椭圆的定义及应用1
人教版-高中数学选修1-1 椭圆
① 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上 ② 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)， Q(0,-3)两点. ③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5） ④两顶点坐标为（0，±6），且经过点（5，4） ⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0)
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a, 短半轴长为b.
a>b
c e a
a2=b2+c2
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是：
10 。短轴长是：
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的 关系
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成 中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
o c
B1 (0,-b)
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （1） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4
y
4 3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
2. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短 轴的两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆的 标准方程。
椭圆(1)
所以|AB|＝ 85c2＋353c＋ 3c2＝156c.
于是|MN|＝58|AB|＝2c.圆心(－1， 3)到直线PF2的距离
d＝|－
3－ 3－ 2
3c|＝
3|2＋c| 2.
因为d2＋(|M2N|)2＝42，所以34(2＋c)2＋c2＝16.整理得7c2＋12c－52 ＝0，得c＝－276(舍)，或c＝2.所以椭圆方程为1x62＋1y22 ＝1.
答案： D
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4．(教材习题改编)已知椭圆x52＋my2＝1的离心率e＝ 510，则m的值 为________． 解析：当椭圆焦点在x轴上a2＝5，b2＝m，∴c2＝5－m. ∴ 5－5 m＝ 510.∴5－5 m＝1205. ∴m＝3. 焦点在y轴上时得mm－5＝1205. ∴m＝235.∴m的值为m＝3或m＝235. 答案：3或235
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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
5．(2012·合肥模拟)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－ 3，0)和 F2( 3，0)，且椭圆过点(1，－ 23)． (1)求椭圆方程； (2)过点(－65，0)作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．
在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
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(2)设方程：根据上述判断设方程xa22＋by22＝1(a>b>0)或xb22＋ay22 ＝1(a>b>0)． (3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求． 注意：当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时，可设为xm2＋yn2＝ 1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B).
1.1椭圆及其标准方程课件--北师大版(2019)高二上选择性必修一
辨析
练习 下列命题是真命题的是 （ 2 ）（ 4 ）
（4）平面内，已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离
和为10，则M ₂ ∣为定长
1 ∣ ₁ ∣+∣ ₂ ∣>∣ ₁₂ ∣时，P点的轨迹就是
椭圆.
2 ∣ ₁ ∣+∣ ₂ ∣=∣ ₁₂ ∣时，P点的轨迹是一
的点的集合(或轨迹)叫做椭圆。
两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点。
两个焦点间的距离||叫作椭圆的焦距。焦距的一半称
为半焦距。
= + = , > ||
2、在椭圆定义中，当 = ||时动点的轨迹为线段；
当 < ||时动点的轨迹不存在。
条线段：线段 ₁₂
3 ∣ ₁ ∣+∣ ₂ ∣<∣ ₁₂ ∣时，P点不存在.
问题二：根据椭圆的定义，我们是否可以猜
想椭圆是否具有对称性？你能否猜想出椭圆
的对称轴吗？
根据椭圆的定义有 + =
设点P1为点P关于直线F1F2的对称点，
则据椭圆的定义有 + =
(1)
(2)
+
+
=
x轴上，a=5,b=4,焦点坐标：(-3,0)、(3,0)
= 在y轴上，a=13,b=12,焦点坐标：(0,-5)、(0,5)
(3) + − = 在x轴上，a=5,b=3,焦点坐标：(-4,0)、
(4,0)
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的
即
+
−
=
将 = − 代入上式，得
第1讲 椭圆的定义及其应用
第1讲 椭圆的定义及其应用整理：广东阳江曾广荣一、问题综述本讲梳理椭圆的定义及其应用．椭圆的考题中，对椭圆定义的考查一直都是热点． （一）椭圆的定义平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定值2a ()122a F F >的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．（二）椭圆定义的应用主要有下面几方面的应用：1．求标准方程；2．焦点三角形中的计算问题；3．求离心率；4．求最值或范围． 二、典例分析类型一：利用椭圆的定义求轨迹方程【例1】 ABC ∆的底边16BC =，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程． 【解析】以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()x y ，，由20GC GB +=，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10a =，8c =，有6b =，故其方程为()221010036x y y +=≠．【方法小结】由已知可得20GC GB +=，再利用椭圆定义求解，要注意剔除不合要求的点． 【例2】已知动圆P 过定点()30A -，，并且在定圆()22364B x y -+=：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．【解析】如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即86PA PB PM PB BM AB +=+==>=．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆，P 的轨迹方程为：221167x y +=．【例3】已知圆()22:3100C x y -+=及点()3,0A -，P 是圆C 上任意一点，线段PA 的垂直平分线l 与PC 相交于点Q ，求点Q 的轨迹方程。
【解析】如图所示．∵l 是线段PA 的垂直平分线， ∴AQ PQ =．∴10AQ CQ PQ CQ CP +=+==，且10>6． ∴点Q 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆， 且210a =，3c =，即5a =，4b =．∴点Q 的轨迹方程为2212516x y+=．【方法小结】是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．结合定义求轨迹方程是一种重要的思想方法．【变式训练】1．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是()1,0F c -、()2,0F c ，Q 是椭圆外的动点，满足12FQ a =．点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF ⋅=，20TF ≠．求点T 的轨迹C 的方程．【解析】当0PT =时，点(),0a 和点(),0a -在轨迹上．当0PT ≠0PT ≠且2||0TF ≠时，由20PT TF ⋅=，得2PT TF ⊥． 由12FQ a =，得12PF PQ a +=， 又122PF PF a +=，所以2PQ PF =，所以T 为线段2F Q 的中点．连接OT ，则OT 为12QF F △的中位线，所以()1121122OT FQ PF PF a ==+=， 设点T 的坐标为(),x y ，则222x y a +=．故点T 的轨迹C 的方程是222x y a +=．【方法小结】定义法求轨迹（方程）的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。
椭圆(1)
将这个方程移项，两边平方，得
(x+c)2+y2=4a2－4a (x c)2 y2 +(x－c)2+y2
∴ a2－cx=a (x c)2 y2 ,
两边再平方，得 a4－2a2cx+c2x2=a2x2－2a2cx+a2c2+a2y2, 整理得 (a2－c2)x2+a2y2=a2(a2－c2),
由椭圆定义可知，2a>2c, 即a>c, ∴ a2－c2>0, 设b2=a2－c2 (b>0), 得 b2x2+a2y2=a2b2, 两边除以a2b2得
x 2 y 2 1 (a>b>0) a2 b2
例一. 平面内两个定点的距离是8, 写出 到这两个定点的距离的和是10的点的 轨迹方程.
解: 这个轨迹是一个椭圆, 两个定点是 焦点,用F1, F2表示, 取过点F1和F2的直线 为x轴, 线段F1F2的垂直平分线为y轴,
a2 b2
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争很快就能结束,人们可以继续挖掘.却不知,战乱时期初现末世端倪,人人自身难保,哪里还顾得上古墓解密？炮弹到处飞,躲哪儿都危险.而且末世时流通の不再是钱币,而是晶核或者各种锋税武器.人人只顾着打猎抢夺晶核,再也没人提起那个宝藏墓穴.当然,不排除有人将埋藏の地点牢记于心,静待 和平年代到来重返旧地.古董文物能让后世了解过去の文明,千金难求,实属难得,不管在哪个年代都是弥足珍贵の宝物,也是大发横财扬名立万の捷径.战争突至,世界各地陷入纷乱.大国核战争输赢,小国趁乱使用生化武器互相暗算,核生化污染让地球变得乌烟瘴气,民不聊生.没几年后,幸存下来の孩 子们对于太阳
椭圆关系式
椭圆关系式椭圆是一种经典的几何图形，具有广泛的应用。
椭圆关系式是描述椭圆的数学公式，包括标准式和一般式两种形式。
本文将从椭圆的定义、性质、标准式、一般式以及应用等方面进行详细介绍。
一、椭圆的定义与性质1. 定义椭圆是平面上到两个定点（称为焦点）距离之和等于定长（称为主轴长度）的所有点构成的集合。
2. 性质（1）椭圆是一个闭合曲线，其形状类似于拉长了的圆形。
（2）焦点到任意一点的距离之和等于主轴长度。
（3）主轴长度是椭圆的最长直径，称为长轴；次轴长度是椭圆的最短直径，称为短轴。
（4）椭圆有两条对称轴：长轴上有两个焦点和中心点，在中心处相交；短轴上没有焦点，只有中心点，在中心处垂直于长轴。
二、标准式1. 定义标准式是指将椭圆的中心移到坐标原点，长轴与x轴重合，短轴与y轴重合的形式。
2. 公式椭圆的标准式为：$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$其中，(h,k)为椭圆的中心点坐标，a和b分别为长轴和短轴的半径。
3. 性质（1）椭圆的中心点坐标为(h,k)。
（2）长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。
（3）焦距c满足$c^2=a^2-b^2$。
三、一般式1. 定义一般式是指将椭圆任意位置的形式表示出来。
一般式可以通过平移、旋转和缩放等变换将标准式转化而来。
2. 公式椭圆的一般式为：$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$其中，A、B、C、D、E和F都是实数常数，并且$B^2-4AC<0$。
3. 性质（1）通过一般式可以确定椭圆在平面直角坐标系中的位置和形状。
（2）如果A=C，则椭圆是以y=x或y=-x对称的；如果A≠C，则椭圆不以y=x或y=-x对称。
（3）通过配方法可以将一般式转化为标准式。
四、应用椭圆关系式在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
1. 数学领域椭圆是数学中的一个经典图形，具有丰富的性质和应用。
在微积分、代数、几何等方面都有重要的应用，例如求解椭圆周长和面积、研究椭圆曲线等。
高中数学 2.1.1椭圆的定义与标准方程(一)课件 湘教版选修11
(4)设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m，n＞0 且 m≠n)，
由94m＋245n＝1，得 3m＋5n＝1，
m＝16，n＝110，
所以，椭圆方程为1y02 ＋x62＝1.
第二十二页，共27页。
题型三 椭圆标准方程的应用 【例 3】 方程2mx－2 1＋3－y22m＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 求 m 的取值范围． 解 由题意得 3－2m>2m－1>0， 即23m－－2m1>>20， m－1，解得12<m<1. 点评 判断椭圆焦点在 x 轴，y 轴的依据是标准方程中的 x2， y2 对应的分母，焦点在分母大的对应轴上．
第二页，共27页。
自主探究 1．椭圆的定义中为何要使“常数大于|F1F2|”？若改为等
于|F1F2|或小于|F1F2|，点的轨迹是什么？ 提示 若缺少了“常数大于|F1F2|”这一条件，点的轨迹不 一定是椭圆．当距离(jùlí)之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线 段F1F2，当距离(jùlí)之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
（ （－a322a）2 23＋）（2＋－bb1222＝）12＝ ，1，解得ab22＝ ＝155. ， 所以椭圆的标准方程为1x52 ＋y52＝1.
第十六页，共27页。
②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)． 根据题意有（ a12＋－a（22 ）－22＋b2 （3）b232＝）12，＝1，解得ab22＝ ＝51， 5. 因为 a＜b，所以方程无解．综上①②知，所求椭圆的标准方 程为1x52 ＋y52＝1.
第二十七页，共27页。
(1)大前提是在平面上． (2)必须是到两定点距离的和． (3)常数与|F1F2|的关系．当常数与|F1F2|相等时，轨迹为线 段F1F2，当常数小于|F1F2|时，轨迹不存在，只有当常数大于
高三数学第一轮复习椭圆的定义、性质及标准方程知识精讲
高三数学第一轮复习：椭圆的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】椭圆的定义、性质及标准方程椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a bx a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距)0(221>=c c F F)0(221>=c c F F3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PFe d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
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| PF1 |2 (5 cos 3) 2 (4 sin ) 2 9 cos2 30cos 25 (3 cos 5) 2
1 cos 1 PF |max 8, | PF |min 2 | 1 1
三、发散创新
互动 练习
x2 y2 1 右焦点,求: 25 16 (1) PF1 的最大值与最小值
三、发散创新
互动 练习
x2 y2 1 右焦点,求: 25 16 (1) PF1 的最大值与最小值
5、已知点P 是椭圆 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
P A1 F1
d F2 A2
(2) PF1 PF2 的最大值
(1)解法二:(参数法)设P(5cosθ,4sinθ), 易知:c=3, 得F1(-3,0),由两点间距离公式得:
P A1 F1
d F2 A2
(2) PF1 PF2 的最大值
P F1
d F2
三、发散创新
互动 练习
x2 y2 1 右焦点,求: 25 16 (1) PF1 的最大值与最小值
5、已知点P 是椭圆 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
P A1 F1
d F2 A2
(2) PF1 PF2 的最大值
(2) PF1 PF2 的最大值
解 (2) 由椭圆定义得: |PF1|+|PF2|=10
F1 F2
P
思考题:怎样求 | PF1 | | PF2 | 2 |PF PF1 PF2 ( ) 25 |PF1|· 2|的最小 值? 2
PF1 PF2 max 25
四、方法提练
|PF1|>|PF2|,求
| PF1 | 的值 | PF2 |
椭圆的定义及其应用
学习目标：
1、在进一步理解椭圆两种定义的基 础上，熟练掌握两定义的应用。
2、学习运用转化的数学思想方法。
一、复习导引
椭圆定义及标准方程
第一定义 与两个定点的距离的和等于常数（|MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|） 第二定义 到定点的距离 |MF| 和它到一条定直线的距离d 的比 是常数e（O＜e＜1） | MF |
椭圆相交于A、B两点， 则△F2AB的周长为= 20
A B F1 F2
2、在△ABC中，已知A（-3，0）、B（3，0），动点C满足|CA|、
|AB|、|CB|成等差数列，则点C的轨迹方程为
x2 y2 1( y 0) 。 36 27
3、已知椭圆
x2 y2 1 上一点P 25 16
F1
F2
由余弦定理得: |PF11|PF1|2+|PF2|2=64② 22|cosθ=64② |PF 由勾股定理得: 2+|PF2|2-2|PF1|· 由余弦定理得: |PF ||2+|PF2|2-2|PF1|· |cos60°=64② |PF
1 1 1 | PF1PF| PF2PF | 9 9 sin 故S F1S 2F PF | PF ||1| |PF ||sin 3 3 故 | sin 60 故S F1PF 21 22 2 | 1 PF 2 2 1 cos 2 9 tan
P F1 F2
三、发散创新
互动 练习
4、已知点P 是椭圆 ⑴若∠F1PF2=90°，求△ F1PF2的面积 ⑶若∠F1PF2=θ，求△ F1PF2的面积
x2 y2 1 一点 25 9
， F1和F2 是椭圆的焦点，
⑵若∠F1PF2=60°，求△ F1PF2的面积
P
d
解 ⑵ 由椭圆定义得: |PF1|+|PF2|=10① ⑴ ⑶ 又a=5 b=3,∴c=4,2c=8
①22-②得 2|PF11|· 22|=36 |PF ① -②得 3|PF |· |=36 |PF |PF ①2-②得 2(1+cosθ)|PF、发散创新
互动 练习
x2 y2 1 右焦点,求: 25 16 (1) PF1 的最大值与最小值
5、已知点P 是椭圆 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
(
d
e)
标准方程
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
图 形 几何量 a b c ( a2=b2+c2) e=c/a a2/c
二、应用提高
互动 练习
1、已知F1和F2 是椭圆
x2 y2 1 25 16
。
的左右焦点 ，直线 l 过F1与
5 x p 5
x p 5时, | PF1 |max | A2 F1 | 8, x p 5时, | PF1 |min | A1 F1 | 2
三、发散创新
互动 练习
x2 y2 1 右焦点,求: 25 16 (1) PF1 的最大值与最小值
5、已知点P 是椭圆 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
5、已知点P 是椭圆 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
l
N
P A1 F1
d F2 A2
(2) PF1 PF2 的最大值
(1)解法三:(几何法)设l是已知椭圆与焦点F1相 应的准线,PN⊥l,垂足为N, 由椭圆第二定义得:
| PF1 | 3 3 3 25 ,即 | PF1 | | PN | ( x p ) | PN | 5 5 5 3
1、灵活运用椭圆的两个定义，是 解决椭圆问题的基本方法之一 2、 “化斜为直”是解决椭圆问题 的重要转化方法 即利用第二定义可将椭圆上点到焦 点的距离的有关问题转化为该点到准线 的距离来研究 F1
P
d F2
五、过关练习
题目 求椭圆4x2+9y2=36的长轴和短轴的长,离心率,焦点和顶点的坐标.并用描 点法画它的图形. (1) 设P为椭圆 上的动点,则|PF1||PF2|的最大值是 (2) 设P为椭圆 上的动点,当∠F1PF2为钝角时,P的横坐标的取值范围是 (3) 设P为椭圆 上的点,且∠F1PF2为直角时，则△F1PF2的面积为 (4) 设P为椭圆 上的点,且∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为 (5) 设P为椭圆 上的点,已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶 点 ,且
到右准线的距离为10， F1和 ,｜PF2｜=
F2 是椭圆的左右焦点，则｜PF1｜= 4
6
。
二、应用提高
互动 练习
3、已知椭圆
x2 y2 1 上一点P 25 16
到右准线的距离为10， F1和 ,｜PF2｜= 。
F2 是椭圆的左右焦点，则｜PF1｜= 解：
3 | PF | 3 e ,由 e得 | PF2 | 10 6, 5 d 5 | PF | 10 6 4 1
由两点间距离公式得:
(1)解法一:(代入法)设P(x,y),易知:c=3, 得F1(-3,0),
| PF1 |2 ( x 3) 2 y 2 16 x 6 x 9 (25 x 2 ) 25 9 2 3 x 6 x 25 ( x 5) 2 25 5
2
5 x 5 PF |max 8, | PF |min 2 | 1 1