逻辑代数基本运算规则和基本定律
逻辑代数的基本定律和规则
◇逻辑符号：
A B C D
◇与或非门真值表： ◇逻辑表达式：
F
& ≥1 &
A F B C D
+
A B
F
C D
每组有0为1, 某组全1为0。
A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
◇与非逻辑表达式： F A B ◇与非门逻辑符号：
A B
&
F
A B
F
A B
F
◇与非门真值表：
A B F A B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1
与非门运算顺序是： 有0为1,全1为0
先与后非
1 0
即：当输入A、B中，只要有一个 0,输出就是 1,只有输入全为 1时， 输出才是0。
A B
F A B
0
0 1 1
0
1 0 1
1 0 0 0
即：当输入 A 、 B 中， A 只 要 有 一 个 1, 输 出 就 B 是 0, 只有输入全为 0 时， F 输出才是1。
与或非逻辑是与逻辑运算和或非逻辑运算的组合。它是 将输入变量A,B及C,D先进行与运算，然后再进行或非运算。 能够实现与或非逻辑运算的电路称为与或非门。
逻辑代数主要用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析与设计。 逻辑代数也用字母表示变量，这种变量称为逻辑变量。在二值 逻辑中，每个逻辑变量的取值只有0和1两种。
在逻辑代数中，0和1不再表示数量的大小，只代表两种不同的逻 辑状态。
一、基本逻辑运算：与、或、非 三种。
逻辑代数
一、逻辑代数的基本定律
结合律
分配律
A B C A B C A B C A B A C
A B C ( A B) ( A C )
A B C A B C
左右比较符合： ·变+，+变· 1变0，0变1 运算顺序不变
二、其它常用公式：
吸收律
A A B A
A ( A B) A
证明： 左边＝A(1+B)
证明： 左边＝A·A+A·B =A+AB
=A·1
=A =右边 练习：化简 AB+ABC 证明(A+B) ·(A+B+C)=A+B
=A
=右边
数字电路步入数字殿堂的台阶
2.3 逻辑代数的基本定律和规则
数字电路步入数字殿堂的台阶
2.4 逻辑代数的公式法化简
同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑式，逻辑函数 式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，也有利于用最少的 电子器件实现这个逻辑函数。
其中，最常用的为“与或”逻辑表达式。
最简“与或”式的标准： １.含的与项最少； －－门最少 ２.各与项中的变量数最少。 －－门的输入端最少 除此以外，还有与非式、或非式、或与式、与或非式
A B
A B A B
A
B
摩根定律
AB
A B
A B
0
0
0
1
0 1 1 1
1 0
1 1
1
1
1
1
0
1
0
0
A B A B
0
0
左右比较符合： 0 0 ·变+，+变· 1变0，0变1 0 1 运算顺序不变 0 0 公共非号不变
逻辑代数基本公式及定律.
证明： 左式 AB AC BC
AB AC (A A)BC
AB AC ABC ABC 添加
添冗余因子
口诀： 正负相对, 余全完。 （消冗余项）
（8）
( AB ABC) ( AC ABC)
AB AC =右式
4. A · A· B=A · B
（12）
例1： F1 A B C D 0 注意 括号
F1 (A B) (C D) 1
注意括号
F1 AC BC AD BD
与或式
（13）
例 2： F2 A B C D E
反号不动
F2 A B C D E
A 0 0 , A 1 A, A A A, A A 0
AA
（1）
二、交换律
A+B=B+A A• B=B • A
三、结合律
A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B A• (B • C)=(A • B) • C
四、分配律
A(B+C)=A • B+A • C A+B • C=(A+B)(A+C)
证明：
A· A· B=A
A· A· B = A·(A+B) =A · B
(A+B)=A A· A· B= A· A· A· B= ?
A × A √ A· B A· B × ×
（9）
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理
内容：在任何一个包含变量A的逻辑等式中， 若以另外一个逻辑式代替式中所有的变量A， 则等式仍然成立。
逻辑代数的基本定律及规则2010.9.23
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三变量最小项的编号
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最大项
最大项标准式是以“或与”形式出现的标准式。 最大项： 对于一个给定变量数目的逻辑函数， 所有变 量参加相“或”的项叫做最大项。 在一个最大项中， 每个 变量只能以原变量或反变量出现一次。 例如， 一个变量A有二个最大项： (2 ) A, A。
例题：化简函数
AB + AC + BC = AB + AC
F = ABC + AD + C D + BD
F = ABC + AD + C D + BD
= ABC + ( A + C ) D + BD
= AC ⋅ B + AC ⋅ D + BD
= AC ⋅ B + AC ⋅ D
= ABC + AD + C D
最小项
2 n 个最小项。最小项通 以此类推，n变量共有
常用 mi 表示。 最小项标准式：全是由最小项组成的“与或” 式，便是最小项标准式(不一定由全部最小项 组成)。 例如：
F ( ABC ) = A B C + BC + A C = A B C + ABC + A BC + AB C + AB C = ∑ m(0,3,4,6,7)
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逻辑代数的基本定律及规则
对合律： A = A
冗余律： AB + A C + BC = AB + A C
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逻辑代数的基本定律及规则
3 基本规则
代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有 出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然 成立。这个规则称为代入规则。 反演规则：对于任何一个逻辑函数F，想要得到F的反 函数，只需要将F中的所有“·”换成“＋”，“＋”换 成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反 变量，反变量换成原变量。 长春理工大学软件学院
逻辑代数
1.逻辑函数的变换 1.逻辑函数的变换
3.1.3 逻辑函数的代数变换与化简
L = AC + C D = AC + C D = AC • C • D = ( A + C ) • (c + D ) = AC + AD + C D = AC + C D = AC + C D = A + C + C + D
在逻辑代数中， 在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个 二值变量）， ），即 和 。 值（二值变量），即0和1。
基本运算规则
， 加运算规则: 加运算规则: 0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1 A+0 =A，A+1 =1，A+A =A， ， ， ， A+A =1 乘运算规则: 0•0=0 乘运算规则: A•0 =0 非运算规则: 非运算规则: 0=1
根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图， 根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图，表 达式的形式决定门电路的个数和种类， 达式的形式决定门电路的个数和种类，因此实际中 需要对表达式进行变换。 需要对表达式进行变换。 例如L=A⊕B ⊕ 例如 1.用与非门实现：与或表达式→摩根定律 用与非门实现：与或表达式 摩根定律 用与非门实现 有反变量输入、 有反变量输入、无反变量输入 2.用或非门实现：或与表达式→摩根定律 用或非门实现：或与表达式 摩根定律 用或非门实现 有反变量输入、 有反变量输入、无反变量输入 3.用最少门实现 用最少门实现 化简；选用异（ 化简；选用异（同）或门
逻辑代数运算法则
辑 【量例，1.3得.3到】的已Y结=知A果B就+C是+CD。 Y Y，求(A+B。C)(C+D)
代
数
Y=AC BC AD BCD
运 算
Y AC BC AD
法 3.对偶定理：若两个逻辑表达式相等，则他们的对偶式也相等。 则
对偶式就是指：对于任何一个表达式Y，若将其中的“·”
换成“+”， “+”换成“·”，0换成Y1,1换成0，得到一
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逻之 辑代数运算法则
主讲教师：谢永超
湖南铁道 职业技术
学习导 入
逻辑代数有什 么法则呢？
本次课主要内容
逻辑代 数基本 运算规
则
第一点
逻辑代 数的基 本定律
第二点
逻辑代 数的基 本定理
第三点
主 一、逻辑代数的运算 题 规则
1.基本公理：
逻 （1）1=0 ；0=1 （2）1·1=1；0+0=0
主 一、逻辑代数的运算 题 规则
（4）0 1 律1·A=A ；A+0=A ；0·A=0 ；
（5）互补律 A A 0; AA A+11=1
逻
辑 （6）重叠律 A ·A = A ； A + A =A
代
数 （7）还原律A A
运 算
（8）反演律—摩根定A律B A B; A B A B
法
则 证明：反演律—摩根定
个新的表达式 。
A B C=(A B) (A+C)
A (B+C) AB+AC
谢谢观看
湖南铁道 职业技术 学院作品
AB AC ABC ABC
( AB ABC) ( AC ABC)
逻辑代数运算法则
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
主 二、逻辑代数的基本定律
题
（1）原变量吸收公式 AABA
逻 辑
（2）反变量吸收公式 AABAB
代
数 运
（3）冗余律
A B + A C + B C D = A B + A C
算
法
则
证明：
ABACBCABACBC(AA)
ABACABC ABC
(ABAB)C(ACABC)
运 算
Y AC BC AD
法 3.对偶定理：若两个逻辑表达式相等，则他们的对偶式也相等。 则
对偶式就是指：对于任何一个表达式Y，若将其中的“·”换成“+”， “+”
换成“·”，0换成1,1换成0，得到一个新的表达式 Y 。
A B C = ( A B )( A + C )
A(B+C) AB+AC
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ABAC
主 三、逻辑代数的基本定理
题
1.代入定理：在任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑表达式代入
式中所有A的位置，则等式依然成立。
逻
辑 代
将摩根定理推广为三变量的应用情况：
数
运
AB=A+B
算
法 则
现将 B C 代入等式左边B的位置，于是得到
A ( B C ) A ( B C ) A + B + C
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逻辑代数运算法则
主讲教师：谢永超
湖南铁道职业 技术学院作品
逻辑代数的运算法则
逻辑代数的运算法则逻辑代数又称布尔代数。
逻辑代数与普通代数有着不同概念，逻辑代数表示的不是数的大小之间的关系，而是逻辑的关系，它仅有0、1两种状态。
逻辑代数有哪些基本公式和常用公式呢？1.变量与常量的关系与运算公式 一、基本公式A·1=AA·0=0或运算公式A+0=A A+1=101律2.与普通代数相似的定律与运算公式A·B=B·A 或运算公式A+B=B+A交换律A·(B·C)=(A·B)·C A+(B+C)=(A+B)+C 结合律A·(B+C)=A·B+A·C A+(B·C)=(A+B)(A+C)分配律3.逻辑代数特有的定律与运算公式或运算公式互补律重叠律（同一律） 反演律（摩根定律）0=⋅A A 1=+A A BA B A +=⋅BA B A ⋅=+ 非非律（还原律）AA =A A A =⋅A A A =+真值表证明摩根定律0001101111111100结论：BA B A +=⋅ 以上定律的证明，最直接的办法就是通过真值表证明。
若等式两边逻辑函数的真值表相同，则等式成立。
【证明】公式1AB A AB =+B A AB +）（B B A += 互补律1⋅=A 01律A= 合并互为反变量的因子【证明】公式2AAB A =+AB A +）（B A +=1 01律A= 吸收多余项【证明】公式3BA B A A +=+B A A +BA AB A ++=B A A A ）（++= 互补律BA += 消去含有另一项的反变量的因子【证明】CA AB BC C A AB +=++BC A A C A AB ）（+++=BC C A AB ++ 分配律BC A ABC C A AB +++= 吸收多余项公式2互补律CA AB += 公式2逻辑代数的运算法则一、基本公式二、常用公式A·1=AA·0=0A+0=A A+1=1 1.变量与常量的关系01律2.与普通代数相似的定律交换律A·B=B·A A+B=B+A结合律 分配律3.逻辑代数特有的定律互补律A·A=A A+A=A 重叠律（同一律）反演律（摩根定律）0=⋅A A 1=+A A BA B A +=⋅BA B A ⋅=+非非律（还原律）AA =AB A AB =+.1AAB A =+.2BA B A A +=+.3CA AB BC C A AB +=++.4A·(B·C )=(A·B )·C A+(B+C )=(A+B )+C A·(B+C )=A·B+A·CA +(B·C )=(A+B )(A+C )谢谢！。
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逻辑代数基本运算规则和基本定律
逻辑代数（又称布尔代数），它是分析设计逻辑电路的数学工具。
虽然它和普通代数一样也用字母表示变量，但变量的取值只有“0”，“1”两种，分别称为逻辑“0”和逻辑“1”。
这里“0”和“1”并不表示数量的大小，而是表示两种相互对立的逻辑状态。
逻辑代数所表示的是逻辑关系，而不是数量关系。
这是它与普通代数的本质区别。
注意：在逻辑代数中，只有加、乘、非运算，没有减、除、移项运算。
1、逻辑代数基本运算规则
；；；
；；；；。
2、基本定律
交换律
结合律
分配律
―――――注意：普通代数不成立反演律即摩根定理
可以推广到多变量
可以推广到多变量吸收律。