第27章-相似单元测试卷(含答案)
B
A
C
D
E
F
'
'A B C
D
B
C
A
P
2013年秋会昌县九年级数学单元检测试卷（七）
（相似单元测试卷）
命题人：超剑（门岭）、审核人：鑫（教研室）
一、选择题(本大题共6题，每题3分,共18分)
1.ABC ∆和DEF ∆相似,且相似比为32,那么DEF ∆和ABC ∆的相似比为( )
A.32
B.23
C.49
D.94
2.下列说确的是( )
A.各有一个角是100的两个等腰三角形相似;
B.各有一个角是45的两个等腰三角形相似
C.有两边对应成比例的两个等腰三角形相似;
D.两腰对应成比例的两个等腰三角形相似 3.已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与DEF △的相似比为 ．
A.4∶25
B.2∶5
C.25∶4
D.5∶2
4.中午12点,身高为150cm 的小冰的影长为20
cm ,同学小雪此时在同一地点的影长为22cm ,那么小雪的身高为( )
A.150cm
B.155cm
C.160
cm D.165cm 5.如图,ACD
∆和ABC ∆相似需具备的条件是( )
A.AC AB CD BC =
B.CD BC AD AC =
C.2AC AD AB =⋅
D.2CD AD BD =⋅
6.如图,一矩形报纸ABCD 的长AB a =,宽BC b =,E F 、分别是AB CD 、的中点,将这报纸沿着直线EF 对折后,矩形AEFD 的长与宽的比等于矩形ABCD 的长与宽的比,则:a b 等于( )
B. D.
第5题 第6题 第8题 第9题
二、填空题(本大题共8题，每题3分,共24分)
7.在比例尺为1:1 000 000的交通地图上,测得某两地的图上距离为7.5cm ,则它们的实际距离为 km .
8.在针孔成像问题中,根据图中尺寸可知像A B ''的长是物AB 长的___. 9.如图,已知ACP ∆∽ABC ∆,4,2AC AP ==,则AB 的长为 . 10.如图,ABC ∆中,DE ∥FG ∥BC ,且::2:3:4AD DF FB =,则
::ADE DFGE FBCG S S S ∆=梯形梯形 .
11.如图,点O 是正三角形PQR 的中心,P Q R '''、、分别是OP OQ OR 、、 的中点,则P Q R '''∆与PQR ∆是位似三角形,此时P Q R '''∆与PQR ∆的 位似中心是_____,位似比为______.
12.两个相似三角形周长的比为2:3，则其对应边上的中线比为___________.
13.已知△ABC∽△DEF，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，则ABC 与△DEF 的面积之比为 ．
14.如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FC B '与△B 'DG 的面积之比为 ．
第14题
(本大题共3题，每小题6分共18分）
DAB=∠CAE ，请你再补充一个条件____________,使得△ABC ∽△ADE ，并说明
16.如图，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC 。
求证：△ABC ∽△FDE ．
P
P 'Q
Q 'R R '
第11题
O B
F
E
C
B
A
17.已知：如图，AB 是半圆O 的直径，CD ⊥AB 于D 点，AD ＝4cm ，DB ＝9cm ，求CB 的长．
四、画图题（本题6分）
18.如图,四边形ABCD 各顶点的坐标
分别为(2,6),(4,2),(6,2),(6,4)A B C D ,在第一 象限,画出以原点为位似中心,相似比为12
的位似图形1111A B C D ,并写出各点坐标.
五．（本大题共2小题，每题8分共16分）
19.如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，BF AE 于F ，
求证：AB 2
＝AE ·BF ．
y O 1
21
3456
7
762
345
A
B
C D
20.如图,□ABCD 中,:2:3AE EB =,DE 交AC 于F . (1)求AEF ∆与CDF ∆周长之比；
(2)如果CDF ∆的面积为220cm ,求AEF ∆的面积.
六．（本大题共2小题，每题9分共18分）
21.如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8,沿直线MN 对折，使A 、C 重合，直线MN 交AC 于O.
（1）、求证：△COM∽△CBA； （2）、求线段OM 的长度.
A
B
E
D F
22..如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在AB 上，过点B 作⊙O 的切线交AC 的延长线于点D 。
（1）求证：△ABC ∽△BDC 。
（2）若AC=8，BC=6，求△BDC 的面积。
七．试用数学思想和数学方法解题（本大题共5小题，共20分）
（常用的数学思想方法有：用字母表示数、整体思想、分类讨论思想、转化思想、数形结合思想、方程思想、参数法等） 23.（3分） 已知
513b a =，则a b a b
-+的值是______. 24. （4分） 如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥
AC 于D ,设BP =x ,则PD+PE =（ ）
A.35
x + B.45
x -
C.
72
D.
212125
25
x x -
A
D
E
25. （4分） 如图,在△ABC 中,若DE ∥BC,AD DB =1
2
,DE=4cm,则BC 的长为（ ） A.8cm
B.12cm
C.11cm
D.10cm
26. （4分） 如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，
AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 （ ）
Ａ．
91 Ｂ．92 Ｃ．31 Ｄ．9
4
27. （5分）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ．点D 是AB 的中点，连接CD ，过点B 作BG 丄CD ，分别交GD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于的直线相交于点G ，连接DF ．给出以下四个结论：①；②点F 是GE 的中点；③AF=AB；④S △ABC =S △BDF ，其中正确的结论序号是 _____.
第27题图
前后的因果关系，…… 听课时，要结合数学课本和老师所讲的例子，掌握好数学推理过程和数形结合思想的应用，这对于学好几何知识有很大的好处。
参考答案
一、选择题
1.B
2.A
3.B
4.D
5.C
6.A 二填空题
7.75 8.1/3 9.8 10. 4：21：56 11.O ，1/2 12. 2:3 13.9：1 14.16：9
三、解答与证明(共40分) 15.略
16.提示：连接AF 并延长交DE 于点G ， 再证三角形相似.
（第26题图）
17．.cm 133提示：连结AC ．
18.如图,四边形ABCD 各顶点的坐标
分别为(2,6),(4,2),(6,2),(6,4)A B C D ,在第一 象限,画出以原点为位似中心,相似比为12
的位似图形1111A B C D ,并写出各点坐标. 解:如图可知:
1111(1,3),(2,1),(3,1),(3,2)A B C D
19．提示：证⊿ＡＢＦ∽⊿ＥＡＤ，再利用ＡＢ＝ＡＤ转换； 20.(12分)如图,□ABCD 中,:2:3AE EB =,DE 交AC 于F . (1)求AEF ∆与CDF ∆周长之比；
(2)如果CDF ∆的面积为220cm ,求AEF ∆的面积. 解:∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴,AB CD AB =∥CD ∴,EAF DCF AEF CDF ∠=∠∠=∠ ∴AEF ∆∽CDF ∆
∴25
AEF AE CD CDF ∆==∆的周长的周长
∴
224()525
AEF
CDF S S ∆∆== ∵20CDF S ∆= ∴165CDF S ∆=
21.（1）证明：
A 与C 关于直线MN 对称
∴AC ⊥MN ∴∠COM=90°
在矩形ABCD 中，∠B=90°
∴∠COM=∠B 又∠ACB=∠ACB ∴△COM ∽△CBA
（2）
在Rt △CBA 中，AB=6，BC=8
∴AC=10 ∴OC=5
△COM ∽△CBA ∴OC OM
=BC
AB
∴OM=
154
22.(1)证明：的直径，是圆O AB
A
B
E
C
D
F
90=∠∴ACB . 的切线是圆O BD , 90=∠∴ABD ,
9090=∠+∠=∠+∠CBD ABC ABC A ，,
CBD A ∠=∠∴. 又
90=∠=∠DCB ACB , ∴△ABC ∽△BDC. (2) △ABC ∽△BDC,
CD
BC
BC AC =∴
, 2
9,6,8=∴==CD BC AC . .2
272962121=⨯⨯=⋅⋅=
∴∆CD BC S BDC 23. 4：9
24.A 25.B 26. C 27. ①③。
精品解析：人教新版九年级下学期《第27章相似》单元测试卷(解析版)
《第27章相似》单元测试卷一．选择题1. 已知32xy=，那么下列等式中一定正确的是（）A. 392xy= B.33xy++=65C.3322x xy y-=⋅-D.52x yx+=【答案】A【解析】分析：根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积来判断.详解：A.3x•2＝9y，则2x＝3y，所以A选项正确；B.5(x＋3)＝6(y＋3)，则5x﹣6y＝3，所以B选项错误；C.2y(x﹣3)＝3x(y﹣2)，则xy﹣6x＋6y＝0，所以C选项错误；D.2(x＋y)＝5x，则3x＝2y，所以D选项错误．故选A．点睛：本题考查了比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，即a cb d＝，则ad＝bc；反之如果ad＝bc，则a cb d ＝.2. 已知a：b＝3：2，则a：（a﹣b）＝（）A. 1：3B. 3：1C. 3：5D. 5：3【答案】B【解析】试题分析：利用分比性质进行计算．解：∵=，∴==3．故选B．考点：比例的性质．3. 在比例尺是1：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm，它的实际长度约为()A. 320cmB. 320mC. 2000cmD. 2000m【答案】D【解析】【分析】首先设它的实际长度是xcm ，然后根据比例尺的定义，即可得方程：1:800025:x =，解此方程即可求得答案，注意统一单位.【详解】设它的实际长度是xcm ，根据题意得：1:800025:x =，解得：200000x =，2000002000cm m =，∴它的实际长度为2000m .故选D .【点睛】此题考查了比例线段.此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位.4. 已知线段AB ＝1，C 是AB 的黄金分割点，AC ＞BC ，则BC 的长为（ ）A. 1B. C. 35D. 【答案】C【解析】【分析】 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分）叫做黄金比． 【详解】解：根据黄金分割的概念得：AC=12AB=12 ∴BC=AB-AC=32. 故选C ． 【点睛】本题考查黄金分割定理，解题关键是理解黄金分割的概念，熟悉黄金比的值．5. 如图，若////DC FE AB ，则有（ ）A. OD OCOF OE= B.OF OBOE OA= C.OA ODOC OB= D.CD ODEF OE=【答案】D【解析】根据平行线分线段成比例定理，根据题意直接列出比例等式，对比选项即可得出答案．解：∵DC∥FE∥AB，∴OD：OE=OC：OF（A错误）；OF：OE=OC：OD（B错误）；OA：OC=OB：OD（C错误）；CD：EF=OD：OE（D正确）．故选D．6. 我们已经学习了相似三角形，也知道，如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，是相似图形的有（）A. ①③ B. ①② C. ①④ D. ②③【答案】C【解析】试题分析：根据相似形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．解：①两个圆，形状相同，而大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确；②两个菱形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误；③两个长方形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误；④两个正六边形，形状相同，而大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确．故选C．考点：相似图形．点评：本题考查的是相似形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．7. 如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )A. 60°B. 75°C. 87°D. 120°【答案】C【解析】【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫故选C【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.8. 若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A. 1：2B. 2：1C. 1：4D. 4：1【答案】A【解析】∵两个相似三角形的面积之比为1：4，∴它们的相似比为1：2，(相似三角形的面积比等于相似比的平方)∴它们的周长之比为1：2．故选A．【点睛】相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长的比等于相似比．9. 如图，已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC．E是射线BC上动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点，连接BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，则线段BE的长为A. 3B. 6C. 3或8D. 2或8【答案】D【解析】【分析】因为如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，那么M与D重合，显然不合题意，故应分两种情况进行讨论．【详解】设线段BE的长为x．如果三角形ADN和BME相似，因为AD∥BC，所以∠ADN和∠MBE一定不相等，故应分两种情况进行讨论．①如图1，当∠ADN=∠BEM时，那么∠ADB=∠BEM，过点D作DF⊥BE，垂足为F，tan∠ADB=tan∠BEM．AB：AD=DF：FE=AB：（BE–AD）．即2：4=2：（x–4）．解得x=8．即BE=8．②如图2，当∠ADB=∠BME，而∠ADB=∠DBE，∴∠DBE=∠BME，∵∠E是公共角，∴△BED∽△MEB，∴DE BE BE EM，∴BE2=DE•EM=12DE2，∴BE2=x2=12[22+（4–x）2]，∴x1=2，x2=–10（舍去），∴BE=2．综上所述线段BE的长为8或2，故选D．【点睛】考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.10. 如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A. 3：2：1B. 5：3：1C. 25：12：5D. 51：24：10【答案】D【解析】【分析】【详解】连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣35）ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5 设GM=5k，GH=12k，∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=512K，∴BH：HG：GM=512k：12k：5k=51：24：10故选：D．11. 1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米；在同一时刻，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的高度应是()A. 80米B. 85米C. 120米D. 125米【答案】D【解析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．解：设电视塔的高度应是x，根据题意得：=，解得：x=125米．故选D．命题立意：考查利用所学知识解决实际问题的能力．12. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝3，BD＝1，则BC的值是（）A. 3B. 3C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】利用射影定理得到BC2=BD•BA，然后把AD=3，BD=1代入计算即可．【详解】解：根据射影定理得BC2=BD•BA，即BC2=1×（1+3），所以BC=2．故选C．【点睛】本题考查射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．13. 如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A. 4：9B. 2：5C. 2：323【答案】A【解析】【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．【详解】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：4：9，故选：A．【点睛】本题是对相似图形的考查，熟练掌握多边形相似的性质是解决本题的关键.二．填空题14. 已知线段a＝10cm，b＝2m，则ba＝__．【答案】201.【解析】【分析】根据比例的定义即可直接写出（注意保持单位一致）．【详解】解：根据题意，b=2m=200cm，则ba＝20010=201.故答案为201. 【点睛】本题考查求线段的比，解题关键是求线段的比的时候，要统一单位． 15. 若 x y z 0234==≠ ，则 2x 3y z+ =________． 【答案】134 【解析】【分析】【详解】设234x y z k ===， 即x=2k, ,y=3k , z=4k .代入2322331313444x y k k k z k k +⨯+⨯===. 考点：比例的应用．16. 已知线段b=2，c=8，若线段a 是线段b 与c 的比例中项，则a=_____．【答案】4【解析】2a bc = 即216a =，则a=4.17. 黄金分割比是=510.61803398-=⋯，将这个分割比用四舍五入法精确到0.001的近似数是 ．【答案】0.618【解析】根据四舍五入的原则将510.61803398-=⋯用四舍五入法精确到0.001的近似数是0.618 18. 如图，点D 、E 、F 分别位于△ABC 的三边上，满足DE ∥BC ，EF ∥AB ，如果AD ：DB=3：2，那么BF ：FC=_____．【答案】3:2【解析】因为DE ∥BC,所以32AD AE DB EC ==,因为EF ∥AB ,所以23CE CF EA BF ==,所以32BF FC =,故答案为: 3:2. 19. 利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是________．【答案】1：4【解析】【分析】根据是相似三角形周长的比等于三角形边长的比解答即可．【详解】因为原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，所以放大前后的两个三角形的周长比为5：20=1：4．故答案为1：4．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，关键是根据相似三角形周长的比等于三角形边长的比解答． 20. 已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，则较大的一个多边形的周长为__；若较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是___．【答案】 (1). 49， (2).10049. 【解析】【分析】根据相似多边形的对应边的比相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为5：7，较小的一个多边形的周长为35．∴较大的一个多边形的周长为35×75=49； ∵面积之比等于相似比的平方，即(75)2=2549． 较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是4×2549=10049. 故答案为(1). 4； (2).10049. 【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．21. 如图，在钝角三角形ABC 中，6AB cm =，12AC cm =，动点D 从A 点出发到B 点止，动点E 从C 点出发到A 点止．点D 运动的速度为1/cm 秒，点E 运动的速度为2/cm 秒．如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似时，运动的时间是___．【答案】3秒或4.8秒 【解析】 【分析】如果以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，由于A 与A 对应，那么分两种情况：①D 与B 对应；②D 与C 对应．再根据相似三角形的性质分别作答．【详解】解：根据题意得：设当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是x 秒， ①若△ADE ∽△ABC ，则AD ：AB=AE ：AC ， 即x ：6=（12-2x ）：12， 解得：x=3；②若△ADE ∽△ACB ，则AD ：AC=AE ：AB ， 即x ：12=（12-2x ）：6， 解得：x=4.8；所以当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故答案为：3秒或4.8秒．【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题．22. 如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，∠A =∠D ，要使△ABC ∽△DEF ，还需添加一个条件，你添加的条件是______．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）【答案】∠B=∠DEC（不唯一） 【解析】试题解析：答案不唯一，如.B DEC ∠=∠ 可添加.B DEC ∠=∠ B DEC A D ∠=∠∠=∠，，.ABC DEF ∴∽故答案为.B DEC ∠=∠点睛：两角分别相等的两个三角形相似.23. 如图，四边形ABCD 中，AD∥BC ，CM 是∠BCD 的平分线，且CM⊥AB ，M 为垂足，AM=AB ．若四边形ABCD 的面积为，则四边形AMCD 的面积是 ．【答案】1． 【解析】试题分析：如图所示：延长BA 、CD ，交点为E ．∵CM 平分∠BCD ，CM⊥AB ，∴MB=ME ． 又∵AM=AB ，∴AE=AB ，∴AE=BE ． ∵AD∥BC ，∴△EAD∽△EBC ，∴，∴S 四边形ADBC =S △EBC =，∴S △EBC =，∴S △EAD =×=，∴S 四边形AMCD =S △EBC ﹣S △EAD =﹣=1．故答案为1．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．24. 如图，某水平地面上建筑物的高度为AB ，在点D 和点F 处分别竖立高是2米的标杆CD 和EF ，两标杆相隔52米，并且建筑物AB 、标杆CD 和EF 在同一竖直平面内，从标杆CD 后退2米到点G 处，在G 处测得建筑物顶端A 和标杆顶端C 在同一条直线上；从标杆FE 后退4米到点H 处，在H 处测得建筑物顶端A 和标杆顶端E 在同一条直线上，则建筑物的高是__________米．【答案】54 【解析】设建筑物的高为x米，根据题意易得△CDG∽△ABG，∴CD DGAB BG=，∵CD＝DG＝2，∴BG＝AB＝x，再由△EFH∽△ABH可得EF FHAB BH=，即24x BH=，∴BH＝2x，即BD＋DF＋FH＝2x，亦即x－2＋52＋4＝2x，解得x＝54，即建筑物的高是54米．25. 在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点△ABC与△OAB相似（相似比不能为1），则C点坐标为．【答案】（4，4）或（5，2）.【解析】【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可．【详解】根据题意得：OA=2，OB=1，5∴当AB与AC对应时，有AB OAAC AB=或者AB OBAC AB=，∴AC=52或AC=5，∵C在格点上，∴AC=52（不合题意），则AC=5，∴C点坐标为（5，2），同理当AB与BC对应时，可求得BC=52或者BC=5，也是只有后者符合题意，此时C点坐标为（4，4），∴C点坐标为（5，2）或（4，4）．故答案为（4，4）或（5，2）．26. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝1，则CD的长为_____．【答案】2．【解析】【分析】根据射影定理得到：CD2=BD•AD，代入求值即可．【详解】∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD=4，BD=1，∴由射影定理得：CD2=BD•AD=1×4=4，∴CD=2（舍去负值）．故答案是：2．【点睛】本题考查了射影定理．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．27. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，B的坐标是（4，2），那么点B′的坐标是___．【答案】（2，1）或（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．【详解】解：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，∴两矩形面积的相似比为：1：2，∵B的坐标是（4，2），∴点B′的坐标是：（2，1）或（-2，-1）．故答案为（2，1）或（-2，-1）．【点睛】本题考查位似变换的性质，得出位似图形对应点坐标特点是解题关键．28. 如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2．OC＝1，则矩形AOCB的对称中心的坐标是___；在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的3 2倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大32倍，得到矩形A2OC2B，…，按此规律，则矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是___．【答案】(1). （﹣1，12），(2). （﹣8116，8132）．【解析】【分析】先利用矩形的性质写出B点坐标，则根据线段中点坐标公式可写出矩形AOCB的对称中心的坐标；再利用以原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系分别写出B1、B2、B3、B4的坐标，然后矩形A4OC4B4的对称中心的坐标．【详解】解：∵OA=2．OC=1，∴B（-2，1），∴矩形AOCB的对称中心的坐标为（-1，12），∵将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形A1OC1B1，∴B 1（-3，32）， 同理可得B 2（-92，94），B 3（-274，278），B 4（-818，8116），∴矩形A 4OC 4B 4的对称中心的坐标是（﹣8116，8132）．故答案为（-1，12），（﹣8116，8132）．【点睛】本题考查作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．三．解答题29. 若x 、y 、z 满足y z x+＝z x y +＝x yz +＝k ，求k 的值．【答案】k ＝﹣1；k ＝2． 【解析】 【分析】可分x+y+z=0和x+y+z ≠0两种情况代入求值和利用等比性质求解． 【详解】①当x+y+z ＝0时，y+z ＝﹣x ， ∴k ＝y z x -＝xx-＝﹣1； ②x+y+z≠0时，k ＝y z z x x y x y z +++++++＝()2x y z x y z++++＝2．即k 的值为：-1或2.【点睛】考查比例性质的应用；分两种情况探讨此题是解题关键． 30. 已知：2a ＝3b ＝4c ，求a bb c++的值． 【答案】57. 【解析】 【分析】设2a ＝3b ＝4c＝k （k≠0），则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，代入求值即可. 【详解】设2a ＝3b ＝4c＝k （k≠0），则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，则a bb c + +=2334k kk k++=57．【点睛】本题考查了比例的性质.31. 如图1，点C将线段AB分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S，2S，如果121S SS S=，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线AB是ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点D，再过点D 作直线DF CE，交AB 于点D ，连接AB（如图3），则直线AB也是ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点D是ABCD的边AB的黄金分割点，过点D作DF CE，交AB于点D ，显然直线AB 是ABCD的黄金分割线．请你画一条ABCD的黄金分割线，使它不经过ABCD各边黄金分割点．【答案】（1）对，理由见解析（2）不可能（3）理由见解析（4）见解析【解析】【分析】【详解】（1）直线CD是ABC的黄金分割线．理由如下：设ABC的边AB上的高为h．12ADCS AD h=△，12BDCS BD h=△，12ABCS AB h=△，所以，ADCABCS ADS AB=△△，BDCADCS BDS AD=△△．又因为点D 为边AB的黄金分割点，所以有AD BD AB AD =．因此ADC BDC ABC ADCS S S S =△△△△． 所以，直线CD 是ABC 的黄金分割线．（2）因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时1212s s s ==，即 121s s s s ≠，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线． （3）因为DFCE ，所以DEC 和FCE △的公共边CE 上的高也相等，所以有DGE FGC S S =△△．设直线EF 与CD 交于点G ．所以DGE FGC S S =△△． 所以ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =四边形△．又因为ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，所以BEFCAEF ABC AEFS S S S =四边形△△△．因此，直线EF 也是ABC 的黄金分割线． （4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF 的中点G ，再过点G 作一条直线分别交AB ，EF 于M ，G 点，则直线DC 就是ABCD 的黄金分割线．画法二：如答图2，在EF 上取一点G ，连接EF ，再过点G 作FM NE ∥交AB 于点M ，连接DC ，则直线DC 就是ABCD 的黄金分割线． （1）由于,,ACDBCDABCSSS是同高，而点D 为边AB 的黄金分割点，则AD BDAB AD=，所以ADC BDCABC ADCS S S S =△△△△，故直线CD 是ABC 的黄金分割线（2）只需判断它们面积比是否相等，若相等则中线是三角形的黄金分割线，否则不是（3）根据平行线间的距离相等，则DGE FGC S S =△△，通过图形面积的转化，直线EF 分三角形的图形面积有BEFCAEFABC AEFSSS S=四边形△△△，故直线EF也是ABC的黄金分割线（4）画法不惟一，只需分成图形面积比相等即可32. 如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，512ABBC-=≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．【答案】矩形ABFE是黄金矩形．说明见解析.【解析】【分析】只需求得其宽与长的比是否符合黄金比即可．【详解】矩形ABFE是黄金矩形．∵AD=BC，DE=AB，∴511151AE AD DE BC AB BCAB AB AB AB---===-=-=-.∴矩形ABFE是黄金矩形．【点睛】本题考查黄金分割定理，解题关键是根据已知条件和正方形的性质进行分析求解．33. 如图所示，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC 于G．(1)说明点G是线段BC的一个三等分点；(2)请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（保留作图痕迹，不必证明）．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据矩形对角线的性质可以判断E 为BC 的二等分点，再由OE ∥CD ，OE=12CD ，得出EG=12GC ，从而得出GC=23CE=13BC ． （2）依题意，根据平行线分线段成比例定理直接在图中作图即可． 【详解】（1）解：∵OE⊥BC，CD⊥BC，∴OE∥CD． ∵△OEF∽△CDF， ∴12EF OE OB FD CD BD === ． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD∥BC． ∴12CG CE EF BG AF FD === ． ∴G 是BC 的三等分点 （2）解：依题意画图所示，【点睛】本题考查的知识点是平行线分线段成比例, 矩形的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例, 矩形的性质.34. 如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ． 某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当BC FE =时，有22321AO AD ==+，如图（1） （2）当11312AE AC ==+时，有113222n nn n b b -+-=⋅=，如图（2） （3）当11413AE AC ==+时，有数与式，如图（3）在图（4）中，当11AEAC n=+时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示AOAD的一般结论，并给出证明（其中n是正整数）【答案】AOAD＝22n+,证明见解析.【解析】【分析】作DF∥BE交AC于F，如图4，根据平行线分线段成比例定理，由DF∥BE得到CFEF=CDBD，则EF=CF，再利用比例性质由AEAC=11n+得到AEEF=2n，再由OE∥DF得到AOOD=AEEF=2n，然后根据比例性质求解．【详解】过D作DF∥BE交AC于F，∴AO：AD＝AE：AF．∵D为BC边的中点，∴CF＝EF＝0.5EC．∵AEAC=11n+，∴AE：（AE+2EF）＝1：（1+n），AE+2EF＝AE+AEnAEn＝2EF，∴AE：EF＝2：n．∴AE：AF＝2：（n+2）．∴AOAD＝22n+．【点睛】本题考查平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．35. 下列每组图形状是否相同？若相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？（1）正三角形ABC与正三角形DEF；（2）正方形ABCD与正方形EFGH．【答案】（1）形状相同．它们的对应角相等，都是60°．对应边的比相等；（2）形状相同．它们的对应角相等，都是90°．对应边的比相等．【解析】【分析】（1）两个正三角形的形状相同，对应角相等，对应边的比相等．（2）两个正方形的形状相同，对应的角相等，对应边的比相等．【详解】（1）正△ABC与正△DEF的形状相同．它们的对应角相等，都是60°．根据正三角形的边长相等可以得到对应边的比相等．（2）正方形ABCD与正方形EFGH的形状相同．它们的对应角相等，都是90°．根据正方形的边长相等可以得到对应边的比相等．【点睛】本题考查相似图形，相似图形是指形状相同的图形，判断两个正多边形的形状是否相同，就看它们的对应角是否相等，对应边的比是否相等．36. 下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m 的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2?解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2x m，根据题意，得x·2x＝288.解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12，所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m)答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.结果为何正确呢？(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC 与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．【答案】（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由；（2）a cb d++＝2.【解析】【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可;（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得A DA B''''＝ADAB，然后利用比例的性质.【详解】解(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m．”前补充以下过程：设温室的宽为x m，则长为2x m.则矩形蔬菜种植区域的宽为(x－1－1)m，长为(2x－3－1)m.∵23111xx----＝242xx--＝2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1；(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要A DA B''''＝ADAB，即()()AD a cAB b d-+-+＝21，即()()2AB a c AB b d -+-+＝21， 即2AB －2(b ＋d )＝2AB －(a ＋c )，∴a ＋c ＝2(b ＋d )， a c b d即++＝2.【点睛】本题考查了相似多边形的性质及比例的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.37. 如图，四边形ABCD 为平行四边形，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，过点E 作EF ∥AB ，交AD 于点F ，连接BF ．（1）求证：BF 平分∠ABC ；（2）若AB ＝6，且四边形ABCD ∽四边形CEFD ，求BC 长．【答案】（1）证明见解析；（2）BC ＝5【解析】【分析】（1）首先证明四边形ABEF 是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线证出∠BAE=∠AEB ，证出AB=EB ，得出四边形ABEF 是菱形，即可得出结论；（2）由相似多边形的性质得出对应边成比例，即可得出BC 的长．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠FAE ＝∠AEB ，∵EF ∥AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AE 平分∠BAD ，∴∠FAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝EB，∴四边形ABEF是菱形，∴BF平分∠ABC；（2）解：∵四边形ABEF为菱形；∴BE＝AB＝6，∵四边形ABCD∽四边形CEFD，∴AB BCCE CD=，即666BCBC=-，解得：BC＝3±35（负值舍去），∴BC＝3+35．【点睛】本题考查菱形的判定与性质、相似多边形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形ABEF是菱形是解题关键．38. 将两块全等的含30°角的三角尺如图①摆放在一起，它们的较短直角边长为6（1）将△DCE沿直线l向右平移到图②的位置，使E点落在AB上，求平移的距离；（2）将△DCE绕点C按顺时针方向旋转到图③的位置，使点E落在AB上，则△DCE旋转了多少度数；（3）将△DCE沿直线AC翻折到图④的位置，ED′与AB相交于点F，求证：BF＝EF．【答案】（1）CC′＝6﹣3；（2）△DCE旋转的度数是30度；（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据三角函数求得AC的长，易证△BEC′∽△BAC，根据相似三角形对应边的比相等，即可求得BC′，则可得CC′的长；（2）根据旋转的定义得到：CE=CB，易证△BCE是等边三角形，则∠BCE可得，则△DCE旋转的度数即可求解；（3）证明△AEF≌△DBF即可证得．【详解】（1）在直角△ABC中，AC＝BC•tan60°＝63．∵△BEC′∽△BAC，∴'BCBC＝'C EAC即'6BC＝63，解得：BC′＝23，∴CC′＝BC﹣BC′＝6﹣23；（2）∵△BCE中，CE＝CB，∠EBC＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90﹣60＝30°，即△DCE旋转的度数是30度．（3）∵AC＝CD，CE＝CB，∴AE＝BD，又∵∠AFE＝∠DFB，∠A＝∠EDC，∴△AEF≌△DBF，∴BF＝EF．【点睛】本题考查旋转的定义，注意先确定旋转角，并且在证明线段相等的问题时，一般是转化为证明三角形全等的问题来解决．39. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）；（2）已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长；（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3对，分别是：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD ，△ACD∽△CBD；（2）4.8；（3）存在，（1.35，3）或（3.15，1.8）．【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到12AB•CD=12AC•BC，即可求出CD的长；（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD．故答案为3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；（2）如图1，在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，∴==6．∵△ABC的面积=12AB•CD=12AC•BC，∴CD=6810AC BCAB⋅⨯==4.8；（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB=90°，BC=6，OC=4.8，∴==3.6．分两种情况：①当∠BQP=90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，。
人教版数学九年级下《第27章相似》单元检测题有答案
ABCPD(第6题图)(第3题图)(第4题图)A BCDEF人教版数学九年级下《第27章相似》单元检测题有答案一、选择题1.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且BC ∶B ′C ′＝ AC ∶A ′C ′，若AC ＝3，A ′C ′＝1.8，则△ABC与△A ′B ′C ′的相似比是( ).A ．2∶3B ．3∶2C ．5∶3D ．3∶5 2. 下列说法正确的是（ ）.A ．所有的矩形都是相似形B ．所有的正方形都是相似形C ．对应角相等的两个多边形相似D ．对应边成比例的两个多边形相似 3. 若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们的周长之比为( ).A . 1:2B . 1:4C . 1:5D . 1:16 4. 如图，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m ，与旗杆相距22m ，则旗杆的高为（ ）. A ．12m B ．10m C ．8m D ．7m5．如图，已知△ABC 与△ADE 中，则∠C ＝∠E , ∠DAB ＝∠C A E,则下列各式①∠D =∠B , ② AF AC ＝ AD AB , ③DEBC＝AE AC ,④ AD AE ＝ ABAC中，成立的个数是（ ）. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．如图， AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点P ，AB ＝4， CD ＝7，AD ＝10，则AP 的长等于 （ ）． A ．7011 B ．407 C ．704D ．40117．如图，若∠1=∠2=∠3，则图中相似的三角形有（ ）.A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对（第7题图）(第13题图)ACBD E (第11题图) DCB A(第12题图) (第7题图)8．如图，∠ABD =∠BDC =90°，∠A =∠CBD ，AB =3，BD =2，则CD的长为（ ）A ．43B ． 34C ．2D ．3二、填空题9．若///C B A ABC ∆∆∽，且∠A ＝45°，∠B ＝30°，则∠C ′＝_________ ．10.已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为2:3，则△ABC 与△DEF 对应边上的中线的比为________.10．在一张比例尺为1∶20的图纸上，某矩形零件的面积为12cm 2；则这个零件的实际面积为 cm 2．11．如图，在Ｒt △ABC 中,∠B =90°,点D 是AB 边上的一定点,点E 是AC 上的一个动点,若再增加一个条件就能使△ADE 与△ABC 相似,则这个条件可以是___________．12.如图，BC 平分∠ABD ，AB =12，BD =15，如果∠ACB =∠D ，那么BC 边的长为 .13.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．三、解答题（本大题共5小题，共44分）15. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 为角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．写出图中一对相似比不为1的相似三角形并加以证明．16.已知△ABC ∽△ADE ，AB =30cm ，AD =18cm ，BC =20cm ，∠BAC =75°，∠ABC=40°．（1）求∠ADE 和∠AED 的度数；D EA（2）求DE 的长．18.如图，已知A （﹣4，2），B （﹣2，6），C （0，4）是直角坐标系平面上三点． （1）把△ABC 向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A 1B 1C 1．画出平移后的图形，并写出点A 的对应点A 1（2）以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的一半，得到△A 2B 2C 2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．19.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE =∠B . （1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AB =8，AD =6，AF =4，求AE 的长．九年级数学单元检测题答案(第27章)一、选择题(本大题共8小题.每小题4分，共32分) 1.C 2.B 3.A 4. A 5.C 6.D 7.D 8.B 二、填空题(本大题共6小题.每小题4分，共24分)•9.105 ° 10.2:3 11. 4800 12. DE AC 13.14. 22.5三、解答题（本大题共5小题，共44分） 15. (6分)解：△ABC ∽△BCD ；证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°． ∵BD 为角平分线，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝36°＝∠A ． 又∵∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BCD ．16. (8分)解：（1）∵∠BAC =75°，∠ABC =40°，∴∠C =180°﹣∠BAC ﹣∠ABC =180°﹣75°﹣40°=65°， ∵△ABC ∽△ADE ，∴∠ADE =∠ABC =40°，∠AED =∠C =65°；（2）∵△ABC ∽△ADE ，∴∠A ＝∠BCD ．在△ACD 中，∠ADC ＝90°， ∴∠A ＋∠ACD ＝90°．∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，即∠ACB ＝90°．18. (10分)（1）△A 1B 1C 1如图所示，其中A 1的坐标为：（0，1）；（2）符合条件△A 2B 2C 2有两个，如图所示．∥CD ，AD ∥BC ， ∴∠C +∠B =180°，∠ADF =∠DEC ． ∵∠AFD +∠AFE =180°，∠AFE =∠B ， ∴∠AFD =∠C ． ∴△ADF ∽△DEC ．（2）解：∵□ABCD ，∴CD =AB =8． 由（1）知△ADF ∽△DEC ，∴DE AD =CD AF ，∴DE =AFCDAD ∙==12．在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE =22AD DE -=22)36(12-=6．。
第27章 相似单元测试卷(含答案)
第27章相似单元检测卷一、选择题.（每小题3分，共30分）1.下列四组线段中，不是成比例线段的为（）A.a=3，b=6，c=2，d=4B.a=4，b=6，c=5，d=10C.a=1，b=2，c=6，d=3D.a=2，b=5，c=15，d=232.下列命题正确的是（）A.所有的等腰三角形都相似B.所有的菱形都相似C.所有的正方形都相似D.有一个角是30°的两个等腰三角形相似3.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（）A.12=DE BC B. =AD AEAB ACC.△ADE∽△ABCD.S△ADE∶S△ABC=1∶2第3题图第5题图第6题图4.如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长比是（）A.1∶16B.1∶4C.1∶6D.1∶25.如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）6.（2016·安徽）如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）A.4B.42C.6D.437.如图，在下列由位似变换得到的图形中，其相似比为2的是（点A是原图形上的点）（）A.OA=OA′B.OA=AA′C.OA=12AA′D.OA′=2AA′8.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=14CD，下列结论：①△ABE∽△AEF；②AE⊥EF；③△ADF∽△ECF，其中正确的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个第8题图第9题图第10题图9.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4，BC=6，以斜边AB上一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）A.2.5B.1.6C.1.5D.110.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB,∠DAB=90°,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E、F,则BFEF的值是（）A. 2-1B.2+ 2C. 2+1D. 2二、填空题.（每小题3分，共24分）11.若△ABC∽△A′B′C′,AB=16cm,A′B′=4cm,AD平分∠BAC,A′D′平分∠B′A′C′,A′D′=3cm,则AD= cm.12.若△ABC的三边之比为2∶5∶6，与其相似的另一个△A′B′C′的最大边长为15cm,那么△A′B′C′的最小边长为.13.已知E(-3，3),F(-1，-1),以坐标原点O为位似中心，按相似比为2∶1把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标为.14.如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,且AD=12BC，E为AD上一点，AC与BE交于点F，若AE∶DE=2∶1，则AEFCBFSSVV= .第14题图第15题图第16题图第17题图第18题图15.如图，路灯距离地面8m，身高1.6m的小明站在距离灯的底部（点O）16m的点A 处，则小明的影子AM长m.16.（2016·湖南娄底）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是.（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）17.（2016·四川成都）如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H.若AC=24，AH=18，⊙O的半径OC=13，则AB= .18.如图，在△ABC中，∠B=90°,AB=6,BC=8,沿DE将△ABC折叠，使点C落在AB边上的C ′处，并且C ′D ∥BC ,则CD 的长是 .三、解答题.（共66分）19.（8分）（2016·广西南宁改编）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2,2），B （4,0），C （4，-4）.（1）请画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；（2）以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请在y 轴右侧画出△A 2B 2C 2，并求出111222A B C A B C S S V V 的值.20.（8分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点.△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F .求证：（1）△ACB ∽△DCE ;（2）EF ⊥AB .21.（8分）（2016·浙江杭州）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED =∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且=AD DE AC CG . （1）求证：△ADF ∽△ACG ；（2）若12=AD AC ，求AF FG的值.22.（8分）如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，连接DE .求证：∠AED =∠ABC .23.（10分）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD ,BC =20cm,BC 、EF 平行于地面AD 且到地面AD 的距离分别为40cm 、8cm.为使板凳两腿底端A 、D 之间的距离为50cm ，那么横梁EF 应为多长？（材质及厚度等忽略不计）24.（12分）如图，在直角坐标系xOy中，直线y=12x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限内作矩形ABCD，使得AD=5.过点D作DH⊥OA，垂足为H.（1）求证：△ADH∽△BAO;（2）求点D的坐标.25.（12分）（2016·湖北襄阳）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=25，求BE的长.。
人教版九下数学《第27章 相似》单元测试卷(解析版)
人教版九下数学《第27章相似》单元测试卷（解析版）一．选择题（共10小题）1．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．已知线段a、b、c、d满足ab＝cd，把它改写成比例式，错误的是（）A．a：d＝c：b B．a：b＝c：d C．d：a＝b：c D．a：c＝d：b 3．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是（）A．AB2＝AC•CB B．CB2＝AC•AB C．AC2＝BC•AB D．AC2＝2BC•AB 4．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC＝（）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：65．通过一个3倍的放大镜看一个△ABC，下面说法正确的是（）A．△ABC放大后，∠A是原来的3倍B．△ABC放大后周长是原来的3倍C．△ABC放大后，面积是原来的3倍D．以上都不对6．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（）A．2：1B．：1C．3：D．3：27．如图所示，△ACB∽△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°8．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC 的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．D．9．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．如图，身高1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，则树的高度为（）A．4.8 m B．6.4 m C．8 m D．10 m二．填空题（共5小题）11．已知3x＝5y，则＝．12．在比例尺为1：2000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为4.5厘米，则其实际距离为米．13．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC＝．（用根号表示）14．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为．15．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的倍．三．解答题（共5小题）16．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．17．如图，A、B两地隔着湖水，从C地测得CA＝50m，CB＝60m，∠ACB＝145°，用1厘米代表10米（就是1：1000的比例尺）画出如图的图形．量出AB的长（精确到1毫米），再换算出A、B间的实际距离．18．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．19．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．20．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于；②当菱形的“接近度”等于时，菱形是正方形．（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．2019年人教版九下数学《第27章相似》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x＝3y，即可判断．【解答】解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误；B、变成等积式是：3x＝2y，故错误；C、变成等积式是：2x＝3y，故正确；D、变成等积式是：3x＝2y，故错误．故选：C．【点评】本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．2．【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．【解答】解：A、a：d＝c：b⇒ab＝cd，故正确；B、a：b＝c：d⇒ad＝bc，故错误；C、d：a＝b：c⇒dc＝ab，故正确；D、a：c＝d：b⇒ab＝cd，故正确．故选：B．【点评】掌握比例的基本性质，根据比例的基本性质实现比例式和等积式的互相转换．3．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：根据线段黄金分割的定义得：AC2＝BC•AB．故选：C．【点评】本题主要考查了黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，难度适中．4．【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，计算得到答案．【解答】解：作DH∥BF交AC于H，∵AD是△ABC的中线，∴FH＝HC，∵DH∥BF，∴＝＝，∴AF：FC＝1：6，故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5．【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方来判断．【解答】解：用一个能放大3倍的放大镜看△ABC，则看到的三角形与△ABC相似，相似比是3：1，A、两个相似三角形的对应角相等，故A错；B、周长的比等于相似比，即△ABC放大后，周长是原来的3倍，故B正确；C、面积的比是相似比的平方，即9：1，△ABC放大后，面积是原来的9倍，故C错；D、A选项错误，故D错．故选：B．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．6．【分析】根据折叠性质得到AF＝AB＝a，再根据相似多边形的性质得到＝，即＝，然后利用比例的性质计算即可．【解答】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，∴AF＝AB＝a，∵矩形AFED与矩形ABCD相似，∴＝，即＝，∴（）2＝2，∴＝．故选：B．【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．7．【分析】根据相似三角形性质求出∠ACB＝∠A′CB′，都减去∠A′CB即可．【解答】解：∵△ACB∽△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB，∴∠ACA′＝∠BCB′，∵∠BCB′＝30°，∴∠ACA′＝30°，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形性质的应用，注意：相似三角形的对应角相等．8．【分析】A、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；B、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；C、其夹角不相等，所以不能判定相似；D、其夹角是公共角，根据两边的比相等，且夹角相等，两三角形相似．【解答】解：A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；C、∵，当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC，所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；D、∵，又∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．9．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，然后平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，∴＝，故A正确，选项不符合题意；∴＝正确，B选项不符合题意；＝，正确，故C不符合题意；∴＝，错误，D符合题意．故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．10．【分析】可由平行线分线段成比例求解线段的长度．【解答】解：由题意可得，＝，即树高＝＝8m，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．【分析】根据两外项的积等于两内项的积，可得答案．【解答】解：∵3x＝5y，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质：外项的积等于内项的积．12．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．【解答】解：设A，B两地的实际距离为xcm，则：1：2000＝4.5：x，解得x＝9000．9000cm＝90m．故答案为：90．【点评】本题考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．13．【分析】用AC表示出BC，然后根据黄金分割点的定义列方程求解即可．【解答】解：∵AC＞BC，AB＝2，∴BC＝AB﹣AC＝2﹣AC，∵点C是线段AB的黄金分割点，∴AC2＝AB•BC，∴AC2＝2（2﹣AC），整理得，AC2+2AC﹣4＝0，解得AC＝﹣1+，AC＝﹣1﹣（舍去）．故答案为：﹣1+．【点评】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割点的定义并列出关于AC的方程是解题的关键．14．【分析】根据平行线分线段成比例定理推出＝，代入求出即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AD ＝1，BD ＝2，∴AB ＝3，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线被两条直线所截的对应线段成比例中的对应．题目较好，但是一道比较容易出错的题目．15．【分析】由题意一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．【解答】解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，∴扩大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的周长的比等于相似比，∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，故答案为：5．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．三．解答题（共5小题）16．【分析】（1）设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入等式求解得到k ，然后求解即可；（2）根据比例中项的定义列式求解即可．【解答】解：（1）设＝＝＝k ，则a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝6k ，所以，3k +2×2k +6k ＝26，解得k ＝2，所以，a ＝3×2＝6，b ＝2×2＝4，c ＝6×2＝12；（2）∵线段x 是线段a 、b 的比例中项，∴x2＝ab＝6×4＝24，∴线段x＝2．【点评】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．17．【分析】根据比例尺的定义，1厘米代表10米，把CA＝50m，CB＝60m，转化为CA ＝5cm，CB＝6cm，结合题意画图，再测量AB的长，最后换算出A、B间的实际距离．【解答】解：如图，测得AB长约10.5cm，换算成实际距离约为10.5×1000＝10500cm＝105m．即A、B间的实际距离是105m．【点评】本题考查了比例问题以及两点之间的距离是连接两点的线段的长度．18．【分析】（1）判断△ABC∽△BDC，根据对应边成比例可得出答案．（2）根据黄金比值即可求出AD的长度．【解答】解：（1）∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝36°，∠BDC＝72°，∴AD＝BD，BC＝BD，∴△ABC∽△BDC，∴＝，即＝，∴AD2＝AC•CD．∴点D是线段AC的黄金分割点．（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD＝AC，∵AC＝2，∴AD＝﹣1．【点评】本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是仔细审题，理解黄金分割的定义，注意掌握黄金比值．19．【分析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由AB＝6，BC＝8，DF＝21即可求出DE的长．（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出HE及HB 的长，然后即可得出BE的长．【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴，∵AB＝6，BC＝8，DF＝21，∴，∴DE＝9．（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，则CG＝BH＝AD＝9，∴GF＝14﹣9＝5，∵HE∥GF，∴，∵DE：DF＝2：5，GF＝5，∴，∴HE＝2，∴BE＝9+2＝11．【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．20．【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；（2）不合理，举例进行说明．【解答】解：（1）①∵内角为70°，∴与它相邻内角的度数为110°．∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为，越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．人教版九年级下学期相似三角形单元过关测试卷与参考答案一、选择题（每小题5分，共25分）1．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确的是（ ） A ．12DE BC =B ．AD AEAB AC=C ．△ADE ∽△ABCD ．S △ADE ：S △ABC =1：2 2．在△ABC ∽△'''A B C 中，有下列条件：①.''''AB BC A B B C =；②. ''''BC ACB C A C =；③.'A A ∠=∠;④.'C C ∠=∠.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△'''A B C 共有（ ） A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 3．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB=9，BD=3，则CF 等于（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4（第1题） （第3题） （第4题 ） （第5题 ） 4．在四边形ABCD 中，∠B=90°，AC=4，AB ∥CD ，DH 垂直平分AC ，点H 为垂足．设AB=x ，AD=y ，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A →B 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜4），连接DE ，当以B 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，t 的值为（ ）A ．2B ．2.5或3.5C ．2或3.5D ．2或2.5 二、填空题（每小题5分，共15分）6．两个相似三角形的一对对应边长分别为20cm ，25cm ，它们的周长差为12cm ，则这两个三角形的周长分别是________．7.如图，一束光线从点A （3，3）出发，经过y 轴上点C 反射后经过点B （1，0），则光线从点A 到点B 经过的路径长为 ．第8题图第7题图8. 如图，在已建立直角坐标系中，Rt △ABO 的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，ABO 90∠=,OA 与反比例函数()ky x 0x=<的图象交于点D ,且OD 2AD =,过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C . 若S 四边形ABCD 10=，则k 的值为 ．三、解答题(共60分 第9、10题各10分，第11题12分，第12题13分，第13题15分) 9.如图，已知,AB 3AC BD 3AE ==,且BD ∥AC ,点B A E 、、在同一直线上. 求证：△ABD ∽△CAE ;10 .如图，在□ABCD 中，点E 在BC 边上，点F 在DC 的延长线上，且∠DAE =∠F ． 若AB =5，AD =8，BE =2，求FC 的长．FEADCBB11．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，试判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由12．如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．（1）求证：AD∥BC；（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长．13．如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．（1）求证：△BDG∽△DEG；（2）若EG•BG=4，求BE的长．单元测试卷与参考答案一、选择题1．D 2．C 3．B 4．D 5．C 二、填空题6．48cm 和60cm 7．5 8．-16 三、解答题 9.证明：∵ BD ∥AC,点B,A,E 在同一条直线上， ∴ ∠DBA=∠CAE,又∵,AB 3AC BD 3AE ==.3BDAE==.∴ABD CAE ∆∆∽.10．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC . ∴∠B =∠ECF ，∠DAE =∠AEB. 又∵∠DAE =∠F ，∴∠AEB =∠F .∴△ABE ∽△ECF ． ∵△ABE ∽△ECF ，∴AB BE EC CF=. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC =AD =8.∴EC =BC -BE =8-2=6.∴526CF =.∴125CF =.11．解：∵∠AED +∠CEF=90°，∠DAE +∠ADE=90°，∴∠DAE=∠CEF ，∵∠ADE=∠ECF=90°， ∴△ADE ∽△ECF ，且相似比为2，∴AE=2EF ，AD=2DE ，又∵∠ADE=∠AEF ，∴△ADE ∽△AEF ， ∴∠1=∠2．12．（1）证明：∵AD 平分∠CAE ，∴∠DAG=12∠CAG ，∵AB=AC ，∴∠B=∠ACB ， ∵∠CAG=∠B +∠ACB ，∴∠B=12∠CAG ，∴∠B=∠CAG ，∴AD ∥BC ； （2）解：∵CG ⊥AD ，∴∠AFC=∠AFG=90°， 在△AFC 和△AFG 中，CAF GAF AF AFAFC AFG ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△AFC ≌△AFG （ASA ），∴CF=GF ，∵AD ∥BC ，∴△AGF ∽△BGC ，∴GF ：GC=AF ：BC=1：2，∴BC=2AF=2×4=8． 13．（1）证明：∵将△BCE 绕点C 顺时针旋转到△DCF 的位置，∴△BCE ≌△DCF ，∴∠FDC=∠EBC ，∵BE 平分∠DBC ，∴∠DBE=∠EBC ，∴∠FDC=∠EBD ，∵∠DGE=∠DGE ，∴△BDG ∽△DEG ．（2）解：∵△BCE ≌△DCF ，∴∠F=∠BEC ，∠EBC=∠FDC ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=45°，∵BE 平分∠DBC ，∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC ， ∴∠BEC=67.5°=∠DEG ，∴∠DGE=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°，即BG ⊥DF ，∵∠BDF=45°+22.5°=67.5°，∠F=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠BDF=∠F，∴BD=BF，∴DF=2DG，∵△BDG∽△DEG，BG×EG=4，∴DG BGEG DG，∴BG×EG=DG×DG=4，∴DG2=4，∴DG=2，∴BE=DF=2DG=4人教版数学九年级下册第二十七章相似章末专题训练人教版数学九年级下册第二十七章相似章末专题训练一、选择题1.下列各组图形相似的是( B )A．B．C．D．2.制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ C ）A．360元B．720元C．1080元D．2160元3.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交，l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交，l1，l2，l3于点D，E，F.若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是( D )A． 6B． 8C． 9D． 124.如图,已知DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式错误的是( C )A. B.C. D.5.在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，根据下列条件，能判断△ABC和△DEF相似的是( B )A．＝B．＝C．∠A＝∠ED．∠B＝∠D6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( C )A．1对B．2对C．3对D．4对7.如图，将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上，恰好完全重合，BE、CE分别交AD于点F、G，BC＝6，AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，则AB的长为( C )A． 1B．C．D． 28. 下列说法正确的是( A )A. 位似图形一定是相似图形B. 相似图形一定是位似图形C. 两个位似图形一定在位似中心的同侧D. 位似图形中每对对应点所在的直线必互相平行9.已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，则△ABC与△DEF的周长之比为( A )A． 1∶2B． 1∶4C． 2∶1D． 4∶110. 如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2.若BC＝1，则EF的长是( D )A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题11.如图所示，C 为线段AB 上一点，且满足AC ∶BC ＝2∶3，D 为AB 的中点，且CD ＝2 cm ，则AB ＝________ cm.【答案】2012.在比例尺为 1:6 000 000 的海南地图上，量得海口与三亚的距离约为 3.7 厘米，则海口与三亚的实际距离约为 千米． 【答案】22213.在△ABC 中，MN ∥BC 分别交AB ，AC 于点M ，N ；若AM ＝1，MB ＝2，BC ＝3，则MN 的长为__________．【答案】114.如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，在BA 的延长线上取一点E ，连接OE 交AD 于点F.若CD ＝5，BC ＝8，AE ＝2，则AF ＝ . 【答案】16915.在△ABC 中，AB ＝6 cm ，AC ＝5 cm ，点D 、E 分别在AB 、AC 上．若△ADE 与△ABC 相似，且S △ADE ∶S 四边形BCED ＝1∶8，则AD ＝__________ cm. 【答案】2或 三、解答题16. 已知四条线段a ,b ,c ,d 的长度,试判断它们是否成比例: (1)a =16 cm,b =8 cm,c =5 cm,d =10 cm; (2)a =8 cm,b =5 cm,c =6 cm,d =10 cm.(1) 【答案】∵8×10=80,16×5=80,∴bd =ac.∴能够成比例. (2) 【答案】∵8×6=48,10×5=50,∴不能够成比例.17.问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息如图1：甲组：测得一根直立于平地，长为80 cm的竹竿的影长为60 cm；如图2：乙组：测得学校旗杆的影长为900 cm；如图3：丙组：测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为350 cm，影长为300 cm.解决问题：(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度？(2)如图3，设太阳光线MH与⊙O相切于点M，请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径？【答案】解(1)∵同一时刻物高与影长成正比，∴＝，即＝，解得DE＝1 200 cm；(2)连接OM，设OM＝r，∵同一时刻物高与影长成正比，∴＝，即＝，解得NG＝400 cm，在Rt△NGH中，NH＝＝＝500 cm，设⊙O的半径为r，∵MH与⊙O相切于点M，∴OM⊥NH，∴∠NMO＝∠NGH＝90°，又∵∠ONM＝∠GNH，∴△NMO∽△NGH，∴＝，即＝，又∵NO＝NK＋KO＝(NG－KG)＋KO＝400－350＋r＝50＋r，∴500r＝300(50＋r)，解得r＝75 cm.故景灯灯罩的半径是75 cm.18.如图已知，在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，BE交CD于点O.求证：△ABE∽△OCE.证明：因为CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，所以∠AEB ＝∠ADC ＝90°.又∠A ＝∠A ，所以∠ABE ＝∠OCE.又因为∠AEB ＝∠OEC ，所以△ABE ∽△OCE.18.如图所示，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且CE ＝BD ，BE 、AD 相交于点F .求证： (1)△ABD ≌△BCE ； (2)△AEF ∽△ABE .【答案】证明 (1)∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠C ＝∠BAC ＝60°， 在△ABD 和△BCE 中，∴△ABD ≌△BCE (SAS)； (2)∵△ABD ≌△BCE ， ∴∠BAD ＝∠CBE ， ∴∠EAF ＝∠ABE ， ∵∠AEF ＝∠BEA ， ∴△AEF ∽△ABE .19. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标为A (-2,3),B (-3,2),C (-1,1).(1)若将△ABC 向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度,请画出平移后的△A 1B 1C 1; (2)画出△A 1B 1C 1绕原点旋转180°后得到的△A 2B 2C 2;(3)△A'B'C'与△ABC 是位似图形,请写出位似中心的坐标: ; (4)顺次连接C ,C 1,C',C 2,所得到的图形是轴对称图形吗?(1) 【答案】如答图.(2) 【答案】如答图.(3) 【答案】(0,0)(4) 【答案】如答图,所得图形是轴对称图形.20.如图，△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°.(1)若将△DEP的顶点P放在BC上(如图1)，PD、PE分别与AC、AB相交于点F、G.求证：△PBG∽△FCP；(2)若使△DEP的顶点P与顶点A重合(如图2)，PD、PE与BC相交于点F、G.试问△PBG与△FCP还相似吗？为什么？【答案】(1)证明如图1，∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，∴∠BPG＋∠CPF＝135°，在△BPG中，∵∠B＝45°，∴∠BPG＋∠BGP＝135°，∴∠BGP＝∠CPF，∵∠B＝∠C，∴△PBG∽△FCP；(2)解△PBG与△FCP相似．理由如下：如图2，∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，∵∠BGP＝∠C＋∠CPG＝45°＋∠CAG，∠CPF＝∠FPG＋∠CAG＝45°＋∠CAG，∴∠AGP＝∠CPF，∵∠B＝∠C，∴△PBG∽△FCP.21.如图所示，△ABC是等边三角形，P是BC上一点，且△ABP∽△PCD.求∠APD的度数．解：△ABP∽△PCD，∴∠BAP＝∠CPD.∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BAP＋∠BPA＝180°－60°＝120°，∴∠BPA＋∠CPD＝120°，∴∠APD＝180°－(∠BPA＋∠CPD)＝180°－120°＝60°.22.将一张长、宽之比为的矩形纸ABCD依次不断对折，可得到的矩形纸BCFE，AEML，GMFH，LGPN.(1)矩形BCFE，AEML，GMFH，LGPN，长和宽的比变了吗？(2)在这些矩形中，有成比例的线段吗？(3)你认为这些大小不同的矩形相似吗？【答案】解(1)矩形BCFE，AEML，GMFH，LGPN，长和宽的比不变；(2)在这些矩形中，有成比例的线段．(3)这些大小不同的矩形相似．。
人教版九年级下册数学《第27章相似》单元检测试卷含答案
第27章相似单元检测一、选择题1. 将下图中的箭头缩小到原来的12，得到的图形是( )A. B.C. D.2. 如图，AB //EF //CD ，BC 、AD 相交于点O ，F 是AD 的中点，则下列结论中错误的是( )A. AO AD =BO BCB. OB CE =OA DFC. EF CD =OE BED. 2BE AD =OE OF3. 下列各组数中，成比例的是( )A. −6，−8，3，4B. −7，−5，14，5C. 3，5，9，12D. 2，3，6，124. 不为0的四个实数a 、b ，c 、d 满足ab =cd ，改写成比例式错误的是( )A. a c =d bB. c a =b dC. d a =b cD. a b =c d5. 如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是( )A. AB BP =AC CBB. ∠APB =∠ABCC. APAB =ABACD. ∠ABP=∠C6.已知C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则AC：AB=( )A. (−1)：2B. (+1)：2C. (3−：2D. (3+：27.对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是( )A. 平移B. 旋转C. 轴对称D. 位似8.已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为( )A. 48 cmB. 54 cmC. 56 cmD. 64 cm9.下列各组图形不一定相似的是( )A. 两个等腰直角三角形B. 各有一个角是100∘的两个等腰三角形C. 各有一个角是50∘的两个直角三角形D. 两个矩形10.如图所示，△ABC中，DE//BC，AD=5，BD=10，DE=6，则BC的值为( )A. 6B. 12C. 18D. 24二、填空题11.如果两个相似三角形对应角平分线的比是4：9，那么它们的周长比是______ ．12.如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F.如果AB=6，BC=10，那么DEDF的值是______ ．13.如果线段a、b、c、d满足ab =cd=13，那么a+cb+d=______ ．14.已知线段a=3，b=6，那么线段a、b的比例中项等于______ ．15.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果ADAB =23，AE=4，那么当EC的长是______ 时，DE//BC．三、解答题16.已知△ABC，作△DEF，使之与△ABC相似，且S△DEFS△ABC=4.要求：(1)尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．(2)简要叙述作图依据．17. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE //BC ，已知AE =6，AD BD =34，求CE 的长．18. 如图，在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AD 于点F ．(1)AB ，BC ，BF ，DE 这四条线段能否成比例？如不能，请说明理由；如能，请写出比例式；(2)若AB =10，DE =2.5，BF =5，求BC 的长．19.已知a3=b4=c5≠0，求2a−b+ca+3b的值．20.作图题用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，在△ABC中，AB>AC，点D位于边AC上．求作：过点D、与边AB相交于E点的直线DE，使以A、E为顶点的三角形与原三角形相似．【答案】1. A2. C3. A4. D5. A6. A7. D8. A9. D10. C11. 4：912. 3813. 1314. 315. 616. 解：(1)如图所示：△DEF即为所求；(2)∵△DEF∽△ABC，且S△DEFS△ABC=4，∴DEAB =DFAC=EFBC=12，∴作AB，AC的垂直平分线，进而得出AB，AC的中点，即可得出ED，EF，DF的长．17. 解：∵DE//BC，∴AEEC =ADBD=34，∵AE=6，∴CE=8．18. 解：(1)(1)证明：∵在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥AD，∴S▱A BCD=AB⋅DE=AD⋅BF，∴ADDE =ABBF；(2)∵AB⋅DE=AD⋅BF，∴10×2.5=5BC，解得：BC=5．19. 解：设a3=b4=c5=k，所以，a=3k，b=4k，c=5k，则2a−b+ca+3b =6k−4k+5k3k+12k=715．20. 解：如图1所示：△AED∽△ABC，如图2所示：△ADE∽△ABC，综上所述：直线DE即为所求．。
第27章《相似》单元检测试卷(含答案)
第27章相似单元检测试卷考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.已知x:y=2:5，下列等式中正确的是（）A.(x+y)：y=2:5B.(x+y)：y=5:2C.(x+y)：y=3:5D.(x+y)：y=7:52.如图，在△ABF中，D为AB的中点，C为BF上一点，AC与DF交于点E，AE=34AC，则BCCF的值为（）A.1B.34C.43D.23.如图，点D在BC上，∠ADC=∠BAC，下列结论中，正确的是（）A.△ABC∽△DACB.△ABC∽△ADCC.△ABC∽△DABD.△ABD∽△ACD4.已知如图，点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则下列结论中正确的是（）A.AB2=AC2+BC2B.BC2=AC⋅BAC.AC2=AB⋅BCD.AC=2BC 5.若三角形的每条边长都扩大为原来的5倍，则下列说法正确的是（）A.每个角都扩大5倍B.周长扩大5倍C.面积扩大5倍D.无法确定6.如图，在△ABC中，DE // BC，下列比例式成立的是（）A.ADDB=DEBCB.DEBC=ACECC.ADDB=AEECD.DBAD=AEEC7.下列说法正确的是（）①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的直角三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似．A.①②B.②③C.③④D.②④8.下列命题错误的是（）A.两个全等的三角形一定相似B.两个直角三角形一定相似C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D.相似的两个三角形不一定全等9.在相同水压下，口径为4cm的水管的出水量是口径为1cm的水管出水量的（）A.4倍B.8倍C.12倍D.16倍10.身高1.6米的小芳站在一棵树下照了一张照片，小明量得照片上小芳的高度是1.2厘米，树的高度为6厘米，则树的实际高度大约是（）A.8米B.4.5米C.8厘米D.4.5厘米二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.在梯形ABCD中，AB // DC，AB=18cm，DC=8cm，E，F分别是腰AD，BC上的点，且EF // AB，若梯形DEFC∽梯形EABF，那么EF=________cm．12.若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的周长比为1:2，则△ABC与△DEF的面积比为________．13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，CD⊥AB于D．若AD=2cm，DB=6cm，则CD=________．14.如图，△AOB∽△DOC，且AO=3，OB=4，OD=6，则BC=________．15.如图，△ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=23AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于________．16.如图，在△ABC中，DE // BC，AE:EC=3:5，则S△ADE:S△ABC=________．17.如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP⋅AB；④AB⋅CP=AP⋅CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是________（只填序号）．18.如图，梯形ABCD中，AB // CD，∠B=∠C=90∘，点F在BC边上，AB=8，CD= 2，BC=10，若△ABF与△FCD相似，则CF的长为________． 19.如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交A8于点F，AF=x(0.2≤x≤0.8)，EC=y．则大致能反映y与x之闻函数关系的是________．20.数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为________米．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.如图，在正方形网格上，请你画两个三角形，使它们不全等且分别与图中的△ABC相似，其相似比不为1，三角形的顶点都在正方形的顶点上，并注明相应的字母．22.如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为点B，D，AB=2，CD=4，BD=3，在直线MN上是否存在点P，能使△PAB与△PCD相似？如果存在，满足上述条件的点P有几个？说明点P与点B，D的距离，并作出图形．23.如图，△ABC中，A、B两点在x轴的上方，点C的坐标是(−1, 0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，求点B的横坐标．24.已知：线段a、b、c，且a2=b3=c4．(1)求a+bb的值．(2)如线段a、b、c满足a+b+c=27．求a、b、c的值．25.已知△ABC∽△DEF，DEAB=23，△ABC的周长是12cm，面积是30cm2．(1)求△DEF的周长；(2)求△DEF的面积．26.如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36∘，∠ABC的平分线BD交AC于点D．(1)求AD的长；(2)求cosA的值（结果保留根号）．参考答案1.D2.D3.A4.C5.B6.C7.D8.B9.D10.A11.1212.1:413.2√3cm14.1215.10或6.416.96417.①，②，③18.2或819.y=1x20.4.221.解：如图所示：△A′B′C′和△DEF即为所求．22.解：存在点P，能使△PAB与△PCD相似，满足上述条件的点P有4个．设PB=x，若点P在点B的左侧，如图1，∵∠PBA=∠PCD=90∘，∴当ABCD=PBPD时，△PBA∽△PDC，即24=xx+3，解得x=3，此时PD=6；当ABPD=PBCD时，△PBA∽△CDP，即2x+3=x4，解得x1=−3+√412，x2=−3−√412（舍去），此时PD=3+√412；若点P在线段BD上，如图2，∵∠PBA=∠PCD=90∘，∴当ABCD=PBPD时，△PBA∽△PDC，即24=x3−x，解得x=1，此时PD=2；当ABPD=PBCD时，△PBA∽△CDP，即23−x=x4，无解；若点P在D点右侧，如图3，∵∠PBA =∠PCD =90∘，∴当ABCD =PBPD 时，△PBA ∽△PDC ，即24=xx−3，解得x =−3，舍去； 当ABPD =PBCD 时，△PBA ∽△CDP ，即2x−3=x4，解得x 1=3+√412，x 2=3−√412（舍去），此时PD =−3+√413；综上所述，满足上述条件的点P 有4个，当PB =3时，PD =6；当PB =−3+√412时PD =3+√412；当PB =1时，PD =2；当PB =3+√412，PD =−3+√413．23.解：过点B 、B ′分别作BD ⊥x 轴于D ，B ′E ⊥x 轴于E ， ∴∠BDC =∠B ′EC =90∘． ∵△ABC 的位似图形是△A ′B ′C ， ∴点B 、C 、B ′在一条直线上， ∴∠BCD =∠B ′CE ， ∴△BCD ∽△B ′CE ． ∴CDCE =BCB ′C ， 又∵BCB ′C =12， ∴CDCE =12，又∵点B ′的横坐标是2，点C 的坐标是(−1, 0)， ∴CE =3， ∴CD =32．∴OD =52，∴点B 的横坐标为−52．24.解：(1)∵a2=b3，∴a b =23， ∴a+b b=53，(2)设a 2=b 3=c4=k ，则a =2k ，b =3k ，c =4k ， ∵a +b +c =27， ∴2k +3k +4k =27， ∴k =3，∴a =6，b =9，c =12． 25.解：(1)∵DEAB =23，∴△DEF 的周长=12×23=8(cm)；(2)∵DEAB =23，∴△DEF 的面积=30×(23)2=1313(cm 2)． 26.解：(1)∵AB =AC ，∠A =36∘， ∴∠C =∠ABC =12(180∘−∠A)=72∘， ∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD =36∘=∠A ，∴AD=BD，∵∠C=72∘，∠CBD=36∘，∴由三角形内角和定理得：∠BDC=72∘=∠C，∴BD=BC=AD，∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，∴BCCD =ACBC，∴BC2=AC×CD，∵AD=BD=BC，∴AD2=AC×CD=AC×(AC−AD)，解关于AD的方程得：AD=√5−12AC=√5−12，即AD=√5−12；(2)如图，过点D作DE⊥AB于点E．由(1)知，AD=BD，则AE=12AB=12，∴cosA=AEAD ，即12√5−12=√5+14，∴cosA的值是√5+14．。
2023年九年级数学第27章《相似》测试卷及答案解析
15．若 ADE∽ACB ，且 AD 2 ， DE 10 ，则 BC
．
AC 3
16．如图，在平面直角坐标系中，已知 A(1,0) ， D(3,0) ， ABC 与 DEF 位似，原 点 O 是位似中心．若 AB 1.5 ，则 DE ．
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17．如图，在 RtABC 中， ABC 90 ， AB 3 ， BC 4 ， RtMPN ， MPN 90 ， 点 P 在 AC 上，PM 交 AB 于点 E ，PN 交 BC 于点 F ，当 PE 2PF 时，AP ．
)
BF
A． 1
2
B． 1
3
C． 1
4
D． 2
3
5．如图，线段 CD 两个端点的坐标分别为 C(1, 2) 、 D(2,0) ，以原点为位似中心，
将线段 CD 放大得到线段 AB ，若点 B 坐标为 (5,0) ，则点 A 的坐标为 ( )
第 1页（共 24页）
A． (2,5)
B． (2.5,5)
C． (3,5)
第 2页（共 24页）
F ．已知 AB 3 ，则 DE 的值为 (
)
BC 2
DF
A． 3
2
B． 2
3
C．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
5
D． 3
5
10．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， ACB 的角平分线分别
交 AB 、 BD 于 M 、 N 两点．若 AM 2 ，则线段 ON 的长为 ( )
A． 2
2
B． 3
2
C．1
D． 6
2
11．如图，在 ABC 中， D 在 AC 边上， AD : DC 1: 2 ， O 是 BD 的中点，连接 AO
人教版初3数学9年级下册 第27章(相似)单元测试卷(含答案)
人教版数学九年级下册《第二十七章相似》单元测试一、单选题（本大题共12小题，共36分）1.（3分）如图，两条直线被三条平行线所截，若AC=8，CE=12，BD=6，则DF的值是( )A. 15B. 14C. 10D. 92.（3分）如图，在ΔABC中，DE//BC，AD=4，BD=2，AE=3，则AC的长是( )A. 32B. 6 C. 72D. 923.（3分）如图，点D、E分别在ΔABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE//AC的是( )A. ADDB =BECEB. BDAD=BEECC. ADAB=CEBED. BDBA=DEAC4.（3分）如图，在ΔABC中，DE//BC，ADBD=2，若AE=6，则EC的值为( )A. 3B. 2C. 1D. 95.（3分）如图，ΔABC与ΔDEF都是正方形网格中的格点三角形(顶点在格点上)，则ΔABC 与ΔDEF的面积比是( )A. 1：2B. 2：5C. 2：5D. 1：36.（3分）如图▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE平分∠DCB，交AB于点E，交BD 于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连结OE，下列结论：①OE⊥AC；②S▱ABCD=AC ⋅BC；③OE：AC=3：6；④SΔAOE=3SΔOEF.其中结论正确的个数共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BA的延长线上，联结EC，交边AD于点F，则下列结论一定正确的是( )A. EAAB =AFBCB. EAAB=FDAFC. AFBC=EACDD. EAEB=AFAD8.（3分）如图，小勇在探究课本“综合与实践”中的“制作视力表”时，根据测试距离为5m的标准视力表制作了一个测试距离为3m的视力表．如果标准视力表中“E”的高a是72.7mm，那么制作出的视力表中相应“E”的高b是( )A. 121.17mmB. 43.62mmC. 43.36mmD. 29.08mm9.（3分）在小孔成像问题中，如图所示，若点O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则物体AB 的长是像CD 长的( )A. 2倍B. 3倍C. 12倍D. 13倍10.（3分）如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA =3OD ，OB =3OC )，然后张开两脚，使A 、B 两个尖端分别在线段l 的两个端点上，若CD =3cm ，则AB 的长是( )A. 9cmB. 12cmC. 15cmD. 18cm11.（3分）如图，已知ΔABC 与ΔDEF 位似，位似中心为点O ，OA ：OD =1：3，且ΔABC 的周长为2，则ΔDEF 的周长为( )A. 4B. 6C. 8D. 1812.（3分）点D 、E 、F 分别是ΔABC (AB >AC )各边的中点，下列说法中错误的是( )A. EF=12BC B. EF与AD互相平分C. ΔAFE是ΔABC的位似图形D. BDDC =EDAC二、填空题13.（3分）如图所示，已知在梯形ABCD中，AD//BC，SΔABDSΔBCD =12，则SΔBOCSΔBCD=______.14.（3分）如图是边长为4的正方形ABCD，E为BC的中点，连结AE，作EF⊥AE交CD于F ，则CF=______.15.（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AC的中点，点E在BC 上，分别连接BD，AE交于点F.若∠BFE=45°，则CE的长是______________.16.（3分）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量某建筑物的高度，已知标杆BE高1.5米，测得AB=1.8米，AC=9米，则建筑物CD的高是 ______米．17.（3分）如图，ΔABC和ΔA1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，且SΔA1B1C1=3，则ΔABC的面积为 ______.三、解答题18.（8分）如图，在ΔABC中，D、E在边AB、AC上，DE//BC，AB=3，AC=4，EC=1，求AD的长度．19.（8分）如图，ΔABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AC边向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动． (1)若P，Q两点同时出发，几秒后可使ΔPQC的面积为8c m2？ (2)若P，Q两点同时出发，几秒后PQ的长度为35cm.20.（8分）如图，在ΔABC中，点D在AB边上，∠ACD=∠ABC. (1)求证：ΔACD∽ΔABC； (2)若AD=2，AB=5.求AC的长．21.（8分）某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组为了估计澧水河某段水域的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE//BC.经测量BC=25米，BD=12米，DE=35米，求河的宽度AB为多少米？22.（8分）如图，在带有网格的平面直角坐标系中，网格边长为一个单位长度，给出了三角形ABC. (1)作出ΔABC关于x轴对称的ΔA′B′C′； (2)以坐标原点为位似中心在图中的网格中作出ΔA′B′C′的位似图形ΔA′′B′′C′′，使ΔA′B′C′与ΔA′′B′′C′′的位似比为1：2； (3)若ΔABC的面积为3.5平方单位，求出ΔA′′B′′C′′的面积．答案和解析1.【答案】D;【解析】解：∵a//b//c， ∴ACCE =BDDF， ∴812=6DF， ∴DF=9， 故选：D. 利用平行线分线段成比例定理求解即可． 此题主要考查平行线分线段成比例定理，解答该题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．2.【答案】D;【解析】解：∵DE//BC， ∴ADDB =AEEC， ∴42=3EC， ∴EC=1.5， ∴AC=AE+EC=3+1.5=4.5， 故选：D. 利用平行线分线段成比例定理求解即可． 此题主要考查平行线分线段成比例定理，解答该题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．3.【答案】B;【解析】解：A.因为ADDB =ECBE，所以DE//AC，故A不符合题意； B.因为BDAD =BECE，所以DE//AC，故B符合题意； C.因为ADAB =CEBC，所以DE//AC，故C不符合题意； D.因为BDAB =BEBC，所以DE//AC，故D不符合题意； 故选：B. 根据平行线分线段成比例判断即可． 此题主要考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知并结合图形去分析是解答该题的关键．4.【答案】A;【解析】解：∵DE//BC，ADBD=2， ∴AEEC =ADBD=2， ∵AE=6， ∴6EC=2， ∴EC=3. 故选：A. 根据平行线分线段成比例定理即可求解． 此题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答该题的关键．5.【答案】B;【解析】解：由题意可得：AB=22，AC=2，BC=10，DE=5，EF=25，DF =5， ∴ACDE =ABEF=BCDF=25=105， ∴ΔABC∽ΔEFD， ∴SΔABCSΔEFD =(ACDE)2=25， 故选：B. 通过证明ΔABC∽ΔEFD，可求解． 此题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形相似是解答该题的关键．6.【答案】C;【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°， ∵CE平分∠BCD交AB于点E， ∴∠DCE=∠BCE=60° ∴ΔCBE是等边三角形， ∴BE=BC=CE， ∵AB=2BC， ∴AE=BC=CE， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CAB=∠ECA=30°， ∴AE=EC， ∵O是▱ABCD的对角线AC、BD的交点， ∴AO=CO， ∴OE⊥AC， 故①正确； ∵AC⊥BC， ∴S▱ABCD=AC⋅BC， 故②正确， 在RtΔACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°， ∴AC=3， ∵AO=OC，AE=BE， ∴OE=12BC， ∴OE：AC=12BC3BC， ∴OE：AC=3：6， 故③正确； ∵AO=OC，AE=BE， ∴OE//BC， ∴ΔOEF∽ΔBCF， ∴CFEF=2：1， ∴SΔOCF：SΔOEF=CFEF=2， ∴SΔOCF=2SΔOEF， ∵SΔOCF=SΔAOE， ∴SΔAOE=2SΔOEF. 故④错误． 故选：C. 由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出ΔCBE是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD =∠CAB=∠ECA=30°，得出AE=CE，O为AC中点，所以OE⊥AC，故①正确；由AC ⊥BC，得到S▱ABCD=AC⋅BC，故②正确，根据直角三角形的性质得到AC=3BC，根据三角形的中位线的性质得到OE=12BC，于是得到OE：AC=3：6；故③正确；根据相似三角形的性质得到CFEF=2，求得SΔOCF=2SΔOEF；故④错误． 此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得ΔBCE是等边三角形，OE是ΔABC的中位线是关键．7.【答案】D;【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD//BC， ∴ΔEAF∽ΔEAB， ∴EAEB =AFBC，AFBC=EAEB， ∴A、C不符合题意； D符合题意； ∵AB//CD， ∴ΔAEF∽ΔCDF， ∴AECD =AFFD， ∵AB=CD， ∴AEAB =AFFD， ∴B不符合题意； 故选：D. 由四边形ABCD是平行四边形，推得AB=CD，AD//BC，AB//CD，得ΔEAF∽ΔEAB，ΔAEF∽ΔCDF，推比例线段即可判断是否符合题意． 此题主要考查了三角形相似的判定和性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例，掌握由平行推相似的方法，等量代换是解题关键．8.【答案】A;【解析】解：如图，依题意得ΔOAB∽ΔOCD 则CDAB =DOBO， 即72.7b =53， 解得：b≈121.17. 故选：A. 如图，易得ΔOAB∽ΔOCD，利用它们对应边成比例，即可得到题目的结论． 此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的对应边成比例的性质解题是解题关键．9.【答案】B;【解析】解：由题意知，ΔABO∽ΔDCO， ∴ABCD =186=3， ∴物体AB的长是像CD长的3倍， 故选：B. 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解答该题的关键．10.【答案】A;【解析】解：∵OA=3OD，OB=3CO， ∴OA：OD=BO：CO=3：1，∠AOB=∠DOC， ∴ΔAOB∽ΔDOC， ∴AOOD =ABCD=31， ∴AB=3CD， ∵CD=3cm， ∴AB=9cm， 故选：A. 首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解． 此题主要考查相似三角形的应用，解答该题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题．11.【答案】B;【解析】解：∵ΔABC与ΔDEF位似，点O为位似中心． ∴ΔABC∽ΔDEF，AC：DF=OA：OD=1：3， ∴ΔABC的周长：ΔDEF的周长=1：3， ∴ΔDEF的周长为3×2=6. 故选：B. 利用位似的性质得ΔABC∽ΔDEF，AC：DF=OA：OD=1：3，然后根据相似三角形的性质解决问题． 此题主要考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．12.【答案】D;【解析】解：A、∵E、F分别是AB、AC的中点， ∴EF是ΔABC的中位线， ∴EF=12BC，本选项说法正确，不符合题意； B、∵点D、E、F分别是ΔABC各边的中点， ∴EF//BC，ED//AC， ∴四边形AEDF为平行四边形， ∴EF与AD互相平分，本选项说法正确，不符合题意； C、∵EF//BC， ∴ΔAEF∽ΔABC， ∵ΔAFE和ΔABC对应点的连线都经过同一点、对应边平行， ∴ΔAFE是ΔABC的位似图形，本选项说法正确，不符合题意； D、∵ED//AC， ∴ΔBDE∽ΔBCA， ∴BDBC =EDAC，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D. 根据三角形中位线定理判断A；根据平行四边形的判定定理和性质定理判断B；根据位似图形的概念判断C；根据相似三角形的性质判断D. 此题主要考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质、平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握位似图形的概念是解答该题的关键．13.【答案】23;【解析】解：过D 作DM ⊥BC 于M ，过B 作BN ⊥AD 于N ，如图： ∵AD//BC ，DM ⊥BC ，BN ⊥AD ， ∴四边形BMDN 是矩形，DM =BN ， ∵S ΔABD SΔBCD =12， ∴12AD .BN 12BC .DM =12， ∴AD BC =12， ∵AD//BC ， ∴OD OB =AD BC =12， ∴OB BD =23， ∴S ΔBOCS ΔBCD =23， 故答案为：23. 过D 作DM ⊥BC 于M ，过B 作BN ⊥AD 于N ，由四边形BMDN 是矩形，可得DM =BN ，AD BC =12，根据AD//BC ，可得OD OB =AD BC =12，OB BD =23，即可得到S ΔBOCS ΔBCD =23. 此题主要考查平行线分线段成比例定理，涉及基本的相似三角形判定与性质，掌握同(等)底三角形面积比等于高之比，同(等)高的三角形面积比等于底之比是解答该题的关键．14.【答案】1;【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB =BC =CD =4，∠B =∠C =90°， ∵AE ⊥EF ， ∴∠AEF =90°， ∴∠BAE +∠AEB =90°，∠AEB +∠FEC =90°， ∴∠BAE =∠FEC ， ∴ΔABE ∽ΔECF ， ∴AB EC =BE CF ， ∵AB =2BE =2EC =4， ∴BE=EC=2， ∴CF=1， 故答案为：1. 证明ΔABE∽ΔECF，利用相似三角形的性质解决问题即可． 此题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解答该题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．15.【答案】3011;【解析】16.【答案】7.5;【解析】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB//DC， ∴ΔABE∽ΔACD， ∴ABAC =BECD， ∵BE=1.5米，AB=1.8米，AC=9米， ∴1.89=1.5CD， 解得，DC=7.5， 即建筑物CD的高是7.5m， 故答案为：7.5. 根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题． 此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．17.【答案】12;【解析】解：∵ΔABC和ΔA1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形， ∴A1C1//AC， ∴ΔOA1C1∽ΔOAC， ∴A1C1AC =OC1OC=12， ∴ΔABC和ΔA1B1C1的面积比为1：4， ∵SΔA1B1C1=3， ∴SΔABC=4×3=12， 故答案为：12. 根据位似变换的概念得到A1C1//AC，进而证明ΔOA1C1∽ΔOAC，根据相似三角形的性质求出A1C1AC =12，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 此题主要考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据题意求出ΔABC和ΔA1 B1C1的面积比是解答该题的关键．18.【答案】解：∵DE∥BC， ∴AD AB =AE AC， ∵AB=3，AC=4，EC=1， ∴AD3=24， 解得：AD=32．;【解析】 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 此题主要考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解答该题的关键．19.【答案】解：P点的移动速度为1cm/s，Q点的移动速度为2cm/s，所以设CP=6-x，则CQ=2x， （1）△PQC的面积为8c m2，即12×2x（6-x）=8， 解得x=2或4， 故2秒或4秒后△PQC的面积为8c m2； （2）PQ的长度为35cm． 即（2x）2+（6-x）2=45， 解得x=3或x=-35（舍去）， 故3秒后PQ的长度为35cm．;【解析】 P点的移动速度为1cm/s，Q点的移动速度为2cm/s，所以设CP=6−x，则CQ=2x，根据题目中的要求解x的值即可解题． 此题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形面积的计算，考查了一元二次方程的求解，本题中列出关于x的方程并求解是解答该题的关键．20.【答案】（1）证明：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC； （2）解：∵△ACD∽△ABC， ∴AC AB =AD AC ， ∴AC 2=AD•AB ， ∵AD=2，AB=5， ∴AC 2=10， ∴AC=10．;【解析】 (1)根据两角相等的两个三角形相似证明即可； (2)利用(1)的结论可得相似三角形的对应边成比例即可解答． 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握两角相等的两个三角形相似是解答该题的关键．21.【答案】解：∵BC ∥DE ， ∴△ABC ∽△ADE ， ∴BC DE =AB AD ， 即2535=AB AB +12， ∴AB=30． 答：河的宽度AB 为30米．;【解析】 先证明ΔABC ∽ΔADE ，利用相似比得到BC DE =AB AB +BD ，然后根据比例的性质求AB 的长度． 此题主要考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出ΔABC ∽ΔADE 是解答该题的关键．22.【答案】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求； （2）如图，△A″B″C″为所作； （3）∵△A'B'C'∽△A″B″C″且位似比为1：2，△ABC 的面积为3.5平方单位， ∴△A″B″C″的面积=4×3.5=14（平方单位）．;【解析】 (1)画出ΔABC 关于x 轴对称的ΔA 1B 1C 1即可； (2)延长A′C 到A′′使A′′C =12A′C ，延长B′C 到B′′使B′′C =12B′C ，从而得到ΔA′′B′′C′′； (3)根据相似三角形的性质即可得到结论． 此题主要考查了作图−位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换。
人教版数学九年级下学期第27章《相似》测试题含答案
人教版数学九年级下学期第27章《相似》测试题（测试时间：120分钟 满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．如果23a b =，则a bb +=（ ） A ．13 B ．12 C ．53 D ． 352．如图△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，31==ACAD ABAE ,则BCED ADE S S 四边形△:的值为（ ）A 、3:1B 、1:3C 、1:8D 、1:93．如图，Rt △ABC 和Rt △DCA 中，∠B=∠ACD=90°，AD ∥BC ，AB=2，DC=3，则△ABC 与△DCA 的面积比为（ ）A ．2：3B ．2：5C ．4：9D ．2:34．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ．AC 与DF 相交于点H ，且AH=2，HB=1，BC=5，则DEEF的值为（ ）.A ．12 B ．2 C ．25 D ．355．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3 米，则地面上阴影部分的面积为（ ）A ．0..36π米2B ． 0.81π米2C ．2π米2D ．3. 24π米26．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 、C 、D 的坐标分别为B （5，0）、C （1，2）、D （2，0），则点A 的坐标是（ ）A ．（2.5，5）B ．（2.5，3）C ．（3，5）D ．（2.5，4）7．如图，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ， OB ，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ）A ．1：2B ．1：4C ．1：5D ．1：68．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若EF ：AF=2：5，则DEFEFBCSS 四边形：为（ ）A ．2：5B ．4：25C ．4：31D ．4：359．小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）A ．0.5mB ．0.55mC ．0.6mD ．2.2m10．如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE=45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE 分别交于点G 、H ，∠CBE=∠BAD ．有下列结论：①FD=F E ；②AH=2CD ；③BC •AD=AE 2；④S △ABC =4S △ADF ．其中正确的有（ ）A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个二、填空题（每小题3分，共30分）11．已知两个相似三角形的周长比是，它们的面积比是________．12．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为____________cm（结果精确到0.1 cm）．13．李明同学利用影长测学校旗杆的高度，某一时刻身高1.8米的李明的影长为1米，同时测得旗杆的影长为7米，则学校的旗杆的高为________米.14．在中，，是的中点，过点作直线，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线有________条．15．如图，在□ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：__________________.16．如图，数学趣闻：上世纪九十年代，国外有人传说：“从月亮上看地球，长城是肉眼唯一看得见的建筑物．”设长城的厚度为，人的正常视力能看清的最小物体所形成的视角为，且已知月、地两球之间的距离为，根据学过的数学知识，你认为这个传说________．（请填“可能”或“不可能”，参考数据：）17．△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为_______．18．如图，等边△ ABC 的边长为30，点M 是边AB 上一动点，将等边△ ABC 沿过点M 的直线折叠，该直线与直线AC 交于点N，使点A 落在直线BC 上的点D 处，且BD：DC=1 :4，折痕为MN，则AN 的长为_____.19．如图：已知在中，是斜边上的高．在这个图形中，与相似的三角形是________（只写一个即可）．20．如图，在梯形中，，点、、、是两腰上的点，，，且四边形的面积为，则梯形的面积为________．三、解答题（共60分）21．（本题7分）如图，D是△ABC外一点，E是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4.（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请分别说明两对三角形相似的理由.22．（本题7分）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．(1)、若D（2，3），请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF ∽△ABC，且相似比为2∶1；(2)、求△ABC中AC边上的高；(3)、若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为23．（本题7分）如图，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点．EF与BD相交于点M．（1）求证：△EDM∽△FBM；（2）若DB=9，求BM．24．（本题6分）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F 点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．25．（本题8分）如图，在△ABC中，AD是角平分钱，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE．（1）求证：△DCE∽△BCA；（2）若AB=3，AC=4．求DE的长．26．（本题8分）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC 的费马点．（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA=3，PC=4，则PB= ．（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．27．（本题8分）如图1，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的一动点（不与端点A、D重合），连结PC，过点P作P E⊥PC交AB于点E，在P点运动过程中，图中各角和线段之间是否存在的某种关系和规律？特例求解当E为AB的中点，且AP＞AE时，求证：PE=PC．深入探究当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中B E的取值范围．28．（本题9分）如图，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AE⊥l交直线l于点E、交⊙O于点F，BD⊥l交直线l于点D．（1）求证：△AEC∽△CDB；（2）求证：AE+EF=AB；cm s的速度运动，点Q从点B出发沿（3）若AC=8cm，BC=6cm，点P从点A出发沿线段AB向点B以2/cm s的速度运动，两点同时出发，当点P运动到点B时，两点都停止运动．设运动时线段BC向点C以1/间为t秒，求当t为何值时，△BPQ为等腰三角形？答案（测试时间：120分钟 满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．如果23a b =，则a bb +=（ ） A ．13 B ．12 C ．53 D ． 35【答案】C 【解析】先根据比例的性质可得a b +1=23+1，进而可得53a b b +=． 故选C ．2．如图△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，31==ACAD ABAE ,则BCED ADE S S 四边形△:的值为（ ）A 、3:1B 、1:3C 、1:8D 、1:9【答案】C 【解析】根据题意可得：△ADE ∽△ACB ，则ADE ACB S S △△：=1:9，则BCED ADE S S 四边形△:=1:8.故选C3．如图，Rt △ABC 和Rt △DCA 中，∠B=∠ACD=90°，AD ∥BC ，AB=2，DC=3，则△ABC 与△DCA 的面积比为（ ）A ．2：3B ．2：5C ．4：9D ．2:3 【答案】C 【解析】由AD ∥BC ，得出∠ACB=∠DAC ，证得△A BC ∽△DCA ，可得AB BC ACDC AC AD==，再由面积的比等于相似比的平方，即可得到24()9ABC DCAS AB SDC ==， 故选C ．4．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ．AC 与DF 相交于点H ，且AH=2，HB=1，BC=5，则DEEF的值为（ ）.A ．12 B ．2 C ．25 D ．35【答案】D ．5．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3 米，则地面上阴影部分的面积为（ ）A ．0..36π米2B ． 0.81π米2C ．2π米2D ．3. 24π米2【答案】B 【解析】如图设C ，D 分别是桌面和其地面影子的圆心，依题意可以得到△OBC ∽△OAD ，然后由它们的对应边成比例可以得CB OC AD OD =，再把OD=3，CD=1代入可求出OC= OD-CD=3-1=2，BC=12×1.2=0.6，然后求出地面影子的半径AD=0.9，这样可以求出阴影部分的面积S ⊙D =π×0.92=0.81πm 2，这样地面上阴影部分的面积为0.81πm 2． 故选B6．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 、C 、D 的坐标分别为B （5，0）、C （1，2）、D （2，0），则点A 的坐标是（ ）A ．（2.5，5）B ．（2.5，3）C ．（3，5）D ．（2.5，4） 【答案】A7．如图，△D EF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ， OB ，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ）A ．1：2B ．1：4C ．1：5D ．1：6【答案】B 【解析】由D ，F 分别是OA ，OC 的中点，根据三角形的中位线的性质得DF=12AC ，根据三角形相似的性质可知△DEF 与△ABC 的相似比是1：2，因此△DEF 与△ABC 的面积比是1：4． 故选B ．8．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若EF ：AF=2：5，则DEFEFBCSS 四边形：为（ ）A ．2：5B ．4：25C ．4：31D ．4：35 【答案】C9．小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）A ．0.5mB ．0.55mC ．0.6mD ．2.2m 【答案】A【解析】 根据题意可得：1.185.07.1x，解得：x=2.2，则2.2-1.7=0.5m ，即小刚举起的手臂超出头顶0.5m. 10．如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE=45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE 分别交于点G 、H ，∠CBE=∠BAD ．有下列结论：①FD=FE ；②AH=2CD ；③BC •AD=AE 2；④S △ABC =4S △ADF ．其中正确的有（ ）A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个【答案】D二、填空题（每小题3分，共30分）11．已知两个相似三角形的周长比是，它们的面积比是________．【答案】【解析】∵两个相似三角形的周长比是1：3，∴它们的面积比是，即1：9．故答案为：1：9．12．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为____________cm（结果精确到0.1 cm）．【答案】6.2【解析】由题意知AC:AB=BC:AC，∴AC:AB≈0.618，∴AC=0.618×10cm≈6.2(结果精确到0.1cm)故答案为：6.2.13．李明同学利用影长测学校旗杆的高度，某一时刻身高1.8米的李明的影长为1米，同时测得旗杆的影长为7米，则学校的旗杆的高为________米.【答案】12.614．在中，，是的中点，过点作直线，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线有________条．【答案】【解析】作DE∥AB,DF∥BC，可得相似，作∠CDG=∠B，∠ADH=∠C，也可得相似三角形.所以可作4条.故答案为：4.15．如图，在□ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：__________________.【答案】答案不唯一，如△DFE∽△CBE【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//AD，即BC//DF，∴△DEF∽△CEB，故答案为：△DEF∽△CEB（答案不唯一）.16．如图，数学趣闻：上世纪九十年代，国外有人传说：“从月亮上看地球，长城是肉眼唯一看得见的建筑物．”设长城的厚度为，人的正常视力能看清的最小物体所形成的视角为，且已知月、地两球之间的距离为，根据学过的数学知识，你认为这个传说________．（请填“可能”或“不可能”，参考数据：）【答案】不可能这就是说,按照人的最小视角1′观察地球上长城的厚度，最远的距离只能是34.4km，而月球与地球之间的距离为380000km，这个数字很大，它相当于34.4km的11046倍，从这么远看长城，根本无法看见. 17．△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为_______．【答案】【解析】由三边对应成比例的两个三角形相似,易得相似比为:,故要使△ABC和△A1B1C1的三边成比例,则第三边长为2÷=,故答案为:.18．如图，等边△ ABC 的边长为30，点M 是边AB 上一动点，将等边△ ABC 沿过点M 的直线折叠，该直线与直线AC 交于点N，使点A 落在直线BC 上的点D 处，且BD：DC=1 :4，折痕为MN，则AN 的长为_____.【答案】21或65【解析】①当点A落在如图1所示的位置时，∵BD：DC=1：4，BC=30，∴DB=6，CD=24，设AN=x，则CN=30-x，∴=，∴DM=，BM=，∵BM+DM=30，∴+=30，解得x=21，∴AN=21；②当A在CB的延长线上时，如图2，与①同理可得△BMD∽△CDN，∴得，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=10，CD=40，设AN=x，则CN=x-10，∴=，∴DM=，BM=，∵BM+DM=30，∴+=10，解得：x=65，∴AN=65．故答案为：21或65．19．如图：已知在中，是斜边上的高．在这个图形中，与相似的三角形是________（只写一个即可）．【答案】20．如图，在梯形中，，点、、、是两腰上的点，，，且四边形的面积为，则梯形的面积为________．【答案】18【解析】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G、H是两腰上的点，AE=EF=FB，CG=GH=HD，∴2EH=AD+FG，2FG=EH+BC，∴EH=，FG=，∵四边形EFGH的面积为6cm2，∴（EH+FG）h=6，∴四边形ADEH的面积和四边形FBCG的面积和为：（EH+AD）h+（BC+FG）h=12，则梯形ABCD的面积为：18．故答案为：18．三、解答题（共60分）21．（本题7分）如图，D是△AB C外一点，E是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4.（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请分别说明两对三角形相似的理由.【答案】(1)、△ABD∽△AEC；△ABE∽△ADC；(2)、证明见解析22．（本题7分）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．(1)、若D（2，3），请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF ∽△ABC，且相似比为2∶1；(2)、求△ABC中AC边上的高；(3)、若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为【答案】(1)图形见解析；(2)、105；(3)、（2,6）.【解析】(1)、如图所示；(2)、高105(3)、（2,6）；23．（本题7分） 如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB=2CD ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点．EF 与BD 相交于点M ．（1）求证：△EDM ∽△FBM ； （2）若DB=9，求BM ．【答案】(1)、证明见解析；(2)、BM=3.24．（本题6分）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM 上的对应位置为点C ，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D 时，看到“望月阁”顶端点A 在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方O yxAB CDEF法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F 点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．【答案】99m25．（本题8分）如图，在△ABC中，AD是角平分钱，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE．（1）求证：△DCE∽△BCA；（2）若AB=3，AC=4．求DE的长．【答案】（1）、证明见解析；（2）、12 7【解析】（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DA，∵∠EAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∴AB∥DE,∴△DCE∽△BCA；（2）、∵∠EAD=∠ADE,∴AE=DE,设DE=x,∴CE=AC﹣AE=AC﹣DE=4﹣x,∵△DCE∽△BCA,∴DE：AB=CE：AC,即x：3=（4﹣x）：4,解得：x=127，∴DE的长是127．26．（本题8分）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC 的费马点．（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA=3，PC=4，则PB= ．（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析在△ACE和△ABD中，AC ADEAC BADEA AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠1=∠2,∵∠3=∠4，∴∠CPD=∠6=∠5=60°；②∵△ADF∽△CFP，∴AF•PF=DF•CF，∵∠AFP=∠CFD，∴△AFP∽△CDF．∴∠APF=∠ACD=60°，∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，∴∠BPC=120°，∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，∴P点为△ABC的费马点．27．（本题8分）如图1，已知在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，P 是线段AD 边上的一动点（不与端点A 、D 重合），连结PC ，过点P 作PE ⊥PC 交AB 于点E ，在P 点运动过程中，图中各角和线段之间是否存在的某种关系和规律？ 特例求解当E 为AB 的中点，且AP ＞AE 时，求证：PE=PC ． 深入探究当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求整个运动过程中BE 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）87≤BE ＜2． (2)深入探究,设AP=x ，AE=y ，∵△AP E ∽△DCP ，∴AP AE DC DP ，即x （3﹣x ）=2y ，∴y=12x 3﹣x ）=﹣12x +32x=﹣12（x ﹣32）2+98，∴当x=32时，y 的最大值为98，∵AE=y 取最大值时，BE 取最小值为2﹣98=78BE的取值范围为78≤BE ＜2．28．（本题9分）如图，AB 是⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ，AE ⊥l 交直线l 于点E 、交⊙O 于点F ，BD ⊥l 交直线l 于点D ．（1）求证：△AEC∽△CDB；（2）求证：AE+EF=AB；（3）若AC=8cm，BC=6cm，点P从点A出发沿线段AB向点B以2/cm s的速度运动，点Q从点B出发沿线段BC向点C以1/cm s的速度运动，两点同时出发，当点P运动到点B时，两点都停止运动．设运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPQ为等腰三角形？【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）t=103或t=6017或t=258时又∵AE⊥DE，BD⊥DE，∴OC∥BD∥AE，又∵O是AB的中点，∴OC//AE//BD∴OC=1()2BD AE+，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠BFE=90°，又∵∠AED=∠BDE=90°，∴四边形BDEF是矩形，∴BD=FE ，∴AE+EF=AE+BD，∴1(AE)2EF+。
人教版数学九年级下学期第27章《相似》测试卷含答案
人教版数学九年级下学期第27章《相似》测试卷（测试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．已知：线段a、b，且,则下列说法错误的是( )A．a＝2cm，b＝3cm B．a＝2k，b＝3k(k≠0)C．3a＝2b D．2．下列命题正确的是（）A．有一个角对应相等的平行四边形都相似B．对应边成比例的两个平行四边形相似C．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似D．有一个角对应相等的菱形是相似多边形3．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应），那么下列等式中不一定成立的是（）A．B．∠B=∠E C．D．4．在比例尺为1∶8 000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，那么矩形运动场的实际尺寸应为( )A．80 m×160 m B．8 m×16 m C．800 m×160 m D．80 m×800 m5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（）A．(-1, 2)B．(-9, 18)C．(-9, 18)或(9, -18) D．(-1, 2)或(1, -2)6．如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有( ) A．1对B．2对C．3对D．4对7．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，在平行四边形中，是上的一点，直线与的延长线交于点，并与交于点，下列式子中错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在中，是边上一点，连接，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数是（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 10．点是线段的黄金分割点，且，下列命题：，中正确的有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个二、填空题（每小题3分，共30分） 11．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，23AD DB =，则DEBC = ．12． 如图，直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，10=AB ， 6=BC ，在线段AB 上取一点D ，作AB DF ⊥交AC 于点F .现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点 记为H ；AD 的中点E 的对应点记为G. 若GFH ∆∽GBF ∆，则AD =______ ____.13．如图，等边ABC △的边长为3，P 为BC 上一点，且1BP =，D 为AC 上一点，若60APD ∠=°，则CD 的长为 .14．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，AE 、CD 相交于点O ， 若S △DOE ：S △COA =1：25，则S △BDE 与S △CDE 的比=___________．15．如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm ，OA′=20cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 ．16．把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为 17．如图，菱形ABCD 的边长为1，直线l 过点C ，交AB 的延长线于M ，交AD 的延长线于N ，则AM1+AN1= ．18．如图，在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE 交BD 于点F ，若EC=2BE ，则BFFD的值是 ．19．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是米．2.244 1.520．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=，在边CD上有一点E，使EB平分∠AEC．若P为BC 边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．给出以下五个结论：①点B平分线段AF；②PF=DE；③∠BEF=∠FEC；④S矩形ABCD=4S△BPF ；⑤△AEB是正三角形．其中正确结论的序号是．三、解答题（共60分）21．（本题6分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm，BD=4cm，求AC的长．22．（本题6分）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O，按要求画出格点△A1B1C1和格点△A2B2C2．（1）将△ABC绕O点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1；（2）以A1为一个顶点，在网格内画格点△A1B2C2，使得△A1B1C1∽△A1B2C2，且相似比为1：2．23．（本题6分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．24．（本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．25．（本题7分）为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC=2米，CD=6米，求树ED的高．26．（本题8分）如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…A n a n+1B n C n，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3…，C n在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0）．（1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…A n a n+1B n C n，的位似中心坐标；（2）正方形A4A3B4C4四个顶点的坐标．27．（本题8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．（1）求证：AE•BC=BD•A C；（2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长．28．（本题11分） (1)、问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．(2)、探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．(3)、应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．答案（测试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．已知：线段a、b，且,则下列说法错误的是( )A．a＝2cm，b＝3cm B．a＝2k，b＝3k(k≠0)C．3a＝2b D．【答案】A【解析】选项A，两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关，选项A错误；选项B，，根据等比性质，a=2k，b=3k（k≠0），选项B正确；选项C，，根据比例的基本性质可得3a=2b，选项C正确；选项D，，根据比例的基本性质可得a=b，选项D正确．故选A．2．下列命题正确的是（）A．有一个角对应相等的平行四边形都相似B．对应边成比例的两个平行四边形相似C．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似D．有一个角对应相等的菱形是相似多边形【答案】D3．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应），那么下列等式中不一定成立的是（）A．B．∠B=∠E C．D．【答案】C【解析】△ABC∽△DEF，故：A．∠A＝∠D正确，故本选项错误；B．∠B=∠E正确，故本选项错误；C．AB＝DE不一定成立，故本选项正确；D．正确，故本选项错误．故选C．4．在比例尺为1∶8 000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，那么矩形运动场的实际尺寸应为( )A．80 m×160 m B．8 m×16 m C．800 m×160 m D．80 m×800 m【答案】A解得y=16000（cm）=160（m）∴矩形运动场的实际尺寸是80m×160m.故选A.5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（）A．(-1, 2)B．(-9, 18)C．(-9, 18)或(9, -18) D．(-1, 2)或(1, -2)【答案】D6．如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有( )A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D【解析】因为点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,所以DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,所以DE//AB,DF//AC,EF//BC,所以△DOE∽△AOD,△DOF∽△AOC,△EOF∽△BOC,因为DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,所以,,所以，所以△DEF∽△ABC,因此有四对相似三角形,故选D.7．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】C8．如图，在平行四边形中，是上的一点，直线与的延长线交于点，并与交于点，下列式子中错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BE，∵CG∥AE，∴四边形AGCF是平行四边形，△BCG∽△BEA，△CEF∽△BEA，∴，，CF=AG，∴DF=BG，，∴选项A、B正确；∵AD∥BE，∴，∴，∴选项C正确，D不正确；故选D．9．如图，在中，是边上一点，连接，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B10．点是线段的黄金分割点，且，下列命题：，中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B二、填空题（每小题3分，共30分） 11．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，23AD DB =，则DEBC = ．【答案】25【解析】根据AD:DB=2:3可得：AD:AB=2:5，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴25DE AD BC AB . 12． 如图，直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，10=AB ， 6=BC ，在线段AB 上取一点D ，作AB DF ⊥交AC 于点F .现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点 记为H ；AD 的中点E 的对应点记为G. 若GFH ∆∽GBF ∆，则AD =______ ____.【答案】3.2 【解析】利用勾股定理列式求出AC=8，设AD=2x ，得到AE=DE=DE 1=A 1E 1=x ，然后求出BE 1=10-3x ，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF=32x ，然后利用勾股定理列式求出E 1F=132x ，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x=85，从而可得AD 的长为2×85=165=3.2． 13．如图，等边ABC △的边长为3，P 为BC 上一点，且1BP =，D 为AC 上一点，若60APD ∠=°，则CD的长为 .【答案】23．14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥A C，AE、CD相交于点O，若S△DO E：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比=___________．【答案】1：4【解析】根据S△DOE：S△COA=1：25可得：DE:AC=1:5，则BE：BC=1:4，即BE:CE=1:4，△BDE和△CDE是登高三角形，则S△BDE：S△CDE=BE:EC=1:4.15．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是．【答案】1：2【解析】由五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，可得五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，又由OA=10cm，OA′=20cm，即可求得其相似比为1:2，根据相似多边形的周长的比等于其相似比，即可求得答案为五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA ：OA′=1：2．16．把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为 【答案】152【解析】设原矩形的长为x ，宽为y ，则剩下的矩形的长为y ，宽为(x －y)，根据矩形相似可求出比值. 17．如图，菱形ABCD 的边长为1，直线l 过点C ，交AB 的延长线于M ，交AD 的延长线于N ，则AM1+AN1= ．【答案】1．18．如图，在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE 交BD 于点F ，若EC=2BE ，则BFFD的值是 ．【答案】13【解析】根据菱形的性质得出AD=BC ，AD ∥BC ，求出AD=3BE ，根据相似三角形的判定得出△AFD ∽△EFB ，根据相似得出比例式BF BE DF AD =，代入求出即可求得结果为13． 19．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是 米．41.52.24【答案】3.08 【解析】根据三角形相似的性质可得：x24.25.144=+，则x=3.08 20．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=，在边CD 上有一点E ，使EB 平分∠AEC．若P 为BC 边上一点，且BP=2CP ，连接EP 并延长交AB 的延长线于F ．给出以下五个结论： ①点B 平分线段AF ；②PF=DE ；③∠BEF=∠FEC；④S 矩形ABCD =4S △BPF ；⑤△AEB 是正三角形．其中正确结论的序号是．【答案】①②③⑤在Rt△BPF 中，BF=2，由勾股定理可求得PF=22BF BP +=22343⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=433，∵DE=1，∴PF=433DE ，故②正确；在Rt△BCE 中，EC=1，BC=3，由勾股定理可求得BE=2，∴BE=BF，∴∠BEF=∠F，又∵AB∥CD，∴∠FEC=∠F，∴∠BEF=∠FEC， 故③正确；∵AB=2，AD=3，∴S 矩形ABCD =AB×AD=2×3=23，∵BF=2，BP=433，∴S △BPF =12BF×BP=12×2×433=433， ∴4S △BPF =1633，∴S 矩形ABCD =≠4S △BPF ，故④不正确； 由上可知AB=AE=BE=2，∴△AEB 为正三角形，故⑤正确； 综上可知正确的结论为：①②③⑤．故答案为：①②③⑤． 三、解答题（共60分）21．（本题6分）如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm ，BD=4cm ，求AC 的长．【答案】4622．（本题6分）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）和格点O ，按要求画出格点△A 1B 1C 1和格点△A 2B 2C 2． （1）将△ABC 绕O 点顺时针旋转90°，得到△A 1B 1C 1；（2）以A 1为一个顶点，在网格内画格点△A 1B 2C 2，使得△A 1B 1C 1∽△A 1B 2C 2，且相似比为1：2．【答案】（1）图形见解析；（2）图形见解析.【解析】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A1B2C2，即为所求．23．（本题6分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．【答案】4．【解析】∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，又∠C=90°，∴∠BED=∠C．又∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴BD DEAB AC，∴DE=BD ACAB⋅=8714⨯=4．24．（本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．【答案】(1)证明见解析；(2) AD=3525．（本题7分）为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC=2米，CD=6米，求树ED的高．【答案】8米【解析】如图，过A作AH垂直ED，垂足为H，交线段FC与G,由题知，FG//EH, △AFG∽△AEH，FG AG EH AH=又因为AG=BC=2,AH=BD=2+6=8,FG=FC-GC=3.2 -1.6=1.6，所以1.628EH=，EH=6.4，∴ED=EH+HD=6.4+1.6=8 树ED的高为8米26．（本题8分）如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…A n a n+1B n C n，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3…，C n在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0）．（1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…A n a n+1B n C n，的位似中心坐标；（2）正方形A4A3B4C4四个顶点的坐标．【答案】（1）（0，0）；（2）A4（8，0），A5（16，0），B4（16，8），C4（8，8）．27．（本题8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．（1）求证：AE•BC=BD•AC；（2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长．【答案】(1)证明见解析；(2) BC=10.28．（本题11分） (1)、问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．(2)、探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．(3)、应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) t=1秒或5秒.【解析】(1)、如图1 ∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP =∠BPC ∴△ADP∽△BPC．∴ADBP=APBC.即AD·BC=AP·BP．(2)结论AD·BC=AP·BP 仍成立．理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC =∠A+∠ADP，∵∠DPC =∠A=θ，∴∠BPC =∠ADP ，又∵∠A=∠B=θ，∴△ADP∽△BPC，∴ADBP=APBC.，∴AD·BC=AP·BP．(3)如图3，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD=BD=5，AB=6，∴AE=BE=3，由勾股定理得DE=4，∴DC=DE=4，∴BC=5-4=1，又∵AD=BD，∴∠A=∠B，由已知，∠DPC =∠A，∴∠DPC =∠A=∠B，由（1）、（2）可得：AD·BC=AP·BP，又AP=t，BP=6-t，∴t（6-t）=5×1，解得t1=1，t2=5，∴t的值为1秒或5秒．。