高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (12)(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (12)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.已知三个点A，B，C的坐标分别为(3,−4)，(6,−3)，(5−m,−3−m)，若△ABC为直角三角形，求实数m的值．2.已知m→=(√3sinωx,cosωx)，n→=(cosωx,−cosωx)(ω>0,x∈R)，f(x)=m→⋅n→−1且f(x)的图2．象上相邻两条对称轴之间的距离为π2(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=√7，f(B)=0，sinA=3sinC，求a，c的值及AC边上的中线．3.已知向量a⃗=(−2,1)，b⃗ =(x,y)．(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a⃗·b⃗ =−1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ⃗ ·b ⃗ <0的概率．4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A(−1,−1),B(2,−1),C(m,n)为三个不同的定点.以原点O 为圆心的圆与线段AB,AC,BC 都相切． (Ⅰ)求圆O 的方程及m,n 的值；(Ⅱ)若直线l:y =−x +t (t ∈R)与圆O 相交于M,N 两点，且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12，求t 的值； (Ⅲ)在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有|PA ||PQ |=λ (λ为常数)？若存在，求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由．5. 设向量a ⃗ =(cos 23°,cos 67°)，b ⃗ =(cos 68°,cos 22°)，u ⃗ =a ⃗ +t b ⃗ (t ∈R)．(1)求a ⃗ ⋅b ⃗ ；(2)求u ⃗ 的模的最小值．6. 在▵ABC 中，AB =2，AC =1，∠BAC =120o ，点E ，F 在BC 边上且BE →=λBC →，BF →=μBC →．(1)若λ=13，求AE 的长； (2)若AE →⋅AF →=4，求1λ+1μ的值．7. 在直角梯形ABCD 中，已知AB //CD ，∠DAB =90°，AB =6，AD =CD =3，对角线AC 交BD于点O ，点M 在AB 上，且OM ⊥BD ．(1)求AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (2)若N 为线段AC 上任意一点，求AN ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．8.已知向量a⃗=(cos α,sin α),b⃗ =(cos β,sin β)，且a⃗与b⃗ 满足关系|k a⃗+b⃗ |=√3|a⃗−k b⃗ |(k>0).(1)求a⃗与b⃗ 的数量积用k表示的解析式f(k)；(2)a⃗能否和b⃗ 垂直？a⃗能否和b⃗ 平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的k值(3)求a⃗与b⃗ 夹角的最大值．9.已知向量a⃗=(cos32x,sin32x),b⃗ =(cos x2,−sin x2)，且x∈[0,π2]，求：(1)a⃗⋅b⃗ 及|a⃗+b⃗ |；(2)若f(x)=a⃗⋅b⃗ −2λ|a⃗+b⃗ |的最小值为−32，求实数λ的值．10.在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且bsinA=√3a．2(1)求B的大小；(2)若AB=2，BC=3，点D在边AC上，________，求BD的长．2请在①AD=DC；②∠DBC=∠DBA；③BD⊥AC这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答(如选多个条件作答，按排列最前的解法评分)．11.对于一个向量组a1⃗⃗⃗⃗ ，a2⃗⃗⃗⃗ ，a3⃗⃗⃗⃗ ，⋯，a n⃗⃗⃗⃗ (n≥3,n∈N∗)，令S n⃗⃗⃗⃗ =a1⃗⃗⃗⃗ +a2⃗⃗⃗⃗ +a3⃗⃗⃗⃗ +⋯+a n⃗⃗⃗⃗ ，如果存在a p⃗⃗⃗⃗ (p∈N∗)，使得|a p⃗⃗⃗⃗ |≥|S n⃗⃗⃗⃗ −a p⃗⃗⃗⃗ |，那么称a p⃗⃗⃗⃗ 是该向量组的“长向量”．(1)若a3⃗⃗⃗⃗ 是向量组a1⃗⃗⃗⃗ ，a2⃗⃗⃗⃗ ，a3⃗⃗⃗⃗ 的“长向量”，且a n⃗⃗⃗⃗ =(n,x+n)，求实数x的取值范围;(2)已知a1⃗⃗⃗⃗ ，a2⃗⃗⃗⃗ ，a3⃗⃗⃗⃗ 均是向量组a1⃗⃗⃗⃗ ，a2⃗⃗⃗⃗ ，a3⃗⃗⃗⃗ 的“长向量”，试探究a1⃗⃗⃗⃗ ，a2⃗⃗⃗⃗ ，a3⃗⃗⃗⃗ 的等量关系并加以证明．12.在平面上，给定非零向量b⃗ ，对任一向量a⃗，定义a′⃗⃗⃗ =a⃗−2(a⃗ ⋅b⃗)|b⃗|b⃗ ．(1)若a⃗=(2,3)，b⃗ =(−1,3)，求a′⃗⃗⃗ ；(2)若b⃗ =(2,1)，位置向量(某一点的位置向量是以原点为起点，以该点为终点的向量)a⃗的终点坐标满足方程Ax+By+C=0，求位置向量a′⃗⃗⃗ 的终点坐标满足的条件；(3)已知存在单位向量b⃗ ，当位置向量a⃗的终点坐标满足x2=y时，位置向量a′⃗⃗⃗ 的终点坐标满足y2=x，求b⃗ 的坐标．13.已知向量a⃗=(2+sinx,1)，b⃗ =(2,−2)，c⃗=(sinx−3,1)，d⃗=(1,k)(x∈R,k∈R)．(1)若x∈[−π2,π2]，且a⃗//(b⃗ +c⃗ )，求x的值．(2)若函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ，求f(x)的值域．(3)是否存在实数k，使得(a⃗+d⃗)⊥(b⃗ +c⃗ )?若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．14.平面向量a⃗,b⃗ 夹角为60∘，且|a⃗−b⃗ |=2．(1)若|a⃗|=2√33，求|2a⃗−3b⃗ |；(2)求a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )的最大值．15.已知向量m⃗⃗⃗ =(cosx,sinx)，n⃗=(cosx,−sinx)，函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗+12．(1)若f(x2)=1，x∈(0,π)，求tan(x+π4)的值；(2)若f(α)=−110，α∈(π2,3π4)，sinβ=7√210，β∈(0,π2)，求2α+β的值．16.已知平面上三个向量a⃗,b⃗ ,c⃗的模均为1，它们相互之间的夹角为120°．(1)求证：(a⃗−b⃗ )⊥c⃗；(2)若|k a⃗+b⃗ +c⃗|>1(k∈R)，求k的取值范围．17. 在平面直角坐标系xOy 中，已知平面向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(−2,4)，c⃗ =(1,−1)． (1)求证：a ⃗ −b ⃗ ⊥a ⃗ −c ⃗ 垂直；(2)若a ⃗ +λb⃗ 与c ⃗ 是共线向量，求实数λ的值．18. 如图在△ABC 中，∠BAC =π3，满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3DB⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)若∠B =π3，求∠ACD 的余弦值；(2)点M 是线段CD 上一点，且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若△ABC 的面积为2√3，求|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值．19. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知∠BAD =60°，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)若EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求m ，n 的值和向量EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模长； (2)求EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值．20. 设F 1、F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，E 是椭圆C 的上顶点，ΔEF 1F 2是等边三角形，短轴长为2√3． (I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)已知A ，B 分别为椭圆左右顶点，位于y 轴两侧的P ，Q 分别是椭圆C 和圆x 2+y 2=b 2上的两个动点，且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于M ，N ，证明：∠MQN =90∘．21. 已知|a →|=4，|b →|=2，且a →与b →夹角为120°，求：(1)a →在b →方向上的投影向量(用向量b →表示)(2)(a →−2b →)⋅(a →+b →)；(3)|2a ⃗ −b ⃗ | (4)a →与a →+b →的夹角．22. 已知|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=3，(2a ⃗ −3b ⃗ )⋅(2a ⃗ +b⃗ )=61． (1)求向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ；(2)若c ⃗ =t a ⃗ +(1−t)b ⃗ ，且b ⃗ ⋅c ⃗ =0，求实数t 的值及|c⃗ |．23. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 满足：|a⃗ |=1，|b ⃗ |=6，a ⃗ ⋅(b ⃗ −a ⃗ )=2． (1)求向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角及|2a⃗ −b ⃗ |的值； (2)是否存在实数λ使得(λa ⃗ −b⃗ ) ⊥b ⃗ ，若存在，求实数λ的值；若不存在，说明理由．24. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点P(2,√2)，一个焦点F 的坐标为(2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y =kx +m 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若k OA ⋅k OB =−12，求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．25. 已知a ⃗ ,b ⃗ 夹角为60°，且|a⃗ |=2，若c ⃗ =−12a ⃗ +t b ⃗ (t ∈R)，则|c ⃗ |+|c ⃗ −a ⃗ |的最小值为_______________ ．26. 如图，在ΔABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =60∘，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)求CD 的长；(2)若DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =μEB ⃗⃗⃗⃗⃗ 求λ⋅μ的值，以及CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．27. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(√22,−√22)，．(1)若m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，求x 的值； (2)若与的夹角为π3，x ∈(0,π2)，求x 的值．28. 已知椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)，A ，B 为椭圆的左、右顶点，点N(0,−2)，连接BN 交椭圆C 于点Q ，△ABN 为直角三角形，且|NQ|∶|QB|=3∶2． (1)求椭圆的方程；(2)过A 点的直线l 与椭圆相交于另一点M ，线段AM 的垂直平分线与y 轴的交点P 满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =154，求点P 的坐标．29. 已知点A(0,−1)，B(0,1)，动点P 满足|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=PA ⃗⃗⃗⃗ ·BA⃗⃗⃗⃗⃗ .记点P 的轨迹为曲线C ． (1)求C 的方程；(2)设D 为直线y =−2上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E ，F.证明：直线EF 过定点．30. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√22，过右焦点F(c,0)的直线y =x −c 与椭圆交于A ，B 两点，A 在第一象限，且|AF |=√2．(1)求椭圆C 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，满足对于过点F 的任一直线l 与椭圆C 的两个交点P ，Q ，都有MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值⋅若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案与解析】1.答案：解：由已知得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−m,1−m)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−m,−m)． 当∠A 为直角时，，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(2−m)+1−m =0，解得m =74. 当∠B 为直角时，， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(−1−m)−m =0，解得m =−34. 当∠C 为直角时，， 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−m)(−1−m)+(1−m)(−m)=0，即m 2−m −1=0，解得m =1±√52. 综上，当△ABC 为直角三角形时，m 的值为74或−34或1±√52解析：本题考查的是向量垂直的判断，考查向量数量积，是基础题．先求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−m,1−m)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−m,−m)，再对∠A ，∠B ，∠C 为直角分类讨论． 2.答案：解：(1)∵f(x)=m →⋅n →−12=√3sinωxcosωx −cos 2ωx −12=√32sin2ωx −12cos2ωx −1 =sin(2ωx −π6)−1，∵f(x)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴T2=π2，即T =π， ∴2ω=2πT=2，即ω=1，∴f (x )=sin(2x −π6)−1， 令−π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ， 解得kπ−π6≤x ≤kπ+π3(k ∈Z )，∴f(x)的单增区间为[kπ−π6,kπ+π3],k ∈Z ； (2)根据f(B)=sin(2B −π6)−1=0，得到B =π3， 由sinA =3sinC ，根据正弦定理得a =3c ，又∵b =√7，在ΔABC 中由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB ，即得到c =1，a =3， 记AC 边上的中线为BD ， 则(BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)2=(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2+2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )24=12+2×1×3×12+324=134，∴|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√132， 故a =3，c =1，AC 边上的中线为√132．解析：本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，三角恒等变换，以及三角函数图像和性质，以及正弦定理余弦定理的运用，本题属于中档题．(1)先根据f(x)=m →⋅n →−12，运用向量坐标运算公式和三角恒等变换得到f(x)=sin(2ωx −π6)−1，再根据f(x)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2，得到f(x)周期T ，进而求出ω，即求出f(x)的解析式，最后令−π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ，解出关于x 的不等式，即可求出函数f(x)的单调递增区间；(2)先根据f(B)=sin(2B −π6)−1=0，得到B =π3，再根据sinA =3sinC 得到a =3c ，然后根据余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB ，即可求出a 、c 的值，最后根据(BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)2，代入数据运算即可求出AC 边上的中线．3.答案：解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6=36个； 由a ⃗ ⋅b⃗ =−1，得−2x +y =−1，∴满足a ⋅b =−1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)共3个； ∴满足a ⃗ ⋅b ⃗ =−1的概率为P =336=112；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω={(x,y)|1≤x ≤6，1≤y ≤6}； 满足a ⃗ ⋅b ⃗ <0的基本事件的结果为A ={(x,y)|1≤x ≤6，1≤y ≤6且−2x +y <0}； 画出图形如图所示，则矩形的面积为S 矩形=25，阴影部分的面积为S 阴影=25−12×2×4=21，∴满足a ⃗ ⋅b ⃗ <0的概率为P =2125．解析：本题主要考查了古典概率和几何概型的概率计算问题，体现了数形结合的数学思想，是中档题．(1)根据题意，求出满足条件a ⃗ ⋅b ⃗ =−1的基本事件个数及总的基本事件个数， 代入古典概型公式进行计算求解即可；(2)根据题意，画出满足条件a ⃗ ⋅b ⃗ <0的图形，结合图形找出满足条件的点集对应的图形面积，利用几何概型的概率公式计算即可．4.答案：(Ⅰ)因为圆O 与AB 相切，所以半径等于O 到AB 的距离．直线AB ：y =−1，所以r =1，圆O ：x 2+y 2=1．圆O 与AC 相切，A(−1,−1)，所以直线AC ：x =−1，所以m =−1． 直线BC ：x−2−1−2=y+1n+1⇔3(y +1)+(n +1)(x −2)=0 O 到BC 的距离为1，所以2=1⇒n =3或−1(舍) 所以n =3．(Ⅱ)设OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)，因为M ，N 在直线l 上，所以y 1=−x 1+t ，y 2=−x 2+t ． 联立{y =−x +t x 2+y 2=1得2x 2−2tx +t 2−1=0，所以{x 1+x 2=t x 1x 2=t 2−12． 则−12=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(−x 1+t)(−x 2+t) =2x 1x 2−t(x 1+x 2)+t 2=t 2−1⇒t =±√22． (Ⅲ)直线AO ：y =x ，假设存在这样的Q ，设其坐标为(a,a)． 设P(x 0,y 0)，则λ2=|PA|2|PQ|2=(x 0+1)2+(y 0+1)2(x 0−a)2+(x 0−a)2．由P 的任意性，令x 0=1，y 0=0和x 0=−1，y 0=0代入得5(1−a)2+a 2=λ2=1(−1−a)2+a 2 ⇒(1−a)2+a 2=5(−1−a)2+5a 2⇒a =−12或a =−1(舍) 所以λ2=1(−1−a)2+a 2=2，因为λ>0，所以λ=√2． 将a =−12，λ=√2代入λ2=(x 0+1)2+(y 0+1)2(x0−a)2+(x 0−a)2，则2=(x 0+1)2+(y 0+1)2(x 0+12)2+(y 0+12)2⇔x 02+y 02=1恒成立．所以这样的Q 是存在的，坐标为(−12,−12)，此时λ=√2．解析：本题考查了直线与圆的方程、点到直线的距离等知识，运用了特殊值法、韦达定理等方法，属于难题．(Ⅰ)因为A 、B 已知，所以通过O 与AB 的距离求半径，再根据半径求C 点坐标，注意到A 点坐标的特殊性，AC 这条直线是垂直于x 轴的．(Ⅱ)将M 、N 点坐标设出来，将直线方程与圆的方程联立，将向量关系转化为韦达定理代入即可求解．(Ⅲ)事实上条件的意思是圆O 是以A 、Q 为顶点λ为定比的阿波罗尼斯圆，所以这样的Q 点是存在的．可以代入特殊点将Q 点坐标求出来，再代入验证．5.答案：解：(1)a ⃗ ·b ⃗ =cos23°cos68°+cos67°cos22°=cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos(23°−68°)=cos45°=√22; (2)∵|u ⃗ |2=(a ⃗ +t b ⃗ )2=|a ⃗ |2+t 2|b ⃗ |2+2t a ⃗ ·b ⃗ ，a⃗ 2=cos 223°+cos 267°=cos 223°+sin 223°=1，|b ⃗ |2=cos 268°+sin 268°=1， ∴|u ⃗ |2=1+t 2+2t√22=(t +√22)2+12，当t =−√22时，|u ⃗ |min =√22．解析：本题考查了平面向量的坐标运算，平面向量数量积以及向量求模，也考查了三角恒等变换及二次函数的性质，属于中档题．(1)利用向量数量积求解，利用三角函数和差角公式化简求解；(2)先求|u ⃗ |2=(a ⃗ +t b ⃗ )2=|a ⃗ |2+t 2|b ⃗ |2+2t a ⃗ ·b ⃗ =(t +√22)2+12，然后求最小值．6.答案：解：(1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos 120∘=−1，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +13(b ⃗ −a ⃗ )=23a ⃗ +13b ⃗ ， |AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(23a ⃗ +13b ⃗ )2=√19(16+1−4)=√133， (2)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +λ(b ⃗ −a ⃗ )=(1−λ)a ⃗ +λb ⃗ ， 同理可得，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +μ(b ⃗ −a ⃗ )=(1−μ)a ⃗ +μb ⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =[(1−λ)a ⃗ +λb ⃗ ]⋅[(1−μ)a ⃗ +μb ⃗ ] =4(1−λ)(1−μ)+λμ−[(1−λ)μ+(1−μ)λ]=4+7λμ−5(λ+μ)，∴4+7λμ−5(λ+μ)=4，7λμ−5(λ+μ)=0， 同除以λμ可得，1λ+1μ=75．解析：本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力，是中档题． (1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，利用向量的数量积以及向量的模求解即可． (2)求出AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =4中的向量表示，利用向量的数量积转化求解即可． 7.答案：解：(1)因为∠DAB =90°，所以以A 为坐标原点，AB 、AD 分别为x 、y 轴，建立平面直角坐标系如下图：因为AB //CD ，AB =6，AD =CD =3， 所以A (0,0)，B (6,0)，C (3,3)，D (0,3)． 又因为对角线AC 交BD 于点O ，所以由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3t,3t )，即O (3t,3t )， 因此DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3t,3t −3)，DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−3)， 而DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以−3×3t −6×(3t −3)=0，解得t =23，因此O (2,2)．又因为点M 在AB 上，所以设M (m,0)， 因此OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −2,−2)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3)， 而OM ⊥BD ，所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6(m −2)−6=0， 解得m =1，即M (1,0)，因此AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，而BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3)， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6， 即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为−6； (2)因为N 为线段AC 上任意一点，所以由(1)知：可设N (n,n )(0⩽n ⩽3)(包括端点)， 因此AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,n )，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(n −1,n )， 所以AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n (n −1)+n 2=2n 2−n ． 因为函数y =2n 2−n 的图象开口上，对称轴为n =14， 而0⩽n ⩽3，所以函数y =2n 2−n 的值域为[−18,15]， 即AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−18,15]．解析：本题考查了 二次函数，向量的数量积，相等向量的概念，向量垂直的判断与证明，平面向量的坐标运算，平面向量共线的充要条件和向量的几何运用，属于中档题．(1)根据题目条件，以A 为坐标原点，AB 、AD 分别为x 、y 轴，建立平面直角坐标系，利用相等向量的概念的坐标运算得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3t,3t )，从而得O (3t,3t )，再利用向量的坐标运算得DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3t,3t −3)和DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−3)，再利用平面向量共线的充要条件得得t =23，从而得O (2,2)，设M (m,0)，从而得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −2,−2)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3)，再利用向量垂直的判断的坐标运算得m =1，从而得M (1,0)，再利用向量的坐标运算得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，再利用向量数量积的坐标运算，计算得结论；(2)利用(1)的结论，结合题目条件设N (n,n )(0⩽n ⩽3)(包括端点)，再利用向量的坐标运算得AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,n )和MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(n −1,n )，再利用向量数量积的坐标运算得AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2n 2−n ，最后利用二次函数，计算得结论．8.答案：解：(1)由已知得|a ⃗ |=|b ⃗ |=1．∵|k a⃗+b⃗ |=√3|a⃗−k b⃗ |，∴(k a⃗+b⃗ )2=3(a⃗−k b⃗ )2，∴k2|a⃗|2+2k a⃗·b⃗ +|b⃗ |2=3(|a⃗|2−2k a⃗·b⃗ +k2|b⃗ |2)，∴8k a⃗·b⃗ =2k2+2，∴a⃗·b⃗ =k2+14k(k>0)．(2)由(1)知a⃗·b⃗ >0，∴a⃗与b⃗ 不可能垂直．若a⃗//b⃗ ，由a⃗·b⃗ >0知a⃗，b⃗ 同向，于是有a⃗·b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos0°=|a⃗||b⃗ |=1，即k2+14k=1，解得k=2±√3，∴当k=2±√3时，a⃗//b⃗ ．(3)设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则，∴cosθ=14(k+1k)=14[(√k)2+(1√k)2]=14[(√k−1√k)2+2]，∴当√k=√k ，即k=1时，cosθ取得最小值12．又0°≤θ≤180°，∴a⃗与b⃗ 夹角θ的最大值为60°．解析：本题考查了数量积运算，向量的垂直与平行的判定与证明以及求夹角的问题；(1)|k a⃗+b⃗ |=√3|a⃗−k b⃗ |等式两边平方化简求解．(2)由(1)得a⃗·b⃗ >0，所以a⃗不可能能否和b⃗ 垂直，所以利用平行的等价条件|a⃗·b⃗ |=|a⃗||b⃗ |求解．(3)用k表示，利用二次函数求最值．9.答案：解：(1)a⃗⋅b⃗ =cos32xcos x2−sin32xsin12x=cos2x，∵(a⃗+b⃗ )2=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=1+2cos2x+1=2+2cos2x=4cos 2x ， 又x ∈[0,π2]， ∴|a ⃗ +b ⃗ |=2cosx ；(2)f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ −2λ|a ⃗ +b ⃗ |=cos2x −4λcosx =2cos 2x −4λcosx −1=2(cosx −λ)2−2λ2−1，因为，若λ>1时，当cosx =1，f(x)min =1−4λ<−3，与题意不符； 若λ<0时，当cosx =0，f(x)min =−1，与题意不符； 若0≤λ≤1，当cosx =λ，f(x)min =−2λ2−1， 由−2λ2−1=−32,λ∈[0,1]，解得λ=12， 故实数λ的值为12．解析：本题考查了平面向量的坐标运算，考查向量的数量积及向量的模的运算，及利用二次函数性质、余弦函数的性质、分类讨论求最值，属于较难题． (1)利用向量数量积、模的运算得结论;(2)将(1)中a ⃗ ⋅b ⃗ 及|a ⃗ +b ⃗ |的运算式子代入f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ −2λ|a ⃗ +b ⃗ |，变形为f(x)=2(cosx −λ)2−2λ2−1，通过分类讨论求最小值，即可解得λ的值．10.答案：解：(1)在△ABC 中，由正弦定理asinA =bsinB ，以及bsinA =√32a 得sinBsinA =√32sinA ， 因为△ABC 为锐角三角形， 所以，所以sinA ≠0，所以sinB =√32．又，所以．(2)若选①．在△ABC 中，因为AD =DC ，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =22+(32)2+2×2×32×cosπ34=3716，所以BD =√374．若选②．在△ABC 中，S △ABC =S △ABD +S △CBD ，即12BA ⋅BC ⋅sin π3=12BA ⋅BD ⋅sin π6+12BD ⋅BC ⋅sin π6， 即12×2×32×√32=12×2×BD ×12+12×BD ×32×12， 解得BD =6√37． 若选③．在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB．所以AC =√132．因为S △ABC =12BA ·BC ·sinB =12×2×32×√32=3√34，又S △ABC =12BD ·AC =√134BD ，所以√134BD =3√34， 解得：BD =3√3913．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由正弦定理化简已知等式，结合A ，B 为锐角进行求解；(2)若选①．由题意可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，两边平方，利用平面向量数量积的运算即可求解BD 的值;若选②.由于S △ABC =S △ABD +S △CBD ，利用三角形的面积公式即可求解BD 的值; 若选③.由余弦定理可求AC 的值，利用三角形的面积公式可得√134BD =3√34，即可求解． 11.答案：解：(1)由“长向量”定义得|a 3⃗⃗⃗⃗ |⩾|a 1⃗⃗⃗⃗ +a 2⃗⃗⃗⃗ |．因为a n ⃗⃗⃗⃗ =(n,x +n)，所以a 1⃗⃗⃗⃗ =(1,x +1)，a 2⃗⃗⃗⃗ =(2,x +2)，a 3⃗⃗⃗⃗ =(3,x +3)， ∴a 1⃗⃗⃗⃗ +a 2⃗⃗⃗⃗ =(3,2x +3)，∴√9+(x+3)2⩾√9+(2x+3)2，解得−2⩽x⩽0，∴实数x的取值范围为[−2,0]．(2)a1⃗⃗⃗⃗ ，a2⃗⃗⃗⃗ ，a3⃗⃗⃗⃗ 的等量关系为a1⃗⃗⃗⃗ +a2⃗⃗⃗⃗ +a3⃗⃗⃗⃗ =0．证明：由题意可知，a1⃗⃗⃗⃗ 是向量组a1⃗⃗⃗⃗ ,a2⃗⃗⃗⃗ ,a3⃗⃗⃗⃗ 的“长向量”，即满足|a1⃗⃗⃗⃗ |⩾|a2⃗⃗⃗⃗ +a3⃗⃗⃗⃗ |．所以|a1⃗⃗⃗⃗ |2⩾|a2⃗⃗⃗⃗ +a3⃗⃗⃗⃗ |2，即a1⃗⃗⃗⃗ 2⩾(a2⃗⃗⃗⃗ +a3⃗⃗⃗⃗ )2，展开化简可得a1⃗⃗⃗⃗ 2⩾a2⃗⃗⃗⃗ 2+a3⃗⃗⃗⃗ 2+2a2⃗⃗⃗⃗ ⋅a3⃗⃗⃗⃗ ，同理a2⃗⃗⃗⃗ ，a3⃗⃗⃗⃗ 也是向量组a1⃗⃗⃗⃗ ,a2⃗⃗⃗⃗ ,a3⃗⃗⃗⃗ 的“长向量”，则a2⃗⃗⃗⃗ 2⩾a1⃗⃗⃗⃗ 2+a3⃗⃗⃗⃗ 2+2a1⃗⃗⃗⃗ ⋅a3⃗⃗⃗⃗ ，a3⃗⃗⃗⃗ 2⩾a1⃗⃗⃗⃗ 2+a2⃗⃗⃗⃗ 2+2a1⃗⃗⃗⃗ ⋅a2⃗⃗⃗⃗ ，三式相加并化简得：0⩾a1⃗⃗⃗⃗ 2+a2⃗⃗⃗⃗ 2+a3⃗⃗⃗⃗ 2+2a1⃗⃗⃗⃗ ⋅a2⃗⃗⃗⃗ +2a1⃗⃗⃗⃗ ⋅a3⃗⃗⃗⃗ +2a2⃗⃗⃗⃗ ⋅a3⃗⃗⃗⃗ ，即(a1⃗⃗⃗⃗ +a2⃗⃗⃗⃗ +a3⃗⃗⃗⃗ )2⩽0，|a1⃗⃗⃗⃗ +a2⃗⃗⃗⃗ +a3⃗⃗⃗⃗ |⩽0，∴a1⃗⃗⃗⃗ +a2⃗⃗⃗⃗ +a3⃗⃗⃗⃗ =0．解析：本题考查了平面向量中新定义的理解与应用，向量坐标运算及模的求法，创新性好，正确理解题意是解决问题的关键，属于难题．(1)根据长向量的定义可知|a3⃗⃗⃗⃗ |⩾|a1⃗⃗⃗⃗ +a2⃗⃗⃗⃗ |，结合条件用坐标表示出a3⃗⃗⃗⃗ 和a1⃗⃗⃗⃗ +a2⃗⃗⃗⃗ ，即可由向量的模长公式得关于x的不等式，解不等式即可求得x的取值范围．(2)由“长向量”定义可得a1⃗⃗⃗⃗ 2,a2⃗⃗⃗⃗ 2,a3⃗⃗⃗⃗ 2的不等式组，对三组式子合并化简即可证明．12.答案：解：(1)a⃗⋅b⃗ =−2+9=7，|b⃗ |2=10，∴a′⃗⃗⃗ =(2,3)−14(−1,3)10=(2,3)−(−75,215)=(175,−65).(2)设a ⃗ =(m,n)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =2m +n ，|b ⃗ |2=5， ∴a′⃗⃗⃗ =(m,n)−2(2m+n)5(2,1)=(−3m−4n 5,−4m+3n5)，设a′⃗⃗⃗ =(x,y)，则{x =−3m−4n5y =−4m+3n 5，∴{m =−3x−4y5n =−4x+3y 5，∵位置向量a ⃗ 终点坐标满足方程Ax +By +C =0，故−3x−4y5×A +−4x+3y5×B +C =0，∴(3A +4B)x +(4A −3B)y −5C =0，位置向量a′⃗⃗⃗ 的终点坐标满足的条件为(3A +4B)x +(4A −3B)y −5C =0， (3)设b ⃗ =(cosθ,sinθ)，a ⃗ =(x,x 2)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =xcosθ+x 2sinθ，∴a′⃗⃗⃗ =(x,x 2)−2(xcosθ+x 2sinθ)(cosθ,sinθ)=(−x 2sin2θ−xcos2θ,x 2cos2θ−xsin2θ)， ∵位置向量a′⃗⃗⃗ 的终点坐标满足y 2=x ，故x 4cos 22θ−2x 3sin2θcos2θ+x 2sin 22θ=−x 2sin2θ−xcos2θ，∴x 3cos 22θ−2x 2sin2θcos2θ+x(sin 22θ+sin2θ)+cos2θ=0恒成立， ∴{cos2θ=0sin2θ(sin2θ+1)=0，∴{sin2θ=−1cos2θ=0，∴2θ=32π+2kπ，k ∈Z ， ∴θ=34π+kπ，k ∈Z ， ∴cosθ=−√22，sinθ=√22或cosθ=√22，sinθ=−√22， ∴b ⃗ =(−√22,√22)或b ⃗ =(√22,−√22).解析：本题考查平面向量的坐标运算，数量积运算，属于中档题． (1)根据定义式计算即可；(2)设a ⃗ =(m,n)，求出a′⃗⃗⃗ 的坐标(x,y)，用x ，y 表示出m ，n ，代入Ax +By +C =0整理得出结论； (3)设b ⃗ =(cosθ,sinθ)，a ⃗ =(x,x 2)，求出a′⃗⃗⃗ 坐标，代入y 2=x 化简，根据等式恒成立求出cosθ和sinθ的值．13.答案：解：(1)∵b ⃗ +c ⃗ =(sinx −1,−1)，又a ⃗ //(b ⃗ +c ⃗ )， ∴−(2+sinx)=sinx −1，即sinx =−12． 又x ∈[−π2,π2]， ∴x =−π6．(2)∵a⃗=(2+sinx,1)，b⃗ =(2,−2)，∴f(x)=a⃗⋅b⃗ =2(2+sinx)−2=2sinx+2．又x∈R，∴当sinx=−1时，f(x)有最小值，且最小值为0;当sinx=1时，f(x)有最大值，且最大值为4．∴f(x)的值域为[0,4]．(3)∵a⃗+d⃗=(3+sinx,1+k)，b⃗ +c⃗=(sinx−1,−1)，若(a⃗+d⃗)⊥(b⃗ +c⃗ )，则(a⃗+d⃗)⋅(b⃗ +c⃗ )=0，即(3+sinx)(sinx−1)−(1+k)=0，．由sinx∈[−1,1]，得k∈[−5,−1]．∴存在k∈[−5,−1]，使得(a⃗+d⃗)⊥(b⃗ +c⃗ ).解析：本题考查向量的共线与垂直，数量积的应用，向量与三角函数的联系，难度适中．(1)考查向量共线的坐标表示，再根据向量平行的坐标运算即可得到结果；(2)由题设f(x)=a⃗·b⃗ =2sinx+2，得函数的值域．(3)由题设得(a⃗+d⃗)·(b⃗ +c⃗ )=0，k=(sinx+1)2−5得解．14.答案：解：(1)∵向量a⃗，b⃗ 夹角为60º，且|a⃗−b⃗ |=2，∴|a⃗−b⃗ |2=4，即a⃗2−2a⃗·b⃗ +b⃗ 2=4，∴(2√33)2−2×2√33×|b ⃗ |×12+|b ⃗ |2=4， 解得：|b ⃗ |=4√33， ∴|2a ⃗ −3b ⃗ |2=4a ⃗ 2−12a ⃗ ·b⃗ +9b ⃗ 2=4×(2√33)2−12×2√33×4√33×12+9×(4√33)2=1123，∴|2a ⃗ −3b ⃗ |=4√213(2)因为|a ⃗ −b ⃗ |=2，所以(a ⃗ −b ⃗ )2=4，所以|a ⃗ |2+|b ⃗ |2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =4，又a⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos60∘=12|a ⃗ ||b ⃗ |， 所以|a ⃗ |2+|b ⃗ |2−|a ⃗ ||b ⃗ |=4，所以a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=|a ⃗ |2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |2+|a ⃗ ||b ⃗ |=4×|a ⃗ |2+|a ⃗ ||b ⃗ ||a ⃗ |2+|b ⃗ |2−|a ⃗ ||b ⃗ |=4×1+|b ⃗ ||a ⃗ |1+(|b ⃗ ||a ⃗ |)2−|b ⃗ ||a ⃗ |=4×1+|b ⃗ ||a ⃗ |(1+|b ⃗ ||a ⃗ |)2−3(|b ⃗ ||a ⃗ |+1)+3=41+|b ⃗ ||a ⃗ |+31+|b ⃗ ||a ⃗ |−3 令t =1+|b⃗ ||a ⃗ |，则a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=4t+3t−3⩽2√t⋅t−3=2√3−3=2√3+33，当且仅当t =√3，即|b⃗ ||a ⃗ |=√3−1时，等号成立． 所以a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b⃗ )的最大值为8√33+4．解析：本题考查了向量的模、向量的数量积和基本不等式的运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由|a ⃗ −b ⃗ |2=2得|b ⃗ |=4√33，从而计算出|2a ⃗ −3b ⃗ |2，进而可得结论；(2)由a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=|a ⃗ |2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |2+|a ⃗ ||b ⃗ |=4×|a ⃗ |2+|a ⃗ ||b⃗ ||a ⃗ |2+|b ⃗ |2−|a ⃗ ||b⃗ |，分子分母同时除以 |a ⃗ |2，化简后由基本不等式可得最大值．15.答案：解：(1)因为向量m⃗⃗⃗ =(cosx,sinx)，n ⃗ =(cosx,−sinx)， 所以f(x)=m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ +12=cos 2x −sin 2x +12=cos2x +12. 因为f(x2)=1，所以cosx +12=1，即cosx =12． 又因为x ∈(0,π)，所以，所以．(2)若f(α)=−110，则cos2α+12=−110，即cos2α=−35． 因为，所以，所以sin2α=−√1−cos 22α=−45．因为sinβ=7√210，，所以cosβ=√1−sin 2β=√210，所以cos(2α+β)=cos2αcosβ−sin2αsinβ=(−35)×√210−(−45)×7√210=√22． 又因为，，所以2α+β∈(π,2π)，所以2α+β的值为解析：本题考查了向量的数量积、二倍角公式及两角和与差的三角函数公式，属于中档题． (1)由向量的数量积可得f(x)=cos2x +12，由f(x2)=1求得x 的值，再由两角和与差的三角函数公式可得的值；(2)先求得cos2α=−35，结合角的范围得sin2α.同理由sinβ得cosβ，由两角和与差的三角函数公式可得cos(2α+β)，故可得答案．16.答案：(1)证明∵(a⃗−b⃗ )⋅c⃗=a⃗⋅c⃗−b⃗ ⋅c⃗=|a⃗|·|c⃗|·cos120°−|b⃗ |·|c⃗|·cos120°=0，∴(a⃗−b⃗ )⊥c⃗．(2)解|k a⃗+b⃗ +c⃗|>1⇔(k a⃗+b⃗ +c⃗ )2>1，即k2 a⃗2 +b⃗ 2+c⃗2+2k a⃗⋅b⃗ +2k a⃗⋅c⃗+2b⃗ ⋅c⃗>1．∵|a⃗|=|b⃗ |=|c⃗|=1，且a⃗,b⃗ ,c⃗相互之间的夹角均为120°，∴a⃗2=b⃗ 2=c⃗2=1，a⃗⋅b⃗ =b⃗ ⋅c⃗=a⃗⋅c⃗=−12，∴k2+1−2k>1，即k2−2k>0，∴k>2或k<0．即k的取值范围是(−∞,0)∪(2,+∞)．解析：本题考查向量垂直的充要条件、向量模的平方等于向量的平方、向量的数量积公式．(1)利用向量的分配律及向量的数量积公式求出(a⃗−b⃗ )⋅c⃗；利用向量的数量积为0向量垂直得证．(2)利用向量模的平方等于向量的平方及向量的数量积公式将已知等式平方得到关于k的不等式求出k的范围．17.答案：(1)证明：因为a⃗=(2,3)，b⃗ =(−2,4)，c⃗=(1,−1)，所以a⃗−b⃗ =(4,−1)，a⃗−c⃗=(1,4)，从而(a⃗−b⃗ )·(a⃗−c⃗)=4×1+(−1)×4=0，且a⃗−b⃗ 与a⃗−c⃗均为非零向量，所以a⃗−b⃗ 与a⃗−c⃗垂直；(2)解：因为a⃗=(2,3)，b⃗ =(−2,4)，所以a⃗+λb⃗ =(2−2λ,3+4λ)，又c⃗=(1,−1)，且a⃗+λb⃗ 与c⃗是共线向量，所以(2−2λ)×(−1)−(3+4λ)×1=0，解得λ=−5．2解析：本题考查了向量垂直的条件，向量的数量积运算，平面向量的坐标运算，平面向量共线的充要条件，属于中档题．(1)求出a⃗−b⃗ 与a⃗−c⃗坐标，可得(a⃗−b⃗ )·(a⃗−c⃗)=0，即可证明a⃗−b⃗ 与a⃗−c⃗垂直；(2)求出a⃗+λb⃗ =(2−2λ,3+4λ)，根据向量共线的充要条件得到关于λ的方程，解之即可．18.答案：解：(1)由题意可设|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ，则|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3a ， 在△ACD 中，有：AC 2=AD 2+CD 2−2AD ⋅CD ⋅cos∠ADC ，① 在△BCD 中，有：BC 2=DB 2+CD 2−2DB ⋅CD ⋅cos∠BDC ，② ①+3×②，可得CD 2=13a 2，在△ACD 中，有：AD 2=AC 2+CD 2−2AC ⋅CD ⋅cos∠ACD ，解得cos∠ACD =5√1326． (2)由于AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且C ，M ，D 三点共线， 所以m =13，因为S △ABC =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅√32=2√3， 故|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=8， 可得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =43+19|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+16|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2≥4， 当且仅当|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3时， 所以|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min =2．解析：【试题解析】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，平面向量的运算，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由题意可设|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ，则|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3a ，在△ACD 中，△BCD 中，利用余弦定理可得CD 2=13a 2，在△ACD 中利用余弦定理可求cos∠ACD 的值．(2)由已知可得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且C ，M ，D 三点共线，可求m =13，利用三角形的面积公式可求|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8，将已知等式两边平方后利用平面向量的运算，基本不等式即可求解|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min 的值．19.答案：解：(1)∵EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴n =12,m =−23.∵|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2×12×23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +49AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =1−2+4=3.∴|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，即EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模长为√3． (2)∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√32+22+2×3×2×12=√19. ∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−16×3−23×9+12×4=−92， ∴cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−3√5738. ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值为−3√5738．解析：本题考查了向量的表示、向量的数量积的运算性质和向量的夹角，属拔高题．(1)利用向量的关系，把所求向量用两个已知向量表示，然后利用向量的数量积的运算性质，求出向量EF⃗⃗⃗⃗⃗ 的模． (2)根据向量的夹角公式，分别求出向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、EF⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量积和模，即可求出两个向量的夹角的余弦值． 20.答案：解：(Ⅰ)∵▵EF 1F 2是等边三角形∴b =√3c,a =2c ，∵b =√3 ∴b 2=3,c 2=1,a 2=4∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)设P 点坐标(x 0,y 0)，Q 点坐标(t,y 0)∴AP 直线方程为y =yx 0+2(x +2)∴M 坐标为(0,2y 0x0+2)∴BP 直线方程为y =y 0x0−2(x −2)∴N 坐标为(0,2y2−x 0)，∴QN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,2y 02−x 0−y 0),QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,2y 02+x 0−y 0),QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t 2+y 02+−4y 024−x 02，∵P,Q 分别在椭圆和圆上∴t 2+y 02=3，x 024+y 023=1∴QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t 2+y 02+−4y 024−x 02=0 ∴∠MQN =90∘．解析：本题考查椭圆方程与几何性质，考查直线与椭圆位置关系的综合应用，属中档题． (Ⅰ)由△EF 1F 2是等边三角形，得b =√3c,a =2c ，又b =√3，即可取得a ，c ，进而得椭圆C 的方程； (Ⅱ)设P 点坐标(x 0,y 0)，Q 点坐标(t,y 0)，写出AP,BP 的直线方程，取得M ，N 坐标，进而得QN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,2y 02−x 0−y 0),QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,2y 02+x 0−y 0),根据P,Q 分别在椭圆和圆上得∴QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t 2+y 02+−4y 024−x 02=0，即可证得结论成立．21.答案：解：(1)由|a ⃗ |cosθb ⃗ |b|=4×(−12)2b ⃗ =−b ⃗ ；(2)a →⋅b →=4×2×cos120°=−4，所以(a →−2b →)⋅(a →+b →)=a →2−a →⋅b →−2b →2=16+4−8=12；(3)因为(2a →−b →)2=4a →2−4a →⋅b →+b →2=64+16+4=84，所以|2a ⃗ −b⃗ |=2√21； (4)因为(a →+b →)2=a →2+2a →⋅b →+b →2=16−8+4=12，所以|a →+b →|=2√3，又a →⋅(a →+b →)=a →2+a →⋅b →=16−4=12，所以cos <a →,a →+b →>=a →⋅(a →+b →)|a →||a →+b →|=4×23=√32， 所以a →与a →+b →的夹角为π6．解析：本题考查了向量的数量积、向量的夹角、向量的模、投影向量(平面向量)，属于中档题． (1)由投影向量公式即可得答案；(2)由a →⋅b →=4×2×cos120°=−4，再由向量的数量积即可；(3)先运算(2a ⃗ −b ⃗ )2=4a ⃗ 2−4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2，故可得|2a⃗ −b ⃗ | ； (4)由向量的夹角公式即可得答案．22.答案：解：(1)由|a ⃗ |=4,|b ⃗ |=3,(2a ⃗ −3b ⃗ )⋅(2a ⃗ +b ⃗ )=61，得4|a ⃗ |2−4a ⃗ ⋅b ⃗ −3|b ⃗ |2=61， 即4×42−4a ⃗ ⋅b ⃗ −3×32=61， 得a ⃗ ⋅b ⃗ =−6， ∴cosθ=a ⃗ ⋅b⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=−64×3=−12，∵0≤θ≤π， ∴θ=2π3；(2)∵c ⃗ =t a ⃗ +(1−t)b ⃗ ，∴b ⃗ ⋅c ⃗ =b ⃗ ⋅[t a ⃗ +(1−t)b ⃗ ]=t a ⃗ ⋅b ⃗ +(1−t)|b ⃗ |2=−15t +9=0，∴t=35，则|c⃗|=√c⃗2=√(35a⃗+25b⃗ )2=√925|a⃗|2+1225a⃗⋅b⃗ +425|b⃗ |2=6√35．解析：本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，关键是掌握|a⃗|2=a⃗2，属于中档题．(1)直接展开数量积，代入已知向量的模求得a⃗与b⃗ 的夹角θ；(2)由b⃗ ⋅c⃗=0列式求得t值，再由|c⃗|=√c⃗2展开求得|c⃗|．23.答案：解：(1)设向量a⃗与b⃗ 的夹角为θ，a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |cos θ=6cos θ，∴a⃗⋅(b⃗ −a⃗ )=a⃗⋅b⃗ −a⃗2=6cos θ−1=2，解得cosθ=12，，∴θ=π3；|2a⃗−b⃗ |=√(2a⃗−b⃗ )2=√4a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=√4−12+36=2√7，(2)由(λa⃗−b⃗ )⊥b⃗ 得，(λa⃗−b⃗ )·b⃗ =λa⃗·b⃗ −b⃗ 2=3λ−36=0，∴λ=12解析：本题考查了向量的夹角公式和向量的数量积和向量的模，考查向量垂直的充要条件意义，属于中档题．(1)根据向量的数量积公式和向量的夹角公式及向量的模|2a⃗−b⃗ |=√(2a⃗−b⃗ )2=√4a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2计算即可，(2)由(λa⃗−b⃗ )⊥b⃗ 得，，由数量积的运算律计算即可．24.答案：解：(1)∵椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(2,√2)，一个焦点F的坐标为(2,0)．∴{4a2+2b2=1c=2a2=b2+c2，解得a=2√2，b=2，c=2，∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =kx +m x 28+y 24=1得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0．△=16k 2m 2−4(1+2k 2)(2m 2−8)=64k 2−8m 2+32>0， 即m 2<8k 2+4， x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k ，y 1y 2=k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2 =2k 2m 2−8k 21+2k 2−4k 2m 21+2k2+m 2 =m 2−8k 21+2k 2，∵k OA ⋅k OB =−12，∴k OA ⋅k OB =y 1y 2x 1x 2=m 2−8k 22m 2−8=−12，∴4m 2−16k 2=8，即m 2=4k 2+2， 故4k 2+2<8k 2+4，解得k ∈R ，OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =2m 2−81+2k 2+m 2−8k 21+2k 2=3m 2−8k 2−81+2k2 =4k 2−21+2k 2=2−42k 2+1，故OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[−2,2)．解析：本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、向量的数量积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是较难题．(1)由椭圆经过点P(2,√2)，一个焦点F 的坐标为(2,0)，列出方程组，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程．(2)联立直线方程和椭圆方程，消去y ，得到(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件，能求出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．25.答案：√13解析：本题考查向量的数量积，向量的模的最小值，涉及模的几何意义，数形结合思想，属于中档题.设b ⃗ =(m,0)，则a =(1,√3)，求出|c ⃗ |+|c ⃗ −a ⃗ |，该式子可以看作点A(tm,0)到点B(12,√32)和点C(32,3√32)的距离之和，设点B 关于x 轴的对称点为D(12,−√32)，则|AB|+|AC|=|AD|+|AC|≥|CD|，然后利用两点间的距离公式算出|CD|的长度即可得解． 【详解】解：设b ⃗ =(m,0)，则a ⃗ =(1,√3)， ∴c ⃗ =−12(1,√3)+t(m,0)=(tm −12,−√32)， c ⃗ −a ⃗ =−32a ⃗ +tb ⃗ =(tm −32,−3√32)，∴|c ⃗ |+|c ⃗ −a ⃗ |=(tm −12)+(−√32)+(tm −32)+(−3√32) 该式子可以看作点A(tm,0)到点B(12,√32)和点C(32,3√32)的距离之和， 如图所示，由于点(tm,0)在x 轴上，且点B 关于x 轴的对称点为D(12,−√32)，所以|AB|+|AC|=|AD|+|AC|≥|CD|=√(32−12)2+(3√32+√32)2=√13．∴|c ⃗ |+|c ⃗ −a ⃗ |的最小值为√13． 故答案为√1326.答案：略解析：略27.答案：解:(1)∵向量m ⃗⃗⃗ =(√22,−√22)，n⃗ =(sinx,cosx )，且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ， 则m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√22sinx −√22cosx =0，即sinx =cosx ，∴tanx =1，因此，x =π4+kπ (k ∈Z )；(2)∵m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√22sin x −√22cos x =sin xcos π4−cos xsin π4=sin (x −π4)，由于m⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为π3，则，∵0<x <π2，∴−π4<x −π4<π4，∴x −π4=π6，因此，．解析：本题主要考查向量的数量积和向量垂直的应用，掌握向量的运算是解答本题的关键．(1)由m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，可以得到m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√22sinx −√22cosx =0，从而解答即可；(2)由题意知，从而解答即可．28.答案：解：(1)根据题意△ABN 为等腰直角三角形，∴∠OBN =∠ONB =45°， ∴OB =2，则a =2，B(2,0)， 设Q (x 0,y 0)，又|NQ|∶|QB|=3∶2， 则NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得{x 0=65y 0=−45, 所以Q (65,−45)， 代入椭圆C 方程，可得(65)24+(−45)2b 2=1，可得b 2=1，所以椭圆的方程为x 24+y 2=1．。