2020年山西省太原市高三二模理科综合试题(含答案和解析)
山西省2020年高考考前质量检测(二)理科综合-化学试题含答案【精校】.doc
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12O-16第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
7．化学与生活、生产密切相关，下列有关说法正确的是（）A．某同学的体检报告单显示其血液中葡萄糖含量为4.94mmol/L，mmol/L是物质的量的单位B．石油是复杂的混合物，通过分馏可以获得汽油、煤油等，通过催化重整可以获得乙烯、丙烯等C．自然界中的方铅矿(PbS)，遇上CuSO4溶液会慢慢变成铜蓝(CuS)说明sp(PbS)> sp(CuS)D．水玻璃是制备木材防火剂的原料，其主要成分是二氧化硅8．CH2=CH-COOCH3是重要的有机合成中间体，可以通过下列反应合成CH2=CH-COOH+CH3OH CH2=CH-COOCH3+H2O下列说法错误的是（）A．该有机合成反应属于取代反应B．CH2=CH-COOCH3分子中处于同一平面的原子最少有3个C．CH2=CH-COOH没有官能团相同的同分异构体D．CH2=CH-COOCH3可以发生加成、氧化、取代反应9．用下列实验装置进行相应实验，能达到实验目的的是（）A．用图1所示装置蒸发FeCl3溶液制得无水FeCl3B．用图2所示装置从Fe(OH)3胶体中过滤出Fe(OH)3胶粒C．用图3所示装置从CH3OH与C2H5OH的混合物中分离出乙醇D．用图4所示装置从CH3COOH与CH3COOC2H5的混合物中分离出乙酸乙酯10．短周期主族元素、Y、、R、T的原子半径与原子序数关系如图所示。
R与能形成2R、2R2化合物，是地壳中含量最多的金属元素，T原子最外层电子数是层电子数的2倍。
下列推断正确的是（）A．和Y组成的化合物的水溶液保存在塑料瓶中B．原子半径和离子半径均满足：Y<C．最高价氧化物对应的水化物酸性：>T D．含元素的盐溶液一定显酸性11．某充电电池如图所示，已知a、b为惰性电极，溶液呈酸性，充电时左槽溶液颜色由蓝色变为黄色。
山西省太原市2020届高三第二次模拟考试理综生物试题word版有答案(精校版)
山西省太原市高三第二次模拟考试理综生物试题1.结构与功能相适应是生物学的基本观点，下列相关叙述正确的是A.核仁与核糖体的形成密切相关,干细胞中的核仁有利于合成rRNAB.效应T细胞中溶酶体发达可直接用于裂解靶细胞C.人小肠上皮细胞和红细胞吸收葡萄糖的载体蛋白相同D.mRNA、tRNA和rRNA的合成和加工的场所都在细胞核2.—种除草剂能破坏某双子叶植物细胞的生物膜从而干扰其代谢反应，施用该除草剂可直接影响该植物叶肉细胞中的A.基因的复制和转录B.水的光解化合物的固定 D.多肽链的合成C.C33.下列有关人体细胞周期的调控因素中错误的是A.环境因子:一定的离子辐射、化学物质作用和病毒感染B.调控细胞周期的内因包括与细胞周期有关的酶和抑制因子、生长素等各种激素C.环境因子:一定的温度变化和pH变化D.调控细胞周期的内因包括生长因子、原癌基因与抑癌基因的编码产物等4.有科学家发现普遍存在于动物中的磁受体基因，其编码的次数提蛋白能识别外界磁场和顺应磁场方向排列，并据此提出一个新的“生物指南针”分子模型。
下列叙述正确的是A.磁受体基因的骨架是由磷酸和核糖相间排列而成的B.基因中相邻磚基之间通过一个五碳糖和一个磷酸相连C.同位素标记该基因中的两条链,每次复制后带有标记的DNA分子数目不变D.翻译时，每种密码子都有与之相对应的反密码于5.下列人类遗传病调査和优生的叙述错误的是A.调查人群中的遗传病时，最好选取群体中发病率较高的单基因遗传病B.常见的优生措施有禁止近亲结婚、提倡适齡生育和进行产前检测等C.对遗传病的发病率进行统计时,只需在患者家系中进行调査D.通过基因诊断确定脍儿不携带致病基因，但也有可能患染色体异常遗传病6.下列有关实验的说法中，正确的是A.低温诱导染色体数目加倍实验中，须将大蒜根尖制成装片后再进行低温处理B.调查土壤中小动物类群丰富度统计的方法逋常采用取样器取样法C.统计种群密度时,应去掉采集数据中最大、最小值后取平均值D.研究蝾螈细胞核功能的实验中.须将其受精卵横缢成有核和无核两部分29.（10分）下面两图是光合作用和细胞呼吸的相关实验数据曲线和装置图。
2020年山西省太原市高考数学二模试卷(理科
2020 年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 A={x|x2+x-2＞0}．B={-1，0，1，2}，则（ ）A. A∩B={2}B. A∪B=RC. B∩（∁RA）={-1，2}D. B∪（∁RA）={x|-1＜x＜2}2. 已知 a 是实数， 是纯虚数，则 a 等于（ ）A. 1B. -1C.D.3. 已知，则（ ）A. a＜b＜cB. a＜c＜bC. b＜a＜cD. c＜a＜b4. 如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．n≡N（modm）表示正整数 n 除以正整数 m 的余数为 N，例如 10≡4（mod6）．执行该程序框图，则输出的 n 等于（ ）A. 11B. 135. 若 是两个非零向量，且角的取值范围是（ ）A.B.C. 14 C.6. 函数的图象大致为（ ）D. 17．则向量 与 夹D.第 1 页，共 16 页A.B.C.D.7. 圆周率 π 是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对 π 进 行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生 N 人， 让每人随机写出一对小于 1 的正实数 a，b，再统计出 a，b，1 能构造锐角三角形的 人数 M，利用所学的有关知识，则可估计出 π 的值是（ ）A.B.C.D.8. 设奇函数 f（x）在（0，+∞）上为增函数，且 f（1）=0，则不等式＜0 的解集为（ ）A. （-1，0）∪（1，+∞）B. （-∞，-1）∪（0，1）C. （-∞，-1）∪（1，+∞）D. （-1，0）∪（0，1）9. 过抛物线 y2=4x 的焦点的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，设点 M（3，0）．若△MAB的面积为 ，则|AB|=（ ）A. 2B. 4C.D. 810. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an=．数列{bn}满足 bn=（-1）n•（2n+1）an，则数列{bn}的前 100 项和 T100 为（ ）A.B.C.D.11. 对于函数．有下列说法：①f（x）的值城为[-1，1]；②当且仅当时，函数 f（x）取得最大值；③函数 f（x）的最小正周期是 π；④当且仅当时 f（x）＞0．其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412. 三棱锥 P-ABC 中．AB⊥BC，△PAC 为等边三角形，二面角 P-AC-B 的余弦值为 ，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 8π．则三棱锥体积的最大值为（ ）A. 1B. 2C.D.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知（x-1）（ax+1）5 的展开式中，x2 的系数为 0，则实数 a=______．14. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右顶点分别为 A，B，点 P 是双曲线上一点，若△PAB 为等腰三角形，∠PAB=120°，则双曲线的离心率为______．15. 已知数列{an}满足（n∈N*），且 a2=6，则{an}的通项公式为______．第 2 页，共 16 页16. 改革开放 40 年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便 了人们的出行需求．某城市的 A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐 公交或地铁加步行．已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行 5 分钟，乘坐公交 到离单位最近的公交站所需时间 Z1（单位：分钟）服从正态分布 N（33，42），下 车后步行再到单位需要 12 分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2（单 位：分钟）服从正态分布 N（44，22），从地铁站步行到单位需要 5 分钟．现有下 列说法： ①若 8：00 出门，则乘坐公交一定不会迟到； ②若 8：02 出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同； ③若 8：06 出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大； ④若 8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大． 则以上说法中正确的序号是______． 参考数据：若 Z～N（μ，σ2），则 P（μ-σ＜Z≤μ+σ）=0.6826， P（μ-2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544， P（μ-3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若，且△ABC 外接圆的半径为 1． （Ⅰ）求角 C； （Ⅱ）求△ABC 面积的最大值．18. 如图，四边形 ABCD 是边长为 4 的菱形，∠BAD=60°，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 四边形 ACFE 为梯形，EF∥AC，点 E 在平面 ABCD 上的射影为 OA 的中点，AE 与 平面 ABCD 所成角为 45°． （Ⅰ）求证：BD⊥平面 ACF； （Ⅱ）求平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值．第 3 页，共 16 页19. 已知 F1，F2 是椭圆 C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线 x+y=1 被椭圆截得的弦的中点坐标为．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过 F1 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，当△ABF2 面积最大时，求直线 l 的方程．20. 为实现 2020 年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造．经市场调研和科学 研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可 以独立生产该部件．如图是从甲设备生产的部件中随机抽取 400 件，对其核心部件 的尺寸 x，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸 x 满足：|x-12|≤1 为一级品，1＜|x-12|≤2 为二级品，|x-12|＞2 为三级品． （Ⅰ）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这 400 件样本中抽 取 40 件产品，再从所抽取的 40 件产品中，抽取 2 件尺寸 x∈[12，15]的产品，记 ξ 为这 2 件产品中尺寸 x∈[14，15]的产品个数，求 ξ 的分布列和数学期望； （Ⅱ）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验．已知每箱有 100 件产 品，每件产品的检验费用为 50 元．检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二 级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付 200 元补偿．现从一 箱产品中随机抽检了 10 件，结果发现有 1 件三级品．若将甲设备的样本频率作为 总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检 验？请说明理由； （Ⅲ）为加大升级力度，厂家需增购设备．已知这种产品的利润如下：一级品的利 润为 500 元/件；二级品的利润为 400 元/件；三级品的利润为 200 元/件．乙种设备产品中一、二、三级品的概率分别是 ， ， ．若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的利润作为决策依据．应选购哪种设备？请说明理由．第 4 页，共 16 页21. 已知函数 f（x）=lnx+ax+1． （Ⅰ）若函数 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围； （Ⅱ）f（x）≤xex 恒成立，求 a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为（t 为参数），曲线 C2的参数方程为（α 为参数），以坐标原点为极点．x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的极坐标方程；（Ⅱ）射线与曲线 C2 交于 O，P 两点，射线与曲线 C1交于点 Q，若△OPQ 的面积为 1，求|OP|的值．23 已知 a，b，c 为正实数．（Ⅰ）若 a+b+c=1，证明：；（Ⅱ）证明：．2020 年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）【答案】答案和解析第 5 页，共 16 页1. A2. A3. B8. D9. D10. C13.14. 15. 2n2-n 16. ②④17. 解：（Ⅰ）∵由正弦定理又，4. D 11. B5. C6. A7. B12. D，可得 sinA= ，sinB= ，sinC= ，∴= ，∴a2-b2= ab-b2，即 ∵C∈（0，π）， ∴C= ．= ，由余弦定理可得 cosC==，（Ⅱ）由正弦定理，可得 c=2sin = ，由余弦定理 2=a2+b2-2ab ≥2ab- ab=（2- ）ab，可得 ab≤ =2+ ，当且仅当 a=b 时等号成立， 可得 S△ABC= absinC= ab≤ ，当且仅当 a=b 时等号成立，即△ABC 面积的最大值为．18. 解：（Ⅰ）证明：取 AO 中点 H，连结 EH，则 EH∥平面 ABCD，∵BD 在平面 ABCD 内，∴EH⊥BD， 又菱形 ABCD 中，AC⊥BD，且 EH∩AC=H， EH，AC 在平面 EACF 内， ∴BD⊥平面 EACF，∴BD⊥平面 ACF． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 EH⊥平面 ABCD， 以 H 为原点，HA 为 x 轴，在平面 ABCD 中过 H 作 AC 的垂线为 y 轴， HE 为 z 轴，建立空间直角坐标系， ∵EH⊥平面 ABCD，∴∠EAH 为 AE 与平面 ABCD 所成的角，即∠EAH=45°， ∵AB=4，∴AO=2 ，AH= ，EH= ， ∴H（0，0，0），A（ ，0，0），D（- ，-2，0），O（- ，0，0），E（0，0， ），平面 ABCD 的法向量 =（0，0，1），=（-2 ，0，0）， =（），∵EF∥AC，∴=（-2 λ，0，0），设平面 DEF 的法向量 =（x，y，z），第 6 页，共 16 页则，取 y= ，得 =（0， ，-2），∴cos＜ ＞= = =- ．∴平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为=．19. 解：（Ⅰ）直线 x+y=1 与 y 轴的交于（0，1）点，∴b=1，设直线 x+y=1 与椭圆 C 交于点 M（x1，y1），N（x2，y2），则 x1+x2= ，y1+y2= ，∴ + =1， + =1，两式相减可得 （x1-x2）（x1+x2）+ （y1-y2）（y1+y2）=0，∴ =-，∴- • =-1，解得 a2=3， ∴椭圆 C 的方程为 +y2=1． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 F1（- ，0），F2（- ，0），设 A（x3，y3），B（x4，y4）， 讲直线 l 的方程 x=my- 代入 +y2=1，可得（m2+3）y2-2 my-1=0，则 y3+y4= ，y3y4= ，|y3-y4|==，∴= |F1F2|•|y3-y4|= |•|y3-y4|==≤ =，当且仅当=，即 m=±1，△ABF2 面积最大，即直线 l 的方程为 x-y+ =0 或 x+y+ =0．20. 解：（I）抽取的 40 件产品中，产品尺寸 x∈[12，15]的件数为：40×[（0.2+0.175+0.075）×1]=18， 其中 x∈[14，15]的产品件数为 40×（0.075×1）=3， ∴ξ 的可能取值为 0，1，2，∴P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，P（ξ=2）= = ，∴ξ 的分布列为：ξ012P第 7 页，共 16 页∴Eξ=0× +1× +2× = ．（II）三级品的概率为（0.1+0.075）×1=0.175， 若对剩余产品逐一检验，则厂家需支付费用 50×100=5000； 若对剩余产品不检验，则厂家需支付费用 50×10+200×90×0.175=3650， ∵5000＞3650， 故不对剩余产品进行逐一检验． （III）设甲设备生产一件产品的利润为 y1，乙设备生产一件产品的利润为 y2， 则 E（y1）=500×（0.3+0.2）+400×（0.150+0.175）+200×0.175=415，E（y2）=500× +400× +200× =420．∵E（y1）＜E（y2）． ∴应选购乙设备．21. 解：（Ⅰ）由已知得 x＞0，．①当 a≥0 时，f′（x）＞0，此时 f（x）是增函数，故不会有两个零点；②当 a＜0 时，由，得，此时；当．所以 ＜0． 又时，f（x）取得极大值，由 f（x）有两个零点，所以 ，所以 f（x）在（0， ）有唯一零点．，解得-1＜a再取，则．所以 f（x）在（）有唯一实数根．a 的取值范围是（-1，0）．（Ⅱ）f（x）≤xex 恒成立，即 xex≥lnx+ax+1 在（0，+∞）上恒成立，即+∞）上恒成立．令 g（x）=，则．在（0，令 h（x）=x2ex+lnx，则＞0．所以 h（x）在（0，+∞）上递增．而 h（1）=e＞0，h（ ）=，故存在使得 h（x0）=0，即．∴=．令 λ（x）=xex，在（0，+∞）上，λ′（x）=（x+1）ex＞0，所以 λ（x）在（0，+∞）上递增，∴．而在（0，x0）上，h（x）＜0，即 g′（x）＜0，所以 g（x）在（0，x0）上递减；在（x0， +∞）上，h（x）＞0，即 g′（x）＞0，故 g（x）在（x0，+∞）上递增．第 8 页，共 16 页所以 g（x）min=g（x0）==所以 a 的取值范围是（-∞，1]．，∴a≤1．22. 解：（Ⅰ）曲线 C1 的参数方程为（t 为参数），转换为直角坐标方程为：x-y+1=0． 曲线 C2 的参数方程为（α 为参数），转换为直角坐标方程为 x2+y2-4x=0，根据，转换为极坐标方程为 ρ=4cosθ．（Ⅱ）由于 ρ=4cosθ，设点 P（4cosβ，β），由于直线 C1 的极坐标方程为 ρcosθ-ρsinθ+1=0．得到 Q（），所以，解得 cosβ=sinβ，所以 ，所以|OP|=4cos．23. 证明：（Ⅰ）=，当且仅当“a=b=c”时取等号；（Ⅱ）==“a=b=c”时取等号． 【解析】1. 解：∵A={x|x2+x-2＞0}={x|x＜-2 或 x＞1}．∴A∩B={2}．故选：A． 先求出集合 A，再求两集合的交，并，补，可判断正误． 本题考查集合的基本运算，属于基础题．2. 解：∵是纯虚数，∴，0，解得 a=1，故选：A． 利用复数的运算法则即可得出． 本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3. 解：∵，∴0＜a＜ ，∵log0.50.2=log25＞log24，∴b＞2，∵0.51＜0.50.2＜0.50，∴，∴a＜c＜b， 故选：B． 利用对数函数和指数函数的性质求解．，当且仅当第 9 页，共 16 页本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函 数的性质的合理运用．4. 解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足以下条件的最小两位数： ①被 3 除余 2， ②被 4 除余 1， 故输出的 n 为 17， 故选：D． 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟 程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方 法解答，属于基础题．5. 解：根据题意，设| |=| |=t，则| + |=mt，再设向量 与 夹角为 θ，则有| + |2=（ + ）2= 2+ 2+2 • =m2t2，变形可得： • = -t2，则有| - |2=（ - ）2= 2+ 2-2 • =2t2-2（ -t2）=4t2-m2t2，变形可得| - |=t，则 cosθ==== × =- ×，又由 1≤m≤ ，则 1≤≤ ，则有- ≤cosθ≤- ，又由 0≤θ≤π，则有 ≤θ≤ ，即 θ 的取值范围为[ ， ]； 故选：C． 根据题意，设| |=| |=t，向量 与 夹角为 θ，又由| + |=mt，由向量模的计算公式变形可得： • = -t2，进而可得| - |的值，由数量积公式可得 cosθ==- ×，结合 m 的范围，分析可得 cosθ 的范围，结合余弦函数的性质分析可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．6. 【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法是解决本题的关键． 根据 f（1）的符号及函数的定义，利用排除法进行判断即可． 【解答】解：设，f（1）= ＞0，排除 C，D，选项 B 中一个 x 值对应两个 y 值，不是函数，排除 B， 故选：A．7. 解：学校共有学生 N 人，每人随机写出一对小于 1 的正实数 a，b，得到 N 个实数对（a，b）， 因为 0＜a＜1，0＜b＜1，所以 N 个实数对（a，b）都在边长为 1 的正方形 AOBC 内， 如图所示：第 10 页，共 16 页若 a，b，1 能构造锐角三角形，因为 1 是最长边，所以 1 所对的角为锐角，所以，即 a2+b2＞1，所以 N 对实数对落在单位圆 x2+y2=1 外的有 M 对，由几何概率的概率公式可得：=1- ，所以 π=，故选：B． N 个实数对（a，b）都在边长为 1 的正方形 AOBC 内，若 a，b，1 能构造锐角三角形， 则 a2+b2＞1，所以 N 对实数对落在单位圆 x2+y2=1 外的有 M 对，再利用几何概率的概率 公式即可求出 π 的近似值． 本题主要考查了几何概率的概率公式，是中档题．8. 解：∵f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0，∴f（1）=-f（-1）=0，在（-∞，0）内也是增函数∴= ＜0，即或根据在（-∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数 解得：x∈（-1，0）∪（0，1） 故选：D． 根据函数为奇函数求出 f（1）=0，再将不等式 x f（x）＜0 分成两类加以分析，再分别 利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集． 本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础 题．结合函数的草图，会对此题有更深刻的理解．9. 解：抛物线 y2=4x 的焦点 F 为（1，0），可设直线 l 的方程为 x=ty+1，代入抛物线方程，可得 y2-4ty-4=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），可得 y1+y2=4t，y1y2=-4，则|AB|=•|y1-y2|=•=•，第 11 页，共 16 页△MAB 的面积为 |MF|•|y1-y2|= ×2|y1-y2|=4 ，即=4 ，解得 t=±1，则|AB|=•=8，故选：D．求得抛物线的焦点 F 的坐标，可设直线 l 的方程为 x=ty+1，联立抛物线的方程，消去 x，可得 y 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，以及三角形的面积公式，解得 t，进而得到所求值．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．10. 解：∵，∴当 n=1 时，有 a1=，解得 a1= ；当 n=2 时，可解得 a2= ，故猜想：an=，下面利用数学归纳法证明猜想：①当 n=1，2 时，由以上知道 an=显然成立；②假设当 n=k（k≥2）时，有 ak=成立，此时Sk= + +…+== 成立，那么当 n=k+1 时，有ak+1==也成立． 由①②知：an=n（），=，解得 ak+1=，这说明当 n=k+1 时．∵bn=（-1）n•（2n+1）an，∴bn=（-1）n•（2n+1）•=（-1）∴数列{bn}的前 100 项和 T100=-（ ）+（ ）-（ ）+…+（ 故选：C．）=-1+ =- ．由 an=求出 a1，a2，猜想出 an=，然后用数学归纳法证明猜想，再使用裂项相消法求数列{bn}的前 100 项和 T100． 本题主要考查数学归纳法在求数列通项公式中的应用及裂项相消法在数列求和中的应 用，属于中档题．11. 解：因为 f（x）=，作出函数 f（x）的图象，如图所示：所以， f（x） 的值 城为 [-1，]，①错第 12 页，共 16 页误； 函数 f（x）的最小正周期是 2π，③错误；当且仅当时，函数 f（x）取得最大值，②正确；当且仅当时，f（x）＞0，④正确．故选：B． 根据绝对值的定义将函数 f（x）写成分段函数，再作出函数的图象即可判断各命题的真 假． 本题主要考查分段函数的图象，以及三角函数的图象与性质的应用，属于中档题．12. 解：如图所示，过点 P 作 PE⊥面 ABC，垂足为 E，过点 E 作 ED⊥AC 交 AC 于点 D，连接 PD， 则∠PDE 为二面角 P-AC-B 的平面角的补角，即有cos∠PDE= ，易知 AC⊥面 PDE，则 AC⊥PD，而△PAC 为等边三角形， ∴D 为 AC 中点，设 AB=a，BC=b，AC==c，则 PE=PDsin∠PDE= ×c× = ，故三棱锥 P-ABC 的体积为：V= × ab× = ≤ × = ，当且仅当 a=b= 时，体积最大，此时 B、D、E 共线．设三棱锥 P-ABC 的外接球的球心为 O，半径为 R， 由已知，4πR2=8π，得 R= ． 过点 O 作 OF⊥PE 于 F，则四边形 ODEF 为矩形，则 OD=EF=，ED=OF=PDcos∠PDE=，PE= ，在 Rt△PFO 中，（ ）2=，解得 c=2．∴三棱锥 P-ABC 的体积的最大值为：．故选：D． 由已知作出图象，找出二面角 P-AC-B 的平面角，设出 AB，BC，AC 的长，即可求出三 棱锥 P-ABC 的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用含有 AC 长度 的字母表示），再设出球心 O，由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心 距，半径，底面半径之间的关系求得 AC 的长度，则三棱锥体积的最大值可求． 本题考查三棱锥体积最值的求法与三棱锥外接球的表面积的求法，涉及二面角的运用， 基本不等式的应用，以及球的几何性质的应用，属于难题．13. 解：原式=x（ax+1）5-（ax+1）5，因为（ax+1）5=（1+ax）5，故原式 x2 项为：-=，令，即 5a-10a2=0，第 13 页，共 16 页解得 或 a=0（舍）．故答案为： ．将原式转化为 x（ax+1）5-（ax+1）5，然后利用（ax+1）5 的通项研究 x2． 本题考查二项式展开式通项的应用，以及学生利用方程思想解决问题的能力．属于基础 题．14. 解：设 P（m，n）在第二象限，由△PAB 为等腰三角形，∠PAB=120°，可得|PA|=|AB|=2a，可得 m=2acos120°-a=-2a，n=2asin60°= a，即 P（-2a， a），由 P 在双曲线上，可得 - =1，即有 =1，即 a=b，可得 e= ==，故答案为： ． 设 P（m，n）在第二象限，由题意可得|PA|=|AB|=2a，求得 P 的坐标，代入双曲线的方 程，化简可得 a，b 的关系，即可得到所求离心率． 本题考查双曲线的方程和性质，考查任意角三角函数的定义，考查方程思想和运算能力， 属于基础题．15. 解：数列{an}满足（n∈N*），①当 n=1 时，a1=1，②当 n≥2 时，∴，∴数列{ }从第二项开始是常数列，又 =2，∴ =2，∴（n≥2），又 a1=1 满足上式，∴，故答案为：2n2-n．易求 a1=1，当 n≥2 时，对已知等式变形得，所以数列{ }从第二项开始是常数列，所以 =2，从而求出 an，验证首项满足 an，进而得到{an}的通项公式．本题主要考查了数列的递推式，是中档题．16. 解：若 8：00 出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z1 服从正态分布 N（33，42），故当满足 P（Z≥45）=．∴江先生仍有可能迟到，只不过概率较小，故①错误；第 14 页，共 16 页若 8：02 出门，江先生乘坐公交． ∵从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z1 服从正态分布 N（33，42），故当满足 P（Z≤41）=时，江先生乘坐公交不会迟到； 若 8：02 出门，江先生乘坐地铁． ∵从家到车站需要 5 分钟，下地铁后步行再到单位需要 5 分钟， 乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2 服从正态分布 N（44，22），故当满足 P（Z≤48）=时，江先生乘坐地铁不会迟到． 此时两种上班方式江先生不迟到的概率相当，故②正确； 若 8：06 出门，江先生乘坐公交． ∵从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z1 服从正态分布 N（33，42），故当满足 P（Z≤37）==0.8413 时，江先生乘坐公交不会迟到； 若 8：06 出门，江先生乘坐地铁． ∵从家到车站需要 5 分钟，下地铁后步行再到单位需要 5 分钟， 乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2 服从正态分布 N（44，22），故当满足 P（Z≤44）= =0.5 时，江先生乘坐地铁不会迟到．此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，故③错误； 若 8：12 出门，江先生乘坐公交． ∵从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z1 服从正态分布 N（33，42）， 故当满足 P（Z≤31）时，江先生乘坐公交不会迟到，而 P（Z≤31）＞P（Z≤29）=；若 8：12 出门，江先生乘坐地铁． ∵从家到车站需要 5 分钟，下地铁后步行再到单位需要 5 分钟， 乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2 服从正态分布 N（44，22），故当满足 P（Z≤38）=时，江先生乘坐地铁不会迟到．由 0.1857＞0.00135， ∴若 8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，故④正确． 故答案为：②④． 利用正态分布对每一个说法求解器复数的概率，逐项分析，即可选出正确答案． 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 μ 和 σ 的应 用，考查曲线的对称性，正确理解题意是关键，考查计算能力，是中档题．17. （Ⅰ）由已知利用正弦定理可得 sinA= ，sinB= ，sinC= ，代入已知等式整理可得= ，由余弦定理可得 cosC，结合范围 C∈（0，π），可求 C 的值．（Ⅱ）由正弦定理可得 c，由余弦定理，基本不等式可求 ab≤ =2+ ，进而利用三角第 15 页，共 16 页形的面积公式可求△ABC 面积的最大值． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理可，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中 的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18. （Ⅰ）取 AO 中点 H，连结 EH，则 EH∥平面 ABCD，从而 EH⊥BD，再由 AC⊥BD，能证明 BD⊥平面 ACF． （Ⅱ）以 H 为原点，HA 为 x 轴，在平面 ABCD 中过 H 作 AC 的垂线为 y 轴，HE 为 z 轴， 建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值． 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. （Ⅰ）利用点差法和斜率公式即可求出；（Ⅱ）设 A（x3，y3），B（x4，y4），联立直线与椭圆的方程可得（m2+2）y2-2my-1=0， 由三角形面积公式和基本不等式即可求出． 本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系， 利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解．20. （I）计算各区间尺寸的产品件数，再根据超几何分布计算；（II）计算三极品的概率，分别计算两种情况下的费用得出结论； （III）分别计算两种设备生产一件产品的利润数学期望，得出结论． 本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列，数学期望计算，属于中档题．21. （Ⅰ）研究函数 f（x）的单调性、极值情况，根据极值的符号构造出关于 a 的不等式求解； （Ⅱ）不等式恒成立，即可转化为函数的最值问题，因为原函数的单调性不好研究，所以可分离参数 a，即问题转化为在（0，+∞）上恒成立．再研究函数 g（x）=的单调性，求其最小值即可．本题考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，从而解决函数的 零点、不等式恒成立问题．属于较难的题目．22. （Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性 质的应用及三角形的面积公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的 距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学 生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23. （Ⅰ）直接利用基本不等式即可得证；（Ⅱ）通过变形，再利用柯西不等式直接证明即可． 本题考查基本不等式及柯西不等式的运用，考查推理论证能力，属于基础题．第 16 页，共 16 页。
2020年6月28日山西省太原五中2020届高三下学期第二次高考模拟考试理科综合试题及答案
绝密★启用前山西省太原市第五中学2020届高三毕业班下学期第二次高考模拟考试理科综合试题2020年6月28日可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 P 31 K39一、选择题（本大题共13个小题，每小题6分，共78分。
每题只有一个选项符合题意，请将正确选项填写到答题纸的相应位置）1.关于细胞的结构与成分下列说法正确的是A．细胞间的通讯都与细胞膜表面的糖蛋白有关B．核糖体主要由蛋白质和tRNA组成C．细胞骨架是由蛋白质纤维组成的网架结构，能保持细胞形态D．细胞核是遗传信息库，是遗传信息转录翻译的场所2.下列有关生物膜及跨膜运输的叙述错误的是A．卵细胞运输营养和代谢废物的效率比红细胞低B．温度影响物质跨膜运输的速率的原因一定是因为温度影响了酶活性C．改变细胞膜上的蛋白质的种类和数量,可能会影响物质跨膜运输的速率D．物质能否进出细胞核与物质的分子大小无关3.因发现细胞在分子水平上感知氧气的基本原理,三位科学家在2019 年获得诺贝尔生理学或医学奖。
研究发现,缺氧诱导因子（HIF）包括两种不同的DNA 结合蛋白,即HIF-1α和ARNT, HIF 以依赖氧的方式与DNA 片段结合。
当氧气含量很低时,HIF-1α数量增加,调节促红细胞生成素基因,增加红细胞的数量,下列有关叙述正确的是A.缺氧诱导因子（HIF）的功能由其特定的脱氧核苷酸序列决定B.HIF-1α与DNA 片段结合,遵循碱基互补配对原则C.HIF-1α数量增加,有利于氧气的运输D.当人体缺氧时,可进行无氧呼吸产生酒精提供能量4.如图表示两个家族中有关甲（遗传病基因为A、a）和乙遗传病（基因为B、b）的系谱图。
若I1无乙病致病基因,下列分析正确的是A．由I3、I4和II9推知甲病为常染色隐性遗传病B．II5和II7都含a基因的概率是1/9C．II1和II9都含b基因的概率是1/2D．I I6是纯合子的概率是1/65.有关变异、进化、生物多样性的叙述正确的是A．生物的可遗传变异为育种提供了理论基础B．一般情况下,花药内可发生基因重组,而根尖只能发生基因突变C．种群基因型频率的改变一定会引起基因频率的改变进而导致生物进化D．生物多样性包括基因多样性、种群多样性和生态系统多样性6.草方格沙障是用干的麦草、稻草和芦苇等扎成方格形状固定于沙中,并在方格中播撒固沙植物的种子,用来防风固沙、涵养水分的一种治沙方法。
2020届山西省太原市理科数学高考二模试题
③若 8：06 出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；
④若 8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大．
则以上说法中正确的序号是
．
参考数据：若 Z～N（μ，σ2），则 P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，
第 3 页（共 6 页）
P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9544， P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9974 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题： 共 60 分．
A．
B．
C．
D．
8．（5 分）设奇函数 f（x）在（0，+∞）上为增函数，且 f（1）＝0，则不等式
＜0 的解集为（ ）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）
B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D．（﹣1，0）∪（0，1）
9．（5 分）过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，设点 M（3，0）．若
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）圆周率 π 是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对 π
进行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生 N 人，让
每人随机写出一对小于 1 的正实数 a，b，再统计出 a，b，1 能构造锐角三角形的人数 M，
利用所学的有关知识，则可估计出 π 的值是（ ）
△MAB 的面积为 ，则|AB|＝（ ）
A．2
B．4
C．
D．8
2020届山西省太原市高三模拟(二)数学(理)试题(带答案解析)
（Ⅱ） 恒成立，求a的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （t为参数），曲线C2的参数方程为 （α为参数），以坐标原点为极点.x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；
（Ⅱ）射线 与曲线C2交于O，P两点，射线 与曲线C1交于点Q，若△OPQ的面积为1，求|OP|的值.
20．为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造.经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件.如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x，进行统计整理的频率分布直方图.
根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x满足：|x﹣12|≤1为一级品，1＜|x﹣12|≤2为二级品，|x﹣12|＞2为三级品.
A． B． C． D．8．设奇函数 在 上为增数，且 ，则不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
9．过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，设点M（3，0）.若△MAB的面积为 ，则|AB|=( )
A．2B．4C． D．8
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an .数列{bn}满足 则数列{bn}的前100项和T100为( )
2020届山西省太原市高三模拟（二)
数学（理)试题
1．已知集合 ， ，则( )
A． B．
C． D．
2．已知 是实数， 是纯虚数，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，则( )
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜a＜b
4．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.n≡N（modm）表示正整数n除以正整数m的余数为N，例如10≡4（mod6）.执行该程序框图，则输出的n等于( )
2020年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）（有答案解析）
2020年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）（有答案解析）2020年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，则复数=（）A. 1B. -1C. iD. -i2.已知集合A={x|x（x-1）≤0}，B={x|y=ln（x-a）}，若A∩B=A，则实数a的取值范围为（）A. （-∞，0）B. （-∞，0]C. （1，+∞）D. [1，+∞）3.如图是根据我国古代数学专著《九章算术》中更相减损术设计的程序框图，若输入的a=18，b=42，则输出的a=（）A. 2B. 3C. 64.已知，，且，则向量与的夹角为（）A. 60°B. 120°C. 30°D. 150°5.已知双曲线的离心率为，且经过点，则该双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.6.如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体各棱中最长棱的长度为（）A.B.C.D.7.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表：患病未患病总计服用药10 45 55没服用药20 30 50总计30 75 105由上述数据给出下列结论，其中正确结论的个数是（）附：；P（K2≥k0）0.05 0.025 0.010 0.005k0 3.841 5.024 6.635 7.879①能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效②不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效③能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效④不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效A. 1C. 3D. 48.已知α∈（0，），β∈（0，），且sin2α（1+sinβ）=cosβ（1-cos2α），则下列结论正确的是（）A. 2α-β=B. 2α+β=C. α+β=D. α-β=9.已知在三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC=AB=2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.10.已知点P是直线y=2x-4上的动点，点Q是曲线y=x+e x上的动点，则|PQ|的最小值为（）A. 5B.C.D.11.已知点F1，F2分别是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且，若，则e1的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知实数x，y满足，若当且仅当时，z=（x-a）2+（y-b）2取最小值（其中a≥0，b≥0），则a-2b的最大值为（）A. 4B. 3C. 2D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.2019年8月第二届全国青年运动会在山西举行，若将6名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，每个运动场馆3名志愿者，则其中志愿者甲和乙被分到同一场馆的概率为______．14.在平面直角坐标系内，由曲线，和轴正半轴所围成的封闭图形的面积为________．15.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，b2+c2=ac cos C+c2cos A+a2，，则△ABC周长的最小值为______．16.已知函数f（x）=（ax+sin x）（x-sin x）（x≠0）的图象与g （x）=x2的图象有四个不同交点，其横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=（a n-1）（a n+2），且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n}的前n项和为T n，证明：．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，△PCD是正三角形，PC⊥AC，E 是PA的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥BE；（Ⅱ）求直线BP与平面BDE所成角的正弦值．19.已知某保险公司的某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表：上年度出险次数0123≥4保费（元）0.9a a 1.5a 2.5a4a出险次数0123≥4频数140401262出险序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上赔付金额（元）2.5a 1.5a a0.5a0将所抽样本的频率视为概率．（1）记随机变量ξ为一续保人在下一年度的续保费用，η为其在该年度所获的赔付金额，求ξ和η的分布列；（2）若下一年度有100万投保人进行续保，该公司此险种的纯收益不少于900万元，求a的最小值（纯收益=总入保额-总赔付额）．20.已知直线l与抛物线C：x2=2py（p＞0）相交于A，B两个不同点，点M是抛物线C在点A，B处的切线的交点．（Ⅰ）若直线l经过抛物线C的焦点F，求证：FM⊥AB；（Ⅱ）若点M的坐标为（2，-2p），且，求抛物线C的方程．21.已知x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）=e x+ln（x+1）-ax （a∈R）的两个极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：f（x2）-f（x1）＜2ln a．22.已知在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），点M在曲线C1上运动，动点P满足，其轨迹为曲线C2．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（I）求曲线C2的普通方程；（Ⅱ）若点A，B分别是射线与曲线C1，C2的公共点，求|AB|的最大值．23.已知函数f(x)＝|2x－a|－|x＋2a|(a>0)．(1)当a＝时，求不等式f(x)≥1的解集；(2)若?k∈R，?x0∈R，使得f(x0)≤|k＋3|－|k－2|成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：=．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：A解析：解：A={x|0≤x≤1}，B={x|x＞a}；∵A∩B=A；∴A?B；∴a＜0；∴实数a的取值范围为（-∞，0）．故选：A．可求出A={x|0≤x≤1}，B={x|x＞a}，根据A∩B=A即可得出A?B，从而得出a＜0．考查描述法、区间表示集合的方法，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集、子集的定义．3.答案：C解析：【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用判断语句计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况可得答案．【解答】解：输入a=18，b=42，第一次执行判断语句后，b=b-a=42-18=24，不满足退出的条件；第二次执行判断语句后，b=b-a=24-18=6，不满足退出的条件；第三次执行判断语句后，a=a-b=18-6=12，不满足退出的条件；第四次执行判断语句后，a=a-b=12-6=6，满足退出的条件；故输出a值为6，故选：C．4.答案：D解析：【分析】本题考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．根据，对两边平方，进行数量积的运算即可求出夹角．【解答】解：∵；∴=；∴；∴；又；∴与的夹角为150°．故选：D．5.答案：B解析：解：∵双曲线的离心率为，又∵c2=a2+b2，∴b=a．双曲线经过点，验算得双曲线的焦点在y轴上，设双曲线标准方程为，∵点，在双曲线上，∴，解得a2=4，b2=1，故所求双曲线方程：．故选：B．由双曲线的离心率，得到a与b的关系，设出双曲线方程，代入点的坐标求解．本题考查了双曲线的标准方程，注意给出渐近线方程的双曲线方程的设法，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．6.答案：C解析：解：由题意可知几何体的直观图如图：是长方体的一部分，三棱锥A-BCD，正方形的边长为4，长方体的高为3，由题意可得：AD=4，AB=，BD==，故选：C．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解最长的棱长即可．本题考查三视图求解几何体的几何量，判断几何体的形状是解题的关键．7.答案：B解析：【分析】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．根据列联表计算K2，对照临界值即可得出结论．【解答】解：根据列联表，计算K2==≈6.109＞5.024，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效，①正确；能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效，②错误；不能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效，③错误；不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效，④正确．综上，正确的命题序号是①④．故选：B．8.答案：A解析：解：∵sin2α（1+sinβ）=cosβ（1-cos2α），∴=sin2α+cos（2α-β）=．将A，B，C，D中的结论代入方程中，只有A能使方程成立．故选：A．由条件得sin2α+cos（2α-β）=，然后将选项代入检验即可得到正确结果．本题考查了两角差的余弦公式和诱导公式，属基础题．9.答案：A解析：【分析】本题考查多面体外接球体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．由题意求得三棱锥S-ABC的外接球的球心，求出半径，代入球的体积公式得答案．【解答】解：如图，∵SA=SB=SC，∴S在底面ABC上的射影D为底面三角形的外心，又AC⊥BC，∴D为AB的中点，又SA=SB=AB=2，∴△SAB外接圆的半径即为三棱锥S-ABC外接球的半径，等于．∴该三棱锥外接球的体积为．故选：A．10.答案：B解析：【分析】本题考查了导数的几何意义、曲线的曲线、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设直线y=2x+c与曲线y=x+e x相切于点Q（a，b）．利用导数，解得切点为Q坐标．利用点到直线的距离公式可得Q到直线y=2x-4上的距离d，即为所求．【解答】解：设直线y=2x-4平行的直线y=2x+c与曲线y=x+e x相切于点Q（a，b）．∴y′=1+e x，1+e a=2解得a=0，∴b=1，∴切点为Q（0，1）．Q到直线y=2x-4的距离d==．∴P、Q两点间距离的最小值为．故选：B．11.答案：D解析：【分析】本题考查椭圆、双曲线的离心率的范围，考查勾股定理和定义法的运用，考查基本不等式的运用，运算能力，属于中档题．设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦点坐标为（±c，0），由椭圆与双曲线的定义和余弦定理，可得，再由求e1的取值范围．【解答】解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦点坐标为（±c，0），不妨设P为第一象限的点，由椭圆与双曲线的定义得：PF1+PF2=2a1，①，PF1-PF2=2a2，②，由余弦定理得：PF12+PF22+PF1PF2=4c2，③联立①②③得：3a12+a22=4c2，由e1=，e2=，得，∴，∵，∴∈（），则（，），∴∈（，），∈（，），又e1∈（0，1），∴e1∈（，）．故选：D．12.答案：B解析：解：实数x，y满足的可行域如图：当且仅当时，z=（x-a）2+（y-b）2取最小值（其中a≥0，b≥0），可知（a，b）在可行域中点两条红色线之间，两条红线分别与所给直线垂直．即，a，b满足的可行域如图，当z=a-2b结果可行域的A时，取得最大值：3．故选：B．画出约束条件的可行域，推出a，b满足的不等式组，然后再通过线性规划求解a-2b的最大值．本题考查线性规划的应用，两次线性规划解决问题，是线性规划中点难题．13.答案：解析：解：依题意，所有的基本事件的个数为=20个，甲和乙被分到同一场馆包含=8个，所以志愿者甲和乙被分到同一场馆的概率P==．故答案为：．计算所以基本事件的个数和事件“志愿者甲和乙被分到同一场馆”包含的基本事件个数，代入古典概型的概率公式即可．本题考查了古典概型的概率计算，计数原理．本题属于基础题．14.答案：解析：【分析】本题考查定积分的应用，属于基础题.将黑色区域看作两个部分的面积之查，进而用定积分进行计算即可．【解答】解：根据题意画图，其中黑色区域即为所求的封闭图形．∵y=x2和x2+y2=2的交点为（1，1），∴S黑=S扇-S红==．故答案为：．15.答案：解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cos A=，结合范围A∈（0，π），可求A，利用三角形的面积公式可求bc=3+2，由余弦定理，基本不等式可得a≥，根据余弦定理可求得b+c≥2（），即可求得△ABC 周长的最小值．【解答】解：∵b2+c2=ac cos C+c2cos A+a2，∴2bc cos A=ac cos C+c2cos A，∴由正弦定理可得：2sin B sin C cos A=sin A sin C cosC+sin2C cos A=sin C（sin A cos C+sin C cos A）=sin C sin（A+C）=sin C sin B，∵sin B sin C≠0，∴可得cos A=，∵A∈（0，π），∴A=．∵=bc sin A=bc，可得bc=3+2，又∵由余弦定理可得：a2=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc=3+2，可得a≥，当且仅当b=c时等号成立，∴（b+c）2=a2+3bc≥3+2+3（3+2）=4（3+2），可得b+c≥2（），当且仅当b=c时等号成立，∴△ABC周长的最小值为（a+b+c）min=3（）．故答案为：3（）．16.答案：1解析：解：因为f（x）=（ax+sin x）（x-sin x），所以f（-x）=f（x），所以函数f（x）为偶函数，又函数g（x）为偶函数，令（ax+sin x）（x-sin x）=x2，又x≠0，所以（a+）（1-）=1，又x1，x2，x3，x4为从小到大的4个解，由偶函数的对称性可知：x1=-x4，x2=-x3，（a+）（1-）=（a+）（1-）=1，（a+）（1-）=（a+）（1-）=1即（1-）（1-）（1-）（1-）=1故答案为：1．由函数f（x）=（ax+sin x）（x-sin x）知f（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数，又函数g（x）=x2为偶函数，且两函数的图象交点横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4，所以x1=-x4，x2=-x3．考查偶函数的定义，以及对偶函数图象的理解，函数图象交点的理解．17.答案：解：（I）当n=1时，2S1=（a1-1）（a1+2）=2a1，∵a1＞0，∴a1=2，当n≥2时，2a n=2（S n-S n-1）=（a n-1）（a n+2）-（a n-1-1）（a n-1+2），∴（a n+a n-1）（a n-a n-1-1）=0，∵a n＞0，∴a n-a n-1-1=0，∴a n-a n-1=1，∴{a n}是以a1=2为首项，d=1为公差的等差数列，∴；（Ⅱ）由（I）得a n=n+1，∴，∴T n=b1+b2+…+b n-1+，∵，∴{T n}是递增数列，∴．解析：（Ⅰ）通过已知条件求出首项，利用a n=S n-S n-1，求解数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）化简，利用裂项消项法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化首项以及计算能力．18.答案：（I）证明：设F是PD的中点，连接EF、CF，∵E是PA的中点，∴EF∥AD，，∵AD∥BC，AD=2BC，∴EF∥BC，EF=BC，∴BCFE是平行四边形，∴BE∥CF，∵AD∥BC，AB⊥AD，∴∠ABC=∠BAD=90°，∵AB=BC，∠CAD=45°，，由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC?AD?cos∠CAD=2，∴AC2+CD2=4=AD2，∴AC⊥CD，∵PD⊥AC，∴AC⊥平面PCD，∴AC⊥CF，∴AC⊥BE；（Ⅱ）由（I）得AC⊥平面PCD，，∴平面ABCD⊥平面PCD，过点P作PO⊥CD，垂足为O，∴OP⊥平面ABCD，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系O-xyz，则，，，∴，设是平面BDE的一个法向量，则，∴，令x=1，则，∴，∴=，∴直线BP与平面BDE所成角的正弦值为．解析：（I）设F是PD的中点，连接EF、CF，证明BE∥CF，推出AC⊥CD，结合PD⊥AC，得到AC⊥平面PCD，推出AC⊥BE；（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系O-xyz，求出平面BDE的一个法向量，通过空间向量的数量积求解直线BP与平面BDE所成角的正弦值．本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19.答案：解：（）由题意得的所有取值为，，，，，其分布列为：ξ0.9a a 1.5a 2.5a4ap0.70.20.060.030.01η0 2.5a4a5a 5.5ap0.70.20.060.030.01（）由（）可得该公司此险种一续保人在下一年度续保费用的平均值为：E（ξ）=0.9a×0.7+a×0.2+1.5a×0.06+2.5a×0.03+4a×0.01=1.035a，该公司此险种一续保人下一年度所获赔付金额的平均值为：E（η）=0×0.7+2.5a×0.2+4a×0.06+5a×0.03+5.5a×0.01=0.945a，∴该公司此险种的总收益为100×（1.035a-0.945a）=9a，∴9a≥900，∴a≥100，∴基本保费为a的最小值为100元．解析：（1）由题意得ξ的所有取值为0.9a，a，1.5a，2.5a，4a，η的所有取值为0，2.5a，4a，5a，5.5a，由此能求出ξ和η的分布列．（2）由（1）可得该公司此险种一续保人在下一年度续保费用的平均值，再求出该公司此险种一续保人下一年度所获赔付金额的平均值，从而得到该公司此险种的总收益，由此能求出基本保费为a 的最小值．本题考查概率的求法，考查平均值、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：（I）由题意可得，①当k≠0时，设直线，点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由，得x2-2pkx-p2=0，∴，过点A为的切线方程为，即，过点B的切线方程为，由得，∴，∵，∴FM⊥AB；②当k=0时，则直线，，∴FM⊥AB；（Ⅱ）①当k≠0时，设直线l：y=kx+m，点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由得x2-2pkx-2pm=0，∴，过点A的切线方程为，即，过点B的切线方程为，由，得，∴，△=4p2k2+16p2＞0，∴=∴p=1或p=2，∴抛物线C的方程为x2=2y或x2=4y解析：（1）分两种情况讨论，k≠0时，联立方程组求出M的坐标，利用斜率之积为-1即可；k=0时，验证即可；（2）通过联立方程组，根据根与系数关系建立线段|AB|的方程求出p的值即可．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题目．21.答案：解：（I）解：函数f（x）=e x+ln（x+1）-ax（a∈R）由题意得：，x＞-1，令，x＞-1，则，令，x＞-1，则，∴h（x）在（-1，+∞）上单调递增，且h（0）=0，当x∈（-1，0）时，g'（x）=h（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，g'（x）=h（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）≥g（0）=2-a，①当a≤2时，f'（x）=g（x）＞g（0）=2-a≥0，f（x）在（-1，+∞）单调递增，此时无极值；②当a＞2时，∵，g（0）=2-a＜0，已知x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）=e x+ln（x+1）-ax（a∈R）的两个极值点．∴，g（x1）=0，当x∈（-1，x1）时，g（x）=f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（x1，0）时，g（x）=f'（x）＜0，g（x）单调递减，∴x=x1是f（x）的极大值；∵，g（0）=2-a＜0，∴?x2∈（0，ln a），g（x2）=0，当x∈（0，x2）时，g（x）=f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）=f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴x=x2是f（x）的极小值；综上所述，a∈（2，+∞）；（Ⅱ）证明：法一：由（I）得a∈（2，+∞），，且g（x1）=g （x2）=0，∴x2-x1＞0，，1＜x2+1＜1+ln a，，∴，，∴=．即：f（x2）-f（x1）＜2ln a．法二：由（I）得a∈（2，+∞），f（x）在区间（x1，x2）递减，所以：f（x2）-f（x1）＜0．因为：a∈（2，+∞），所以：1＜a2，所以：ln1＜ln a2=2ln a．即：f（x2）-f（x1）＜0=ln1＜ln a2=2ln a．即：f（x2）-f（x1）＜2ln a解析：（Ⅰ）求函数的导数，令新函数求导即原函数的二阶三阶导数进行判断，讨论a的取值范围可求得a；（Ⅱ）由（I）得，且g（x1）=g（x2）=0，表达f（x2）-f（x1）由不等式性质证明即可．考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，分类讨论思想，属于难题．22.答案：解：（Ⅰ）设P（x，y），M（x'，y'），∵，∴，∵点M在曲线C1上，∴，∴曲线C1的普通方程为（x'-2）2+（y'-1）2=1，则曲线C2的普通方程为（x-4）2+（y-2）2=4；（Ⅱ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得曲线C1的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ+4=0，曲线C2的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ-4ρsinθ+16=0，由，得，或，∴或；由，得，或，∴或，∴|AB|的最大值为．解析：（Ⅰ）设P（x，y），M（x'，y'），由已知向量等式可得，得到，消参数可得曲线C1的普通方程为（x'-2）2+（y'-1）2=1，进一步得到曲线C2的普通方程为（x-4）2+（y-2）2=4；（Ⅱ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得曲线C1与曲线C2的极坐标方程，分别与射线联立求得A，B的极坐标，可得|AB|的最大值．本题考查解得曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了平面向量的坐标运算及其应用，是中档题．23.答案：解：函数f（x）=|2x-a|-|x+2a|（a＞0）．（Ⅰ）当a=时，f（x）=|2x-|-|x+1|=，不等式f（x）≥1化为或或，解得x≤-1或-1＜x≤-或x≥；所以不等式f（x）≥1的解集为{x|x≤-或x≥}；（Ⅱ）由|k+3|-|k-2|≥-|（k+3）-（k-2）|=-5，当且仅当k≤-3时取“=”，所以对?k∈R，?x0∈R，使得f（x0）≤|k+3|-|k-2|成立，即f（x）min≤-5；由f（x）=|2x-a|-|x+2a|=，x≤-2a时，f（x）=-x+3a是单调减函数，最小值为f（-2a）=5a；-2a＜x＜时，f（x）=-3x-a是单调减函数，且f（x）＞f（）=-；x≥时，f（x）=x-3a是单调增函数，最小值为f（）=-；令-≤-5，解得a≥2；又a＞0，所以实数a的取值范围是．解析：本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．（Ⅰ）当a=时利用分段讨论法去掉绝对值，求对应不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）求出|k+3|-|k-2|的最小值M，再求f（x）的最小值N，由此列不等式N≤M求出a的取值范围．。
山西省太原市2020届高三模拟试题(二) 数学(理)【含答案】
山西省太原市2020届高三模拟试题（二）数学（理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}022>-+=x x x A ．{}2101，，，-=B 则 A ．A∩B={2} B ．A ∪B= RC ．{}2,1)(-=A C B RD ．{}21)(<<-=x x A C B R 2．已知a 是实数，iia -+1是纯虚数，则a= A ．1 B ．-1 C ． 2 D ．2- 3．已知2.05.055.02.0log 2log ===c b a ，，，则A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b4．右边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．n ≡N （modm ）表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如10≡ 4（ mod6）．执行该程序框图，则输出的n 等于A ．11B ．13C ．14D ．175．若b a ，是两个非零向量，且]31[，，∈==+m b m a m b a ．则向量b 与b a -夹角的取值范围是 A ．]32,3[ππ B ．]65,3[ππ C ．]6532[ππ， D ．]65[ππ， 6．函数)1ln(1)(+-=x x x f 的图象大致为7．圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生N 人．让每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，再统计出a ，b ，1能构造锐角三角形的人数M ，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是A ．N M 4 B ．N M N )(4- C ．N N M +2 D ．NNM 24+ 8．设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0．则不等式0)()(<--xx f x f 的解集是A ．（-1，0） （1，+∞）B ．（-1，0） （0，1）C ．（-∞，-1） （1，+∞）D ．（-∞，-1） （0，1）9．过抛物线x y 42=的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）．若△MAB 的面积为24．则|AB|=A ．2B ．4C ．32D ．810．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．且满足nn n S S a 2)1(-=．数列{}n b 满足n n n a n b )12()1(+⋅-=，则数列{}n b 的前100项和100T 为A ．100101 B ．100101- C ．101100- D ．10110011．对于函数x x x x x f cos sin 21)cos (sin 21)(--+=．有下列说法：①f （x ）的值城为[-1，1]； ②当且仅当)(42Z k k x ∈+=ππ时，函数f （x ）取得最大值；③函数f （x ）的最小正周期是π；④当且仅当))(222(Z k k k x ∈+∈πππ，时f （x ）＞0．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．412．三棱锥P —ABC 中．AB ⊥BC ，△PAC 为等边三角形，二面角P —AC —B 的余弦值为36-，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π ．则三棱锥体积的最大值为 A ．1 B ．2 C ．21 D ．31 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知5(1)(1)x ax -+的展开式中，x 2的系数为0，则实数a = ．14．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左右顶点分别为A ，B ，点P 是双曲线上一点，若△PAB 为等腰三角形，∠PAB= 120°，则双曲线的离心率为 ． 15．已知数列{a n }满足11(1)11n n a a n n n n +-=-++（n ∈N *），且a 2=6，则{a n }的通项公式为 ． 16．改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求．某城市的A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行．已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z 1（单位：分钟）服从正态分布N(33,42)，下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z 2（单位：分钟）服从正态分布N(44,22)，从地铁站步行到单位需要5分钟．现有下列说法： ①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同； ③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大； ④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大． 则以上说法中正确的序号是 ．参考数据：若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z ≤μ＋σ) = 0.6826，P(μ－2σ＜Z ≤μ＋2σ) = 0.9544，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22sin sin 2sin A C a bB --=，且△ABC 外接圆的半径为1．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求△ABC 面积的最大值．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，∠BAD = 60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，四边形ACFE 为梯形，EF//AC ，点E 在平面ABCD 上的射影为OA 的中点，AE 与平面ABCD 所成角为45°． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACF ；（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）已知F 1，F 2是椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x+y=1被椭圆截得的弦的中点坐标为)41,43(P （Ⅰ）求椭圆C 的方程；20．（本小题满分12分）为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造．经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件．下图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x ，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x 满足： 121x -≤为一级品，1122x -＜≤为二级品，122x -＞为三级品．（Ⅰ）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，再从所抽取的40件产品中，抽取2件尺寸x ∈[ 12，15]的产品，记ξ为这2件产品中尺寸x ∈[14，15 ]的产品个数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验．已知每箱有100件产品，每件产品的检验费用为50元．检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付200元补偿．现从一箱产品中随机抽检了10件，结果发现有1件三级品．若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验? 请说明理由；（Ⅲ）为加大升级力度，厂家需增购设备。
太原市2020年高三年级模拟试题(二)理综试题和答案
一、选择题（每题 6 分）
题号
7
8
答案
A
B
三、非选择题
9
10
11
12
13
D
C
B
B
D
（一）化学必考题
26.（共 15 分，除标注外，每空 2 分） （1）①3ClO-+NH4++2OH-=NO2-+3Cl-+3H2O
（3）AC
评分标准：每空各 2 分。（3）问选对但不全得 1 分。
24.（12 分）
（1）设该粒子的电荷量为 q，通过 S2 时速度的大小为 v： E = UMN
d qE = qvB1 解得：v = 4.8 × 106 m/s
①（1 分） ②（3 分） ③（1 分）
（2）设该粒子的质量为 m，粒子做圆周运动的半径为 r，由几何关系有：
v0 3
。
设该过程小物块的加速度为 a，小物块与木板间的动摩擦因数为μ，取向右为正方向：
a = v1-v0 t0
① （2 分）
-μmg = ma
② （2 分）
解得：μ = 2v0 3gt0
③ （1 分）
（2）设木板的质量为 M：
mv0 = (m +M )v1 M = 2m
④ （2 分）
设第一次碰后经过 t1 时间，小物块与长木板速度相同，设为 v2，该过程滑块的位移为 x， 取向右为正方向，有：
干涉（2 分）
12 （3 分）
（2）（10 分）
(ⅰ)光路图如图所示：
BD = BC - CD
①（1 分）
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_2020年太原市高三二模考试数学理科及其答案
∵EH⊥平面 ABCD，∴∠EAH 为 AE 与平面 ABCD 所成的角，即∠EAH=45°，.............6 分
又 AB=4，则
，
∴
，E（0，0， ），
易知 = =
为平面 ABCD 的一个法向量，
，=
， ∵EF∥AC，∴ =
......................................8 分 ，
18. （本小题满分 12 分）
证明(Ⅰ) 取 AO 的中点 H，连结 EH，则 EH⊥平面 ABCD，
∵BD 在平面 ABCD 内，∴EH⊥BD， .........................................2 分
又菱形 ABCD 中，AC⊥BD，且 EH∩AC=H，
EH、AC 在平面 EACF 内,
(Ⅱ) 由正弦定理 c 2 得 c 2sin 2 ，..............................................................7 分
sin C
4
由余弦定理 2 a2 b2 2ab 2 2ab 2ab (2 2)ab ，.........................9 分 2
∴ ab 2 2 2 , 当且仅当 a b 时等号成立, ............................................10 分 2 2
∴ SABC
1 2
absin C
2 ab 4
2 1， 2
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∴ SABC最大值
2 1， 2
............................12 分
解（Ⅰ）由
x y