全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二上学期11月联考试题 数学(理) Word版含解析
2024学年浙江强基联盟高二数学上学期11月联考试卷附答案解析
2024学年浙江强基联盟高二数学上学期11月联考试卷考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，则A B ⋂=（）A.{}3,4 B.{}2,4,6 C.{}1,3,5 D.{}2,42.如果椭圆的方程是22142x y +=，那么它的焦点坐标是（）A.()2,0± B.()0,2± C.()D.(0,3.已知点()(),1,2,3P a Q --，若5PQ =，则a =（）A.1B.5- C.1或5- D.1-或54.已知圆221:4C x y +=和圆222:86160C x y x y +--+=，则1C 与2C 的位置关系是（）A.外切B.内切C.相交D.外离5.在正方体1111ABCD A B C D -中，以下说法正确的是（）A.若E 为1DD 的中点，则1BD ∥平面AECB.若E 为1DD 的中点，则1BD ⊥平面11A ECC.若E 为11C D 的中点，则1AE BD ⊥D.若E 为11C D 的中点，则CE ∥1BD 6.已知3x，则函数()11f x x x =+-的最小值是（）A.92B.72C.3D.27.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若直线AC 与BD 的交点为M .设11111,,A B a A D b A A c === ，则下列向量中与1B M共线的向量是（）A.22a b c-+-B.2a b c+-C.22a b c --D.2a b c-- 8.如果函数()()()4,2024,9,2024,x x f x f f x x -⎧⎪=⎨+<⎪⎩那么()10f =（）A.2020B.2021C.2023D.2025二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数34i z =-，以下说法正确的是（）A.z 的实部是3B.5z =C.34iz =+D.z 在复平面内对应的点在第一象限10.抛掷一颗质地均匀的骰子，记随机事件i A =“点数为i ”，其中1,2,3,4i =，则以下说法正确的是（）A.若随机事件1B =“点数不大于3”，则1A 与1B 互斥B.若随机事件2B =“点数为偶数”，则22A B ⊆C.若随机事件3B =“点数不大于2”，则3A 与3B 对立D.若随机事件4B =“点数为奇数”，则34A A ⋃与4B 相互独立11.棱长为1的正四面体ABCD 的内切球球心为O ，点P 是该内切球球面上的动点，则以下说法正确的是（）A.记直线AO 与直线AB 的夹角是α，则cos 3α=B.记直线AO 与平面ABC 的夹角是β，则22sin 3β=C.记(),BP xBC yBD x y --∈R 的最小值为n，则0,6n ⎡∈⎢⎣⎦D.记AP 在BC 上的投影向量为BC m BC，则,1212m ⎡∈-⎢⎣⎦三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.点()2,1A 到直线:230l x y --=的距离是__________.13.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3，弧长为2π的扇形，则该圆锥的体积是__________.14.设O 是坐标原点，1F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点，椭圆上的点P 关于O 的对称点是Q ，若1120,PF Q PQ ∠==，则该椭圆的离心率是__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（13分）已知圆22:(4)25C x y -+=，点()1,4P ，且直线l 经过点P .（1）若l 与C 相切，求l 的方程；（2）若l 的倾斜角为3π4，求l 被圆C 截得的弦长.16.（15分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，记ABC 的面积为S ，已知2A B C +=.（1）若2c =，求ABC 外接圆的半径；（2）求()()Sa b c a b c +++-的值.17.（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 是正三角形，四边形ABCD 为等腰梯形，且有222,,AD BC AB CD PB PC E F =====分别是,AD BC 的中点，动点Q 在PF 上.（1）证明：平面PEF ⊥平面PBC ；（2）当EQ PF ⊥时，求平面QAB 与平面QCD 所成角的余弦值.18.（17分）在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，点()()2,0,2,0A B -，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是14-.记点M 的轨迹是曲线C ，点()()000,0D x y y >是曲线C 上的一点.（1）求曲线C 的方程；（2）若01x =，直线l 过点D 与曲线C 的另一个交点为E ，求ODE 面积的最大值；（3）过点)F 作直线交曲线C 于,P Q 两点，且OD PQ ⊥，证明：211||PQ OD +为定值.19.（17分）在平面直角坐标系xOy 中，我们可以采用公式,x ax by c y mx ny p =++⎧⎨=++⎩''（其中,,,,,a b c m n p 为常数），将点(),P x y 变换成点(),P x y '''，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式.常见的线性变换有平移变换和旋转变换.（1）将点(),P x y 向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到点(),P x y '''，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆22143x y +=向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新椭圆的方程；（2）将点(),P x y 绕原点逆时针旋转π4后，得到点(),P x y '''，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆22143x y +=绕原点逆时针旋转π4后，所得新椭圆的方程；（3）若点(),P x y 满足22220x xy y x y ++++-=，证明：点(),P x y 的轨迹是椭圆.浙江强基联盟2024年11月高二联考数学卷参考答案与评分标准1.D {}2,4A B ⋂=，故选D.2.C 由2222c a b =-=，则它的焦点坐标是()，故选C.3.C 由两点间的距离公式可得222||(2)(13)25PQ a =+++=，解得1a =或5-，选C.4.A 由222:(4)(3)9C x y -+-=，可得1C 与2C 的圆心距是5，又125r r +=，所以1C 与2C 外切，故选A.5.A 如图所示，EF ∥1BD ，则有1BD ∥平面AEC ，故选A.6.B令()12x t t -= ，则()()11,f t t f t t=++在[)2,∞+单调递增，所以()f t 的最小值是()722f =，故选B.7.C由空间向量的线性运算可得()()1111111111111122222B M B B BM A A B D c A D A B c b a a b c =+=+=+-=+-=-++.选项D 中，112222a b c a b c ⎛⎫--=--++ ⎪⎝⎭，与1B M 共线，故选D.8.B记()()()()()11,n n fx f f x f x f x +==，根据()f x 定义可得()()()()()2322422510192820172026f f f f f ===== ，考虑()()()()()20262022,2022203120272023f f f f f ====，()()()()()()()()2023203220282024,20242020,20202029f f f f f f f f =====()()()()()20252021,2021203020262022f f f f f =====，所以5f （2022）=()()()()43220232024202020212022ff f f ====，所以()2022n f 周期为5，取值分别是22522442023,2024,2020,2021,2022(2026)(2022)(2022)2021f f f ⋅===，故选B.9.ABC34i z =-，则z 的实部是3，故A正确；5z ==，B 正确；34i,C z =+正确，z 在复平面内对应的点的坐标是()3,4-，在第四象限，故D 错误.故选ABC.10.BD1B =“点数为1,2,3”，1A =“点数为1”，则11A B ⊆，则1A 与1B 不互斥，A 错误；2B =“点数为2,4,6，2A =”点数为2“，则22A B ⊆，B 正确；3B =”点数为31,2",A =“点数为3”，A B ⋃=“点数为1,2,3”，不是全集，故C 错误；4B =“点数为1,3,5”，34A A ⋃=“点数为3，4”，则()()3443416P A A B P A A ⎡⎤⋃==⋃⎣⎦.()41132P B =⨯，故D 正确.故选BD.11.ACD如图，设内切球的半径为r，易得4,cos ,A 33AH AH r BAO AB α∠α=====正确；直线AO 与平面ABC 的夹角是β，则1sin 3OH AO β==，B 错误；令xBC yBD BQ += ，则Q 是平面BCD 内一动点，BP xBC yBD BP BQ PQ --=-=，即球面上的点到平面BCD 上点之间的距离，最小值n 表示球面上的点到平面BCD 的距离，[]0,2n r ∈，即60,6n ⎡∈⎢⎣⎦，C 正确；点A 在线段BC 上的投影为线段BC 的中心E ，点P 在线段BC 上的投影点0P 位于点E 的左侧或右侧，且0EP 的最大值等于612r =，则66,1212m ⎡∈-⎢⎣⎦，D 选项正确.故选ACD.12.5由点到直线的距离公式5d ==.13.32πl R α==，则圆锥的母线长是3R =，由2π2πl r ==，得圆锥底面半径1r =，则h ==，由圆锥的体积公式可得211ππ333V Sh r h ===.14.12由1120,PF Q PQ ∠==，可得1260,2F PF PO ∠==.【法一】则由椭圆的定义不妨设12,2PF x PF a x ==-，由余弦定理和中线长公式得()()2222222212(2)2||,(2)22cos60x a x OF OP F F x a x x a x ⎧+-=+⎪⎨⎪=+---⎩｡即2222222222515242,688,223644,x ax c a c a c a x ax c a ⎧-=-∴-=-⎪⎨⎪-=-⎩得22122c a =，则211,42e e ==，【法二】设()12221200Δ0,,tan23F PF F PF P x y S b b cy ∠===，220022222001,3,4x y a b x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 即22220242202,33,34b x a a c b x a c ⎧+⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得4222222223343343b a b b a a a c c -+=+=，即2234b a =，得222111,42b e e a =-==.15.解：（1）因为点()1,4P 在圆上，则直线CP 的斜率为43-，则直线l 的斜率是34，可得直线l 的方程是()3414y x -=-，即34130x y -+=.（2）由于直线l 的倾斜角是3π4，则直线l 的斜率是1-，可得:50l x y +-=，则圆心C 到直线l的距离是2d =，则直线l 被圆C截得的弦长是16.解：（1）由2A B C +=，得π3C =，由2c =，可得2sin c R C ==R ABC ∴=∴.（2）()()221sin 2()ab CS a b c a b c a b c =+++-+-2221sin 22ab C a b ab c =⋅++-1sin 22cos 2ab C ab C ab =⋅+1sin 22cos 212C C =⋅=+.17.解：（1）因为四边形ABCD 等腰梯形，,E F 分别为,AD BC 的中点，所以BC EF ⊥，又因为PB PC =，所以PF BC ⊥，又因为,,EF PF F EF PF PEF ⋂=⊂，所以BC ⊥平面PEF ，而BC ⊂平面PBC ，所以平面PEF ⊥平面PBC .（2）当EQ PF ⊥时.假设2BC =，所以EF PF PE ===得到222EF PE PF +=，所以PE EF ⊥.如图建立空间直角坐标系，得()()()2,0,0,,1,A B C -，()2,0,0,0,55D Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面QAB 的一个法向量(),,n x y z =，(),2,55AB AQ ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭.则0,0,0,20,55x AB n AQ n x y z ⎧⎧-+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-++=⎪⎪⎩⎩取1y =得)n =.设平面QCD 的一个法向量()()4323,,,1,,2,,55m a b c DC DQ ⎛=== ⎝⎭0,0,0,20,55a DC m DQ m a ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎪⎩⎩取1b =-得)1,3m =--.设平面QAB 与平面PCD 所成角为θ，则7cos cos ,13m n m n m n θ⋅=<>==，所以平面QAB 与平面QCD 所成角的余弦值为713.18.解：（1）设点(),M x y ，所以直线AM 的斜率为()22AM yk x x =≠-+，同理直线BM 的斜率为()22BMy k x x =≠-，由已知可得()12224y y x x x ⋅=-≠±+-，化简得点M 的轨迹C 的方程是()22124x y x +=≠±.（2）计算得1,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则直线:2OD y x =，当直线l '∥OD 且与C 相切，切点为E ，此时ODE 的面积取最大值，设直线:2l y x m =+'，联立方程组22,244,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2210x m ++-=，()222Δ34140m m m =--=-=，解得2m =±，直线l '与OD之间的距离477d ==，所以1112227ODE S OD d ==⨯= .（2）由题知直线PQ 的斜率存在且不为0，设直线):0PQ x ty t =+≠，设()()1122,,,P x y Q x y ，联立方程组2244,x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得()22410t y ++-=，则122122,41,4y y t y y t ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以()2122414t PQ y t +=-=+，因为OD PQ ⊥，则直线:OD y tx =-，联立方程组22,44,y tx x y =-⎧⎨+=⎩得()22144t x +=，所以D OD ==，得()22241||14t OD t +=+，所以()()22222114145||44141t t PQ OD t t +++=+=++，为定值.19.解：（1）由平移可得()1,2PP '=- ，所以1,2.x x y y =-⎧⎨=+⎩''此即为坐标变换公式.设22143x y +=上任一点(),P x y ，向左平移1个单位，向上平移2个单位.得到的新的椭圆上一点(),P x y '''，则1,2,x x y y =-⎧⎨=+⎩''所以1,2,x x y y =+⎧⎨=-''⎩所以()()2212143x y '+-+='.所以新椭圆的方程为22(1)(2)143x y +-+=.（2）设将x 轴逆时针转到OP 的角为θ点，点(),P x y 绕原点逆时针旋转α得到点(),P x y '''由三角函数可得()()cos ,cos ,sin ,sin ,x OP x OP y OP y OP θθαθθα⎧⎧==+⎪⎪⎨⎨==+⎪⎪⎩'⎩'当π4α=时，,22,22x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩''此即为坐标变换式.设将22143x y +=上任一点(),P x y ，绕原点逆时针旋转π4后，得到的新的椭圆上一点(),P x y '''.则,2222,22x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩''得()(),22,2x x y y y x ⎪'''⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎩'所以()()22186x y y x '-'+'+='，即22727240x x y y -+'-='''.所以新的椭圆方程为22727240x xy y -+-=.（3）利用待定系数法或者猜测均可，得到π4α=.先把点(),P x y 绕原点逆时针旋转π4，得到点(),P x y '''，此时()(),22,2x x y y y x ⎪'''⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎩'所以()()())()2222111202222x y y x y x x y y x '''''-'++-+++-''+-=''化简得2213202222x y x y +++-=''''.利用配方法或者猜测均可，得到左右平移的单位.把点(),P x y '''向右平移2，向上平移2，得到点(),P x y ''''''，则,2,2x x y y '⎪'⎧=-⎪⎪⎨''''⎪=-⎩所以22132022222222x y x y ⎛⎫⎛-+-+-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''''''⎝⎭⎭'⎝'.化简得22162x y +=''''，是焦点在x 轴上的椭圆.所以点(),P x y 的轨迹是椭。
2020-2021学年河南省全国百强校“领军考试”高二上学期12月联考数学(文)试题(解析版)
2020-2021学年河南省全国百强校“领军考试”高二上学期12月联考数学（文）试题一、单选题1．已知实数0a b >>，则下列结论正确的是（ ） A ．22ac bc > B ．11a b< C ．2a ab < D ．2ab b <【答案】B【分析】由不等式的性质判断各选项． 【详解】因为0a b >>，当0c时，A 不成立，因为110b aa b ab--=<，故B 正确；当2()0a ab a a b -=->时，C 错误；2()0=->-b a b ab b ，故D 错， 故选：B.2．已知两个不重合的平面α，β，若直线//l α，则“//l β”是“//αβ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分必要条件的定义，及线面、面面位置关系判断．【详解】根据面面平行的判定定理，可知因为//l α，//l β推不出//αβ，反之，当//αβ，//l α，则l 与β的位置关系也不确定，所以“//l β”是“//αβ”的既不充分不必要条件.故选D ．3．已知正项等比数列{}n a ，298a a ⋅=，则52a =，则公比q 为（ ） A ．12B ．2C ．14D ．4【答案】B【分析】由等比数列性质求得56a a ，从而可得出6a ，再由等比数列定义可得公比q ． 【详解】因为数列{}n a 为正项等比数列，因为298a a ⋅=，所以29568a a a a ⋅=⋅=， 而52a =，所以64a =，所以公比2q ，故选：B.4．已知ABC中，bc=，cos2C=，则B等于（）A．60︒B．120︒C．60︒或120︒D．30或150︒【答案】C【分析】由条件可得1sin2C=，进一步可求出角C，由根据正弦定理可得sisnin Bb Cc==，结合条件可得答案.【详解】依题意，cos C=，所以1sin2C=，由0Cπ<<,所以6Cπ=由正弦定理可得，又bc=sisnin Bb Cc==又0Bπ<<，b a>，B A∴>，60B∴=︒或120B=︒.故选：C.5．已知双曲线22221(0,0)y xa ba b-=>>的一条渐近线方程为y x=，且焦距为4，则双曲线焦点到渐近线的距离为（）AB．1CD．2【答案】A【分析】根据已知条件求得焦点坐标，结合点到直线距离公式求得正确结果.【详解】双曲线22221(0,0)y xa ba b-=>>的焦距为4，所以焦点为(0,2)，所以双曲线焦点到渐近线0x y-==.故选：A6．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若ln ln0a b+=，则1a b⋅=”的逆命题为真命题B．命题“若1a>时，则函数21,0(),0xx ax xf xa x⎧+-≥=⎨<⎩在R上单调递增”是真命题C．A，B是随机事件，命题：“若()()()P A P B P A B+=⋃，则A，B是互斥事件”的否定是：“若()()()P A P B P A B+≠⋃，则A，B不是互斥事件”D．命题“到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆”的逆命题是真命题【答案】D【分析】写出逆命题，即可判断A 的正误；根据分段函数单调性的求法，在x =0左侧，0()1f x a →=，又(0)1f =-，可判断B 的正误；写出否命题，即可判断C 的正误；写出逆命题，根据椭圆的定义，即可判断D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：命题“若ln ln 0a b +=，则1a b ⋅=”的逆命题为：“若1a b ⋅=，则ln ln 0a b +=”，若,0a b <时，不成立，所以是假命题，故A 错误；对于B ：因为1a >，当x =0时，(0)1f =-，0x -→时，0()1f x a →=， 因为01a >-，所以该命题是假命题，故B 错误；对于C ：A ，B 是随机事件，命题：“若()()()P A P B P A B +=⋃，则A ，B 是互斥事件”的否定是：“若()()()P A P B P A B +=⋃，则A ，B 不是互斥事件”，故C 错误； 对于D ：命题“到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆”的逆命题为“椭圆上的点到两个定点的距离之和为定值”，根据椭圆的定义，可得其为真命题，故D 正确. 故选：D.7．已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若1252,15q a S ⋅==，则4a =（ ） A ．3 B ．4或13C ．4或132D ．3或132【答案】C【分析】利用已知条件求得1,a d ，由此求得4a .【详解】因为等差数列{}n a 的前n 和为n S ，125215a a S ⋅=⎧⎨=⎩，即()111251015a a d a d ⎧+=⎨+=⎩，解之得11a =或14a =-，当11a =，所以1d =，则44a =；当14a =-时，72d =，此时4132a =. 故选：C8．设实数x ，y 满足约束条件20202x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．2B ．2-C ．4-D ．6-【答案】A【分析】首先画出可行域，再利用z 的几何意义求最大值.【详解】由约束条件20202x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，作出可行域如图：由目标函数2z x y =-变形为122z y x =-， 当直线322zy x =-经过图中(2,0)时，z 最大，所以max 2202z =-⨯=. 故选：A . 9．函数221y x=- ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】先化简函数为22211y x x=--，再进行换元21t x =-t 的范围，根据对勾函数的单调性求42y t t=+的最小值即得结果. 【详解】因为22222221421111x y x x x x -+===-+---()1,1-.令21t x =-(0,1]t ∈，4222y t t t t ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，验证可知利用基本不等式求最值时等号不成立. 故根据对勾函数2y t t =+在(2上单调递减，可知22y t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在(0,1]t ∈上递减，所以1t =时，()min 2126y =⨯+=，此时0x =，故函数221y x=-6.故选：C.【点睛】易错点点睛：本题易错点在于求函数42y t t=+最小值时直接使用基本不等式，实际上利用基本不等式求最值时一定要确定取等号条件成立，而本题不成立，不能使用基本不等式求最小值. 10．已知一元二次不等式220x mx +->的解集为{2x x <-或}1x >，则不等式220x x m -++<的解集为（ ）A ．()2,1-B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解集与方程的关系求出m 的值，再利用一元二次不等式的解法解不等式220x x m -++<，即可得解.【详解】由题意可知，一元二次方程220x mx +-=的两根分别为2-、1， 由韦达定理可得21m -+=-，解得1m =. 所以不等式220x x m -++<即2210x x -++<， 整理得2210x x -->，解得12x <-或1x >，故原不等式的解集为()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.故选：D.11．已知a ∈R ，函数225,0()3,0x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，若||()0x f x -≥在[2,)x ∈-+∞恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,5] B ．[1,6] C ．[6,)+∞ D ．(,1)-∞【答案】A【分析】利用分离参数法分别研究0x >和20x -≤≤时不等式||()0x f x -≥恒成立，得到参数范围，再求交集即得结果.【详解】依题意可知：①当0x >时，2()3f x x x a =-+-，||()0x f x -≥即23x x a x -+-≤，整理可得：22a x x ≥-+，结合二次函数的性质可知：当1x =时，()2max21x x -+=，由恒成立的条件可知：()2max2(0)a x x x ≥-+>，故需1a ≥；②当20x -≤≤时，2()5f x x x a =++-，||()0x f x -≥即：25x x a x ++-≤-， 整理可得：225a x x ≤--+，结合二次函数的性质可知：当2x =-或0x =时，()2min255x x --+=，由恒成立的条件可知：()2min25(20)a x x x ≤--+-≤≤，则需5a ≤；综合①②可得a 的取值范围是[1,5]， 故选：A.【点睛】方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，利用分类讨论确定函数的最值，即可得出结果.12．已知直线y x m =+与抛物线2:4xC y =交于A ，B 两点，与y 轴交于点D ，若点A 在第二象限，且34OA OB k k ⋅=-时，OAD △外接圆半径为（ ）A．BCD【答案】C【分析】将直线方程代入抛物线方程消元，运用韦达定理及已知及34OA OB k k ⋅=-可解得m ，进一步可求解.【详解】因为抛物线2:4x C y =，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 联立方程组：24x y y x m ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2440x x m --=， 所以124x x +=，124x x m =-，又因为34OA OBk k ⋅=-，即22121230164x x x x +=，所以3m =或0m =(舍)，3m =代入方程2440x x m --= 得24120x x --=，解得2x =-或6x =因为点A 在第二象限，所以(2,1)A -，所以||5OA =， 在OAD △中，4ADO π∠=，由正弦定理可得，OAD △外接圆半径为151022sin 4π⨯=.故选:C.【点睛】关键点睛：代入消元，运用韦达定理建立方程，求出参数的值.二、填空题13．命题q ：存在[1,1]x ∈-，使得不等式230x x --≤成立的否定是___________. 【答案】任意[1,1]x ∈-，不等式230x x -->成立 【分析】根据存在性命题的否定的定义得解.【详解】由全称命题和特称命题的否定可知，命题q ：存在[1,1]x ∈-，使得不等式230x x --≤的否定是:任意[1,1]x ∈-，不等式230x x -->成立.故答案为: 任意[1,1]x ∈-，不等式230x x -->成立.14．如图，已知点P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上一点，F 为C 的左焦点，若||||5OP OF ==，5cos 5PFO ∠=，则椭圆C 的方程为___________.【答案】22194x y +=【分析】由条件解OPF △可得||1EF =，||2OE =，再结合中位线及椭圆定义即可求解.【详解】由题意可得，该椭圆的半焦距5c =，取椭圆的右焦点1(5,0)F 以及PF 中点E ，连接1PF ，如图，因为||||5OP OF ==5cos PFO ∠=||1EF =，||2OE =， 所以14PF =，||2FP =，所以12||6a PF PF =+=，即3a =， 所以2224b a c =-=，所以椭圆方程为22194x y +=.故答案为：22194x y +=15．函数()()22log 23f x x ax a =-++在[]1,2单调递减，则a 的范围是___________.【答案】4,17⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】分析出内层函数223u x ax a =-++在区间[]1,2上的减函数，且min 0u >，可得出关于实数a 的不等式组，进而可解得实数a 的取值范围.【详解】令223u x ax a =-++，二次函数223u x ax a =-++的图象开口向下，对称轴为直线x a =.由于函数()()22log 23f x x ax a =-++在区间[]1,2上为减函数，外层函数2log y u =为增函数，则内层函数223u x ax a =-++在区间[]1,2上为减函数，所以，1a ≤，且有min 470u a =-+>，解得47a >.综上所述，实数a 的取值范围是4,17⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：4,17⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】关键点点睛：解本题的关键点在于以下两点：（1）利用复合函数的单调性“同增异减”分析出内层函数和外层函数的单调性； （2）不要忽略了真数要恒大于零.16．已知数列{}n a 的通项公式为1122n n a -=++⋅⋅⋅+，则1210210a a a ++⋅⋅⋅+=___________.【答案】18379【分析】先利用等比数列前n 项和公式计算n a ，再代入化简1210210a a a ++⋅⋅⋅+，结合错位相减法和等差数列前n 项和公式计算即得结果. 【详解】依题意，1122n n a -=++⋅⋅⋅+，所以122112nn n a -==--，所以()()()21012102101212211021a a a ++⋅⋅⋅+=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-()2310122232...102123...10=⨯+⨯+⨯++⨯-++++，设2310122232...102S =⨯+⨯+⨯++⨯， 则234112122232...102S =⨯+⨯+⨯++⨯， 两式作差得，()102113101111221222 (210210229221)S ⨯--=++++-⨯=-⨯=-⨯--，故210111222102922S =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=⨯+，又10(101)123 (10552)⨯+++++==，所以11121021092255a a a +++=⨯+-9204825518379=⨯+-=.故答案为：18379.【点睛】方法点睛：数列求和的方法的（1）公式法：利用等差数列和等比数列前n 项和公式进行计算即可；（2）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法；（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（5）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（6）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.三、解答题17．设命题p ：任意[1,)x ∈+∞，不等式2530x m m -+-+<恒成立. （1）若p 为假命题，求实数m 的取值范围；（2）在命题p 为真的条件下，命题q ：“任意[2,1]x ∈-，不等式22230x mx m --+>恒成立”是否一定为真命题？试说明理由.【答案】（1）[]1,4-；（2）p 为真时，得不到命题q 一定为真命题，理由见解析. 【分析】（1）先根据一次函数的单调性求出p 为真命题时实数m 的取值范围，再求补集即可；（2）分类讨论，利用二次函数的最值求出“任意[2,1]x ∈-，不等式22230x mx m --+>恒成立”时m 的取值范围，再根据推出关系判断即可.【详解】（1）对于命题p ：对任意[1,)x ∈+∞，不等式2530x m m -+-+<恒成立， 因为函数253y x m m =-+-+在[1,)x ∈+∞上单调递减， 所以有1x =时，2max 430y m m =-+<， 解之得(,1)(4,)m ∈-∞-⋃+∞，则p 为假命题时，实数m 的取值范围[]1,4-（2）对任意的[2,1]x ∈-，不等式22230x mx m --+>恒成立， 即二次函数2223y x mx m =--+在[2,1]x ∈-上的最小值大于0即可，若2m ≤-，则2x =-时min 44230y m m =+-+>，解得m ∈∅； 若m 1≥，则1x =时min 12230y m m =--+>，解得1m ；若21m -<<，则x m =时22min 2320y m m m =-+->，解得m ∈∅，综上可得1m ，即命题q 为真时1m ， 而p 为真时(,1)(4,)m ∈-∞-⋃+∞， 因为(,1)(4,)m ∈-∞-⋃+∞不能推出1m ， 所以p 为真时，得不到命题q 一定为真命题. 【点睛】方法点睛：二次函数2y f xax bx c (0)a >在区间[],m n 上的最小值的讨论方法：(1) 当2b m a -≤时，()()min ;f x f m =(2) 当2bn a-≥时，()()min;f x f n =(3)2bm n a <-< 时，()min ()2b f x f a=-.18．已知关于x 的不等式222ax x ax -+<. （1）当1a =时，解不等式222ax x ax -+<； （2）当0a ≠时，解等式222ax x ax -+≥. 【答案】（1）(1,2)；（2）答案见解析.【分析】（1）1a =时化简不等式，直接解不含参数的一元二次不等式即得结果； （2）分别讨论0a <时、02a <<时、2a ≥时不等式的解集即可.【详解】解：（1）因为1a =，不等式化简为2320x x -+<，解得12x <<， 所以当1a =时，不等式222ax x ax -+<的解集为(1,2)；（2）令222ax x ax -+≥等价于2(2)20ax a x -++≥，对应方程的解为2x a=或1x =，当0a <时，21a <，对应二次函数开口向下，故2(2)20ax a x -++≥的解集是2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当02a <<时，21>a，对应二次函数开口向上，故2(2)20ax a x -++≥的解集是2(,1],a ⎫⎡-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭；当2a ≥时，21a<，对应二次函数开口向上，故2(2)20ax a x -++≥的解集是2,[1,)a ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦ 综上所述：当0a <时，不等式的解集是2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当02a <<时，不等式的解集是2(,1],a ⎫⎡-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭；当2a ≥时，不等式的解集是2,[1,)a ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】易错点睛：解含参数的一元二次不等式时，要对二次函数的开口方向、根的分布情况进行讨论，才能避免错误.19．己知a ､b ､c 为正数.（1）若2a b ab +=，证明：3a b +≥+（21=，证明：222a b c ++≥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用“1”的代换的方法，结合基本不等式证得不等式成立. （2）首先证得()22212222ab bc ac a b c ≥++++，然后证得()12222ab bc ac ++≥，从而证得不等式成立. 【详解】（1）因为2a b ab +=，变形得211b a+=所以21()a b a b b a ⎫⎛+=+⋅+= ⎪⎝⎭2213ab b a +++≥+当且仅当2a bb a=，即2b ==+. （2）()22222222212a b c a b c a b c ++=+++++1(222)2ab bc ac ≥++当且仅当19a b c ===时等号成立.1(222)2ab bc ac ++=1()2ab bc ab ac bc ac +++++ 1(2222≥++==当且仅当19a b c ===时等号成立.所以222 a b c ++≥当且仅当19a b c ===时等号成立.【点睛】利用基本不等式时，要注意一正二定三相等，正是正数的意思，定是定值的意思，相等是等号成立的条件.20．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 20b A c a -+=. （1）求角B ； （2）若b =ABC 为锐角三角形，求ABC 的周长的范围.【答案】（1）3B π=；（2）(3.【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，化简求得cos B ，进而求得B .（2）利用正弦定理将a c +表示为角的形式，结合三角函数值域的求法求得a c +的取值范围，由此求得三角形ABC 的周长的取值范围.【详解】（1）ABC 中，由2cos 20b A c a -+=，得1sin cos sin sin 2B A AC +=， 所以1sin cos sin sin()2B A A A B +=+， 1sin cos sin 2B A A +=sin cos cos sin A B A B +，1sin sin cos 2A A B =，而sin 0A ≠，所以1cos 2B =，即3B π=（2）在ABC中，b =3B π=，由正弦定理可得，2sin sin sin b a c B A C=== 所以2sin a A =，2sin c C =，因为ABC 为锐角三角形，3B π=，22B C C ππ⎧+>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，所以62C ππ<<，所以22sin 2sin 3a c C C π⎫⎛+=-+⎪⎝⎭且62C ππ<<，所以22sin 2sin 3a c C C π⎫⎛+=-+⎪⎝⎭12sin 2sin 22C C C ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭3sin C C =+6C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2363C πππ<+<，sin 62C π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，(3,6C π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3a c <+≤所以ABC 的周长a b c ++的范围为(3+.【点睛】在解三角形过程中，要注意利用正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换来求解.21．在数列{}n a 中，112a =，113nn n a a a +=+.（1）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式； （2）若(32)n n n b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）131n a n =-；（2）2(32)nn S n =+. 【分析】（1）由已知递推关系得1113n na a +-=，从而得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为公差的等差数列，由此可得通项公式1na ；（2）由（1）求出n b ，然后由裂项相消法求和n S ．【详解】本题考查数列的综合应用，主要考查数列求通项，数列求和，裂项相消法思想等.是较难题. （1）由113n n na a a +=+取倒数可得1113n n a a +-=， 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为公差的等差数列， 又112a =，所以111(1)23(1)31n n d n n a a =+-=+-=-， 则131n a n =-； （2）由（1）132(31)(32)n n a b n n n ==+-+11133132n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，111111111325588113132n S n n ⎫⎛=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭11132322(32)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．22．已知椭圆2221(20)4x y b b +=>>的离心率e 2=. （1）求椭圆的方程；（2）已知2P ⎭，直线12y x m =+(不过点P )与椭圆相交于A ，B 两点，PQ 平分APB ∠且与椭圆交于另一点Q .当AP BP ⊥时，求四边形APBQ 的面积.【答案】（1）2214x y +=；（2）85. 【分析】（1）根据2a =，由e 2==求得b 即可. （2）联立方程组221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，根据AP BP ⊥，由1AP BP k k ⋅=-，结合韦达定理解得m ，从而得到A ，B 的坐标，||AB 的长度及直线AP 和BP 的倾斜角分别为45︒，135︒，再由PQ 平分APB ∠得到PQ的方程x =进而求得直线AB 与PQ 的夹角θ，由1||||sin 2APBQ S AB PQ θ=⋅求解. 【详解】（1）因为2a =，又e 2==， 所以1b =，故椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得2224440x mx m -+-=，由根与系数的关系得：212122,22x x m x x m +=-⋅=- ， 则2121211,22y y m y y m +=⋅=-，因为AP BP ⊥，所以1AP BPk k ⋅=-121y y --=-，即))()12121212122y y y y x x x x ⋅++=-⋅-++ ， 解得325m，510A ⎛∴-- ⎝⎭，B ⎝⎭，所以||5AB ==， 则直线AP 和BP 的倾斜角分别为45︒，135︒， 因为A P B x x x <<，故PQ的方程只能是x ，设直线l 的倾斜角为α，与PQ 所成角为θ，故90αθ+=︒， 而1tan 2α=，故tan 2θ=，sin θ=∴||PQ = 故1||||sin 2APBQ S AB PQ θ=⋅1825==. 【点睛】方法点睛：1、解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2、解决直线与曲线的弦长时，往往设直线与曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB==(k为直线斜率)．注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．。
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二下学期联考理科数学试题(wd无答案)
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二下学期联考理科数学试题一、单选题(★) 1. 已知命题，关于的方程有实根”，则为（）A．，关于的方程有实根B．，关于的方程有实根C．，关于的方程没有实根D．，关于的方程没有实根(★★) 2. 已知为虚数单位，若，则（）A．B．C．D．(★★) 3. 已知集合，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知双曲线上一点到双曲线的两条渐近线的距离的积为，则双曲线的实轴长为（）A．B．C．D．(★★) 5. 若，且，则（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知函数，满足，则（）A．B．C．D．(★★) 7. 已知向量，均为单位向量，且，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 若，且不等式的解集中有且仅有个整数.则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 9. 已知菱形中, ，把沿折起，使点到达点处，且，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．(★★★)10. 已知函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（）A．是奇函数B．图象关于直线对称C．在上是增函数D．图象关于直线对称(★★) 11. 我们把函数称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数给出下列结论：① ；② D（ x+1）= D（ x）；③ ，④ ，其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4(★★★) 12. 已知椭圆的一个焦点为，一个顶点为，设，点是椭圆上的动点，若恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 的展开式中幂指数绝对值最小的项的系数为 ___________ .(★★★) 14. 已知的三边，，满足，且的面积为，则的值为 ___________ .(★★) 15. 随机变量满足，则 ___________ .(★★★) 16. 已知球内有个半径为的小球，则球的表面积的最小值为 ___________ .三、解答题(★★) 17. 已知数列是公比不为的等比数列，且成等差数列.（1）求；（2）设，求数列的前项的和(★★★) 18. 已知四棱锥中，三角形所在平面与正三角形 ABE所在平面垂直，四边形是菱形，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.(★★★) 19. 受2020年春季疫情的影响，在线教育前所未有的广为人知，也迎来了加速发展的新机遇，下图为2016—2020年中国在线教育市场规模，设2016年—2020年对应的代码分别为，市场规模为(单位：亿元).（1）由图中数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数(系数精确到)加以说明；（2）建立关于的回归方程，并预测2021年中国在线教育市场规模.附注：参考数据：；，，；参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.(★★★) 20. 已知点，分别是直线及抛物线：( )上的点，且的最小值为.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于点，，线段中点为，判断轴上是否存在点，使得为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由.(★★★★) 21. 已知函数（1）讨论的单调性（2）当时，恒成立，求的取值范围.(★★★) 22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程( 为参数).在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程；（2）若射线( ，)与直线及曲线分别交于点，，且，求.(★★★) 23. 已知.（1）求不等式的解集；（2）若对任意实数恒成立，求证：.。
山东省顶级名校2020-2021学年高二上学期11月学分认定考试数学答案
所以原点 C 到直线的距离 d 1 CM 5 .
2
2
a 即
5 ，解得 a=
10
经验证满足条件．
22
2，
所以存在点 M ，使得四边形 CAMB ．
此时，直线为 2x 2y 10 0 或 2x 2y 10 0
22. 【解析】(1)设圆 O 的半径长为 r ，圆心到直线 x 3y 2 0 的距离为 d
（法一）
设 C 的圆心为 (1,t) ，则有 1 32 t 02 (1 0)2 t 32 , 解得 t 1．
则圆 C 的半径为 1 32 (1 0)2 5
所以圆 C 的方程为 (x 1)2 ( y 1)2 5.
（法二）
设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 ，则
x3z 2
令 z 2 3 ，则 x 3 3 ， y 5 ，所以 n (3 3, 5, 2 3) ，
所以 cosm, n m n
23
3，
| m | | n | 1 27 25 12 4
所以平面 AEFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 3 . 4
21.【解析】(1)曲线 y x2 2x 3 与 y 轴的交点为 (0, 3) ，与 x 轴的交点为 3, 0 , (1, 0).
因为与圆相切，所以 k 2 k 2 2 ， k2 1
化简得 k2 8k 7 0 ，解方程得 k1 1,或k2 7 所以反射光线方程分别为 x y 1 0，7x y+5 0
解得与
x
轴的交点为
1,
0
,
5 7
,
0
所以反射点横坐标的取值范围为
5 7
，1
18.【解析】（1）由已知设圆 C 的方程为 x a2 y2 a2
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二上学期11月联考试题地理Word版含解析
2021－2021学年上学期全国百强名校“领军考试〞高二地理2021.11 考前须知：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.答复选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答复非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：此题共25个小题，每题2分，共计50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
彝族传统的土掌房(如以下图)多是厚土胚墙的平屋顶建筑。
屋面户户相连，下家屋顶是上家的庭院，形成“楼上楼〞景观。
据此完成1～3题。
1.土掌房最突出的优点是A.保暖隔热B.抗震抗倒C.通风散热D.防水防潮2.土掌房屋面兼具的主要功能是A.集雨蓄水B.晾晒作物C.抵御外敌D.观景嘹望3.根据土掌房的特点可判断当地A.降水日数多B.地势起伏大C.水资源短缺D.土壤肥力高内蒙古S集团在乌兰布和沙漠中养殖奶牛，构建起以牧治沙，以沙种草，以草养牛，牛粪还田的沙草有机循环产业链。
据此完成4～6题。
4.与传统乳畜业比拟，沙漠中开展奶牛养殖的主要优势是A.人口众多，市场广B.远离城市，地价低C.环境清洁，病害少D.光照充足，生长快5.以下地区中适宜推广该养殖模式的是A.西藏B.河南C.云南D.宁夏6.推行该养殖模式后，当地A.产业实现升级换代B.生态环境得到改善C.经济效益大幅提升D.城市土地利用高效纳帕海是云南香格里拉的一个季节性的湖泊，某些季节，湖面会缩小甚至干涸变成大片草原，成为当地牧民放马牧牛的“天堂〞，每年也会有大量来自青藏高原的黑颈鹤到此越冬。
据此完成7～8题。
7.牧民无法在纳帕海湖区放牧的时间最可能是A.春季B.夏季C.秋季D.冬季8.与青藏高原相比，纳帕海成为黑颈鹤越冬地的主要优势是A.纬度和海拔低，水温更适宜B.水域面积广，生存空间大C.冬季枯水期，捕食更方便D.大型猛兽少，天敌威胁小石漠化主要是指岩溶(又称喀斯特)地区的一种土地退化的现象及过程，是目前云贵高原岩溶地区最为突出的生态环境问题之一，严重制约着该地区的可持续开展，加剧了该地区的贫困。
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二上学期11月联考 英语试题 Word版含解析
全国百强名校2020－2021学年高二上学期“领军考试”英语2020.11 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上，录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话，每段对话后有一个小题。
从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例: How much is the shirt?A. £19.15.B. £9.18.C. £9.15.答案是C。
1. Where will the speakers probably go?A. A garage.B. A petrol station.C. A parking lot.2. How much should the woman pay for two hats?A. ￥20.B. ￥96.C. ￥60.3. Which pet can be kept in the apartment?A. A turtle.B. A dog.C. A cat.4. What's the probable relationship between the speakers?A. Friends.B. Brother and sister.C. Classmates.5. When did the conversation take place?A. On Wednesday.B. On Friday.C. On Sunday.第二节(共15小题，每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
2020-2021学年高二数学上学期11月段考试题
2020-2021学年高二数学上学期11月段考试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，{1,3,5}B =，则()U C A B =∩（ ）A ．{1}B ．{3,5}C ．{1,3,5}D ．{2,3,4,5}2.已知点(1,1)A -，(2,)B t ，若向量(1,3)AB =，则实数t =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．-23.已知直线l 过点(1,1)，且与直线6540x y -+=平行，则l 的方程为（ ）A ．56110x y +-=B ．5610x y -+=C ．65110x y --=D ．6510x y --=4.已知角α的始边为x 轴的正半轴，点(1,3)是角α终边上的一点，则tan α=（ ）A ．-3B ．13- C.13D ．3 5.已知函数32,0,()log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1[()]3f f 的值是（ ） A ．1 B ．12C.-1 D ．-2 6.执行如图所示的程序框图，若输入1x =，则输出k 的值为（ ）A ．3B ．4 C. 5 D ．67.下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,1)x x ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x <”的是（ ）A ．()|1|f x x =-B ．1()f x x = C. 1()1()2x f x =- D ．()sin 2f x x = 8.已知实数,x y 满足约束条件5315,1,53,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的取值范围是（ ）A ．[5,9]-B ．[7,9]- C.[5,3]- D ．[7,7]-11.在区间[0,2]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1x y +≤”的概率，2p 为事件“1xy ≥”的概率，则（ ）A ．1212p p <<B ．2112p p << C.1212p p << D ．2112p p << 12.已知数列{}n a 满足132a =，111n n a a +=-，则数列1{}1n a -的前100项和为（ ） A ．4950 B ．5050 C. 217 D ．215 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13函数()sin(2)f x x ϕ=+（其中ϕ为常数，||2πϕ=）的部分图象如图所示，则ϕ=_______.15.已知一个四棱锥的底面边长是边长为2的正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心，侧棱长为5，则这个四棱锥的内切球的表面积为__________.16.在平面四边形ABCD 中，2BC =，4DC =，四个内角的角度比为:::3:7:4:10A B C D =，则边AB 的长为__________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知向量(sin ,1)(1,cos )a x b x x R ==∈，，，设()f x a b =•.（1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）若2()(0,)432f ππθθ+=∈，，求()4f πθ-的值. 18.（本小题满分12分）从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a b ，的值；（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率.19.（本小题满分12分）20.（本小题满分12分）.如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AB ，AC 中点．21.（本小题满分12分）已知直线20x y +-=被圆222:C x y r +=所截得的弦长为8.（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 与圆C 切于点P ，当直线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点P 的坐标.22.（本小题满分12分）(3)方程f （|2x ﹣1|）+k （ ﹣3）有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．数学试题参考答案及评分标准一、选择题1-5:BADDB 6-10:CCAAB 11、12：AD二、填空题 13. 3π 14. 322+ 15. 43π 16.32 三、解答题17.解：（1）()sin cos f x a b x x ==+•222(sin cos )22x x =+所以函数()f x 的对称轴方程为()4x k k Z ππ=+∈.………………4分 （2）由（1）得，()2sin()4f x x π=+. 因为2()43f πθ+=，所以()2sin()444f πππθθ+=++………………5分22sin()2cos 23πθθ=+==.……6分所以1cos 3θ=.……7分 因为(0,)2πθ∈，所以222sin 1cos 3θθ=-=.………………8分所以()2sin()2sin 444f πππθθθ-=-+=………………9分 224233=⨯=.………………10分 18.解：（1）因为样本中家庭月均用水量在[4,6)上的频率为100.2540=， 在[6,8)上的频率为160.440=， 所以0.250.1252a ==，0.40.22b ==.………………2分 （2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有16+8+4=28个， 所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是280.740=. 利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率约为0.7.………………4分（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，则在[6,8)上应抽取167428⨯=人，记为,,,A B C D ，………………5分 在[8,10)上应抽取87228⨯=人，记为,E F ，………………6分 在[10,12]上应抽取47128⨯=人，记为G .………………7分 设“从中任意选取2个家庭，求其中恰有1个家庭的月均用水量不低于8吨”为事件，则所有基本事件有：{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}A B A C A D A E A F A G B C ，，，，，，{,}{,}{,}B D B E B F ，，，， {,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}B G C D C E C F C G D E D F D G E F E G ，，，，，，，，，{,}F G ，，共21种.…………9分事件包含的基本事件有：{,}{,}{,}A E A F A G ，，，{,}{,}B E B F ，，{,}B G ，{,}{,}{,}{,}{,}{,}C E C F C G D E D F D G ，，，，，，共12种.………………11分所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为124217=.………………12分 21.解：（1）因为圆C 的圆心到直线20x y +-=的距离为22|002|211d +-==+，……1分所以222228()(2)4182r d =+=+=. 所以圆C 的方程2218x y +=.………………3分 （2）设直线l 与圆C 切于点0000(,)(0,0)P x y x y >>，则220018x y +=.…4分 因为00OP y k x =，所以圆的切线的斜率为00x y -.……5分 则切线方程为0000()x y y x x y -=--，即0018x x y y +=.………………6分 则直线l 与x 轴正半轴的交点坐标为018(,0)x ，与y 轴正半轴的交点坐标为018(0,)y . 所以围成的三角形面积为0000118181622S x y x y =⨯⨯=.………………9分 因为220000182x y x y =+≥，所以009x y ≤. 当且仅当003x y ==时，等号成立.…10分因为00x >，00y >,所以00119x y ≥，所以00162162189S x y =≥=. 所以当003x y ==时，S 取得最小值18.………………11分所以所求切点P 的坐标为(3,3).………………12分22. 1）解：g （x ）=a （x ﹣1）2+1+b ﹣a ， 当a ＞0时，g （x ）在[2，3]上为增函数， 故 ，可得 ，⇔ ．当a ＜0时，g （x ）在[2，3]上为减函数．故 可得 可得 ，∵b＜1∴a=1，b=0 即g （x ）=x 2﹣2x+1．f （x ）=x+ ﹣2．（2）解：方程f （2x ）﹣k •2x ≥0化为2x + ﹣2≥k •2x ， k≤1+ ﹣ 令 =t ，k≤t 2﹣2t+1，∵x∈[﹣1，1]，∴t ，记φ（t ）=t 2﹣2t+1， ∴φ（t ）min =0， ∴k≤0．（3）解：由f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0 得|2x﹣1|+ ﹣（2+3k）=0，|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程|2x﹣1|+ ﹣（2+3k）=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象（如下图）知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1，记φ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则或∴k＞0．【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我每天更新】。
2020年11月全国百强名校领军考试高二上学期联考文科数学试题
因为数列an 是等比数列, a1 0, a12 0 ,
又
q
0,1
q
q2
q
1 2
2
3 4
0
,
所以 2a12q 1 q q2 0 , a12 a22 a32 > a1 a2 a3 2 ...................................................................（6 分）
高二数学试题
高二数学试题
高二数学试题
高二数学试题
1~5 BCBCA
13.【答案】 0, 5
高二数学试题
2020—2021 学年上学期全国百强名校
“领军考试”高二数学参考答案（文科）
6~10 CBBBD
11~12 BD
33
14.【答案】
4
15.【答案】 , 15 15,
16.【答案】④
高二文数参考答案 第 1 页 共 4 页
高二数学试题
= 2a1 a1q 2a1 a1q 2 2a1q a1q 2 2a12q 1 q q 2 ..........................................................................（3 分）
17.【解析】(1)由 a2
3, S3
2a4
3
成等比数列得
a1 3a1
d
3 3d
2a1
6d
3
,......................................(2 分)
解得
d
3 2
,
a1
3 2
,.........................................................................................................................................(4
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2020－2021学年上学期全国百强名校
“领军考试”高二数学(理科)
2020.11 注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“对∀x∈(0，＋∞)，sin2x<()2
x1
2
+
”的否定为
A.对∀x∈(0，＋∞)，sin2x≥()2
x1
2
+
B.∃x0∈(0，＋∞)，sin2x0<
()2
x1
2
+
C.∃x0∈(0，＋∞)，sin2x0≥()2
x1
2
+
D.∃x0∈(－∞，0]，sin2x0
()2
x1
2
+
2.已知数列{a n}的前4项依次为2，0，2，0，则数列{a n}的通项不可能是
A.a n＝
2n
0n
⎧
⎨
⎩
，为奇数
，为偶数
B.a n＝1＋(－1)n＋1
C.a n＝2|sin
2
nπ
| D.a n＝
1(1)
2
2
n
--
3.已知实数a，b，c满足a＋b<b<0<a＋c，则
A.a<b<c
B.ac＋bc<0
C.c－b>c－a
D.11 a c >
4.《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第
二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为
A.96
B.126
C.192
D.252
5.已知实数x，y满足约束条件
y x1
y2x2
y2x2
≤+
⎧
⎪
≥-
⎨
⎪≥--
⎩
，则3x－2y的取值范围是
A.[－3，4]
B.[－3，1]
C.[1，4]
D.[－4，3]
6.△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是
A.a>b⇔sinA>sinB
B.a>b⇔cosA<cosB
C.a>b⇔sin2A>sin2B
D.a>b⇔cos2A<cos2B
7.若a∈(0，1)，则指数函数f(x)＝(am)x在(－∞，＋∞)上为减函数的一个充分不必要条件是
A.m<1
B.0<m<1
C.m>0
D.0<m<1 a
8.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＋2a7＝0，则
A.S5＝S6，S13＝0
B.S5＝S6，S11＝0
C.S6＝S7，S13＝0
D.S6＝S7，S11＝0
9.已知命题p：2020≤2021，命题q：若a2＋b2>50，则|a|＋|b|>7，则下列命题为真命题的是
A.p∧q
B.p∧(⌝q)
C.(⌝p)∧q
D.(⌝p)∧(⌝q)
10.若对∀y∈(1，＋∞)，
22
31
x y
x y
<
+-
，则x的取值范围是
A.(－2，6)
B.(－∞，－3)∪(－2，＋∞)
C.(－3，－2)∪(6，＋∞)
D.(－∞，－3)∪(－2，6)
11.已知数列{a n}满足a n＝2n－1，在a n，a n＋1之间插入n个1，构成数列{b n}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，则数列{b n}的前100项的和为
A.211
B.232
C.247
D.256
，则A的最大值是
12.△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b3cosB
c cosC
=-，则A的最大值是
A.5
6
π
B.
2
3
π
C.
6
π
D.
3
π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若－1<
1
x
<2，则x 的取值范围是 。
14.△ABC 中AB ＝1，BC ＝3，CA
ABC 的面积为 。
15.已知f(x)＝x 2－
1
x
＋a ，g(x)＝log 3(2x ＋1)，若对∀x 1∈[，3]，∃x 2∈[1，3]，使得g(x 1)＝f(x 2)，则实数a 的取值范围为 。
16.已知公比为q(q>0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，给出下列命题：
①若a n ＋1>a n ，则a 1>0，q>1；②若a 1>0，则a 3＋a 9>2a 6；③若S n ＝2n ＋
2＋m ，则m ＝－1；④2n
n
S S ＝1＋q n 。
其中真命题的序号为 。
三、解答题：本题共6个小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
已知命题p ：方程x 2－2x ＋a ＝0有实根，命题q ：a ∈{x|x 2＋y 2－2y －3＝0}。
(1)若p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围；
(2)若m －2<a<m ＋2是p ∧q 为真命题的必要条件，求实数m 的取值范围。
18.(12分)
已知等差数列{a n }满足公差d>0，前n 项的和为S n ，S 3＝2a 4，a 1，a 3＋2，2a 4成等比数列。
(1)求{a n }的通项公式；
(2)若b n
＝()()n
n n 1
12n 5a a +-+，求数列{b n
}的前100项的和T
100。
19.(12分)
解关于x 的不等式：x 2－(a ＋4
a
)|x|＋4<0(a>0)。
20.(12分)
△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝ccosB ＋13
b 。
(1)求cosC ；
(2)若c ＝3，求a ＋b 的最大值。
21.(12分)
某中学高二甲乙两名学生在学习了解三角形知识后决定利用所学知识去测量学校附近的一个高灯的高度，已知高灯在一立柱的最上方，甲在立柱正前方，站立测得眼睛观察立柱底端B 与灯的顶端A 的俯角与仰角分别为θ，θ＋4
π
，且tan θ＝15，已知甲的眼睛到地面距
离为1.6m 。
(1)求灯的顶端A 到地面的距离AB ；
(2)若乙(身高忽略不计)在地面上选两点P ，Q ，∠PBQ ＝60°，且在点P 处观察A 的仰角为α，在点Q 处观察A 的仰角为β，且sinα
＝
5
，tanβ＝4，求P ，Q 两点之间的距离(精确到0.1m)。
≈1.7 22.(12分)
已知数列{a n }满足a n a n ＋1＝2n －
1，且a 2＋a 4＝3。
(1)求数列{a n }的通项，
(2)设b n ＝n 12n 22n 1
a -+-，S n ＝1
n
n i b =∑，求证：2≤S n <n ＋6。