2019年全国高考理科数学数学分类汇编---解析几何

2019年全国高考理科数学分类汇编——解析几何

1.(2019北京理科)已知椭圆22

22 1x y a b

+=(a >b >0)的离心率为12,则

A. a 2=2b 2

B. 3a 2=4b 2

C. a =2b

D. 3a =4b

【答案】B 【解析】 【分析】

由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率2

221,2

c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识?基本运算能力的考查.

2.(2019北京理科)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C :2

2

1||x y x y +=+就是其中之一(如图).给出下列三个结论:

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①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);

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②曲线C ; ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是 A. ① B. ②

C. ①②

D. ①②③

【答案】C 【解析】 【分析】

将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数,结合均值不等式可得曲线上的

点到坐标原点距离的最值和范围,利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 【

解】由

221x y x y

+=+得,

22

1y x y x -=-,

2

222

||3341,10,2443x x x y x ??-=-- ?

?

?厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线2

2

:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.

由2

2

1x y x y +=+得,22

2

2

12

x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到

. 结论②正确.

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如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13

111122

ABCD S =

??+?=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.

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故选C.

【点睛】本题考查曲线与方程?曲线的几何性质,基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识?基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.

3.(2019北京理科)已知抛物线C :x 2

=?2py 经过点(2,?1).

(Ⅰ)求抛物线C 的方程及其准线方程;

(Ⅱ)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ,N ,直线y =?1分别交直线OM ,ON 于点A 和点B .求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.

【答案】(Ⅰ) 2

4x y =-,1y =;

(Ⅱ)见解析. 【解析】 【分析】

(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程,进一步可得准线方程;

(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程,结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径,从而确定圆的方程,最后令x =0即可证得题中的结论.

【详解】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程:()2

221p =?-可得:2p =,

故抛物线方程为:2

4x y =-,其准线方程为:1y =. (Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在,焦点坐标为()0,1-,

设直线方程为1y kx =-,与抛物线方程2

4x y =-联立可得:2440x kx +-=. 故:12124,4x x k x x +=-=-

设22

1212,,,44x x M x N x ????-- ? ??

???,则12,44OM ON x x k k =-=-,

直线OM

方程为1

4x y x =-

,与1y =-联立可得:14,1A x ??- ???,同理可得24,1B x ??- ???

, 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为:1222,1x x ??+- ???,圆的半径为:1222

x x -, 且:()1212122222x x k x x x x ++

==,

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12

222x x -==

则圆的方程为:()()(

)

2

2

2

2141x k y k -++=+,

令0x =整理可得:2

230y y +-=,解得:123,1y y =-=,

即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.

【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定,直线与抛物线的位置关系,圆的方程的求解及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4.(2019全国1卷理科)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足

.

,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是

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.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm ,头顶至脖子下端的长度为26 cm ,则其身高可能是

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A. 165 cm

B. 175 cm

C. 185 cm

D. 190cm

【答案】B 【解析】 【分析】

理解黄金分割比例的含义,应用比例式列方程求解.

【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ,肚脐至腿根的长为y cm ,则

26261

1052

x x y +==+,得42.07, 5.15x cm

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y cm ≈≈.又其腿长为105cm ,头顶至脖子下端的长度为26cm ,所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm .故选B . 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理,渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取类比法,利用转化思想解题.

5.(2019全国1卷理科)已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于

A ,

B 两点.若222AF F B =││││,1AB BF =││││,则

C 的方程为

A. 2

212

x y +=

B. 22

132x y +=

C. 22

143

x y +=

D.

22

154

x y += 【答案】B

【解析】 【分析】

可以运用下面方法求解:如图,由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===,由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=.

在12AF F △和12BF F △中,由余弦定理得222122

2144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ?+-???∠=?+-???∠=?

,又2121,A F F B F F ∠∠互补,2121c o s c o s 0A F F B F F ∴∠+∠=,

两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,,得223611n n +=,

解得2

n =

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.22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22

132

x y +=,故选B . 【详解】如图,由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===,由椭圆的定义有

121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=.在1A F B △中,由余弦定理推论得

22214991cos 2233

n n n F AB n n +-∠==??.在12

AF F △中,由余弦定理得22

14422243n n n n +-???=,

解得n =

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2

2

2

24312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22

132

x y +=,

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故选B .

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【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.

6.(2019全国1卷理科)已知双曲线C :22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为F 1,

F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F A AB =,120F B F B ?=,则C 的离心率为____________. 【答案】2. 【解析】 【分析】

通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥,得到1AOB AOF ∠=∠,结合双曲线的渐近线

可得21,BOF AOF ∠=∠0

2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由

0tan 60b

a

==可求

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离心率. 【详解】如图,

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由1,

F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线,即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =,得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠,

又OA 与OB 都是渐近线,得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=,得

02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=.又渐近线OB 的斜率为

0tan 60b

a

==所以该双曲

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线的离心率为2c e a =

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===. 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养.采取几何法,利用数形结合思想解题.

7.(2019全国1卷理科)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3

2

的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .

(1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程; (2)若3AP PB =,求|AB |. 【答案】(1)12870x y --=;(2

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【解析】 【分析】

(1)设直线l :

3

y =x m 2

+,()11,A x y ,()22,B x y ;根据抛物线焦半径公式可得121x x =+;联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理可构造关于m 的方程,解方程求得结果;(2)设直线l :2

3

x y t =

+;联立直线方程与抛物线方程,得到韦达定理的形式;利用3AP PB =可得123y y =-,结合韦达定理可求得12y y ;根据弦长公式可求得结果.

【详解】(1)设直线l 方程为:3

y =

x m 2

+,()11,A x y ,()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知:12342AF BF x x +=++= 125

2

x x ∴+=

联立232

3y x m y x

?

=+???=?得:()229121240x m x m +-+= 则()2

212121440m m ?=--> 1

2m ∴<

1212125

92m x x -∴+=-=,解得:78

m =-

∴直线l 的方程为:37

28

y x =

-,即:12870x y --= (2)设(),0P t ,则可设直线l 方程为:2

3

x y t =+

联立223

3x y t y x

?

=+???=?得:2230y y t --= 则4120t ?=+> 1

3

t ∴>-

122y y ∴+=,123y y t =-

3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-

,13y = 123y y ∴=-

则AB ==

=

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【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题,涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立,通过韦达定理构造等量关系.

8.(2019全国2卷理科)若抛物线y 2

=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y p

p

+

=的一个焦点,

则p = A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

【答案】D 【解析】 【分析】

利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程,即可解出p ,或者利用检验排除的方法,如2p =时,抛物线焦点为(1,0),椭圆焦点为(±2,0),排除A ,同样可排除B ,C ,故选D .

【详解】因为抛物线2

2(0)y px p =>的焦点(,0)2

p

是椭圆

2231x y p p +=的一个焦点,所以23()2

p

p p -=,解得8p =,故选D .

【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质,渗透逻辑推理、运算能力素养.

9.(2019全国2卷理科)设F 为双曲线C :22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的右焦点,O 为坐标

原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2

交于P 、Q 两点.若|PQ |=|OF |,则C 的离心率为

A.

B.

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C. 2

D.

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【答案】A 【解析】

【分析】

准确画图,由图形对称性得出P 点坐标,代入圆的方程得到c 与a 关系,可求双曲线的离心率.

【详解】设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ x ⊥轴,

||PQ OF c ==,||,2

c

PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径,

A ∴为圆心||2

c

OA =.

,22c c P ??

∴ ???

,又P 点在圆222x y a +=上,

22244c c a ∴+=,即2222

2,22c c a e a

=∴==.

e ∴=A .

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【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾,运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来.

10.(2019全国2卷理科)已知点A (?2,0),B (2,0),动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为?

1

2

.记M 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程,并说明C 是什么曲线;

(2)过坐标原点的直线交C 于P ,Q 两点,点P 在第一象限,PE ⊥x 轴,垂足为E ,

连结QE 并延长交C 于点G . (i )证明:PQG 是直角三角形;

(ii )求PQG 面积的最大值.

【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【解析】 【分析】

(1)分别求出直线AM 与BM 的斜率,由已知直线AM 与BM 的斜率之积为?1

2

,可以得到等式,化简可以求出曲线C 的方程,注意直线AM 与BM 有斜率的条件;

(2)(i )设出直线PQ 的方程,与椭圆方程联立,求出P ,Q 两点的坐标,进而求出点E 的坐标,求出直线QE 的方程,与椭圆方程联立,利用根与系数关系求出G 的坐标,再求出直线PG 的斜率,计算PQ PG k k 的值,就可以证明出PQG 是直角三角形;

(ii )由(i )可知,,P Q G 三点坐标,PQG 是直角三角形,求出,PQ PG 的长,利用面积公式求出PQG 的面积,利用导数求出面积的最大值. 【详解】(1)直线AM 的斜率为(2)2y x x ≠-+,直线BM 的斜率为(2)2

y x x ≠-,由题意可知:

221

24,(2)222

y y x y x x x ?=-?+=≠±+-,所以曲线C 是以坐标原点为中心,焦点在x 轴上,不包括左右两顶点的椭圆,其方程为()22

1,242

x y

x +=≠±;

(2)(i )设直线PQ 的方程为y kx =,由题意可知0k >,直线PQ 的方程与椭圆方程

2224x y +=联立,

即22

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,2 4.x y kx x y y ?=?=?????+=??=??

或x y ?

=??

??=??

,点P 在第一象

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限,所以P Q ,因此点E

的坐标为

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直线QE 的斜率为2QE k k =

,可得直线QE

方程:2k y x =

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