2019年全国高考理科数学数学分类汇编---解析几何
2019年高考数学试题分项版—解析几何(解析版)

2019年高考数学试题分项版——解析几何(解析版)一、选择题1.(2019·全国Ⅰ文,10)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为()A.2sin 40°B.2cos 40° C. D.答案 D解析由题意可得-=tan 130°,所以e=====.2.(2019·全国Ⅰ文,12)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=1答案 B解析由题意设椭圆的方程为+=1(a>b>0),连接F1A,令|F2B|=m,则|AF2|=2m,|BF1|=3m.由椭圆的定义知,4m=2a,得m=,故|F2A|=a=|F1A|,则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.令∠OAF2=θ(O为坐标原点),则sin θ==.在等腰三角形ABF1中,cos 2θ==,因为cos 2θ=1-2sin2θ,所以=1-22,得a2=3.又c2=1,所以b2=a2-c2=2,椭圆C的方程为+=1,故选B.3.(2019·全国Ⅱ文,9)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p等于()A.2 B.3 C.4 D.8答案 D解析由题意知,抛物线的焦点坐标为,椭圆的焦点坐标为(±,0),所以=,解得p=8,故选D.4.(2019·全国Ⅱ文,12)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为() A. B.C.2 D.答案 A解析如图,由题意知,以OF为直径的圆的方程为2+y2=①,将x2+y2=a2记为②式,①-②得x=,则以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为x =,所以|PQ|=2.由|PQ|=|OF|,得2=c,整理得c4-4a2c2+4a4=0,即e4-4e2+4=0,解得e =,故选A.5.(2019·全国Ⅲ文,10)已知F是双曲线C:-=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=|OF|,则△OPF的面积为()A. B. C. D.答案 B解析由F是双曲线-=1的一个焦点,知|OF|=3,所以|OP|=|OF|=3.不妨设点P在第一象限,P(x0,y0),x0>0,y0>0,则解得所以P,所以S△OPF=|OF|·y0=×3×=.6.(2019·北京文,5已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率是,则a等于()A.B.4 C.2 D.答案 D解析由双曲线方程-y2=1,得b2=1,∴c2=a2+1.∴5=e2===1+.结合a>0,解得a=.7.(2019·天津文,6)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为()A. B.C.2 D.答案 D解析由题意,可得F(1,0),直线l的方程为x=-1,双曲线的渐近线方程为y=±x.将x=-1代入y=±x,得y=±,所以点A,B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|=4|OF|可得=4,即b=2a,b2=4a2,故双曲线的离心率e===.8.(2019·浙江,2)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是()A.B.1C.D.2答案 C解析因为双曲线的渐近线方程为x±y=0,所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,都满足a=b,所以c=a,所以双曲线的离心率e==.9.(2019·全国Ⅰ理,10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=1答案 B解析由题意设椭圆的方程为+=1(a>b>0),连接F1A,令|F2B|=m,则|AF2|=2m,|BF1|=3m.由椭圆的定义知,4m=2a,得m=,故|F2A|=a=|F1A|,则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.令∠OAF2=θ(O为坐标原点),则sin θ==.在等腰三角形ABF1中,cos 2θ==,因为cos 2θ=1-2sin2θ,所以=1-22,得a2=3.又c2=1,所以b2=a2-c2=2,椭圆C的方程为+=1,故选B.10.(2019·全国Ⅱ理,8)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p 等于()A.2 B.3 C.4 D.8答案 D解析由题意知,抛物线的焦点坐标为,椭圆的焦点坐标为(±,0),所以=,解得p=8,故选D.11.(2019·全国Ⅱ理,11)设F 为双曲线C :-=1(a >0,b >0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ,Q 两点.若|PQ |=|OF |,则C 的离心率为( ) A. B. C .2 D. 答案 A 解析 如图,由题意知,以OF 为直径的圆的方程为2+y 2=①,将x 2+y 2=a 2记为②式,①-②得x = ,则以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2的相交弦所在直线的方程为x =,所以|PQ |=2.由|PQ |=|OF |,得2=c ,整理得c 4-4a 2c 2+4a 4=0,即e 4-4e 2+4=0,解得e= ,故选A.12.(2019·全国Ⅲ理,10)双曲线C :-=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点.若|PO |=|PF |,则△PFO 的面积为( ) A.B.C .2D .3答案 A解析 不妨设点P 在第一象限,根据题意可知c 2=6, 所以|OF |= .又tan ∠POF ==,所以等腰△POF 的高h = ×=,所以S △PFO =× ×=. 13.(2019·北京理,4)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12,则( )A .222a b =B .2234a b =C .2a b =D .34a b =【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件222a b c =+得答案.【解析】:由题意,12c a =,得2214c a =,则22214a b a -=,22244a b a ∴-=,即2234a b =.故选:B .【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质,熟记隐含条件是关键,是基础题.14.(2019·北京理,8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是( )A .①B .②C .①②D .①②③【思路分析】将x 换成x -方程不变,所以图形关于y 轴对称,根据对称性讨论y 轴右边的图形可得.【解析】:将x 换成x -方程不变,所以图形关于y 轴对称, 当0x =时,代入得21y =,1y ∴=±,即曲线经过(0,1),(0,1)-;当0x >时,方程变为2210y xy x -+-=,所以△224(1)0x x =--…,解得(0x ∈, 所以x 只能取整数1,当1x =时,20y y -=,解得0y =或1y =,即曲线经过(1,0),(1,1), 根据对称性可得曲线还经过(1,0)-,(1,1)-, 故曲线一共经过6个整点,故①正确.当0x >时,由221x y xy +=+得222212x y x y xy ++-=…,(当x y =时取等),222x y ∴+…,∴C 上y ,根据对称性可得:曲线C在x 轴上图形面积大于矩形面积122=⨯=,x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积12112=⨯⨯=,因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=,故③错误. 故选:C .【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用,属中档题.15.(2019·天津理,5)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线-=1(a >0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为()A. B.C.2 D.答案 D解析由题意,可得F(1,0),直线l的方程为x=-1,双曲线的渐近线方程为y=±x.将x =-1代入y=±x,得y=±,所以点A,B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|=4|OF|可得=4,即b=2a,b2=4a2,故双曲线的离心率e===.二、填空题1.(2019·全国Ⅲ文,15)设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为________.答案(3,)解析不妨令F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,根据题意可知c==4.因为△MF1F2为等腰三角形,所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.设M(x,y),则得所以M的坐标为(3,).2.(2019·北京文,11)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为________.答案(x-1)2+y2=4解析∵抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),准线l为直线x=-1,∴圆的圆心坐标为(1,0).又∵圆与l相切,∴圆心到l的距离为圆的半径,∴r=2.∴圆的方程为(x-1)2+y2=4.3.(2019·浙江,12)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C 相切于点A(-2,-1),则m=________,r=________.答案-2解析 方法一 设过点A (-2,-1)且与直线2x -y +3=0垂直的直线方程为l :x +2y +t =0,所以-2-2+t =0,所以t =4,所以l :x +2y +4=0,令x =0,得m =-2,则r = = .方法二 因为直线2x -y +3=0与以点(0,m )为圆心的圆相切,且切点为A (-2,-1),所以×2=-1,所以m =-2,r = = .4.(2019·浙江,15)已知椭圆+=1的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方.若线段PF 的中点在以原点O 为圆心 ,|OF |为半径的圆上,则直线PF 的斜率是________. 答案解析 依题意,设点P (m ,n )(n >0),由题意知F (-2,0),|OF |=2,所以线段FP 的中点M在圆x 2+y 2=4上,所以2+2=4,又点P (m ,n )在椭圆 +=1上,所以+=1,所以4m 2-36m -63=0,所以m =-或m =(舍去),当m =-时,n =,所以k PF == .5.(2019·江苏,7)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2-=1(b >0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是_________________. 答案 y =± x解析 因为双曲线x 2-=1(b >0)经过点(3,4),所以9-=1,得b = ,所以该双曲线的渐近线方程是y =±bx =± x .6.(2019·江苏,10)在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线y =x +(x >0)上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是________. 答案 4解析 设P,x >0,则点P 到直线x +y =0的距离d ==≥=4,当且仅当2x =,即x = 时取等号,故点P 到直线x +y =0的距离的最小值是4.7.(2019·全国Ⅰ理,16)已知双曲线C :-=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若 = , · =0,则C 的离心率为________. 答案 2解析 因为F 1B →·F 2B →=0,所以F 1B ⊥F 2B ,如图.因为=,所以点A为F1B的中点,又点O为F1F2的中点,所以OA∥BF2,所以F1B⊥OA,所以|OF1|=|OB|,所以∠BF1O=∠F1BO,所以∠BOF2=2∠BF1O.因为直线OA,OB为双曲线C的两条渐近线,所以tan∠BOF2=,tan∠BF1O=.因为tan∠BOF2=tan(2∠BF1O),所以=,所以b2=3a2,所以c2-a2=3a2,即2a=c,所以双曲线的离心率e==2.8.(2019·全国Ⅲ理,15)设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为________.答案(3,)解析不妨令F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,根据题意可知c==4.因为△MF1F2为等腰三角形,所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.设M(x,y),则=,=,,,得所以M的坐标为(3,).三、解答题1.(2019·全国Ⅰ文,21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,⊙M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上,求⊙M的半径;(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.解(1)因为⊙M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).因为⊙M与直线x+2=0相切,所以⊙M的半径为r=|a+2|.由已知得|AO|=2.又MO⊥AO,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故⊙M的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.理由如下:设M(x,y),由已知得⊙M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.由于MO⊥AO,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.2.(2019·全国Ⅱ文,20)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,故C的离心率为e==-1.(2)由题意可知,若满足条件的点P(x,y)存在,则|y|·2c=16,·=-1,即c|y|=16,①x2+y2=c2,②又+=1.③由②③及a2=b2+c2得y2=.又由①知y2=,故b=4.由②③及a2=b2+c2得x2=(c2-b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4.当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P.所以b=4,a的取值范围为[4,+∞).3.(2019·全国Ⅲ文,21)已知曲线C:y=,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点;(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程.(1)证明设D,A(x1,y1),则=2y1.由于y′=x,所以切线DA的斜率为x1,故=x1,整理得2tx1-2y1+1=0.设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.所以直线AB的方程为2tx-2y+1=0.所以直线AB过定点.(2)解由(1)得直线AB的方程为y=tx+.由可得x2-2tx-1=0,于是x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1.设M为线段AB的中点,则M.由于⊥,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=±1.当t=0时,||=2,所求圆的方程为x2+2=4;当t=±1时,||=,所求圆的方程为x2+2=2.4.(2019·北京文,19)已知椭圆C:+=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.(1)解由题意,得b2=1,c=1,所以a2=b2+c2=2.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设P(x1,y1),Q(x2,y2),则直线AP的方程为y=x+1.令y=0,得点M的横坐标x M=-.又y1=kx1+t,从而|OM|=|x M|=.同理,|ON|=.由得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,则x1+x2=-,x1x2=.所以|OM|·|ON|=·===2.又|OM|·|ON|=2,所以2=2.解得t=0,所以直线l经过定点(0,0).5.(2019·天津文,19)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知|OA|=2|OB|(O为原点).(1)求椭圆的离心率;(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l 相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.解(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有a=2b,又由a2=b2+c2,消去b得a2=2+c2,解得=.所以椭圆的离心率为.(2)由(1)知,a=2c,b=c,故椭圆方程为+=1.由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=(x+c).点P的坐标满足消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-.代入到l的方程,解得y1=c,y2=-c.因为点P在x轴上方,所以P.由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).因为OC∥AP,且由(1)知A(-2c,0),故=,解得t=2.因为圆C与x轴相切,所以圆C的半径为2.又由圆C与l相切,得=2,可得c=2.所以,椭圆的方程为+=1.6.(2019·浙江,21)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程;(2)求的最小值及此时点G的坐标.解(1)由题意得=1,即p=2.所以,抛物线的准线方程为x=-1.(2)设A(x A,y A),B(x B,y B),C(x C,y C),重心G(x G,y G).令y A=2t,t≠0,则x A=t2.由于直线AB过点F,故直线AB的方程为x=y+1,代入y2=4x,得y2-y-4=0,故2ty B=-4,即y B=-,所以B.又由于x G=(x A+x B+x C),y G=(y A+y B+y C)及重心G在x轴上,故2t-+y C=0.即C,G.所以,直线AC的方程为y-2t=2t(x-t2),得Q(t2-1,0).由于Q在焦点F的右侧,故t2>2.从而====2-.令m=t2-2,则m>0,=2-=2-≥2-=1+.当且仅当m=时,取得最小值1+,此时G(2,0).7.(2019·江苏,17)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,则c=1.又因为DF1=,AF2⊥x轴,所以DF2===.因此2a=DF1+DF2=4,所以a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)方法一由(1)知,椭圆C:+=1,a=2.因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4.因为点A在x轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.由得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-.将x=-代入y=2x+2,得y=-.因此B.又F2(1,0),所以直线BF2:y=(x-1).由得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.将x=-1代入y=(x-1),得y=-.因此E.方法二由(1)知,椭圆C:+=1.如图,连接EF1.因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B,所以∠A=∠B.所以∠A=∠BF1E,从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴,所以EF1⊥x轴.因为F1(-1,0),由得y=±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-.因此E.8.(2019·江苏,18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.解方法一(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因为PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE===.所以PB===15.因此道路PB的长为15(百米).(2)①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处,连接AD,由(1)知AD==10,从而cos∠BAD==>0,所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1D=P1B sin∠P1BD=P1B cos∠EBA =15×=9;当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ===3.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O 的半径.综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=3时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+3(百米).方法二(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为.因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为-,直线PB的方程为y=-x-.所以P(-13,9),PB==15.所以道路PB的长为15(百米).(2)①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),所以线段AD:y=-x+6(-4≤x≤4).在线段AD上取点M,因为OM=<=5,所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ==15(a>4),得a=4+3,所以Q(4+3,9).此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当P(-13,9),Q(4+3,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+3-(-13)=17+3.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+3(百米).9.(2019·全国Ⅰ理,19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,令Δ>0,得t<,则x1+x2=-.从而-=,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2,由可得y2-2y+2t=0,所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3,代入C的方程得x1=3,x2=,即A(3,3),B,故|AB|=.10.(2019·全国Ⅱ理,21)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE 并延长交C于点G.(ⅰ)证明:△PQG是直角三角形;(ⅱ)求△PQG面积的最大值.(1)解由题设得·=-,化简得+=1(|x|≠2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.(2)(ⅰ)证明设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k>0).由得x=±.记u=,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率为,方程为y=(x-u).由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.①设G(x G,y G),则-u和x G是方程①的解,故x G=,由此得y G=.从而直线PG的斜率为=-,因为k PQ·k PG=-1.所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形.(ⅱ)解由(ⅰ)得|PQ|=2u,|PG|=,所以△PQG的面积S=|PQ||PG|==.设t=k+,则由k>0得t≥2,当且仅当k=1时取等号.因为S=在[2,+∞)上单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为. 因此,△PQG面积的最大值为.11.(2019·全国Ⅲ理,21)已知曲线C:y=,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点;(2)若以E为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.(1)证明 设D,A (x 1,y 1),则=2y 1.由y ′=x ,所以切线DA 的斜率为x 1,故=x 1.整理得2tx 1-2y 1+1=0.设B (x 2,y 2),同理可得2tx 2-2y 2+1=0. 故直线AB 的方程为2tx -2y +1=0. 所以直线AB 过定点.(2)解 由(1)得直线AB 的方程为y =tx +. 由可得x 2-2tx -1=0,Δ=4t 2+4>0, 于是x 1+x 2=2t ,x 1x 2=-1,y 1+y 2 =t (x 1+x 2)+1=2t 2+1, |AB |= |x 1-x 2|= =2(t 2+1). 设d 1,d 2分别为点D ,E 到直线AB 的距离, 则d 1= ,d 2=,因此,四边形ADBE 的面积S =|AB |(d 1+d 2) =(t 2+3) .设M 为线段AB 的中点,则M. 由于⊥ ,而 =(t ,t 2-2),与坐标为(1,t )的向量平行,所以t +(t 2-2)t =0. 解得t =0或t =±1.当t =0时,S =3;当t =±1时,S =4 . 因此,四边形ADBE 的面积为3或4 .12.(2019·北京理,18)(14分)已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-. (Ⅰ)求抛物线C 的方程及其准线方程;(Ⅱ)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ,N ,直线1y =-分别交直线OM ,ON 于点A 和点B .求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.【思路分析】(Ⅰ)代入点(2,1)-,解方程可得p ,求得抛物线的方程和准线方程;(Ⅱ)抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -,设直线方程为1y kx =-,联立抛物线方程,运用韦达定理,以及直线的斜率和方程,求得A ,B 的坐标,可得AB 为直径的圆方程,可令0x =,解方程,即可得到所求定点.【解析】:(Ⅰ)抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-.可得42p =,即2p =, 可得抛物线C 的方程为24x y =-,准线方程为1y =; (Ⅱ)证明:抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -,设直线方程为1y kx =-,联立抛物线方程,可得2440x kx +-=, 设1(M x ,1)y ,2(N x ,2)y , 可得124x x k +=-,124x x =-, 直线OM 的方程为11y y x x =,即14xy x =-, 直线ON 的方程为22y y x x =,即24xy x =-, 可得14(A x ,1)-,24(B x ,1)-, 可得AB 的中点的横坐标为121142()224kk x x -+==-, 即有AB 为直径的圆心为(2,1)k -,半径为212||1441616||222AB k x x +=-==, 可得圆的方程为222(2)(1)4(1)x k y k -++=+, 化为224(1)4x kx y -++=, 由0x =,可得1y =或3-.则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0,1),(0,3)-.【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质,以及圆方程的求法,考查直线和抛物线方程联立,运用韦达定理,考查化简整理的运算能力,属于中档题.13.(2019·天津理,18)设椭圆+=1(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4,离心率为. (1)求椭圆的方程;(2)设点P 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M 为直线PB 与x 轴的交点,点N 在y 轴的负半轴上.若|ON |=|OF |(O 为原点),且OP ⊥MN ,求直线PB 的斜率.解(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,=,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c =1.所以椭圆的方程为+=1.(2)由题意,设P(x P,y P)(x P≠0),M(x M,0),直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB 的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立得整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得x P=-,代入y=kx+2得y P=.所以直线OP的斜率为=.在y=kx+2中,令y=0,得x M=-.由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-.由OP⊥MN,得·=-1,化简得k2=,从解得k=±.所以直线PB的斜率为或-.。
2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)专题05平面解析几何

专题05平面解析几何1.【2019年高考全国I 卷理数】已知椭圆C 的焦点为F 1( -1,0) , F",0),过F 2的直线与C 交于A , B两点•若| AF 2 | = 2|F 2B |, IABUIBF 」则C 的方程为2 2x y‘ 13 22 2x y ’C .14 3【答案】BF 2B = n ,贝U AF 2 = 2n , BF | = | AB = 3n ,由椭圆的定义有 2a = BF , + BF 2 = 4n j AF 1 =2a — AF 2 =2n .2 22a - 4 n = 2、3,. a — 3,. b - a - c =3-1=2,.所求椭圆方程为1,故选 B .3 2在△ AR F 2 和△ BF 1F 2 中,由余弦定理得 』{ + 4 _ 2 '2n 2 co# AF 2F 1 _、n +4-2,n 2 ■co^BF 2F 1 = 9n2 2x_丄5 4【解析】法一:如图,由已知可设在△ARB 中,由余弦定理推论得cos RAB 』匹 J在厶AFT ?中,由余弦定理得2 24n 4n1-2 2n 2n 4,解得 n =3 由椭圆的定义有 2a = BE * BF 2 = 4n ,二 AF 1 — 2^ - AF 2 — 2n .3又AF2R , BF2F-| 互补,cos AF2R cos BF2F^ 0,两式消去cos AF2F-| , cos BF2R,得OF 为直径的圆与圆x 2 y^a 2交于P , Q 两点.C . 23n 6=11^,解得n 订.2"曲厶3, a 『3b 2 二 a 2 -c 2 =3-1 =2,.所求椭圆方2 2程为y1,故选B .32【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、 转化与化归的能力,很好地落 实了直观想象、逻辑推理等数学素养.22 .【2019年高考全国n 卷理数】若抛物线 y =2px(p>0)的焦点是椭圆2 2x y ‘ 1的一个焦点,贝U P=3p P【答案】D【解析】因为抛物线y 2 =2px(p 0)的焦点(卫,0)是椭圆 22y1的一个焦点,所以3p-p =3p PX 2解得P =8,故选D .【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质,渗透逻辑推理、运算能力素养•解答时,利用抛 物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于P 的方程,从而解出P ,或者利用检验排除的方法, 如P = 2时,抛物线焦点为(1, 0),椭圆焦点为(塑,0),排除A ,同样可排除B , C ,从而得到选D .23.【2019年咼考全国n 卷理数】设F 为双曲线C : x-^a2=1(a 0,b 0)的右焦点,0为坐标原点,以b3【答案】A【解析】设PQ与X轴交于点A,由对称性可知PQ—X轴,又:,陀讣^门叭寺PA为以OF为直径的圆的半径,OF,贝U C的离心率为.52 2 2 2又P点在圆—上,专牛荷,即『汽宀詈2•避免代数法从头至尾运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来.解答本题时,准确画图,由图形对称性得出P点坐2 24.【2019年高考全国川卷理数】双曲线C: - — =1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,4 2坐标原点,若PO = PF,则APFO的面积为3.24 C. 2 23、.2 2【答案】A【解析】由a = 2, b = 2 , c : a2b2 =46, * PO| =|PF X p3【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素又P 在C 的一条渐近线上,不妨设为在y 」x 上,则yp^ x p 二三乜aa 2 21…PFO = OFy p辽,故选A .4所以x可取的整数有0, -1, 1,从而曲线C : x 2y 2 =^1 xy 恰好经过(0, 1),(0, -1),(1, 0),(1,养•采取公式法,利用数形结合、转化与化归和方程思想解题•忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式 的联系导致求解不畅,采取列方程组的方式解出三角形的高,便可求三角形面积.5.【2019年高考北京卷理 数】 已知財椭圆 22x y 2 2 =1 (a > b > 0)ab的离心率为 1,则 2 2A • a =2bB • 3a =4bC • a=2bD • 3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率 e c 1 2 ,c 二 a 2 -b 2,化简得 3a 2 二 4b 2 ,a 2故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识 ?基本运算能力的考查由题意利用离心率的定义和 a,b,c 的关系可得满足题意的等式.6 .【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线① 曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);② 曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过,2 ;③曲线C 所围成的 心形”区域的面积小于3•其中,所有正确结论的序号是 A •① C .①② 【答案】C2 2C : x y =1|x|y 就B •② D .①②③是其中之一(如图)2 2【解析】由x +y =l + xy得,y 十x2, |x|J3x24,142 4,x3所以x可取的整数有0, -1, 1,从而曲线C : x2y2=^1xy恰好经过(0, 1),(0, -1),(1, 0),(1,1), (- 1, 0), (-1, 1),共6个整点,结论①正确.2 2「22 22X+V22 亠 由x +y =1 + x y 得,X 2 + V 2, 1十——匚,解得x 2 + y 2兰2,所以曲线C 上任意一点到原点的距2离都不超过 2 .结论②正确如图所示,易知 A 0,-1 ,B 1,0 ,C 1,1, ,D 0,1,13四边形ABCD 的面积S 四边形ABCD =丄1 11 仁3,很明显 心形”区域的面积大于2乐边形ABCD ,即心形22形”区域的面积大于 3,说法③错误.故选C.【名师点睛】本题考查曲线与方程 ?曲线的几何性质,基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识 ? 基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查,渗透 美育思想”将所给方程进行等价变形确定 x 的范 围可得整点坐标和个数,结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围,禾U 用图形的对 称性和整点的坐标可确定图形面积的范围27 .【2019年高考天津卷理数】已知抛物线V =4x 的焦点为F ,准线为I ,若I 与双曲线线的离心率为 A .22 x2a2占弘0,b0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且|AB|=4|OF| ( O 为原点),则双曲【答案】D【解析】抛物线y = 4x 的准线I 的方程为x = -1,双曲线的渐近线方程为 y =x ,a 则有 A ( _1,b),B(_1_-),a—=4 , b =2a ,a故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解,解题关键是求出 只需把AB =4 0F 用a,b,c 表示出来,即可根据双曲线离心率的定义求得离心率 8 .【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是C . .2【答案】C点 A(-2, -1),则 m = 【答案】-2 , , 51 1【解析】由题意可知k AC 八3 : AC : y • 1 (x 2),把(0, m)代入直线AC 的方程得m = -2,a • 5 2b --AB =—aAB 的长度•解答时,【解析】因为双曲线的渐近线方程为x_y =0,所以 a 二b ,则 c~ a2 ・b 2=2a ,所以双曲线的离【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a 二b ,进一步可得离心率,属于容易题,注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查•理解概念,准确计算,是解答此类问题的基本要求•部分考生易出现理解性错误•9 .【2019年高考浙江卷】已知圆 C 的圆心坐标是(0, m),半径长是r 若直线2x - y • 3 = 0与圆C 相切于此时r =|AC 卜.F7 = . 5 .•首先通过确定直线AC的斜率,进一步得【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系到其方程,将(0,m )代入后求得m ,计算得解•解答直线与圆的位置关系问题,往往要借助于数与形的 结合,特别是要注意应用圆的几何性质•的中点在以原点 O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线 PF 的斜率是 【答案】,15【解析】方法1: 如图,设F 1为椭圆右焦点•由题意可知|OF|=|OM |= c= 2 ,由中位线定理可得PFj =2| OM |=4,设P (x, y ),可得(x —2)2 + y 2 =16 ,”厂、41又点P 在椭圆上且在x 轴的上方,求得 P , ,所以k pF =-= •, 15 . I 2 2 丿12方法2:(焦半径公式应用)由题意可知|OF |=|OM |= c= 2 ,3由中位线定理可得 PF 1 =2| OM |=4,即a —ex p =4n X p = --,f 厂)垂-从而可求得P i3,二5,所以k PF =—匸=15. I 2 2 丿 12【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用,禾U 用数形结合10.【2019年高考浙江卷】 已知椭圆=1的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方,若线段PF2与方程—=1联立,可解得 321 x ,x =2 2(舍),思想,是解答解析几何问题的重要途径•结合图形可以发现,利用三角形中位线定理,将线段长度用圆的方程表示,与椭圆方程联立可进一步求解•也可利用焦半径及三角形中位线定理解决,则更为简洁2 211.【2019年高考全国川卷理数】设F i , F 2为椭圆C: - +—1的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象3620限若△ MF 1F 2为等腰三角形,则 M 的坐标为 _______________ 【答案】3, 15【解析】由已知可得 a 2 =36, b 2 =20,. c 2 二a 2 - b 2 =16 ,. c =4 , 冷MFj = RF 2 =2c=8,••• MF 2 =4 .一J1设点 M 的坐标为(x o , y ° X x o A 0 , y ° A 0 ),则 S ^MF ’F 2 =? ' F 1F 2 -y 。
2019真题汇编-平面解析几何(答案解析版)

专题 平面解析几何1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为A .2212x y +=B .22132x y += C .22143x y +=D .22154x y += 【答案】B【解析】法一:如图,由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===, 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=.在1AF B △中,由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅.在12AF F △中,由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=,解得2n =.22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=,故选B .法二:由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===, 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=.在12AF F △和12BF F △中,由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩,又2121,AF F BF F ∠∠互补,2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=,两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,,得223611n n +=,解得2n =.22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=,故选B . 【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点,则p = A .2 B .3 C .4 D .8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点,所以23()2p p p -=,解得8p =,故选D .【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质,渗透逻辑推理、运算能力素养.解答时,利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程,从而解出p ,或者利用检验排除的方法,如2p =时,抛物线焦点为(1,0),椭圆焦点为(±2,0),排除A ,同样可排除B ,C ,从而得到选D .3.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ,Q 两点.若PQ OF =,则C的离心率为A BC .2D【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ x ⊥轴, 又||PQ OF c ==,||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径,∴||2c OA =,,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭, 又P 点在圆222x y a +=上,22244c c a ∴+=,即22222,22c c a e a =∴==.e ∴=,故选A .【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来.解答本题时,准确画图,由图形对称性得出P 点坐标,代入圆的方程得到c 与a 的关系,可求双曲线的离心率.4.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C :2242x y -=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若=PO PF ,则△PFO 的面积为A BC .D .【答案】A【解析】由2,a b c ====,P PO PF x =∴=,又P 在C 的一条渐近线上,不妨设为在b y x a =上,则P P b y x a =⋅==112224PFO P S OF y ∴=⋅==△,故选A . 【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取公式法,利用数形结合、转化与化归和方程思想解题.忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅,采取列方程组的方式解出三角形的高,便可求三角形面积.5.【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=(a >b >0)的离心率为12,则A .a 2=2b 2B .3a 2=4b2C .a =2bD .3a =4b【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识、基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 6.【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C :221||x y x y +=+就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C ;③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是 A .① B .② C .①②D .①②③【答案】C 【解析】由221x y x y+=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔, 所以x 可取的整数有0,−1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,−1),(1,0),(1,1), (−1,0),(−1,1),共6个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=四边形,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S 四边形,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【名师点睛】本题考查曲线与方程、曲线的几何性质,基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识、基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数,结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围,利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.7.【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且||4||A B O F =(O 为原点),则双曲线的离心率为A BC .2D 【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-, 双曲线的渐近线方程为by x a=±, 则有(1,),(1,)b b A B a a ---,∴2b AB a =,24ba=,2b a =,∴c e a ===故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解,解题关键是求出AB 的长度.解答时,只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来,即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.8.【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A .2B .1C D .2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=,所以a b =,则c ==,所以双曲线的离心率ce a==故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =,进一步可得离心率,属于容易题,注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念,准确计算,是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.9.【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ,半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --,则m =___________,r =___________. 【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+,把(0,)m代入直线AC 的方程得2m =-,此时||r AC ===【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率,进一步得到其方程,将(0,)m 代入后求得m ,计算得解.解答直线与圆的位置关系问题,往往要借助于数与形的结合,特别是要注意应用圆的几何性质.10.【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方,若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线PF 的斜率是___________.【解析】方法1:如图,设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =,由中位线定理可得12||4PF OM ==,设(,)P x y ,可得22(2)16x y -+=,与方程22195x y +=联立,可解得321,22x x =-=(舍), 又点P 在椭圆上且在x轴的上方,求得32P ⎛- ⎝⎭,所以212PFk ==.方法2:(焦半径公式应用)由题意可知|2OF |=|OM |=c =, 由中位线定理可得12||4PF OM ==,即342p p a ex x -=⇒=-,从而可求得3,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,所以212PFk ==.【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用,利用数形结合思想,是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现,利用三角形中位线定理,将线段长度用圆的方程表示,与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决,则更为简洁.11.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ,为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形,则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=,11228MF F F c ∴===,∴24MF =.设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>,则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△,又12014,42MF F S y =⨯=∴=△,解得0y =,22013620x ∴+=,解得03x =(03x =-舍去),M \的坐标为(.【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.解答本题时,根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、,设出M 的坐标,结合三角形面积可求出M 的坐标. 12.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F A AB=,120F B F B ⋅=,则C 的离心率为____________.【答案】2【解析】如图,由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线,即22,2.BF OA BF OA =∥由120F B F B ⋅=,得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =,1AOB AOF ∠=∠,又OA 与OB 都是渐近线,得21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=,∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为tan 60ba=︒=2c e a ====.【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养,采取几何法,利用数形结合思想解题.解答本题时,通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥,从而可以得到1AOB AOF ∠=∠,再结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠进而得到2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由t a n 63ba=︒. 13.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=,解得b =b =因为0b >,所以b =因为1a =,所以双曲线的渐近线方程为y =.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质,往往以小题的形式考查,其难度一般较小,是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关,事实上,标准方程中化1为0,即得渐近线方程.14.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】当直线x +y =0平移到与曲线4y x x=+相切位置时,切点Q 即为点P ,此时到直线x +y =0的距离最小. 由2411y x '=-=-,得)x x ==,y =Q , 则切点Q 到直线x +y =04=,故答案为4.【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离,渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法,利用数形结合和转化与化归思想解题. 15.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .(1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程; (2)若3AP PB =,求|AB |. 【答案】(1)3728y x =-;(2【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+. (1)由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,故123||||2AF BF x x +=++,由题设可得1252x x +=.由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩,可得22912(1)40x t x t +-+=,则1212(1)9t x x -+=-. 从而12(1)592t --=,得78t =-. 所以l 的方程为3728y x =-. (2)由3AP PB =可得123y y =-.由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩,可得2220y y t -+=. 所以122y y +=.从而2232y y -+=,故211,3y y =-=. 代入C 的方程得1213,3x x ==.故||AB =. 【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题,涉及平面向量、弦长的求解方法,解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立,利用根与系数的关系构造等量关系.16.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2,0),B (2,0),动点M (x ,y )满足直线AM与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程,并说明C 是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C 于P ,Q 两点,点P 在第一象限,PE ⊥x 轴,垂足为E ,连结QE 并延长交C 于点G .(i )证明:PQG △是直角三角形; (ii )求PQG △面积的最大值.【答案】(1)见解析;(2)169. 【解析】(1)由题设得1222y y x x ⋅=-+-,化简得221(||2)42x y x +=≠,所以C 为中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆,不含左右顶点. (2)(i )设直线PQ 的斜率为k ,则其方程为(0)y kx k =>.由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =,则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --.于是直线QG 的斜率为2k ,方程为()2ky x u =-. 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=.①设(,)G G G x y ,则u -和G x 是方程①的解,故22(32)2G u k x k +=+,由此得322G uky k=+. 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+.所以PQ PG ⊥,即PQG △是直角三角形.(ii )由(i)得||2PQ =||PG =,所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖. 设t =k +1k,则由k >0得t ≥2,当且仅当k =1时取等号. 因为2812tS t=+在[2,+∞)单调递减,所以当t =2,即k =1时,S 取得最大值,最大值为169. 因此,△PQG 面积的最大值为169. 【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程,以及利用直线与椭圆的位置关系,判断三角形形状以及三角形面积最大值问题,考查了数学运算能力,考查了求函数最大值问题.17.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C :y =22x ,D 为直线y =12-上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B .(1)证明:直线AB 过定点: (2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解;(2)3或【解析】(1)设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则2112x y =.由于y'x =,所以切线DA 的斜率为1x ,故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ,同理可得222 2 +1=0tx y -.故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.(2)由(1)得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+,()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ,E到直线AB的距离,则12d d ==.因此,四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点,则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥,而()2,2EM t t =-,AB 与向量(1, )t 平行,所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时,S =3;当1t =±时,S =因此,四边形ADBE 的面积为3或【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题,第二问是求面积类型,属于常规题型,按部就班地求解就可以,思路较为清晰,但计算量不小.18.【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C :x 2=−2py 经过点(2,−1).(1)求抛物线C 的方程及其准线方程;(2)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ,N ,直线y =−1分别交直线OM ,ON 于点A 和点B .求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.【答案】(1)抛物线C 的方程为24x y =-,准线方程为1y =;(2)见解析.【解析】(1)由抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-,得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-,其准线方程为1y =. (2)抛物线C 的焦点为(0,1)F -. 设直线l 的方程为1(0)y kx k =-≠.由21,4y kx x y=-⎧⎨=-⎩得2440x kx +-=. 设()()1122,,,M x y N x y ,则124x x =-. 直线OM 的方程为11y y x x =. 令1y =-,得点A 的横坐标11A x x y =-. 同理得点B 的横坐标22B x x y =-. 设点(0, )D n ,则1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 21212(1)x x DA DB n y y ⋅=++ 2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 21216(1)n x x =++ 24(1)n =-++.令0DA DB ⋅=,即24(1)0n -++=,则1n =或3n =-. 综上,以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)-.【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定,直线与抛物线的位置关系,圆的性质及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4(1)求椭圆的方程;(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若||||ON OF=(O为原点),且OP MN⊥,求直线PB的斜率.【答案】(1)22154x y+=;(2)5或5-.【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,24,5cba==,又222a b c=+,可得a=2,b=1c=.所以,椭圆的方程为22154x y+=.(2)由题意,设()()()0,,0P P p MP x y x M x≠,.设直线PB的斜率为()0k k≠,又()0,2B,则直线PB的方程为2y kx=+,与椭圆方程联立222,1,54y kxx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx++=,可得22045Pkxk=-+,代入2y kx=+得2281045Pkyk-=+,进而直线OP的斜率24510Ppy kx k-=-.在2y kx=+中,令0y=,得2Mxk=-.由题意得()0,1N-,所以直线MN的斜率为2k-.由OP MN⊥,得2451102k kk-⎛⎫⋅-=-⎪-⎝⎭,化简得2245k=,从而5k=±所以,直线PB或.【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.20.【2019年高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1. 已知DF 1=52. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)求点E 的坐标.【答案】(1)22143x y +=;(2)3(1,)2E --. 【解析】(1)设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(−1,0),F 2(1,0),所以F 1F 2=2,c =1.又因为DF 1=52,AF 2⊥x 轴,所以DF 232==, 因此2a =DF 1+DF 2=4,从而a =2. 由b 2=a 2−c 2,得b 2=3.因此,椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)解法一:由(1)知,椭圆C :22143x y +=,a =2,因为AF 2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2+y 2=16,解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方,所以A (1,4). 又F 1(−1,0),所以直线AF 1:y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩,得256110x x +-=,解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+,得 125y =-, 因此1112(,)55B --.又F 2(1,0),所以直线BF 2:3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪,得276130x x --=,解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-,得32y =-. 因此3(1,)2E --.解法二:由(1)知,椭圆C :22143x y +=.如图,连结EF 1.因为BF 2=2a ,EF 1+EF 2=2a ,所以EF 1=EB , 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ,所以∠A =∠B , 所以∠A =∠BF 1E ,从而EF 1∥F 2A .因为AF 2⊥x 轴,所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(−1,0),由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩,得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以32y =-. 因此3(1,)2E --.【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. 21.【2019年高考浙江卷】如图,已知点(10)F ,为抛物线22(0)y px p =>的焦点,过点F的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线上,使得ABC △的重心G 在x 轴上,直线AC 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧.记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S . (1)求p 的值及抛物线的准线方程;(2)求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.【答案】(1)p =2,准线方程为x =−1;(2)最小值为1,此时G (2,0).【解析】(1)由题意得12p=,即p =2. 所以,抛物线的准线方程为x =−1.(2)设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y,重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠,则2A x t =.由于直线AB 过F ,故直线AB 方程为2112t x y t-=+,代入24y x =,得 ()222140t y y t---=,故24B ty =-,即2B y t =-,所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上,故220c t y t -+=,得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以,直线AC 方程为()222y t t x t -=-,得()21,0Q t -. 由于Q 在焦点F 的右侧,故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A c t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-. 令22m t =-,则m >0,1221222134324S m S m m m m =-=-=+++++….当m =时,12S S取得最小值1G (2,0).【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.。
2019真题汇编-平面解析几何(学生版)

2019真题汇编--平面解析几何1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为A .2212x y +=B .22132x y += C .22143x y +=D .22154x y += 2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点,则p =A .2B .3C .4D .83.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ,Q 两点.若PQ OF =,则C的离心率为A B .2D4.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C :2242x y -=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若=PO PF ,则△PFO 的面积为A .4 B .2C .D .5.【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=(a >b >0)的离心率为12,则A .a 2=2b 2B .3a 2=4b 2C .a =2bD .3a =4b6.【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C :221||x y x y +=+就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C ; ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是A .①B .②C .①②D .①②③7.【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且||4||AB OF =(O 为原点),则双曲线的离心率为A B C .2D 8.【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是AB .1CD .29.【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ,半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --,则m =___________,r =___________.10.【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方,若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线PF 的斜率是___________.11.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ,为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形,则M 的坐标为___________.12.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F A AB=,120F B F B ⋅=,则C 的离心率为____________.13.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 .14.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 .15.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P . (1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程;(2)若3AP PB =,求|AB |.16.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2,0),B (2,0),动点M (x ,y )满足直线AM与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程,并说明C 是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C 于P ,Q 两点,点P 在第一象限,PE ⊥x 轴,垂足为E ,连结QE 并延长交C 于点G .(i )证明:PQG △是直角三角形; (ii )求PQG △面积的最大值.17.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C :y =22x ,D 为直线y =12-上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B .(1)证明:直线AB 过定点:(2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.18.【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C :x 2=−2py 经过点(2,−1).(1)求抛物线C 的方程及其准线方程;(2)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ,N ,直线y =−1分别交直线OM ,ON 于点A 和点B .求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.19.【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4 (1)求椭圆的方程;(2)设点P 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M 为直线PB 与x 轴的交点,点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =(O 为原点),且OP MN ⊥,求直线PB 的斜率.20.【2019年高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1. 已知DF 1=52. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)求点E 的坐标.21.【2019年高考浙江卷】如图,已知点(10)F ,为抛物线22(0)y px p =>的焦点,过点F的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线上,使得ABC △的重心G 在x 轴上,直线AC 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧.记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S . (1)求p 的值及抛物线的准线方程; (2)求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.。
2019年高考数学试题分类汇编解析几何

2019年高考理科数学试题解析几何
1.【2018年浙江卷】双曲线的焦点坐标是
A.(−,0),(,0)
B.(−2,0),(2,0)
C.(0,−),(0,)
D.(0,−2),(0,2)
【答案】B
拓展:由双曲线方程可得焦点坐标为,顶点坐标为,渐近线方程为.
2.【2018年理数天津卷】已知双曲线的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和,且,则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析:由题意首先求得A,B的坐标,然后利用点到直线距离公式求得b的值,之后求解a的值即可确定双曲线方程.
详解:设双曲线的右焦点坐标为(c>0),则,由可得:,不妨设:,双曲线的一条渐近线方程为:,据此可得:,。
2019年高考全国各地数学理科真题分类汇编18个专题(解析版)

2019年高考全国各地数学理科真题分类汇编(解析版)专题一集合-------------------------------------------------------------- 2 专题二函数-------------------------------------------------------------- 3 专题三三角函数 ------------------------------------------------------ 16 专题四解三角形 ------------------------------------------------------ 26 专题五平面向量 ------------------------------------------------------ 29 专题六数列------------------------------------------------------------ 34 专题七不等式--------------------------------------------------------- 46 专题八复数------------------------------------------------------------ 48 专题九导数及其应用 ------------------------------------------------ 50 专题十算法初步 ------------------------------------------------------ 62 专题十一常用逻辑用语 --------------------------------------------- 65 专题十二概率统计 --------------------------------------------------- 67 专题十三空间向量、空间几何体、立体几何-------------------- 75 专题十四平面几何初步 -------------------------------------------- 95 专题十五圆锥曲线与方程 ----------------------------------------- 99 专题十六计数原理------------------------------------------------- 118 专题十七不等式选讲 ---------------------------------------------- 120 专题十八坐标系与参数方程--------------------------------------- 123专题一 集合(2019·全国Ⅰ理科)1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<,,则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<【答案】C【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养.采取数轴法,利用数形结合的思想解题.【详解】由题意得,{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<,则{}22M N x x ⋂=-<<.故选C .【点睛】不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.(2019·全国Ⅱ理科)设集合A ={x |x 2-5x +6>0},B ={ x |x -1<0},则A ∩B =A. (-∞,1)B. (-2,1)C. (-3,-1)D. (3,+∞)【答案】A【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养.采取数轴法,利用数形结合的思想解题.【详解】由题意得,{}{}2,3,1A x x x B x x ==<或,则{}1A B x x ⋂=<.故选A .【点睛】本题考点为集合的运算,为基础题目,难度偏易.不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.(2019·全国Ⅲ理科)已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ,=-=≤,则A B ⋂=( )A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}1,1-D. {}0,1,2【答案】A【分析】先求出集合B 再求出交集.【详解】由题意得,{}11B x x =-≤≤,则{}1,0,1A B ⋂=-.故选A . 【点睛】本题考查了集合交集的求法,是基础题. (2019·天津理科)设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R …,则()A CB =( )A. {}2B. {}2,3C. {}1,2,3-D. {}1,2,3,4【答案】D【分析】先求A B ⋂,再求()A C B 。
2019年高考数学试题分类汇编解析几何附答案详解

2019年高考数学试题分类汇编解析几何一、选择题.1、(2019年高考全国I 卷理科10)双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为 A .2sin40° B .2cos40°C .1sin50︒D .1cos50︒答案:C解析:由题可知,130tan ︒=-a b 即,50tan ︒=a b 则有︒︒=50cos 50sin 2222a b ,即︒︒=-50cos 50sin 22222a a c 所以︒︒=-50cos 50sin 1222e ,︒=50cos 12e ,故选D 2、(2019年高考全国I 卷理科10,文科12)已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -,过F 2的直线与C交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为A .2212x y +=B .22132x y +=C .22143x y +=D .22154x y +=答案:B解析:设x B F =||2,则x B F B F AF AB B F 3||3||||||||2221==+== 由椭圆定义得x a B F B F 42||||21==+,故,23||,2||12aB F a B F ==a AF a AF a AF =-==||2||,||212在21F AF ∆和21F BF ∆中,由余弦定理得a c a a c a F AF 1224cos 22221=⨯⨯-+=∠ a a c a a c a F BF 2222212221249441cos -=⨯⨯-+=∠ 21F AF ∠、21F BF ∠互补得a a a 122=-,解得32=a ,22=b ,方程为12322=+y x 。
故选B 3、(2019年高考全国II 卷理科8,文科9)若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点,则p=A .2B .3C .4D .8 答案:D解析:易知抛物线的焦点为)0,2(p,故椭圆焦点在x 轴上 由p p p b a c 23222=-=-=,则p p 2)2(2=,解得p=8。
专题06平面解析几何-2019年高考数学(理)考试大纲解读Word版含解析

2019 年考试纲领解读6平面分析几何(四)平面分析几何初步1.直线与方程(1)在平面直角坐标系中 , 联合详细图形 , 确立直线地点的几何因素 .(2)理解直线的倾斜角和斜率的观点 , 掌握过两点的直线斜率的计算公式 .(3)能依据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直 .(4)掌握确立直线地点的几何因素 , 掌握直线方程的几种形式 ( 点斜式、两点式及一般式 ), 认识斜截式与一次函数的关系 .(5)能用解方程组的方法求两条订交直线的交点坐标 .(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式 , 会求两条平行直线间的距离 . 2. 圆与方程(1)掌握确立圆的几何因素 , 掌握圆的标准方程与一般方程 .(4)初步认识用代数方法办理几何问题的思想 . 3.空间直角坐标系(1)认识空间直角坐标系 , 会用空间直角坐标表示点的地点 .(2)会推导空间两点间的距离公式 .(十五)圆锥曲线与方程1.圆锥曲线(1)认识圆锥曲线的实质背景 , 认识圆锥曲线在刻画现实世界和解决实质问题中的作用 .(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.(3)认识双曲线的定义、几何图形和标准方程 , 知道它的简单几何性质 .(4)认识圆锥曲线的简单应用 .(5)理解数形联合的思想 .2.曲线与方程认识方程的曲线与曲线的方程的对应关系 .估计 2019 年的高考取,对平面分析几何部分的考察整体保持稳固,其考察情况的展望以下:直线和圆的方程问题独自考察的几率很小,多作为条件和圆锥曲线联合起来进行命题;直线与圆的地点关系是命题的热门,需赐予重视,试题多以选择题或填空题的形式命制,难度中等及偏下 .圆锥曲线为每年高考考察的热门,题目一般为“一小 ( 选择题或填空题)一大(解答题 ) ”或“两小一大”,小题多是考察圆锥曲线的标准方程和几何性质,解答题般作为压轴题出现,考察直线与圆锥曲线的地点关系、定点、定值、范围及探究性问题等,此中以对椭圆和抛物线的有关知识的考察为主,题目难度较大,考向一圆与方程样题 1(2018 新课标Ⅲ理)直线分别与 x 轴,y轴交于A,B两点,点 P 在圆上,则△ ABP 面积的取值范围是A. 2 ,6B. 4 ,8C.,D.2 2,2 3 2 3 2【答案】 A【分析】直线分别与x轴,y轴交于A,B两点,,则AB 2 2 .点 P 在圆上,圆心为(2,0),则圆心到直线的距离.故点 P 到直线的距离d 2 的范围为,则2 ,3 2.故答案为 A.【名师点睛】此题主要考察直线与圆,考察了点到直线的距离公式,三角形的面积公式,属于中档题 . 先求出A,B两点坐标获得AB ,再计算圆心到直线的距离,获得点 P 到直线距离的范围,由面积公式计算即可.样题 2 (2018江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,A为直线 l : y 2 x 上在第一象限内的点, B(5,0),以 AB为直径的圆 C与直线 l 交于另一点 D.若AB CD0 ,则点A 的横坐标为________.【答案】 3【名师点睛】以向量为载体求有关变量的取值或范围,是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相联合的一类综合问题 . 经过向量的坐标运算,将问题转变为解方程或解不等式或求函数值域,是解决这种问题的一般方法. 考向二圆锥曲线的简单几何性质样题 3 (2018 新课标全国Ⅱ理科) 已知 F 1,F2是椭圆的左、右焦点, A 是 C 的左极点,点 P 在过 A 且斜率为3的直线上, △ PF 1 F 2 为等腰三6角形, ,则 C 的离心率为A . 2B . 13 2C .1D .13 4【答案】 D【分析】因为△ PF 1F 2 为等腰三角形,,因此,由 AP 的斜率为36可得,因此,,由正弦定理得,因此,因此 a4c , e1 ,应选 4D .所以,则.进而综上,,故MA ,MB 的倾斜角互补,因此..考向四曲线方程的求解样题9已知抛物线C : y 22x的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l 1 ,l 2 分别交C于 A ,B两点,交C的准线于 P ,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【答案】(1)看法析;(2)看法析 .【分析】由题可知 F ( 1,0) .设l1: y a,l2: y b ,则 ab0 ,2且 A( a2, a) , B(b211, a) , Q (., b) , P(, b) ,2222记过 A,B两点的直线为l,则直线l的方程为.(1)因为F在线段AB上,故1 ab0 .记 AR的斜率为 k1, FQ 的斜率为k2,则,因此ARFQ .(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则,.由题设可得,因此 x10 (舍去)或 x1 1.设知足条件的 AB 的中点为 E( x, y) .当 AB 与x轴不垂直时,由k AB k DE,可得,而 a b y ,因此.2当 AB 与x轴垂直时,E 与 D 重合,因此所求轨迹方程为 y2x 1.考向五圆锥曲线的其余综合问题样题 10(2018 新课标全国Ⅲ理科)已知斜率为k的直线l与椭圆交于 A , B 两点,线段 AB 的中点为.(1)证明:k12;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且.证明:FA,FP,FB 成等差数列,并求该数列的公差.【答案】(1)看法析;(2)看法析 .【分析】(1)设,则.两式相减,并由由题设知y1y2k 得.x1x2,于是 k3.由题设得 0 m3,故 k 1 .4m22设该数列的公差为d,则.①将 m 3代入k3得k1,因此l的方程为y x7 ,44m4代入 C的方程,并整理得,故,代入①解得 | d |3 21,因此该数列的公差为 3 21 或 321 .282828样题 11设椭圆的右焦点为 F1,离心率为2,过点 F1且与 x 2轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 2 .(1)求椭圆C的方程;(2)若y24x上存在两点M、N,椭圆C上存在两个点P、Q知足:P、Q、F1三点共线, M 、 N、 F1三点共线且 PQ MN ,求四边形 PMQN 的面积的最小值.【分析】( 1)∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为 2 ,∴2b2,2a∵离心率为 2 ,∴ c 2,又 a2b2c2,解得.∴椭圆 C 的2a2方程为 x2y2 1 .2(2)当直线MN的斜率不存在时,直线PQ 的斜率为0,此时;当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为,联立 y24x ,得,设 M , N 的横坐标分别为x M , x N,则,∴ MN,由 PQ MN 可得直线 PQ 的方程为,联立椭圆C的方程,消去y ,得,设 P, Q 的横坐标分别为 x P , x Q,则x P x Q22k 2,2k 2∴,,令,则,综上,.。
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2019年全国高考理科数学分类汇编——解析几何1.(2019北京理科)已知椭圆2222 1x y a b+=(a >b >0)的离心率为12,则A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识、基本运算能力的考查.2.(2019北京理科)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C :221||x y x y +=+就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C ; ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是 A. ① B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C 【解析】 【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数,结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围,利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 【详解】由221x y x y+=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程、曲线的几何性质,基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识、基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.3.(2019北京理科)已知抛物线C :x 2=−2py 经过点(2,−1).(Ⅰ)求抛物线C 的方程及其准线方程;(Ⅱ)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ,N ,直线y =−1分别交直线OM ,ON 于点A 和点B .求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.【答案】(Ⅰ) 24x y =-,1y =;(Ⅱ)见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程,进一步可得准线方程;(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程,结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径,从而确定圆的方程,最后令x =0即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程:()2221p =⨯-可得:2p =,故抛物线方程为:24x y =-,其准线方程为:1y =. (Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在,焦点坐标为()0,1-,设直线方程为1y kx =-,与抛物线方程24x y =-联立可得:2440x kx +-=. 故:12124,4x x k x x +=-=-设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则12,44OM ON x x k k =-=-,直线OM方程为14x y x =-,与1y =-联立可得:14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为:1222,1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭,圆的半径为:1222x x -, 且:()1212122222x x k x x x x ++==,12222x x -==则圆的方程为:()()()2222141x k y k -++=+,令0x =整理可得:2230y y +-=,解得:123,1y y =-=,即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定,直线与抛物线的位置关系,圆的方程的求解及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.(2019全国1卷理科)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足.的,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm ,头顶至脖子下端的长度为26 cm ,则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】B 【解析】 【分析】理解黄金分割比例的含义,应用比例式列方程求解.【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ,肚脐至腿根的长为y cm ,则262611052x x y +==+,得42.07, 5.15x cmy cm ≈≈.又其腿长为105cm ,头顶至脖子下端的长度为26cm ,所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm .故选B . 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理,渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取类比法,利用转化思想解题.5.(2019全国1卷理科)已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若222AF F B =││││,1AB BF =││││,则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D.22154x y += 【答案】B【解析】 【分析】可以运用下面方法求解:如图,由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===,由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=.在12AF F △和12BF F △中,由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩,又2121,A F F B F F ∠∠互补,2121c o s c o s 0A F F B F F ∴∠+∠=,两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,,得223611n n +=,解得2n =.22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=,故选B . 【详解】如图,由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===,由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=.在1A F B △中,由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅.在12AF F △中,由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=,解得n =.22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=,故选B .【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.6.(2019全国1卷理科)已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F A AB =,120F B F B ⋅=,则C 的离心率为____________. 【答案】2. 【解析】 【分析】通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥,得到1AOB AOF ∠=∠,结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 60ba==可求离心率. 【详解】如图,由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线,即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =,得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠,又OA 与OB 都是渐近线,得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=,得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=.又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==所以该双曲线的离心率为2c e a ====. 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养.采取几何法,利用数形结合思想解题.7.(2019全国1卷理科)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .(1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程; (2)若3AP PB =,求|AB |. 【答案】(1)12870x y --=;(2【解析】 【分析】(1)设直线l :3y =x m 2+,()11,A x y ,()22,B x y ;根据抛物线焦半径公式可得121x x =+;联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理可构造关于m 的方程,解方程求得结果;(2)设直线l :23x y t =+;联立直线方程与抛物线方程,得到韦达定理的形式;利用3AP PB =可得123y y =-,结合韦达定理可求得12y y ;根据弦长公式可求得结果.【详解】(1)设直线l 方程为:3y =x m 2+,()11,A x y ,()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知:12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+=联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得:()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=,解得:78m =-∴直线l 的方程为:3728y x =-,即:12870x y --= (2)设(),0P t ,则可设直线l 方程为:23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得:2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=,123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-,13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题,涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立,通过韦达定理构造等量关系.8.(2019全国2卷理科)若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点,则p = A. 2 B. 3 C. 4 D. 8【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程,即可解出p ,或者利用检验排除的方法,如2p =时,抛物线焦点为(1,0),椭圆焦点为(±2,0),排除A ,同样可排除B ,C ,故选D .【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点,所以23()2pp p -=,解得8p =,故选D .【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质,渗透逻辑推理、运算能力素养.9.(2019全国2卷理科)设F 为双曲线C :22221x y a b-=(a >0,b >0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点.若|PQ |=|OF |,则C 的离心率为A.B.C. 2D.【答案】A 【解析】【分析】准确画图,由图形对称性得出P 点坐标,代入圆的方程得到c 与a 关系,可求双曲线的离心率.【详解】设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ x ⊥轴,又||PQ OF c ==,||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径,A ∴为圆心||2cOA =.,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,又P 点在圆222x y a +=上,22244c c a ∴+=,即22222,22c c a e a=∴==.e ∴=A .【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾,运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来.10.(2019全国2卷理科)已知点A (−2,0),B (2,0),动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程,并说明C 是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C 于P ,Q 两点,点P 在第一象限,PE ⊥x 轴,垂足为E ,连结QE 并延长交C 于点G . (i )证明:PQG 是直角三角形;(ii )求PQG 面积的最大值.【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【解析】 【分析】(1)分别求出直线AM 与BM 的斜率,由已知直线AM 与BM 的斜率之积为−12,可以得到等式,化简可以求出曲线C 的方程,注意直线AM 与BM 有斜率的条件;(2)(i )设出直线PQ 的方程,与椭圆方程联立,求出P ,Q 两点的坐标,进而求出点E 的坐标,求出直线QE 的方程,与椭圆方程联立,利用根与系数关系求出G 的坐标,再求出直线PG 的斜率,计算PQ PG k k 的值,就可以证明出PQG 是直角三角形;(ii )由(i )可知,,P Q G 三点坐标,PQG 是直角三角形,求出,PQ PG 的长,利用面积公式求出PQG 的面积,利用导数求出面积的最大值. 【详解】(1)直线AM 的斜率为(2)2y x x ≠-+,直线BM 的斜率为(2)2y x x ≠-,由题意可知:22124,(2)222y y x y x x x ⋅=-⇒+=≠±+-,所以曲线C 是以坐标原点为中心,焦点在x 轴上,不包括左右两顶点的椭圆,其方程为()221,242x yx +=≠±;(2)(i )设直线PQ 的方程为y kx =,由题意可知0k >,直线PQ 的方程与椭圆方程2224x y +=联立,即22,2 4.x y kx x y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,点P 在第一象限,所以P Q ,因此点E的坐标为直线QE 的斜率为2QE k k =,可得直线QE方程:2k y x =2222 4.k y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩,消去y得,22222128(2)021k k x k ++=+(*),设点11(,)G x y ,显然Q和1x 是方程(*)的解所以有222112128212k k x x k +-+=⇒=+,代入直线QE 方程中,得31y =G的坐标为23,直线PG 的斜率为; 3322222(2)1642(2)PGk k k k k k k -+===-+-+, 因为1()1,PQ PG k k k k=⋅-=-所以PQ PG ⊥,因此PQG 是直角三角形; (ii )由(i)可知:P Q ,G的坐标为23,PQ ==,PG ==,34218()2252PQGk k S k k ∆+==++ 42'4228(1)(1)(232)(252)k k k k S k k -+-++=++,因为0k >,所以当01k <<时,'0S >,函数()S k 单调递增,当1k >时,'0S <,函数()S k 单调递减,因此当1k =时,函数()S k 有最大值,最大值为16 (1)9 S=.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程,以及利用直线与椭圆的位置关系,判断三角形形状以及三角形面积最大值问题,考查了数学运算能力,考查了利用导数求函数最大值问题.11.(2019全国3卷理科)双曲线C:22 42x y-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若=PO PF,则△PFO的面积为A.B. C. 12xxD.【答案】A【解析】【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取公式法,利用数形结合、转化与化归和方程思想解题.详解】由2,,a b c===.,2PPO PF x=∴=,又P在C的一条渐近线上,不妨设为在2y x=上,11224PFO PS OF y∴=⋅==△,故选A.【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅,采取列方程组的方式解出三角形的高,便可求三角形面积.12.(2019全国3卷理科)设12F F,为椭圆22:+13620x yC=的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若12MF F△为等腰三角形,则M 的坐标为___________.【答案】(【【解析】 【分析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、,设出M 的坐标,结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=,11228MF F F c ∴===.∴24MF =.设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>,则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△,又12014,42MF F S y =⨯=∴=△,解得0y =, 22013620x ∴+=,解得03x =(03x =-舍去),M \的坐标为(.【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.13.(2019全国3卷理科)已知曲线C :y =22x ,D 为直线y =12-上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B . (1)证明:直线AB 过定点: (2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解;(2) 3或. 【解析】 【分析】(1)可设11(,)A x y ,22(,)B x y ,1(,)2D t -然后求出A ,B 两点处的切线方程,比如AD :1111()2y x x t +=-,又因为BD 也有类似的形式,从而求出带参数直线AB 方程,最后求出它所过的定点.(2)由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立,再通过M 为线段AB 的中点,EM AB ⊥得出t 的值,从而求出M 坐标和EM 的值,12,d d 分别为点,D E 到直线AB 的距离,则12d t d ==,结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明:设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =。