广东省深圳市龙岗区九年级(上)期末数学试卷
广东省深圳市龙岗区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题
1．（3分）若反比例函数y＝﹣的图象经过点A（2，m），则m的值是（）A．B．2C．﹣D．﹣2
2．（3分）下列四边形中，是轴对称但不是中心对称的图形是（）
A．B．C．D．
3．（3分）2016年1月1日起，全面两孩政策正式实施，据统计，今年我国公民的生育登记申请数量明显增长势头，上半年全国出生人口831万人，同比增长6.9%，其中数量831万用科学记数法表示为（）
A．8.31×107B．8.31×106C．0.831×107D．8.31×102 4．（3分）定义运算：a⋆b＝a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m＝0（m＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（）
A．0B．1C．2D．与m有关5．（3分）如图，在边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若BF＝3，则小正方形边长为（）
A．6B．5C．D．
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，∠BAD＝120°，则菱形ABCD 的周长为（）
A．20B．18C．16D．15
7．（3分）我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算
方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（）
A．B．
C．D．
8．（3分）下列命题正确的是（）
A．菱形的对角线互相平分
B．顺次连接菱形各边中点得到的四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是正方形
9．（3分）近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低，为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金，深圳企业退休职工李师傅2014年月退休金为3500元，2016年达到4200元，设李师傅的月退休金从2014年到2016年年平均增长率为x，可列方程为（）
A．3500（1+x）＝4200
B．3500（1﹣x）+3500（1﹣x）2＝4200
C．3500（1﹣x）＝4200
D．3500（1+x）2＝4200
10．（3分）如图一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD
的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得影子DE的长刚好是自己的身高，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB为（）
A．8米B．6米C．4.5米D．3米
11．（3分）如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则下列说法中错误的是（）
A．ac＜0
B．2a+b＝0
C．对于任意x均有ax2+bx≥a+b
D．4a+2b+c＞0
12．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是△ABC 边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD＝x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．（3分）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有且只有1个实数根，则m＝．14．（3分）生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们座上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕捉500只，其中有标记的雀鸟有10只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约为．
15．（3分）反比例函数y1＝，y2＝（k≠0）在第一象限的图象如图，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于点B，交y轴于点C，若S△AOB＝2，则k＝．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝5，OC＝6，则另一直角边BC的长为．
三、解答题
17．（8分）计算
（﹣）0+|﹣2|﹣3tan30°+cos45°．
18．（8分）解下列一元二次方程
①x2﹣5x+2＝0
②2（x﹣3）2＝x（x﹣3）
19．（6分）网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价特别引人关注，消费者在网店购买某种商品后，结其有“好评”、“中评”、“差评”三种评价，假设这三种评价是等可能的．
小明对一家网店销售某种商品显示的评价信息进行了统计，并列出了两幅不完整的统计图，利用图中所提供的信息解决以下问题：
（1）请将图1补充完整；
（2）图2中“差评”所占的百分比是；
（3）若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品，请你用表格或画树状图的方法帮助店主求一下两人中至少有一个给“好评”的概率．
20．（6分）如图，河岸边有座塔AB，小敏在河对岸C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进20米到达D处，又测得塔顶A的仰角为45°，请根据上述数据计算水塔的高．
21．（7分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1
元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
22．（8分）在矩形ABCD中，DC＝2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．
（1）求证：△DEC∽△FDC；
（2）当F为AD的中点时，求BC的长度．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
广东省深圳市龙岗区九年级（上）期末数学试卷
参考答案
一、选择题
1．C；2．B；3．B；4．A；5．C；6．C；7．B；8．A；9．D；10．C；
11．D；12．B；
二、填空题
13．1；14．5000只；15．12；16．7；
三、解答题
17．；18．；19．13.3%；20．；21．；22．；
23．；。
2021-2022学年广东省深圳市九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2021-2022学年广东省深圳市九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．深圳湾“春笋”大楼的顶部如图所示，则该几何体的主视图是（）A．B．C．D．2．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（）A．30°B．35°C．80°D．100°4．一元二次方程x2+x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断5．已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（）A．20cm2B．24cm2C．48cm2D．100cm26．为庆祝中国共产党成立100周年，某学校开展学习“四史”（《党史》《新中国史》《改革开放史》《社会主义发展史》）交流活动，小亮从这四本书中随机选择1本进行学习心得体会分享，则他恰好选到《新中国史》这本书的概率为（）A．B．C．D．17．如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（）A．1：4B．1：2C．2：1D．4：18．下列命题中，是真命题的是（）A．一条线段上只有一个黄金分割点B．各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似C．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例D．若2x＝3y，则＝9．文博会期间，某公司调查一种工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话．小张：该工艺品的进价是每个22元；小李：当销售价为每个38元时，每天可售出160个；当销售价降低3元时，平均每天将能多售出120个．经理：为了实现平均每天3640元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？设这种工艺品的销售价每个应降低x元，由题意可列方程为（）A．（38﹣x）（160+×120）＝3640B．（38﹣x﹣22）（160+120x）＝3640C．（38﹣x﹣22）（160+3x×120）＝3640D．（38﹣x﹣22）（160+×120）＝364010．如图，矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点，AE交对角线BD于点G，BF交AE于点H．则的值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．已知：，则＝．12．深圳某商场为吸引顾客，设置了一种游戏，其规则如下：在一个不透明的纸箱中装有红球和白球共10个，这些球除颜色外都相同．凡参与游戏的顾客从纸箱中随机摸出一个球，如果摸到红球就可免费得到一个吉祥物，摸到白球没有吉祥物．据统计，参与这种游戏的顾客共有5000人，商场共发放了吉祥物1500个．则该纸箱中红球的数量约有个．13．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝°．14．如图，已知一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点B 的横坐标是1，过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是．15．如图，已知△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠ADE＝90°，AB＝AC＝1，AD＝DE＝，点D在直线BC上，EA的延长线交直线BC于点F，则FB的长是．三、解答题（本题共7小题，共55分）16．解方程：x2﹣4x+3＝0．17．小明为探究反比例函数y＝的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到．（1）他列出y与x的几组对应值如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣0.50.51b34…y…﹣1﹣a﹣4﹣88421…表格中，a＝，b＝；（2）结合表，在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时的函数y的图象；（3）①若（6，m），（10，n）在该函数的图象上，则m n（填“＞”，“＝”或“＜”）；②若（x1，y1），（x2，y2）在该函数的图象上，且x1＜x2＜0，则y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．18．深圳某地铁站入口有A，B，C三个安全检查口，假定每位乘客通过任意一个安全检查口的可能性相同．张红与李萍两位同学需要通过该地铁入口乘坐地铁．（1）张红选择A安全检查口通过的概率是；（2）请用列表或画树状图的方法求出她俩选择相同安全检查口通过的概率．19．如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．20．如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．（1）求原正方形空地的边长；（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．21．【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树CD，FG 和灯柱AB如图①所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下：①根据光源确定榕树在地面上的影子；②测量出相关数据，如高度，影长等；③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．根据上述内容，解答下列问题：（1）已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出榕树FG在路灯下的影子GH；（2）如图①，若榕树CD的高度为3.6米，其离路灯的距离BD为6米，两棵榕树的影长DE，GH均为4米，两棵树之间的距离DG为6米，求榕树FG的高度；（3）无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物CD高为50米，建筑物MF上有一个广告牌EM，合计总高度EF为70米，两座建筑物之间的直线距离FD为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌EM的底端M处，观测者沿着直线AF向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌EM的顶端E处．则广告牌EM的高度为米．22．（1）【探究发现】如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD'的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D'E．①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．证明：延长BE交DF于点G．②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF＝°．（2）【类比迁移】如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD'，CD'，D'E．当CD'⊥DF，AB＝2，BC＝3时，求CD'的长；（3）【拓展应用】如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD＝，AC＝2，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF＝EF，请直接写出此时OF的长．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．深圳湾“春笋”大楼的顶部如图所示，则该几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据简单几何体的三视图的意义，得出从正面看所得到的图形即可．解：从正面看深圳湾“春笋”大楼所得到的图形如下：故选：A．2．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0，得出一个关于m的方程，解方程即可．解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得：1+m﹣3＝0，解得：m＝2．故选：D．3．如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（）A．30°B．35°C．80°D．100°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据相似三角形对应角相等即可解决问题．解：∵△ABC中，∠A＝35°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣65°＝80°，又∵△ABC∽△DEF，∴∠F＝∠C＝80°，故选：C．4．一元二次方程x2+x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【分析】先计算根的判别式，再根据根的判别式进行判断即可．解：∵Δ＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，∴一元二次方程没有实数根．故选：C．5．已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（）A．20cm2B．24cm2C．48cm2D．100cm2【分析】直接根据菱形的面积公式计算即可．解：∵菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，∴这个菱形的面积＝×6×8＝24（cm2），故选：B．6．为庆祝中国共产党成立100周年，某学校开展学习“四史”（《党史》《新中国史》《改革开放史》《社会主义发展史》）交流活动，小亮从这四本书中随机选择1本进行学习心得体会分享，则他恰好选到《新中国史》这本书的概率为（）A．B．C．D．1【分析】直接根据概率公式求解即可．解：由题意得，他恰好选到《新中国史》这本书的概率为．故选：A．7．如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（）A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1【分析】根据位似图形的概念得到△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，根据△OA′B′∽△OAB，求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案．解：∵△A′B′C′与△ABC是位似图形，∴△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，∴△OA′B′∽△OAB，∴＝＝，∴△A′B'C′与△ABC的面积比为1：4，故选：A．8．下列命题中，是真命题的是（）A．一条线段上只有一个黄金分割点B．各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似C．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例D．若2x＝3y，则＝【分析】根据黄金分割的定义对A选项进行判断；根据相似多边形的定义对B选项进行判断；根据平行线分线段成比例定理对C选项进行判断；根据比例的性质对D选项进行判断．解：A．一条线段上有两个黄金分割点，所以A选项不符合题意；B．各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似，所以B选项符合题意；C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，所以C选项不符合题意；D．若2x＝3y，则＝，所以D选项不符合题意．故选：B．9．文博会期间，某公司调查一种工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话．小张：该工艺品的进价是每个22元；小李：当销售价为每个38元时，每天可售出160个；当销售价降低3元时，平均每天将能多售出120个．经理：为了实现平均每天3640元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？设这种工艺品的销售价每个应降低x元，由题意可列方程为（）A．（38﹣x）（160+×120）＝3640B．（38﹣x﹣22）（160+120x）＝3640C．（38﹣x﹣22）（160+3x×120）＝3640D．（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640【分析】由这种工艺品的销售价每个降低x元，可得出每个工艺品的销售利润为（38﹣x ﹣22）元，销售量为（160+×120）个，利用销售总利润＝每个的销售利润×销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：∵这种工艺品的销售价每个降低x元，∴每个工艺品的销售利润为（38﹣x﹣22）元，销售量为（160+×120）个．依题意得：（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640．故选：D．10．如图，矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点，AE交对角线BD于点G，BF交AE于点H．则的值是（）A．B．C．D．【分析】取BD的中点M，连接EM，交BF于点N，则EM＝，EM∥DC，由△BEN ∽△BCF，得EN＝，由EM∥AB，得△EMG∽△ABG，△ENH∽△ABH，则EG＝，EH＝，从而解决问题．解：∵矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点，∴BE＝，AB∥CD，CF＝DF＝，取BD的中点M，连接EM，交BF于点N，如图，则EM是△BCD的中位线，∴EM＝，EM∥DC，∴EM＝，EM∥AB，∴△BEN∽△BCF，∴，∴EN＝，∴EN＝，∵EM∥AB，∴△EMG∽△ABG，△ENH∽△ABH，∴，，∴EG＝，EH＝，∴GH＝EG﹣EH＝，∴，故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．已知：，则＝．【分析】根据比例式的合比性质可直接求出的值．解：∵，∴＝．12．深圳某商场为吸引顾客，设置了一种游戏，其规则如下：在一个不透明的纸箱中装有红球和白球共10个，这些球除颜色外都相同．凡参与游戏的顾客从纸箱中随机摸出一个球，如果摸到红球就可免费得到一个吉祥物，摸到白球没有吉祥物．据统计，参与这种游戏的顾客共有5000人，商场共发放了吉祥物1500个．则该纸箱中红球的数量约有3个．【分析】设袋中红球的个数为x，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案．解：设袋中红球的个数为x，根据题意得：，解得：x＝3，答：估计袋中红球的个数为3个；故答案为：3．13．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝40°．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EA，根据矩形的性质得到∠DCA＝∠EAC ＝20°，结合图形计算，得到答案．解：∵MN是AC的垂直平分线，∴EC＝EA，∴∠ECA＝∠EAC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠D＝90°，∴∠DCA＝∠EAC＝90°﹣70°＝20°，∴∠DCE＝∠DCA+∠ECA＝20°+20°＝40°，故答案为：40．14．如图，已知一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点B 的横坐标是1，过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是12．【分析】由一次函数解析式求得B的坐标，代入y＝求得k，然后两个解析式联立成方程组，解方程组求得A的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．解：∵一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点B的横坐标是1，∴把x＝1代入y＝2x+4得，y＝6，∴B（1，6），∴6＝，解得k＝6，∴反比例函数的解析式为y＝，解得或，∴A（﹣3，﹣2），∵AC⊥y轴于点C，∴AC＝3，∴S△ABC＝＝12．故答案为：12．15．如图，已知△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠ADE＝90°，AB＝AC＝1，AD＝DE＝，点D在直线BC上，EA的延长线交直线BC于点F，则FB的长是．【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰直角三角形的性质可得DH＝，CD ＝，再证明△ABF∽△DAC，进而对应边成比例即可求出FB的长．解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝，∵AH⊥BC，∴BH＝CH＝，∴AH＝，∵AD＝DE＝，∴DH＝＝＝，∴CD＝DH﹣CH＝，∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝∠ACD＝135°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAF＝135°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF+∠DAC＝45°，∵∠BAF+∠F＝45°，∴∠F＝∠DAC，∴△ABF∽△DAC，∴＝，∴＝，∴BF＝．故答案为：．三、解答题（本题共7小题，共55分）16．解方程：x2﹣4x+3＝0．【分析】利用因式分解法解出方程．解：x2﹣4x+3＝0（x﹣1）（x﹣3）＝0x﹣1＝0，x﹣3＝0x1＝1，x2＝3．17．小明为探究反比例函数y＝的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到．（1）他列出y与x的几组对应值如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣0.50.51b34…y…﹣1﹣a﹣4﹣88421…表格中，a＝﹣2，b＝2；（2）结合表，在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时的函数y的图象；（3）①若（6，m），（10，n）在该函数的图象上，则m＞n（填“＞”，“＝”或“＜”）；②若（x1，y1），（x2，y2）在该函数的图象上，且x1＜x2＜0，则y1＞y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．【分析】（1）把（﹣4，﹣1）代入y＝解方程得到反比例函数的解析式为y＝，把x ＝﹣2，把y＝2时，分别代入反比例函数的解析式即可得到答案；（2）根据题意画出图象即可；（3）根据反比例函数的性质即可得到结论．解：（1）把（﹣4，﹣1）代入y＝得，﹣1＝，∴k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，当x＝﹣2时，y＝＝﹣2，即a＝﹣2；当y＝2时，2＝，则x＝2，即b＝2；故答案为：﹣2，2；（2）如图所示，（3）∵反比例函数的解析式为y＝，∴k＝4＞0，∴在每个象限内y随x的增大而减小，①若（6，m），（10，n）在该函数的图象上，∵6＜10，∴m＞n；故答案为：＞；②若（x1，y1），（x2，y2）在该函数的图象上，∵x1＜x2＜0，∴y1＞y2，故答案为：＞．18．深圳某地铁站入口有A，B，C三个安全检查口，假定每位乘客通过任意一个安全检查口的可能性相同．张红与李萍两位同学需要通过该地铁入口乘坐地铁．（1）张红选择A安全检查口通过的概率是；（2）请用列表或画树状图的方法求出她俩选择相同安全检查口通过的概率．【分析】（1）根据概率公式求解即可；（2）根据题意先画出树状图得出所有等情况数和选择相同安全检查口通过的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．解：（1）∵有A．B、C三个闸口，∴张红选择A安全检查口通过的概率是；故答案为：；（2）根据题意画图如下：共有9种等情况数，其中她俩选择相同安全检查口通过的有3种，则她俩选择相同安全检查口通过的概率是＝．19．如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．【分析】（1）根据矩形性质先证明四边形CDEF是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题；（2）连接GF，根据菱形的性质证明△CDG≌△CFG，然后根据勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵CF∥ED，∴四边形CDEF是平行四边形，∵DC＝DE．∴四边形CDEF是菱形；（2）解：如图，连接GF，∵四边形CDEF是菱形，∴CF＝CD＝5，∵BC＝3，∴BF＝＝＝4，∴AF＝AB﹣BF＝5﹣4＝1，在△CDG和△CFG中，，∴△CDG≌△CFG（SAS），∴FG＝GD，∴FG＝GD＝AD﹣AG＝3﹣AG，在Rt△FGA中，根据勾股定理，得FG2＝AF2+AG2，∴（3﹣AG）2＝12+AG2，解得AG＝．20．如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．（1）求原正方形空地的边长；（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．【分析】（1）设原正方形空地的边长为xm，则剩余部分长（x﹣4）m，宽（x﹣5）m，根据剩余部分面积为650m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设小道的宽度为ym，则栽种鲜花的区域可合成长（30﹣y）m，宽（30﹣1﹣y）m 的矩形，根据栽种鲜花区域的面积为812m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：（1）设原正方形空地的边长为xm，则剩余部分长（x﹣4）m，宽（x﹣5）m，依题意得：（x﹣4）（x﹣5）＝650，整理得：x2﹣9x﹣630＝0，解得：x1＝30，x2＝﹣21（不合题意，舍去）．答：原正方形空地的边长为30m．（2）设小道的宽度为ym，则栽种鲜花的区域可合成长（30﹣y）m，宽（30﹣1﹣y）m 的矩形，依题意得：（30﹣y）（30﹣1﹣y）＝812，整理得：y2﹣59y+58＝0，解得：y1＝1，y2＝58（不合题意，舍去）．答：小道的宽度为1m．21．【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树CD，FG 和灯柱AB如图①所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下：①根据光源确定榕树在地面上的影子；②测量出相关数据，如高度，影长等；③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．根据上述内容，解答下列问题：（1）已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出榕树FG在路灯下的影子GH；（2）如图①，若榕树CD的高度为3.6米，其离路灯的距离BD为6米，两棵榕树的影长DE，GH均为4米，两棵树之间的距离DG为6米，求榕树FG的高度；（3）无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物CD高为50米，建筑物MF上有一个广告牌EM，合计总高度EF为70米，两座建筑物之间的直线距离FD为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌EM的底端M处，观测者沿着直线AF向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌EM的顶端E处．则广告牌EM的高度为米．【分析】（1）根据题意画出图形；（2）证明△ECD∽△EPB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可；（3）根据△BCD∽△BEF求出BD，再根据△ACD∽△AMF求出MF，进而求出EM．解：（1）图①中GH即为所求；（2）∵CD∥PB，∴△ECD∽△EPB，∴＝，即＝，解得：PB＝9，∵FG∥PB，∴△HFG∽△HPB，∴＝，即＝，解得：FG＝，答：榕树FG的高度为米；（3）∵CD∥EF，∴△BCD∽△BEF，∴＝，即＝，解得：BD＝75，∵CD∥EF，∴△ACD∽△AMF，∴＝，即＝，解得：MF＝，∴EM＝EF﹣MF＝70﹣＝（米），故答案为：．22．（1）【探究发现】如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD'的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D'E．①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．证明：延长BE交DF于点G．②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF＝22.5°．（2）【类比迁移】如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD'，CD'，D'E．当CD'⊥DF，AB＝2，BC＝3时，求CD'的长；（3）【拓展应用】如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD＝，AC＝2，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF＝EF，请直接写出此时OF的长．【分析】（1）①延长BE交DF于点G，则由对称可知∠EGD＝∠EGD'＝90°，结合∠DEG＝∠BEC得到∠EBC＝∠EDF，由正方形的性质得到∠BCE＝∠DCF、BC＝DC，从而证明△BCE≌△DCF；②当点D'与点F重合时，由对称可知∠DBG＝∠D'BG＝22.5°，然后由①得到∠EDF＝∠EBC＝22.5°；（2）延长BE交DF于点G，由对称可知点G是DD'的中点、∠EGD＝∠EGD'＝90°，结合CD'⊥DF得到CD'∥BG，从而有EG是△DCD'的中位线，得到点E是CD的中点，从而求得CE＝DE＝1，再由勾股定理求得BE的长；由（1）①得∠EBC＝∠FDC，∠ECB ＝∠EGD＝90°得到△ECB∽△EGD，进而借助相似三角形的性质求得EG的长，然后由中位线的性质求得CD'的长；（3）以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，与CD和BC的交点即为点E，然后分点E 在CD上和点E在BC上讨论，延长AF交DE于点G，然后借助（1）（2）的思路求解．【解答】（1）①证明：如图①，延长由对称可知，∠EGD＝∠EGD'＝90°，∵∠DEG＝∠BEC，∴∠EBC＝∠EDF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCE＝∠DCF＝90°，BC＝DC，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（ASA）．②解：如图1，当点D'与点F重合时，由对称可知∠DBE＝∠D'BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝45°，∴∠DBE＝∠D'BE＝22.5°，由①得到∠CDF＝∠EBD'，∴∠CDF＝22.5°，故答案为：22.5°．（2）解：如图2，延长BE交DF于点G，由对称可知，点G是DD'的中点，∠EGD＝∠EGD'＝90°，∵CD'⊥DF，∴CD'∥BG，∴EG是△DCD'的中位线，∴点E是CD的中点，∴CE＝DE＝CD＝×2＝1，∴BE＝＝，由（1）①得，∠EBC＝∠FDC，∠ECB＝∠EGD＝90°，∴△ECB∽△EGD，∴，∴，∴EG＝，∴BG＝BE+EG＝+＝，∵EG是△DCD'的中位线，∴CD'＝2EG＝2×＝．（3）以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，与CD和BC的交点即为点E，①如图3，当点E在CD上时，延长AF交DE于点G，由（1）①可得，∠GDF＝∠OAF，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，∠ODC＝∠ODA，∴∠OAF＝∠ODA，∵AC＝2，∴OA＝1，∵AD＝，∴OD＝，∴tan∠OAF＝tan∠ODA＝＝，∴，∴OF＝；②如图4，当点E在BC上时，延长AF交DE于点G，则∠AGD＝90°，∠DAG＝∠EAG ＝∠DAE，∵AD＝AB＝AE，∴∠AEB＝∠ABE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABO＝∠ABE，AD∥∠BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠ABO＝∠DAG，在△AGD和△BOA中，，∴△AGD≌△BOA（AAS），∴DG＝AO＝1，AG＝BO＝，∴DG＝AO，∵∠FAO＝∠FDG，∠FOA＝∠FGD，∴△FOA≌△FGD（ASA），∴OF＝FG，设OF＝FG＝x，则DF＝﹣x，在Rt△DFG中，DF2＝GF2+DG2，∴（﹣x）2＝x2+12，解得：x＝，∴OF＝，综上所述，OF的长为或．。
广东省深圳市龙岗区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题
广东省深圳市龙岗区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题一、单选题1．隋朝时期的青瓷高足盘是湖北省博物馆重要馆藏文物之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（）A ．主视图与左视图相同B ．主视图与俯视图相同C ．左视图与俯视图相同D ．三种视图都相同2．关于x 的一元二次方程2100x bx +-=的一个根为2，则b 的值为（）A ．3-B ．2C ．3D ．73．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．若50AOB ∠=︒，则ADB ∠的度数为（）A ．65︒B ．50︒C ．25︒D ．20︒4．如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B 和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行，若点A 在数轴上表示的数是-2且点A 与刻度尺上的0刻度重合，则AB 的长度是（）A ．3B ．4C ．5D ．65．宽与长的比等于()10.6182≈的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如古希腊的帕提依庙等．如图，帕提侬神庙平面图的长约为30米，则它的宽约为（）A ．12.36米B ．18.54米C ．21.21米D ．48.54米6．七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，是一个由“七巧板”地砖铺成的地板，一个小球在该地板上自由地滚动，并随机停留在某块地砖上，已知小球停在任意一点的可能性都相同，那么小球停在4号地砖上的概率是（）A ．12B ．14C ．16D ．187．如图，ABC V 与DEF 是位似图形，点O 是位似中心．若2OA AD =，ABC V 的周长为4，则DEF 的周长为（）A ．6B ．8C ．9D ．128．我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程25140x x +-=即()514x x +=为例说明，记载的方法是：构造如图面积是()25x x ++的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即2414581⨯+=，因此2x =．则在下列四个构图中，能正确说明方程23100x x --=解法的构图是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．已知23a b =，则b a a -的值为．10．为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图（a ）所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图（b ）所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角近似为度．11．关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．12．图（a ）是燕尾夹，图（b ）是燕尾夹简化的示意图，夹臂AC ，BD 可分别绕点M N ，旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即C D ，两点重合），20mm AM BN ==，15mm CM DN ==，8mm MN =．如图（c ），当夹子完全张开时（即A B ，两点重合），夹嘴间的距离CD 的长为mm ．13．如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点且满足30CBE ∠=︒，将BCE 沿BE 折叠得到BC E '△，C E '与对角线BD 交于点F ，则DFBF 的值为．三、解答题14．解一元二次方程：(1)220x x +=；(2)263910x x --=．15．化学实验课上，杨老师带来了Mg （镁）、Al （铝）、Zn （锌）、Cu （铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：Mg Al Zn 、、可以置换出氢气，而Cu 不能置换出氢气）(1)小云随机从中抽取一张卡片，抽到“Al ”的概率为；(2)小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率．16．如图，在平行四边形ABCD 中，=90BDC ∠︒，E 是AD 边上一点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF．(1)请从下列条件中选择一个能证明四边形ABDF 是矩形的条件，并写出证明过程；①AE DE =；②BF BC =；③AE BE =．(2)若四边形ABDF 是矩形，且3AB =，5AD =，求四边形ABCF 的面积．17．已知甲商品每件的进价为20元，售价为每件40元．(1)若商场计划对甲商品降价促销，预备从原来售价的每件40元进行两次调价后将售价降为每件32.4元．若甲商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；(2)经调查，甲商品每降价1元时，每月可多销售10件．已知甲商品在原售价为每件40元时的月销售量为100件．若商场希望甲商品该月的获利为2250元，请问甲商品在原售价的基础上应降价多少元？18．综合与实践背景晚上小明在广场上散步，如图（a ）所示，AB ，CD 是广场上的两根电线杆，小明站在点E 处，在两盏路灯B ，D 的照射下，地面上形成了他的两个影子EH ，EG ．素材1两盏路灯B ，D 的高均为10m ，两盏路灯相距40m ，小明的身高EF 为1.5m ．素材2A ，C ，E ，G ，H 在同一平面内，电线杆和人均垂直于地面．问题提出小明在广场中走动时（始终保证影子EG ，EH 不为0），两个影子端点间的距离GH 是否会发生改变？问题解决任务1计算（1）如图（b ），当小明影子EG 长为4.5m 时，此时小明到电线杆CD 的距离EC 为多少？任务2说理（2）小明在广场上走动的过程中两个影子端点间的距离GH 是否会改变？若GH 的长不变，请求出GH 的长；若GH 的长度发生变化，请说明理由．任务3拓展（3）小明在广场的某个位置向上跳起再落下，在该过程中GH 最长达到10m ，请直接写出小明从起跳到落下的过程中，头顶距离地面的最大高度．19．综合与探究【定义】我们把关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=与20cx bx a ++=（0ac ≠，a c ≠）称为一对“友好方程”【示例】如22730x x +-=的“友好方程”是23720x x -++=．（1）写出一元二次方程212710x x -+=的“友好方程”是________．【探究】（2）已知一元二次方程212710x x -+=的两根为113x =，214x =，请求出它的“友好方程”的两个根．【猜想】（3）当240b ac ∆=-≥时，方程20ax bx c ++=的两根1x ，2x 与其“友好方程”20cx bx a ++=的两根3x ，4x 之间存在的一种特殊关系为________．（0ac ≠，a c ≠）【证明】∵方程20ax bx c ++=的两根为1x =2x =方程20cx bx a ++=的两根为32b x c -=，①________；……（4）请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可）【拓展】（5）已知关于x 的方程220240x bx c +-=的两根是11x =-，212024x =．请利用上述结论，直接写出关于x 的方程()212024c x bx b --+=的两根．20．综合与探究如图，在平行四边形ABCD 中，E F ，分别是边BC ，CD 上的点，AE 与BF 交于点P ．（1）【特例感知】如图（a ），若四边形ABCD 是正方形，当APB D ∠=∠时，则线段AE 与BF 的数量关系是________；（2）【深入探究】如图（b ），若四边形ABCD 是菱形，且APB D ∠=∠，则线段AE 与BF 满足怎样的数量关系？请证明你的猜想；关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题．思路一思路二如图，在BC 边上取一点M 使AM AB =，……如图，在CB 的延长线上取一点N 使，AN AE =，……（3）【类比迁移】如图（c ），若四边形ABCD 是菱形，E 为BC 的中点，60APB C ∠=∠=︒，请求出AE BF的值；（4）【联系拓广】如图（d ），在平行四边形ABCD 中，3AD =，4AB =，60C ∠=︒，F 是CD 边的中点，当点E 在直线BC 上运动，且直线AE 与直线BF 所夹的锐角为60°时，请直接写BE 的长．。
广东省深圳市龙岗区九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知反比例函数y=−12x的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（）A. (3,4)B. (−2,6)C. (−2,−6)D. (−3,−4)2.方程x2=3x的解为（）A. x=3B. x=0C. x1=0，x2=−3D. x1=0，x2=33.如图几何体的主视图是（）A. B. C. D.4.某省2013年的快递业务量为1.5亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展．若2015年的快递业务量达到4.5亿件．设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A. 1.5(1+x)=4.5B. 1.5(1+2x)=4.5C. 1.5(1+x)2=4.5D. 1.5(1+x)+1.4(1+x)2=4.55.在同一时刻，身高1.6m的小强，在太阳光线下影长是1.2m，旗杆的影长是6m，则旗杆高为（）A. 4.5mB. 6mC. 8mD. 9m6.一元二次方程x2-x+1=0的根的情况是（）A. 无实数根B. 有两不等实数根C. 有两相等实数根D. 有一个实数根7.△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1：2，已知△ABC的面积是10，则△A′B′C′的面积是（）A. 10B. 20C. 40D. 808.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个正方形，则这个四边形最可能是（）A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上的中点，已知CD=2，AC=3，则sin B的值是（）A. 23B. 34C. 35D. 4510.下列说法正确的是（）A. 反比例函数y=kx(k≠0)的图象的对称轴只有1条B. 将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到二次函数y=(x+2)2的图象C. 两个正六边形一定相似D. 菱形的对角线互相垂直且相等11.如图，点O是正方形ABCD对角线的交点，以BO为边构造菱形BOEF且F点在AB上，连结AE，则tan∠EAD的值为（）A. 25B. 22C. 2−1D. 2−212.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x=-1，经过点（1，0），且与y轴的交点在点（0，-2）与（0，-3）之间．下列判断中，正确的是（）A. b2<4acB. 2a+b=0C. a−3b+c>0D. 43<b<2二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若ab=35，则a+bb的值是______．14.一个不透明的盒子里装有120个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀任意摸出一个球记下颜包后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4，那么估计盒子中红球的个数为______．15.如图，已知正比例函数y=kx（k≠0）和反比例函数y=mx（m≠0）的图象相交于点A（-2，1）和点B，则不等式kx＜mx的解集是______．16.如图，在△ABC中，AB=AC，tan∠ACB=2，D在△ABC内部，且AD=BD，∠ADB=90°，连接CD，若AB=25，则△BCD的面积为______．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.计算：12-2cos30°-tan60°+（-1）2018．四、解答题（本大题共6小题，共47.0分）18.从两副完全相同的扑克牌中，抽出两张黑桃6和两张黑桃10，现将这两四张扑克牌背面朝上放在桌子上，并洗匀．（1）从中随机抽取一张扑克牌，是黑桃6的概率是多少？（2）请利用画树状或列表的方法，求从中随机抽取的两张扑克牌能成为一对的概率．19.为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知AC=20千米，∠A=30°，∠B=45°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到1千米）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）20.如图，已知反比例函数y=mx（x＞0）的图象与一次函数y=kx+4的图象交于A和B（6，1）两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．21.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，规定试销期间销售单价不低于成本价．据试销发现，月销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数y=-10x+1000．若该商店获得的月销售利润为W元，请回答下列问题：（1）请写出月销售利润W与销售单价x之间的关系式（关系式化为一般式）；（2）在使顾客获得实惠的条件下，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？（3）若获利不得高于70%，那么销售单价定为多少元时，月销售利润达到最大？22.如图1，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，B点坐标是（8，4），将△AOC沿对角线AC翻折得△ADC，AD与BC相交于点E．（1）求证：△CDE≌△ABE；（2）求E点坐标；（3）如图2，若将△ADC沿直线AC平移得△A′D′C′（边A′C′始终在直线AC上），是否存在四边形DD′C′C为菱形的情况？若存在，请直接写出点C′的坐标；若不存在，请说明理由．23.如图1，抛物线y=-x2+kx+c与x轴交于A和B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）点P在x轴上，直线DP将△BCD的面积分成1：2两部分，请求出点P的坐标；（3）如图2，作DM⊥x轴于M点，点Q是BD上方的抛物线上一点，作QN⊥BD 于N点，是否存在Q点使得△DQN∽△DBM？若存在，请直接写出Q坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A．把x=3代入y=得：y==-4，即A项错误，B．把x=-2代入y=得：y==6，即B项正确，C．把x=-2代入y=得：y==6，即C项错误，D．把x=-3代入y=得：y==4，即D项错误，故选：B．依次把各个选项的横坐标代入反比例函数y=的解析式中，得到纵坐标的值，即可得到答案．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握代入法是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：∵x2-3x=0，∴x（x-3）=0，则x=0或x-3=0，解得：x=0或x=3，故选：D．因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：由图可得，几何体的主视图是：故选：A．依据从该几何体的正面看到的图形，即可得到主视图．本题主要考查了三视图，解题时注意：视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．4.【答案】C【解析】解：设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，由题意得：1.4（1+x）2=4.5，故选：C．根据题意可得等量关系：2013年的快递业务量×（1+增长率）2=2015年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．5.【答案】C【解析】解：设旗杆高为hm，由题意得，=，解得h=8，即旗杆的高度为8m．故选：C．设旗杆高为hm，根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地物高与影长成正比是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：△=b2-4ac=（-1）2-4×1×1=-3，∵-3＜0，∴原方程没有实数根．先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．7.【答案】C【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1：2，∴△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，∴=（）2=，∵△ABC的面积是10，∴△A′B′C′的面积是40，故选：C．根据位似变换的性质得到△ABC∽△A′B′C′，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．本题考查的是位似变换，掌握位似变换的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：如图点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，且四边形EFGH是正方形．∵点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，且四边形EFGH是正方形．∴EF=EH，EF⊥EH，∵BD=2EF，AC=2EH，∴AC=BD，AC⊥BD，即四边形ABCD满足对角线相等且垂直，选项D满足题意．利用连接四边形各边中点得到的四边形是正方形，则结合正方形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解．本题考查了利用三角形中位线定理得到新四边形各边与相应线段之间的数量关系和位置．熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵∠C=90°，D是斜边AB上的中点，∴AB=2CD=4，∴sinB==，故选：B．根据直角三角形的性质求出AB，根据正弦的定义计算即可．本题考查的是直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：反比例函数y=（k≠0）的图象的对称轴是y=x和y=-x，有两条，故选项A 错误；将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到二次函数y=x2+2，故选项B 错误；两个正六边形对应角相等，对应边成比例，故选项C正确；菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故选项D错误．故选：C．根据反比例函数，二次函数，多边形相似，菱形等知识对选项进行逐个判断即可得出结论．本题考查了反比例函数，二次函数，多边形相似，菱形等知识，熟练掌握它们的性质是解题的关键．11.【答案】C【解析】解：如图，设OE与AD交于M，AC与EF交于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠OAB=∠DAO=45°，∵四边形BOEF是菱形，∴BO∥FE，OE∥AB，∴OE⊥AD，EF⊥AO，∠EON=∠OAB=45°，∠NFA=∠ABO=45°，∴△EON，△AFN，△OMA是等腰直角三角形，设MO=AM=x，则AO=BO=OE=x，∴EM=（-1）x，∴tan∠EAD==-1，故选：C．如图，设OE与AD交于M，AC与EF交于N，根据正方形的性质得到AC⊥BD，∠OAB=∠DAO=45°，根据菱形的性质得到BO∥FE，OE∥AB，推出△EON，△AFN，△OMA是等腰直角三角形，设MO=AM=x，则AO=BO=OE=x，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．12.【答案】D【解析】解：∵对称轴为直线x=-1，经过点（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（-3，0），∴△=b2-4ac＞0，∴b2＞4ac，故A选项错误；∵-=-1，∴2a=b，∴2a-b=0，故B选项错误；∵抛物线的开口向上，∴a＞0，当x=-3时，9a-3b+c＜0，∴-3b+c＜-9a，∴a-3b+c＜-9a+a=-8a＜0，∴a-3b+c＜0，故C选项错误；∵抛物线与y轴的交点在点（0，-2）与（0，-3）之间，∴-3＜c＜-2，当x=1时，a+b+c=0，∴c=-a-b，∵a=b，∴c=-b，∴-3＜-b＜-2，∴＜b＜2，故D选项正确，故选：D．根据抛物线与x轴有两个交点故得到b2＞4ac，故A选项错误；根据对称轴方程得到2a-b=0，故B选项错误；由抛物线的开口向上，得到a＞0，当x=-3时，9a-3b+c＜0，得到a-3b+c＜0，故C选项错误；由于抛物线与y轴的交点在点（0，-2）与（0，-3）之间，得到-3＜c＜-2，当x=1时，a+b+c=0，求得c=-a-b，得到a= b，解不等式组得到＜b＜2，故D选项正确．本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．13.【答案】85【解析】解：∵=，∴a=b，∴==．故答案为：．根据比例的性质用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．本题考查了比例的性质，根据比例的性质用b表示出a是解题的关键．14.【答案】72【解析】解：设盒子中红球的个数为x，根据题意，得：=0.4，解得：x=72，即盒子中红球的个数为72，故答案为：72．根据利用频率估计概率得摸到黄球的频率稳定在0.4，进而可估计摸到黄球的概率，根据概率公式列方程求解可得．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．15.【答案】-2＜x＜0或x＞2【解析】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）和反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（-2，1），和点B，∴B（2，-1），∴不等式kx＜的解集是-2＜x＜0或x＞2，故答案为：-2＜x＜0或x＞2．根据关于原点对称的点的坐标特征求得B（2，-1），然后根据函数的图象的交点坐标即可得到结论．此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．16.【答案】2【解析】解：过A作AH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，∵AB=AC=2，tan∠ACB==2，∴设AH=2x，CH=x，∴AC==x=2，∴x=2，∴AH=4，CH=BH=2，∴BC=4，过D作DE⊥AH于E，则四边形DEHG是矩形，∴∠EDG=∠DGH=∠DEH=90°，∴∠ADE=∠BDG，在△ADE与△BDG中，，∴△ADE≌△BDG（AAS），∴AE=BG，∵∠ADB=90°，∴BD=AB=，设DG=x，∴BG=AH=4-x，∵BD2=DG2+BG2，∴10=x2+（4-x）2，∴x=1或x=3（不合题意舍去），∴DG=1，∴△BCD的面积=×4×1=2，故答案为：2．过A作AH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，设AH=2x，CH=x，根据勾股定理得到AC==x=2，得到BC=4，过D作DE⊥AH于E，则四边形DEHG是矩形，根据矩形的性质得到∠EDG=∠DGH=∠DEH=90°，根据全等三角形的性质得到AE=BG，求得BD=AB=，设DG=x，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算；证明三角形全等得出AH=BG是解决问题的关键，并利用方程的思想解决问题．17.【答案】解：原式=23−2×32−3+1=1．【解析】先计算每一项的值，再计算即可．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：（1）随机抽取一张扑克牌是黑桃6的概率=24=12；（2）设两张黑桃6分别为：a，b，两张黑桃10分别为m，n，画树状图如下：共有12种情况，成对的有ba，ab，mn，nm，则从中随机抽取的两张扑克牌能成为一对的概率为：412=13．【解析】（1）根据两张黑桃6和两张黑桃10，共4张扑克牌，再根据概率公式即可得出答案；（2）先画树状图得出所有可能出现的结果，再从其中抽取两张扑克牌成为一对的占4种，然后利用概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：先通过树状图法展示一个实验发生的所有等可能的结果，再从中找出某事件发生的结果数，然后根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，求这个事件的概率．19.【答案】解：（1）作CD⊥AB于D点，由题意可知：AC=20，∠A=30°，∠B=45°，∴CD=12AC=10，∵∠B=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD=10，∴BC=2CD=102，∴AC+BC=20+102，即开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走（20+102）千米；（2）由（1）知CD=10，∵CD⊥AB，∠B=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD=BD=10，∵AD=32AC=103，∴AB=103+10≈17.3+10=27.3，∵AC+BC=20+102≈20+14.1=34.1∴34.1-27.3=6.7≈7，答：开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走7千米．【解析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出答案．本题考查了解直角三角形的应用，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．20.【答案】解：（1）将B（6，1）代入y=mx得：m=6，即反比例函数的解析式为：y=6x；将B（6，1）代入y=kx+4得：1=6k+4，解得：k=-12，即一次函数的解析式为y=-12x+4；（2）解y=6xy=−12x+4得：x1=2y1=3，x2=6y2=1，∴A（2，3），作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，则AE=3，BF=1，设直线y=-12x+4与x轴交于C点，由y=-12x+4=0得x=8，即C（8，0），∴S△AOB=S△AOC-S△BOC=12×8×3-12×8×1=8．【解析】（1）先把B点坐标代入y=与一次函数y=kx+4中，求出m，k的值即可；（2）分别过点A、B作AE⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别是E、F点．直线AB交x 轴于C点，S△AOB=S△AOC-S△BOC，由三角形的面积公式可以直接求得结果．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想．21.【答案】解：（1）根据题意得，W=（x-40）（-10x+1000）=-10x2+1000x+400x-40000=-10x2+1400x-40000；（2）当W=-10x2+1400x-40000=8000时，得到x2-140x+4800=0，解得：x1=60，x2=80，∵使顾客获得实惠，∴x=60．答：销售单价应定为60元，（3）W=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000∵获利不得高于70%，即x-40≤40×70%，∴x≤68．∴当x=68时，W最大=8960．答：销售单价定为68元时，月销售利润达到最大．【解析】（1）根据题意根据得到函数解析式；（2）解方程即可得到结论；（3）把函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．22.【答案】解：（1）证明：∵四边形OABC为矩形，∴AB=OC，∠B=∠AOC=90°，∴CD=OC=AB，∠D=∠AOC=∠B，又∠CED=∠ABE，∴△CDE≌△ABE（AAS），∴CE=AE；（2）∵B（8，4），即AB=4，BC=8．∴设CE=AE=n，则BE=8-n，可得（8-n）2+42=n2，解得：n=5，∴E（5，4）；（3）设点C在水平方向上向左移动m个单位，则在垂直方向上向上移动了m2个单位，则点C′坐标为（-m，4+12m），则∵四边形DD′C′C为菱形，∴CC′2=（-m）2+（12m）2=54m2=CD2=64，解得：m=±855，故点C′的坐标为（−855，4+455）或（855，4-455）．【解析】（1）用角角边定理即可证明；（2）设CE=AE=n，则BE=8-n，利用勾股定理即可求解；（3）设点C在水平方向上向左移动m个单位，则在垂直方向上向上移动了个单位，利用CC′=CD，即可求解．本题为一次函数综合题，主要考查图形平移、三角形全等等知识点，难度不大．23.【答案】解：（1）将B（3，0）、C（0，3）代入y=-x2+kx+c得：−9+3b+c=0c=3，解得：b=2c=3，∴抛物线表达式为：y=-x2+2x+3，则点D的坐标为（1，4）；（2）取BC的三等分点E、F，作EG⊥x轴于点G，FH⊥x轴于点H，∵B（3，0）∴由平行线分线段成比例的性质可得：OG=GH=HB=1．由B（3，0）、C（0，3）可得BC的直线表达式为：y=-x+3，∴E（1，2）、F（2，1），∴P1坐标为（1，0），由D（1，4）、F（2，1）得DF的直线表达式为：y=-3x+7，当y=0时，x=73，即点P坐标为（73，0），故点P的坐标为（1，0）或（73，0）；（3）存在，理由：设点Q坐标为（m，n），n=-x2+2x+3，延长QN交DM于点Q′，∵△DQN∽△DBM，∴∠MDB=∠BDQ，而DN⊥QN，∴DQ′=DQ，直线BD表达式中的k值为：-2，故直线QQ′表达式中的k值为12，将点Q的坐标代入一次函数表达式并解得，直线QQ的表达式为：y=12x+（n-12m），则点Q′的坐标为（1，12+n-12m），DQ2=（m-1）2+（n-4）2=（m-1）2（m2-2m+2），DQ′=4-12-n+12m，由DQ′=DQ，解得：m=74，故点Q的坐标为（74，5516）．【解析】（1）将B（3，0）、C（0，3）代入y=-x2+kx+c，即可求解；（2）取BC的三等分点E、F，作EG⊥x轴于点G，FH⊥x轴于点H，由平行线分线段成比例的性质即可求解；（3）由△DQN∽△DBM，得∠MDB=∠BDQ，而DN⊥QN，故：DQ′=DQ，即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
九年级数学(上)期末试卷(含参考答案)
九年级数学（上）期末试卷（含参考答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列函数中，是反比例函数的是（）A．y＝x B．y＝﹣2x+3C．y＝D．y＝2．若二次函数y＝mx2（m≠0）的图象经过点（2，﹣5），则它也经过（）A．（﹣2，﹣5）B．（﹣2，5）C．（2，5）D．（﹣5，2）3．以下列数据（单位：cm）为长度的各组线段中，成比例的是（）A．2、3、4、5B．2、3、4、6C．1、2、3、4D．1、4、9、16 4．如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα＝，则满足条件的∠α是（）A．B．C．D．5．两个相似六边形，若对应边之比为3：2，则这两个六边形的周长比为（）A．9：4B．9：2C．3：1D．3：26．如图，点A在反比例函数y＝（x＜0）图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO、AC，若△ABC的面积为4，则k＝（）A．﹣16B．﹣8C．8D．167．如图，窗子高AB＝m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD＝1米，当太阳光线与水平线成α＝60°角时，光线刚好不能直接射入室内，则m的值是（）A．m＝+0.8B．m＝+0.2C．m＝﹣0.2D．m＝﹣0.8 8．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么S△BEF：S△BCF＝（）A．1：2B．1：3C．1：4D．2：39．已知二次函数y＝mx2+2mx﹣1（m＞0）的最小值为﹣5，则m的值为（）A．﹣4B．﹣2C．2D．410．二次函数y＝ax2+bx+c的图形如图所示，则一次函数y＝ax﹣c与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若反比例函数y＝（m≠0）与正比例函数y＝7x无交点，则m的取值范围是．12．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，则BC的长为．13．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，则方程x2+bx+c＝0的解是．14．如图，将矩形ABCD沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边的E点处，折痕交AB 于点F．（1）若CD＝6，BC＝10，则BE＝；（2）若CD＝15，BE：EC＝1：4，则BF＝．三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）15．计算：3tan45°﹣（+2）0+|2﹣2|﹣．16．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．（1）以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2：1，且点B的对应点B1在第三象限，请在网格内画出△A1B1C1；（2）点A1的坐标为，点C1的坐标为．四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）17．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠A＝60°．（1）求BC的长．（2）求sin B．18．已知一系列具备正整数系数形式规律的“和谐二次函数”：y1＝x2+4x、y2＝2x2+8x、y3＝3x2+12x，…（1）探索发现，所有“和谐二次函数”都有同一条对称轴直线x＝；（2）求二次函数y n的解析式及其顶点坐标；（3）点（﹣2，﹣20）是否是“和谐二次函数”中某一抛物线的顶点，若是，请求出它所在的抛物线解析式；若不是，请说明理由．五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）19．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（1，﹣3）和B（m，﹣1），连接OA、OB．（1）求一次函数的解析式；（2）求△OAB的面积．20．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB＝BC＝18cm，底座厚度为3cm，水平距离AD＝24cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°，当CD⊥AD时，灯臂BC与水平线所成的角为α，求此时cosα的值及顶端C到桌面的高度（结果保留根号）．六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x，M（x1，m）、N（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．（1）求抛物线顶点坐标．（2）若3x2﹣x1＝10，求m的值．（3）若线段MN的长度不小于10，求m的最小值．七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）22．（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠BCD＝∠A，求证：BC2＝BD•AB．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD平分∠ACB，若BC＝1，求AB 的长．八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）23．抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B、C两点，P为抛物线上一个动点（不与B、C重合）．（1）求抛物线解析式及直线l的表达式；（2）如图，当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，设点P的横坐标为n．①求线段PE的长（用含n的代数式表示）；②求点P到直线BC距离的最大值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列函数中，是反比例函数的是（）A．y＝x B．y＝﹣2x+3C．y＝D．y＝【分析】根据反比例函数的定义判断即可．解：A．y＝x是正比例函数，故A不符合题意；B．y＝﹣2x+3是一次函数，故B不符合题意；C．y＝是反比例函数，故C符合题意；D．y＝不是反比例函数，故D不符合题意；故选：C．2．若二次函数y＝mx2（m≠0）的图象经过点（2，﹣5），则它也经过（）A．（﹣2，﹣5）B．（﹣2，5）C．（2，5）D．（﹣5，2）【分析】根据抛物线的对称性求解．解：∵y＝mx2，∴抛物线对称轴为y轴，∵图象经过点（2，﹣5），∴图象经过点（﹣2，﹣5），故选：A．3．以下列数据（单位：cm）为长度的各组线段中，成比例的是（）A．2、3、4、5B．2、3、4、6C．1、2、3、4D．1、4、9、16【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．解：A、1×4≠2×3，故选项不符合题意；B、3×4＝6×2，故选项符合题意；C、1×4≠2×3，故选项不符合题意；D、1×16≠9×4，故选项不符合题意．故选：B．4．如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα＝，则满足条件的∠α是（）A．B．C．D．【分析】根据正切的定义分别求出每个图形中的α的正切值可得答案．解：A．观察图形可得tanα＝，符合题意；B．观察图形可得tanα＝，不符合题意；C．观察图形可得tanα＝，不符合题意；D．观察图形可得tanα＝，不符合题意．故选：A．5．两个相似六边形，若对应边之比为3：2，则这两个六边形的周长比为（）A．9：4B．9：2C．3：1D．3：2【分析】根据相似多边形的周长的比等于相似比求解．解：两个相似六边形的对应边之比为3：2，则这两个相似六边形的周长之比3：2．故选：D．6．如图，点A在反比例函数y＝（x＜0）图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO、AC，若△ABC的面积为4，则k＝（）A．﹣16B．﹣8C．8D．16【分析】由C是OB的中点求△AOB的面积，设A（a，b）根据面积公式求﹣ab，最后求k．解：∵C是OB的中点，△ABC的面积为4，∴△AOB的面积为8，设A（a，b），∵AB⊥x轴于点B，∴﹣ab＝16，∵点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，∴k＝﹣16．故选：A．7．如图，窗子高AB＝m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD＝1米，当太阳光线与水平线成α＝60°角时，光线刚好不能直接射入室内，则m的值是（）A．m＝+0.8B．m＝+0.2C．m＝﹣0.2D．m＝﹣0.8【分析】根据三角函数求出BC的长度，BC﹣AC即可得出m的值．解：∵CD＝1米，∠CDB＝α＝60°，∴BC＝CD•tanα＝1×＝，∴m＝AB＝BC﹣AC＝0.2，故选：C．8．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么S△BEF：S△BCF＝（）A．1：2B．1：3C．1：4D．2：3【分析】由矩形性质可证明△BEF∽△DCF，从而可得，由于△BEF与△BCF等高，故S△BEF：S△BCF＝1：2．解：∵四边形ABCD为矩形，E为AB中点，∴AB∥CD，BE＝，∴△BEF∽△DCF，∴，∵△BEF与△BCF等高，∴S△BEF：S△BCF＝．故选：A．9．已知二次函数y＝mx2+2mx﹣1（m＞0）的最小值为﹣5，则m的值为（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【分析】将抛物线解析式化为顶点式求解．解：∵y＝mx2+2mx﹣1＝m（x+1）2﹣m﹣1，m＞0，∴抛物线开口向上，函数最小值为﹣m﹣1，∴﹣m﹣1＝﹣5，解得m＝4．故选：D．10．二次函数y＝ax2+bx+c的图形如图所示，则一次函数y＝ax﹣c与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线图形，可得a＞0，c＜0，再由x＝1时，y＝a+b+c＜0，即可判断出答案．解：由抛物线图形，可得a＞0，c＜0，根据一次函数y＝ax﹣c的图形，可排除B、D；当x＝1时，y＝a+b+c＜0，根据反比例函数图象，可排除A．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若反比例函数y＝（m≠0）与正比例函数y＝7x无交点，则m的取值范围是m＜0．【分析】根据反比例函数和一次函数的性质即可求得．解：∵正比例函数y＝7x的图象过第一、三象限，∵反比例函数y＝（m≠0）与正比例函数y＝7x无交点，∴反比例函数y＝（m≠0）的图象过第二、四象限，∴m＜0．故答案为m＜0．12．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，则BC的长为9．【分析】根据正弦的定义得到sin A＝＝，然后把AB＝15代入计算即可．解：在△ABC中，∠C＝90°，∴sin A＝＝，∴BC＝AB＝×15＝9．故答案为：9．13．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，则方程x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．【分析】根据函数图象，可以得到抛物线的y＝x2+bx+c的对称轴与x轴的一个交点，从而可以写出另一个交点，然后即可得到当y＝0时对应的x的值，即方程x2+bx+c＝0的解．解：由图象可得，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∴该抛物线于x轴的另一个交点坐标为（3，0），∴当y＝0时，0＝x2+bx+c对应的x的值是x1＝﹣1，x2＝3，故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．14．如图，将矩形ABCD沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边的E点处，折痕交AB 于点F．（1）若CD＝6，BC＝10，则BE＝2；（2）若CD＝15，BE：EC＝1：4，则BF＝．【分析】（1）根据矩形的性质，利用勾股定理求得CE的长，再根据BE＝BC﹣CE，即可得出BE的长；（2）先根据Rt△CDE中，CD2+CE2＝DE2，求得BE的长，再根据Rt△BEF中，BE2+BF2＝FE2，即可得到BF的长．解：（1）由题可得，DE＝AD＝BC＝6，∠C＝90°，Rt△CDE中，CE＝＝＝8，∴BE＝BC﹣CE＝10﹣8＝2，故答案为：2；（2）设BE＝x，则CE＝4x，DE＝AD＝5x，Rt△CDE中，CD2+CE2＝DE2，即152+（4x）2＝（5x）2，解得x1＝5或x2＝﹣5（不合题意），∴BE＝5，设BF＝y，则AF＝EF＝15﹣y，Rt△BEF中，BE2+BF2＝FE2，即52+y2＝（15﹣y）2，解得y＝，∴BF＝．故答案为：．三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）15．计算：3tan45°﹣（+2）0+|2﹣2|﹣．【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值，二次根式的化简进行运算即可得出答案．解：原式＝3﹣1+2﹣2﹣4＝﹣2．16．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．（1）以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2：1，且点B的对应点B1在第三象限，请在网格内画出△A1B1C1；（2）点A1的坐标为（﹣4，2），点C1的坐标为（2，﹣4）．【分析】（1）把A、B、C横坐标与纵坐标乘以﹣2，即可得到A1、B1、C1的坐标（或A'1、B'1、C'1的坐标），然后描点连线即可．（2）根据图形写出点A1的坐标和点C1的坐标即可．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）点A1的坐标为（﹣4，2），点C1的坐标为（2，﹣4），故答案为：（﹣4，2），（2，﹣4）．四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）17．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠A＝60°．（1）求BC的长．（2）求sin B．【分析】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D．可利用∠A的三角函数值求出AD、CD，在Rt△BCD中利用勾股定理求出BC；（2）Rt△BCD中利用边角间关系可得结论．解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D．在Rt△ACD中，∵∠A＝60°，AC＝8，∴∠ACD＝30°．∴AD＝AC＝4．∴CD＝＝4，BD＝AB﹣AD＝1．在Rt△BCD中，BC＝＝＝7．（2）在Rt△BCD中，由（1）知：CD＝4，BC＝7，∴sin B＝＝．18．已知一系列具备正整数系数形式规律的“和谐二次函数”：y1＝x2+4x、y2＝2x2+8x、y3＝3x2+12x，…（1）探索发现，所有“和谐二次函数”都有同一条对称轴直线x＝﹣2；（2）求二次函数y n的解析式及其顶点坐标；（3）点（﹣2，﹣20）是否是“和谐二次函数”中某一抛物线的顶点，若是，请求出它所在的抛物线解析式；若不是，请说明理由．【分析】（1）由抛物线对称轴为直线x＝﹣求解．（2）根据y1＝x2+4x、y2＝2x2+8x、y3＝3x2+12x可得y n＝nx2+4nx，进而求解．（3）将（﹣2，﹣20）代入y n＝nx2+4nx求n的值，进而求解．解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝﹣，∴抛物线y1＝x2+4x、y2＝2x2+8x、y3＝3x2+12x的对称轴为直线x＝﹣2，故答案为：﹣2．（2）∵y1＝x2+4x＝x2+1×4x，y2＝2x2+8x＝2x2+2×4x，y3＝3x2+12x＝3x2+3×4x，..．∴y n＝nx2+4nx．把x＝﹣2代入y n＝nx2+4nx得y n＝﹣4n，∴二次函数y n的解析式为y n＝nx2+4nx，顶点坐标为（﹣2，﹣4n）．（3）把x＝﹣2代入y n＝nx2+4nx得y n＝﹣4n，当﹣4n＝﹣20时，n＝5，满足题意，∴点（﹣2，﹣20）是“和谐二次函数”y5＝5x2+20x的顶点．五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）19．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（1，﹣3）和B（m，﹣1），连接OA、OB．（1）求一次函数的解析式；（2）求△OAB的面积．【分析】（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；（2）△AOB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积．解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A（1，﹣3），∴﹣3＝．∴k＝﹣3，∴反比例函数的表达式为y＝﹣．∵B（m，﹣1）在y＝﹣上，∴m＝3．∴B点坐标为（3，﹣1）；把A，B两点的坐标代入y＝ax+b，得，解得：，∴一次函数的表达式为：y＝x﹣4；（2）当x＝0时，y＝﹣4．∴D点坐标为（0，﹣4）．∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD＝﹣＝4．20．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB＝BC＝18cm，底座厚度为3cm，水平距离AD＝24cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°，当CD⊥AD时，灯臂BC与水平线所成的角为α，求此时cosα的值及顶端C到桌面的高度（结果保留根号）．【分析】过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，根据矩形的性质得到BG＝FD，解直角三角形即可得到结论．解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，∵CE⊥AD，BF⊥CD，BG⊥AD，∴四边形BFDG矩形，∴BG＝FD，在Rt△ABG中，∠BAG＝60°，AB＝18cm，∴BG＝AB•sin60°＝18×＝6（cm），AG＝AB＝9（cm），∵AD＝24cm，∴BF＝DG＝AD﹣AG＝15（cm），在Rt△BCF中，cosα＝＝＝，CF＝＝＝3（cm），∴CE＝CF+DF+DE＝（3+6+3）cm，∴答：此时cosα的值为，灯罩顶端C到桌面的高度CE是（3+6+3）cm．六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x，M（x1，m）、N（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．（1）求抛物线顶点坐标．（2）若3x2﹣x1＝10，求m的值．（3）若线段MN的长度不小于10，求m的最小值．【分析】（1）把解析式转化为顶点式即可得到顶点坐标．（2）根据抛物线的性质可得，x2+x1＝2，再联立可求出x2和x1，再代入抛物线即可求出m的值．（2）根据题意可知|x2﹣x1|≥10，结合抛物线的性质可得x2+x1＝2，代入求出x1的取值范围，再结合抛物线增减性可得结论．解：（1）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣1）；（2）∵M（x1，m）、N（x2，m）（x1＜x2），∴M，N的纵坐标相等，∴x2+x1＝2，联立，解得，x1＝﹣1，x2＝3，∴m＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）＝1+2＝3；∴m的值为3；（3）根据题意可知，x2﹣x1≥10，∵x2+x1＝2，∴x1＝2﹣x2，∴x2﹣（2﹣x2）≥10，整理得，x2≥6，∵x≥1时，y随x的增大而增大，∴m≥62﹣2×6＝36﹣12＝24．故m的最小值为24．七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）22．（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠BCD＝∠A，求证：BC2＝BD•AB．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD平分∠ACB，若BC＝1，求AB 的长．【分析】（1）证明△BDC∽△BAC．由相似三角形的性质可得出．则可得出结论；（2）证明△ABC∽△CBD，由相似三角形的性质可得出，设BD＝x，则AB＝x+1，得出，解方程可得出答案．【解答】（1）证明：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，∴△BDC∽△BAC．∴．∴BC2＝BD•AB．（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝36°＝∠A，∴∠BDC＝72°，∴∠BDC＝∠B，∴BC＝CD，∴AD＝CD＝BC＝1，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴，设BD＝x，则AB＝x+1，∴，即x2+x﹣1＝0，解得x＝（负值舍去），∴x＝，∴AB＝x+1＝+1＝．八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）23．抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B、C两点，P为抛物线上一个动点（不与B、C重合）．（1）求抛物线解析式及直线l的表达式；（2）如图，当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，设点P的横坐标为n．①求线段PE的长（用含n的代数式表示）；②求点P到直线BC距离的最大值．【分析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线的解析式，即可求出a，b的值；令x＝0可得出点C的坐标，进而可求出直线l的表达式；（2）①根据抛物线的解析式可表达点P的坐标，又PE∥x轴及（1）中l的解析式，由此可得点E的坐标，进而可得PE的长；②过点P作PF⊥BC于F，由此△PEF∽△CBO，则PF＝PE，根据二次函数的性质可求出PE的最大值．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣，0），B（3，0），∴抛物线的解析式可表达为：y＝a（x+）（x﹣3）＝ax2﹣2ax+9a，∴﹣9a＝3，解得a＝﹣，∴b＝﹣2a＝，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3．令x＝0，则y＝3，∴C（0，3）．设直线l的解析式为：y＝kx+c，∴，解得，∴直线l的解析式为：y＝﹣x+3．（2）①∵点P在抛物线y＝﹣x2+x+3上，∴P（n，﹣n2+n+3），∵PE∥x轴，∴点E和点P的纵坐标相同，又∵点E在直线l上，∴﹣n2+n+3＝﹣x+3，解得x＝n2﹣2n，∴E（n2﹣2n，﹣n2+n+3），∴PE＝n﹣（n2﹣2n）＝﹣n2+3n．②如图，过点P作PF⊥BC于F，∴∠PFE＝∠COB＝90°，∵PE∥x轴，∴∠PEF＝∠CBO，∴△PEF∽△CBO，∴PE：PF＝BC：OC，∵OC＝3，OB＝3，∴BC＝6，∴PE：PF＝BC：OC＝2：1，∴PF＝PE＝（﹣n2+3n）＝﹣（n﹣）2+．∵﹣＜0，∴当n＝时，PF的最大值为，即点P到BC的最大值为．。
广东省深圳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
广东省深圳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A．B．C．
D．
100
5
BF
二、填空题
三、解答题
那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x 元．
(1)平均每天的销售量为 本（用含x 的代数式表示）；
(2)商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？
20．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点O 作EF AC ⊥，交BC 于点E ，交AD 于点F ．
(1)在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件： ，使得OE OF =，并说明理由；
(2)若,6,8OE OF AB BC ===，求EF 的长．
21．【项目式学习】
项目主题：守护生命，“数”说安全．
项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．
任务一：考察测量
（1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为4m ，则AB =m ； 任务二：模拟探究
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．
（2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当2CD AB <时（如图1），线段CD 能通过直角弯道；。
广东省深圳市龙岗区东升学校2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷(解析版)
2022-2023学年第一学期期末质量监测试题九年级数学（时间：90分钟 满分：100分 制卷人：八年级数学组）一.选择题:（共10小题，每小题3分，计30分）1. 如图所示的几何体的主视图是( )A.B. C. D.【答案】B【解析】【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】从几何体的正面看可得图形:．故选B ．【点睛】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线. 2. 下列命题中，是真命题的是（ ）A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两条对角线相等的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形D. 两条对角线互相垂直且相等四边形是正方形【答案】A【解析】【分析】根据特殊四边形的判定方法进行判断．【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项A 符合题意；对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B 不符合题意；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C 不符合题意；的对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D 不符合题意．故选：A ．3. 在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ）A. y ＝（x ﹣1）2+2B. y ＝（x ﹣1）2﹣2C. y ＝（x +1）2﹣2D. y ＝（x +1）2+2【答案】A【解析】【分析】根据图象的平移规律，可得答案．【详解】解：将抛物线2y x =向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是()212y x =−+．故选：A ．【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．4. 如图，ABC 和111A B C △是以点O 为位似中心的位似三角形，若1C 为OC 的中点，1113A B C S =△，则ABC 的面积为（ ）A. 15B. 12C. 9D. 6【答案】B【解析】 【分析】根据1C 为OC 的中点，则位似比为112OC OC =，再根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方便可求解． 【详解】∵ABC 和111A B C △是以点O 为位似中心的位似三角形，1C 为OC 的中点，111A B C △面积是3， ∴112OC OC =， ∴11114A B C ABC S S =△△，∴314ABC S = ， 解得：12ABC S =△．故选B ．【点睛】本题考查位似比等于相似比，同时面积比是相似比的平方，掌握知识点是关键．5. 已知2x ＝3y ，那么下列结论中不正确的是（ ）A 32x y = B. 12x y y −= C. 1413x y +=+ D. 52x y y += 【答案】C【解析】【分析】根据内项之积等于外项之积对A 进行判断；根据分比性质对B 进行判断；根据合分比性质对C 进行判断；根据合比性质对D 进行判断．【详解】解：A ．因为2x ＝3y ，所以32x y =，所以A 选项不符合题意； B ．因为2x ＝3y ，则32x y =，所以32122x y y−−==，所以B 选项不符合题意； C ．因为2x ＝3y ，则32x y =，所以1413x y +≠+，所以B 选项符合题意； D ．因为2x ＝3y ，所以32x y =，则32522x y y ++==，所以D 选项不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例性质是解题的关键．6. 若反比例函数y ＝2k x −的图象分布在第二、四象限，则k 的取值范围是（ ） A. k ＜﹣2B. k ＜2C. k ＞﹣2D. k ＞2 【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的图象和性质，由2﹣k ＜0即可解得答案．【详解】解：∵反比例函数y ＝2k x−的图象分布在第二、四象限， .∴2﹣k ＜0，解得k ＞2，故选择：D ．【点睛】本题考查反比例函数的性质．掌握“反比例函数k y x=，当0k >时，图象经过第一、三象限；当0k <时，图象经过第二、四象限” ．7. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20 m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是1.5 m ，两个路灯的高度都是9 m ，则两路灯之间的距离是( )A. 24 mB. 25 mC. 28 mD. 30 m【答案】D【解析】 详解】由题意可得：EP ∥BD ，所以△AEP ∽△ADB ， 所以AP EP AP PQ BQ BD=++， 因为EP =1.5，BD =9， 所以1.59220AP AP =+， 解得：AP =5，因为AP=BQ ，PQ =20，所以AB=AP+BQ+PQ =5+5+20=30，故选：D ．点睛：本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用，应用相似三角形可以间接地计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度，解题时关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．8. 某农产品市场经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月【能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每千克x元，月销售利润可以表示为（）A. （x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]元B. （x﹣40）（10x﹣500）元C. （x﹣40）（500﹣10x）元D. （x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]元【答案】D【解析】【分析】由题意直接利用每千克利润×销量=总利润，进而即可得出代数式．【详解】解：设销售单价为每千克x元，则月销售利润=（x-40）[500-10（x-50）]．故选：D．【点睛】本题主要考查根据实际问题抽象出二次函数，理解题意并正确表示出销量是解题的关键．9. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OBP是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（）A. （0，0）B. （1，12） C. （65，35） D. （107，57）【答案】D【解析】【详解】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=A、C关于直线OB对称，∴PC+PD=P A+PD=DA，∴此时PC+PD最短．在RT △AOG 中，AG∴AC =∵OA •BK =12•AC •OB ， ∴BK =4，AK =3， ∴点B 坐标（8，4），∴直线OB 解析式为12y x =，直线AD 解析式为115y x =−+， 由12115y x y x = =−+ ，解得：10757x y = =， ∴点P 坐标（107，57）． 故选D ．10. 如图，在正方形ABCD 中，BPC △是等边三角形，、BP CP 的延长线分别交AD 于点E F 、，连结,BD DP BD 、与CF 相交于点H ．给出下列结论，①△ABE ≌△DCF；②△DPH 是等腰三角形；③PF AB =；④ABCDPBD S S ∆=四边形， 其中正确结论的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】 【分析】①利用等边三角形的性质以及正方形的性质得出∠ABE=∠DCF=30°，再直接利用全等三角形的判定方法得出答案；②利用等边三角形的性质结合正方形的性质得出∠DHP=∠BHC=75°，进而得出答案；③利用相似三角形的判定与性质结合锐角三角函数关系得出答案；④根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD 的面积=△BCP 的面积+△CDP 面积-△BCD 的面积，得出答案．【详解】∵△BPC 是等边三角形，∴BP=PC=BC ，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD 中，∵AB=BC=CD ，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°，在△ABE 与△CDF 中，A ADC ABE DC AB CD ∠=∠ ∠=∠ =， ∴△ABE ≌△DCF ，故①正确；∵PC=BC=DC ，∠PCD=30°，∴∠CPD=75°，∵∠DBC=45°，∠BCF=60°，∴∠DHP=∠BHC=1804560°−°−°=75°，∴PD=DH ，∴△DPH 是等腰三角形，故②正确；设PF=x ，PC=y ，则DC=AB=PC=y ，∵∠FCD=30°， ∴cos30CD y CF x y °==+，即)y x y +，整理得：1y x −解得：x y =，则PF AB =，故③正确； 如图，过P 作PM ⊥CD ，PN ⊥BC ，设正方形ABCD 的边长是4，∵△BPC 为正三角形，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，∴∠PCD=30°，∴604PN PB sin =⋅°== 130422PM PC sin =⋅°=×=， S △BPD =S 四边形PBCD -S △BCD =S △PBC +S △PDC -S △BCD111222BC PN CD PM BC CD =⋅+⋅−⋅11144244222=××+××−××48=+−4，∴ABCD PBD S S ∆=四边形，故④正确； 故正确的有4个，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定等知识，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义表示出出FE 及PC 的长是解题关键．二.填空题：（共5小题，每小题3分，计15分）11. 若关于x 的一元二次方程260x mx −−=的一个根是3x =，则m 的值为______【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义：使等式成立的x 的值，是方程的解，将3x =代入方程进行计算即可．【详解】解：把3x =代入260x mx −−=可得9360m −−=， 解得1m =，故答案为：1．【点睛】本题考查根据一元二次方程的根求参数的问题．熟练掌握一元二次方程的解的定义，是解题的关键．12. 如图，在ABC 中，36ABC S =△，点D 在.BC 上，6,9AC BD ==，且2AC BC CD =⋅，点E 为BD的中点，则AED S 的值为_____．【答案】272【解析】 【分析】利用2AC BC CD =⋅可求出3CD =，再计算出92DE =，然后根据三角形面积公式得到::AED ABC S S DE BC = ，从而可求出AED S ．【详解】解：∵2,6,9AC BC CD AC BD =⋅==∴26(9)CD CD =+×，整理得29360CD CD +−=，解得12CD =−（舍去）或3CD =，∴3912BC CD BD =+=+=，∵点E 为BD 的中点， ∴1922DE BD ==， ∴::AED ABC S S DE BC = ， 即9:36:122AED S ∆=， ∴272AED S ∆=． 故答案为：AED S ．【点睛】本题考查了一元二次方程解法，等高三角形面积的比等于底边的比等知识，灵活运用线段之间的关系是解决问题的关键．13. 如图，坡面CD的坡比为1:，坡顶的平地BC 上有一棵小树AB ，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC =3米，斜坡上的树影CDAB 的高是_____________．【答案】【解析】【分析】此题是把实际问题转化为解直角三角形问题，首先根据题意作图（如图），得Rt △AFD ，Rt △CED ，然后由Rt △CED ，和坡面CD的坡比为1:，求出CE 和ED ，再由Rt △AFD 和三角函数求出AF ．进而求出AB ．【详解】解：由已知得Rt △AFD ，Rt △CED ，如图，且得：∠ADF =60°，FE =BC ，BF =CE ，在Rt △CED 中，设CE =x ，由坡面CD的坡比为，得：DE，则根据勾股定理得：x 2+2)=2，得x不合题意舍去， 所以，CEED =32米， 那么，FD =FE +ED =BC +ED =3+32=92米， 在Rt △AFD 中，由三角函数得：AF FD =tan ∠ADF ，的∴AF =FD •tan60°=92∴AB =AF ﹣BF =AF ﹣CE故答案为【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确添加辅助线是解题关键．14. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A 、B 、C 、D 都在格点处，AB 与CD 相交于点P ，则cos APC ∠的值为_____．【解析】【分析】连接DE ，根据题意可得：AB DE ∥，从而利用平行线性质可得APC EDC ∠=∠，然后利用勾股定理的逆定理证明DCE △是直角三角形，从而可得90DCE ∠=°，再利用锐角三角函数的定义进行计算可得cos CDE ∠的值，即可解答．【详解】解：如图：连接DE ，的由题意得：AB DE ∥，∴APC EDC ∠=∠，在DCE △中，2222420CD =+=，222125CE =+=，2223425DE =+=，∴222CD CE DE +=，∴DCE △是直角三角形，∴90DCE ∠=°，∴cos CD CDE DE ∠=，∴cos cos APC CDE ∠=∠，． 【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．15. 如图，已知直线l ：4y x =−+分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，双曲线()0,0k y k x x=>>与直线l 不相交，E 为双曲线上一动点，过点E 作EG x ⊥轴于点G ，EF y ⊥轴于点F ，分别与直线l 交于点C ，D ，且45COD ∠=°，则k =_____【答案】8【解析】【分析】求出点A 、B 的坐标分别为()40，、()04，，可得45OAB COD ∠=°=∠，证明ODA CDO ∽，根据相似三角形的性质可得2OD CD AD =⋅，然后设点(),E m n ，表示出点(),4C m m −和点()4,D n n −，再分别求出2OD 、CD 和AD ，代入2OD CD AD =⋅求出mn 即可．【详解】解：在一次函数4y x =−+中，当0x =时，4y =；当0y =时，4x =， ∴点A 、B 的坐标分别为()40，、()04，， ∴OA OB =，∴45OAB COD ∠=°=∠，∵ODA CDO ∠=∠，∴ODA CDO ∽， ∴OD AD CD OD=， ∴2OD CD AD =⋅，设点(),E m n ，则OG m =，EG n =，∴4AG m =−，∵45OAB ∠=°，90CGA ∠=°， ∴ACG 是等腰直角三角形，∴4CG AG m ==−，45ACG ∠=°，∴点(),4C m m −，()44CE n m m n =−−=+−，∵90EFO FOG OGE ∠=∠=∠=°，∴四边形OGEF 是矩形，∴90FEG ∠−°，FE OG m ==，∵45DCE ACG ∠=∠=°，∴DEC 是等腰直角三角形，∴4DE CE m n ==+−，∴44DF DE FE m n m n =−=+−−=−，∴点()4,D n n −，∴()22222241682816OD n n n n n n n =−+=+−+=−+，)4CD m n =+−，AD =，∴)228164n n m n −+=+−，∴8mn =，∴8k mn ==，故答案为：8． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，坐标与图形性质，勾股定理的应用等知识点，关键是通过设定点E 的坐标，确定相关线段的长度，进而求解．三.解答题（共7小题，计55分）16. 计算或解下列方程：（1）25410x x −−=（2）()2439x x x −=−（3）计算：112tan 454sin 602− −°+°−. 【答案】（1）11x =，215x =−（2）13x =，21x =（3）−【解析】【分析】（1）用公式法求解即可；（2）移项后用因式分解法求解即可；（3）代入特殊角三角函数值，根据负整数指数幂和二次根式的性质计算即可．【小问1详解】解：∵5a =，4b =−，1c =−，∴()()2244451360b ac ∆=−=−−××−=>，∴4610x ±， ∴146110x +==，2461105x −==−； 【小问2详解】解：()()24390x x x −−−=， ()()()43330x x x x −−+−=，()()3430x x x −−−=，即()()3330x x −−=， ∴30x −=或330x −=， ∴13x =，21x =．【小问3详解】解：原式2214=−×+ 22=−+=−【点睛】本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，特殊角三角函数值的运算，熟练掌握解一元二次方程的方法，牢记特殊角三角函数值是解题的关键．17. 为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t （单位：时）划分为A ：2t <，B ：23t ≤<，C ：34t ≤<，D ：4t ≥四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：（1）这次抽样调查共抽取_____________人，条形统计图中的m=_____________；（2）在扇形统计图中，求B组所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；（3）已知该校有1300名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有多少人？（4）学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）100；42（2）72°；条形统计图见解析（3）910；（4）2 3【解析】【分析】（1）用D组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用调查的总人数乘以C组人数所占的百分比得到m的值；（2）用360°乘以B组人数所占的百分比得到B组所在扇形圆心角的度数，再计算出B组人数，然后补全条形统计图；（3）用1300乘以样本中C组和D组的人数所占百分比的和即可；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算．【小问1详解】解：这次抽样调查的总人数为2828%100÷=（人），所以10042%42m=×=；故答案为：100；42；【小问2详解】解：B组所在扇形圆心角的度数为36020%72°×=°；B组人数为10020%20×=（人），条形统计图补充完整为：【小问3详解】解：1300(28%42%)910×+=（人），所以估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有910人；【小问4详解】解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率82 123==．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．18. 深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度．）【答案】24米【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，根据正切的定义求出AE，根据题意求出BE，根据等腰直角三角形的性质求出DF，结合图形计算，得到答案．【详解】解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，过点C 作CF ⊥DE 于F ，由题意得AB=57米，DE=30米，∠DAB=30°，∠DCF=45°，在Rt △ADE 中，tan ∠DAE=DE AE， ∴AE=tan DE DAE =∠≈51（米）， ∵AB=57米，∴BE=AB-AE=6（米），∵CB ⊥BE ，FE ⊥BE ，CF ⊥EF ，∴四边形BCFE 为矩形，∴CF=BE=6（米），在Rt △DFC 中，∠CDF=45°，∴DF=CF=6（米），∴BC=EF=DE-DF=30-6=24（米）．答：教学楼BC 的高度约为24米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．19. 如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FG CD 交BE 于点G ，连接CG ．（1）求证：四边形CEFG 是菱形；（2）若6,10AB AD ==，求四边形CEFG 的面积．【答案】（1）详见解析；（2）203【解析】【分析】（1）根据题意可得BCE BFE ≌，因此可得FG EC =，又FG CE ，则可得四边形CEFG 是平行四边形，再根据,CE FE =可得四边形CEFG 是菱形.（2）设EF x =，则,6CE x DE x ==−，再根据勾股定理可得x 的值，进而计算出四边形CEFG 的面积.【详解】（1）证明：由题意可得，BCE BFE ∴ ≌，∴,BEC BEF FE CE ∠=∠=， ∵FG CE ，∴FGE CEB ∠=∠，∴FGE FEG ∠=∠，∴FG FE =，∴FG EC =，∴四边形CEFG 是平行四边形，又∵,CE FE =∴四边形CEFG 是菱形；（2）∵矩形ABCD 中，6,10,AB AD BC BF === ， ∴90,10BAF AD BC BF ∠=°===， ∴8AF =，∴2DF =，设EF x =，则,6CE x DE x ==−，∵90FDE ∠=°，∴()22226x x +−=， 解得，103x = ， ∴103CE =， ∴四边形CEFG 的面积是：1020233CE DF ⋅×．【点睛】本题主要考查菱形的判定，关键在于首先证明其是平行四边形，再证明两条临边相等即可. 20. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为14米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．(1)设花圃的宽AB 长为x 米，请你用含x 的代数式表示BC 的长为___米；(2)若此时花圃的面积刚好为452m ，求此时AB 的长度．【答案】（1）24-3x ；（2）AB=5m【解析】【分析】（1）用绳子的总长减去三个AB 的长，然后加上两个门的长即可表示出BC ；（2）由（1）得花圃长BC=（24-3x ），宽为x ，然后再根据面积为45，列一元二次方程方程解答即可．【详解】解：设花圃的宽AB 长为x 米，则长BC=22-3x+2=（24-3x ）米故答案为24-3x ；（2）由题意可得：（24-3x ）x=45，解得：x 1=3、x 2=5；∵当AB=3时，BC=24-3×3=15> 14，不符合题意，故舍去；当AB=5时，BC=9符合题意∴AB=5m ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用x 表示出BC 是解答本题的关键． 21. 定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，回答下列问题．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝1，CD ，∠BCD ＝∠DBC ，判断四边形ABCD 是不是“等邻边四边形”，并说明理由；（2）如图2，Rt ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，现将Rt △ABC 沿∠ABC 的平分线BB ′方向平移得到A B C ′′′ ，连结AA ′，BC ′，若平移后的四边形ABC A ′′是“等邻边四边形”，求'BB 的长．【答案】（1）是“等邻边四边形”，理由见详解；（2 或2 ． 【解析】【分析】（1）根据∠BCD ＝∠DBC ，可得CD =BD ，由勾股定理可得AD =1，即可求证；（2）延长C B ′′ 交AB 于点D ，根据平移的性质和BB ′平分∠ABC ，，可得B D BD ′= ，从而BB ′=，然后分四种情况进行讨论——若2BC AB ′== 时；若2AA AB ′== 时；若AA A C ′′′=时；若BC A C ′′′== 时，即可求解．【详解】解：（1）是“等邻边四边形”，理由如下：∵∠BCD ＝∠DBC ，CD ，∴CD =BD ，∵∠A ＝90°，AB ＝1，在Rt ABD 中，由勾股定理得：1AD = ，∴AD =AB ，∴四边形ABCD 是 “等邻边四边形”；（2）如图2，延长C B ′′ 交AB 于点D ，∵将Rt △ABC 沿∠ABC 的平分线BB ′方向平移得到A B C ′′′ ，BC ＝1，∠ABC ＝90°，∴//A B AB ′′ ，90A B C ABC ′′′∠=∠=° ，1C B BC ′′== ，AA BB ′′= ，A C AC ′′= ， ∴B D AB ′⊥ ，∵BB ′平分∠ABC ，∴45B BD ′∠=° ，∴904545BB D ′∠=°−°=° ，∴BB D B BD ′′∠=∠ ， ∴B D BD ′= ，∴BB ′== ，设B D BD x ′==，∴1C D x ′=+ ，若2BC AB ′== 时，在Rt BDC ′ 中，由勾股定理得：()22212x x ++= ，解得：1x = ，2x =，∴BD =∴BB ′= ； 若2AA AB ′== 时，2BB AA ′′==； 若AA A C ′′′=时，在Rt ABC 中，由勾股定理得：AC =；∴AA A C AC ′′′===∴BB ′=；若BC A C ′′′== 时，在Rt BDC ′ 中，由勾股定理得：222BD C D BC ′′+= ，即()2221x x ++， 解得：11x = 或22x =− （舍去），∴BB ′= ；综上所述，若平移后的四边形ABC A ′′是“等邻边四边形”， 'BB 或2 或 ．【点睛】本题主要考查了平移的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，理解“等邻边四边形”的定义是解题的关键．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知反比例函数1(0)k y k x=>的图像与正比例函数2(0)y mx m =>的图像交于点A 、点C ，与正比例函数3(0)y nx n =>的图像交于点B 、点D ，设点A 、D 的横坐标分别为s ，t (0s t <<)．（1）如图1，若点A 坐标为(2，4)．①求m ，k 的值；②若点D 的横坐标为4，连接AD ，求△AOD 的面积．（2）如图2，依次连接AB ，BC ，CD ，DA ，若四边形ABCD 为矩形，求mn 的值．（3）如图3，过点A 作AE x ⊥轴交CD 于点E ，以AE 为一边向右侧作矩形AEFG ，若点D 在边GF 上，试判断点D 是否为线段GF 的中点？并说明理由．【答案】（1）①2m =，8k =；②6（2）1 （3）D 为线段GF 的中点，理由见解析【解析】【分析】(1)①把A (2,4)分别代入入y 1=k x(k ＞0)和y 2=mx ，即可求得答案； ②如图1，延长DA 交y 轴于点K ，利用待定系数法求得直线AD 的解析式为y =-x +6，得出K (0,6)，再由S △AOD =S △DOK -S △AOK ，即可求得答案； (2)由题意得：A (s ,ms )，D (t ，nt )，k =ms 2=nt 2①，再根据矩形性质可得OA =OD ，即s 2+m 2s 2=t 2+n 2t 2②，①②联立即可求得答案；(3)由题意得：A (s ,k s )，D (t ,k t )，C (-s ,-k s )，运用待定系数法可得直线CD 的解析式为y =k st x +k t -k s ，得出E (s ,2k t -k s )，再由矩形性质可得：FG ∥AE ∥y 轴，EF ∥AG ∥x 轴，进而得出F (t ,2k t -k s )，G (t ,k s )，即可得出结论．【小问1详解】解：①∵点A (2，4)在1k y x=上， ∴42k =，8k =； ∵点A (2,4)在2y mx =上，∴42m =，2m =②∵点D 的横坐标为4，∴当4x =时，824y==， ∴D (4,2) 分别过点A 、D 作x 轴的垂线交x 轴于点H 、K ，∵OHA OADK AHKD S S S ∆=+四边形梯形，ODA ODK OADKS S S ∆∆∆=+四边形，OHA ODK S S ∆∆= ∴()()()()112442622ODA AHKD S S DK AH OK OH ∆==+−=+−=梯形； 【小问2详解】解：∵直线AC ，BD 经过原点且与反比例函数1k y x =分别交于点A ，C ，B ，D ，反比例函数1k y x=的图像关于原点中心对称， ∴点A ，C 关于原点对称，点B 、D 关于原点对称，∴OA OC =，OB OD =，∴四边形ABCD 为平行四边形．当OA OD =时，四边形ABCD 是矩形．∵点A ，D 的横坐标分别为s ，t (0s t <<)，∴点A 的坐标为(s ,k s )，点D 的坐标为(t ,k t)， ∴22OA OD =， ∴222222k k s t s t +=+， ∴2222220k k s t s t +−−=， ∴2222220k k s t s t −+−= ∴()22222220k s t s t s t −−−=，∴()2222222k s t s t s t −−= ∴222s t k =又∵A (s ,k s)在2y mx =上， ∴k ms s =， ∴2k m s = D (t ，k t 在3y nx =上， ∴k nt t =，2k n t = ∴222221k k k mn s t s t=⋅==． 【小问3详解】解：由(2)知，,k A s s，,k D t t，则,k C s s −− 设CD 的表达式为y ax b =+ k at b t k as b s =+ −=−+ ，解得()k a ts k s t b ts = − =，∴CD的表达式为()k s tkxyts ts−=+，∵AE x⊥轴交CD于点E，∴当x s=时，()()2k s t k s t ksyts ts ts−−=+=∴E(s，() 2k s tst−)，∵四边形AEFG是矩形∴(2),,,k k s t G t F ts st−∴()k t sk kGDs t ts−=−=，()()()22k s t k s t k t sk ksDFt ts ts ts ts−−−=−=−=∴GD DF=∴D为线段GF的中点．【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图像和性质，待定系数法，三角形面积，矩形的判定和性质，线段的中点坐标，反比例函数与正比例函数图像交点问题等，掌握反比例函数的图像及其性质是解题的关键.。
广东省深圳市龙岗区2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷(解析版)
2022-2023学年第一学期期末质量监测试题九年级数学注意事项：1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6、本学科试卷共22题，考试时量90分钟，满分100分．一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）1. 下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据三视图的法则可得出答案. 【详解】解：左视图为从左往右看得到的视图， A.球的左视图是圆， B.圆柱的左视图是长方形， C.圆锥的左视图是等腰三角形， D.圆台的左视图是等腰梯形， 故符合题意的选项是A.【点睛】错因分析 较容易题.失分原因是不会判断常见几何体的三视图.2. 如图，在矩形ABCD 中，已知AE BD ⊥于E ，60BDC ∠=°，=1BE ，则AB 的长为（ ）A. 3B. 2C. D.【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质可得=60ABD ∠°，因为AE BD ⊥，所以30BAE ∠=°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．【详解】解： 四边形ABCD 为矩形，60BDC ∠=°，=60ABD ∴∠°，AE BD ⊥，30BAE =∴∠°，AB 2∴=，故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 3. 如图，在Rt ABC △中，已知90C ∠=°，1AC =，2BC =，则sin B 的值是（ ）A.12B.C.D.255【答案】C 【解析】【分析】根据勾股定理可得AB =【详解】解：AB ==sin AC B AB ∴=，故选：C ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边，余弦等于邻边比斜边，正切等于对边比邻边．4. 如图，已知直线l 1//l 2//l 3，直线AC 分别与直线l 1，l 2，l 3，交于A 、B 、C 三点，直线DF 分别与直线l 1，l 2，l 3交于D 、E 、F 三点，AC 与DF 交于点O ，若BC ＝2AO ＝2OB ，OD ＝1．则OF 的长是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】∵BC ＝2AO ＝2OB ， ∴OC ＝3AO ， ∵直线l 1∥l 2∥l 3， ∴AO ODOC OF =， ∴AO OD OC OF =＝13， ∵OD ＝1， ∴OF ＝3， 故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是分清楚对应线段. 5. 一元二次方程2550x x −+=的根的情况为（ ） A. 无实数根B. 有两个不相等的实数根C. 有两个相等的实数根D. 不能判定【答案】B 【解析】【分析】利用判别式24b ac ∆=−，判断其结果的符号即可得出结论． 【详解】解：()224541550b ac ∆=−=−−××=> ，2550x x ∴−+=有两个不相等的实数根，故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式0∆>时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．6. 某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ） 实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.333A. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃B. 抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”D. 抛一枚硬币，出现反面的概率 【答案】C 【解析】【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．【详解】解：A 、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为14，不符合题意；B 、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为16，不符合题意； C 、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是13，符合题意；D 、抛一枚硬币，出现反面的概率为12，不符合题意， 故选C ．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．7. 如图，在平面直角坐标系中，已知()1.50A ，，()4.50D ，，ABC 与DEF 位似，原点O 是位似中心．若()13C ，，则点F 坐标是（ ）的A. ()26，B. ()2.54.5，C. ()39，D. ()48，【答案】C 【解析】【分析】根据位似图形的性质得出求出13OCOA OF OD ==，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵()1.5,0A ，()4.5,0D ， ∴ 1.5 4.5OA OD ==，， ∵ABC 与DEF 位似， ∴13OC OA OF OD ==， ∴ABC 与DEF 的位似比为1：3，∵点()13C ，， ∴F 点的坐标为()1333××，， 即F 点的坐标为（3，9）， 故选：C ．【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出ABC 与DEF 的位似比是解题的关键．8. 如图，把一块长为40cm ，宽为30cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为2600cm ，设剪去小正方形的边长为cm x ，则所列方程正确的为（ ）A. (302)(402)600x x −−=B. (302)(402)600x x ++=C. 3040230240600x x ×−×−×=D. 3040230240600x x ×+×+×=【答案】A 【解析】【分析】由题意易得该无盖纸盒的底面长为()402cm x −，宽为()302cm x −，然后问题可求解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长为cm x ，则由题意可列方程为(302)(402)600x x −−=， 故选A ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 9. 已知二次函数223y ax x =+−，则该函数的图象可能为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据30c =−<，可排除A 、C 两项，再分别讨论a<0和0a >时，对称轴的位置即可判断出答案．【详解】解：30c =−< ， 所以可排除A 、C 两个选项，当0a >时，对称轴02bx a=−<，故B 选项不符合题意， 当a<0时，对称轴bx 02a=−>，故D 选项符合题意， 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．10. 如图，在菱形ABCD 中，过点C 分别作AB AD ，边上的高CE CF ，，连接BF 交CE 于点G ,若点E 是AB 的中点，则EGCG=（ ）A.14B.15C.13D.【答案】A 【解析】【分析】作FH CE ⊥交CE 于H ，可证得()DFC BEC AAS △≌△，又通过平行和角度关系可得DFC CHF ∽，即CD CFCF FH=和FHG BEG ∽，即FH HG BE EG =，设BE x =，则DF BE x ==，2CD AB BC x ===，CF CE ==，根据比例关系即可求出EGCG的值． 【详解】解：如图所示：作FH CE ⊥交CE 于H ，90D EBC DFC BEC CD BC ∠=∠∠=∠=°= ，，， ()DFC BEC AAS ∴ ≌，BE DF CF CE DCF BCE ∴==∠=∠，，， AD BC CF AD ⊥ ∥，，90FCB ∠∴=°，同理：90DCE ∠=°9090FCE DCF D DCF ∠+∠=°∠+∠=° ，， D FCE ∴∠=∠，FH CE ⊥ ， DFC CHF ∴ ∽， CD CFCF FH∴=， 设BE x =，则DF BE x ==，2CD AB BC x ===，CF CE ==，， 32FH x ∴=，CH x ∴，FH CE CE AB ⊥⊥ ，， FHG BEG ∴ ∽， 32=xFH HG BE EG x ∴=，HE CE CH x =− ，HGx GE x ∴==，，14EG CG ∴=， 故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质及应用，相似三角形的判定和性质，作出辅助线，找出边之间的比例关系是解题的关键．二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）11. 已知23a b=，则a a b+的值为 _____． 【答案】25##0.4【解析】【分析】根据比例性质和分式的基本性质求解即可．详解】解：设23a bk ==， ∴2a k =，3b k =， ∴a ab +=2222355k k k k k ==+，故答案为：25． 【点睛】本题考查比例性质、分式基本性质，熟练掌握比例性质是解答的关键． 12. 计算：cos45°=______． 【答案】2． 【解析】【分析】要想解得此题要熟知三角函数的正切，与余弦函数的特殊角的函数值， 【详解】解：∵tan45°=1，， ∴原式=2． 【点睛】本题考查了三角函数特殊角的值．本题不难，属于基础题，只要熟知各特殊角的三角函数值就可求之．13. 若m n 、是方程2430x x −+=的两根，则mn 的值为______． 【答案】3 【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求得答案． 【详解】解： m n 、是方程2430x x −+=的两根，3mn ∴=故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．14. 如图，A 是反比例函数()120y x x−=<图象上一点，B 是反比例函数()20ky x x =>图象上一点，连接AB 交y 轴于点C ，若AC BC =，3AOB S =△，则k =______．【【答案】4 【解析】【分析】作AD y ⊥轴于点D ，BE y ⊥于点E ，可证得()ADC BEC AAS ≌，从而将AOB S 转化为+AOD BOE S S ，设2A a a，-，则k B a a − ，-，再根据面积公式列出等式()()121322k a a a a×−⋅−+×−⋅−=，即可求出k 的值． 【详解】解：如图：作AD y ⊥轴于点D ，BE y ⊥于点E ，90AC BC ADC BEC =∠=∠=° ，，ACD BCE ?， ()ADC BEC AAS ∴ ≌，AD BE ∴=，Δ=+AOB AOD BOE S S S ， 设2A a a，-，则k B a a−，-，()()121=+=322AOB AOD BOE k S S S a a a a ∆ ∴×−⋅−+×−⋅−=， 解得：4k =， 故答案为：4．【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，作出辅助线，根据面积公式列出等式是解题的关键．15. 如图，在正方形ABCD 中，6AB =，E 是BC 的中点，F 是CD 边上一点，将CEF △沿EF 折叠得到GEF △，连接CG 并延长分别交EF ，AB 于O ，H 两点，若G 是OH 的中点，则CF =______．【答案】【解析】【分析】先求出90B?，132CEBE AB ===由折叠的性质知EF 垂直平分CG ，得到OG OC =，90COE ∠=°，得到13OGGH OC CH ===，设OC x =，则3CH x =，证明COE CBH △∽△，求得CO =OC CF =，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴90B?，∵6AB =，E 是BC 的中点，∴132CEBE AB ===， ∵CEF △沿EF 折叠得到GEF △， ∴EF 垂直平分CG ， ∴OG OC =，90COE ∠=° ∵G 是OH 的中点， ∴OG GH =，∴13OGGH OC CH ===， 设OC x =，则3CH x =，∵90COE B ∠=∠=°，OCE BCH ∠=∠， ∴COE CBH △∽△，∴CO CEBC CH =， ∴363x x=，∴x =，∴CO =∴OE ，∴sin OE OCE CE ∠=， ∵90CFO OCF OCE OCF ∠+∠=∠+∠=°， ∴CFO OCE ∠=∠，∴sin sin OC CFO OCE CF ∠=∠=∴CF =，故答案为：【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、轴对称的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和解直角三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共7题．其中16题5分，17题7分，18题6分，19题8分，20题9分，21题10分，22题10分，共55分）16. 解方程：()211x x x +=+. 【答案】x=-1或x=0.5. 【解析】【分析】移项后提取公因式x+1后求解可得 【详解】∵2x(x+1)=x+1. ∴2x （x+1）-（x+1）=0， （x+1）（2x-1）=0， 则x+1=0或2x-1=0， 解得：x=-1或x=0.5.【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 17. 某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选． （1）随机抽取1人，甲恰好被抽中的概率是______；（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率． 【答案】（1）34（2）12 【解析】【分析】（1）根据随机事件的定义即可解决问题；（2）从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T 表示，其余3人均是共产党员用G 表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，然后利用树状图即可解决问题．小问1详解】解：若从四个人中随机抽取一人，共有四种可能：团员、党员、党员、党员，抽到党员的概率34P =党员． 故答案为：34． 【小问2详解】 解：如图，共有：团党、团党、团党、党团、党党、党党、党团、党党、党党、党团、党党、党党十二种可能，所以两名护士都是党员的概率为：61122=． 答：随机抽取2人，被抽到的两名护士恰好都是党员的概率为12，【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB 的影长OC 为16米，OA 的影长OD 为20米，小明的影长FG 为2.4米，其中O 、C 、D 、F 、G 五点在同一直线上，A 、B 、O 三点在同一直线上，且AO OD ⊥，EF FG ⊥．已知小明的身高EF 为1.8米．【（1）求建筑物OB 的高度； （2）求旗杆的高AB ．【答案】（1）12米 （2）3米 【解析】【分析】（1）根据题意利用相似三角形的判定和性质得出BOC EFG △∽△，BO OCEF FG=，然后代入求解即可；（2）根据题意利用相似三角形的判定和性质得出AOD EFG △∽△，AO ODEF FG=，得出15AO =，再结合（1）中结论求解即可． 【小问1详解】解：根据题意得：BC EG ∥， ∴BCO EGF ∠=∠，90AOD EFG ∠=∠=° ，∴BOC EFG △∽△， ∴BO OC EF FG =，即161.82.4BO =， ∴12BO =米； 【小问2详解】根据题意得：AD EG ， ∴ADO EGF ∠=∠，90AOD EFG ∠=∠=° ，∴AOD EFG △∽△， ∴AO OD EF FG =，即201.82.4AO =， ∴15AO =米， 由（1）得12BO =米，∴15123AB AO BO =−=−=（米）， ∴旗杆的高AB 是3米．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定．19. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AD BC ∥，AC 平分DAB ∠，连接BD 交AC 于点O ，过点C 作CEAB ⊥交AB 延长线于点E ．（1）求证：四边形ABCD 为菱形； （2）若4OA =，3OB =，求CE 的长． 【答案】（1）见详解 （2）245【解析】【分析】（1）由题意可得，四边形ABCD 为平行四边形，因为AC 平分DAB ∠，所以BAC BCA ∠=∠，从而可得AB BC =，即可证明出四边形ABCD 为菱形；（2）菱形的对角线互相垂直，由勾股定理可得5AB =，在根据AOB AEC △∽△，即可求得CE 的长． 【小问1详解】证明：AB CD AD BC ∥，∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，DAC BCA ∠=∠，AC 平分DAB ∠，DAC CAB ∴∠=∠，ACB CAB ∴∠=∠，AB CB ∴=，∴四边形ABCD 是菱形．【小问2详解】解：由（1）得，28AO OB AC OA ⊥==，，5AB ∴=，CE AB OAB EAC ⊥∠=∠ ，， OAB EAC ∴ ∽，OB CEAB AC∴=，即358CE =，245CE ∴=，故CE 的长为：245．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定定理、三角形相似、勾股定理的应用，熟练的运用这些定理是解题的关键．20. 某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）直接写出工厂每天的利润y 元与每千克降价x 元之间的函数关系式（要求化为一般式）； （2）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则降价应为多少元？ （3）当降价为多少元时，有最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）2504009000y x x =−++ （2）5 （3）4，9800 【解析】【分析】（1）根据利润=销售量×（单价－成本），列出函数关系式即可；（2）根据（1）求得的函数关系式，当9750y =时，可求出x 的值，再根据题意选取x 的值即可； （3）根据（1）求得的函数关系式进一步利用分配方法求出答案即可． 【小问1详解】 解：由题意得：()()483050050y x x =−−+()()1850050x x =−+2504009000x x =−++，∴y 与x 之间的函数关系式为：2504009000y x x =−++；【小问2详解】解：根据题意可得：9750y =，即25040090009750x x −++=，解得：1235x x ==，， 让利于民，13x ∴=不合题意，舍去，5x ∴=，故工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则降价应为5元； 【小问3详解】解：由（1）得，()225040090005049800y x x x =−++=−−+，500−< ，4x ∴=时，y 最大，为9800，所以当降价为4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元．【点睛】此题考查二次函数的实际应用，解题的关键是求得函数解析式，进一步利用函数的性质解决问题．21. 杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图1，即1122F L F L ×=×），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm ），确定支点O ，并用细麻绳固定，在支点O 左侧10cm 的A 处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为1kg 的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与称砣绳长的重量忽略不计）（1）图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O 右侧的B 处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB 的长度随之变化．设重物的质量为x kg ，OB 的长为y cm ．则y 关于x 的函数解析式是______；若050y <<，则x 的取值范围是______．（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O 右侧的B 处，使秤杆平衡，如图3．设重物的质量为x kg ，OB 的长为y cm ．完成下列问题： ①y 关于x 的函数解析式是______； ②完成下表：x /kg… 0.25 0.5 1 2 4 …y /cm … ______ ______ ______ ______ ______ …③在直角坐标系中画出该函数的图象．【答案】（1）10y x =，05x << （2）10y x=①；② 40，20，10，5，2.5；③画出图如图所示． 【解析】【分析】（1）根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂即可求出关系式，再根据y 的范围即可求得x 的范围； （2）①根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂即可求得关系式；②根据①中求得y 关于x 的解析式为：10y x =，将x 的值分别取0.25,0.5,1，2,4代入解析式求出y 的值即可；③在图中根据②算出来的坐标值，进行描点连线即可． 【小问1详解】解： 阻力×阻力臂＝动力×动力臂，OA OB ∴×=×重物质量秤砣质量，即101x y ⋅=×， ∴y 关于x 的解析式为：10y x =，050y << ， 01050x ∴<<，05x ∴<<，∴x 的取值范围为：05x <<．【小问2详解】解：① 阻力×阻力臂＝动力×动力臂，=OA OB ∴××秤砣质量重物质量，即110=x y ×⋅，的10y x∴=，∴ y 关于x 的函数解析式是：10y x=； ②当0.25x =时，40y =，当0.5x =时，20y =， 当1x =时，10y =， 当2x =时，5y =， 当4x =时， 2.5y =； ③画出图如图所示：【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，以及列表、描点、连线、画函数图象的方法，求出函数解析式是解答本题的关键．22. 【探究发现】如图1，正方形ABCD 的对角线交于点O ，E 是AD 边上一点，作OF OE ⊥交AB 于点F ．学习小队发现，不论点E 在AD 边上运动过程中，AOE △与BOF 恒全等，请你证明这个结论； 【类比迁移】如图2，矩形ABCD 的对角线交于点O ，30ABD ∠=°，E 是BA 延长线上一点，将OE 绕点O 逆时针旋转60°得到OF ，点F 恰好落在DA 的延长线上，求AEAF的值； 【拓展提升】如图3，等腰ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=°，12BC =，点E 是BC 边上一点，以BE 为边在BC 的上方作等边BEF △，连接CF ，取CF 的中点M ，连接AM ，当AM =接写出BE 的长．【答案】 2 【解析】【分析】（1）由题意可得，45OA OB EAO FBO =∠=∠=°，，又由OF OE ⊥可知AOE BOF ∠=∠，所以可以得到AOE BOF △≌△；（2）连接DE ，根据矩形的性质和已知条件可证得()ODE OAF SAS ≌，从而得到AF DE =，将AEAF转化到DEA △中，在根据三角函数即可得到答案； （3）连接AE ，将ABE 绕点A 逆时针旋转120°得到ACN △，连接EM MN ，，FN ，则可证明四边形ECNF 是平行四边形，则可得EM MN =，作AG BC ⊥于G ，则可得G 为BC 中点，且可求得AG 的长，再在Rt AME △中可求得AE ，从而可求得EG 的长，最后求得BE 的长．【详解】（1）证明： 正方形ABCD 的对角线交于点O ，45OA OB EAO FBO OA OB ∴=∠=∠=°⊥，，，OFOE ⊥，+AOE AOF BOF AOF ∴∠∠=∠+∠，AOE BOF ∴∠=∠， ()AOE BOF ASA ∴ ≌，即不论点E 在AD 边上运动过程中，AOE △与BOF 恒全等； （2）解：如图所示，连接DE ，四边形ABCD 对角线相交于点O ，OD OA OB ∴==，30ABD ∠=° ，60AOD ∴=°∠，由旋转性质可知，60OE OF EOF =∠=°，，DOE EOA EOA AOF ∴∠+∠=∠+∠，=DOE AOF ∴∠∠，()ODE OAF SAS ∴ ≌，120AF DE ODE OAF ∴=∠=∠=°，，60EDA ODE ADB ∴∠=∠−∠=°，=sin sin 60AE AE EDA AF DE ∴=∠=°， （3）解：连接AE ，将ABE 绕点A 逆时针旋转120°得到ACN △，连接EM MN ，，FN ，如图，120BAC ABC ∠=° ，等腰三角形，30ABC ACB ACN ∴∠=∠=∠=°，60BCN ACB ACN ∴∠=∠+∠=°，BEF 为等边三角形，BE EF CN ∴==，60FEB BCN ∠=∠=°，CN EF ∴∥，∴四边形FECN 为平行四边形，为M为对角线FC的中点，∴M为平行四边形FECN对角线的交点，∴=，EM NMEAN，120∠=°，=AE AN∴∠=∠=°⊥，，AEN ANE AM EN30∴==AE AM2⊥于G，作AG BC1230=∠=°，，BC ABC∴AG4∴=，EG∴=−=−=．642BE BG EG【点睛】本题考查了矩形、正方形、三角形的综合几何题的求解与证明，熟悉矩形、正方形、三角形的相关性质与定理是解题的关键．。
广东省深圳市九年级(上)期末数学试卷(含解析)
3广东省深圳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，每小题给出 4 个选项，其中只有一个是正确的）1．（3 分）如图，墨水瓶的瓶盖和瓶身都是圆柱形，则它的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．2．（3 分）下列所给各点中，反比例函数 y ＝ 的图象经过的是（）A ．（﹣2，4）B ．（﹣1，﹣8）C ．（﹣4，2）D ．（3，5）3．（3 分）某时刻，测得身高 1.8 米的人在阳光下的影长是 1.5 米，同一时刻，测得某旗杆的影长为 12 米，则该旗杆的高度是（）A ．10 米B ．12 米C ．14.4 米D ．15 米4．（3 分）已知 x ＝1 是一元二次方程 x 2+mx ﹣2＝0 的一个解，则 m 的值是（）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣25．（3 分）如果两个相似三角形的对应边上的高之比为 1： ，则两三角形的面积比为（ ）A ．2：3B ．1：3C ．1：9D ．1：6．（3 分）甲袋里有红、白两球，乙袋里有红、红、白三球，两袋的球除颜色不同外都相同，分别往两袋里任摸一球，则同时摸到红球的概率是（）A ．B ．C ．D ．7．（3 分）如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A ，B ，C 均在格点上，则 tanC 的值是（ ）A．2B．C．1D．8．（3分）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与11、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F，若＝，DE＝6，则EF的长是（）A．9B．10C．2D．159．（3分）已知关于x的方程ax2+2x﹣2＝0有实数根，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣B．a≤﹣C．a≥﹣且a≠0D．a＞﹣且a≠0 10．（3分）某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是（）A．x＝B．100（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2C．（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2D．（100+40%）（100+10%）＝100（1+x）211．（3分）如图是二次函数y＝ax2+b x+c（a≠0）的图象，根据图象信息，下列结论错误的是（）A．abc＜0B．2a+b＝0C．4a﹣2b+c＞0D．9a+3b+c＝0 12．（3分）如图，A、C是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，B、D是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，已知AB∥CD∥y轴，直线AB、CD分别交x轴于E、F，根据图中信息，下列结论正确的有（）①DF＝；②＝﹣；③；④A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）二次函数y＝x2﹣4x+4的顶点坐标是．14．（3分）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x 轴的正半轴上，则∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为．15．（3分）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一栋小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝40m，DE＝10m，则障碍物B，C两点间的距离为m．（结果保留根号）16．（3分）如图，点E是矩形ABCD的一边AD的中点，BF⊥CE于F，连接AF；若AB ＝4，AD＝6，则sin∠AFE＝．三、解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，共52分）17．（5分）计算：tan45°﹣tan260°+sin30°﹣cos30°．18．（6分）解方程：2（x﹣3）2＝x﹣3．19．（7分）如图，四张正面分别写有1、2、3、4的不透明卡片，它们的背面完全相同，现把它们洗匀，背面朝上放置后，开始游戏．游戏规则如下：连摸三次，每次随机摸出一张卡片，并翻开记下卡片上的数字，每次摸出后不放回，如果第三次摸出的卡片上的数字，正好介于第一、二次摸出的卡片上的数字之间，则游戏胜出，否则，游戏失败．问：（1）若已知小明第一次摸出的数字是4，第二次摸出的数字是2，在这种情况下，小明继续游戏，可以获胜的概率为．（2）若已知小明第一次摸出的数字是3，求在这种情况下，小明继续游戏，可以获胜的概率（要求列表或用树状图求）20．（8分）如图，E、F是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝EF＝FC，连接BE、DE、BF、DF．（1）求证：四边形BEDF是菱形：（2）求tan∠AFD的值．21．（8分）某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x （元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？22．（9分）如图，点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的一动点，P A⊥x轴于点A，在直线y＝x上截取OB＝P A（点B在第一象限），点C的坐标为（﹣2，2），连接AC、BC、OC．（1）填空：OC＝，∠BOC＝；（△2）求证：AOC∽△COB；（3）随着点P的运动，∠ACB的大小是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的大小．23．（9分）如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，直线y＝﹣x+3经过点C与x轴交于点D，抛物线的顶点坐标为（2，4）．（1）请你直接写出CD的长及抛物线的函数关系式；（2）求点B到直线CD的距离；（3）若点P是抛物线位于第一象限部分上的一个动点，则当点P运动至何处时，恰好使∠PDC＝45°？请你求出此时的P点坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）如图，墨水瓶的瓶盖和瓶身都是圆柱形，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】直接利用俯视图即从物体的上面往下看，进而得出视图．【解答】解：墨水瓶的瓶盖和瓶身都是圆柱形，则它的俯视图是：．故选：A．【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，注意观察角度是解题关键．2．（3分）下列所给各点中，反比例函数y＝的图象经过的是（）A．（﹣2，4）B．（﹣1，﹣8）C．（﹣4，2）D．（3，5）【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．【解答】解：∵﹣2×4＝﹣8，﹣4×2＝﹣8，3×5＝15，﹣1×（﹣8）＝8，∴点（﹣1，﹣8）在反比例函数y＝的图象经上．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．3．（3分）某时刻，测得身高1.8米的人在阳光下的影长是1.5米，同一时刻，测得某旗杆的影长为12米，则该旗杆的高度是（）A．10米B．12米C．14.4米D．15米【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．3【解答】解：∵同一时刻物高与影长成正比例．∴1.8：1.5＝旗杆的高度：12∴旗杆的高度为 14.4 米故选：C ．【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了方程的思想．4．（3 分）已知 x ＝1 是一元二次方程 x 2+mx ﹣2＝0 的一个解，则 m 的值是（）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2【分析】把 x ＝1 代入方程 x 2+mx ﹣2＝0 得到关于 m 的一元一次方程，解之即可．【解答】解：把 x ＝1 代入方程 x 2+mx ﹣2＝0 得：1+m ﹣2＝0，解得：m ＝1，故选：A ．【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键．5．（3 分）如果两个相似三角形的对应边上的高之比为 1： ，则两三角形的面积比为（ ）A ．2：3B ．1：3C ．1：9D ．1：【分析】根据对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵相似三角形对应高的比等于相似比，∴两三角形的相似比为 1：3，∴两三角形的面积比为 1：9．故选：C ．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比．6．（3 分）甲袋里有红、白两球，乙袋里有红、红、白三球，两袋的球除颜色不同外都相同，分别往两袋里任摸一球，则同时摸到红球的概率是（）A ．B ．C ．D ．【分析】先求出任摸一球的组合情况总数，再求出同时摸到红球的数目，利用概率公式计算即可．【解答】解：分别往两袋里任摸一球的组合有 6 种：红红，红红，红白，白红，白红，白白；其中红红的有 2 种，所以同时摸到红球的概率是＝．故选：A．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．7．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是（）A．2B．C．1D．【分析】在直角三角形ACD中，根据正切的意义可求解．【解答】解：如图在RtACD中，tanC＝，故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．8．（3分）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与11、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F，若＝，DE＝6，则EF的长是（）A．9B．10C．2D．15△b 2 【分析】根据平行线分线段成比例可得 ＝ ，代入计算即可解答．【解答】解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴＝ ，即 ＝ ，解得：DF ＝15，∴EF ＝15﹣6＝9．故选：A ．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．9．（3 分）已知关于 x 的方程 ax 2+2x ﹣2＝0 有实数根，则实数 a 的取值范围是（）A ．a ≥﹣B ．a ≤﹣C ．a ≥﹣ 且 a ≠0D ．a ＞﹣ 且 a ≠0 【分析】当 a ≠0 时，是一元二次方程，根据根的判别式的意义得＝△22﹣4a ×（﹣2）＝4（1+2a ）≥0，然后解不等式；当 a ＝0 时，是一元一次方程有实数根，由此得出答案即可．【解答】解：当 a ≠0 时，是一元二次方程，∵原方程有实数根，∴ ＝△22﹣4a ×（﹣2）＝4（1+2a ）≥0，∴a ≥﹣ ；当 a ＝0 时，2x ﹣2＝0 是一元一次方程，有实数根．故选：A ．【点评】本题考查了一元二次方程 ax 2+b x +c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式＝﹣4△ac．当 ＞△0，方程有两个不相等的实数根；当 ＝0，方程有两个相等的实数 根；当 ＜△0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．进行分类讨论是解题的关键．10．（3 分）某商品原价为 100 元，第一次涨价 40%，第二次在第一次的基础上又涨价 10%，设平均每次增长的百分数为 x ，那么 x 应满足的方程是（）A ．x ＝B ．100（1+40%）（1+10%）＝（1+x ）2C ．（1+40%）（1+10%）＝（1+x ）2D．（100+40%）（100+10%）＝100（1+x）2【分析】设平均每次增长的百分数为x，根据“某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x”，得到商品现在关于x的价格，整理后即可得到答案．【解答】解：设平均每次增长的百分数为x，∵某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，∴商品现在的价格为：100（1+40%）（1+10%），∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x，∴商品现在的价格为：100（1+x）2，∴100（1+40%）（1+10%）＝100（1+x）2，整理得：（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程和有理数的混合运算，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．11．（3分）如图是二次函数y＝ax2+b x+c（a≠0）的图象，根据图象信息，下列结论错误的是（）A．abc＜0B．2a+b＝0C．4a﹣2b+c＞0D．9a+3b+c＝0【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：（A）由图象可知：a＜0，c＞0，对称轴x＝＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故A正确；（B）由对称轴可知：＝1，∴2a+b＝0，故正确；（C）当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故C错误；（D）（﹣1，0）与（3，0）关于直线x＝1对称，∴9a+3b+c＝0，故D正确；故选：C．【点评】本题考查二次函数，解题的关键熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．12．（3分）如图，A、C是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，B、D是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，已知AB∥CD∥y轴，直线AB、CD分别交x轴于E、F，根据图中信息，下列结论正确的有（）①DF＝；②＝﹣；③；④A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】设E（a，0），F（b，0），由A、B、C纵横坐标积等于k可确定a，b的数量关系，从而说明各个结论的正误．【解答】解：设E（a，0），F（b，0），则3a＝b＝k1，﹣4a＝﹣DF•b＝k2，∴DF＝，，故①②正确；∵∴③正确；∵∴④正确，，，故选：D．【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，理解运用k的几何意义是解答此题的关键．二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）二次函数y＝x2﹣4x+4的顶点坐标是（2，0）．【分析】先把一般式配成顶点式，然后利用二次函数的性质解决问题．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，∴抛物线的顶点坐标为（2，0）．故答案为（2，0）．【点评】本题考查了二次函数的性质：熟练掌握二次函数的顶点坐标公式，对称轴方程和二次函数的增减性．14．（3分）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x 轴的正半轴上，则∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为y＝．【分析】延长BA交y轴于D，则BD⊥y轴，依据点A的坐标为（3，4），即可得出B （8，4），再根据∠AOC的角平分线所在直线经过点B，即可得到函数关系式．【解答】解：如图所示，延长BA交y轴于D，则BD⊥y轴，∵点A的坐标为（3，4），∴AD＝3，OD＝4，∴AO＝AB＝5，∴BD＝3+5＝8，∴B（8，4），设∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为y＝kx，∵菱形OABC中，∠AOC的角平分线所在直线经过点B，∴4＝8k，即k＝，∴∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为y＝x，故答案为：y＝x．【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质的运用，正确得出B点坐标是解题关键．15．（3分）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一栋小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝40m，DE＝10m，则障碍物B，C两点间的距离为（30﹣10）m．（结果保留根号）【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，则DE＝BF＝CH＝10m，根据直角三角形的性质得出DF的长，在△Rt CDE中，利用锐角三角函数的定义得出CE 的长，根据BC＝BE﹣CE即可得出结论．【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE＝BF＝CH＝10m，在△Rt ADF中，AF＝AB﹣BF＝30m，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝30m．在△Rt CDE中，DE＝10m，∠DCE＝30°，∴CE＝＝＝10（m），∴BC＝BE﹣CE＝（30﹣10）m．答：障碍物B，C两点间的距离为（30﹣10）m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．16．（3分）如图，点E是矩形ABCD的一边AD的中点，BF⊥CE于F，连接AF；若AB ＝4，AD＝6，则sin∠AFE＝．【分析】延长CE交BA的延长线于点△G，由题意可证AGE≌△DCE，可得AG＝CD＝4，根据直角三角形的性质可得∠AFE＝∠AGF，由勾股定理可求CG＝10，即可求sin∠AFE的值．【解答】解：延长CE交BA的延长线于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∴∠G＝∠GCD，且AE＝DEA，∠AEG＝∠DEC∴△AGE≌△DCE（AAS）∴AG＝CD＝4，∴AG＝AB，且BF⊥GF，∴AF＝AG＝AB＝4∴∠AFE＝∠AGF，∵BG＝AG+AB＝8，BC＝6∴GC＝＝10∴sin∠AFE＝sin∠AGF＝＝故答案为：【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．三、解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，共52分）17．（5分）计算：tan45°﹣tan260°+sin30°﹣cos30°．【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可【解答】解：原式＝1﹣+﹣•＝1﹣3+﹣＝﹣3【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键．18．（6分）解方程：2（x﹣3）2＝x﹣3．【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程移项得：2（x﹣3）2﹣（x﹣3）＝0，分解因式得：（x﹣3）（2x﹣7）＝0，可得x﹣3＝0或2x﹣7＝0，解得：x1＝3，x2＝3.5．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19．（7分）如图，四张正面分别写有1、2、3、4的不透明卡片，它们的背面完全相同，现把它们洗匀，背面朝上放置后，开始游戏．游戏规则如下：连摸三次，每次随机摸出一张卡片，并翻开记下卡片上的数字，每次摸出后不放回，如果第三次摸出的卡片上的数字，正好介于第一、二次摸出的卡片上的数字之间，则游戏胜出，否则，游戏失败．问：（1）若已知小明第一次摸出的数字是4，第二次摸出的数字是2，在这种情况下，小明继续游戏，可以获胜的概率为．（2）若已知小明第一次摸出的数字是3，求在这种情况下，小明继续游戏，可以获胜的概率（要求列表或用树状图求）【分析】（1）依据第三次摸出的卡片上的数字可能是1或3，其中摸到3能获胜，即可得到小明继续游戏可以获胜的概率；（2）依据小明第一次摸出的数字是3，画出树状图，即可得到6种等可能的情况，其中第三次摸到的数介于前两个数之间的只有一种情况，进而得出小明获胜的概率．【解答】解：（1）小明第一次摸出的数字是4，第二次摸出的数字是2，在这种情况下，小明继续游戏，第三次摸出的卡片上的数字可能是1或3，其中摸到3能获胜，∴可以获胜的概率为，故答案为：；（2）画树状图如下：共有6种等可能的情况，其中第三次摸到的数介于前两个数之间的只有一种情况：（3，1，2），则P（小明能获胜）＝．【点评】此题主要考查了概率的意义以及树状图法与列表法的运用，当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．利用树状图或者列表法列举出所有可能是解题关键．20．（8分）如图，E、F是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝EF＝FC，连接BE、DE、BF、DF．（1）求证：四边形BEDF是菱形：（2）求tan∠AFD的值．【分析】（1）连接BD交AC于点O，根据正方形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，AC ⊥BD，证明OE＝OF，得到四边形BEDF是平行四边形，根据菱形的判定定理证明；（2）根据正方形的性质得到OD＝3OF，根据正切的定义计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，OB＝OD，且AC⊥BD，∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，又∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形；（2）解：∵EF＝2OF，EF＝CF，∴CF＝2OF，∴OC＝3OF，又OD＝OC，∴OD＝3OF，在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠DOF＝90°，在△Rt DOF中，tan∠AFD＝＝3．【点评】本题考查的是正方形的性质、菱形的判定、正切的定义，掌握正方形的四条边相等、四个角相等是解题的关键．21．（8分）某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x （元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）先利用待定系数法求一次函数解析式；（2）用每件的利润乘以销售量得到每天的利润W，即W＝（x﹣90）（﹣x+170），然后根据二次函数的性质解决问题．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+170；（2）W＝（x﹣90）（﹣x+170）＝﹣x2+260x﹣15300，∵W＝﹣x2+260x﹣15300＝﹣（x﹣130）2+1600，而a＝﹣1＜0，∴当x＝130时，W有最大值1600．答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，先利用利润＝没件的利润乘以销售量构建二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求二次函数的最值，一定要注意自变量x的取值范围．22．（9分）如图，点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的一动点，P A⊥x轴于点A，在直线y＝x上截取OB＝P A（点B在第一象限），点C的坐标为（﹣2，2），连接AC、BC、OC．（1）填空：OC＝4，∠BOC＝60°；（△2）求证：AOC∽△COB；（3）随着点P的运动，∠ACB的大小是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的大小．【分析】（1）过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，由点C的坐标可得出OE，CE的长度，进而可求出OC的长度及∠AOC的度数，由直线OB的解析式可得出∠BOF的度数，再利用∠BOC＝180°﹣∠AOC﹣∠BOF即可求出∠BOC的度数；（2）由（1）可知∠AOC＝∠BOC，由点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的一动点，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出P A•OA＝16，结合OB＝P A及OC＝4，可得出＝，结合∠AOC＝∠BOC即可证出△AOC∽△COB；（△3）由AOC∽△COB利用相似三角形的性质可得出∠CAO＝∠BCO，在△AOC中，利用三角形内角和定理可求出∠CAO+∠OCA＝120°，进而可得出∠BCO+∠OCA＝120°，即∠ACB＝120°．【解答】（1）解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，如图所示．∵点C的坐标为（﹣2，2），∴OE＝2，CE＝2∴OC＝，＝4．∵tan∠AOC＝＝，∴∠AOC＝60°．∵直线OB的解析式为y＝x，∴∠BOF＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC﹣∠BOF＝60°．故答案为：4；60°．（2）证明：∵∠AOC＝60°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠BOC．∵点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的一动点，∴P A•OA＝16．∵P A＝OB，∴OB•OA＝16＝OC2，即＝，∴△AOC∽△COB．（3）解：∠ACB的大小不会发生变化，理由如下：∵△AOC∽△COB，∴∠CAO＝∠BCO．在△AOC中，∠AOC＝60°，∴∠CAO+∠OCA＝120°，∴∠BCO+∠OCA＝120°，即∠ACB＝120°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）利用勾股定理及角的计算，找出OC的长及∠BOC的度数；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征、OC＝4及OB＝P A，找出＝；（3）利用相似三角形的性质及三角形内角和定理，找出∠BCO+∠OCA＝120°．23．（9分）如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，直线y＝﹣x+3经过点C与x轴交于点D，抛物线的顶点坐标为（2，4）．（1）请你直接写出CD的长及抛物线的函数关系式；（2）求点B到直线CD的距离；（3）若点P是抛物线位于第一象限部分上的一个动点，则当点P运动至何处时，恰好使∠PDC＝45°？请你求出此时的P点坐标．【分析】（1）求出点C，D的坐标，再用勾股定理求得CD的长；设抛物线为y＝a（x ﹣2）2+4，将点C坐标代入求得a，即可得出抛物线的函数表达式；（2）过点B直线CD的垂线，垂足为H，在Rt△BDH中，利用锐角三角函数即可求得点B到直线CD的距离；（3）把点C（0，3）向上平移4个单位，向右平移3个单位得到点E（3，△7），可得OCD≌△FEC，则△DEC为等腰直角三角形，且∠EDC═45°，所以直线ED与抛物线的交点即为所求的点P．【解答】解：（1）∵，∴C（0，3），D（4，0），∵∠COD＝90°，∴CD＝．设抛物线为y＝a（x﹣2）2+4，将点C（0，3）代入抛物线，得3＝4a+4，∴，∴抛物线的函数关系式为；（2）解：过点B作BH⊥CD于H，由，可得x1＝﹣2，x2＝6，∴点B的坐标为（6，0），∵OC＝3，OD＝4，CD＝5，∴OB＝6，从而BD＝2，在△Rt DHB中，∵BH＝BD•sin∠BDH＝BD•sin∠CDO＝2×，∴点B到直线CD的距离为．（3）把点C（0，3）向上平移4个单位，向右平移3个单位得到点E（3，7），∵CF＝OD＝4，EF＝OC＝3，∠CFE＝∠DOC＝90°，∴△OCD≌△FEC，∴∠FCE＝∠ODC，EC＝DC，∴∠ECD＝180°﹣（∠FCE+∠OCD）＝180°﹣（∠ODC+∠OCD）＝180°﹣90°＝90°，∴△DEC为等腰直角三角形，且∠EDC═45°，因而，ED与抛物线的交点即为所求的点P．由E（3，7），D（4，0），可得直线ED的解析式为：y＝﹣7x+28，由得（另一组解不合题意，已舍去．）所以，此时P点坐标为（，）．【点评】本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力。
广东省深圳市龙岗区龙城天成学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷(无答案)
2024—2025学年第一学期（10月）学情诊断九年级数学（第一章~第二章）说明：全卷共6页，满分100分，考试时长90分钟．请在答题卡上作答，在本卷上作答无效．一、选择题（本部分共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）1．下列图片中，能观察到菱形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A ．对边相等 B ．对边平行 C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直 3．如图，矩形ABCD 的顶点A ，C 分别在直线a ，b 上．若a b ∥且140∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°4．已知方程2560x x --=的一个根是6，则它的另一个根是（ ）A ．1B ．6-C ．1-D ．35．用配方法解方程2250x x +-=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -= 6．某校九年级组织一次乒乓球比赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都比赛一场），赛程计划7天，每天安排4场比赛．设有x 个队参赛，则x 满足的关系为（ ）A ．()11282x x -=B ．()11282x x +=C ．()128x x -=D ．()128x x +=7．小明和小颖同学交流学习心得，小明发现将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿着图③中的虚线剪下，就能得到一个特殊的图形．这个特殊的图形是（ ）① ② ③A ．矩形B ．三角形C ．菱形D ．正方形8．如图，在矩形ABCD 中，30cm AB =，动点P 从点A 出发沿AB 边以5cm/s 的速度向点B 运动，动点Q 从点C 出发沿CD 边以1cm/s 的速度向点D 运动，点P 和点Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t ，则当t =（ ）s 时，四边形APQD 是矩形．A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）9．将方程()()223243x x +=-化成一般形式：__________．10．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD ，然后向右拉框架，观察所得四边形的变化，下列结论中：①四边形ABCD 由矩形变为平行四边形；②变形前后对角线BD 的长度不变；③四边形ABCD 的面积不变；④四边形ABCD 的周长不变．正确的有__________．（填序号）11．如图，从边长为2的正方形ABCD 内部取一点G ，使它与正方形两个相邻的顶点C ，D 及点G 到边AB 的距离都相等，则CG 等于__________．12．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为7步，乙的速度为3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了__________步．13．如图，将矩形沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若1x =，则y =__________．三、解答题（本部分共7小题．其中14题5分，15题7分，16题8分，17题8分，18题9分，19题12分，20题12分，共61分）14．（5分）解方程：24830x x ++=．15．（7分）如图，学校需要用绿竹围成周长为32m 的矩形ABCD 阅读空间，设AB 的长为x m ．（1）若矩形ABCD 的面积为2m y ，用含x 的代数式表示y ．（2）当矩形ABCD 的面积是260m 时，求它的边长．（3）矩形ABCD 的面积是否可以是270m 若能达到，求出边AB 的长；若不能达到，请说明理由．16．（8分）如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD ．（1）判断四边形ABCD 的形状，并证明．（2）若测得四边形ABCD 的面积为216cm ，点B ，D 之间的距离为8cm ，求边AB 的长．17．（8分）某网商平台国庆期间从某公司以20元一盆的价格采购了一批盆栽，以每盆40元的价格售出，第一天销售了25盆．该商品十分畅销，在售价不变的基础上，第三天销售量就达到了64盆．（1）求第二、三两天每天销售量的平均增长率．（2）国庆假期临近结束时，盆栽还有较多剩余，为了尽快减少库存，网商平台打算降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天销售量的基础上每天可以多售出4盆，降价多少元时，每天可获得的利润为1292元？18．（9分）如图，在ABC △中，AB AC =．（1）尺规作图：（保留作图痕迹）①分别作BAC ∠的平分线AD 及BAC ∠的外角的平分线AN ，AD 交BC 于点D ；②过点C 作CE AN ⊥，垂足为E ；（2）连接DE 交AC 于点F ，猜想DF 与AB 的关系，并证明．19．（12分）【项目式学习】项目主题：高铁建设与运营中的数学挑战项目背景：随着中国经济的快速发展，高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区．假设某城市计划建设一条新的高铁线路，以缩短与邻近城市的旅行时间．数学小组的同学在查阅相关资料的情况下，开展了相关探究．素材一：为了保证安全，高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止，都需要一定的时间，假设加速度和减速度都是常数且加减速过程中，列车速度随时间变化的关系为：0v v at =+，其中v 是最终速度，0v 是初始速度，a 是加速度（或减速度），t 是时间．素材二：列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离，已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同，均为d 千米，时间也相同，均为t 秒．素材三：匀加速（即加速度不变）或匀减速过程中，在单向行驶时，路程与运动时间的关系为：2012s v t at =+，其中：s 是路程，0v 是初始速度，a 是加速度（或减速度），t 是时间．任务—：理解与计算（1）如果高铁列车的最高速度360v =千米/小时，加速度0.5a =米/秒2，则从静止加速到最高速度所需的时间t =__________秒．（2）在（1）的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的最小路程d =__________千米．任务二：应用与推理（3）在（1）的条件下，假设高铁线路全程x 千米中，除去两端的加减速路程d ，列车以最高速度行驶的距离为2x d -，请直接写出列车全程行驶的时间T 的表达式．（单位：小时）任务三：设计与分析（4）假设距某站台2千米有一辆高铁正以180千米/小时的速度驶来，由于某人从站台跳入轨道捡手机，列车需紧急停车，若减速度0.5a =-米/秒2，列车能否安全停车？分析计算后的答案，结合现实，说说你的想法．20．（12分）综合与实践【问题情境】我们定义：如图（a ），在ABC △中，把AB 绕点A 顺时针旋转()0180αα︒<<︒得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，连接B C ''．当180αβ+=︒时，我们称C AB ''△是ABC △的“旋补三角形”，C AB ''△的边B C ''上的中线AD 叫做ABC △的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”． 【特例感知】（1）在图（b ）和图（c ）中，C AB ''△是ABC △的“旋补三角形”，AD 是ABC △的“旋补中线”．①如图（b ），当ABC △为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD =__________BC ；②如图（c ），当90BAC ∠=︒，16BC =时，则AD 长为__________．【猜想论证】（2）如图（a ），当ABC △为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．【拓展应用】（3）如图（d ），在四边形ABCD 中，90C ∠=︒，150D ∠=︒，12BC =，CD =6AD =．在四边形内部是否存在点P ，使PDC △是PAB △的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求出PAB △的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．（a ） （b ） （c ） （d ）。
2022年-有答案-广东省深圳市龙岗区九年级(上)期末数学试卷
2022学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分）1. 方程x2=2x的根是（）A.x=2B.x=−2C.x1=0，x2=−2D.x1=0，x2=22. 下面四个几何体中，主视图为三角形的是( )A. B.C. D.3. 如图，已知Rt△ABC，∠C＝90∘，AB＝5，BC＝3，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.4. 将抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线对应的函数表达式是（）A.y＝2(x+3)2+2B.y＝2(x−3)2+2C.y＝2(x+3)2−2D.y＝2(x−3)2−25. 函数y=k和y＝kx+2(k≠0)在同一直角坐标系中的大致图象是（）xA. B.C. D.6. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A.14 B.12 C.6 D.47. 疫情促进了快递行业高速发展，某家快递公司2020年5月份与7月份完成投递的快递总件数分别为100万件和144万件，设该快递公司5月到7月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A.100(1+2x)＝144B.100(1+x)2＝144C.100(1−2x)＝144D.100(1−x)2＝1448. 下列命题中，错误的是（）A.顺次连接矩形四边的中点所得到的四边形是菱形B.反比例函数的图象是轴对称图形C.线段AB的长度是2，点C是线段AB的黄金分割点且AC<BC，则AC＝−1D.对于任意的实数b，方程x2−bx−3＝0有两个不相等的实数根9. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别在CD、AD边上，且CE＝DF，连接BE、CF相交于G点．则下列结论：①BE＝CF；②S△BCG＝S四边形DFGE；③CG2＝BG⋅GE；④当E 为CD中点时，连接DG，则∠FGD＝45∘．正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.410. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(1, 2)，与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中−1<x1<0，1<x2<2，则下列结论中正确的是（）A.a<−1B.b>2C.2a+b>0D.k为任意实数，关于x的方程ax2+bx+c+k2＝0没有实数根二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分）若ab =23，则a+bb=________．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OE＝EA，则＝________．对于实数a、b，定义新运算“⊗”：a⊗b＝a2−ab，如4⊗2＝42−4×2＝8．若x⊗4＝−4，则实数x的值是________．如图，直角坐标系原点O为Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90∘，A(−5, 0)，且tanA ＝，反比例函数y＝(k≠0)经过点C，则k的值是________．已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝6，E是BC边上一点且CE＝2BE，F是CD边的中点，连接AF、BF、DE相交于M、N两点，则△FMN的面积是________．三、解答题（本大题共7题。