2019年全国高考理科数学数学分类汇编---解析几何

2019年全国高考理科数学分类汇编——解析几何
1.（2019北京理科）已知椭圆22
22 1x y a b
+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则
A. a 2=2b 2
B. 3a 2=4b 2
C. a =2b
D. 3a =4b
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率2
221,2
c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.
2.（2019北京理科）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：2
2
1||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ②
C. ①②
D. ①②③
【答案】C 【解析】 【分析】
将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的
点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 【
详
解】由
221x y x y
+=+得,
22
1y x y x -=-,
2
222
||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪
⎝
⎭厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线2
2
:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.
由2
2
1x y x y +=+得,22
2
2
12
x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到
. 结论②正确.
如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13
111122
ABCD S =
⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.
故选C.
【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.
3.（2019北京理科）已知抛物线C ：x 2
=−2py 经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．
【答案】(Ⅰ) 2
4x y =-，1y =；
(Ⅱ)见解析. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；
(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x =0即可证得题中的结论.
【详解】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2
221p =⨯-可得：2p =，
故抛物线方程为：2
4x y =-，其准线方程为：1y =. (Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，
设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程2
4x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-
设22
1212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-，
直线OM
方程为1
4x y x =-
，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，圆的半径为：1222
x x -， 且：()1212122222x x k x x x x ++
==，
12
222x x -==
则圆的方程为：()()(
)
2
2
2
2141x k y k -++=+，
令0x =整理可得：2
230y y +-=，解得：123,1y y =-=，
即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.
【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.（2019全国1卷理科）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足
.
的
，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是
A. 165 cm
B. 175 cm
C. 185 cm
D. 190cm
【答案】B 【解析】 【分析】
理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．
【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则
26261
1052
x x y +==+，得42.07, 5.15x cm
y cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ． 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．
5.（2019全国1卷理科）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于
A ，
B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则
C 的方程为
A. 2
212
x y +=
B. 22
132x y +=
C. 22
143
x y +=
D.
22
154
x y += 【答案】B
【解析】 【分析】
可以运用下面方法求解：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．
在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得222122
2144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩
，又2121,A F F B F F ∠∠互补，2121c o s c o s 0A F F B F F ∴∠+∠=，
两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，
解得2
n =
．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22
132
x y +=，故选B ． 【详解】如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有
121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1A F B △中，由余弦定理推论得
22214991cos 2233
n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12
AF F △中，由余弦定理得22
14422243n n n n +-⋅⋅⋅=，
解得n =
．
2
2
2
24312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22
132
x y +=，
故选B ．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
6.（2019全国1卷理科）已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为F 1，
F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 【答案】2. 【解析】 【分析】
通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐近线
可得21,BOF AOF ∠=∠0
2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由
0tan 60b
a
==可求
离心率. 【详解】如图，
由1,
F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，
又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得
02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为
0tan 60b
a
==所以该双曲
线的离心率为2c e a =
===． 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．
7.（2019全国1卷理科）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为3
2
的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．
（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 【答案】（1）12870x y --=；（2
【解析】 【分析】
（1）设直线l ：
3
y =x m 2
+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得121x x =+；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：2
3
x y t =
+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果.
【详解】（1）设直线l 方程为：3
y =
x m 2
+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 125
2
x x ∴+=
联立232
3y x m y x
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2
212121440m m ∆=--> 1
2m ∴<
1212125
92m x x -∴+=-=，解得：78
m =-
∴直线l 的方程为：37
28
y x =
-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：2
3
x y t =+
联立223
3x y t y x
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 1
3
t ∴>-
122y y ∴+=，123y y t =-
3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-
，13y = 123y y ∴=-
则AB ==
=
【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.
8.（2019全国2卷理科）若抛物线y 2
=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y p
p
+
=的一个焦点，
则p = A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
【答案】D 【解析】 【分析】
利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．
【详解】因为抛物线2
2(0)y px p =>的焦点(,0)2
p
是椭圆
2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2
p
p p -=，解得8p =，故选D ．
【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．
9.（2019全国2卷理科）设F 为双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标
原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2
交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为
A.
B.
C. 2
D.
【答案】A 【解析】
【分析】
准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．
【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，
又
||PQ OF c ==，||,2
c
PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，
A ∴为圆心||2
c
OA =．
,22c c P ⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
，又P 点在圆222x y a +=上，
22244c c a ∴+=，即2222
2,22c c a e a
=∴==．
e ∴=A ．
【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
10.（2019全国2卷理科）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−
1
2
.记M 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，
连结QE 并延长交C 于点G . （i ）证明：PQG 是直角三角形；
（ii ）求PQG 面积的最大值.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】
（1）分别求出直线AM 与BM 的斜率，由已知直线AM 与BM 的斜率之积为−1
2
，可以得到等式，化简可以求出曲线C 的方程，注意直线AM 与BM 有斜率的条件；
（2）（i ）设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立，求出P ，Q 两点的坐标，进而求出点E 的坐标，求出直线QE 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出G 的坐标，再求出直线PG 的斜率，计算PQ PG k k 的值，就可以证明出PQG 是直角三角形；
（ii ）由（i ）可知,,P Q G 三点坐标，PQG 是直角三角形，求出,PQ PG 的长，利用面积公式求出PQG 的面积，利用导数求出面积的最大值. 【详解】（1）直线AM 的斜率为(2)2y x x ≠-+，直线BM 的斜率为(2)2
y x x ≠-，由题意可知：
221
24,(2)222
y y x y x x x ⋅=-⇒+=≠±+-，所以曲线C 是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为()22
1,242
x y
x +=≠±；
（2）（i ）设直线PQ 的方程为y kx =,由题意可知0k >,直线PQ 的方程与椭圆方程
2224x y +=联立,
即22
,2 4.x y kx x y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩
或x y ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
,点P 在第一象
限，所以P Q ，因此点E
的坐标为
直线QE 的斜率为2QE k k =
，可得直线QE
方程：2k y x =
2222 4.k y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩
，消去y
得，22222128(2)021k k x k ++=+（*），设点11(,)G x y ，显然Q
和1x 是方程（*）的解
所以有222112128212k k x x k +-+=⇒=+，代入直线QE 方程中，得
3
1y =
G
的坐标为23
，
直线PG 的斜率为
; 3
322222(2)1642(2)PG
k k k k k k k -+=
==-+-+, 因为1
()1,PQ PG k k k k
=⋅-=-所以PQ PG ⊥，因此PQG 是直角三角形； （ii ）由（i
）可知：P Q ，
G
的坐标为23
，
PQ ==
，
PG ==
,
34218()2252
PQG
k k S k k ∆+==++ 42'
422
8(1)(1)(232)(252)
k k k k S k k -+-++=++,因为0k >，所以当01k <<时，'0S >，函数()S k 单调递增，当1k >时，'0S <，函数()S k 单调递减，因此当1k =时，函数()S k 有最大值，
最大值为
16 (1)
9 S=.
【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了利用导数求函数最大值问题.
11.（2019全国3卷理科）双曲线C：
22 42
x y
-=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若=
PO PF，则△PFO的面积为
A.
B. C. 1
2
x
x
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
详解】由2,,
a b c
===．
,
2
P
PO PF x
=∴=，
又P
在C的一条渐近线上，不妨设为在
2
y x
=上，
11
224
PFO P
S OF y
∴=⋅==
△
，故选A．
【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．
12.（2019全国3卷理科）设12
F F
，为椭圆
22
:+1
3620
x y
C=的两个焦点，M为C上一点且
在第一象限.若
12
MF F
△为等腰三角形，则M 的坐标为___________.
【答案】(
【
【解析】 【分析】
根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、
，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】由已知可得2
2
2
2
2
36,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，
11228MF F F c ∴===．∴24MF =．
设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则1212001
42
MF F S F F y y =⋅⋅=△，
又1201
4,42
MF F S y =
⨯=∴=△，解得0y =， 2
2
0136
20
x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）
，
M \的坐标为(．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
13.（2019全国3卷理科）已知曲线C ：y =2
2
x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两
条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，5
2
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.
【答案】(1)见详解；(2) 3或. 【解析】 【分析】
（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2
D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：
1111
()2
y x x t +
=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.
（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，
EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB 的
距离，则12d t d =
=
，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.
【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则2
1112
y x =。

又因为2
12
y x =，所以'y x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111
()2
y x x t +
=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得112210tx y -+=.
11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.
于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为
2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，
当20,210x y =-+=时等式恒成立。

所以直线AB 恒过定点1(0,)2
. （2）由（1）得直线AB 的方程为12
y tx =+
. 由2
122y tx x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，可得2210x tx --=， 于是2
121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+
212|||2(1)AB x x t =-==+.
设12,d d 分别为点,D E 到直线AB
的距离，则12d d ==
因此，四边形ADBE 的面积()(
2121
||32
S AB d d t =
+=+. 设M 为线段AB 的中点，则2
1,2M t t ⎛⎫+
⎪⎝⎭
，
由于EM AB ⊥，而(
)2
,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以(
)
2
20t t t +-=，解得
0t =或1t =±.
当0t =时，3S =；当1t =±时S =
因此，四边形ADBE 的面积为3或【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以。

思路较为清晰，但计算量不小。

14.（2019江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>经过点（3，
4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.
【答案】y =. 【解析】 【分析】
根据条件求b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.
【详解】由已知得2
2
2431b
-=，
解得b =b =
因为0b >，所以b =因为1a =，
所以双曲线的渐近线方程为y =.
【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.
15.（2019江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4
(0)y x x x
=+>上的一个动点，则
点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 【答案】4. 【解析】 【分析】
将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】当直线22gR r 平移到与曲线4y x x =+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线2
2gR r
的
距离最小. 由2
4
11y x '=-
=-
，得)x =
，y =
即切点Q ，
则切点Q 到直线2
2gR r
4=，
故答案为：4．
【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.
16.（2019江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦
点为F 1（–1、0），
F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222
(1)4x y a -+=交于点A ，
与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=
5
2
．
（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．
【答案】（1）22143
x y +=；
（2）3(1,)2E --. 【解析】 【分析】
(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；
(2)解法一：由题意首先确定直线1AF 的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B 的坐标，联立直线BF 2与椭圆的方程即可确定点E 的坐标；
解法二：由题意利用几何关系确定点E 的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E 的坐标. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c .
因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=
52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2
3
2
==， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2由b 2=a 2-c 2，得b 2
=3.
因此，椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=.
（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22
143
x y +=，a =2，
因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.
将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2
=16，解得y =±
4.
因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4).又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.
由()22
22116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩
，得2
56110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得12
5y =-，
因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3
(1)4
y x =-.
由22
3(1)41
4
3y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2
76130x x --=，解得1x =-或137x =. .
又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得3
2y =-.因此3(1,)2
E --.
解法二：
由（1）知，椭圆C ：22
143
x y +=.如图，连结EF 1.
因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A .因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.
因为F 1(-1，0)，由221
14
3x x y =-⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，得32y =±.
又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以3
2y =-
.因此3(1,)2
E --. 【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.
17.（2019江苏卷）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．
（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；
（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．
【答案】（1）15（百米）； （2）见解析；
（3）
17+. 【解析】 【分析】 解：解法一：
（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .利用几何关系即可求得道路PB 的长； （2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.
（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时，P 、Q 两点间的距离． 解法二：
（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P 和点B 的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB 的长；
（2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.
（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．
【详解】解法一：
（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .
由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====. 因为PB ⊥AB ，
所以84
cos sin 105
PBD ABE ∠=∠=
=. 所以
12
15
4cos 5
BD PB PBD =
==∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.
（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.
②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD =
=，
从而2227
cos 0225
AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.
所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.
当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.
设x y a M N +=⋅为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1
15PB =， 此时11113
sin cos 1595
PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯
=； 当∠OBP >90°时，在1
PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.
由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，
CQ ===.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于
圆O 的半径.
综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =d 最小，此时P ，Q 两点间的距
离PQ =PD +CD +CQ =17+
因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.
解法二：
（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.
因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为3 4 .
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为
4
3 -，
直线PB的方程为
425
33 y x
=--.
所以P（−13，9），15
PB==.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），
所以线段AD：
3
6(44)
4
y x x
=-+-剟.
在线段AD上取点M（3，15
4
），因为5
OM=<=，
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均
不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.
设x y a M N +=⋅为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =，此时()113,9P -； 当∠OBP >90°时，在1
PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.
当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，
得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.
综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离
4(13)17PQ =+-=+
因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.
【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
18.（2019天津卷理科）已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l .若与双曲线
22
2
21(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||A B O F =（O 为原点），
则双曲线的离心率为
A.
B.
C. 2
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。

【详解】抛物线2
4y x =的准线l 的方程为1x =-，
双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---
∴2b AB a =，
24b
a
=，2b a =，
∴c e a ===。

故选D 。

【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度。

19.（2019天津卷理科）设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭
圆的短轴长为4（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.
【答案】（Ⅰ）22154x y +=或.
【解析】 【分析】
(Ⅰ)由题意得到关于a ,b ,c 的方程，解方程可得椭圆方程；
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P 的坐标，从而可得OP 的斜率，然后利用斜率公式可得MN 的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.
【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为c ，依题意，24,
c b a ==，又222a b c =+，
可得a =，b =2，c =1.
所以，椭圆方程为22
154
x y +
=. (Ⅱ)由题意，设()()(),0,,0P P P M P x y x M x ≠.设直线PB 的斜率为()0k k ≠，
又()02,B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立22215
4y kx x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩，
整理得(
)2
2
45200k
x
kx ++=，可得2
2045P k
x k
=-
+， 代入2y kx =+得2
2
81045P k y k -=+，
进而直线OP 的斜率2
4510P P y k x k
-=-， 在2y kx =+中，令0y =，得2
M x k
=-
. 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2
k -
. 由OP MN ⊥，得
2451102k k k -⎛⎫
⋅-=- ⎪-⎝⎭
， 化简得2
245k =
，从而5
k =±所以，直线PB
或. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.
20.（2019浙江卷）渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）
A. B. 1
C.
D. 2
【答案】C 【解析】 【分析】
本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b
，则c =
的离心率c
e a
=
=【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误. 21.（2019浙江卷）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.
【答案】 (1). 2m =- (2). r =【解析】 【分析】
本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.
【详解】可知11
:1(2)22
AC k AC y x =-
⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时
||r AC ===【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质
22.（2019浙江卷）已知椭圆22
195
x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，
若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.
【解析】 【分析】
结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，
由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22
(2)16x y -+=，
联立方程22195
x y +=
可解得321
,22
x x =-
=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方，
求得32P ⎛- ⎝⎭
，所以212
PF
k ==
方法2：焦半径公式应用
解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =，
由中位线定理可得12||4PF OM ==，即3
42
p p a ex x -=⇒=-
求得3,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，所以212
PF k ==.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.
23.（2019浙江卷）如图，已知点(1
0)F ，为抛物线22(0)y px p =>，点F 为焦点，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点C 在抛物线上，使得V ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S
.
（1）求p 的值及抛物线的准线方程；
（2）求1
2
S S 的最小值及此时点G 的坐标.
【答案】（1）1，1x =-；（2
）1+()2,0G . 【解析】 【分析】
(1)由焦点坐标确定p 的值和准线方程即可；
(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得
1
2
S S 的最小值和点G 的坐标. 【详解】
(1)由题意可得12
p =，则2,4p p ==，抛物线方程为2
4y x =，准线方程为1x =-.
(2)设()()1122,,,A x y B x y ，
设直线AB 的方程为()1,0y k x k =->，与抛物线方程2
4y x =联立可得：
()2222240k x k x k -++=，故：22222
4
2,1k x x x x +=+
=， (
)
1212124
2,4y y k x x y y k
+=+-==-
⨯
=-，
设点C 的坐标为()33,C x y ，由重心坐标公式可得：
1233G x x x x ++=321423x k ⎛⎫++ ⎝=⎪⎭，1233G y y y y ++=3143y k =⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，
令0G y =可得：34y k =-，则2
332
4
4y x k ==.即222144123382G k x k k ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=，
由斜率公式可得：
13132
23113134
44
AC y y y y k y y x x y y --=
==-+-，
直线AC 的方程为：()3313
4
y y x x y y -=
-+，
令0y =可得：()()2
31331331334444
Q y y y y y y y y y
x x -+-+=+=+=-，
故()11112218121323118223G F y S x x y y k k ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫+-⨯=⨯- ⎪=
⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝=⨯⎭⎣⎦， 且()()32213311822423Q G y y y S x x y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤=
⨯-⨯-=---⎢⎥⎣⎦， 由于34
y k
=-
，代入上式可得：12222833y S k k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，
由12124
,4y y y y k +=
=-可得11
44y y k -=，则12144y k y =-，
则()()()22
11122121112281233222284433y y S y S y y k k k y k -==⎛⎫-+--⎛⎫
⨯- ⎭
⎪
⎝⎭
⎪⎝()212
142488168y y =--++-
212≥=+
.
当且仅当2
12
14888
y
y -=
-，即2
18
y =+
1y =
. 此时12144y k y =
=-，281223G x k ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
=，则点G 的坐标为()2,0G . 【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
24.（2019上海春季高考）已知2
221
4x y x a y a +=-⎧⎪⎨
+=⎪⎩
，当方程有无穷多解时，a 的值为_____________. 答案：2a =-；
25.（2019上海春季高考）如图，已知正方形OABC ，其中()1OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数1
2
y x
-=交AB 于点Q ，当AQ CP +最小时，则a 的值为_______
答案
解析：
依题意得，,P a Q a ⎫⎛⎪ ⎪⎝⎭
，则AQ CP +=，
当且仅当a =
a
26.（2019上海春季高考）在椭圆22
142
x y +
=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ⋅≤，则1F P 与2F Q 的夹角范围为____________
选自：2019年春考11
答案：1arccos ,3ππ⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦
解析：设(),P x y ，因为121F P F P ⋅≤，则2
2
21x y -+≤，与22
142
x y +=结合，可得[]21,2y ∈，
(22
22
1212cos F P F Q F P F Q
x θ⋅=
=
=⋅
（与22
142
x y +
=结合，消去x ） 222238
131,32
2y y y -⎡
⎤==-+
∈--⎢⎥++⎣⎦. 所以 1arccos ,3θππ⎡
⎤∈-⎢⎥⎣
⎦.
27.（2019上海春季高考）以()()12,0,,0a a 为圆心的两圆均过()1,0，与y 轴正半轴分别交于
()()12,0,,0y y ，且满足12ln ln 0y y +=，则点1211
,a a ⎛⎫
⎪⎝⎭
的轨迹是（ ）
A 、直线
B 、圆
C 、椭圆
D 、双曲线 答案：A
解析：
因为111r a =-=，21112y a =-，同理，22212y a =-， 又因为12ln ln 0y y +=，所以121y y =，则 ()()1212121a a --=，即
121212
112,
2a a a a a a =++= 设12
1
1x a y a ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，则2x y +=为直线，故答案为A.
28.（2019上海春季高考）已知抛物线方程24,y x F =为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：()PF d P FQ
=.
（1）当81,3P ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭时，求()d P ；
（2）证明：存在常数a ，使得()2d P PF a =+；
（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223P P P P =，判断()()13d P d P +与()22d P 的关系. 题型：（2）定值问题；（3）平方法比较大小
解析： （1）因为()84431233PF
k y x ==⇒=-，联立方程()24113,44Q y x x y x
⎧
=-⎪
⇒=⎨⎪=⎩
则()10835
34
PF d P QF ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩；
（2）当()1,0P -时，易得()22a d P PF =-=，
不妨设()1,P P y -，0P y >，直线:1PF x my =+，则2P my =-，
联立 214x my y x
=+⎧⎪⎨=⎪⎩， 2440y my --=，
2Q y m =
=+
(
)
222
P P Q y d P PF y -===-=
（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则
()()(
)
132132242d P d P d P P F P F P F
⎡⎤+-⎣⎦=+-=
=
=
因为(
)2
2
13121628y y y y ⎡⎤-++=-⎣⎦ 又因()()()()
2222213131313444480y y y y y y y y ++-+=+->， 所以()()13d P d P +()22d P >.
小结：（3）的本质为：AE 为ABC ∆的中线，则由三角形两边之和大于第三边，可知2AE AB AC
>+
D B C
A。