明(zhèngmíng)：〔Ⅰ〕取中点为，中点为，连接侧面为正三角形，平面平面ABCD且平面平面，平面ABCD，平面ABCD，，又，平面PAD，平面PAD，，，那么，又是中点，那么，，平面，AE 平面，平面平面PCD.………6分x y z轴建立空间直角坐〔Ⅱ〕如图，以O为坐标原点，以所在的直线为,,标系,那么令，那么.由〔Ⅰ〕知为平面的法向量，令为平面(píngmiàn)的法向量，由于，故即解得故，由，解得.…………10分故四棱锥的体积.…………………12分22.解：〔Ⅰ〕依题意可得，．设椭圆的方程为，因为椭圆M的离心率为，所以，即．所以椭圆M的方程为．……………………………………2分证法1：设点、〔，，〕，直线的斜率为〔〕，那么直线AP的方程为，联立方程组整理(zh ěngl ǐ)，得，………………4分 解得或者．所以． 同理可得，…所以． ………………………………6分 证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y 〔0i x >，0i y >，1,2i =〕， 那么，．因为， 所以，即． 因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，． 即，．所以， 即．所以211x x =． …………………………………6分 〔Ⅱ〕解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y 〔0i x >，0i y >，1,2i =〕，那么，．因为(y īn w èi)，所以，即．因为点P 在双曲线上，那么221112y x -=， 所以，即．因为点P 是双曲线在第一象限内的一点 所以． …………………………………………………8分因为，，所以．由〔Ⅰ〕知， 211x x =．设，那么，．因为在区间上单调递增，．所以即当时， ………………………………………12分内容总结（1）选择题DDACA DCCDD BB二、填空题13 14 15 16三、解答题17. 解：〔Ⅰ〕由，解得，所以又，因为，解得，所以．当时，，又为真，都为真，所以．（2）6分∴．∵，（3）4分解得或者．所以．同理可得，（4）12分。
2020-2021学年安徽省高二12月联考数学(文)试题 PDF版
)!(k''*$&'g*&!#k''*#&'?@|Q'*#&km}*9l<!#!67 6! !!!$!~'g-/&kC'6 .~'1& )1&''--/'1-#1$)'1-#$&'-$/-1##&1')-1$$#&'?@
& 1
#1&''--'6.~'g&$-$!k'-&$-1'6 .~'s<&"'1"&"&1'?@"#&"'1"$&
9B
R %##!')!$'$##"')"$'
?@#!'#"/!45槡4'#!"#"/05"' !&B
?@(%$(/ 槡!'#(#")#!(/槡0槡##!'#"$")##!#" /"5&! !"B
!7!:&#!$H*P_O"-/#'1/"'?@1"/#'-"/#'&"/1"'-"/9'?@
3!KLBcDE*'(+0G( HI8)('J'")#.'#)"'6''"%""%.
2024届高三12月大联考(全国乙卷)文科数学及答案
绝密★启用前2024届高三12月大联考（全国乙卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}0,1,4,0,3,4M N ==，则()U M N ⋂=ð（ ）A.{}3B.{}0,2,3,4C.{}0,1,2,4D.{}0,1,2,3,42.若复数z 满足216i z z =+-（i 为虚数单位），则z =（ ）3.已知实数,x y 满足不等式组202406120x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则3z x y =-的最小值是（ ）A.1B.2C.3D.64.已知α为第二象限角，且终边与单位圆的交点的横坐标为45-，则5cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.C.5.已知P 是抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，它在抛物线C 的准线l 上的射影为点,Q F 是抛物线C 的焦点，若FPQ 是边长为2的等边三角形，则抛物线C 的准线l 的方程为（ ）A.14x =-B.12x =-C.1x =- D.2x =-6.某班举办趣味数学活动，规则是：某同学从分别写有1至9这9个整数的9张卡片中随机抽取两张，将卡片上较大的数作为十位数字，较小的数作为个位数字组成一个两位数.若这个两位数与将它的个位数字与十位数字调换后得到的两位数的差为45，就视为该同学获奖.若该班同学A 参加这项活动，则他获奖的概率为（ ）A.172 B.136C.118D.197.已知函数()()cos (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2，则ϕ=（ ）A.6πB.3πC.4πD.23π8.某校为庆祝建校60周年，有奖征集同学们设计的文创作品.王同学设计的一款文创水杯获奖，其上部分是圆台（多功能盖），下部分是正六棱台（水杯），圆台与棱台的高之比为0.382：0.618，寓意建校60周年，学校发展步入黄金期.这款水杯下部分的三视图如图所示，则这款水杯下部分的容（体）积约为（）A.B.C.D.9.已知函数()()[)2log ,43,4,3x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨∈+⎪-⎩，则满足()13f x ≤≤的x 的取值范围为（ ）A.][0,24,6⎡⎤⋃⎣⎦B.[]11,4,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C.[]11,2,482⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦D.[]11,2,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦10.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin cos2A Cb B C a ++=，且ABC的面积为，则22a c b+的最小值为（）A.2C.4D.11.已知双曲线2222:1(0,0)y x E a b a b-=>>，过点(),0M b -的两条直线12,l l 分别与双曲线E 的上支､下支相切于点,A B .若MAB 为锐角三角形，则双曲线E 的离心率的取值范围为（）A.⎛ ⎝B.⎛ ⎝C.∞⎫+⎪⎪⎭ D.∞⎫+⎪⎪⎭12.已知323sin ,,ln 232a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.b a c >> B.a b c>>C.a c b>> D.b c a>>二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,,2,1a m b ==-.若()2a b + ∥()2a b - ，则实数m 的值为__________.14.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,2,ABC AB AC BC PA ====，则三棱锥P ABC -的内切球的表面积等于__________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3220,21n n S na n S -+==-，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________.16.设函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且x ∀∈R ，都有()()20f x f x --=.当(]0,1x ∈时，()ln 21f x x x =+-，则函数()f x 在区间19,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有__________个零点.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）某社区为了解居民生活垃圾分类的投放情况，对本社区10000户居民进行问卷调查（满分：100分），并从这10000份居民的调查问卷中，随机抽取100份进行统计，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）估计该社区10000份调查问卷得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的居民户数；（2）该社区从调查问卷得分为满分的居民中随机挑选了6户，其中两户为,A B ，并将这6户居民随机分配到社区两个宣传点，每个宣传点3户，且每户居民只能去一个宣传点，帮助社区工作人员开展宣传活动，求,A B 两户居民分在不同宣传点的概率.18.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，4,2,,PA PD AD AB M N ====分别为,PD AB 的中点.（1）求证：AM ⊥平面PCD ；（2）求证：MN ∥平面PBC ；（3）求三棱锥A CMN -的体积.19.（12分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1328,327a a ==，213n n nn b a -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为())12,F F ，点P 在椭圆E 上，且满足2PF x ⊥轴，12tan PF F ∠=.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的右顶点为A ，左顶点为B ，是否存在异于点A 的定点(),0(0)Q m m >，使过定点(),0Q m 的任一条直线l 均与椭圆E 交于()()1122,,,M x y N x y （异于,A B 两点）两点，且使得直线AN 的斜率为直线BM 的斜率的2倍？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知函数()eexax f x x +=+，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求函数()f x 的最值；（2）当(]0,e a ∈时，讨论函数()f x 的极值点个数.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为4334x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为8cos 6sin ρθθ=+.（1）求直线l 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线M 交于,A B 两点，求AOB 的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()|1|||f x x x m =--+.（1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）若()3f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.2024届高三12月大联考（全国乙卷）文科数学·全解全析及评分标准一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A 【解析】因为全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,4M =，所以{}U 2,3M =ð.又{}0,3,4N =，所以(){}U3M N ⋂=ð.故选A.2.A 【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则()i 2i 16i a b a b +=-+-，所以21,26a a b b =+=--，解得1,2a b =-=-，所以z ==，故选A.3.C 【解析】作出不等式组202406120x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩所表示的可行域，如图中阴影部分所示.3z x y =-，即3y x z =-.当直线3y x =自左上向右下平移时，z -逐渐减小，z 逐渐增大，所以当直线3y x z =-经过直线20x y -=与直线6120x y --=的交点()3,6C 时，z 取得最小值，最小值为3363⨯-=.故选C .4.D 【解析】由题意，得43cos ,sin 55αα=-=，所以5333cos cos cos cos sin sin 4444ππππαααα⎛⎫⎛⎫-=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.5.B 【解析】不妨设点P 的坐标为()()1111,0,0x y x y >>，依题意，得FQ PQ =，即12p x =+①.又2112y px =②，联立①②，解得113,2p x y ==.22p ==，得1p =，所以抛物线C 的准线l 的方程为122p x =-=-，故选B .6.D 【解析】设同学A 随机抽取得到的两位数的十位数字为x ，个位数字为()y x y >.依题意，若2x =，则1y =，有1种情况；若3x =，则1,2y =，有2种情况⋅ 若9x =，则1,2,,8y = ，有8种情况，共计有12836+++= 种情况，其中满足获奖的情况是()()101045x y y x +-+=，即5x y -=，也即获奖情况只有6,1;7,2;8,3;9,4x y x y x y x y ========，这4种情况，所以该班同学A 参加这项活动获奖的概率为41369=.故选D.7.B 【解析】因为()()cos (0)f x x ωϕω=+>在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且263f f ππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2,1366T f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2,cos 13πωϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，所以()23k k πϕπ=+∈Z .又0ϕπ<<，所以3πϕ=，故选B.8.A 【解析】由三视图，知这款水杯的下部分是上底边长为4，下底边长为3，高为6的正六棱台，226364S S ====下底上底，所以这款水杯下部分的容（体）积约为(11633V S S h =++⨯=⨯⨯=下底上底.故选A.9.D 【解析】令()1f x =，则()()2log 10,4xx =∈∣或[)()314,3x x ∞=∈+-，解得12x =或2x =或6x =.令()3f x =，则()()2log 30,4xx =∈∣或[)()334,3x x ∞=∈-，解得18x =或4x =.画出函数()f x 图象的草图（如图），得满足()13f x ≤≤的x 的取值范围为[]11,2,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦.故选D.10.B 【解析】由正弦定理和()sin cos 2A Cb B C a ++=，得sin sin sin sin 2B B A A ⋅=⋅.因为sin 0,sin02B A >>，所以1cos 22B =.因为0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23B π=.又ABC1sin 2ac B =，所以4ac =.由余弦定理，得222222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=，当且仅当a c =时取等号，所以b ≥，所以22244a cb b b b b+-==-.因为函数4y b b =-在)∞⎡+⎣上单调递增，所以当b =时，22a c b +故选B.11.D 【解析】如图，设过点(),0M b -的直线()1:(0)l y k x b k =+>，联立()22221y k x b y x ab ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，整理，得()()222232222220b k axb k x b b k a -++-=，依题意，得()2642222Δ440b k bb ka=--=，所以2222a k b=.由双曲线的对称性，得201k <=<，所以()2222a c a <-，整理，得双曲线E的离心率c e a =>故选D.12.B 【解析】方法一：因为sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以32sin sin 233a b π=>=>=.设()1ln g x x x =--，则()111x g x x x -=-='，当[)1,x ∞∈+时，()10x g x x-=≥'，所以()3111ln102g g ⎛⎫>=--= ⎪⎝⎭，所以331ln 22->，即13ln 22>，所以213ln 322b c =>>=.综上，得a b c >>，故选B .方法二：因为sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以32sin sin 233a b π=>=>=.又213ln 322b c =>=>==.综上，得a b c >>，故选B.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.12-【解析】因为()()1,,2,1a m b ==- ，所以()()24,21,23,2a b m a b m +=--=-+ .又()2a b + ∥()2a b - ，所以()()423210m m ++-=，解得12m =-.故填12-.14.1225π【解析】如图，由已知，得ABC 的面积为112⨯=三棱锥P ABC -在底面ABC 上的高为PA =，等腰三角形PBC 底边BC 上的高为2，所以三棱锥P ABC -的表面积1122222S =⨯⨯+⨯⨯=，体积113V ==.又三棱锥P ABC -的体积13V Sr =（其中r 为三棱锥P ABC -内切球的半径），所以r =，所以三棱锥P ABC -的内切球的表面积为212425r ππ=.故填1225π.15.53n -+ 【解析】方法一：当1n =时，11220S a -+=，解得12a =-.又220n n S na n -+=，所以()()1222n n n n a n a a S -+==，所以数列{}n a 为等差数列.又321S =-，所以()313212a a +=-，解得312a =-，所以数列{}n a 的公差3152a a d -==-，所以数列{}n a 的通项公式为53n a n =-+.故填53n -+.方法二：*,220n n n S na n ∀∈-+=N 恒成立，当1n =时，11220S a -+=，解得12a =-.当3n =时，332360S a -+=，且321S =-，解得312a =-.当2n ≥时，()()1121210n n S n a n ----+-=①，又220n n S na n -+=②，①-②，得()()12120n n n a n a -----=③，所以()1120n n n a na +---=④.④-③，得()()11120n n n n a a a +---+=.因为2n ≥，所以1120n n n a a a +--+=，即11n n n n a a a a +--=-.又132,12a a =-=-，所以数列{}n a 是首项为-2，公差为-5的等差数列，所以数列{}n a 的通项公式为53n a n =-+.故填53n -+.16.6 【解析】如图，因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =.又()()20f x f x --=，即()()2f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以4是函数()f x 的一个周期，所以()()()0240f f f ===.易知函数()ln 21f x x x =+-在(]0,1上单调递增，且()11ln 11ln20,1ln1211022f f ⎛⎫=+-=-<=+-=>⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间()0,1上仅有1个零点，且零点在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上.由对称性，知函数()f x 在区间()1,2上有且仅有1个零点.因为()f x 是定义域为R 的奇函数且是4是它的一个周期，所以()()40f x f x -+=，所以函数()f x 的图象关于点()2,0中心对称，所以函数()f x 在区间()2,4上有且仅有2个零点.因为函数()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有零点，所以函数()f x 在区间94,2⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点.结合()()240f f ==，得函数()f x 在区间19,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有6个零点.故填6.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）【解析】（1）由频率分布直方图，得样本平均数为()550.008650.012750.024850.040950.01610x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯79.4=，所以估计该社区10000份调查问卷得分的平均数为79.4.因为这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的频率为()90850.0400.016100.36-⨯+⨯=，所以估计该社区这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的居民户数为100000.363600⨯=.（2）将6户居民分别记为,,,,,A B c d e f ，依题意，6户居民被随机分到两个宣传点的所有情况有(),ABc def ，()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,ABd cef ABe cdf ABf cde Acd Bef Ace Bdf Acf Bde Ade Bcf Adf Bce ，()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,Aef Bcd Bcd Aef Bce Adf Bcf Ade Bde Acf Bdf Ace Bef Acd cde ABf ，()()(),,,,,cdf ABe cef ABd def ABc ，共20种，其中,A B 两户居民分在不同宣传点的情况有()()()()(),,,,,,,,,Acd Bef Ace Bdf Acf Bde Ade Bcf Adf Bce ，()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,Aef Bcd Bcd Aef Bce Adf Bcf Ade Bde Acf Bdf Ace Bef Acd ，共12种，所以,A B 两户居民分在不同宣传点的概率123205P ==.另解：若采用排列组合解答酌情给分：6户居民均分到两个宣传点共有36C 种情况，其中,A B 两户居民分在相同宣传点有142C 种情况，所以,A B 两户居民分在不同宣传点的概率14362C 31C 5P =-=.18.（12分）【解析】（1）因为底面ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面,ABCD AD CD =⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD .又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥.因为在PAD 中，,PA PD AD M ==为PD 的中点，所以AM PD ⊥.又,CD PD D CD ⋂=⊂平面,PCD PD ⊂平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD .（2）如图，取PC 的中点E ，连接,ME BE .因为M 为PD 的中点，所以ME ∥CD ，且12ME CD =.又N 为AB 的中点，底面ABCD 为矩形，所以BN∥CD ，且12BN CD =，所以BN ∥EM ，且BN EM =，所以四边形NBEM 为平行四边形，所以BE ∥NM .又BE ⊂平面,PBC MN ⊄平面PBC ，所以MN∥平面PBC .（3）如图，因为,4,2A CMN M ACN V V PA PD AD AB --=====，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以点P 到平面ABCD 的距离即为等边三角形PAD 的高，所以点P 到平面ABCD 的距离为4=.又M 为PD 的中点，所以点M 到平面ANC 又11422ANC S =⨯⨯= ，所以123M ACN V -=⨯=A CMN -.19.（12分）【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.由1328,327a a ==，得228327q =，解得249q =.因为{}n a 的各项均为正数，所以23q =，所以数列{}n a 是以23为首项，23为公比的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为1222333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）由（1）得21212132233n nn n n n n n n b a ---===⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，所以1221321222n n n n T b b b -=+++=+++ ，231113212222n n n T +-=+++ ，两式相减，得23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 1111112142212212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⨯--1323,22n n ++=-所以2332n nn T +=-.20.（12分）【解析】（1）因为2PF x ⊥12tan PF F ∠，解得21,2PF =所以172PF ==.根据椭圆的定义，得12712422a PF PF =+=+=，解得2a =.又c =，所以2221b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=.（2）假设存在满足题意的定点(),0Q m .依题意，设直线l 的方程为,0x ty m m =+>，联立2214x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理，得()2224240t y tmy m +++-=，由()()()22222Δ(2)4441640tm t mt m =-+-=-+>，得224m t <+.由根与系数的关系，得212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++.由()()2,2,0,2,0ANBM k k A B =-，得2121222y y x x =⋅-+，所以2121222y y ty m ty m =⋅+-++，即()()1212222m y m y ty y --++=，所以()()()212242224t m m y m y t ---++=+，所以()()()21221224222424t m m y m y t tm y y t ⎧-⎪--++=⎪+⎨⎪+=-⎪+⎩，所以()()()()()21212222222224m y m y tm m m y m y t ⎧⎪--++=⎪⎨+⎪+++=-⎪+⎩②，②-①，得()()()12232324t m m m y t -+--=+，当320m -≠时，解得()()12222424t m y t t m y t ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩，所以()()22122244t m y y t-=+.又212244m y y t -=+，所以()()2222224444t m mt t --=++.因为上式在t 变化时恒成立，所以240m -=.又0m >，所以2m =.此时点Q 与点A 重合，不合题意，舍去；所以320m -=，即23m =，此时点2,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 的内部，满足直线l 均与椭圆E 交于,M N 两点，所以存在定点2,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭满足题意，23m =.21.（12分）【解析】（1）当1a =-时，()e e x x f x x -+=+，则()e 1e e 11e ex x xx x f x '--+--=+=.令()e e 1xx x ϕ=+--，则()x ϕ在R 上单调递增，且()1e 1e 10ϕ=+--=，所以当(),1x ∞∈-时，()0x ϕ<，即()0f x '<；当()1,x ∞∈+时，()0x ϕ>，即()0f x '>，所以()f x 在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以函数()f x 在1x =处取得极小值()112ef =-，即()f x 有最小值12e-，没有最大值.（2）因为()e e x ax f x x +=+，其中(]0,e a ∈，所以()()()2e e e e e 1e ex x x x x a ax ax a f x -+⋅'-+-=+=.令()e e xg x ax a =-+-，则()e xg x a '=-.因为0a >，令()e 0xg x a =-='，则ln x a =，所以当(),ln x a ∞∈-时，()0g x '<；当()ln ,x a ∞∈+时，()0g x '>，所以()g x 在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，所以()min ()ln 2ln e g x g a a a a ==--.设()2ln e h a a a a =--，其中(]0,e a ∈，则()1ln h a a =-'.令()1ln 0h a a =-='，解得e a =.当(]0,e a ∈时，()0h a '≥，所以()h a 在(]0,e 上单调递增，所以()max ()e 2e elne e 0h a h ==--=.所以当()0,e a ∈时，min ()2ln e 0g x a a a =--<；当e a =时，min ()0g x =.①当e a =时，min ()0g x =，即()0g x ≥，也即()0f x '≥，所以()f x 在R 上单调递增，所以()f x 没有极值点.②当()0,e a ∈时，()ln 1,a g x <在(),ln a ∞-上单调递减.设()e e ln ln t a a a a a ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，则当()0,e a ∈时，()221e e 0a t a a a a '-=-=<，所以()()e 20t a t >=>，即当()0,e a ∈时，eln a a-<.又()g x 在(),ln a ∞-上单调递减，所以()g x 在e ,a ∞⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减，且在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以当e ,x a ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()e ee e e e e 0aa g x g a a a --⎛⎫>-=++-=+> ⎪⎝⎭，所以()g x 在e ,a ∞⎛⎫--⎪⎝⎭上没有零点，且()e ln 0g g a a ⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭.又()g x 在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭内存在唯一0x ，使()00g x =，所以当()0,x x ∞∈-时，()0g x >；当()0,ln x x a ∈时，()0g x <，也即当()0,x x ∞∈-时，()0f x '>；当()0,ln x x a ∈时，()0f x '<，所以0x 为()f x 的一个极大值点.又()()10,g g x =在()ln ,a ∞+上单调递增，ln 1a <，所以当()ln ,1x a ∈时，()0g x <；当()1,x ∞∈+时，()0g x >，即当()ln ,1x a ∈时，()0f x '<；当()1,x ∞∈+时，()0f x '>，所以1为()f x 的一个极小值点，所以当()0,e a ∈时，()f x 有2个极值点.综合①②，当()0,e a ∈时，()f x 有2个极值点；当e a =时，()f x 没有极值点.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）直线l 的参数方程为4334x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t 并整理，得4370x y --=.因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 70ρθρθ--=.（2）由（1）知直线l 的普通方程为4370x y --=.曲线M 的极坐标方程为8cos 6sin ρθθ=+，化为直角坐标方程为22(4)(3)25x y -+-=，所以曲线M 是圆心为()4,3，半径为5的圆.又直线l 过圆心()4,3，所以10AB =，所以原点O 到直线l的距离75d ，所以AOB 的面积1710725AOB S =⨯⨯= .23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）当1m =时，()2,1112,11,2,1x f x x x x x x -≥⎧⎪=--+=--<<⎨⎪≤-⎩所以()1f x ≥可化为211x ≥⎧⎨≤-⎩，或2111x x -≥⎧⎨-<<⎩，或211x -≥⎧⎨≥⎩，解得1,2x ≤-所以不等式()1f x ≥的解集为1,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.（2）()3f x ≤恒成立，即13x x m --+≤恒成立.因为||1|||||1|x x m m --+≤+恒成立，所以13m +≤，解得42m -≤≤，所以实数m 的取值范围是[]4,2-.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江西省赣州市于都县2015-2016学年高二数学12月联考试题 文一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的1．直线013=-+y x 的倾斜角为（ ）A ．6π B ．3π C ．32πD ．65π 2.椭圆2228x y +=的焦点坐标是 ( )A.(20)±,B.(02),±C.(230)±,D.(023),±3.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A.588B.480C.450D.1204．若直线x +a y+2=0和2x +3y+1=0互相垂直，则a =（ ） A ．32-B ．32C ．23-D ．235．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＝2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0 6．“α1=-”是“幂函数y x α=为奇函数”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ）A ．2B ．3C ．5D ．7 8．如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是（ ）A ．16B ．2524C ．34D ．11129. 圆x 2 + 2x + y 2 + 4y - 3 = 0上到直线x + y + 1 = 0的距离为2的点共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10．“14t <<” 是“方程22141x y t t +=-- 表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11.如右图，正方形ABCD 的边长为2，△EBC 为正三角形．若向正方形ABCD 内随机投掷一个质 点， 则它落在△EBC 内的概率为 ( ) 12. 曲线21x y -=与直线b x y +=有且只有一个交点，则b 范围是（ ）A 、[){}21,1⋃- B 、[)1,1- C 、()2,2-D 、()1,1-二．填空题：本大题共四小题，每小题5分,共20分．13．某工厂有职工3000，老年、中年、青年职工数量之比是2:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本里青年职工有50个，那么此样本的容量n=___14. 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.15．已知直线:2830l mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=相交于A ，B 两点，当线段AB 最短时直线l 的方程为_________________. 16．下列命题①命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠” ②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件第8题图③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题④命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++<” 其中不正确的是________三.解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.18．(本小题满分12分)如图，已知过点(4,3)P 的光线，经x 轴上一点A 反射后的射线l 过点(0,5)Q ．（1）求点A 的坐标；（2）若圆C 过点Q 且与x 轴相切于点(1,0)-，求圆C 的方程． 19.（本小题满分12分）设p ：实数x 满足－4ax+3＜0，其中a＞0；q：实数x满足, 若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.20、（本小题满分12分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． （1）求1A 被选中的概率；（2）求1B 和1C 不全被选中的概率．21．(本小题满分12分）已知学生的数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，某班6名学生的数学和物理成绩如表：（1）求物理成绩y 对数学成绩x 的线性回归方程；（2）当某位学生的数学成绩为70分时，预测他的物理成绩．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆy bx a =+的系数公式：参考数据：22222283787368637332224+++++=，22.(本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、，(1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的 方程.高二年级上学期联考数学（文科）参考答案一．选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题纸上） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CABADADDCBBA二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. _100_ 14. ____2315. _____053=++y x ____ 16 ①②④三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b 2＝1 (a>b>0)． ∵2a ＝10，∴a ＝5，又∵c ＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x2b 2＝1 (a>b>0)． 由椭圆的定义知，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋ ＝3102＋102＝210， ∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. 故所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.18．（1）)0,25(；（2）2221313(1)()()55x b ++-= 试题解析：（1）由光线的反射角与入射角相等可知， 点(4,3)P 关于x 轴对称点(4,3)P '-在射线l ，∴射线l 所在的直线方程为503540y x --=---， 即250x y +-=，令0y =，则52x =，∴点A 的坐标为5(,0)2．（2）设圆C 的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>， 圆C 与x 轴相切于点(1,0)-，∴b r =，1a =-圆C 过点Q ，∴222(1)(5)b b -+-=，解得135b =， ∴圆C 的方程为2221313(1)()()55x b ++-=． 19.解：由－4ax +3＜0，得(x －3a )(x －a )＜0.又a ＞0，所以a ＜x ＜3a .由得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.若p是q的充分不必要条件，即q，且p.设A={x|p},B={x|q},则A B.又A={x|p}={x|x≤a或x≥3a}，B ={x |q }={x |x ≤2或x ＞3}，则有0＜a ≤2且3a ＞3，所以实数a 的取值范围是1＜a ≤2.20、解析：（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，， 132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，，231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“1A 恰被选中”这一事件，则M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，} 事件M 由6个基本事件组成，因而61()183P M ==． （2）用N 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“11B C ，全被选中”这一事件，由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}，事件N 有3个基本事件组成，所以31()186P N ==，由对立事件的概率公式得15()1()166P N P N =-=-=． 21.22【答案】[解](1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>. 根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b = 故椭圆C 的方程为2214133x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=. 当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意;当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=. 设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则 因为11F P FQ ⊥,所以110F P FQ ⋅=,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++ 2271021k k -==+, 解得217k =,即77k =±.故直线l 的方程为10x +-=或10x --=.。