高中数学必修三模块综合测试卷
高中数学必修3综合测试及答案
必修3综合测试用最小二乘法求线性回归方程系数公式：一、选择题：本题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、程序框图符号可用于（ ）A、输出a=10 B 、赋值a=10 C 、判断a=10 D 、输入a=102、将两个数a=8,b=17交换,使a=17,b=8,下面语句正确一组是 ( )3、右边程序输出的结果是 ( ) A ．5 B ． x +5 C ．10 D ．14、在下列各数中，最大的数是（ ） A 、)9(85 B 、)6(210 C 、)4(1000 D 、)2(111115、为了在运行下面的程序之后得到输出16，键盘输入x 应该是（ ） INPUT xIF x<0 THEN y=(x+1)*(x+1) ELSEy=(x-1)*(x-1) END IF PRINT y ENDA 、 3或-3B 、 -5C 、5或-3D 、 5或-56．工人月工资y （元）与劳动生产率x （千元）变化的回归方程x y 8050^+=，x =5 y =1 x =x +5 y =x PRINT y END下列判断正确的是 ( )①劳动生产率为1千元时，工资为130元 ②劳动生产率提高1千元时，月工资提高80元 ③劳动生产率提高1千元时，月工资提高130元 ④当月工资为210元时，劳动生产率2千元A ．① ②B ．① ② ④C ．② ④D ．① ② ③ ④7、200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如右图所示，则时速超过70km/h 的汽车数量为( ) A 、2辆 B 、10辆 C 、20辆 D 、70辆8、如果数据n x x x ,,,21 的平均数是 x ， 方差是2S ，则32,,32,3221+++n x x x 的平均数和 方差分别是 （ ）A.x 与2SB.2 x ＋3 和2SC. 2 x ＋3 和 42SD. 2x ＋3 和 42S ＋12S ＋99、某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)。
高中数学必修3综合测试题
正弦定理和余弦定理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， 由正弦定理得：a sin A ＝csin C ， 即1032＝c 22.∴c ＝1063.答案 C 2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的值为( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.答案 B3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°.答案 C4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )． A ．3 3 B ．2 3 C ．4 3 D. 3 解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π，∴sin C ＝223， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3. 答案 C5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，故C ＝150°为三角形的最大内角．答案 150°考向一 利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c . 解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°， ∴sin A ＝32.∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin Csin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin Csin B ＝6－22.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．【训练1】 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝______a ＝________. 解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且sin Acos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B ， 代入数据解得a ＝210.答案255 210考向二 利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．[审题视点] 由cos B cos C ＝－b2a ＋c ，利用余弦定理转化为边的关系求解．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π. (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.【训练2】 已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A2＋cos A ＝0. (1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由2cos 2 A2＋cos A ＝0， 得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3. (2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3， 则a 2＝(b ＋c )2－bc ， 又a ＝23，b ＋c ＝4， 有12＝42－bc ，则bc ＝4， 故△ABC ＝12bc sin A ＝ 3.考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．[审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断． 解 由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ， 得b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]， 即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cos B sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ， 由于A ，B 是三角形的内角． 故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．【训练3】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)． ∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C .即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C . 答案 B考向三 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积． 解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎨⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.(2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6， a ＝433，b ＝233；当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，得b ＝2a .联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.【训练3】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2. (1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103， 所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35， 所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20. 所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.【示例】►在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b ＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．正解∵在△ABC中，cos(B＋C)＝－cos A，∴1＋2cos(B＋C)＝1－2cos A＝0，∴A＝π3.在△ABC中，根据正弦定理asin A＝bsin B，∴sin B＝b sin Aa＝22.∵a＞b，∴B＝π4，∴C＝π－(A＋B)＝5 12π.∴sin C＝sin(B＋A)＝sin B cos A＋cos B sin A＝22×12＋22×32＝6＋24.∴BC边上的高为b sin C＝2×6＋24＝3＋12.【试一试】△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B ＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.[尝试解答](1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A.故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝(1＋3)a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cos B＞0，故cos B＝22，所以B＝45°.高中数学必修3综合测试题一、选择题1、已知一组数据为20、30、40、50、60、60、70，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系为（）A、中位数 >平均数 >众数B、众数 >中位数 >平均数C、众数 >平均数 >中位数D、平均数 >众数 >中位数2、某影院有60排座位，每排70个座号，一次报告会坐满了听众，会后留下座号为15的所有听众60人进行座谈，这是运用了（）A、抽签法B、随机数法C、系统抽样法D、分层抽样法3、某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生（）A、100人B、60人C、80人D、20人4、一个均匀的正方体，把其中相对的面分别涂上红色、黄色、蓝色，随机向上抛出，正方体落地时“向上面为红色”的概率是（）A、1/6B、1/3C、1/2 D 5/65、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）A、角度和它的正切值B、人的右手一柞长和身高C、正方体的棱长和表面积D、真空中自由落体运动物体的下落距离和下落时间6、为了解A、B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取8个进行测试，下面列出了每一种轮胎行驶的最远里程数（单位：1000km）轮胎A：108、101、94、105、96、93、97、106轮胎B：96、112、97、108、100、103、86、98你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定（）A、轮胎AB、轮胎BC、都一样稳定D、无法比较7、我们对那大中学高二（1）班50名学生的身高进行了调查，按区间145--150，150--155，…，180—185（单位：cm）进行分组，得到的分布情况如下图所示，由图可知样本身高在165--170的频率为（）A、0.24B、0.16C、0.12D、0.208、一个射手进行一次射击，则事件“命中环数小于6环”的对立事件是（）A、命中环数为7、8、9、10环B、命中环数为1、2、3、4、5、6环C、命中环数至少为6环D、命中环数至多为6环9、从一副标准的52张的扑克牌中随机地抽取一张，则事件“这张牌是梅花”的概率为（）A、1/26B、13/54C、1/13D、1/410、从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件B = “抽到二等品”，事件C =“抽到三等品”，且已知 P（A）= 0.65 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1。
高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第三册
模块综合检测(时间：120分钟,满分150分)一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{5},B ＝{1,2},C ＝{1,3,4},若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )A ．36B ．35C ．34D ．33【答案】D 【解析】不考虑限定条件确定的不同点的个数为C 12C 13A 33＝36,但集合B ,C 中有相同元素1,由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有三个,故所求的个数为36－3＝33.2．在4次独立重复试验中,事件A 出现的概率相同,若事件A 至少发生一次的概率是6581,则事件A 在一次试验中出现的概率是( )A ．13B ．25C ．56D ．23【答案】A 【解析】设事件A 在一次试验中出现的概率是p .由事件A 至少发生1次的概率为6581,可知事件A 一次都不发生的概率为1－6581＝1681,所以(1－p )4＝1681,则p ＝13.3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ,k ＝1,2,…,则P (2＜X ≤4)等于( )A ．516B ．316C ．116D ．14【答案】B 【解析】P (2＜X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.4．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( )A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C 【解析】记事件A 表示“第一次正面向上”,事件B 表示“第二次反面向上”,则P (AB )＝14,P (A )＝12,∴P (B |A )＝P AB P A ＝12.5．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 2n 的展开式的二项式系数之和为64,则展开式中含x 3项的系数是( )A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】D 【解析】由2n＝64得n ＝6,T r ＋1＝C r 6x 6－r·⎝⎛⎭⎪⎫12x 2r ＝12rC r 6x 6－3r ,令6－3r ＝3,得r＝1,故含x 3项的系数为121C 16＝3.6．为了考察某种中成药预防流感的效果,抽样调查40人,得到如下数据：项目 患流感 未患流感 服用药 2 18 未服用药812下表是χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：α 0.1 0.05 0.01 0.005 x α2.7063.8416.6357.579根据表中数据,计算χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d,若由此认为“该药物有效”,则该结论出错的概率不超过( )A ．0.05B ．0.1C ．0.01D ．0.005【答案】A 【解析】完成2×2列联表项目 患流感 未患流感 合计 服用药 2 18 20 未服用药 8 12 20 合计103040χ2＝40×2×12－8×18210×30×20×20＝4.8＞3.841＝x 0.05.7．某机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析,得到如下数据：记忆能力x 4 6 8 10 识图能力y3568由表中数据,求得经验回归方程为y ＝0.8x ＋a ,若某儿童记忆能力为12,则预测他的识图能力为( )A ．9.5B ．9.8C ．9.2D ．10【答案】A 【解析】∵x ＝14×(4＋6＋8＋10)＝7,y ＝14×(3＋5＋6＋8)＝5.5,∴样本点的中心为(7,5.5),代入回归方程得5.5＝0.8×7＋a ^,∴a ^＝－0.1,∴y ＝0.8x －0.1,当x ＝12时,y ＝0.8×12－0.1＝9.5.8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,则不同的安排方法共有( )A ．40种B ．30种C ．20种D ．60种【答案】C 【解析】分类解决．甲排周一,乙,丙只能是周二至周五4天中选两天进行安排,有A 24＝12(种)方法；甲排周二,乙,丙只能是周三至周五选两天安排,有A 23＝6(种)方法；甲排周三,乙,丙只能安排在周四和周五,有A 22＝2(种)方法．由分类加法计数原理可知,共有12＋6＋2＝20(种)方法．二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0,则( ) A ．a 0＝1B ．a 1＋a 2＋…＋a 7＝129C ．a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8 256D ．a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝8 128【答案】BC 【解析】令x ＝0,则a 0＝－1,A 错误；令x ＝1,得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128①,所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129,B 正确；令x ＝－1,得－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7②,①－②,得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝128－(－4)7,∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8 256,C 正确；①＋②,得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝128＋(－4)7,∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－8 128,D 错误．10．设离散型随机变量X 的分布列为若离散型随机变量Y )A ．E (X )＝2B ．D (X )＝1.4C ．E (Y )＝5D ．D (Y )＝7.2【答案】ACD 【解析】由离散型随机变量X 的分布列的性质得q ＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1,E (X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2,D (X )＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8,∵离散型随机变量Y 满足Y ＝2X ＋1,∴E (Y )＝2E (X )＋1＝5,D (Y )＝4D (X )＝7.2.故选ACD ．11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法错误的是( )A ．若任意选择三门课程,选法总数为A 37 B ．若物理和化学至少选一门,选法总数为C 12C 26 C ．若物理和历史不能同时选,选法总数为C 37－C 15D ．若物理和化学至少选一门,且物理和历史不同时选,选法总数为C 12C 25－C 15【答案】ABD 【解析】对于A,若任意选择三门课程,选法总数为C 37,错误；对于B,若物理和化学选一门,有C 12种方法,其余两门从剩余的5门中选,有C 25种选法,选法为C 12C 25；若物理和化学选两门,有C 22种选法,剩下一门从剩余的5门中选,有C 15种选法,有C 22C 15种,由分类加法计数原理知,总数为C 12C 25＋C 22C 15,错误；对于C,若物理和历史不能同时选,选法总数为C 37－C 22C 15＝(C 37－C 15)种,正确；对于D,有3种情况：①只选物理且物理和历史不同时选,有C 11C 24种选法；②选化学,不选物理,有C 11C 25种选法；③物理与化学都选,有C 22C 14种选法,故总数为C 11C 24＋C 11C 25＋C 22C 14＝6＋10＋4＝20(种),错误．故选ABD ．12．为研究需要,统计了两个变量x ,y 的数据情况如下表：其中数据x 1,x 2,x 3,…,x n 和数据y 1,y 2,y 3,…,y n 的平均数分别为x 和y ,并且计算相关系数r ＝－0.8,经验回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^,则下列结论正确的为( )A ．点(x ,y )必在回归直线上,即y ＝b ^ x ＋a ^B ．变量x ,y 的相关性强C ．当x ＝x 1,则必有y ＝y 1D ．b ^＜0【答案】ABD 【解析】A ．回归直线y ^＝b ^x ＋a ^过样本点中心(x ,y ),即y ＝b ^ x ＋a ^,所以A 正确；B ．相关系数r ＝－0.8,|r |＞0.75,变量x ,y 的相关性强,所以B 正确；C ．当x ＝x 1时,不一定有y ＝y 1,因此C 错误；D ．因为r ＝－0.8＜0,是负相关,所以b ^＜0,D 正确；故选ABD ．三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．13．一射击测试中,每人射击3次,每击中目标一次记10分,没有击中目标记0分,某人每次击中目标的概率为23,则此人得分的均值是________,得分的方差是________．【答案】202003 【解析】记此人3次射击击中目标η次,得分为ξ分,则η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23,ξ＝10η,所以E (ξ)＝10E (η)＝10×3×23＝20,D (ξ)＝100D (η)＝100×3×23×13＝2003. 14．在二项式(2＋x )9的展开式中,常数项是________．【答案】16 2 【解析】由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r·x r,令r ＝0,得常数项为C 09·(2)9·x 0＝(2)9＝16 2.15．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯,为了节省用电而又不能影响正常的照明,可以熄灭其中的3盏灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两盏灯,则熄灯的方法有________种(填数字)．【答案】56 【解析】由题意可知,最终剩余的亮着的灯共有9盏,且两端的必须亮着,所以可用插空的方法,共有8个空可选,所以应为C 38＝56(种)．四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．某校高三年级有6个班,现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛,且规定每班至少要选1人参加．求这10个名额有多少种不同的分配方法．解：除每班1个名额以外,其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：(1)4个名额全部分给某一个班,有C 16种分法； (2)4个名额分给两个班,每班2个,有C 26种分法；(3)4个名额分给两个班,其中一个班1个,一个班3个,共有A 26种分法；(4)4个名额分给三个班,其中一个班2个,其余两个班每班1个,共有C 16·C 25种分法； (5)4个名额分给四个班,每班1个,共有C 46种分法． 故共有C 16＋C 26＋A 26＋C 16·C 25＋C 46＝126(种)分配方法．17．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项,而(a 2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54,求a 的值．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r C r 5x 20－5r 2,令20－5r ＝0,得r ＝4,故常数项T 5＝165×C 45＝16.又(a 2＋1)4展开式的各项系数之和等于2n, 由题意知2n＝16,得n ＝4,由二项式系数的性质知,(a 2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3, 故有C 24a 4＝54,解得a ＝± 3.18．某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A 饮料,另外4杯为B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对,则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯,则月工资定为2 800元,否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数,假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的分布列； (2)求此员工月工资的均值．解：(1)依题意知X 所有可能取值为0,1,2,3,4, P (X ＝0)＝C 04C 44C 48＝170,P (X ＝1)＝C 14C 34C 48＝835,P (X ＝2)＝C 24C 24C 48＝1835,P (X ＝3)＝C 34C 14C 48＝835,P (X ＝4)＝C 44C 04C 48＝170.所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1708351835835170(2)令Y 表示此员工的月工资,则Y 的所有可能取值为2 100,2 800,3 500, 则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝170, P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝835,P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝1835＋835＋170＝5370.所以E (Y )＝170×3 500＋835×2 800＋5370×2 100＝2 280(元)．所以此员工月工资的均值为2 280元．19．“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表：态度 性别合计 男性 女性反感 10不反感 8总计30已知在这30人中随机抽取1人,抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是815.(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析是否有90%的把握认为反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X ,求X 的分布列和均值．附：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d. α 0.10 0.05 0.010 0.005 x α2.7063.8416.6357.879解：(1)态度 性别合计 男性 女性 反感 10 6 16 不反感6814合计1614 30由已知数据得χ2＝30×10×8－6×6216×14×16×14≈1.158＜2.706＝x 0.1.所以,没有90%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关．(2)X 的可能取值为0,1,2,P (X ＝0)＝C 28C 214＝413,P (X ＝1)＝C 16C 18C 214＝4891,P (X ＝2)＝C 26C 214＝1591.所以X 的分布列为X 0 1 2 P41348911591X 的均值为E (X )＝0×413＋1×4891＋2×1591＝67.20．近年来,随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车持有量急剧增加,某市空气中的PM2.5(直径小于等于2.5微米的颗粒物)的含量呈逐年上升的趋势,如图是根据该市环保部门提供的2016年至2020年该市PM2.5年均浓度值画成的散点图(为便于计算,把2016年编号为1,2017年编号为2,…,2020年编号为5)．(1)以PM2.5年均浓度值为因变量,年份的编号为自变量,利用散点图提供的数据,用最小二乘法求出该市PM2.5年均浓度值与年份编号之间的经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)按世界卫生组织(WHO)过渡期－1的标准,空气中的PM2.5的年均浓度限值为35微克/立方米,该市若不采取措施,试预测到哪一年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限值．解：(1)由散点图可得,变量x i ,y i 组成的几组数据为(1,13),(2,15),(3,20),(4,22),(5,25),则x ＝3,y ＝19,所以b ^＝－2×－6＋－1×－4＋0×1＋1×3＋2×6－22＋－12＋02＋12＋22＝3.1.a ^＝y －b ^x ＝19－3.1×3＝9.7.所以所求经验回归方程为y ^＝3.1x ＋9.7.(2)由3.1x ＋9.7＞35,得x ＞8.16,因为x ∈N ,所以x ＝9.故可预测到2024年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限值．21．某品牌专卖店准备在国庆期间举行促销活动．根据市场调查,该店决定从2种不同型号的洗衣机、2种不同型号的电视机和3种不同型号的空调中(不同种商品的型号不同),选出4种不同型号的商品进行促销,该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买任何一种型号的商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得m (m ＞0)元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是12.(1)求选出的4种不同型号商品中,洗衣机、电视机、空调都至少有1种型号的概率； (2)设顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额(单位：元)为随机变量X ,请写出X 的分布列,并求X 的均值；(3)该店若想采用此促销方案获利,则每次中奖奖金要低于多少元？解：(1)设“选出的4种不同型号商品中,洗衣机、电视机、空调都至少有1种型号”为事件A ,则P (A )＝2C 12C 13＋C 12C 12C 23C 47＝2435. (2)X 的所有可能的取值为0,m,2m,3m .P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18, P (X ＝m )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38, P (X ＝2m )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝38,P (X ＝3m )＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18,所以顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额X 的分布列为于是顾客在3E (X )＝0×18＋m ×38＋2m ×38＋3m ×18＝1.5m .(3)要使促销方案对商场有利,应使顾客获得的奖金总额的均值低于商场的提价数额,因此应有1.5m ＜150,所以m ＜100.故每次中奖奖金要低于100元,才能使促销方案对商场有利．。
2021新教材人教版高中数学A版选择性必修第三册模块练习题--6.3.1 二项式定理
6.3二项式定理6.3.1二项式定理基础过关练题组一二项式定理的正用与逆用1.(a+b)2n,n∈N*的展开式的项数是( )A.2nB.2n+1C.2n-1D.2(n+1)2.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则S等于( )A.(x-1)3B.(x-2)3C.x3D.(x+1)33.设A=37+C72×35+C74×33+C76×3,B=C71×36+C73×34+C75×32+1,则A-B的值为( )A.128B.129C.47D.04.用二项式定理展开(1+1x )4= .5.(2019海南海口实验中学高三上月考)3C n1+9C n2+27C n3+…+3n C n n= (n∈N*).题组二二项展开式的特定项、项的系数及二项式系数6.(2020河北石家庄高二下阶段测试)(3x3-√x )7的展开式中x7的系数是( )A.5 103B.21C.-945D.9457.(2020湖南岳阳高二上期末)若(x-√ax2)6的展开式的常数项为60,则实数a的值为( )A.4B.2C.8D.68.(2020四川绵阳中学高三4月线上学习评估)(2x+a)5(其中a≠0)的展开式中,x2的系数与x3的系数相同,则实数a的值为( )A.±12B.12C.-2D.29.(2020四川成都双流中学高三月考)若(1-√x)n(n∈N*)的展开式的第2、3、4项的二项式系数成等差数列,则sin(nπ-π3)=( )A.12B.12或-12C.√32D.√32或-√3210.(2020辽宁本溪高三下线上模拟)若(x6+x√x )n(n∈N*)的展开式中含有常数项,则n的最小值等于( ) A.3 B.4 C.5 D.611.(2020辽宁大连高三第一次模拟)(12x+2y)6的展开式中x2y4的系数为.12.(2020山东枣庄高三上期末)(√x+1x )6的展开式中的常数项等于,有理项共有项.13.已知(2x√x )n(n∈N*)的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5.(1)求n的值;(2)求展开式的常数项.题组三 赋值法求系数和14.(2020山东济宁高二下质量检测)若(x -12)n(n∈N *)的展开式的第3项的二项式系数是15,则展开式的所有项系数之和为( ) A.132B.164C.-164D.112815.(2020山东烟台栖霞一中高二下月考)设(1-3x)9=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 9x 9,则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|的值为( ) A.29 B.49 C.39 D.5916.(2020陕西宝鸡高考模拟检测)若(5x -3√x)n(n∈N *)的展开式的各项系数之和为32,则展开式中x 的系数为 .17.(2020山东枣庄滕州一中高二下月考)已知(1+mx)10=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 10x 10,其中m≠0,且a 6+14a 3=0. (1)求实数m 的值; (2)求a 2+a 4+a 6+a 8+a 10.能力提升练题组一 多项式展开式中的特定项及项的系数 1.(2020山东济宁高二下质量检测,)(1-2x )7x的展开式中x 2的系数为( )A.-84 B .84C.-280D.2802.(2020广东珠海高三教学质量检测,)(x+1)·(2x-1x )5的展开式的常数项为( )A.-40B.40C.-80D.803.(2020山东枣庄第三中学高二下月考,)在(1+x+1x2020)10的展开式中,x2的系数为( ) A.30 B.45 C.60 D.904.(2020陕西榆林二中高三月考,)若(√x+12x )8(ax-1)的展开式中含x12的项的系数为21,则实数a的值为( )A.3B.-3C.2D.-25.(2020辽宁沈阳二中高二下月考,)已知x(x-2)8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9,则a6=( )A.-28B.-448C.112D.4486.(2019河北邯郸第一中学高三期中,)(x+2y)·(x-y)5的展开式中x3y3的系数为.7.(2020天津杨村第一中学高三上一模,)(a+x)(1+x)4的展开式中,若x的奇数次幂的项的系数之和为32,则a= .题组二赋值法求系数和8.(2020山东济南一中高二下第二次月考,)已知(1+x)(a-x)6=a0+a1x+…+a7x7,若a0+a1+…+a7=0,则a3=( )A.-5B.-20C.15D.359.(2020浙江杭州高级中学高三下模拟,)已知(x+2)5(2x-5)=a0+a1x+…+a6x6,则a0= ,a5= .10.(2020湖南长沙长郡中学高三月考,)设(x2+1)·(4x-2)8=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a10(2x-1)10,则a1+a2+…+a10= .11.(2019浙江杭州高考模拟,)若(x-3)3(2x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a0= ,a0+a2+…+a8= .12.()在(2x-3y+1)5的展开式中,不含y的所有项的系数和为(用数值作答).13.()已知(1+2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a1-2a2+3a3-4a4= .14.()已知A n5=56C n7,且(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n.(1)求n的值;(2)求a12+a222+…+a n2n的值.题组三二项式定理的应用15.(2020湖南衡阳高二期末,)1.957的计算结果精确到个位的近似值为( )A.106B.107C.108D.10916.(2019江西九江高二期末,)1-90C101+902C102-903C103+…+9010C1010除以88的余数是( )A.2B.1C.86D.8717.(2020辽宁阜新高二调研,)设a∈Z,且0≤a≤13,若512 020+a能被13整除,则a=( )A.0B.1C.11D.1218.(2020山东青岛莱西一中高二下期中,)求302 020被7除的余数.答案全解全析6.3.1 二项式定理基础过关练1.B 根据二项式定理可知,展开式共有2n+1项.2.C S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1=C30(x-1)3+C31(x-1)2+C32(x-1)+C33=[(x-1)+1]3=x3.3.A A-B=C70×37-C71×36+C72×35-C73×34+C74×33-C75×32+C76×31-C77×30 =(3-1)7=27=128.4.答案 1+4x +6x2+4x3+1x4解析解法一:(1+1x )4=C40(1x)+C41(1x)1+C42(1x)2+C43(1x)3+C44(1x)4=1+4x+6x2+4x3+1x4.解法二:(1+1x )4=(1x)4(x+1)4=(1 x )4(C40x4+C41x3+C42x2+C43x+C44x0)=1+4x +6x2+4x3+1x4.5.答案4n-1解析3C n1+9C n2+27C n3+…+3n C n n=C n0+3C n1+9C n2+27C n3+…+3n C n n-1=(1+3)n-1=4n-1.6.D (3x3√x )7的展开式的通项是T r+1=C7r(3x3)7-r(√x )r=(-1)r37-r C7r x21-7r2,令21-7r2=7,解得r=4,所以展开式中x7的系数是(-1)437-4C74=945.故选D.7.A (x-√ax2)6的展开式的通项为T r+1=C6r x6-r(-√ax2)r=(-1)r a r2C6r x6-3r,令6-3r=0,解得r=2,则常数项为(-1)2a C62=60,解得a=4.故选A.8.D (2x+a)5的展开式的通项为T r+1=C5r(2x)5-r a r=25-r a r C5r x5-r,因为x 2的系数与x 3的系数相同,所以22a 3C 53=23a 2C 52,即4a 3=8a 2,又a≠0,所以a=2.故选D.9.C ∵(1-√x )n (n∈N *)的展开式的第2、3、4项的二项式系数成等差数列,∴2C n 2=C n 1+C n 3(n≥3),解得n=7,∴sin (nπ-π3)=sin (7π-π3)=sin 2π3=√32.故选C.10.C (x 6+x √x)n的展开式的通项为T r+1=C n r (x 6)n-r (x √x)r =C n r x 6n -6r -32r =C n r x 6n -152r,令6n-152r=0 ,得n=54r.又n∈N *,所以当r=4 时,n 取得最小值5. 故选C. 11.答案 60解析 (12x +2y)6的展开式的通项为T r+1=C 6r(12x)6-r(2y)r =22r-6C 6r x 6-r y r.令r=4,得T 5=60x 2y 4. 故x 2y 4的系数为60. 12.答案 15;4解析 (√x +1x )6的展开式的通项为T r+1=C 6r (√x )6-r (1x)r=C 6rx 6-3r 2.当6-3r 2=0时,r=2,此时常数项为C 62=15.当6-3r 2为整数时,对应的项为有理项,因为r∈N 且r≤6,所以r 可取0,2,4,6,故共有4项为有理项. 13.解析 (2x √x)n的展开式的通项为T r+1=C n r(2x)n-r (√x)r =(-1)r 2n-r C n r x n -32r .(1)由展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,可得C n 1∶C n 2=2∶5,解得n=6.(2)由(1)知T r+1=(-1)r26-rC 6r x 6-32r,令6-32r=0,解得r=4,所以展开式的常数项为(-1)4×26-4×C 64=60.14.B由题意知C n 2=n (n -1)2=15,解得n=6或n=-5(舍去),故(x -12)n =(x -12)6,令x=1,得所有项系数之和为(12)6=164.15.B 易得(1-3x)9的展开式的通项为T r+1=C 9r(-3)r x r ,∴a 0,a 2,a 4,a 6,a 8为正数,a 1,a 3,a 5,a 7,a 9为负数, ∴|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9| =a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 8-a 9,令x=-1,得(1+3)9=a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 8-a 9=49, ∴|a 0|+|a 1|+…+|a 9|=49. 16.答案 2 025解析 依题意,令x=1,得(5-3)n=32,解得n=5,则该式为(5x-3√x)5,其展开式的通项为T r+1=C 5r (5x)5-r(-3x 12)r=55-r ·(-3)r·C 5r x 3r2-5,令32r-5=1,得r=4,所以x 的系数为55-4×(-3)4×C 54=2 025.故答案为2 025.17.解析 (1)(1+mx)10的展开式的通项为T r+1=C 10r (mx)r =C 10r m r x r ,所以a 3=C 103m 3,a 6=C 106m 6,依题意得C 106m 6+14C 103m 3=0,即210m 6+14×120m 3=0,整理得m 3(m 3+8)=0,因为m≠0,所以m 3=-8,所以m=-2.(2)由(1)得m=-2,所以(1-2x)10=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 10x 10. 令x=1,得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=(1-2)10=1.① 令x=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7+a 8-a 9+a 10=(1+2)10=310.② ①+②得2(a 0+a 2+a 4+a 6+a 8+a 10)=1+310,即a 0+a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=1+3102.又a 0=C 100(-2)0=1,所以a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=1+3102-1=310-12=29 524. 能力提升练1.C 易得(1-2x)7的展开式的通项为T k+1=(-2)kC 7k x k,则(1-2x )7x的展开式的通项为(-2)k C 7k x k-1,令k-1=2,得k=3,所以x 2的系数为(-2)3C 73=-280.故选C. 2.A (2x -1x)5的展开式的通项为T r+1=C 5r (2x)5-r (-1x)r =(-1)r 25-r C 5r x 5-2r,令5-2r=-1,得r=3, 令5-2r=0,得r=52(舍去),所以(x+1)(2x -1x)5的展开式的常数项为(-1)3×22×C 53=-40.故选A.3.B (1+x +1x2 020)10的展开式的通项为T r+1=C 10r(x +1x 2 020)r,r≤10,r∈N.(x +1x 2 020)r的展开式的通项为T k+1=C rk x r-2 021k ,k≤r,k∈N, 令r-2 021k=2,可得r=2+2 021k, 只有k=0,r=2满足题意,故x 2的系数为C 102×C 20=45,故选B.4.A (√x +12x )8的展开式的通项为T r+1=C 8r(√x )8-r (12x )r =(12)rC 8r x 8-3r2,令8-3r 2=-12,得r=3,此时(√x +12x )8(ax-1)的展开式中含x 12的项的系数为(12)3C 83a=7a,令8-3r 2=12,得r=73∉N,舍去,所以(√x +12x )8(ax-1)的展开式中含x 12的项的系数为7a,所以7a=21,得a=3.故选A.5.A 由x(x-2)8=[(x-1)+1][(x-1)-1]8知,当第一个因式取(x-1)时,第二个因式取C 83(x-1)5(-1)3,其系数为-56,当第一个因式取1时,第二个因式取C 82(x-1)6(-1)2,其系数为28,故a 6=-56+28=-28.故选A.6.答案 10解析 (x+2y)(x-y)5=(x+2y)(C 50x 5-C 51x 4y+C 52x 3y 2-C 53x 2y 3+C 54x 1y 4-C 55y 5),故它的展开式中x 3y 3的系数为-C 53+2C 52=10,故答案为10.7.答案 3解析 因为(1+x)4=1+4x+6x 2+4x 3+x 4,所以(a+x)(1+x)4的展开式中含x 的奇数次幂的项分别为4ax,4ax 3,x,6x 3,x 5,其系数之和为4a+4a+1+6+1=32,解得a=3.8.A 由题意,令x=1,可得a 0+a 1+…+a 7=(1+1)(a-1)6=2×(a -1)6=0,解得a=1,∴(1+x)(a -x)6=(1+x)(1-x)6=(1-x)6+x×(1-x)6,∴展开式中x 3的系数为C 63(-1)3+C 62(-1)2=-20+15=-5,故选A.9.答案 -160;15解析 令x=0,得25×(-5)=a 0,即a 0=-160.a 5为x 5的系数,由(x+2)5(2x-5)=2x(x+2)5-5(x+2)5可知,x 5的系数为C 51×21×2+C 50×(-5)=15,即a 5=15.10.答案 512解析 ∵(x 2+1)(4x-2)8=a 0+a 1(2x-1)+a 2(2x-1)2+…+a 10(2x-1)10,∴令x=1,得(1+1)×(4×1-2)8=a 0+a 1+a 2+…+a 10=29,令x=12,得(14+1)×(4×12-2)8=a 0=0,∴a1+a2+…+a10=29-0=512.故答案为512.11.答案-27;-940解析令x=0,得(-3)3=a0,所以a0=-27.令x=1,得(-2)3×35=a0+a1+a2+…+a8,①令x=-1,得(-4)3×(-1)5=a0-a1+a2-…+a8,②①+②得2(a0+a2+…+a8)=-1 880,∴a0+a2+…+a8=-940.12.答案243解析要求(2x-3y+1)5的展开式中不含y的项,只需令y=0,所以(2x-3y+1)5的展开式中不含y的所有项的系数和为(2x+1)5的展开式中各项的系数和,令x=1,得35=243.故答案为243.13.答案-8解析等式两边同时对x求导,可得8(1+2x)3=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3,令x=-1,得a1-2a2+3a3-4a4=-8.14.解析(1)易知n≥7,n∈N.∵A n5=56C n7,∴n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=56×n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6),7×6×5×4×3×2×1=1,整理可得(n-5)(n-6)90即n2-11n-60=0,解得n=15或n=-4(舍去).故n的值为15.(2)由(1)得n=15,∴(1-2x)n =(1-2x)15=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a 15x 15,令x=0,可得a 0=1,令x=12,可得(1-2×12)15=a 0+a 12+a 222+a 323+…+a 15215=0, ∴a 12+a222+…+a 15215=-1.15.B ∵1.957=(2-0.05)7=27-C 71×26×0.05+C 72×25×0.052-…-0.057≈107.21,∴1.957≈107.故选B.16.B 1-90C 101+902C 102-903C 103+…+9010C 1010=(1-90)10=(1+88)10=1+88C 101+882C 102+883C 103+…+8810C 1010=1+88(C 101+88C 102+882C 103+…+889C 1010),所以1-90C 101+902C 102-903C 103+…+9010C 1010除以88的余数是1,故选B.17.D 因为51=52-1,所以512 020=(52-1)2 020=C 2 0200522 020-C 2 0201522 019+…-C 2 0202 019521+1,又因为52能被13整除,所以只需1+a 能被13整除,因为a∈Z,0≤a≤13,所以a=12,故选D.18.解析 302 020=(28+2)2 020=282 020+C 2 0201×282 019×2+…+C 2 0202 019×28×22 019+22 020=28×(282 019+C 2 0201×282 018×2+…+C 2 0202 019×22 019)+22 020, 故只需求出22 020被7除的余数即可,因为22020=2×8673=2×(7+1)673=2×(7673+C 6731×7672+C 6732×7671+…+C 673672×7+1)=2×7×(7672+C 6731×7671+C 6732×7670+…+C 673672)+2,所以余数为2.。
北师大版高中数学必修三单元测评：第一章统计(A卷)(含解析)
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）单元测评统计(A卷)(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在指定答题栏内．1．下列调查方式合适的是()A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式B．要了解收看中央电视台的“法制报道”栏目的情况，采用普查方式C．为了保证“天宫一号”太空舱发射成功，对重要零件采取抽查方式D．要了解外国人对“上海世博会”的关注度，可采用抽查方式答案：D2．某班的78名同学已编号1,2,3，…，78，为了解该班同学的作业情况，老师收取了学号能被5整除的15名同学的作业本，这里运用的抽样方法是()A．简单随机抽样法B．系统抽样法C．分层抽样法D．抽签法答案：B3．容量为100的样本数据按从小到大的顺序分为8组，如下表：组号12345678频数 10 13 x 14 15 13 12 9第3组的频数与频率分别是( ) A ．14和0.14 B ．0.14和14 C.114和0.14D.13和114解析：频数为100－(10＋13＋14＋15＋13＋12＋9)＝14，频率为14100＝0.14.答案：A4．一次选拔运动员，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图如图，记录的平均身高为177 cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数为x ，那么x 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：设这名候选人的身高为m ，则180＋181＋170＋173＋178＋179＋m 7＝177. 解得m ＝178.∴x ＝8. 答案：D5. 如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为( )A ．20B ．30C ．40D ．50解析：前3组的频率之和等于1－(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.75，第2小组的频率是0.75×21＋2＋3＝0.25，设样本容量为n ，则10n ＝0.25，即n ＝40.答案：C6．已知两个变量x ，y 之间具有线性相关关系，试验测得(x ，y )的四组值分别为(1,2)，(2,4)，(3,5)，(4,7)，则y 与x 之间的回归直线方程为( )A ．y ＝0.8x ＋3B ．y ＝－1.2x ＋7.5C ．y ＝1.6x ＋0.5D ．y ＝1.3x ＋1.2解析：利用排除法．∵x ＝14(1＋2＋3＋4)＝2.5，y ＝14(2＋4＋5＋7)＝4.5， 由于回归直线y ＝bx ＋a 必过定点(2.5,4.5)，故排除A ，D. 又由四组数值知y 随x 的增大而增大，知b >0，排除B. 答案：C7．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( )A ．3.5B ．－3C ．3D ．－0.5解析：少输入90，9030＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际的平均数等于－3.答案：B8．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品3月以后的每月市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，下表列出的是该产品今年前六个月的市场收购价格：( )月份 1 2 3 4 5 6 7 价格(元/担)687867717270则前七个月该产品的市场收购价格的方差为 A.757 B.767 C ．11D.787解析：设7月份该产品的市场收购价格为a ，由题意得(a －71)2＋(a －72)2＋(a －70)2值最小时a ＝71＋72＋703＝71，前七个月该产品的市场收购价格先各减去71后得：－3,7，－4,0,1，－1,0.所得数据的平均数恰好为0，方差为s 2＝17[(－3)2＋72＋(－4)2＋0＋1＋1＋0－7×02]＝767.答案：B9．已知数据x 1，x 2，x 3的中位数为k ，众数为m ，平均数为n ，方差为p ，则下列说法中，错误的是( )A ．数据2x 1,2x 2,2x 3的中位数为2kB ．数据2x 1,2x 2,2x 3的众数为2mC ．数据2x 1,2x 2,2x 3的平均数为2nD．数据2x1,2x2,2x3的方差为2p解析：当数据由x1，x2，x3变为2x1,2x2,2x3时，其中位数、众数、平均数也变为原来的2倍，但是其方差应变为原来的4倍．故数据2x1,2x2,2x3的方差为4p.答案：D10．为了调查利群超市的营业情况，下表是利群超市五月份一周的利润情况记录.日期14日15日16日17日18日19日20日当日利润0.200.170.230.210.230.180.25 (万元)根据上表你估计利群超市今年五月份的总利润是()A．6.51万元B．6.4万元C．1.47万元D．5.88万元解析：根据这一周的记录可以求得每天的平均利润为：0.20＋0.17＋0.23＋0.21＋0.23＋0.18＋0.257＝0.21(万元)，故五月份的总利润为：0.21×31＝6.51(万元)．答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．11．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验．这三种型号的轿车依次抽取__________辆，__________辆，__________辆．解析：各种型号的轿车差别较大，可用分层抽样法抽取，抽取比例为46∶(1 200＋2 000＋6 000)＝1∶200.所以这三种型号的轿车依次应抽取6辆，30辆，10辆．答案：6 30 1012．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图，据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为__________.解析：由茎叶图知，抽取的20名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为6，频率为620，故200名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为620×200＝60.答案：6013．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90，则90～100分数段的人数为__________．解析：设总人数为n ，则90n ＝0.05，故n ＝1 800，故90～100分数段的人数为1 800×0.45＝810.答案：81014．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加__________万元．解析：本题考查了对线性回归知识的理解和应用．回归直线方程中的斜率就是平均增长率．答案：0.254三、解答题：本大题共4小题，满分50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(12分)某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量(单位：kg)，分别记录，抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99；乙：110,115,90,85,75,115,110. (1)这种抽样方法是哪一种？(2)估计甲、乙两车间包装的肥料重量的平均值与方差，并说明哪个车间产品较稳定？解：(1)这种抽样方法是系统抽样；(2分)(2)x 甲＝102＋101＋99＋98＋103＋98＋997＝100(kg)， s 2甲＝17[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2]≈3.428 6(kg 2)，(6分)x 乙＝110＋115＋90＋85＋75＋115＋1107＝100(kg)， s 2乙≈228.57(kg 2)，因为x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲车间产品较稳定．(12分)16．(12分)一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 x 标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆．(1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，应如何抽取？解：(1)设该厂本月生产轿车n 辆， 由题意，得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400.(6分) (2)设所抽样本中有m 辆舒适型轿车，因为要用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以4001 000＝m5，解得m ＝2，即在C 类轿车中抽取2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．(12分) 17．(12分)某零售店近五个月的销售额和利润额资料如下表：商店名称 A B C D E 销售额x /千万 3 5 6 7 9 利润额y /百万元23345(1)画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系； (2)用最小二乘法计算利润额y 关于销售额x 的回归直线方程；(3)当销售额为4(千万元)时，利用(2)的结论估计该零售店的利润额(百万元)．⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤参考公式：b ＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2，a ＝y －b x 解：(1)散点图如下． 两个变量呈线性相关关系．(4分)(2)设回归直线的方程是y ＝bx ＋a . 由题中的数据可知y ＝3.4，x ＝6.所以b ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝－3×(－1.4)＋(－1)×(－0.4)＋1×0.6＋3×1.69＋1＋1＋9＝1020＝12.a ＝y －b x ＝3.4－12×6＝0.4.所以利润额y 关于销售额x 的回归直线方程为y ＝0.5x ＋0.4.(8分) (3)由(2)知，当x ＝4时，y ＝0.5×4＋0.4＝2.4，所以当销售额为4千万元时，可以估计该店的利润额为2.4百万元．(12分)18．(14分)在某中学举行的信息知识竞赛中，将高二年级两个班的参赛学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制出如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？(不必说明理由)解：(1)因为各小组的频率之和为1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，所以第二小组的频率为1.00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40.(3分)因为第二小组的频率为0.40，所以落在59.5～69.5内的第二小组的小长方形的高＝频率组距＝0.4010＝0.04，由此可补全频率分布直方图(如图阴影部分所示)．(6分)(2)设高二年级两个班参赛的学生人数为x 人，因为第二小组的频数为40，频率为0.40，所以40x ＝0.40.解得x ＝100(人)．所以高二年级两个班参赛的学生人数为100.(12分)(3)高二年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．(14分)。
高中数学必修三综合检测试题
综合检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.总体容量为203,若采用系统抽样法进行抽样,当抽样间距为多少时不需要剔除个体( D )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:由于203=7×29,即203在四个选项中只能被7整除,故间隔为7时不需剔除个体.2.在线段[0,3]上任取一点,则此点坐标大于1的概率是( B )(A)(B)(C)(D)解析:根据几何概型可知,在线段[0,3]上任取一点,则此点坐标大于1就是1<x≤3,所以所求的概率为,故选B.3.一个射手进行射击,记事件E1:“脱靶”,E2:“中靶”,E3:“中靶环数大于4”,E4:“中靶环数不小于5”,则在上述事件中,互斥而不对立的事件共有( B )(A)1对(B)2对(C)3对(D)4对解析:E1,E2互斥且对立,E1与E3,E1与E4均为互斥而不对立的事件.E2与E3,E2与E4包含关系,E3与E4有同时发生的情况,故选B.4.某产品共有三个等级,分别为一等品、二等品和不合格品.从一箱产品中随机抽取1件进行检测,设“抽到一等品”的概率为0.65,“抽到二等品”的概率为0.3,则“抽到不合格品”的概率为( D )(A)0.95 (B)0.7 (C)0.35 (D)0.05解析:“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件,所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65+0.3=0.95,“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件,故其概率为1-0.95=0.05.5.用秦九韶算法求多项式f(x)=0.5x5+4x4-3x2+x-1,当x=3的值时,先算的是( C )(A)3×3=9(B)0.5×35=121.5(C)0.5×3+4=5.5(D)(0.5×3+4)×3=16.5解析:由题f(x)=(((0.5x+4)x-3)x+1)x-1.从里到外先算0.5x+4的值,即先计算0.5×3+4=5.5.故选C.6.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是( A )(A)91.5和91.5 (B)91.5和92(C)91和91.5 (D)92和92解析:这组数据从小到大排列后可得其中位数为=91.5,平均数为=91.5.故选A.7.如图所示是计算函数y=的值的程序框图,则在①,②,③处应分别填入的是( B )(A)y=-x,y=0,y=x2(B)y=-x,y=x2,y=0(C)y=0,y=x2,y=-x (D)y=0,y=-x,y=x2解析:框图为求分段函数的函数值,当x≤-1时,y=-x,故①为y=-x,当-1<x≤2时,y=0,故③为y=0,那么②为y=x2.故选B.8.已知Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域Ω上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为( A ) (A)(B)(C)(D)解析:如图所示,由几何概型概率公式,得P===.故选A.9.某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动).该校文学社共有100名学生,他们参加活动的次数统计如图所示,则从文学社中任意选1名学生,他参加活动次数为3的概率是( B )(A)(B)(C)(D)解析:从中任意选1名学生,他参加活动次数为3的概率是=.故选B.10.三个数390,455,546的最大公约数是( D )(A)65 (B)91 (C)26 (D)13解析:用辗转相除法.因为546=390×1+156,390=156×2+78,156=78×2,所以546与390的最大公约数为78.又因为455=78×5+65, 78=65+13,65=13×5,所以455与78的最大公约数为13,故390,455, 546的最大公约数为13.故选D.11.某程序框图如图所示,若输出的结果是126,则判断框中可以是( A )(A)i>6? (B)i>7? (C)i≥6? (D)i≥5?解析:根据题意可知该程序运行情况如下:第1次:S=0+21=2,i=1+1=2;第2次:S=2+22=6,i=3;第3次:S=6+23=14,i=4;第4次:S=14+24=30,i=5;第5次:S=30+25=62,i=6;第6次:S=62+26=126,i=7;此时S=126,结束循环,因此判断框应该是“i>6?”.故选A.12.有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯,设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的,则2个人在不同层离开的概率为( D )(A)(B)(C)(D)解析:设2个人分别在x层、y层离开,则记为(x,y).基本事件构成集合Ω={(2,2),(2,3),(2,4),…,(2,10),(3,2),(3,3),(3,4),…, (3,10),…,(10,2),(10,3),(10,4),…,(10,10)},所以除了(2,2),(3,3),(4,4),…,(10,10)以外,都是2个人在不同层离开,故所求概率 P==.故选D.二、填空题(每小题5分,共20分)13.某课题组进行城市空气质量调查,按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组,对应城市数分别为4,12,8.若用分层抽样方法抽取6个城市,则甲组中应抽取的城市数为个.解析:甲组中应抽取的城市数为×4=1(个).答案:114.利用秦九韶算法,求当x=23时,多项式7x3+3x2-5x+11的值的算法.①第一步:x=23,第二步:y=7x3+3x2-5x+11,第三步:输出y;②第一步:x=23,第二步:y=((7x+3)x-5)x+11,第三步:输出y;③算6次乘法,3次加法;④算3次乘法,3次加法.以上描述正确的序号为.解析:利用秦九韶算法,y=((7x+3)x-5)x+11,算3次乘法,3次加法,故②④正确.答案:②④15.执行如图所示的程序框图,输出的T= .解析:按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2;S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30.答案:3016.甲、乙两个人玩一转盘游戏(转盘如图①,“C为弧AB的中点”),任意转动转盘一次,指针指向圆弧AC时甲胜,指向圆弧BC时乙胜.后来转盘损坏如图②,甲提议连接AD,∠OAD=,取AD的中点E,若任意转动转盘一次,指针指向线段AE时甲胜,指向线段ED时乙胜.然后继续游戏,你觉得此时游戏还公平吗?答案: ,因为P甲P乙(填“<”“>”或“=”).解析:连接OE(图略),在直角三角形AOD中,∠AOE=,∠DOE=,若任意转动转盘一次,指针指向线段AE的概率是÷=,指针指向线段ED的概率是÷=,所以乙胜的概率大,即这个游戏不公平.答案:不公平<三、解答题(共70分)17.(本小题满分10分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如表所示:类别文艺节目新闻节目总计20至40岁40 18 58大于40岁15 27 42 总计55 45 100(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关?(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,则大于40岁的观众应该抽取几名?解:(1)由于大于40岁的42人中有27人收看新闻节目,而20至40岁的58人中,只有18人收看新闻节目,故收看新闻节目的观众与年龄、有关.(2)×5=3(名),所以大于40岁的观众应抽取3名.18.(本小题满分12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.解:用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素个数是4×4=16,所以基本事件总数为n=16.(1)记“xy≤3”为事件A.则事件A包含的基本事件共有5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.(2)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C,则事件B包含的基本事件共有6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),所以P(B)==.则事件C包含的基本事件共有5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),所以P(C)=.因为>,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.19.(本小题满分12分)某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况,随机对100名出租车司机进行调查,调查问卷共10道题,答题情况如下表所示.答对题目数[0,8) 8 9 10女 2 13 12 8男 3 37 16 9 (1)如果出租车司机答对题目数大于等于9,就认为该司机对新法规的知晓情况比较好,试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率;(2)从答对题目数小于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查,求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率.解:(1)答对题目数小于9的人数为55,记“答对题目数大于等于9”为事件A,P(A)=1-=0.45.(2)设答对题目数小于8的出租车司机为A,B,C,D,E,其中A,B为女出租车司机,任选出2人包含AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10种情况,至少有一名女出租车司机的事件为AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,共7种.记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M,则P(M)==0.7.20.(本小题满分12分)某培训班共有n名学生,现将一次某学科考试成绩(单位:分)绘制成频率分布直方图,如图所示.其中落在[80,90)内的频数为36.(1)请根据图中所给数据,求出a及n的值;(2)从如图5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本,求在第一组、第五组(从左到右)中分别抽取了几名学生的成绩;(3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中,随机抽取两名学生的成绩,求所取两名学生的平均分不低于70分的概率.解:(1)第四组的频率为1-0.05-0.075-0.225-0.35=0.3,所以a==0.03,n==120.(2)第一组应抽0.05×40=2(名),第五组应抽0.075×40=3(名).(3)设第一组抽取的2个分数记作A1,A2,第五组的3个分数记作B1,B2,B3,那么从这两组中抽取2个的结果有A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3,共10种,其中平均分不低于70分的有9种,故所求概率为P=.21.(本小题满分12分)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验,得到的数据如表所示:零件的个数x/个 2 3 4 5加工的时间y/h 2.5 3 4 4.5 (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;(2)求出y关于x的回归直线方程=x+,并在坐标系中画出回归直线;(3)试预测加工10个零件需要多少时间.解:(1)散点图如图.(2)由表中数据得x i y i=52.5,=3.5,=3.5,=54.代入公式得=0.7,=-=3.5-0.7×3.5=1.05,所以=0.7x+1.05.回归直线如图中所示.(3)将x=10代入回归直线方程,得=0.7×10+1.05=8.05(h).所以预测加工10个零件需要8.05 h.22.(本小题满分12分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动,在[25,55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查,若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图.组数分组“低碳族”的人数占本组的频率第一组[25,30) 120 0.6第二组[30,35) 195 p第三组[35,40) 100 0.5第四组[40,45) a 0.4第五组[45,50) 30 0.3第六组[50,55] 15 0.3(1)补全频率分布直方图,并求n,a,p的值;(2)从年龄在[40,50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动,其中选取2人作为领队,求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率.解:(1)第二组的概率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,所以==0.06.补全频率分布直方图如图,第一组的人数为=200,频率为0.04×5=0.2,所以n==1 000.因为第二组的频率为0.3,所以第二组的人数为 1 000×0.3=300,所以p==0.65.第四组的频率为0.03×5=0.15,所以第四组的人数为 1 000×0.15=150.所以a=150×0.4=60.(2)因为年龄在[40,45)岁的“低碳族”与[45,50)岁的“低碳族”的人数的比为60∶30=2∶1,所以采用分层抽样法抽取6人,[40,45)中有4人,[45,50)中有2人.设[40,45)中的4人为a,b,c,d,[45,50)中的2人为m,n,则选取2人作为领队的情况有(a,b),(a,c),(a,d), (a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n),共15种,其中恰有1人年龄在[40,45)岁的情况有(a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),共8种,所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率P=.。
2019年人教版高中数学必修三综合测试题(含答案)
必修3综合模拟测试卷A（含答案）一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、用冒泡排序算法对无序列数据进行从小到大排序，则最先沉到最右边的数是A、最大数B、最小数C、既不最大也不最小D、不确定2、甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是A、16B、12C、13D、233、某单位有老年人28 人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是A、6，12，18B、7，11，19C、6，13，17D、7，12，174、甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，它们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是A、甲B、乙C、甲、乙相同D、不能确定5、从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是A、16B、C、13D、6、如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为A 、34B 、38C 、14D 、187、阅读下列程序：输入x ；if x ＜0， then y ：＝32x π+；else if x ＞0， then y ：＝52x π-+；else y ：＝0； 输出 y ．如果输入x ＝－2，则输出结果y 为A 、3＋πB 、3－πC 、π－5D 、－π－5 8、一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率是 A 、31 B 、32 C 、41 D 、529、根据下面的基本语句可知，输出的结果T 为 i:=1; T:=1;For i:=1 to 10 do; Begin T:=T+1;End 输出T开始 S ：＝0 i ：＝3 i ：＝i ＋1S ：＝S ＋ii ＞5 输出S结束是 否A 、10B 、11C 、55D 、56 10、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、11 B 、12 C 、13 D 、15二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上） 11、一个容量为20的样本数据,分组后，组距与频数如下：(]10,20，2；(]20,30， 3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4 ；(]60,70，2。
最新人教版高中数学必修3第三章模块综合测评1
模块综合测评（一）(时间：100分钟，满分：100分)一、选择题（每小题4分，共48分）1.某学校有小学生126人，初中生280人，高中生95人，为了调查学生的身体状况，需要从他们当中抽取一个容量为100的样本，采用_________方法较为恰当（ ） A.简单随机抽样 B.系统抽样C.分层抽样D.先从小学生中剔除1人，然后分层抽样 答案：D2.下列说法中，不正确的是（ ）A.简单随机抽样是从个数较少的总体中抽取个体B.系统抽样是从个体较多的总体中将总体均分，再按事先确定的规则在各部分抽取个体C.系统抽样是将差异明显的总体分成几部分再从各部分抽取个体D.分层抽样是将由差异明显的几部分组成的总体分成几层，分层进行抽取个体 答案：C3.输出两个变量a 、b 的值的语句中不正确的是（ ）A.print(%io(2),a,b)B.print(%io(2),“a,b”)C.print(%io(2),“a,b”,a,b)D.print(%io(2),“a,b=”,a,b) 答案：B4.如果两组数x 1,x 2,…,x n 和y 1,y 2,…,y n 的平均数分别为x 和y ，标准差分别为s 1和s 2，那么合为一组数x 1,x 2,…,x n ,y 1,y 2,…,y n 后的平均数和标准差分别是（ ）A.2,2221s s y x ++B.2,2221s s y x ++C.2,22221s s y x ++D.2,22221s s y x ++ 答案：D5.把红、黑、白、蓝四张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁四个人,每人得一张,事件“甲分得白牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）A.对立事件B.不可能事件C.互斥但非对立事件D.以上都不对 答案：D6.某学校共有初中生900人，其中初一学生300人，初二学生200人，初三学生400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为45的样本，那么初一、初二、初三各年级抽取的人数分别为（ ）A.15，5，25B.15，15，15C.10，5，30D.15，10，20 答案：D7.关于频率分布直方图中的有关数据，下列说法正确的是（ ） A.直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率 B.直方图的高表示取某数的频率C.直方图的高表示该组上的个体数与组距的比值D.直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值 答案：D8.在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80—89分的概率是0.51，在70—79分的概率是0.15，在60—69分的概率是0.09，则小明不及格（60分以下）的概率是（ ）A.0.93B.0.69C.0.31D.0.07 答案：D9.从甲袋中摸出一个红球的概率是31，从乙袋中摸出一个红球的概率是21，从两个袋中各摸出一球，则32等于（ ） A.两球都不是红球的概率 B.两球都是红球的概率C.至少有一个红球的概率D.两球中恰好有一个红球的概率 答案：C10.（2007山东济宁模拟）阅读如图所示的程序框图：输出的结果为（ ）A.20B.3C.5D.15 ∵a 的初值为5.每循环一次a 的值减1.故循环2次. ∴s=20. 答案：A11.在数轴上的区间［0，3］上任取一点，则此点落在区间［2，3］上的概率是（ ）A.31 B.21 C.32 D.43 解析：由两区间长度之比得31，∴选A.答案：A12.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，则甲被选上的概率为（ ） A.31 B.32 C.43 D.61 答案：B二、填空题（每小题4分，共16分）13.某校高中部有学生1 600人，其中高一520人，高二500人，高三580人，如果想抽出80人调查学生情况，考虑到不同年级学生的情况有明显差异，而同一年级学生间差异较小则应采用___________方法抽样，高一学生应抽查___________人. 答案：分层 2614.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台报时（电台整点报时），则他等待的时间不多于6分钟的概率是___________. 答案：101 15.把50个数据分成6个组，有一个组有15个数据，那么该组的频数是___________，频率是___________. 答案：15 0.316.（2007山东潍坊期中）下图所示的程序框图的输出结果是____________.当i=1,n=2时,S=2,n=4, 当i=2时,S=6,n=6. 当i=3时,S=12,n=8 当i=4＞3时,输出12. 答案：12三、解答题（共36分）17.（8分）某工厂在职人员100人，其中干部10人，科室人员20人，工人70人，为了解工厂改革的意见，从中抽取一个容量为20的样本，试确定如何抽样，并写出具体实施过程. 解析：因为工厂改革关系到不同层次的人的不同利益，故采用分层抽样，各层可采取简单随机抽样. ∵20100=5，∴510=2，570=14，520=4. ∴从干部中抽取2人，科室人员抽取4人，从工人中抽取14人.因干部与科室人员的人数较少，把他们分别按1—10与1—20编号，然后采用抽签法分别抽2人和4人；对工人70人进行00，01，02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人.（2）至少3人排队等候的概率是多少？记事件在窗口等候的人数为0,1,2,3,4,5人及5人以上分别为A 、B 、C 、D 、E 、F. (1)至多2人排队等候的概率是P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)方法一：至少3人排队等候的概率是P(D ∪E ∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44. 方法二：因为至少3人排队等候与至多2人排队等候是对立事件，故由对立事件的概率公式，至少3人排队等候的概率是P （D ∪E ∪F)=1-P(A ∪B ∪C)=1-0.56=0.44. ∴至多2人排队等候的概率是0.56，至少3个排队等候的概率是0.44. 19.（10分）对任意正整数,设计一个求S=1+n13121+++ 的值的程序框图. 解析：20.(10分)（2007山东临沂模拟）某中学图书馆将图书分为自然科学、文学艺术、社会百科、数学四类.在“深圳读书月”活动期间,为了解图书的借阅情况,图书管理员对本月各类图书的借阅量进行了统计,表甲和图乙是图书管理员通过采集数据后,绘制的两幅不完整的频率分布表与频率分布条形图.请你根据图中和表中提供的信息,解答以下问题：（1）填充表甲频率分布表中的空格;（2）在图乙中,将表示“自然科学”的部分补充完整. 解析：（1）自然科学对应的频率=1-0.50-0.25-0.05=0.20，自然科学对应的频数=50.01000×0.20=400. (2）如图所示导学乐园靠自己小蜗牛问妈妈：为什么我们从生下来，就要背负这个又硬又重的壳呢？妈妈：因为我们的身体没有骨骼的支撑，只能爬，又爬不快.所以要这个壳的保护！小蜗牛：毛虫姊姊没有骨头，也爬不快，为什么她却不用背这个又硬又重的壳呢？妈妈：因为毛虫姊姊能变成蝴蝶，天空会保护她啊.小蜗牛：可是蚯蚓弟弟也没骨头,也爬不快，更不会变成蝴蝶,他为什么不用背这个又硬又重的壳呢？妈妈：因为蚯蚓弟弟会钻土, 大地会保护他啊.小蜗牛哭了起来：我们好可怜，天空不保护，大地也不保护.蜗牛妈妈安慰他：所以我们有壳啊！我们不靠天，也不靠地，我们靠自己.。
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高中数学必修三模块综合测试卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1．下列给出的赋值语句中正确的是：（ ）A 、3=AB 、M=—MC 、B=A=2D 、x+y=0 2．把89化成五进制数的末位数字为 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 3．如右图,是某算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构为 （ ）A. 顺序结构B. 判断结构C. 条件结构D. 循环结构4．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)。
则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是 ( ) A 、 分层抽样法，系统抽样法 B 、分层抽样法，简单随机抽样法 C 、系统抽样法，分层抽样法 D 、简单随机抽样法，分层抽样法 5．下列对一组数据的分析，不正确的说法是 （ ） A 、数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B 、数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C 、数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定 D 、数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定6．有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩； ③某人每日吸烟量和其身体健康情况； ④正方形的边长和面积； ⑤汽车的重量和百公里耗油量； 其中两个变量成正相关的是 （ ）A ．①③B ．②④C ．②⑤D ．④⑤7.计算机中常用16进制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号与10进制得对应关系如下表： 例如用16进制表示D+E ＝1B ，则A ×B=( ) A 6E B 7C C 5F D B08．从一批产品中取出三件产品，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品全是次品”，C =“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ） A . A 与C 互斥 B . 任何两个均互斥 C . B 与C 互斥D . 任何两个均不互斥9．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P （A ）= 0.65 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1。
则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）A. 0.7B. 0.65C. 0.35D. 0.3 10．先后抛掷质地均匀的硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是 ( )A.81B. 83C. 85D. 87 11．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别 （ ）A.23与26B.31与26C.24与30D.26与3012．从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是（ ） A.至少有1个红球和全是白球 B.至少有1个白球和全是白球 C.恰有1个白球和恰有两个白球 D.至少有1个白球和全是红球 二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算机的程序设计语言很多，但各种程序语言都包含下列基本的算法语句： ， ， ， ， 。
14．为了解某地高一年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本(60名男生的身高，单位：cm)，分组情况如下：则表中的， 。
15．如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。
在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为 。
（用分数表示）16．下列说法中正确的有________①平均数不受少数几个极端值的影响，中位数受样本中的每一个数据影响； ②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大③用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确。
④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型。
三、解答题： 17．（10分）为了参加奥运会，对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度的数据如表所示：请判断：谁参加这项重大比赛更合适，并阐述理由。
18．（12分）下面是计算应纳税所得额的算法过程，其算法如下：第一步 输入工资x(注x<=5000);第二步 如果x<=800,那么y=0;如果800<x<=1300,那么 y=0.05(x-800);否则 y=25+0.1(x-1300) 第三步 输出税款y, 结束。
请写出该算法的程序框图和程序。
（注意：程序框图与程序必须对应）1 2 4 2 0 3 5 6 3 0 1 1 4 1 219．（12分）为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00—10：00间各自的点击量，得如下所示的统计图，根据统计图： （1）甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？ （4分） （2）甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？ （4分） （3）甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由。
（4分）20. （本题12分）对甲乙两名学生的成绩进行抽样分析，各抽5门功课得到的观测值如下：问甲、乙谁的平均成绩好，谁的各门功课发展较平衡。
甲 60 80 70 90 70 乙806070807521．（12分）假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6点—8点之间把报纸送到你家，你每天离家去工作的时间在早上7点—9点之间（1）你离家前不能看到报纸（称事件A ）的概率是多少？（6分，须有过程）（2）请你设计一种随机模拟的方法近似计算事件A 的概率（包括手工的方法或用计算器、计算机的方法）（6分）茎叶图122.（本小题满分12分）给出50个数，1，2，4，7，11，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，…，以此类推. 要求计算这50个数的和. 先将下面给出的程序框图补充完整，再根据程序框图写出程序.1. 把程序框图补充完整：（1）________________________ (3分)（2）________________________ (4分)2. 程序：（5分）高中数学必修三模块综合测试卷(二)参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）11．输入语句 ，输出语句 ， 赋值语句 ， 条件语句 ， 循环语句 。
12．=m 6 ， =a 0.45 。
13．44π- 14. ③ 。
三、解答题： 15．（12分）为了参加奥运会，对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度的数据如表所示：请判断：谁参加这项重大比赛更合适，并阐述理由。
解：336313537303827=+++++=甲X茎叶图336362834382933=+++++=乙X （ 4分）S 甲=958.3694≈， S 乙=559.3338≈ （8分） 乙甲X X =，S 甲＞S 乙 （10分）乙参加更合适 （12分）16．（13分）下面是计算应纳税所得额的算法过程，其算法如下：第一步 输入工资x(注x<=5000);第二步 如果x<=800,那么y=0;如果800<x<=1300,那么 y=0.05(x-800);否则 y=25+0.1(x-1300) 第三步 输出税款y, 结束。
请写出该算法的程序框图和程序。
（注意：程序框图与程序必须对应） 解：框图7分，程序6分（不对应扣3-4分）17．（13分）为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00—10：00间各自的点击量，得如下所示的统计图，根据统计图：（1）甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？ （4分） （2）甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？ （5分） （3）甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由。
（4分） 解：（1）甲网站的极差为：73-8=65； （2分）乙网站的极差为：61-5=56 （4分）（2）甲网站点击量在[10，40]间的频率为4/14=2/7=0.28571 （9分）(3)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方。
从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎。
（13分）18．（本小题满分14分）在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱。
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？解：把3只黄色乒乓球标记为A、B、C，3只白色的乒乓球标记为1、2、3。
从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个（1）事件E={摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球，P（E）=1/20=0.05（2）事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，P （F）=9/20=0.45（3）事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P（G）=2/20=0.1，假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有10次，不发生90次。
则一天可赚⨯-⨯，每月可赚1200元。
90=10540119．（14分）假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6点—8点之间把报纸送到你家，你每天离家去工作的时间在早上7点—9点之间（1）你离家前不能看到报纸（称事件A）的概率是多少？（8分，须有过程）（2）请你设计一种随机模拟的方法近似计算事件A的概率（包括手工的方法或用计算器、计算机的方法）（6分）Array解：如图，设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y。
（X，Y）可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为YXX，，（一个正方形区域，ΩY）86/7={≤≤≤≤}9面积为SΩ=4，事件A表示小王离家前不能看到报纸，所构成的区域为A={（X，Y）/≤X>≤≤，即图中的阴影部分，≤，Y9X}786Y面积为S A=0.5。
这是一个几何概型，所以P（A）=S A/SΩ=0.5/4=0.125。