高考数学考点17三角函数的性质与应用试题解读与变式

专题17 三角函数的性质与应用

【考纲要求】

（1）了解三角函数的周期性；

（2）理解正弦函数、余弦函数在区间[]0,2π上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等）；

（3）理解正切函数在区间,22ππ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

内的单调性． 【命题规律】

高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查三角函数的性质（周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值等），体现数形结合的思想，函数与方程的思想等的应用，均可能出现选择题、填空题与解答题中，难度中低档为主，主要有两种考查题型：（1）根据三角函数的解析式确定其性质；（2）根据三角函数的性质求相关的参数值（或取值范围）．

预计2018年高考对三角函数的性质的考查仍会集中在对称性、单调性、周期性和最值问题，体现整体思想的应用．

【典型高考试题变式】 （一）三角函数的周期性

例1 【2017山东】函数cos2y x x =+最小正周期为（ ） A ．

π2 B ．2π3

C ．π

D ．2π 【答案】C

【解析】∵1π22cos 22sin 226y x x x ⎫⎛

⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

，∴2ππ2T ==，故选C ． 【方法技巧归纳】求解三角函数的周期性的方法：

（1）求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．

（2）三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成

sin()y A x ωϕ=+，或tan()y A x ωϕ=＋等类型后，用基本结论2||T πω=

或||

T π

ω=来确定；③根据图象来判断．

【变式1】【例题中的解析式改变了，选择题改为填空题】函数()()2

1cos2sin f x x x

=+的最小正周期是__________．

【答案】

2

π

【解析】

∵

()()()2121cos2sin 122

cos x

f x x x cos x -=+=+⋅

()

2111cos 41cos 21222x x +⎛⎫=

-=- ⎪⎝⎭＝11cos 41cos 422244x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭

，∴函数()()21cos2sin f x x x =+的最小正周期是242

T ππ

=

=． 【变式2】【例题中的解析式改为了含有参数的解析式，求解问题改为确定参数的值】已知函数()sin 3cos f x kx kx =+的最小正周期是

3

π

，则正数k 的值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】6

【解析】∵()2sin 3f x kx π⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭

，∴263T k k ππ==⇒==．

（二）三角函数的单调性

例2 【2015新课标1】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）

A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈

B ．13

(2,2),44

k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -

+∈ D ．13

(2,2),44

k k k Z -+∈ 【答案】D

【方法技巧归纳】求解三角函数的单调性的方法：

（1）三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过

同解变形或利用数形结合方法求解．

（2）已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法：

①子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；

②反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．

【变式1】【例题中由图象先求解析式改为由文字条件求解析式，其它形式没改变】已知函数()()2sin 1(0,)f x x ωϕωϕπ=+-><的一个零点是3

x π

=

，6

x π

=-

是

()y f x =的图像的一条对称轴，则ω取最小值时， ()f x 的单调增区间是（ ）

A ．7

13,3,3

6

k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．513,3,3

6

k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦

C ．212,2,3

6

k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．112,2,3

6

k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦

【答案】B

【变式2】【例题中由图象先求解析式改为直接给出解析式，所求改为求某指定区间上的单调区间】函数()()sin 3cos 0f x x x x π=-≤≤的单调增区间是_________．

【答案】,06π⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦

【解析】因为)3

sin(2cos 3sin )(π

-

=-=x x x x f ,所以增区间为

2

23

2

2π

ππ

π

π+

≤-

≤-

k x k ,即6526

2πππ

π+

≤≤-

k x k ,取0=k 可得6

56ππ≤≤-x ,又0≤≤-x π,故06≤≤-

x π

,应填答案,06π⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

． （三）三角函数的奇偶性