概率论与数理统计 --- 第一章{随机事件的概率}第三节：条件概率
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fA概率论与数理统计课件
A出现的次数m 试验总次数n
2、稳定性
在不同的试验序列中，当试验的次数充 分大时，事件的频率常在一个确定的数 值p附近摆动，这就是频率的稳定性。
3、性质
(1)非负性：0≤ Fn(A)≤1
(2)规范性： Fn( S )=1， Fn()=0
(3)可加性:若AB= ,则 Fn ( A B) Fn ( A) Fn (B)
P( A) C7235 47
736 47
例4 袋中有a只红签,b只白签,i个人依次在袋中
取一签,求第k人取到红签的概率.解法1 设
P( A ) P(A ) Ak=“第k个人抽到红签“
解2：
Caab1 1
k a
k
Caa b
ab
aAakb11 Aakb
a ab
解3：
P( A ) Ca1
实际推断原理。
三 古典概型
1、古典概型的定义
若一次试验中只包含n(有限数)个基本
事件，且所有基本事件出现的可能性相
等，而A包含的基本事件数有m个，则
P( A)
m n
将用上述公式来讨论事件的概率的 模型称为古典概型。
2、古典概型的特征
（1） 有限性 （2） 等可能性
只要有一特征不具备，就不能用上述公 式计算。
5概率统计的研究对象：随机现象的统计规 律性。
1）概率论的研究方法：
是根据问题提出相应的数学模型，然后 去研究它们的性质、特征和规律性；
如大家马上要学习的古典概型、几何概型 （ 蒲 丰 试 验 ， 1777 年 ， 2212/704=3.142,1901 年 , 拉 查 里 尼 投 针 3408次,得到3.14159）。
4 事件的集合论定义
(1) 必然事件：S (2) 不可能事件：φ (3) 事件的个数：2n,n为样本点的个数。 (4) 事件A发生 试验中出现的
概率论与数理统计教案(48课时)(最新整理)
( x, y )G
，注意二重积分运算知识点的复习。
d) 二维均匀分布的密度函数的具体表达形式。
五．思考题和习题
思考题：1. 由随机变量 X ,Y 的边缘分布能否决定它们的联合分布？
2. 条件分布是否可以由条件概率公式推导？ 3. 事件的独立性与随机变量的独立性是否一致？ 4．如何利用随机变量之间的独立性去简化概率计算，试举例说明。 习题：
第四章 随机变量的数字特征 一．教学目标及基本要求
(1)理解数学期望和方差的定义并且掌握它们的计算公式；
(2)掌握数学期望和方差的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望，特别是利用
期望或方差的性质计算某些随机变量函数的期望和方差。
(3)熟记 0-1 分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期
第四节 二维随机变量的函数的分布
已知(X,Y)的分布率 pij 或密度函数 (x, y) ，求 Z f ( X ,Y ) 的分布律或密度
函数Z (z) 。特别如函数形式： Z X Y , Z max( X ,Y ), Z min( X ,Y ) 。
2 学时
三．本章教学内容的重点和难点
a) 二维随机变量的分布函数及性质，与一维情形比较有哪些不同之处；
5．列举正态分布的应用。
习题：
第三章 多维随机变量及其分布
一．教学目标及基本要求
(1)了解二维随机变量概念及其联合分布函数概念和性质，了解二维离散型和连续 型随机变量定义及其概率分布和性质，了解二维均匀分布和正态分布。
(2)会用联合概率分布计算有关事件的概率，会求边缘分布。 (3)掌握随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量的独立性进行概率计算。 (4)会求两个独立随机变量的简单函数(如函数 X+Y, max(X, Y), min(X, Y))的分布。
概率论与数理统计 --- 第一章{随机事件的概率} 第一节：随机事件
称为随机试验 E 的样本空间 , 记为 Ω ( 或S ) .
概率论
一个随机试验 E 的所有可能结果所组成 的集合
4. 样本点 (Sample Point)
样本空间中的元素 , 即 E 的每个结果 , 称为 样本点 .
Ω
.
样本点ω
现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 .
概率论
例如, 试验是将一枚硬币抛掷两次, 观察正面H、反面T出现的情况: 则样本空间: Ω ={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} 第1次 (H,H):
i 1
Ai Ai , Ai Ai
i 1 i 1 i 1
6 A B AB A AB .
概率论
例1:按长度和直径两个指标检验某种圆柱形产品是否为合格品.
试用 A、B 的运算表示事件 C 产品为合格品 ,
若设 A 长度合格 , B 直径合格 ,
5. 对立事件 : 若事件A与事件B在一次试验中必有且只有其中之一发生, (complement) 即 A、 B 满足条件： B S 且 AB A
则称事件A与事件B为互逆事件, 或称事件A、B互为对立事件.
事件 A 的对立事件记为：A.
对立事件与互斥事件的关系 : 对立一定互斥, 但互斥不一定对立.
( “城市能正常供水”这一事件可表示为A1 A2 ) A3 “城市断水”这一事件可表示为
( A1 A2 ) A3 ( A1 A2 ) A3 ( A1 A2 ) A3
1 3 2 城市
概率论
从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认 识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作 为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东 西. 他们没有认识到有可能去研究随机性，或者 是去测量不定性.
概率论
一个随机试验 E 的所有可能结果所组成 的集合
4. 样本点 (Sample Point)
样本空间中的元素 , 即 E 的每个结果 , 称为 样本点 .
Ω
.
样本点ω
现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 .
概率论
例如, 试验是将一枚硬币抛掷两次, 观察正面H、反面T出现的情况: 则样本空间: Ω ={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} 第1次 (H,H):
i 1
Ai Ai , Ai Ai
i 1 i 1 i 1
6 A B AB A AB .
概率论
例1:按长度和直径两个指标检验某种圆柱形产品是否为合格品.
试用 A、B 的运算表示事件 C 产品为合格品 ,
若设 A 长度合格 , B 直径合格 ,
5. 对立事件 : 若事件A与事件B在一次试验中必有且只有其中之一发生, (complement) 即 A、 B 满足条件： B S 且 AB A
则称事件A与事件B为互逆事件, 或称事件A、B互为对立事件.
事件 A 的对立事件记为：A.
对立事件与互斥事件的关系 : 对立一定互斥, 但互斥不一定对立.
( “城市能正常供水”这一事件可表示为A1 A2 ) A3 “城市断水”这一事件可表示为
( A1 A2 ) A3 ( A1 A2 ) A3 ( A1 A2 ) A3
1 3 2 城市
概率论
从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认 识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作 为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东 西. 他们没有认识到有可能去研究随机性，或者 是去测量不定性.
海南大学《概率论与数理统计》课件-第一二三四章
x2 f ( x)d x;
x1
(4) 若 f ( x) 在点 x 处连续,则有 F( x) f ( x).
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即
P{ X a} 0.
10、 均匀分布 定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
例如某无f些线( x元电) 件元 或件0b,设的1 a备寿, 的命其a寿,电它命x,力服设从b,备指的数寿分命布,. 则称动物X 的在寿区命间等(a都,b)服区从间指上数服分从布均. 匀分布, 记为 X ~ U(a,b).
代表事件 A 在试验中发生的概率，它与试验总
数
n 有关。若
lim
n
npn
0
则
lim
n
Cnk
pnk
1 pn
nk
k
k！e
8、 连续型随机变量及其概率密度
设X为 随 机 变 量，F ( x)为X 的 分 布 函 数,若 存 在 非 负 函 数f ( x),使 对 于 任 意 实 数x 有
x
F ( x) f (t)d t,
第一章 随机事件及其概率
1 了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，重 点掌握随机事件的关系和运算。 2 理解概率和条件概率的概念，掌握概率的基本性 质，能利用古典概型和几何概型计算一些事件的 概率。 3 掌握概率的加法公式、条件概率公式、乘法公式、 全概率公式和贝叶斯公式计算过事件的概率的方 法 4 理解事件独立性的概念，会利用事件独立性进行 事件概率计算。 5 理解独立重复试验的概率，掌握利用伯努利概型 计算过事件概率的方法。
(3) F () lim F ( x) 0, F () lim F( x) 1;
x
x
《概率论与数理统计》课程教学大纲
《概率论与数理统计》课程教学大纲英文名称：Probability and statistics课程代码：221101008课程类别：专业基础课课程性质：必修开课学期：第三学期总学时： 54学时总学分：3考核方式：闭卷先修课程：高等数学适用专业：经济学专业一、课程简介概率论与数理统计是经济学专业的一门专业基础课。
概率论与数理统计是研究不确定性现象的数量规律性的一门学科，是对随机现象进行定量分析的重要工具，它在现代科学技术中占有很重要的地位，是研究自然现象、处理现代工程技术、解决科研和生产实际问题的一种有力的数学工具，已被广泛应用于每一学科领域、工农业生产和经济管理部门中。
开设本课程的目的在于，通过本课程的学习，使学生初步掌握概率论与数理统计等方面的基础知识，了解它的基本理论与基本方法，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学建模与实践能力，注意培养学生的自学能力，注意理论联系实际，不断提高学生的综合素质以及运动所学知识解决实际问题的能力，同时使学生了解概率论与数理统计在经济方面的应用，具备概率思想分析实际随机问题的能力，为专业课程的学习打下基础。
学生在进入本课程学习之前，应学过高等数学课程，该课程的学习为本课程提供了必须的数学基础知识。
本课程学习结束后，学生可具备进一步学习相关课程的理论基础。
本课程总54学时，其中理论课47学时，习题课7学时，考核方式为闭卷考试，根据平时考勤成绩、习题作业成绩、阶段性单元检测成绩及闭卷期末考试成绩综合给予最终成绩评定。
二、课程目标及其对毕业要求的支撑目标1人文素养目标：教育学生认真学习马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论、“三个代表”、科学发展观和新时代中国特色社会主义的重要思想；忠诚党的教育事业和体育事业，培养学生互教互学、团结友爱、共同提高的集体主义精神；培养学生有严格组织纪律性，吃苦耐劳和勇敢顽强的意志品质。
目标2理论知识培养目标：使学生掌握概率论与数理统计的基本理论和基础知识，初步掌握处理随机事件的基本思想和方法。
概率论与数理统计条件概率PPT课件
（ 1 ） P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) = 0 . 9 × 0 . 9 = 0 . 8 1 （ 2 ） P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) － P ( A B ) = 0 . 9 + 0 . 9 － 0 . 8 1 = 0 . 9 9
（3）P(A B A B)=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B)
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P(B| A) 6 6 / 20 P( AB ) 10 10 / 20 P( A)
《概率统计》
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结束
§1.4.1 条件概率
一、 条件概率
1.定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(A)＞0，则称
P(B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率. 注：条件概率与普通概率有相类似的性质，如，
则 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85
因 A、B、C 相互独立，所求概率分别为
(1) P(ABC)
(2) P(ABC)
(3) P ( A B C A B C A B C A B C )
算法 (1) P (ABC ) P (A )P (B )P (C )
(2) P (A B C )P (AB )1 C P (AB ) C (3) 略.
《概率统计》
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二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)
（3）P(A B A B)=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B)
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P(B| A) 6 6 / 20 P( AB ) 10 10 / 20 P( A)
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§1.4.1 条件概率
一、 条件概率
1.定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(A)＞0，则称
P(B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率. 注：条件概率与普通概率有相类似的性质，如，
则 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85
因 A、B、C 相互独立，所求概率分别为
(1) P(ABC)
(2) P(ABC)
(3) P ( A B C A B C A B C A B C )
算法 (1) P (ABC ) P (A )P (B )P (C )
(2) P (A B C )P (AB )1 C P (AB ) C (3) 略.
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二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)
概率论与数理统计第一章
A C B
第五节
独立重复试验
n重独立重复试验 重伯努利试验 ： 重独立重复试验(n重伯努利试验 重独立重复试验 重伯努利试验) 试验模型的特点： 试验模型的特点： (1)每次试验都在相同条件下进行； 每次试验都在相同条件下进行； 每次试验都在相同条件下进行 (2)各次试验是相互独立的，即各次试验的结果之间相互独立; 各次试验是相互独立的，即各次试验的结果之间相互独立 各次试验是相互独立的 (3)每次试验有且仅有两种结果：A发生或 A 发生； 每次试验有且仅有两种结果： 发生或 发生； 每次试验有且仅有两种结果 (4)每次试验的结果发生的概率相同，即P(A)=p， 每次试验的结果发生的概率相同， 每次试验的结果发生的概率相同 ， P( A )=1p=q 凡是具有上述特征的重复进行的试验称为独立重复试验， 凡是具有上述特征的重复进行的试验称为独立重复试验，若 试验共进行n次，即称为n重独立重复试验。 试验共进行 次 即称为 重独立重复试验。 重独立重复试验 n重伯努利试验中事件 恰好出现 次的概率简记为 重伯努利试验中事件A恰好出现 次的概率简记为b(k;n,p), 重伯努利试验中事件 恰好出现k次的概率简记为 则P(Bk)= P(A1A2 Ak Ak+1 An ++ A1A2 Ank Ank+1 An )
3.独立性在可靠性理论中的计算
设有n个元件，每个元件的可靠性均为 设有 个元件，每个元件的可靠性均为r(0＜r＜1)，且每个元 个元件 且每个元 件能否正常工作是相互独立的， 为第i个元件正常工作 个元件正常工作， 件能否正常工作是相互独立的，记Ai为第 个元件正常工作， A为系统正常工作。 为系统正常工作。 为系统正常工作 1 n 2 ①串联系统 系统能正常工作的充分必要条件是每个元件都正常工作 P(A)=P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)=rn … ②并联系统 1 系统正常工作等价于n个元件中 系统正常工作等价于 个元件中 2 至少有一个正常工作， 至少有一个正常工作，即 P(A)=P(A1+A2+…+An) … n
第五节
独立重复试验
n重独立重复试验 重伯努利试验 ： 重独立重复试验(n重伯努利试验 重独立重复试验 重伯努利试验) 试验模型的特点： 试验模型的特点： (1)每次试验都在相同条件下进行； 每次试验都在相同条件下进行； 每次试验都在相同条件下进行 (2)各次试验是相互独立的，即各次试验的结果之间相互独立; 各次试验是相互独立的，即各次试验的结果之间相互独立 各次试验是相互独立的 (3)每次试验有且仅有两种结果：A发生或 A 发生； 每次试验有且仅有两种结果： 发生或 发生； 每次试验有且仅有两种结果 (4)每次试验的结果发生的概率相同，即P(A)=p， 每次试验的结果发生的概率相同， 每次试验的结果发生的概率相同 ， P( A )=1p=q 凡是具有上述特征的重复进行的试验称为独立重复试验， 凡是具有上述特征的重复进行的试验称为独立重复试验，若 试验共进行n次，即称为n重独立重复试验。 试验共进行 次 即称为 重独立重复试验。 重独立重复试验 n重伯努利试验中事件 恰好出现 次的概率简记为 重伯努利试验中事件A恰好出现 次的概率简记为b(k;n,p), 重伯努利试验中事件 恰好出现k次的概率简记为 则P(Bk)= P(A1A2 Ak Ak+1 An ++ A1A2 Ank Ank+1 An )
3.独立性在可靠性理论中的计算
设有n个元件，每个元件的可靠性均为 设有 个元件，每个元件的可靠性均为r(0＜r＜1)，且每个元 个元件 且每个元 件能否正常工作是相互独立的， 为第i个元件正常工作 个元件正常工作， 件能否正常工作是相互独立的，记Ai为第 个元件正常工作， A为系统正常工作。 为系统正常工作。 为系统正常工作 1 n 2 ①串联系统 系统能正常工作的充分必要条件是每个元件都正常工作 P(A)=P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)=rn … ②并联系统 1 系统正常工作等价于n个元件中 系统正常工作等价于 个元件中 2 至少有一个正常工作， 至少有一个正常工作，即 P(A)=P(A1+A2+…+An) … n
(完整版)《概率论与数理统计》课程
《概率论与数理统计》课程标准一、课程概述第一部分前言《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics）,由概率论和数理统计两部分组成。
它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。
一、课程性质《概率论与数理统计》是理、工科有关专业的基础干课。
对高校的统计专业本科生它也是一门学科基础课程。
从学科性质讲,它是一门基础性学科，它为统计专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。
学生对这门课程的掌握程度直接关系到统计学科培养目标—“经济和管理领域中善于在定性分析基础上从事定量分析的专门统计人才”的实现。
二、基本理念第一,着重基础，着重标准。
在我国,迄今为止,有关数理统计教材不少，这些教材和理论参考文献各自保持了自己的特色。
只有着重基础、着重标准，才能与国际先进的理论研究趋势保持一致。
第二，力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。
三、课程标准的设计思路第一，浙江大学盛骤、谢式千、潘承毅主编的《概率论与数理统计》为蓝本,极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法；第二,紧密结合财经特色和计算机应用加以阐述和学习；第三,理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值.总之，强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的进一步学习打下一个良好的基础。
第二部分课程目标一、总目标《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中.通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决社会经济所遇到的各种问题。
二、分类目标为达到总目标，对该课程的具体内容制定内容标准，以分类目标保证总目标的实现.对统计学专业而言，要通过学习该课程，掌握该学科的基本理论、基本方法,了解该学科的发展趋势，能正确、熟练地运用本学科的理论和方法去解决各种社会经济问题。
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随机取一个球, 观看颜色后放回罐中, 并且再加进 c 个与所抽出的球具有相
同颜色的球.
b个白球, r个红球
解: 设 Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4 Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4
于是 W1W2R3R4 表示事件 “连续取四个球，第一、第二个是白球，
第三、四个是红球. ”
则
Ai
表示“第i个人未抽到入场券 ”
显然，P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5
也就是说，第1个人抽到入场券的概率是1/5.
由于 A2 A1A2
因为若第2个人
由乘法公式
抽到了入场券，
P( A2 ) P( A1)P( A2 | A1) 第1个人肯定没抽到.
也就是要想第2个人抽到入场券, 必须第1个人未抽到，
注意 : 若 B1 ,B2 ,,Bn 为样本空间的一个划分 , 则对每次试验 ,事件组 B1 ,B2 ,,Bn 中必有且仅有 一个事件发生.
可见 , S 的划分是将 S 分割成若干个互斥事件 .
… B2 B1
…
A
…
Bn
…
…
概率论
概率论
2.定理 1 设试验 E 的样本空间为S , B1 , B2 ,, Bn
PA1 A2 An PAn | A1 A2 An-1 P An1 | A1 A2 An-2
PA3 | A1A2 PA2 | A1 PA1
PA1A2 An1 0 保证了 PA1，PA1A2 ， ，PA1A2 An2 0
设 A、B、C 为三个事件 ,且 PAB 0 ,则
P ABC P C | AB P AB P C | AB P B | A P A.
一般地 ,设有 n 个事件 A1, A2, , An ,n 2 , 并且
PA1A2 An1 0 ,则由条件概率的定义 ,可得
概率论
条件概率 P• | A具备概率定义的三个条件 :
1 非负性 : 对于任意的事件 B , PB | A 0 ;
2 规范性: P | A 1;
3 可列可加性 :设 B1, B2,是两两互斥事件 ,则有
P
i 1
Bi
A
i 1
P
概率论
掷骰子
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点, 问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
概率论
解: 设 A={掷出点数之和不小于10}
B={第一颗掷出6点}
应用 定义
解法1:
P(A
|
B)
P( AB) P(B)
3 6
36 36
1 2
解法2: P( A | B) 3 1 62
一、条件概率(Conditional Probability)
概率论
1. 条件概率的概念
在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附 加信息(条件)下求事件的概率.
如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
2. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称
随机取一个球, 观看颜色后放回罐中, 并且再加进 c 个与所抽出的球具有相
同颜色的球.
b个白球, r个红球
概率论
例，一场精彩的足球赛将要举行, 5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决.
入场 券
5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没 写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.
P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi) 每一原因都可能导致A发生, 故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和,即全概率公式.
概率论
由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果, 每个原因对结果的发生有一定的“作用”, 即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 .
则事件"第三次才摸得白球"可表示为 ABC .
1 有放回抽样
PA 8 , PB | A 8 , PC | AB 2 ,
10
10
10
PABC PC | ABPB | APA
2 8 8 16 . 10 10 10 125
概率论
2 无放回抽样
300个
乙厂生产
300个
乙厂生产
189个是
标准件
乙厂生产的,问它
是标准件的概率
甲、乙共生产
是多少?”
1000 个
B发生,
求的是 P(A|B) .在P(AB)中作为结果;
在P(A|B)中作为条件.
概率论
例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物,它能活到25岁以上的概率是多少? 解: 设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
所求为 P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
P(B | A) P( AB) P(B) 0.4 0.5 P( A) P( A) 0.8
P(A) 与 P(A|B) 的区别在于两者发生的条件不同, 它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.
概率论
乘法定理可以推广到多个事件的积事件的情况.
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
概率论
又如, 10件产品中有7件正品, 3件次品; 7件正品中有3件一等品, 4件二等品. 现从这10件中任取一件，记
A={取到一等品}，B={取到正品}
则 P(A )=3/10，
P(A|B) 3 3 10 P( AB) 7 7 10 P(B)
概率论
第三节 条件概率
条件概率 乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式
概率论
例如, 掷一颗均匀骰子, A={掷出2点}, B={掷出偶数点}, P(A )=1/6，P(A|B)=？
已知事件B发生,
此时试验所有可能结果构成的集合就是B，掷骰子
B中共有3个元素, 它们的出现是等可能的, 其中只有1个在集合A中. 于是 P(A|B)= 1/3. 容易看到
为 S 的一个划分 ,且 PBi 0 i 1,2,,n ,则对
样本空间中的任一事件A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
*证明因为 A AS AB1 B2 Bn
AB1 AB2 ABn
并且 ABi ABj , i j ,所以
用乘法公式容易求出
概率论
P(W1W2R3R4) =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
b bc
r
rc
b r b r c b r 2c b r 3c
当 c > 0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取 到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.
PA 8 , PB | A 7 , PC | AB 2 ,
10
9
8
PABC PC | ABPB | APA
27 8 7 . 8 9 10 45
三、全概率公式 (Law of Total Probability)
概率论
看一个例子:
有三个箱子, 分别编号为1,2,3.
Bi
A
所以在第二节中证明的性质对条件概率都成立.
4. 条件概率的计算
1) 用定义计算:
P( A | B) P( AB) , P(B)
P(B)>0
2) 从加入条件后改变了的情况去算
例：A={掷出2 点}，B={掷出偶数点}
P(A|B）= 1 3
B发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数
在缩减样本空 间中A所含样 本点个数
1号箱装有1个红球4个白球,
2号箱装有2个红球3个白球,
3号箱装有3个红球.
某人从三箱中任取一箱, 从中任意摸出一球,
求取得红球的概率.
解: 记 Bi={球取自i号箱},
i=1,2,3;
12 3
A ={取得红球}
其中 B1、B2、B3两两互斥
A发生总是伴随着B1，B2，B3 之一同时发生，
概率论
即 A= B1A+B2A+B3A，
把一个未知的复杂事件分解为若干个已知的简单事件再求解,
而这些简单事件组成一个互不相容事件组, 使得某个未知事件A 与这组互不相容事件中至少一个同时发生, 故在应用此全概率公式时,关键是要找到一个合适的 S 的一个划分.
我们还可以从另一个角度去理解全概率公式. 某一事件A的发生有各种可能的原因, 如果A是由原因Bi (i=1,2,…,n) 所引起，则A发生的概率是:
PA PAB1 PAB2 PABn
P n
B1
P
A
|
B1
PBn PA | Bn
PBi PA | Bi
i 1
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式的基本思想是:
概率论
全概率公式 .
概率论
P( A | B) P( AB) (1) P(B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
若事件B已发生, 则为使 A 也发生,
B ABA
试验结果必须是既在 B 中又在A中 的样本点, 即此点必属于AB.
由于我们已经知道B已发生,
S 故B变成了新的样本空间,于是 有(1).
3. 条件概率的性质
同颜色的球.
b个白球, r个红球
解: 设 Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4 Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4
于是 W1W2R3R4 表示事件 “连续取四个球，第一、第二个是白球，
第三、四个是红球. ”
则
Ai
表示“第i个人未抽到入场券 ”
显然，P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5
也就是说，第1个人抽到入场券的概率是1/5.
由于 A2 A1A2
因为若第2个人
由乘法公式
抽到了入场券，
P( A2 ) P( A1)P( A2 | A1) 第1个人肯定没抽到.
也就是要想第2个人抽到入场券, 必须第1个人未抽到，
注意 : 若 B1 ,B2 ,,Bn 为样本空间的一个划分 , 则对每次试验 ,事件组 B1 ,B2 ,,Bn 中必有且仅有 一个事件发生.
可见 , S 的划分是将 S 分割成若干个互斥事件 .
… B2 B1
…
A
…
Bn
…
…
概率论
概率论
2.定理 1 设试验 E 的样本空间为S , B1 , B2 ,, Bn
PA1 A2 An PAn | A1 A2 An-1 P An1 | A1 A2 An-2
PA3 | A1A2 PA2 | A1 PA1
PA1A2 An1 0 保证了 PA1，PA1A2 ， ，PA1A2 An2 0
设 A、B、C 为三个事件 ,且 PAB 0 ,则
P ABC P C | AB P AB P C | AB P B | A P A.
一般地 ,设有 n 个事件 A1, A2, , An ,n 2 , 并且
PA1A2 An1 0 ,则由条件概率的定义 ,可得
概率论
条件概率 P• | A具备概率定义的三个条件 :
1 非负性 : 对于任意的事件 B , PB | A 0 ;
2 规范性: P | A 1;
3 可列可加性 :设 B1, B2,是两两互斥事件 ,则有
P
i 1
Bi
A
i 1
P
概率论
掷骰子
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点, 问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
概率论
解: 设 A={掷出点数之和不小于10}
B={第一颗掷出6点}
应用 定义
解法1:
P(A
|
B)
P( AB) P(B)
3 6
36 36
1 2
解法2: P( A | B) 3 1 62
一、条件概率(Conditional Probability)
概率论
1. 条件概率的概念
在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附 加信息(条件)下求事件的概率.
如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
2. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称
随机取一个球, 观看颜色后放回罐中, 并且再加进 c 个与所抽出的球具有相
同颜色的球.
b个白球, r个红球
概率论
例，一场精彩的足球赛将要举行, 5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决.
入场 券
5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没 写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.
P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi) 每一原因都可能导致A发生, 故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和,即全概率公式.
概率论
由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果, 每个原因对结果的发生有一定的“作用”, 即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 .
则事件"第三次才摸得白球"可表示为 ABC .
1 有放回抽样
PA 8 , PB | A 8 , PC | AB 2 ,
10
10
10
PABC PC | ABPB | APA
2 8 8 16 . 10 10 10 125
概率论
2 无放回抽样
300个
乙厂生产
300个
乙厂生产
189个是
标准件
乙厂生产的,问它
是标准件的概率
甲、乙共生产
是多少?”
1000 个
B发生,
求的是 P(A|B) .在P(AB)中作为结果;
在P(A|B)中作为条件.
概率论
例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物,它能活到25岁以上的概率是多少? 解: 设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
所求为 P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
P(B | A) P( AB) P(B) 0.4 0.5 P( A) P( A) 0.8
P(A) 与 P(A|B) 的区别在于两者发生的条件不同, 它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.
概率论
乘法定理可以推广到多个事件的积事件的情况.
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
概率论
又如, 10件产品中有7件正品, 3件次品; 7件正品中有3件一等品, 4件二等品. 现从这10件中任取一件，记
A={取到一等品}，B={取到正品}
则 P(A )=3/10，
P(A|B) 3 3 10 P( AB) 7 7 10 P(B)
概率论
第三节 条件概率
条件概率 乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式
概率论
例如, 掷一颗均匀骰子, A={掷出2点}, B={掷出偶数点}, P(A )=1/6，P(A|B)=？
已知事件B发生,
此时试验所有可能结果构成的集合就是B，掷骰子
B中共有3个元素, 它们的出现是等可能的, 其中只有1个在集合A中. 于是 P(A|B)= 1/3. 容易看到
为 S 的一个划分 ,且 PBi 0 i 1,2,,n ,则对
样本空间中的任一事件A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
*证明因为 A AS AB1 B2 Bn
AB1 AB2 ABn
并且 ABi ABj , i j ,所以
用乘法公式容易求出
概率论
P(W1W2R3R4) =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
b bc
r
rc
b r b r c b r 2c b r 3c
当 c > 0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取 到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.
PA 8 , PB | A 7 , PC | AB 2 ,
10
9
8
PABC PC | ABPB | APA
27 8 7 . 8 9 10 45
三、全概率公式 (Law of Total Probability)
概率论
看一个例子:
有三个箱子, 分别编号为1,2,3.
Bi
A
所以在第二节中证明的性质对条件概率都成立.
4. 条件概率的计算
1) 用定义计算:
P( A | B) P( AB) , P(B)
P(B)>0
2) 从加入条件后改变了的情况去算
例：A={掷出2 点}，B={掷出偶数点}
P(A|B）= 1 3
B发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数
在缩减样本空 间中A所含样 本点个数
1号箱装有1个红球4个白球,
2号箱装有2个红球3个白球,
3号箱装有3个红球.
某人从三箱中任取一箱, 从中任意摸出一球,
求取得红球的概率.
解: 记 Bi={球取自i号箱},
i=1,2,3;
12 3
A ={取得红球}
其中 B1、B2、B3两两互斥
A发生总是伴随着B1，B2，B3 之一同时发生，
概率论
即 A= B1A+B2A+B3A，
把一个未知的复杂事件分解为若干个已知的简单事件再求解,
而这些简单事件组成一个互不相容事件组, 使得某个未知事件A 与这组互不相容事件中至少一个同时发生, 故在应用此全概率公式时,关键是要找到一个合适的 S 的一个划分.
我们还可以从另一个角度去理解全概率公式. 某一事件A的发生有各种可能的原因, 如果A是由原因Bi (i=1,2,…,n) 所引起，则A发生的概率是:
PA PAB1 PAB2 PABn
P n
B1
P
A
|
B1
PBn PA | Bn
PBi PA | Bi
i 1
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式的基本思想是:
概率论
全概率公式 .
概率论
P( A | B) P( AB) (1) P(B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
若事件B已发生, 则为使 A 也发生,
B ABA
试验结果必须是既在 B 中又在A中 的样本点, 即此点必属于AB.
由于我们已经知道B已发生,
S 故B变成了新的样本空间,于是 有(1).
3. 条件概率的性质