北航第二次应用泛函作业
泛函分析讲稿-FudanUniversity
1.3.1 内点、开集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 极限点、闭集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.3 内积空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 度量空间中的点集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 线性空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 赋范线性空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
i
ii
目录
1.6.1 标准正交系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.6.2 正交系的完备性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.6.3 线性无关向量系的正交化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.6.4 可分Hilbert空间的模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.7 稠密性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.7.1 稠密性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.7.2 可分空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.8 紧性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.8.1 相对列紧集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.8.2 完全有界集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.8.3 Arzel`a-Ascoli定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.8.4 列紧集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.8.5 紧集上的连续映照 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1.9 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
泛函习题答案(大部分)
ii) ∀ε > 0，∃N = N (ε )，使对任意 x = (ξ i ) ∈ A，当 n ≥ N时， 皆有 | ξi | p < ε . ∑
i=n ∞
必要性：i) 是显然的，下证 ii) 1 ε 设 ε > 0，取 A 的一个有限的 ( )1/ p − 网：x1 L xk， 2 4 设 x j = (ξ i( j ) ) ( j = 1, L , k )， ⎛ ( j) p ⎞ 取自然数 N，使 ⎜ ∑ | ξ i | ⎟ ⎝ i=N ⎠
11
58 . 证明可分距离空间的子 空间是可分的 .
设 X 是距离空间， X 0 是 X 的子空间，设 X 是可分的，取 X 的 一个可数稠集 { x1 , x 2 , L} = A ⊂ X，对每一对自然数 ( n, m )，记 1 Bn , m = B ( x n , ).令 B = { Bn , m | Bn , m I X 0 ≠ ϕ }，则至多是一可列集， m 对每个 Bn , m ∈ B ，任取 x n , m ∈ Bn , m I X 0，则 { x n , m } 是一可数集或 1 ε 有限集 . 设 x ∈ X 0， ε > 0，取 m 满足 0 < < ，再取 x n 使 m 4 1 1 ρ ( x , x n ) < ，于是 Bn , m = B ( x n , ) I X 0 ≠ ϕ ，且 m m 1 1 2 ρ ( x , x n ,m ) ≤ ρ ( x , x n ) + ρ ( x n , x n ,m ) < + = < ε m m m 因为 ε > 0 是任意的，故 { x n , m } 在 X 0 中稠密， ({ x n , m } ⊂ X 0 )，即 X 0 是可分的 .
北航最优化方法有关大作业参考
1流量工程问题重述定一个有向网 G=(N,E) ，此中 N 是点集， E 是弧集。
令 A 是网 G 的点弧关矩，即 N×E 矩，且第 l 列与弧里 (I,j) ，第 i 行元素 1 ，第 j 行元素 -1 ，其他元素 0。
再令b m=(b m1 ,⋯,b mN )T，f m =(f m1,⋯ ,f mE )T，可将等式束表示成：Af m=b m本算例一典 TE 算例。
算例网有 7 个点和 13 条弧，每条弧的容量是 5 个位。
别的有四个需求量均 4 个位的源一目的，详细的源点、目的点信息如所示。
里了，省区了未用到的弧。
别的，弧上的数字表示弧的号。
此，c=((5,5 ⋯,5) 1 )T，×13依据上述四个束条件，分求得四个状况下的最决议量x=((x 12 ,x13,⋯ ,x75)1×13 )。
1 网拓扑和流量需求7 节点算例求解算例1（b1=[4;-4;0;0;0;0;0]T）转变为线性规划问题：Minimize c T x1Subject to Ax1=b1x1>=0 利用 Matlab 编写对偶纯真形法程序，可求得:最优解为 x1*=[4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] T对应的最优值 c T x1=201.2.2 算例 2（b2=[4;0;-4;0;0;0;0] T）Minimize c T x2Subject to Ax2=b2X2>=0 利用 Matlab 编写对偶纯真形法程序，可求得:最优解为 x2*=[0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T对应的最优值 c T x2=201.2.3 算例 3（b3=[0;-4;4;0;0;0;0] T）MinimizeTc x3Subject to Ax3=b3X3>=0 利用 Matlab 编写对偶纯真形法程序，可求得:最优解为 x3*=[4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0] T对应的最优值 c T x3=40算例4（b4=[4;0;0;0;0;0;-4]T ）Minimize c T x4Subject to Ax4=b4X4>=0利用 Matlab 编写对偶纯真形法程序，可求得:最优解为 x4*=[4 0 0 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0] T对应的最优值 c T x4=601.3 计算结果及结果说明算例1（b1=[4;-4;0;0;0;0;0]T）算例 1 中，由 b1 可知，节点 2 为需求节点，节点 1 为供应节点，由节点 1 将信息传输至节点 2 的最短路径为弧 1。
2010新版北航研究生应用数理统计习题参考答案
n
xi 1
2
1
n
2n
e
2
(1 x )
， 1 xi （ i ）
由 2 0 ，则似然函数为 1 的单调递增函数，且 - 1 xi （ i ） ，由极大似
ˆ min{x } 。 然估计定义可知， 1 的极大似然估计为 1 i
i
对 2 ， ln L(1， 2 ) -n ln 2
- 2 ， x1 ，x 2 ，…，x n 为来自总体的简单样本，求参数 1 及 2 的极大似然估计。
解：由 f ( x;1 , 2 ) 为概率密度函数可知， 2 0 。 似然函数为 L(1 , 2 ; x1 , x2 ,, xn )
1
2n
e
i 1
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北京航空航天大学
研究生应用数理统计
书后部分习题解答整理版
ˆ 0 min{xi } 。 x 0 的极大似然估计为 x
i
12. （ P81.11） ）设总体 X 的概率密度函数为 f ( x;1 , 2 )
1
2
e
x 1
2
， - 1 x ，
2 1m
2
2 (n 1) S 2 n
2
( x 1 ) ( y 2 )
2 (m 1) S12m (n 1) S 2 n mn2
2
m
2
n
~ t (m n 2) 。
6． （ P80.1）设总体 X 服从两点分布 B(1, ) ， 0 1 ， x1 ， x 2 ，…， x n 为简单随机样 本，⑴ 求 q( ) Var ( x ) ；⑵ 求 q( ) 的频率估计。
泛函分析习题解答
因为P, Q, P Q 是投影, 所以KerP = (ranP )⊥ , KerQ = (ranQ)⊥ , KerP Q = (ranP Q)⊥ , ∴ KerP Q ⊃ KerP ∩ KerQ. 其次证明KerP Q ⊂ KerP ∩ KerQ. 对∀x ∈ KerP Q, ∵ P 是投影, ∴ P 是幂等的, ∴ H = KerP + ranP, h = (h − P h) + P h, ∀h ∈ H. ∴ x = (x − P x) + P x, 其中x − P x ∈ KerP. 注 意 到, P Q(x − P x) = P Qx − P QP x = P Qx − P P Qx(∵ P Q 是 投 影⇐⇒ P Q = QP ) = P Qx − P 2 Qx = P Qx − P Qx = 0, ∴ x − P x ∈ KerP Q. ∵ KerP Q 是线性空间, ∴ P x = x − (x − P x) ∈ KerP Q, (∵ x ∈ KerP Q, x − P x ∈ KerP Q), ∴ P Q(P x) = 0, ∴ Q(P x) = QP x = QP (P x) = P Q(P x) = 0, 这表明P x ∈ KerQ. ∴ x = (x − P x) + P x ∈ KerP + KerQ, ∴ KerP Q ⊂ KerP + KerQ. 综上所述:KerP Q = KerP ∩ KerQ.
2
0, ∀h ∈ H,
= 0 =⇒ QP (h) = 0, and < QP h, P h >= 0.
(B)P + Q 是投影=⇒ ranP + ranQ = ran(P + Q), Ker(P + Q) = KerP ∩ KerQ. 证明：I)P + Q 是投影=⇒ ranP + ranQ = ran(P + Q) 1.如果P = 0 or Q = 0 ，显然。 2.如果P = 0 and Q = 0,这时可以证明P + Q = 0.（上面已证） 首先，ran(P + Q) ⊂ ranP + ranQ ，显然。 下证ran(P + Q) ⊃ ranP + ranQ，即∀h, g ∈ H, P h + Qg ∈ ran(P + Q). ∵ P + Q = 0 是投影， ∴ P + Q : H −→ ran(P + Q)是 正 交 投 影 ， 而(P + Q)(P h + Qg ) = P (P h + Qg ) + Q(P h + Qg ) = P 2 h + P Qg + QP h + Q2 g = P h + Qg ，(这 是 因 为 由 （A） 知P + Q 是 投 影⇐⇒ ranP ⊥ranQ ⇐⇒ ranP ⊂ (ranQ)⊥ = KerQ(Q 是投影),ranQ ⊂ (ranP )⊥ = KerP (P 是投影), ∵ QP h ∈ ranP ⊂ KerQ,∴ QP h = 0.同理，P Qg = 0.) ∴ P h + Qg ∈ ran(P + Q), ∴ ranP + ranQ ⊂ ran(P + Q). 2
泛函分析在教育技术中的创新应用有哪些
泛函分析在教育技术中的创新应用有哪些在当今数字化和信息化的时代，教育技术正经历着前所未有的变革和发展。
而泛函分析这一数学领域的重要分支，也逐渐在教育技术中展现出其独特的价值和创新应用。
泛函分析是现代数学的一个重要分支，它主要研究无穷维空间上的函数、算子和泛函的性质和结构。
虽然它看起来高深莫测，但实际上与教育技术的多个方面有着紧密的联系。
首先，在在线教育平台的优化方面，泛函分析发挥着关键作用。
随着在线教育的普及，大量学生同时访问和使用在线教育平台，这就对平台的稳定性、响应速度和资源分配提出了很高的要求。
通过运用泛函分析中的优化理论，可以对平台的服务器资源进行合理分配，以确保在高并发访问时，系统依然能够稳定运行，为学生提供流畅的学习体验。
例如，利用泛函分析中的变分法，可以将服务器的资源分配问题转化为一个优化问题，通过求解这个优化问题，找到最优的资源分配方案，使得服务器的负载均衡，减少卡顿和延迟现象。
同时，泛函分析中的算子理论可以帮助分析和预测在线教育平台中的用户行为和流量模式，从而提前进行资源调配和优化，提高平台的服务质量。
其次，泛函分析在教育数据的分析和挖掘中也具有重要意义。
教育领域产生了海量的数据，包括学生的学习行为数据、考试成绩、课程评价等等。
如何从这些纷繁复杂的数据中提取有价值的信息，为教育决策提供支持，是教育技术面临的一个重要挑战。
泛函分析中的函数逼近理论可以用于对教育数据进行建模和拟合。
通过选择合适的基函数和逼近方法，可以将复杂的数据关系用简洁的数学表达式来描述。
例如，使用多项式逼近或者样条函数逼近，可以对学生的学习成绩随时间的变化趋势进行建模，从而发现学生的学习规律和潜在问题。
此外，泛函分析中的谱分析方法可以用于挖掘教育数据中的隐藏模式和特征。
通过对数据的频谱进行分析，可以发现数据中的周期性和相关性，例如学生在不同时间段的学习效率变化，或者不同课程之间的知识关联。
这些信息对于优化教学安排、制定个性化的学习计划具有重要的指导意义。
2021年北航泛函大作业
北航泛函大作业
对于信号处理技术, 泛函分析不仅有利于我们从更高层次看待已经有理论、方法, 它同时也是很多新理论数学基础。
应用一: 比如, 对于矩阵特征值分解, 从泛函分析见解看, 矩阵就是线性变换（线性算子）, 从而矩阵特征值分解问题便可看作有界线性算子谱分析问题进行处理, 这么, 矩阵特征值分解问题内在含义便愈加清楚。
应用二: 不动点定理在图像分形解码中应用。
不动点定理是建立在完备距离空间中。
设T是其到本身映射, 假如存在数, , 使得对一切x,y, 都有, 则称T为压缩映射。
不定点定理指出, 完备距离空间中任意压缩映射T, 必存在一点, 使得。
分形解码原理关键是经过图像部分参数表示来反复迭代得到原图像。
关键技术是基于不动点定理和拼贴原理, 不动点定理说明了在一个完备矩阵空间中压缩变换惟一不动点能够经过一个任意初始点反复迭代而近似到任意精度, 这恰好符合分形解码模型。
BUAA-OO-2021第二单元总结
BUAA-OO-2021第⼆单元总结上这个课的⼀点点理解进程不共享状态调度由操作系统完成有独⽴的内存空间（上下⽂切换的时候需要保存栈、cpu 寄存器、虚拟内存、以及打开的相关句柄等信息，开销⼤）通讯主要通过信号传递的⽅式来实现（实现⽅式有多种，信号量、管道、事件等，通讯都需要过内核，效率低）线程共享变量（解决了通讯⿇烦的问题，但是对于变量的访问需要加锁）调度由操作系统完成（由于共享内存，上下⽂切换变得⾼效）⼀个进程可以有多个线程，每个线程会共享⽗进程的资源（创建线程开销占⽤⽐进程⼩很多，可创建的数量也会很多）通讯除了可使⽤进程间通讯的⽅式，还可以通过共享内存的⽅式进⾏通信（通过共享内存通信⽐通过内核要快很多）协程调度完全由⽤户控制⼀个线程（进程）可以有多个协程每个线程（进程）循环按照指定的任务清单顺序完成不同的任务（当任务被堵塞时，执⾏下⼀个任务；当恢复时，再回来执⾏这个任务；任务间切换只需要保存任务的上下⽂，没有内核的开销，可以不加锁的访问全局变量）协程需要保证是⾮堵塞的且没有相互依赖协程基本上不能同步通讯，多采⽤异步的消息通讯，效率⽐较⾼异步编程回调地狱函数Promise async/await第⼀次作业类图classDiagram FahrstuhlImpact InuptThread Person PersonList LiftThread Strategy <-- StrategyRandom : implements Strategy <-- StrategyNight : implements StrategyRandom <-- StrategyMorning : inheritance class FahrstuhlImpact { main(String[]) } class InputThread { run() } class Person { int from int to int id moveIn() moveOut() isInLift() boolean isComplete() boolean costDistance(int) int } class PersonList { List~Person~ requests getInstance() PersonList addRequest(Person) getMainRequest(int, boolean) Person getNightTop() Person isEmpty() boolean canMoveOut(int) Person[] canMoveIn(int) Person[] } class LiftThread { Strategy currentStrategy int currentLayer int currentPeople isBusy() boolean isFull() boolean arrive() open() close() moveIn(Person) moveOut(Person) displace(PersonList) mutedTask(long, long, BooleanSupplier) boolean run() } class Strategy { <<interface>> decideDestination(LiftThread,PersonList) int decideDestinationFree(LiftThread, PersonList) int dispatchTraveller(LiftThread, PersonList) }第⼀次作业中，创建了主线程、输⼊线程、电梯线程。
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第二次应用泛函作业
从数学的本质来看，最基本的集合有两类：线性空间（有线性结构的集合）、度量空间（有度量结构的集合）。
对线性空间而言，主要研究集合的描述，直观地说就是如何清楚地告诉地别人这个集合是什么样子。
为了描述清楚，就引入了基（相当于三维空间中的坐标系）的概念，所以对于一个线性空间来说，只要知道其基即可，集合中的元素只要知道其在给定基下的坐标即可。
但线性空间中的元素没有“长度”（相当于三维空间中线段的长度），为了量化线性空间中的元素，所以又在线性空间引入特殊的“长度”，即范数。
赋予了范数的线性空间即称为赋范线性空间。
但赋范线性空间中两个元素之间没有角度的概念，为了解决该问题，所以在线性空间中又引入了内积的概念。
因为有度量，所以可以在度量空间、赋范线性空间以及内积空间中引入极限，但抽象空间中的极限与实数上的极限有一个很大的不同就是，极限点可能不在原来给定的集合中，所以又引入了完备的概念，完备的内积空间就称为Hilbert空间。
线性赋范空间就是定义了范数的线性空间，所谓范数就是线性空间到数域的一个映射，其满足范数公理（正定性，齐次性，三角不等式），可以理解为线性空间元素的长度。
内积空间就是定义了内积的线性空间，而内积可以看成是两个元素作用生成一个数，按一般向量内积理解即可。
度量空间是定义了度量的线性空间，也就是两个元素之间的“长度”，满足正定性、对称性、三角不等式。
一般而言，定义了内积可以诱导出范数（也就是与自己做内积再开根号），定义了范数可以诱导出度量（两元素的度量即为元素差的范数），但度量诱导范数需要加一点限制。
所谓希尔伯特空间就是定义了内积的线性空间，并且按照内积诱导出的度量是完备的（完备就是柯西序列在内部收敛）特别的，实数域上的有限维希尔伯特空间叫做欧几里得空间；复数域上的有限维希尔伯特空间叫做酉空间。
泛函分析的空间理论一个有重大意义的事实是：n
R中的极限论及基于极限概念的分析理论的许多结果，仅依赖于模长性质，而与模长的定义无关，因而实际上并不依赖于Euclid空间的特殊构造。
这就说明了若某个向量空间上定义了一种类似于模长的概念，它具有正定性，齐次性，三角不等式性质，则定义极限之后，就可将Euclid空间中那些仅依赖于性质的概念与结论直接推广于该空间，从而得到经典分析的一个具有广阔发展余地的拓广，从而引向赋范空间概念。