2020-2021学年湖南省怀化市高二10月联考试题 数学 解析版
2020-2021学年湖南省怀化市高二上学期学业水平测试模拟数学试题Word版含解析
2020-2021学年湖南省怀化市上学期学业水平测试模拟高二数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-,{}2,1,2B =-，则A B ⋂=( ) .A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．{}2,0,1,2- 【答案】C【解析】试题分析：根据题意，由于集合{}1,0,1,2A =-,{}2,1,2B =-，那么可知两个集合的公共元素组成的集合为A B ⋂={}1,2，故选C.【考点】集合的交集点评：主要是考查了集合的交集的运算，属于基础题．2．在ABC 中，D 为BC 的中点，则AB AC +=（ ）A ．BCB ．CBC ．AD D ．2AD 【答案】D【解析】由向量的平行四边形法则可得AB AC +的值.【详解】解：将ABC ∆上的AD 延长，使得'DD AD =，可得四边形'ABCD 为平行四边形，可得'=2AB AC AD AD +=,故选：D.【点睛】本题主要考查向量加法的平行四边形法则，相对简单.3．下列函数中，在其定义域上为减函数的是（ ）A ．3y x =-B ．12y x =C ．2y xD ．2log y x =【答案】A【解析】由减函数的定义，对各个选项一一判断可得答案.【详解】A 选项，3y x =-在定义域R 上为减函数,故A 正确；B 选项, 12y x =在定义域R 上为增函数,故B 不正确； C 选项，2y x 在(,0)x ∈-∞是单调递减，在[0,)x ∈+∞是单调递增，故C 不正确；C 选项, 2log y x =在其定义域上单调递增，故D 不正确;故选：A .【点睛】本题主要考查减函数的判断，相对简单.4．函数f (x )＝3x －x 2的零点所在区间是A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(－2，－1)D ．(－1，0)【答案】D【解析】计算f(-1)＜0，f （0）＞0，根据零点存在性定理，可得结论．【详解】 ∵f （﹣1）＝13﹣1＝23-＜0，f （0）＝1﹣0＝1＞0 ∴根据零点存在性定理，可得函数f （x ）＝3x ﹣x 2的零点所在区间是（﹣1，0）故选：D ．【点睛】判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．5．已知直线l 过点（0，7），且与直线y=﹣4x+2平行，则直线l 的方程为（ ）A ．y=﹣4x ﹣7B ．y=4x ﹣7C ．y=﹣4x+7D ．y=4x+7【答案】C【解析】试题分析：根据两直线平行斜率相等，设过P 与直线l 平行的直线方程是 y=﹣4x+m 把点P （0，7）代入可解得 m ，从而得到所求的直线方程，解：设过P 与直线l 平行的直线方程是y=﹣4x+m ，把点P （0，7）代入可解得 m=7，故所求的直线方程是y=﹣4x+7．故选C ．【考点】直线的点斜式方程．6．∆ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若,B=1200,则a=AB ．2 CD【答案】D【解析】试题分析：首先根据正弦定理得到sin 1sin sin sin 2b c c B C c b C B B C b =∴===<∴<,故可知角C 为300，再利用内角和定理可知角A=300,则可知三角形中,故选D.【考点】正弦定理点评：本题给出三角形的两个角和一条边的长，求另外的边长，着重考查了三角形内角和定理和利用正余弦定理解三角形的知识，属于基础题．7．在空间坐标系，若()1,2,3A ，()3,4,B m，AB =m 为（ ）A ．1B ．3C ．1或5D ．3或5【答案】C【解析】由空间中两点的距离公式，代入可得实数m 的值.【详解】解：由()1,2,3A ，()3,4,B m，AB =可得：AB ==解得：1m =或5m =，故选：C.【点睛】本题主要考查空间中两点的距离公式，相对简单.8．.右图是2009年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）.A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，4【答案】C【解析】【详解】2848486+84+871=85,(11114) 1.655x s ++==++++=，选C.9．函数sin()(0,)2y x πωϕωϕ=+><的图象的一部分如图所示，则ω、ϕ的值分别为（）A ．1，3πB ．1，3π-C ．2，3π-D ．2，3π【答案】D【解析】由f （0）=sin φ=3，|φ|＜2π可以求得φ，又ω?3π+φ=π，可求ω的值．解：∵f （x ）=sin （ωx+φ），∴f （0）=sin φ，又f （0）=32，∴sin φ3|φ|＜2π，∴φ=3π；又ω?3π+φ=π，即ω?3π+3π=π， ∴ω=2．故答案为D ．10．如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm ），在此几何体的表面积是（ ）A ．2(2042)cm +B ．221cmC ．2(242)cm +D ．224cm【答案】A 【解析】三视图复原的组合体是下部是棱长为2的正方体，上部是底面边长为2的正方形，高为1的四棱锥，组合体的表面积为(2152242220422cm ⨯⨯+⨯⨯=+ 故选A二、填空题11．已知函数2(0)(){1(0)x x x f x x x -≥=+<，则(2)f = . 【答案】2【解析】试题分析：根据题意，由于函数2(0)(){1(0)x x x f x x x -≥=+<，那么当x=2时，则可知变量大于零，打入第一段解析式中可知为2222-=，故可知(2)f =2，故答案为2.【考点】分段函数点评：主要是考查了分段函数的求值的运用，属于基础题．12．若正实数a 、b 满足2a b +=，则ab 的最大值为______________．【答案】1【解析】由基本不等式及正实数a 、b 满足2a b +=，可得ab 的最大值.【详解】解：由基本不等式，可得正实数a 、b 满足2a b +=，a b +≥，可得2()14a b ab +≤=，故ab 的最大值为1， 故答案为：1.【点睛】本题主要考查基本不等式的简单应用，相对简单.13．已知数列{}n a 是等差数列，47a =，则{}n a 的前7项和7S =______________．【答案】49【解析】由等差数列的性质可得1774()772a a S a +⨯==⨯，可得{}n a 的前7项和7S 的值. 【详解】解：由数列{}n a 是等差数列，可得1774()77492a a S a +⨯==⨯=， 故答案为：49【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的性质应用，注意运算准确.14．我市某旅行社拟组团参加衡山文化一日游，预测每天游客人数在50至130人之间，游客人数x （人）与游客的消费总额y （元）之间近似地满足关系：224010000y x x =-+-．那么游客的人均消费额最高为______________元．【答案】40【解析】由题意列出人均消费额的函数，由基本不等式可得人均消费额最高值.【详解】解：由题意可得，人均消费额22401000010000()24024040y x x x x x x -+-==-++≤-=， 故游客的人均消费额最高为40元，故答案为：40.【点睛】本题主要考查基本不等式及函数模型的构建，只要认真审题，解答不难.15．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()6f 的值为_______.【答案】0【解析】根据函数是R 上的奇函数求得()0f ，根据()()2f x f x +=-得到函数的周期，由此求得()6f 的值.【详解】由于函数是R 上的奇函数，故()00f =.由于()()2f x f x +=-，故函数是周期为4的周期函数.所以()()()()()624222200f f f f f =-+⨯=-=--+=-=.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的周期性，属于基础题.三、解答题16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，50S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当n 为何值时，n S 取得最大值．【答案】（1）62n a n =- （2）6【解析】（1）由22a =，50S =，列出关于1a d 、的方程组，可得数列{}n a 的通项公式；（2）求出n S 的表达式，由二次函数的性质，可得当n S 取得最大时，n 的值.【详解】解：（1）因为22a =，50S =，所以11254502a d d a +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩． 解得14a =，2d =-．所以()()41262n a n n =+-⨯-=-．（2）()221(1)525415224n n n d S na n n n n n n -⎛⎫=+=--=-+=--+ ⎪⎝⎭． 因为*n ∈N ，所以当2n =或3n =时，n S 取得最大值6．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求法及等差前n 项和的最值问题，相对不难。
怀化市2020-2021学年高二10月联考 数学试题(含答案)
怀化市2020-2021学年高二10月联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|x 2－x>0}，B ＝{x|3x >3}，则A.A ∩B ＝∅B.A ∩B ＝AC.A ∪B ＝BD.A ∪B ＝A 2.“m>1”是“曲线22131x y m m +=--表示椭圆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离分别为3km ，5km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东40方向上，则灯塔A 与B 的距离为A.6km 3 C.7km 24.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上的动点，|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|的最小值为1，则C 的焦距为A.10B.8C.6D.45.已知数列{a n }满足a n ＝2n －1，则31422111n na a a a a a +++⋅⋅⋅+=--- A.13(1－12n ) B.13(1－14n ) C.12(1－12n ) D.12(1－14n ) 6.已知二次函数f(x)＝ax 2－x ＋c(x ∈R)的值域为[0，＋∞)，则91a c +的最小值为 A.3 B.6 C.9 D.127.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 1<0，S 13＝0，则使得S n ≤a n 的n 的最大值为A.12B.13C.14D.158.已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，a 2－c 2＝13b 2，tanA ＝2，则C ＝ A.12π B.6π C.4π D.3π 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省怀化市2020-2021学年高二上学期学业水平测试模拟数学试题
试题分析：由余弦定理得 ,则 ，即，解得 或 （舍）.
考点：余弦定理.
7．C
【分析】
由空间中两点的距离公式，代入可得实数 的值.
【详解】
解：由 ， ， ，
可得： ，
解得： 或 ，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查空间中两点的距离公式，相对简单.
8．C
【分析】
根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和方差．
6． 的内角 的对边分别为 ，若 ， ,则 等于（）
A． B．2C． D．
7．在空间坐标系，若 ， ， ，则实数 为（）
A．1B．3C．1或5D．3或5
8．如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．84,4.84B．84,1.6C．85,1.6D．85,4
C选项, 在其定义域上单调递增，故D不正确;
故选：A.
【点睛】
本题主要考查减函数的判断，相对简单.
4．D
【解析】
【分析】
计算f(-1)＜0，f（0）＞0，根据零点存在性定理，可得结论．
【详解】
∵f（﹣1）＝ ﹣1＝ ＜0，f（0）＝1﹣0＝1＞0
∴根据零点存在性定理，可得函数f（x）＝3x﹣x2的零点所在区间是（﹣1，0）
【详解】
解：将 上的 延长，使得 ，
可得四边形 为平行四边形，
可得 ,
故选：D.
【点睛】
本题主要考查向量加法的平行四边形法则，相对简单.
3．A
【分析】
由减函数的定义，对各个选项一一判断可得答案.
2021-2022学年湖南省怀化市武陵中学高二数学理联考试题含解析
2021-2022学年湖南省怀化市武陵中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若lgx﹣lgy=a，则=（）A．3a B．C．a D．参考答案：A【考点】4H：对数的运算性质．【分析】直接利用对数的性质化简表达式，然后把lgx﹣lgy2a代入即可．【解答】解： =3（lgx﹣lg2）﹣3（lgy﹣lg2）=3（lgx﹣lgy）=3a故选A．【点评】本题考查对数的运算性质，考查计算能力，是基础题．2. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( ).参考答案：B略3. 下列说法正确的是（）A、函数在闭区间上的极大值一定比极小值大.B、函数在闭区间上的最大值一定是极大值.C、对于函数，若，则无极值.D、函数在区间上一定存在最值.参考答案：C略4. 在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为( ) A． B. C. D.参考答案：B略5. 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y2﹣2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）A．y=3x2或y=﹣3x2 B．y=3x2C．y2=﹣9x或y=3x2 D．y=﹣3x2或y2=9x参考答案：D【考点】抛物线的标准方程；圆的标准方程．【分析】首先将圆方程化成标准形式，求出圆心为（1，﹣3）；当抛物线焦点在y轴上时，设x2=2py，将圆心代入，求出方程；当抛物线焦点在x轴上时，设y2=2px，将圆心代入，求出方程【解答】解：根据题意知，圆心为（1，﹣3），（1）设x2=2py，p=﹣，x2=﹣y；（2）设y2=2px，p=，y2=9x故选D．6. 在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D7. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3 B．20cm3 C．30cm3 D．40cm3参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案．【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选B．8. 抛物线的焦点坐标是（）A．B．C．D．参考答案：D9. 特称命题p：，,则命题p的否定是A．， B. ，C．，D．，参考答案：C10. 圆锥曲线）抛物线的焦点坐标为（）A ．B ．C ．D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，则f (4) =_________.参考答案：3略12. 复数（2+i）·i的模为___________.参考答案：.13. 已知双曲线=1（a＞b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的右顶点A（a，0），拋物线x2=2py（p＞0）的焦点及准线方程，根据已知条件得出①及=2c②，求出a=b，即可得双曲线的离心率．【解答】解：∵右顶点为A，∴A（a，0），∵F为抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，∴F（0，），∵|FA|=c，∴①抛物线的准线方程为y=﹣，代入双曲线的方程得x=±，∴=2c②，由①②，得=2c，即c2=2a2，∵c2=a2+b2，∴a=b，∴双曲线的离心率为．故答案为：．【点评】熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．14. 函数的单调递增区间是_________________.参考答案：略15. 从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是______________．参考答案：略16. 圆柱形容器的内壁底半径是cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为.参考答案：17. 命题“若，则”的逆否命题为真.参考答案：A略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020-2021学年湖南省怀化市高二上学期10月联考数学试题(解析版)
2020-2021学年湖南省怀化市高二上学期10月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}20A x x x =->，{}33xB x =>，则（ ） A ．AB =∅ B ．A B A =C ．A B B ⋃=D ．A B A ⋃=【答案】D【解析】由集合描述得()(),01,A =-∞⋃+∞、()1,B =+∞，利用集合的基本运算即可知正确选项. 【详解】由已知得：()(),01,A =-∞⋃+∞，()1,B =+∞，即A B B =，A B A ⋃=；故选：D . 【点睛】本题考查了集合基本运算，结合一元二次不等式的解法、指数函数的性质，属于简单题.2．“1m ”是“曲线22131x y m m +=--表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先根据曲线表示椭圆得()()1,22,3m ∈⋃，再根据集合关系判断必要不充分条件即可得答案. 【详解】解：由曲线22131x ym m +=--表示椭圆得：301031m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩， 解得：()()1,22,3m ∈⋃， 由于()()()1,22,31,⋃⊆+∞，1m ”是“曲线22131x y m m +=--表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B . 【点睛】本题考查根据椭圆的方程求参数范围，必要不充分条件，是基础题.3．两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离分别为3 km ，5 km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东40方向上，则灯塔A 与B 的距离为( ) A ．6 km B ．43kmC ．7 kmD ．52km【答案】C【解析】根据题意作出示意图，然后利用余弦定理可求解AB 的长度即为灯塔A 与B 的距离. 【详解】由题意作出示意图如下：由题意可得1802040120ACB ︒︒︒︒∠=--=，由余弦定理可知：29251549AB =++=，所以7AB =． 故选C . 【点睛】本题考查解三角形的实际应用，难度较易.处理解三角形实际问题中的角度问题，可先作出示意图，根据示意图选用合适的正、余弦定理求解相关值.4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，12PF PF +=10，1PF 的最小值为1，则C 的焦距为（ ） A ．10 B ．8C ．6D ．4【答案】B【解析】由椭圆定义及性质，布列方程组，即可得到结果. 【详解】由已知得2101a a c =⎧⎨-=⎩，解得54a c =⎧⎨=⎩，∴焦距为8. 故选：B 【点睛】本题考查椭圆的定义及基本性质，考查计算能力，属于基础题.5．已知数列{}n a 满足21nn a =-，则3134122111n na a a a a a +++⋅⋅⋅+=---（ ）A ．11132n⎛⎫-⎪⎝⎭B ．11134n⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11122n ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11124n ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A【解析】由数列通项公式可得21132nn n a a +=-⋅，应用等比数列前n 项和公式求和即可.【详解】 由题意知：221112232n n nn n a a ++==--⋅，∴23142211111111111112211322233212n n n n n a a a a a a +⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⨯=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭-. 故选：A 【点睛】本题考查了由已知数列通项公式求新数列通项，应用等比数列前n 项和公式，属于简单题.6．已知二次函数()()2f x ax x c x R =-+∈的值域为[)0,+∞，则91a c+的最小值为（ ） A ．3 B ．6C ．9D ．12【答案】D【解析】根据题意得0a >，14ac =，再根据基本不等式即可得答案. 【详解】解：由题意知0a >，140ac ∆=-=，14ac =，0c >，∴9112a c +≥=，当且仅当91a c =，即32a =，16c =时取等号.故选 ：D. 【点睛】本题考查根据二次函数值域求参数，基本不等式求最值，是中档题.7．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，10a <，130S =，则使得n n S a ≤的n 的最大值为（ ） A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】C【解析】由130S =找到1a d 、的关系，再代入n n S a ≤，解不等式即可. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()113137131302a a S a +===，∴160a d +=，16a d =-，∴0d >，n n S a ≤，即()()11112n n dna a n d -+≤+-， 化简得215+140114n n n -≤≤≤，. 故选：C. 【点睛】考查等差数列有关性质及计算，基础题.8．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，22213a cb -=，tan 2A =，则C =（ ） A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【答案】C【解析】由已知结合余弦定理得3cos b c A =，再边角互化并整理得tan 2tan A C =，故tan 1C =，4C π.【详解】由余弦定理得222222122cos 33bc A b c a b b b =+-=-=， ∴3cos b c A =，由正弦定理得sin 3sin cos B C A =， 即()sin 3sin cos A C C A +=，∴sin cos cos sin 3sin cos A C A C C A +=， ∴sin cos 2sin cos A C C A =， ∴tan 2tan A C =， ∴tan 1C =，4C π.故选：C. 【点睛】本题考查余弦定理，正弦定理边角互化，考查化归转化思想，运算能力，是中档题.二、多选题9．若椭圆222:11x y C m m +=-的一个焦点坐标为()0,1，则下列结论中正确的是（ ）A ．2m =B ．CC ．C 的短轴长为D ．C 【答案】ACD【解析】1=，得到椭圆方程，再判断选项. 【详解】1=，解得2m =或1m =-(舍去)，∴椭圆C 的方程为22132y x +=∴23a =，22b = ，即a =b =∴长轴长为2a =，短轴长2b =，离心率3c e a ===. 故选ACD . 【点睛】本题考查椭圆方程和椭圆的简单几何性质，重点熟记椭圆方程和椭圆的简单几何性质，属于基础题型.10．当0x >时，下列函数最小值为2的是（ ）A ．()y x x =B ．21x y x+=C ．y =D ．22412y x x =+-+ 【答案】BD【解析】由二次函数的性质，可得判定A 不正确；根据基本不等式和对勾函数的性质，可判定B 正确， C 不正确，于D 正确. 【详解】对于A 中，函数()2y x x x ==-+，此时函数在(0,)+∞上无最小值，所以A 不正确；对于B 中，由0x >，可得2112x y x x x+==+≥，当且仅当1x =时取等号，所以B正确；对于C 中，令t =≥1y t t ==+，由对勾函数图像可得其最小值为2，C 不正确；对于D 中，函数2222441122211y x x x x =+-=++-≥=++， 当且仅当212+=x ，即1x =时取等号，D 正确. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式求最值时的条件“一正、二定、三相等”，合理构造求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 11．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，222cos cos cos cos cos cos A B C A B C --=+cos2B -，且c =，则下列结论中正确的是（ ） A ．3C π=B ．23C π=C ．ABCD ．ABC【答案】BC【解析】由正余弦定理结合已知条件化简得23C π=，由三角形的面积公式结合基本不等式计算得面积的最大值. 【详解】∵222cos cos cos cos cos cos cos 2A B C A B C B --=+-，∴()()221sin 1sin A B ----()()()221sin cos cos cos 12sin C A B A B B-=-+--，∴222sin sin sin sin sin 0A B B A C ++-=，由正弦定理可得2220ab b a c ++-=，∴2221cos 22b a c C ab +-==-，0C π<<，∴23C π=， 22222232cos233c a b ab a b ab ab ab ab π==+-=++≥+=，当1a b ==时取等号，∴2ab ≤，∴1sin 24S ab C =≤故选：BC 【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，三角形的面积公式，基本不等式求最值，属于基础题. 12．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，201920212020S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列结论中正确的是（ ） A ．20200a >B ．20210a <C ．2019202020212022a a a a ⋅>⋅D ．2019n =时，n T 取得最大值【答案】ABC【解析】根据题设条件，得到2021202020212020201920200,0S S a S S a -=<-=>，进而求得201920220a a >->，20192020a a >20212022a a ，再结合“裂项法”求得12121112n n n T d a a a a ++⎫⎛=-⎪⎝⎭，结合0d <，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为201920212020S S S <<，可得2021202020210S S a -=<，2020201920200S S a -=>，20212019S S -=202120200a a +>，即202020210a a >->，202020210a d a d ->-->，即201920220a a >->， 所以20192020a a >20212022a a ，0d <，即数列{}n a 递减， 且10a >，20a >，…，20200a >，20210a <， 又由12n n n n b a a a ++=，可得1211n n n n b a a a ++==1121112n n n n d a a a a +++⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则122323341121211111111122n n n n n T d a a a a a a a a a a a a d a a +++⎛⎫⎛=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪⎝⎝⎭121n n a a ++⎫⎪⎭，由0d <，要使n T 取最大值，则121211n n a a a a ++⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最小值， 显然1210n n a a ++>，而23a a >34201920202021202220222023a a a a a a a a >⋅⋅⋅>><<⋅⋅⋅，所以当2020n =时，121211n n a a a a ++⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最小值. 综上可得，正确的选项为ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，其中解答中熟练应用通项n a 和n S 的关系式，数列的“裂项法”求和，以及数列的单调性进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三、填空题13．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，3a =，72b =，3sin 7A =，则B =______. 【答案】6π或56π 【解析】由正弦定理即可求得1sin 2B =，根据三角形内角和性质以及3sin 7A =即可求B .【详解】 由正弦定理：sin sin a b A B=，有7333sin 272B =⨯=，∴1sin ,02B B π=<<，而31sin 72A =<， 当06A π<<时，6B π=或56π； 当56A ππ<<时，由0A B π<+<，显然B 无解； ∴6B π=或56π.【点睛】本题考查正弦定理，结合应用了三角形内角和性质，属于基础题.14．若命题“0x R ∃∈，20010mx mx ++<”是假命题，则实数m 的取值范围是______. 【答案】[]0,4【解析】由题意可知，命题“x R ∀∈，210mx mx ++≥”是真命题，分0m =和0m ≠两种情况讨论，可得出关于实数m 的不等式，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】由题意可知，命题“x R ∀∈，210mx mx ++≥”是真命题， 当0m =时，10≥恒成立，满足题意； 当0m ≠时，则240m m m >⎧⎨∆=-≤⎩，解得04m <≤. 综上所述，实数m 的取值范围是[]0,4. 故答案为：[]0,4. 【点睛】本题考查利用特称命题的真假求参数，同时也考查了一元二次不等式在实数集上恒成立，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.15．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，23a =，31n n S a λ=-，则n S =______.【答案】312n -【解析】首先令1n =求出1a ，令2n =由递推式可解λ的值，进而构造出111322n n S S -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，得数列12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，可得结果. 【详解】 当1n =时，1103a λ=>-， ∴当2n =时，1383λλ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，解得2λ=，∴2n S =31n a -，当2n ≥时，12331n n n S S S -=--， 即131n n S S -=+，111322n n S S -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即数列12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，3为公比的等比数列，故113322n n S -+=⋅，∴312n n S -=. 故答案为：312n -. 【点睛】本题主要考查了由递推式求通项公式，得到λ的值，构造出等比数列是解题的关键，属于中档题,.16．已知1F ，2F 为椭圆22:14x y C m +=的两个焦点，若C 上存在点M 满足120MF MF ⋅=，则实数m 的取值范围是______.【答案】(][)0,28,+∞【解析】讨论椭圆焦点的位置，保证焦点三角形顶角为钝角或直角即可. 【详解】当焦点在x 轴上时，2a m =，24b =，4m >， 当M 为上下顶点时，12F MF ∠最大，∴122F MF π∠≥，14F MO π∠≥，∴12cos2F MOm∠=≤，解得8m≥；同理，当焦点在y轴上时，12cos2mF MO∠=≤，解得02m<≤.∴实数m的取值范围是(][)0,28,+∞，故答案为：(][)0,28,+∞【点睛】本题考查椭圆的应用，考查分类讨论思想，计算能力逻辑思维能力，考查转化思想，属于中档题．四、解答题17．已知等差数列{}n a的公差d不为0，11a=，2a是1a与6a的等比中项.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）记11nn nba a+=，求数列{}nb的前n项和nS.【答案】（1）32na n=-；（2）31nnSn=+.【解析】（1）由题得()()21115a d a a d+=⋅+，化简即得3d=和数列{}n a的通项；（2）利用裂项相消法求数列{}n b的前n项和n S.【详解】（1）由已知得2216a a a=⋅，∴()()21115a d a a d+=⋅+，化简得23d d=，∵0d≠，∴3d=，∴32na n=-.（2）由（1）知()()1111323133231nbn n n n⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭，∴11111111113447323133131n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法，考查等比中项的应用，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，2a =，F 为线段AC 上一点，CF ，有下列条件：①2c =；②b =sin 0ABC ABC ∠∠=. 请从以上三个条件中任选两个，求CBF ∠的大小和ABF 的面积. 【答案】条件选择见解析；4CBF π∠=，1ABFS=【解析】利用正余弦定理、辅助角公式可从三个选项的任意两个组合中得到6A C π==，23ABC π∠=，2a c ==，b =可求CBF ∠和ABF 的面积. 【详解】令ABC θ∠=，则由③知sin 2sin()03πθθθ=+=，即23ABC πθ∠==.1、选①②，则2a c ==，b =222cos 22a b c C ab +-==，即有6A C π==，23ABC π∠=， 2、选①③，则2a c ==，23ABC π∠=，即有6A C π==，3、选②③，2a =，b =23ABC π∠=，由正弦定理sin sin b a ABC A=∠，有6A π=，根据三角形内角和性质有6C π=，∴根据以上三种选择组合所得的条件，在BCF △中，由正弦定理可得sin sin CF BFCBF C=∠，而CF =，∴sin 2CBF ∠=，又23CBF CBA π∠<∠=，∴4CBF π∠=，即有512ABF AFB π∠=∠=，∴2AF AB ==，11sin 22sin 1226ABFS AF AB A π=⋅⋅=⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查了正余弦定理，综合应用辅助角公式、三角形内角和性质、三角形面积公式等，属于简单题.19．已知函数()()2428f x ax a x =-++.（1）当1a =-时，求不等式12log 0f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭的解集；（2）求不等式()0f x >的解集. 【答案】（1）[)10,4,16⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦；（2）答案见解析. 【解析】（1）当1a =-时，转化为解不等式1122log 2log 40x x ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，利用二次不等式解法及对数函数的单调性即可求解；（2）原不等式等价于()()240ax x -->，分类讨论求解即可. 【详解】（1）当1a =-时，1122log 2log 40x x ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 12log 2x ≤-或12log 4x ≥，解得4x ≥或1016x <≤， ∴不等式的解集为[)10,4,16⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦. （2）当0a =时，不等式为280x -+>，解得4x <， 此时不等式的解集为{}4x x <；当0a ≠时，原不等式等价于()()240ax x -->， 当0a >时，不等式等价于()240x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，对应方程两根为2a，4， ①当12a =时，24a=，不等式等价于()240x ->，此时不等式的解集为{}4x x ≠；②当12a >时，24a <，此时不等式的解集为24x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或；③当12a <时，24a >，此时不等式的解集为24x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或；当0a <时，24a <，不等式等价于()240x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，此时不等式的解集为24x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题． 20．已知,,a b c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，118sin sin 3A C +=，,,a b c 成等差数列.（1）求11tan tan A C+的值； （2）若4sin 5B =，求::a b c 的值.【答案】（1）43；（2）当3sin 5A =时，::=a b c 3:4:5；当sin 1A =时，::=5:4:3a b c . 【解析】（1）由,,a b c 成等差数列得到2sin sin sin B A C =+，代入计算即可. （2）由（1）和4sin 5B =求出sin 1A =或3sin 5A =，分两种情况讨论即可.【详解】解：（1）由已知得2b a c =+，代入正弦定理得2sin sin sin B A C =+，∵11sin sin 2sin 8sin sin sin sin sin sin 3A C B A C A C A C ++===， ∴11cos cos sin cos cos sin sin 4tan tan sin sin sin sin sin sin 3A C A C A CB AC A C A C A C ++=+===. （2）4sin 5B =，则3sin sin 5A C =，即83sin sin 55A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 解得sin 1A =或3sin 5A =. 当sin 1A =时，3sin 5C =，::sin :sin :sin 5:4:3a b c A B C ==；当3sin 5A =时，sin 1C =，::sin :sin :sin 3:4:5a b c ABC ==.【点睛】考查正弦定理和三角函数的恒等变换的应用,中档题.21．在数列{}n a 中，11a =，11113n n n n a a n ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）31123n n b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）()1312394838n n n n n S -++=+-⋅. 【解析】（1）由已知得113n n nb b +=+，再根据累加法即可得31123n n b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）结合（1）得323n n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而用分组求和和错位相减法求和求和即可得答案. 【详解】（1）由已知得11113n n n n a a b n n ++==++，即113n n n b b +=+， ∴1113n n n b b ---=，…，21113b b -=，累加得11221111133n n n n n b b b b b b -----+-+⋅⋅⋅+-=+⋅⋅⋅+，∴111111313111332313nn n n b --⎛⎫=++⋅⋅⋅+==- ⎪⎝⎭-， ∵1n =时也满足，∴31123n n b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）由（1）可得323n n nn a nb n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ∴ ()1233121222333n n n S n ⎛⎫=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，令1231233333n nn T =+++⋅⋅⋅+， 则234111231333333n n n n nT +-=+++⋅⋅⋅++， 相减得12311121111111233333332233223n n n n n n T n n n ++++=+++⋅⋅⋅+-=--=-⋅⋅， ∴ 323443n nn T +=-⋅，又()()31312324n n n ++++⋅⋅⋅+=， ∴()1312394838n n n n n S -++=+-⋅. 【点睛】本题考查累加法求通项公式，分组求和和错位相减法，考查运算能力，是中档题.22．已知椭圆E ：22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点为()F ，过F 的直线交E 于A 、C 两点，AC的中点坐标为33⎛- ⎝⎭. （1）求椭圆E 的方程；（2）过原点O 的直线BD 和AC 相交且交E 于B 、D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）32163x y +=；（2）【解析】（1）设()11,A x y ，()22,C x y ，分别代入椭圆方程作差，结合平方差公式和直线的斜率公式、中点坐标公式，可得a ，b 的关系，再由a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到所求椭圆方程；（2）求得直线AC 的方程，联立椭圆方程，可得A ，C 的坐标.设()33,B x y ，()44,D x y ，且直线BD 的斜率存在，设方程为y kx =(14OC k k <=)，联立椭圆方程，可得B ，D 的横坐标，则()1212ABCD ABCACDS SSAC d d =+=⋅+，(1d ，2d 分别表示B ，D 到直线AC 的距离)，运用点到直线的距离公式和换元法､基本不等式可得所求最大值. 【详解】解：（1）设()11,A x y ，()22,C x y ，可得2211221x y a b +=，2222222x y a b +=，两式相减得2221222212yy b x x a -=--， 将12x x +=12y y +=代入上式， 即2212AC b k a ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，222a b ∴=，又c =2223a b c -==，226,3a b ∴==，则椭圆E 的方程为32163x y +=；（2）直线AC的方程为0x y -+=，联立220163x y x y⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3AC ∴=， 设()33,B x y ，()44,D x y ，且直线BD 的斜率存在，设方程为y kx =(44OC k k <=)， 联立2226y kx x y =⎧⎨+=⎩，得()22126k x +=，则||x =， 设1d ，2d 分别表示B ，D 到直线AC 的距离， 所以()1212ABCD ABCACDS SSACd d =+=⋅+343k x x k x =-⋅-=-⋅===令140t k =->，则1(1)4k t =-，故4ABCD S =≤= 当且仅当9t t =，即3t =，12k =-时，四边形ABCD 的面积取得最大值【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中四边形面积的最值问题，属于较难题.。
2020年怀化市数学高二下期末统考试题含解析
2020年怀化市数学高二下期末统考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知服从正态分布()2,N μσ的随机变量，在区间(),μσμσ-+、()2,2μσμσ-+和()3,3μσμσ-+内取值的概率分别为68.3%、95.4%、和99.7%.某企业为1000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm ）服从正态分布()173,25N ，则适合身高在163183cm 范围内员工穿的服装大约要定制（ ） A ．683套 B ．954套C ．932套D ．997套【答案】B 【解析】 【分析】由()173,25N 可得173μ=，5σ=，则163183cm 恰为区间()2,2μσμσ-+，利用总人数乘以概率即可得到结果. 【详解】由()173,25N 得：173μ=，5σ=1632μσ∴=-，1832μσ=+，又()2,295.4%Pμσμσ-+=∴适合身高在163183cm 范围内员工穿的服装大约要定制：100095.4%954⨯=套本题正确选项：B 【点睛】本题考查利用正态分布进行估计的问题，属于基础题. 2．小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为23，则小明投篮四次，恰好两次投中的概率是（ ） A ．481B ．881C ．427D ．827【答案】D 【解析】分析：利用二项分布的概率计算公式：概率222422133P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可得出．详解：：∵每次投篮命中的概率是23， ∴在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率22242281.3327P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率是827．点睛：本题考查了二项分布的概率计算公式，属于基础题．3．椭圆22194x y+=的点到直线240x y+-=的距离的最小值为（）A B C D．0 【答案】D【解析】【分析】写设椭圆2294x y+=1上的点为M（3cosθ，2sinθ），利用点到直线的距离公式，结合三角函数性质能求出椭圆2294x y+=1上的点到直线x+2y﹣4＝1的距离取最小值．【详解】解：设椭圆2294x y+=1上的点为M（3cosθ，2sinθ），则点M到直线x+2y﹣4＝1的距离：d5==|5sin（θ+α）﹣4|，∴当sin（θ+α）45=时，椭圆2294x y+=1上的点到直线x+2y﹣4＝1的距离取最小值d min＝1．故选D．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、椭圆的参数方程以及点到直线的距离、三角函数求最值，属于中档题．4．已知下列说法：①对于线性回归方程ˆ35y x=-，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；②甲、乙两个模型的2R分别为0.98和0.80，则模型甲的拟合效果更好；③对分类变量X与Y，随机变量2K的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大；④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近1．其中说法错误的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据回归分析、独立性检验相关结论来对题中几个命题的真假进行判断。
2020-2021学年高二10月月考数学试题 Word版含解析 (1)
山东师大附中2019级数学2020年10月学业质量检测题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分为150分，考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出★答案★后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的★答案★标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他★答案★标号.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，★答案★必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的★答案★，然后再写上新的★答案★，不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其它笔.第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知向量(3,6,7),(4,,)a b m n ==分别是直线12,l l 的方向向量，若12//l l ，则（ ） A. 8,28m n == B. 4,28m m == C. 288,3m n ==D. 284,3m n ==【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意，得//a b ，由此可求出★答案★．【详解】解：∵12//l l ，且(3,6,7),(4,,)a b m n ==分别是直线12,l l 的方向向量， ∴//a b ，∴3674m n==， ∴288,3m n ==，故选：C ．【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示，属于基础题．2. 已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,)a b c m =-=--=，若,,a b c 共面，则实数m 的值为（ ）A.607B. 14C. 12D.627【★答案★】B【解析】【分析】由题意可知c xa yb=+，利用向量相等，列方程组求实数m的值.【详解】若,,a b c共面，则c xa yb=+，即()()()()7,5,2,1,41,1,22,,42m x y x y x y x y=-+--=--+-，所以27542x yx yx y m-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，解得：12,17,14x y m===.故选：B【点睛】本题考查空间向量共面，重点考查共面的公式，计算能力，属于基础题型.3. 在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，若,,PA a PB b PC c===，则BE=（）A.111222a b c-+ B.131222a b c--C.131222a b c-+ D.113222a b c-+【★答案★】C【解析】【分析】根据向量加减法，和空间向量基本定理直接求解即可.【详解】()()()11112222BE PE PB PD PB PB BD PB BD PB BA BC PB =-=-=+-=-=+-()11312222PA PB PC PB PB PA PB PC=-+--=-+131222a b c -+=. 故选：C【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用以及向量共线定理，空间向量基本定理，属于基础题. 4. 若向量(,4,5),(1,2,2)a x b =--=-，且a 与b 的夹角的余弦值为26-，则实数x 的值为（ ） A. 3- B. 11C. 3D. 3-或11【★答案★】A 【解析】 【分析】根据公式cos ,a b a b a b⋅<>=，计算结果.【详解】根据公式()22228102cos ,61625122a b x a b a bx ⋅+-<>===-++⨯+-+， 222241x x -=-+，且2x < 解得：11x =（舍）或3x =-. 故选：A【点睛】本题考查根据空间向量夹角公式求参数，重点考查计算能力，属于基础题型，本题的易错点是容易忽略在解方程是注意2x <这个条件.5. 在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,1AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ） A510B.1010C.55D.105【★答案★】D 【解析】 【分析】根据垂直关系，作111C M B D ⊥，1C BM ∠为所求角，直角三角形1C MB 中求111sin C MC BM C B∠=. 【详解】如图，作111C M B D ⊥，交11B D 于点M ，连接MB ，因1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB C M ⊥，又因为111C M B D ⊥，且1111BB B D B ⋂=，所以1C M ⊥平面11BB D D ，即1C BM ∠为所求角，221112BC =+=，2211125B D =+=所以1125C M ⨯=⨯，所以1255C M =11125105sin 52C M C BM C B ∠===.故选：D【点睛】本题考查线面角的几何求法，重点考查垂直关系，属于基础题型.6. 四棱锥P ABCD -中，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-，则这个四棱锥的高为（ ） A.55B.15C.25D.255【★答案★】A 【解析】 【分析】求出平面ABCD 的法向量n ，计算法向量n 与AP 的夹角得出AP 与平面ABCD 的夹角，从而可求出P 到平面ABCD 的距离．【详解】解：设平面ABCD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则n AB n AD⎧⊥⎨⊥⎩，∴23020x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =可得2y =，0z =，即(1n =，2，0)，1cos ,||||526n AP n AP n AP ∴<>==⨯，设AP 与平面ABCD 所成角为α，则1sin 526α=⨯，于是P 到平面ABCD 的距离为5||sin 5AP α=，即四棱锥P ABCD -的高为55． 故选：A ．【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．7. 已知向量(1,22)(2,11)a b ==-,,,，则向量b 在向量a 上的投影向量为（ ） A. 244,,999⎛⎫--- ⎪⎝⎭ B. 244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C. 211,,333⎛⎫-⎪⎝⎭D. 211,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭【★答案★】B 【解析】 【分析】首先求出向量b 在向量a 上的投影，从而求出投影向量，【详解】解：因为(1,22)(2,11)a b ==-,,,，所以2121212a b =-⨯+⨯+⨯=， 所以向量b 在向量a 上的投影为222223221a b a==++ 设向量b 在向量a 上的投影向量为m ，则()0m a λλ=>且23m =， 所以(),2,2m λλλ=，所以22222443λλλ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得29λ= 所以244,,999m ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题. 8. 三棱柱111ABC A B C -侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，当直线PN 与平面ABC 所成的角取最大值时，λ的值为( )A.12B.22C.32D.255【★答案★】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN 与平面ABC 所成的角，即可求得结论．【详解】如图，以AB ，AC ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， 则(,P λ0，1)，11,,122PN λ⎛⎫=--⎪⎝⎭，平面ABC 的一个法向量为(0,n =0，1) 设直线PN 与平面ABC 所成的角为θ21sin 15()24PN n PN nθλ⋅∴==⋅-+， ∴当12λ=时，25(sin )5max θ=，此时角θ最大． 故选A ．【点睛】本题考查了向量法求线面角的求法，考查了函数最值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9. 下列命题中不正确的是（ ） A. a b a b -=+是,a b 共线的充要条件 B. 若,C AB D 共线，则//AB CDC. ,,A B C 三点不共线，对空间任意一点O ，若311488OP OA OB OC =++，则,,,P A B C 四点共面D. 若,,,P A B C 为空间四点，且有PA PB PC λμ=+(,PB PC 不共线)，则1λμ+=是,,A B C 三点共线的充分不必要条件 【★答案★】ABD 【解析】 【分析】由向量的共线性质，可判定A 不正确；由向量的共线与点共线的关系，可判定B 不正确；由空间向量的基本定理可判定C 正确；由向量的共线定理，可判定D 不正确. 【详解】由a b a b -=+，可得向量,a b 的方向相反，此时向量,a b 共线， 反之，当向量,a b 同向时，不能得到a b a b -=+，所以A 不正确； 若,C AB D 共线，则//AB CD 或,,,A B C D 四点共线，所以B 不正确； 由,,A B C 三点不共线，对空间任意一点O ，若311488OP OA OB OC =++， 因为3111488++=，可得,,,P A B C 四点共面，故C 正确； 若,,,P A B C 为空间四点，且有PA PB PC λμ=+(,PB PC 不共线)， 当1λμ+=时，即1μλ=-，可得()PA PC PB PC λ-=+，即CA CB λ=， 所以,,A B C 三点共线，反之也成立，即1λμ+=是,,A B C 三点共线的充要条件， 所以D 不正确. 故选：ABD【点睛】本题主要考查了以向量的基本定理及向量共线的性质的判定为背景的命题的真假判定，其中解答解答中熟记平面向量的共线定理和平面向量的基本定理，以及充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查推理与论证能力.10. 已知空间三点(1,0,1),(1,2,2),(3,0,4)A B C ---，则下列说法正确的是（ ） A. 3AB AC ⋅=B. //AB ACC. 23BC =D.3cos ,65AB AC <>=【★答案★】AC 【解析】 【分析】由坐标求出,,AB AC BC ，即可依次计算判断每个选项正误. 【详解】(1,0,1),(1,2,2),(3,0,4)A B C ---，()()()0,2,1,2,0,3,2,2,2AB AC BC ∴==-=--， ()0220133AB AC ⋅=⨯-+⨯+⨯=，故A 正确；不存在实数λ，使得AB AC λ=，故,AB AC 不共线，故B 错误；()()22222223BC =-+-+=，故C 正确；3365cos ,65513AB AC AB AC AB AC⋅<==⨯⋅>=，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题考查空间向量的相关计算，属于基础题.11. 在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，2SA SB SC SD ====，则以下结论正确的有（ ） A. 0SA SB SC SD +++= B. 0SA SB SC SD +--= C. 0SA SB SC SD -+-= D. SA SB SC SD ⋅=⋅【★答案★】CD 【解析】 【分析】如图，连接AC 和BD 交于O ，连接SO ，由题可知OA ，OB ，OS 两两垂直，则以OA ，OB ，OS 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标计算即可判断.【详解】如图，连接AC 和BD 交于O ，连接SO ，由题可知OA ，OB ，OS 两两垂直，则以OA ，OB ，OS 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，，底面ABCD 是边长为1的正方形，2SA SB SC SD ====，22OA OB OC OD ====，22214222SO ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 则222214,0,0,0,,0,,0,0,0,,0,0,0,22222A B C D S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,214214,0,,0,,2222SA SB ⎛⎫⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 214214,0,,0,,2222SC SD ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()0,0,214SA SB SC SD ∴+++=-，故A 错误；()2,2,0SA SB SC SD +--=，故B 错误；()0,0,00SA SB SC SD -+-==，故C 正确；22141470022222SA SB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯+⨯+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22141470022222SC SD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯+⨯-+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即SA SB SC SD ⋅=⋅，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查空间向量的计算，属于基础题.12. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则 （ ）A. 直线1BD ⊥平面11AC DB. 三棱锥11P AC D -的体积为定值C. 异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是[]45,90︒︒D. 直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为63【★答案★】ABD 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质判定可判定选项A,对三棱锥11P AC D -转化顶点可判定选项B,找到异面成角的最小值的情况即可判断选项C,转化直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,进而判断选项D【详解】对于选项A,连接11B D ,由正方体可得1111AC B D ⊥,且1BB ⊥平面1111D C B A ,则111BB A C ⊥,所以11A C ⊥平面11BD B ,故111AC BD ⊥；同理,连接1AD ,易证得11A D BD ⊥,则1BD ⊥平面11AC D ,故A 正确；对于选项B,1111P A C D C A PD V V --=,因为点P 在线段1B C 上运动,所以1112A DP S A D AB =⋅,面积为定值,且1C 到平面11A PD 的距离即为1C 到平面11A B CD 的距离,也为定值,故体积为定值,故B 正确； 对于选项C,当点P 与线段1B C 的端点重合时,AP 与1A D 所成角取得最小值为60︒,故C 错误； 对于选项D,因为直线1BD ⊥平面11AC D ,所以若直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值最大,则直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,则P 运动到1B C 中点处,即所成角为11C BD ∠,设棱长为1,在11Rt D C B 中,111126cos 33C B C BD BD ∠===,故D 正确 故选：ABD【点睛】本题考查线面垂直的判定,考查异面成角,线面成角,考查棱锥体积,考查转化思想和空间想象能力第Ⅱ卷三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.）13. 若(2,1,2),(6,3,2)a b →→=-=-，且()a b a λ→→→+⊥，则实数λ=______________. 【★答案★】919- 【解析】 【分析】利用已知条件求出a b λ→→+，然后()=0a b a λ→→→+⋅，求出λ即可. 【详解】(2,1,2),(6,3,2)a b →→=-=-，∴()=2+6,13,22a b λλλλ+--+,()a b a λ→→→+⊥,()=0a b a λ→→→∴+⋅,即()()()()2+6+1312220λλλ⨯--⨯-++⨯=2，解得：λ=919-. 故★答案★为：919-【点睛】本题考查空间向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题. 14. 已知正四面体ABCD 的棱长为1，点E 、F 分别是BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____． 【★答案★】14【解析】 【分析】由正四面体的定义知，正四面体相对的棱互相垂直，从而可得出0AF BE ⋅=，进而得出14AE AF AB AF ⋅=⋅=. 【详解】如图，四面体ABCD 是正四面体，∴四面体的每个面都是正三角形，且相对的棱相互垂直，且棱长为1，又点E 、F 分别是BC ，AD 的中点，∴12AF AD =，0AF BE ⋅= ∴()1cos34AE AF AB BE AF AB AF BE AF AB AF π⋅=+⋅=⋅+⋅==. 故★答案★为：14. 【点睛】本题考查了正四面体的定义，正四面体的相对的棱互相垂直，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算和推理能力，属于基础题． 15. 四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1,3PD AB ==，G 是ABC 的重心，则直线PG 与DB 所成的角α的余弦值为____________，PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为______________. 【★答案★】 (1). 223(2). 13【解析】 【分析】由重心的性质可求得BG 的长，从而得DG 的长，在Rt PDG 中，由tan tan PDPGD DGα=∠=即可得解；由PD ⊥底面ABCD ，知PGD θ∠=，结合第一空的结果即可得解． 【详解】解：G 是ABC 的重心，21213223232BG BD ∴=⨯=⨯⨯=，22DG BD BG ∴=-=，PD ⊥底面ABCD ，PD BD ∴⊥，在Rt PDG 中，1tan tan 22PD PGD DG α=∠==， 22cos 3α∴=，∴直线PG 与DB 所成的角α的余弦值为223．PD ⊥底面ABCD ，PGD ∴∠即为PG 与底面ABCD 所成的角θ，由上可知，θα=， 1sin sin 3θα∴==， PG ∴与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为13．故★答案★为：223；13． 【点睛】本题考查线面角的求法，理解线面角的定义以便找出线面角的平面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16. 点P 是棱长为4的正四面体表面上的动点，MN 是该四面体内切球的一条直径，则PM PN ⋅的最大值是_______________. 【★答案★】163【解析】 【分析】作出图形，计算出正四面体ABCD 内切球O 的半径，由此可求得AO ，由空间向量数量积的运算性质得出223PM PN PO ⋅=-，进而可知当点P 为正四面体的顶点时，PM PN ⋅取得最大值，即可得解.【详解】如下图所示：正四面体ABCD 的棱长为4，其内切球球心为点O ，连接AO 并延长交底面BCD 于点E ， 则E 为正BCD 的中心，且AE ⊥平面BCD ，连接BE 并延长交CD 于点F ，则F 为CD 的中点，且BF CD ⊥，2223BF BC CF =-=，24333BE BF ==， AE 平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，AE BE ∴⊥，则22463AE AB BE =-=， BCD 的面积为1432BCD S CD BF =⋅=△，∴正四面体ABCD 的体积为116233A BCD BCD V S AE -=⋅=△，设球O 的半径为R ，则1443A BCD O BCD O ACD O ABD O ABC O BCD BCD V V V V V V S R ------=+++==⨯⋅△，3643A BCD BCD V R S -∴==△，6AO AE OE ∴=-=，PM PO OM =+，PN PO ON PO OM =+=-，()()22223PM PN PO OM PO OM PO OM PO ∴⋅=+⋅-=-=-，当点P 位于正四面体ABCD 的顶点时，PO 取最大值， 因此，222221663333PM PN PO AO ⋅=-≤-=-=.故★答案★为：163. 【点睛】本题考查空间向量数量积的最值的计算，同时也考查了正四面体内切球半径的计算，考查计算能力，属于较难题.四、解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如图，已知1111ABCD A B C D -是四棱柱，底面ABCD 是正方形，132AA AB ==，，且1160C CB C CD ︒∠=∠=，设1,,CD C a b B CC c ===.（1）试用,,a b c 表示1AC ； （2）已知O 为对角线1A C 的中点，求CO 的长. 【★答案★】（1）1AC a b c =---；（2）292. 【解析】 【分析】（1）由11AC A A AD DC =++可表示出来； （2）由21||()4CO a b c =++可计算出. 【详解】（1）11AC A A AD DC =++1AA BC CD =-+- 1CC CB CD c b a a b c =---=---=---；（2）由题意知||2,||2,||3a b c ===，110,233,23322a b a c a b ⋅=⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=，111()22CO CA a b c ==++，∴21||()4CO a b c =++()22212224a b c a b a c b c =+++⋅+⋅+⋅， ()2221292922302323442=⨯++++⨯+⨯==. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查利用向量计算长度，属于基础题. 18. 已知空间三点(0,2,3),(2,1,6),(1,1,5)A B C --.（1）若点D 在直线AC 上，且BD AC ⊥，求点D 的坐标； （2）求以,BA BC 为邻边的平行四边形的面积.【★答案★】（1）11,,422⎛⎫⎪⎝⎭；（2）73. 【解析】 【分析】（1）由点D 在直线AC 上，可设AD AC λ=，利用0BD AC ⋅=可求出λ，进而得出点D 的坐标；（2）由,BA BC 求出,,BA BC BA BC ⋅，进而求出3sin 2B =，即可利用面积公式求解. 【详解】解：（1）(1,3,2)AC =-，点D 在直线AC 上， 设(1,3,2)AD AC λλ==-，(1,3,2),(1,3,2)(,23,32)O OD OD O A A λλλλλ-=-=+-=-+， (,23,32)(2,1,6)(2,13,23)BD OD OB λλλλλλ=-=-+--=+--，(1,3,2)(2,13,23)239461470AC BD λλλλλλλ⋅=-⋅+--=+-++-=-=， ∴12λ=，11(,,4)22OD =，11(,,4)22D ∴. （2）(2,1,3),(3,2,1)BA BC =-=--，∴22222221(3)14,3(2)(1)14BA BC =++-==+-+-= ∴231(2)(3)(1)7BA BC ⋅=⨯+⨯-+-⨯-=，∴71cos cos ,21414BA BC BA BC BA BCB ⋅=<===>⨯，3sin 2B =，31414732S =⨯⨯=， 所以以,BA BC 为邻边得平行四边形的面积为73. 【点睛】本题考查空间向量的相关计算，属于基础题.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PD DC ==，,E F 分别是,AB PB 的中点.（1）求证：EF CD ⊥；（2）求PC 与平面DEF 所成角的正弦值. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）32. 【解析】 【分析】（1）以D 为 原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系，证明0EF CD ⋅=即可；（2）求出平面DEF 的法向量，利用sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅==即可求出.【详解】（1）证明：以D 为 原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系，(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,0),(0,02),(2,1,0),(1,1,1)A B C D P E F (1,0,1),(0,2,0)EF CD =-=-，100(2)100EF CD ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以EF CD ⊥，所以EF CD ⊥.（2）(2,1,0),(1,1,1),(0,2,2)DE DF PC ===-， 设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =，则00DE n DF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，200x y x y z +=⎧⎨++=⎩，2y x z x=-⎧⎨=⎩，令1x =，则(1,2,1)n =-. 设PC 与平面DEF 所成角为θ，()()()()22222201222163sin cos ,286022121PC n PC n PC nθ⨯+⨯-+-⨯⋅=====⨯++-⨯+-+， 所以PC 与平面DEF 所成角的正弦值为32. 【点睛】本题考查向量法证明线线垂直，考查线面角的向量求法，属于基础题.20. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2ABC π∠=，D 是棱AC 的中点，且11AB BC BB ===.（1）求证： 1//AB 平面1BC D ； （2）求直线1AB 到平面1BC D 的距离. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）33. 【解析】 【分析】（1）以B 为原点，以BC ，BA ，1BB 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，求出平面1BC D 的法向量，通过数量积推出1AB n ⊥，得到1AB //平面1BC D ．（2）通过直线上任一点到平面的距离都相等，(0,1,0)BA =，设直线1AB 到平面1BC D 的距离为d ，利用空间向量的数量积转化求解即可．【详解】（1）证明：以B 为原点，以BC ，BA ，1BB 所在的直线分别为x ，y ，z 轴， 如图建立空间直角坐标系，1111(0,0,0),(1,0,1),(,,0),(0,1,0),(0,0,1)22B C D A B ，1111(1.0,1),(,,0),(0,1,1)22BC BD AB ===-，设平面1BC D 的法向量为(,,)n x y z =，则1·0·0BC n BD n ⎧=⎨=⎩，011022x z x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，z xy x =-⎧⎨=-⎩， 令1x =，则(1,1,1)n =--， 101(1)(1)1(1)0AB n =⨯+-⨯-+⨯-=，所以1AB n ⊥，因为1AB ⊂/平面1BC D ，所以1AB //平面1BC D ．（2）解：因为1AB //平面1BC D ，所以直线上任一点到平面的距离都相等，(0,1,0)BA =， 设直线1AB 到平面1BC D 的距离为d ，则||13||33BA n d n ===， 所以直线1AB 到平面1BC D 的距离为33． 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，向量法的应用，直线到平面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．21. 如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，圆柱的侧面积为83π，120AOP ︒∠=.（1）求点G 到直线BC 的距离；（2）求平面PAG 与平面BAG 的夹角的余弦值. 【★答案★】（1）7；（2）155. 【解析】 【分析】（1）取AP 中点E ，证明//GE BC ，BE BC ⊥，于是点G 到直线BC 的距离等于线段BE 的长； （2）证明AG ⊥平面PBD ，则PGB ∠为所求二面角的平面角，在直角三角形PBG 中计算cos PGB ∠即可．【详解】解：（1）取AP 的中点E ，连接BE ，GE ， G 是PD 的中点，E 是AP 得中点，//GE AD ∴，又//BC AD ，//GE BC ∴，G ∴到直线BC 的距离等于E 到直线BC 的距离，BC ⊥平面ABP ，BE ⊂平面ABP ，BE BC ∴⊥，即E 到直线BC 的距离等于线段BE 的长，120AOP ∠=︒，2OA OP OB ===，2PB ∴=，23AP =，3PE ∴=， AB 是圆O 的直径，AP PB ∴⊥，227BE PB PE ∴=+=，∴点G 到直线BC 的距离为7．（2）设圆柱的高为h ，则圆柱的侧面积为：2283h ππ⨯⨯=，解得23h =，即23AD =，又23AP =，AD AP ∴=，AG PD ∴⊥，AD ⊥平面APB ，PB ⊂平面APB ，AD PB ∴⊥，AB 是圆O 的直径，AP PB ⊥，又AD AP A =，PB ∴⊥平面PAD ，PB AG ∴⊥，又PD PB P =，AG ∴⊥平面PBD ，PGB ∴∠为平面PAG 与平面BAG 所成二面角的平面角，由PB ⊥平面PAD 可得PB PD ⊥， 在直角三角形PBG 中，2PB =，221622AD AP PG PD +===， 2210BG PB PG ∴=+=，15cos 5PG PGB BG ∴∠==． 所以平面PAG 与平面BAG 的夹角的余弦值为155．【点睛】本题考查了线面平行与垂直的判定，考查空间距离与空间角的计算，属于中档题． 22. 如图（1）所示，在Rt ABC 中，90︒∠=C ，3,6BC AC ==，,D E 分别是,AC AB 上的点，且//,2DE BC DE =，将ADE 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，如图（2）所示.（1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）线段BC （不包括端点）上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由.【★答案★】（1）证明见解析；（2）4π；（3）不存在，★答案★见解析. 【解析】【分析】(1)证明1A C 垂直平面BCDE 内两条相交直线即可；(2)建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面1A BE 的法向量n ，利用向量夹角公式，即可得CM 与平面1A BE 所成角.(3)假设存在P 点，设点P 的坐标为(0,,0)(03)m m <<，求出平面1A DP 法向量1n ，假设平面ADP 与平面1A BE 垂直，则10n n ⋅=，得出t 的值，从而得出结论.【详解】（1）CD DE ⊥，1A D DE ⊥,1,A D CD 是平面1A CD 内的两条相交直线， ∴DE ⊥平面1A CD , 又1AC ⊂平面1A CD ， ∴1A C DE ⊥,又1A C CD ⊥,,DE CD 是平面BCDE 内的两条相交直线，1A C ∴⊥平面BCDE .（2）如图建系C xyz -，则(2,0,0)D -，(0,0,23)A ，(0,3,0)B ，(2,2,0)E -，∴1(0,3,23)A B =-，()2,1,0BE =--， 设平面1A BE 的一个法向量为(,,)n x y z =则100A B n BE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ∴323020y z x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩ ∴322z y yx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴取2y =，得(1,2,3)n =-，又∵(1,0,3)M -，∴(1,0,3)CM =-,CM n θ<>=，CM 与平面1A BE 所成角α ∴1342cos 2||||14313222CM n CM n θ⋅+====⋅++⋅+⋅，2cos cos 2αθ==， ∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒.（3）设点P 的坐标为(0,,0)(03)m m <<，1(2,0,23),(2,,0)D m DP A ==， 设平面1A DP 的法向量为1111(,,)n x y z =，则11100DA n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，1111223020x z x my ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，1111132z x y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，令13x m =，则 1(3,23,)n m m =--.要使平面1A DP 与平面1A BE 垂直，需1(1)32(23)3()0n n m m ⋅=-⨯+⨯-+⨯-=，解得2m =-，不满足条件.所以不存在这样的点P .【点睛】本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.既有传统方法，又有向量知识的运用，要加以体会，是中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
2020-2021学年湖南省怀化市麻溪铺镇中学高二数学理联考试题含解析
2020-2021学年湖南省怀化市麻溪铺镇中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，则（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小.【详解】①令，则，∴在上单调递增，∴当时，，即，故A正确．B错误.②令，则，令，则，当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，易知C，D不正确，故选：A．【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.2. 已知双曲线的左、右焦点分别F1、F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为I，且⊙I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的率心率，则（）A．|OB|=|OA| B．|OA|=e|OB| C．|OB|=e|OA| D．|OA|与|OB|关系不确定参考答案：A略3. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，设点CG到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有（）A． 1＜d1＜d2 B． d1＜d2＜1 C． d1＜1＜d2 D． d2＜d1＜1参考答案：D考点：点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：过C做平面PAB的垂线，垂足为E，连接BE，则三角形CEB为直角三角形，根据斜边大于直角边，再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角，能够推导出d2＜d1＜1．解答：解：过C做平面PAB的垂线，垂足为E，连接BE，则三角形CEB为直角三角形，其中∠CEB=90°，根据斜边大于直角边，得CE＜CB，即d2＜1．同理，d1＜1．再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知，前者大于后者，所以d2＜d1．所以d2＜d1＜1．故选D．点评：本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用．4. 若不等式2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，4] D．[4，+∞）参考答案：C【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】由已知条件推导出a≤x+2lnx+，x＞0，令y=x+2lnx+，利用导数性质求出x=1时，y取最小值4，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈（0，+∞）恒成立，∴a≤x+2lnx+，x＞0，令y=x+2lnx+，则=，由y′=0，得x1=﹣3，x2=1，x∈（0，1）时，y′＜0；x∈（1，+∞）时，y′＞0．∴x=1时，y min=1+0+3=4．∴a≤4．∴实数a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：C．5. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A. b=6，A=30°，C=60°B. b=3，c=2，B=60°C. a=7，b=5，A=60°D. a=3，b=4，A=45°参考答案：D6. 下列有四种说法①若复数满足方程，则；②线性回归方程对应的直线一定经过其样本数据点，，…，中的一个点；③若, 则；④用数学归纳法证明时，从到的证明，左边需增添的一个因式是．其中正确的是（）．A．①② B．③ C．③④ D．④参考答案：C略7. 用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是()A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C8. 已知且，对进行如下方式的“ 分拆”：→，→，→，…，那么361的“分拆”所得的数的中位数是参考答案：A9. “所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理（）A．小前提错 B．结论错 C．正确 D．大前提错参考答案：C略10. 双曲线的渐近线方程是( )A. B. C. D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内装进一些水，将容器底面一边BC固定于底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的形状始终是棱柱形状；②水面形成的四边形EFGH的面积不改变；③当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法是．（写出所以正确说法的序号）参考答案：①③【考点】棱柱的结构特征．【分析】由已知中长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内装进一些水，将容器底面一边BC固定于底面上，再将容器倾斜．结合棱柱的结构特征我们可以判断①②③的真假，进而得到答案．【解答】解：由于底面一边BC固定于底面上，故倾斜过程中，与BC边垂直的两个面始终平行，且其它面均为平行四边形，满足棱柱的结构特征，故①正确；水面形成的四边形EFGH的面积会发生改变，故②错误；E∈AA1时，AE+BF=AA1，故③正确；故答案为：①③12. 三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，空间有一点P到三个面的距离分别为3、4、5，则OP 的长为___________.参考答案：5略13. 若，则的值为______________参考答案：14. 已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是；参考答案：9615. 向量在向量方向上的投影为．参考答案：3【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．【专题】计算题．【分析】先求向量，的夹角，再求向量在向量方向上的投影；【解答】解：∵向量在向量，∴cos（，）===，∴向量在向量方向上的投影为：cos（，）=5×=3，故答案为3；【点评】此题主要考查平面向量数量积的定义及其性质，注意向量积公式，是一道基础题；16. 已知随机变量ξ～B（n，p），且Eξ=6，Dξ=3，则n= _________ ．参考答案：12略17. 已知函数，则f (4) =_________.参考答案：3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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湖南省怀化市2020-2021学年高二10月联考数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|x 2－x>0}，B ＝{x|3x >3}，则
A.A ∩B ＝∅
B.A ∩B ＝A
C.A ∪B ＝B
D.A ∪B ＝A
2.“m>1”是“曲线22
131
x y m m +=--表示椭圆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离分别为3km ，5km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东40方向上，则灯塔A 与B 的距离为
A.6km
C.7km
km
4.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上的动点，|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|的最小值为1，则C 的焦距为
A.10
B.8
C.6
D.4
5.已知数列{a n }满足a n ＝2n －1，则31422111n n
a a a a a a +++⋅⋅⋅+=--- A.
13(1－12n ) B.13(1－14n ) C.12(1－12n ) D.12(1－14
n ) 6.已知二次函数f(x)＝ax 2－x ＋c(x ∈R)的值域为[0，＋∞)，则91a c +的最小值为 A.3 B.6 C.9 D.12
7.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 1<0，S 13＝0，则使得S n ≤a n 的n 的最大值为
A.12
B.13
C.14
D.15
8.已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，a 2－c 2＝
13b 2，tanA ＝2，则C ＝ A.12π B.6π C.4π D.3
π 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.若椭圆C ：22
211
x y m m +=-的一个焦点坐标为(0，1)，则下列结论中正确的是 A.m ＝2 B.C
C.C 的短轴长为
D.C
的离心率为
3
10.当x>0时，下列函数最小值为2的是 A.y ＝
－x) B.y ＝2x 1x + C.y
D.y ＝x 2＋24x 2+－1 11.已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，cos 2A －cos 2B －cos 2C ＝cosAcosB ＋cosC －cos2B ，且c
，则下列结论中正确的是
A.C ＝3
π B.C ＝23π C.△ABC
面积的最大值为4 D.△ABC
面积的最大值为4
12.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2019<S 2021<S 2020，设b n ＝a n a n ＋1a n ＋2，则数列{
n 1b }的前n 项和为T n ，则下列结论中正确的是
A.a 2020>0
B.a 2021<0
C.a 2019·a 2020>a 2021·a 2022
D.n ＝2019时，T n 取得最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，a ＝3，b ＝72，sinA ＝37
，则B ＝ 。
14.若命题“∃x 0∈R ，mx 02＋mx 0＋1<0”是假命题，则实数m 的取值范围是 。
15.已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，a 2＝3，λS n ＝3a n －1，则S n ＝ 。
16.已知F 1，F 2为椭圆C ：22
14
x y m +=的两个焦点，若C 上存在点M 满足12MF MF ⋅＝0，则实数m 的取值范围是 。
四、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
已知等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝1，a 2是a 1与a 6的等比中项。
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记b n ＝
n n 1
1a a +，求数列{b n }的前n 项和S n 。
18.(12分)
已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，F 为线段AC 上一点，CF
BF ，有下列条件：
①c ＝2；②b ＝
；③sin ∠ABC
∠ABC ＝0。
请从以上三个条件中任选两个，求∠CBF 的大小和△ABF 的面积。
19.(12分)
已知函数f(x)＝ax 2－(4a ＋2)x ＋8。
(1)当a ＝－1时，求不等式f(12log x )≤0的解集；
(2)求不等式f(x)>0的解集。
20.(12分)
已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，118sin sin 3
A C +=，a 、b 、c 成等差数列。
(1)求
11tan tan A C
+的值； (2)若sinB ＝45，求a ：b ：c 的值。
21.(12分)
在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(1＋
1n )a n ＋13n n +。
(1)设b n ＝n a n
，求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n 。
22.(12分)
已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F(
0)，过F 的直线交E 于A ，C 两点，AC 的中点坐标为
(3-
，3
)。
(1)求椭圆E的方程；
(2)过原点O的直线BD与线段AC相交且交E于B，D两点，求四边形ABCD面积的最大值。