二重积分习题及答案

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二重积分习题答案

二重积分习题答案 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.第八章二重积分习题答案练习题1.设D：0y ≤0x a ≤≤，由二重积分的几何意义计算d Dx y解：d Dx y=200d πθ⎰⎰=222001()2r d a r πθ=--⎰⎰2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =⎰⎰ 解：2dxdy =⎰⎰22126d rdr πθπ=⎰⎰练习题1.2d Dx σ⎰⎰其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.解：2d Dx σ⎰⎰=22222301001515cos [cos2]84d r dr d d πππθθθθθπ=+=⎰⎰⎰⎰ 2计算二重积分σd yx D)341(--⎰⎰，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。

解：σd y x D)341(--⎰⎰= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--⎰⎰⎰=222(1)84xdx --=⎰3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.解：22242202320(42)28(2)|33x x xDA dxdy dx dy x x x x -===-=-=⎰⎰⎰⎰⎰4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积解： 2222220(4)(4)48DV x y d d r rdr d ππσθθπ=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰习题八一．判断题1.d Dσ⎰⎰等于平面区域D 的面积.（√）2.二重积分 100f(x,y)d ydy x ⎰⎰交换积分次序后为11f(x,y)d xdx x ⎰⎰ （×）二．填空题1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =⎰⎰12π12π.2.二重积分d d Dxy x y ⎰⎰的值为112，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.1123.二重积分10(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为11(,)xdx f x y dy⎰⎰. 11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则⎰⎰（sin x x -）d d x y =0.05.交换积分次序1d (,)y f x y dx ⎰=211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy+⎰⎰.211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。

数学分析21.2直角坐标系下二重积分的计算(含习题及参考答案)

第二十一章重积分 2直角坐标系下二重积分的计算定理21.8：设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上可积,且对每个x ∈[a,b], 积分⎰dc dy y x f ),(存在，则累次积分⎰⎰dc ba dy y x f dx ),(也存在，且⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰dc b ady y x f dx ),(.证：令F(x)=⎰dc dy y x f ),(, 分别对区间[a,b]与[c,d]作分割： a=x 0<x 1<…<x r =b, c=y 0<y 1<…<y s =d, 按这些分点作两组直线x=x i (i=1,2,…,r-1), y=y j (j=1,2,…,s-1), 它们把矩形D 分为rs 个小矩形, 记△ij 为小矩形[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ] (i=1,2,…,r; j=1,2,…,s)；设f(x,y)在△ij 上的上确界和下确界分别为M ij 和m ij .在区间[x i-1,x i ] 中任取一点ξi , 于是有m ij △y j ≤⎰-jj y y i dy y f 1),(ξ≤M ij △y j ,其中△y j =y j -y j-1. ∴j sj ij y m ∆∑=1≤F(ξi )=⎰dc i dy y f ),(ξ≤j sj ij y M ∆∑=1,∑∑==∆∆r i i j sj ijx y m11≤∑=∆r i i i x F 1)(ξ≤∑∑==∆∆r i i j sj ij x y M 11, 其中△x i =x i -x i-1.记△ij 的对角线长度为d ij 及T =ji ,max d ij , 由于二重积分存在，由定理21.4，当T →0时，∑∆∆ki i j ij x y m ,和∑∆∆ki i j ij x y M ,有相同的极限，且极限值等于⎰⎰Dd y x f σ),(，∴∑=→∆ri i i T x F 1)(lim ξ=⎰⎰Dd y x f σ),(. 又当T →0时，必有i ri x ∆≤≤1max →0, 由定积分定义得∑=→∆ri i i T x F 1)(limξ=⎰b adx x F )(=⎰⎰d cb ady y x f dx ),(，∴⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰dcb a dy y x f dx ),(.定理21.9：设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上可积,且对每个y ∈[c,d],积分⎰badxyxf),(存在，则累次积分⎰⎰b adcdxyxfdy),(也存在，且⎰⎰Ddyxfσ),(=⎰⎰b adcdxyxfdy),(.注：特别地，当f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上连续时，有⎰⎰Ddyxfσ),(=⎰⎰d cbadyyxfdx),(=⎰⎰b adcdxyxfdy),(.例1：计算⎰⎰Ddxdyxyy)sin(, 其中D=[0,π]×[0,1].解：⎰⎰Ddxdyxyy)sin(=⎰⎰π01)sin(dxxyydy=⎰-1)]cos(1[dyyπ=1.注：对一般区域，通常可以分解为如下两类区域来进行.称平面点集D={(x,y)|y1(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b}为x型区域(如图1)称平面点集D={(x,y)|x1(y)≤x≤x2(y),c≤y≤d}为y型区域(如图2)如图3，区域D可分解成三个区域，I, III为x型区域，II为y型区域.定理21.10：若f(x,y)在x型区域D上连续，y1(x), y2(x)在[a,b]上连续，则⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰)()(21),(x y x y ba dy y x f dx .即二重积分可化为先对y ，后对x 的累次积分.证：∵y 1(x), y 2(x)在[a,b]上连续，∴存在R=[a,b]×[c,d]⊃D(如上图1)，记定义在R 上的函数F(x,y)=⎩⎨⎧∉∈D y x ，Dy x ，y x f ),(0),(),(, 则F 在R 上可积，且⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰Rd y x F σ),(=⎰⎰dcbadyy x F dx ),(=⎰⎰)()(21),(x y x y ba dy y x F dx =⎰⎰)()(21),(x y x y ba dy y x f dx .注：同理可证f(x,y)在y 型区域D 上连续，x 1(y), x 2(y)在[c,d]上连续，则⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰)()(21),(y x y x dc dx y x f dy .例2：设D 是直线x=0,y=1及y=x 围成的区域(如图)，试计算：I=⎰⎰-Dy d e x σ22的值.解：∵D={(x,y)|0≤x ≤y,0≤y ≤1}， ∴I=⎰⎰-Dy d ex σ22=⎰⎰-yy dx e x dy 02102=⎰-103231dy e y y =e3161-.注：若取D={(x,y)|x ≤y ≤1,0≤x ≤1}，则I=⎰⎰-12102x y dy e x dx =⎰⎰-11022x y dy e dx x ，∵2y e -的原函数无法用初等函数形式表示，∴无法直接求积.例3：计算二重积分⎰⎰Dd σ, 其中D 为由直线y=2x, x=2y 及x+y=3所围的三角形区域(如图).解：(如图)D 1={(x,y)|2x ≤y ≤2x,0≤x ≤1}， D 2={(x,y)|2x ≤y ≤3-x,1≤x ≤2}， ∴⎰⎰1D d σ=⎰⎰xx dy dx 2210=⎰1023xdx =43; ⎰⎰2D d σ=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-21233xdx =493-. ⎰⎰Dd σ=⎰⎰1D d σ+⎰⎰2D d σ=23.例4：求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V. 解：设圆柱底面半径为a, 两个圆柱底面方程为 x 2+y 2=a 2与x 2+z 2=a 2.第一封限部分的立体是曲顶柱体，以z=22x a -为曲顶，以四分之一圆域D={(x,y)|0≤y ≤22x a -,0≤x ≤a}为底. ∴V=8⎰⎰-Dd x a σ22=8⎰⎰--220220x a ady x a dx =8⎰-adx x a 022=3316a .习题1、设f(x,y)在区域D 上连续，试将二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(化为不同顺序的累次积分：(1)D 是由不等式y ≤x, y ≥a,x ≤b(0<a<b)所确定的区域； (2)D 是由不等式x 2+y 2≤1, x+y ≥1所确定的区域； (3)D 是由不等式y ≤x, y ≥0,x 2+y 2≤1所确定的区域；(4)D={(x,y)||x|+|y|≤1}.解：如图，(1)⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰xa ba dy y x f dx ),(=⎰⎰by b a dx y x f dy ),(.(2)⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰--21110),(x xdy y x f dx =⎰⎰--2111),(y ydx y x f dy .(3)⎰⎰D d y x f σ),(=⎰⎰xdy y x f dx 0220),(+⎰⎰-210122),(x dy y x f dx =⎰⎰-21220),(y ydx y x f dy .(4)⎰⎰Dd y x f σ),(=4⎰⎰-xdy y x f dx 1010),(=4⎰⎰-ydx y x f dy 1010),(.2、在下列积分中改变累次积分的顺序： (1)⎰⎰x x dy y x f dx 220),(；(2)⎰⎰----221111),(x x dy y x f dx ；(3)⎰⎰-axx ax ady y x f dx 22202),(；(4)⎰⎰2010),(x dy y x f dx +⎰⎰-)3(3131),(x dy y x f dx.解：如图，(1)⎰⎰xx dy y x f dx 220),(=⎰⎰y y dx y x f dy 220),(+⎰⎰2242),(y dx y x f dy .(2)⎰⎰----221111),(x x dy y x f dx =⎰⎰----221101),(y y dx y x f dy +⎰⎰---yydx y x f dy 1110),(.(3)⎰⎰-axx ax a dyy x f dx 22202),(=⎰⎰--22220),(y a a ayadx y x f dy +⎰⎰-+ay a a adx y x f dy 2022),(+⎰⎰aay a adx y x f dy 2222),(.(4)⎰⎰2010),(x dy y x f dx +⎰⎰-)3(3131),(x dy y x f dx =⎰⎰-y ydx y x f dy 2310),(.3、计算下列二重积分：(1)⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由抛物线y 2=2px 与直线x=2p(p>0)所围成的区域；(2)⎰⎰+Dd y x σ)(22，其中D={(x,y)|0≤x ≤1, x ≤y ≤x 2}；(3)⎰⎰-Dxa d 2σ(a>0)，其中D 为图中阴影部分；(4)⎰⎰Dd x σ，其中D={(x,y)|x 2+y 2≤x}.(5)⎰⎰Dd xy σ||，其中D=为圆域x 2+y 2≤a 2.解：(1)方法一：⎰⎰Dd xy σ2=⎰⎰-pxpx p dy y xdx 22220=⎰2025324pdx x p p =215p .方法二：⎰⎰Dd xy σ2=⎰⎰-2222p py pp xdx dy y =⎰-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-p p dy p y p y 242281=215p . (2)⎰⎰+Dd y x σ)(22=⎰⎰+xxdy y x dx 22210)(=⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10232537dx x x =105128. (3)⎰⎰-Dxa d 2σ=⎰⎰----22)(002a x a a axa dy dx =⎰----ax a a x a a 0222)(=233822a ⎪⎭⎫⎝⎛-.(4)⎰⎰Dd x σ=⎰⎰---2210x x x x dy x dx =2⎰-11dx x x =158.(5)方法一：⎰⎰Dd xy σ||=⎰⎰adr r d 032cos sin 4θθθπ=⎰204cos sin πθθθd a=24a .方法二：⎰⎰Dd xy σ||=⎰⎰-22004x a aydy xdx =⎰-adx x a 0222)(=24a.4、求由坐标平面及x=2, y=3, x+y+z=4所围的角柱体的体积. 解：如图，V=⎰⎰--Dd y x σ)4(=⎰⎰--2020)4(dx y x dy +⎰⎰---ydx y x dy 4032)4(=⎰-20)26(dy y +⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---32222)4(816dy y y y=12-4+16-20-67+319=-591.5、设f(x)在[a,b]上连续，证明不等式2)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ba dx x f ≤(b-a)⎰b a dx x f )(2，其中等号仅在f(x)为常量函数时成立.证：2)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ba dx x f =⎰⎰⋅b a b a dy y f dx x f )()(=⎰⎰D dxdy y f x f )()(≤⎰⎰+Ddxdy y f x f )]()([2122=⎰⎰⋅b a b a dx x f dy )(2=(b-a)⎰b a dx x f )(2.其中D={(x,y)|a ≤x ≤b, a ≤y ≤b}.若等号成立，则对任何(x,y)∈D ，有f 2(x)+f 2(y)=2f(x)f(y)，即 [f(x)-f(y)]2=0，∴f(x)=f(y)，即f(x)为常数函数.6、设平面区域D 在x 轴和y 轴的投影长度分别为l x 和l y ，D 的面积为S D ，(α,β)为D 内任一点，证明：(1)⎰⎰--Dd y x σβα))((≤l x l y S D ; (2)⎰⎰--Dd y x σβα))((≤41l x 2l y 2.证：设D 在x 轴和y 轴上的投影区间分别为[a,b]和[c,d]，则 l x =b-a, l y =d-c ，且|x-α|≤l x , |y-β|≤l y.(1)⎰⎰--Dd y x σβα))((≤⎰⎰--D d y x σβα||||≤l x l y ⎰⎰Dd σ≤l x l y S D .(2)⎰⎰--Dd y x σβα))((≤⎰⎰-⋅-dc ba dy y dx x ||||βα.令x l a x -=t (0≤t ≤1), 记ρ=xl l(α-a) (0≤ρ≤1). |x-α|=|x-a+a-α|=|l x t-l x ρ|=l x |t-ρ|.⎰-b adx x ||α=l x ⎰-badx t ||ρ=l x2⎰-1||dtt ρ=l x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎰⎰ρρρρ1)()(dt t dt t= l x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--)1(21ρρ.∵0≤ρ≤1, ∴ρ(1-ρ)≥0，∴⎰-ba dx x ||α≤21l x 2. 同理可证，⎰-dc dy y ||β≤21l y 2. ∴⎰⎰--Dd y x σβα))((≤41l x 2l y 2.7、设D=[0,1]×[0,1]，f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧+中非有理点为当中有理点为当D y x ，D y x ，q q yx ),(0),(11，其中q x 表示有理数x 化成既约分数后的分母.证明：f(x,y)在D 上的二重积分存在而两个累次积分不存在.证：∀ε>0, 只有有限个点使f(x,y)>2ε, ∴存在分割T ，使得S(T)-s(T)<ε, ∴二重积分存在且等于0.当y 取无理数时，f(x,y)≡0，∴⎰10),(dx y x f =0; 而当y 取有理数时，在x 为无理数处f(x,y)=0, 在x 为有理数处f(x,y)=y x q q 11+, 故函数f 在任何区间上振幅总大于yq 1, 即函数f(x,y)在x ∈[0,1]上关于x 的积分不存在.∴不存在先x 后y 的累次积分. 同理可证先y 后x 的累次积分不存在.8、设D=[0,1]×[0,1]，f(x,y)=⎩⎨⎧=中其他点时为当时且中有理点为当D y x ，q q ，D y x ，y x ),(0),(1，其中q x 表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明：f(x,y)在D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在.证：在正方形的任何部分内， f 的振幅等于1，∴二重积分不存在. 对固定的y ，若y 为无理数，则f 恒为0，若y 为有理数，则函数仅有有限个异于0的值，因此⎰10),(dx y x f =0, ∴累次积分存在且⎰⎰110),(dx y x f dy =0，同理可证累次积分⎰⎰110),(dy y x f dx =0.。

高等数学第八章二重积分试题及答案

第八章多元函数积分学一、二重积分的概念与性质1．定义设()y x f ,是定义在有界闭区域D 上的有界函数，如果对任意分割D 为n 个小区域,,,,21n σσσ∆∆∆ 对小区域()n k k ,,2,1 =∆σ上任意取一点()k k ηξ,都有()k nk k kd f σηξ∆∑=→1,lim存在，（其中k σ∆又表示为小区域k σ∆的面积，k d 为小区域k σ∆的直径，而k nk d d ≤≤=1max ）则称这个极限值为()y x f ,在区域D 上的二重积分记以()⎰⎰Dd y x f σ,，这时就称()y x f ,在D 上可积。

如果()y x f ,在D 上是有限片上的连续函数，则()y x f ,在D 上是可积的。

2．几何意义当()y x f ,为闭区域D 上的连续函数，且()0,≥y x f ，则二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,表示以曲面()y x f z ,=为顶，侧面以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积。

当封闭曲面S 它在xy 平面上的投影区域为D ，上半曲面方程为()y x f z ,2=，下半曲面方程为()y x f z ,1=，则封闭曲面S 围成空间区域的体积为()()[]σd y x f y x f D⎰⎰-,,123．基本性质（1）()()⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ,,（k 为常数）（2）()()[]()()σσσd y x g d y x f d y x g y x f DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±,,,,（3）()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12,,,D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ 其中21UDD D =，除公共边界外，1D 与2D 不重叠。

（4）若()()y x g y x f ,,≤，()D y x ∈,，则()()⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f σσ,,（5）若()M y x f m ≤≤,，()D y x ∈,，则()⎰⎰≤≤DMS d y x f mS σ, 其中S 为区域D 的面积。

高数二重积分习题解答

第9章重积分及其应用1．用二重积分表示下列立体的体积：(1) 上半球体：2222{(,,)|;0}x y z x y z R z ++≤≥；(2) 由抛物面222z x y =--，柱面x 2+y 2=1及xOy 平面所围成的空间立体解答：(1) 222d ,{(,)|}DV x y D x y x y R ==+≤；(2) 2222(2)d d ,{(,)|1}DV x y x y D x y x y =--=+≤⎰⎰所属章节：第九章第一节难度：一级2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： (1)，其中D 为222x y a +≤； (2) ，其中D 为222,0x y a b a +≤>>解答：(1)32π3Da σ=；(2)232(ππ3Db a b a σ=-⎰⎰所属章节：第九章第一节难度：一级3．一带电薄板位于xOy 平面上，占有闭区域D ，薄板上电荷分布的面密度为(,)x y μμ=，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q ．解答：所属章节：第九章第一节难度：一级4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x 轴铅直向下，y 轴位于水平面上，并设薄板占有xOy 平面上的闭区域D ，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力解答：所属章节：第九章第一节难度：一级5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小(1)与，其中D 是由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的区域； (2)与222ln(1)d DI x y σ=++⎰⎰，其中D 是矩形区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1；(3)与，其中D 是任一平面有界闭区域；(4)与，其中D 是矩形区域：–1≤x ≤0，0≤y ≤1；解答：(1) 在区域D 内部，1x y +<，所以I 1>I 2；(2)在区域D 内部，22,x x y y <<，故22ln(1)ln(1)x y x y ++<++，所以 I 1>I 2；？ (3)由于22sin ()()x y x y +<+，所以I 1<I 2；(4)在区域D 内部，0xy <，故2xy xy e e >，所以I 1>I 2 所属章节：第九章第一节难度：一级6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值 (1) d ,{(,)|04,08}ln(4)DI D x y x y x y σ==≤≤≤≤++⎰⎰；(2) 2222π3πsin()d ,(,)44D I x y D x y x y σ⎧⎫=+=≤+≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰；(3) 221d ,{(,)|||||1}100cos cos DI D x y x y x y σ==+≤++⎰⎰； (4) 22221e d ,(,)4xy DI D x y x y σ+⎧⎫==+≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰解答：(1)由于{(,)|04,08}D x y x y =≤≤≤≤的面积为32，在其中111ln16ln(4)ln 4x y ≤≤++，而等号不恒成立，故；(2)由于22π3π(,)44D x y x y ⎧⎫=≤+≤⎨⎬⎩⎭的面积为212π，在其中，而等号不恒成立，故；(3) 由于{(,)|||||1}D x y x y =+≤的面积为2，在其中22111102100100cos cos x y ≤≤++，而等号不恒成立，故；注：原题有误？还是原参考答案有误？如将{(,)|||||1}D x y x y =+≤改为{(,)|||||10}D x y x y =+≤，则区域面积为200，结论为(4)由于221(,)4D x y x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭的面积为14π，在其中12241sin()x y e ≤+≤，而等号不恒成立，故．所属章节：第九章第一节难度：二级7．设f (x ，y )是连续函数，试求极限：22221lim (,)d πr x y r f x y r σ+→+≤⎰⎰解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得222220011lim (,)lim (,)lim (,)(0,0)r r r x y r f x y d f f f r rσξησξηππ+++→→→+≤=⋅==⎰⎰．所属章节：第九章第一节难度：二级8．设f (x ，y )在有界闭区域D 上非负连续，证明： (1) 若f (x ，y )不恒为零，则； (2) 若，则f (x ，y )≡0解答：(1) 若f (x ，y )不恒为零，则存在00(,)x y D ∈，00(,)0f x y >，利用连续函数的保号性，存在00(,)x y 的一个邻域1D D ⊂，在其上恒有(,)0f x y >，于是，而，所以11(,)d (,)d (,)d 0DD D D f x y f x y f x y σσσ-=+>⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 假若f (x ，y )不恒为零，则由上题知，矛盾，故f (x ，y )≡0．所属章节：第九章第一节难度：二级9．计算下列二重积分： (1) πsin d ,(,)12,02Dx y D x y x y σ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰； (2) {}22(e )d ,(,)11,01x y Dxy D x y x y σ++=-≤≤≤≤⎰⎰； (3) {}2e d ,(,)01,01xyDxy D x y x y σ=≤≤≤≤⎰⎰；(4) 22πsin()d ,(,)0,022Dx y xy D x y x y σ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰； (5){}2222d ,(,)2,2Dx D x y x y x y x σ=+≥+≤⎰⎰解答：(1)222113sin d sin 2Dx y dx x ydy xdx πσ===⎰⎰⎰⎰⎰； (2)22111112222221111(1)(e)d ()(1)22x yx yx yxD e xydx xy edy dx edy e e dx eσ+++----+=+==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (3)2211101d )(1)122xy xyx Dexye dx xye dy e dx σ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰； (4)22222222001sin()d sin()(cos 4)216D xy xy dx x y xy dy x x x dx πππσ==-=⎰⎰⎰⎰⎰；(5)11112Dxd dy πσ--===⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：一级10．画出下列各题中给出的区域D ，并将二重积分化为两种次序不同的二次积分： (1) D 由曲线y =ln x ，直线x =2及x 轴所围成； (2) D 由抛物线y =x 2与直线2x +y =3所围成； (3) D 由y =0及y =sin x (0≤x ≤π)所围成； (4) D 由曲线y =x 3，y =x 所围成；(5) D 由直线y =0，y =1，y =x ，y =x –2所围成解答：本题图略，建议画出 (1)2ln ln 22100(,)(,)y xe dxf x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰；(2)231321931(,)(,)(,)y xxdx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx ---=+⎰⎰⎰⎰⎰；(3)sin 1arcsin 000arcsin (,)(,)xyydx f x y dy dy f x y dx ππ-=⎰⎰⎰⎰；(4)3301111(,)(,)(,)(,)x xyxxydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx --+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰；注：原题有误？还是原参考答案有误？如将“D 由曲线y =x 3，y =x 所围成”改为“D 由曲线3,1,1y x y x ===-所围成”，则答案为原参考答案3111111d (,)d d (,)d xx f x y y y f x y x ---=⎰⎰⎰；(5)1213112122d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d x y x yx f x y y x f x y y x f x y y y f x y x +-++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节难度：一级11．计算下列二重积分：(1)，D 由曲线x =2，y =x ，xy =1所围成；(2)，D 由点(0，0)，(π，0)，(π，π)为顶点的三角形区域； (3)，D由抛物线y =y =x 2围成； (4)，D 由抛物线y 2=x 与直线y =x –2所围成； (5) ，D 由直线y =x ，y =2和曲线x =y 3所围成解答：(1) 22223122119()4x x Dx x d dx dy x x dx y y σ==-=⎰⎰⎰⎰⎰；(2)0003cos()cos()(sin 2sin )2xDx x y dxdy dx x x y dy x x x x dx ππ+=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰；(3)2711440026()355xD dx x x dx σ==-=⎰⎰⎰⎰；(4)22222411145(44)28y yDxydxdy dy xydx y y y y dx +--==++-=⎰⎰⎰⎰⎰； (5) 3222113cos1sin1sin 4sin()sin()(cos1cos )2y y Dx x d dy dx y y y dy y y σ+-==-=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：二级12．画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定f (x ，y )在积分区域上连续)： (1) ； (2) 2122001d (,)d d (,)d x xx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰；(3)2122d (,)d yyy f x y x --⎰⎰；(4)； (5)(6)1320d (,)d y y f x y x -⎰解答：本题图略，建议画出 (1)21(,)xxdx f x y dy ⎰⎰；(2)120(,)y dy f x y dx -⎰；(3) 1 4 2 0 1(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰；(4) 11 1 20 01 1 0(,)(,)(,)dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx ++⎰⎰⎰⎰⎰；(5)0111000(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx +-+⎰⎰⎰；(6)2313201(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节难度：一级13．计算下列二次积分：(1) 110d yy x ⎰⎰；(2)23211d e d y x x y --⎰⎰；(3) ； (4) 2220d 2sin()d xx y xy y ⎰⎰；(5)π12arcsin d cos yy x ⎰⎰；(6)24212ππd d d d 22xx xx y x y y y+⎰⎰解答：(1) 31/111116x ydy dx x ===⎰⎰⎰⎰⎰； (2)2223221241101(1)2y y y y x dx e dy dy e dx ye dy e +-----===-⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 22220000sin sin sin 1x y xx dy dx dx dy xdx x xππππ===⎰⎰⎰⎰⎰； (4) 222222202sin()2sin()[22cos()]4sin 4yxdx y xy dy dy y xy dx y y y dy ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰；(5)1sin 2220arcsin 0cos cos sin cos xydy dx x πππ==⎰⎰⎰⎰⎰3222011(1cos )1)33x π=-+=； (6)22422231211284sincos2222xy yxxxdx dy dx dy dy dx y ydy yyyπππππππ++==-=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：二级14．利用积分区域的对称性和被积函数关于x 或y 的奇偶性，计算下列二重积分：(1) 222||d ,:Dxy D x y R σ+≤⎰⎰； (2) 2322(tan 4)d d ,:4Dx x y x y D x y +++≤⎰⎰； (3) 2222(1)arcsin d ,:()Dyx x D x R y R Rσ++-+≤⎰⎰； (4)(||||)d d ,:||||1Dx y x y D x y ++≤⎰⎰解答：(1) 设2221:,0,0D x y R x y +≤≥≥，则14320||4||4sin cos 2RDD R xy d xy d d r dr πσσθθθ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (2)23(tan 4)416DDx x y dxdy dxdy π++==⎰⎰⎰⎰； (3) 由于积分区域关于x 对称，被积函数是关于y 的奇函数，故2(1)arcsind 0Dyx x Rσ++=⎰⎰； (4) 设1:1,0,0D x y x y +≤≥≥，则11104(||||)2||883xDDD x y dxdy x dxdy xdxdy dx xdy -+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：二级15．利用极坐标化二重积分为二次积分，其中积分区域D 为： (1) 22:,(0)D x y ax a +≤>； (2) 22:14D x y ≤+≤； (3) :01,01D x y x ≤≤≤≤-； (4) 22:2()D x y x y +≤+ (5) 22:24D x x y ≤+≤ 解答：(1)πcos 2π02d (cos ,sin )d a f r r r r θθθθ-⎰⎰；(2)2π21d (cos ,sin )d f r r r r θθθ⎰⎰；(3) π12cos sin 0d (cos ,sin )d f r r r r θθθθθ+⎰⎰；(4)3π2(cos sin )4π04d (cos ,sin )d f r r r r θθθθθ+-⎰⎰；(5)π3π2222ππ2cos 022d (cos ,sin )d d (cos ,sin )d f r r r r f r r r r θθθθθθθ-+⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节难度：一级16．利用极坐标计算下列二重积分：(1) 22d ,:Dx y D x y Rx +≤；(2) 22222222()d d ,:()()Dx y x y D x y a x y ++≤-⎰⎰； (3) 22arctan d d ,:14,0,Dy x y D x y y y x x ≤+≤≥≤⎰⎰； (4)2222d d ,:2,2Dx x y D x y x y x +≥+≤⎰⎰；(5)arctan22,:14,yxDD x y x y σ≤+≤≤≤(6) ，D ：第一象限中由圆22222,4x y y x y y +=+=及直线,x y =所围成．解答：(1)cos 33322022114d (1sin )()333R Dx y d R d R ππθππθθθπ--==-=-⎰⎰⎰；(2)223424440()4cos 28Dx y dxdy d dr ad a πππθθθ+===⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 224013arctan d d 64Dy x y d rdr x ππθθ==⎰⎰⎰⎰；(4)2cos 2444448cos (cos cos )332Dxdxdy d r dr d ππθπππθθθθθ--==-=⎰⎰⎰⎰；注：本小题与第9大题第（5）小题相同．(5)arctan 233414yx Dd e dr e e πππθπσθ==-⎰⎰；(6)4sin 2234332sin 6615()d d 60sin (28Dx y x y d r dr d ππθππθθθθπ+===⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：二级17．设r ，θ为极坐标，在下列积分中交换积分次序： (1) πcos 2π02d (,)d (0)a f r r a θθθ->⎰⎰；(2) π20d (,)d (0)f r r a θθ>⎰⎰；(3) 0d (,)d (02π)af r r a θθθ<<⎰⎰；(4)π4cos 0d (,)d (0)a f r r a θθθ>⎰⎰；解答：(1) ； (2) ； (3) 0d (,)d aarr f r θθ⎰⎰；(4)ππ44arccosd (,)d d (,)d aa rr f r r f r θθθθ+⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：一级18．计算下列二次积分： (1) ；(2)d d yyy x x； (3) ；(4)1223/201d )d x x x y y --+⎰．解答：(1)22211221(1)24x y r e e dx dy d e rdr d πππθθ+--===⎰⎰⎰⎰；(2)21242000011264yy dy dx d rdr d x ππθθθθπ===⎰⎰⎰；(3)22cos 232200816cos 39dx d r dr d ππθθθθ===⎰⎰⎰⎰；(4)11223/22221010sin cos )(sin cos 1)22xdx x y dy d r dr d ππθθπθθθθ---++==+-=-⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节难度：二级19．计算下列二重积分： (1) 22max(,)e d d ,:{(,)|01,01}x y Dx y D x y x y ≤≤≤≤⎰⎰；(2) 2222|4|d d ,:{(,)|9}Dx y x y D x y x y +-+≤⎰⎰； (3) ππ|cos()|d d ,:{(,)|0,0}22Dx y x y D x y x y +≤≤≤≤⎰⎰；(4)d ,:{(,)|11,02}Dx y D x y x y -≤≤≤≤．解答：(1)222211max(,)1xyxy x y De dxdy dx e dy dy e dx e =+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2)22232222221|4|(4)(4)2Dx y dxdy d r rdr d r rdr ππθθπ+-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (3)222202|cos()|cos()cos()2xxDx y dxdy dx x y dy dx x y dy ππππππ--+=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(4)2211152223x xDdx dx π=+=+⎰⎰⎰⎰ 所属章节：第九章第二节难度：三级20．选择适当坐标计算下列各题：(1) ，其中D 是由双曲线xy =1与直线y =x ，x =2围成； (2) ，其中22{(,)|1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥；(3) ，其中D 是直线y =x ，y =x +a ，y =a ，y =3a (a >0)围成； (4) ，其中2222{(,)|0,1,2}D x y y x y x y x =≥+≥+≤．解答：(1) 22223122119()4x x Dx x d dx dy x x dx y y σ==-=⎰⎰⎰⎰⎰；注：本小题与第11大题第（1）小题重复．(2)222000(2)28DDx d d y ππππσσθ-===⎰⎰⎰⎰⎰；(3)3222220()()14a xx aDxy dxdy dy x y dx a ++=+=⎰⎰⎰⎰；(4)2cos 353301019sin cos (4cos sin sin cos )416Dxydxdy d r dr d ππθθθθθθθθθ==-=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：二级21．用适当的变量变换，计算下列二重积分：(1) ，中D 是椭圆形闭区域22941x y +≤位于第一象限内的部分；(2) ，D 是由双曲线xy =1，xy =2与直线x =y ，x =4y 所围成的在第一象限内的闭区域； (3) ，D 是椭圆形闭区域； (4) ，D 是闭区域|x |+|y |≤1； (5)32()cos ()d d Dx y x y x y +-⎰⎰，其中D 是以(π，0)，(3π，2π)，(2π，3π)，(0，π)为顶点的平行四边形；参考答案：(1) (提示：作变换11cos ,sin 32x r y r θθ==)；(2) (提示：作变换)；(3) (提示：作变换cos ,sin x ar y br θθ==)； (4) 1e e --(提示：作变换,x y u x y v +=-=)； (5) 78π5(提示：作变换,x y u x y v +=-=)解答：(1) 作变换11cos ,sin 32x r y r θθ==，则，12222001sin(94)d d sin (1cos1)624Dx y x y d r rdr ππθ+=⋅=-⎰⎰⎰⎰； (2) 作变换，则，2122211417d d ln 223Dx y x y du u dv v ==⎰⎰⎰⎰； (3) 作变换cos ,sin x ar y br θθ==，则J abr =，2221322001()d d 2Dx y x y d abr dr ab a b πθπ+==⎰⎰⎰⎰； (4) 作变换,x y u x y v +=-=，则，111111e d d 2x y uDx y du e dv e e +---==-⎰⎰⎰⎰； (5) 作变换,x y u x y v +=-=，则52323251()cos ()d d cos 392Dx y x y x y du u v dv πππππ+-=⋅=⎰⎰⎰⎰．（原参考答案有误？）所属章节：第九章第二节难度：三级22．利用二重积分求下列平面区域的面积： (1) D 由曲线e ,e x x y y -==及x =1围成； (2)D 由曲线y =x +1，y 2= –x –1围成； (3)D 由双纽线22222()4()x y x y +=-围成； (4) {(cos ,sin )|24sin }D r r r θθθ=≤≤； (5) 1{(cos ,sin )|1cos }2D r r r θθθ=≤≤+； (6) D 由曲线2223()2(0)x y ax a +=>围成；(7)D 由曲线y =x 3，y =4x 3，x =y 3，x =4y 3所围成的第一象限部分参考答案：(1)1e e 2-+-；(2)16；(3)4；(4)；(5)；(6)；(7)18解答：(1)1110()2xx e x x eDA dxdy dx dy e e dx e e ---===-=+-⎰⎰⎰⎰⎰；(2)20121111()6y y DA dxdy dy dx y y dx -----===--=⎰⎰⎰⎰⎰； (3)双纽线22222()4()x y x y +=-用极坐标表示24cos2r θ=，44048cos24DA dxdy d d ππθθθ====⎰⎰⎰⎰⎰；(4)4sin 222662(48cos2)DA dxdy d rdr d ππθππθθθ===-=⎰⎰⎰⎰⎰；(5)221cos 331252(4cos cos2)2DA dxdy d rdr d ππθθθθθ+===++=⎰⎰⎰⎰⎰；(6)曲线2223()2(0)x y ax a +=>用极坐标表示32cos r a θ=，32cos 2622024cos a DA dxdy d rdr ad ππθθθθ====⎰⎰⎰⎰⎰；(7)4sin 222662(48cos2)DA dxdy d rdr d ππθππθθθ===-=⎰⎰⎰⎰⎰18？所属章节：第九章第二节难度：二级23．利用二重积分求下列各题中的立体Ω的体积：(1)Ω为第一象限中由圆柱面y 2+z 2=4与平面x =2y ，x =0，z =0所围成；（注：象限应为卦限？） (2)Ω由平面y =0，z =0，y =x 及6x +2y +3z =6围成；(3)22{(,,)|1x y z x y z Ω=+≤≤+； (4)222{(,,)|1,11x y z x y z z Ω=+≤+-≤≤；参考答案：(1)163；(2)14；(3)7π6；(4)8π3解答：(1)2221623DV dy ====⎰⎰⎰； (2)21(22)34DV x y dxdy =--=⎰⎰；(3)2122207[(1()](1)6DV x y dxdy d r rdr ππθ=-+==⎰⎰⎰⎰；(4)220822423xyD V d rdr πππθπ=⋅-=-=⎰所属章节：第九章第二节难度：二级24．设f (x )在[0，1]上连续，D 由点(0，0)、(1，0)、(0，1)为顶点的三角形区域，证明：1()d ()d Df x y uf u u σ+=⎰⎰⎰解答：将二重积分化为二次积分，再用积分变换u =x +y ，然后交换积分顺序111111()d ()()()()d xu xDf x y dx f x y dy dx f u du du f u dx uf u u σ-+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：三级25．设f (x )连续，证明：221()d d (x y f x y x y f u u +≤+=⎰⎰解答：作变量变换11(),()22x u v y u v =-=+，则，22221211()()()(22x y u v f x y dxdy f u dudv f u dv f u +≤+≤+===⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：三级26．设f (x )在[a ，b ]上连续，证明：()22()d ()()d bbaaf x xb a f x x ≤-⎰⎰解答：设区域{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤，则2(())()()()()bb b b baaaaaf x dx f x dx f x dx f x dx f y dy =⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰2222()()11()()222DD Df x f y dxdy f x dxdy f y dxdy +≤=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰222()()()()bbbaaaDf x dxdy dx f x dy b a f x dx ===-⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：三级27．设f (x )在[a ，b ]上连续，f (x )>0，证明：21()d d ()()bb a af x x x b a f x ≥-⎰⎰解答：设区域{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤，则11()()()()()()bbb b aaa a D f x f x dx dx f x dx dy dxdy f x f y f y ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，11()()()()()()b bb b a aa a Df y f x dx dx f y dy dx dxdy f x f x f x ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以211()()()()()()2()()b baaD Df x f x f x dx dx dxdy dxdy b a f x f y f y =+≥=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：三级28．在曲线族y =c (1–x 2)(c>0)中试选一条曲线，使这条曲线和它在(–1，0)及(1，0)两点处的法线所围成的图形面积最小解答：曲线在(1，0)处的法线为，由对称性知所围图形面积为21(1)1102241232c x x c cA dx dy c c --==+⎰⎰，令，得唯一驻点（负值舍去）又由于该实际问题的最小值存在，故当时，所围图形面积最小，为所属章节：第九章第二节难度：三级29．设f (x )是连续函数，区域D 由y =x 3，y =1，x = –1围成，计算二重积分22[1()]d d Dx yf x y x y ++⎰⎰ 解答：将D 分成两块，记为{}{}3312(,)1,(,),10D x y x y D x y x y x x =≤≤≤≤=≤≤--≤≤，则由函数的奇偶性与积分区域的对称性得12222222[1()][1()][1()]DD D x yf x y dxdy x yf x y dxdy x yf x y dxdy ++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰321225x D xdxdy dx xdy --===-⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：三级30．设f (x )、g (x )在[0，1]上连续且都是单调减少的，试证：111()()d ()d ()d f x g x x f x x g x x ≥⎰⎰⎰解答：设{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则111()()()()()()()()DDI f x g x dx f x dx g x dx f x g x dxdy f x g y dxdy =-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()[()()]Df xg x g y dxdy =-⎰⎰，类似地有()[()()]DI f y g y g x dxdy =-⎰⎰，两式相加，并利用条件f (x )、g (x )在[0，1]上连续且都是单调减少的，就有2[()()][()()]0DI f x f y g x g y dxdy =--≥⎰⎰，所以0I ≥，即111()()d ()d ()d f x g x x f x x g x x ≥⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：三级31．设f (x )在[0，1]上连续，并设1()d f x x A =⎰，求11d ()()d xx f x f y y ⎰⎰解答：设{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则11110()()()()()()y xxdx f x f y dy dy f x f y dx dx f x f y dy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰1110001[()()()()]2x x dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰112001()()()()2Df x f y dxdy f x dx f y dy A ==⋅=⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：三级32．至少利用三种不同的积分次序计算三重积分，其中Ω=[0，2]×[–3，0]×[–1，1] 解答：212222220313()()2616x yz dv dx dy x yz dz dx x dy x dx Ω---+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，类似0212231()()16x yz dv dy dx x yz dz Ω--+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，1222130()()16x yz dv dz dy x yz dx Ω--+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第三节难度：一级33．将三重积分化为累次积分(三次积分)，其中积分区域Ω分别是： (1)2222:,0x y z R z Ω++≤≥；(2)Ω由x 2+y 2=4，z =0，z =x +y +10所围成； (3)22222:2,x y z z x y Ω++≤≥+(4)Ω：由双曲抛物面z =xy 及平面x +y –1=0，z =0所围成的闭区域解答：(1) 22222220d d (,,)d RR x R x y RR x x y f x y z z ------⎰⎰⎰；(2) 222410240d d (,,)d x x y x x y f x y z z -++---⎰⎰⎰；(3) 22222211211d d (,,)d x x y x x y x y f x y z z ------+⎰⎰⎰；(4)110d d (,,)d xxy x y f x y z z -⎰⎰⎰双曲抛物面所属章节：第九章第三节难度：二级34．计算下列三重积分：(1) ，其中Ω是在平面z=x+2y下放，xOy平面上由y=x2、y=0及x=1围成的平面区域上方的立体；(2) ，其中Ω是在平面x+y+z=1与三个坐标面围成；(3) ，其中π{(,,)|0}2x y z x z yΩ=≤≤≤≤-(4)，其中Ω是第一象限中由曲面y2+z2=9与平面x=0、y=3x和z=0所围成的空间立体；(5)222d d d1xyzx y zx y zΩ+++⎰⎰⎰，其中222{(,,)|0,0,1}x y z x z x y zΩ=≥≥++≤；(6) ，其中Ω是由抛物面x=4y2+4z2与平面x=4围成参考答案：(1)528；(2)e12-；(3)；(4)278；(5)0；(6)16π3解答：(1)528；(2)e12-；(3)；(4)278；(5)0；(6)16π3所属章节：第九章第三节难度：二级35．用截面法(先算二重积分后算单积分)解下列三重积分问题：(1) 计算三重积分，其中Ω是由锥面z=和平面z=π围成；(2) 设Ω是由单叶双曲面x2+y2–z2=R2和平面z=0，z=H围成，试求其体积；(3) 已知物体Ω的底面是xOy平面上的区域222{(,)|}D x y x y R=+≤，当垂直于x轴的平面与Ω相交时，截得的都是正三角形，物体的体密度函数为，试求其质量；(4)试求立体2222(,,)1x yx y z za bΩ⎧⎫=+≤≤⎨⎬⎩⎭的形心坐标参考答案：(1)π2–4π；(2)；(3)；(4)解答：(1)2300sin d sin sin4zDz v zdz dxdy z z dzππΩπππ==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；与原参考答案不同(2)2223001()3zH HDV dv dz dxdy R z dz R H HπππΩ===+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(3)223(,,)(1)(1))xRR R R D x x m x y z dv dx dydz R x dx R R ρ--Ω==+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(4)由对称性，0x y ==，110012zD V dv dz dxdy abzdz ab ππΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，1120011123zD z zdv zdz dxdy abz dz V V V πΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，即所求形心坐标为．所属章节：第九章第三节难度：二级36．利用柱面坐标计算下列三重积分： (1)，其中22{(,,)|4,12}x y z x y z Ω=+≤-≤≤；(2)，其中Ω由柱面x 2+(y –1)2=1及平面z =0，z =2所围成； (3)，其中22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--； (4)，其中22{(,,)|14,02}x y z y z x z Ω=≤+≤≤≤+； (5)，其中Ω为z ≥0上平面y =0、y =z 及柱面x 2+z 2=1围成解答：(1)2222222301()d 2324x y v d rdr r dz r dr πΩθππ-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 由于被积函数、积分区域关于x 为奇，故32()d d d 0x xy x y z Ω+=⎰⎰⎰；(3)223932403242(9)5r v d rdr rdz r r dr πΩπθπ-==-=⎰⎰⎰⎰； (4) ； (5)所属章节：第九章第四节难度：三级37．利用球面坐标计算下列三重积分： (1) ，其中2222:x y z a Ω++≤；(2) ，其中Ω是第一象限中球面2221x y z ++=与球面2224x y z ++=之间的部分；卦限？ (3) ，其中Ω是单位球体在第五象限部分；(4) 222222sin(1)d 1x y z v x y z Ω++++++⎰⎰⎰，其中Ω是0z ≤≤(5) ，其中Ω是锥面上方与上半球面ρ=2所围立体解答：(1)22220sin 44(22)8a ar r a v d d e r dr r e dr e a a ππΩθϕϕπππ===-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2)222242()22201ed sin cos sin x y z r x v d d re r dr ππΩθϕϕθϕ++=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰161622200cos sin 416e e e e d d ππθθϕϕπ--==⎰⎰； (3) 1222222322000221d sin sin sin sin sin 530y v d d r r dr d d ππππππΩπθϕϕθϕθθϕϕ=⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(4) 222321222222000ln(1)d ln(1)sin cos 11z x y z r v d d r dr x y z r ππΩθϕϕϕ+++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 220112(ln 2ln 2)sin cos 24d ππϕϕϕ=--⎰；(5)223660sin 8sin 4(2v d d r dr d πππΩθϕϕπϕϕπ===⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第四节难度：三级38．将下列三次积分化为柱面坐标或球面坐标下的三次积分，再计算积分值，并画出积分区域图：(1)222212223/21d ()d x y x yx y x y z ---++⎰⎰；(2)22100d d x y y x z +⎰；(3)33d x y z -⎰；(4)322200d )d y x x y z z ++⎰；参考答案：(1)8π35；(2)196；(3)；(4) 解答：本题图略 (1) 用柱面坐标，222222122121223/234618d ()d 4()35x y r x y rx y x y z d rdr r dz r r dr πθππ----++==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (2) 用柱面坐标，22211222000011d d sin cos sin cos 4896rx y r y x z d rdr r dz d ππθθθθθθ+===⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 用球面坐标，3234223000243243d sin cos sin 255x y z d d r dr d πππθϕϕϕπϕϕπ-===⎰⎰⎰⎰⎰；(4) 用球面坐标，32224240d )d sin y x x y z z d d dr ππθϕϕ++==⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第四节难度：三级39．选择适当坐标计算下列三重积分：(1) ，其中Ω由柱面x 2+y 2=8，椭圆锥面z =z =0所围成； (2)，其中{(,,)|11x y z z Ω=≤≤+；(3) ，其中Ω由曲面22222222,()z x y x y x y =++=-及平面z =0所围成；(4)2221d v x y z Ω⎫⎪++⎭⎰⎰⎰，其中Ω由曲面222222,33z x y z x y =+=+及平面z =1所围成；(5) ，其中Ω是两个球体2222x y z R ++≤与2222x y z Rz ++≤的公共部分解答：(1) 用柱面坐标，22202d 16(1sin )48z v d zdz d ππΩθθθπ==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 用柱面坐标，21101()d (sin cos )0x y v d rdr dz πΩθθθ+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 用柱面坐标，2142041d 238r z v d zdz ππΩθ-==⎰⎰⎰⎰⎰； (4) 用球面坐标，1224cos222200611d[]sinv d d r r drx y z rππϕπΩθϕϕ⎫=+⋅⎪++⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(ln3ln2)π=+-；(5) 用柱面坐标，两球面的公共部分在xOy面上的投影，在柱面坐标下积分区域可表示为2222,230,20:ρρρπθ-≤≤--≤≤≤≤ΩRRzRRR，所以22200Rz dv d d dzπθρρΩ=⎰⎰⎰⎰523322232248059])()[(312RdRRRRπρρρρπ=----=⎰．注：本题也可用截面法来计算，分上下两部分，22222dz zRRRD Dz v dz z dxdy dz z dxdyΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222(2)()RRRz Rz z dz z R z dzππ=-+-⎰⎰5551475940480480R R Rπππ=+=．所属章节：第九章第四节难度：三级40．利用三重积分求所给立体Ω的体积：(1)Ω由柱面x=y2和平面z=0及x+z=1围成的立体；(2)Ω由抛物面z=x2+y2和z=18–x2–y2围成的立体；(3)Ω为圆柱体r≤a cosθ内被球心在原点、半径为a的球所割下的部分解答：(1)13111220008(22)15xV dv dx dz x x dz-Ω===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（2）2223180081rrV dv d rdr dzπθπ-Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰;（3）cos333220000424(1sin)(34)39aV dv d rdr a d aππθθθθπΩ===-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.所属章节：第九章第四节难度：二级41．设Ω是Oxyz坐标系中体积为V=5的有界闭区域，Ω*为Ω在变换u =4x +4y +8z ，v =2x +7y +4z ，w =x +4y +3z下的有界闭区域，试求Ω*的体积V *解答：在变换u =4x +4y +8z ，v =2x +7y +4z ，w =x +4y +3z 下，448(,,)27420(,,)143u v w x y z ∂==∂，所以V *=20V =100．所属章节：第九章第四节难度：二级42．计算三重积分222222d d x y z ab c x y z ++≤⎰⎰⎰解答：作变换sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ρϕθρϕθρϕ===，则2sin J abc ρϕ=，222222220008d d sin 9x y z a b c x y z abc d d d abc ππθϕρϕρπ++≤==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第四节难度：三级43．计算三重积分2222222()()()()d d d x a y b z c R I x y z x y z -+-+-≤=++⎰⎰⎰解答：作变换sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ρϕθρϕθρϕ=+=+=+，则2sin J ρϕ=，222220(2sin cos 2sin sin 2cos )sin RI d d a b c a b c d ππθϕρϕθρϕθρϕρϕρ=+++++⎰⎰⎰5322244()53R R a b c ππ=+++．所属章节：第九章第四节难度：三级44．计算平面6x +3y +2z =12在第一象限中的部分的面积参考答案：14解答：平面方程，:6312,0,0D x y x y +≤≥≥，投影面积4，，7741422DA d σ==⨯=⎰⎰．所属章节：第九章第五节难度：二级45．求球面2222x y z a ++=含在圆柱面22x y ax +=内部的曲面面积解答：由对称性，设z =22:,0D x y ax y +≤≥，则dA =，cos 220442(2)a DA d a πθθπ===-⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第五节难度：二级46．计算旋转抛物面2z =x 2+y 2被柱面(x 2+y 2)2= x 2–y 2所截下部分的曲面面积解答：柱面投影曲线方程化为r =dA σθ==，442093DA d πππθθ-===-⎰．所属章节：第九章第五节难度：二级47．求双曲抛物面z =y 2–x 2夹在圆柱面x 2+y 2=1和x 2+y 2=4之间部分的曲面面积解答：曲面方程22z y x =-，投影区域为圆环域22:14D x y ≤+≤，dA σθ==，2016DA d ππθθ===⎰⎰．所属章节：第九章第五节难度：二级48．计算由球面22223(0)x y z a z ++=>和旋转抛物面222(0)x y az a +=>所围成立体的表面积参考答案：解答：上半曲面方程z =投影区域为圆环域222:2D x y a +≤，dAσθ==，221002(3DA d aπθθπ===⎰；类似，下半曲面面积，2220012)3DA rdrd d r dr aa aπθθπ===⎰⎰⎰；所以所求总的曲面面积为．所属章节：第九章第五节难度：二级49．求由圆柱面229x y+=、平面4y+3z=12和4y–3z=12所围成立体的表面积解答：该立体表面可分成两块来计算面积，一块为上下底，在两个平面上，由于对称，只计算上底面积1A，另一块为侧面，面积记为2A，整个立体的表面积122A A A=+．先计算1A，由于对应曲面方程为，，xyD为投影区域，53dA dσ==，所以15591533xy xyD DA dA dσππ===⋅=⎰⎰⎰⎰，再计算2A，由于对应曲面方程之一为y=，，xzD为投影区域，dAσ==，所以382302248xzDA dA dxπ-===⎰⎰⎰⎰，于是，总面积为122304878A A Aπππ=+=+=．所属章节：第九章第五节难度：三级50．设两个圆柱半径相等，轴相互垂直，求它们所围立体的表面积解答：设两个圆柱面的方程为222222,x y R x z R+=+=，由对称性，只要计算出立体在第一卦限部分上面部分面积1A，再乘以16即可，由于z dA ===，所以121016161616RD A A dx R ====⎰．所属章节：第九章第五节难度：二级51．设平面薄片所占的闭区域D 是由直线x +y =2，y =x 和x 轴所围成，它的面密度ρ(x )=x 2+y 2，求该薄片的质量解答：122204(,)()3y yDm x y dxdy dy x y dx ρ-==+=⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第五节难度：二级52．求占有下列区域D 的平面薄片的质量与重心(质心)：(1)D 是以(0，0)，(2，1)，(0，3)为顶点的三角形区域，ρ(x ，y )=x +y ； (2)D 是第一象限中由抛物线y =x 2与直线y =1围成的区域，ρ(x ，y )=xy ； (3)D 由心脏线r =1+sin θ所围成的区域，ρ(x ，y )=2； (4)22{(,)|(1)1},(,)|1|D x y x y x y y y ρ=+-≤=+- 解答：(1)23102(,)()6xxDm x y dxdy dx x y dy ρ-==+=⎰⎰⎰⎰，23210211(,)3()46D x x dx x xy d x x x y dxdy m y ρ-===+⎰⎰⎰⎰， 23210211(,)3()26D x x dx xy y d y y x y dxdy m y ρ-=+==⎰⎰⎰⎰，即所求平面薄片的质量为6，质心坐标为； (2)211150011(,)()26xDm x y dxdy dx xydy x x dx ρ===-=⎰⎰⎰⎰⎰， 2111226004163((),)7x D dx x ydy x x x x y dxd m x x y d ρ=-===⎰⎰⎰⎰⎰，211201(,63)4D x dx y y x y dxd y m xy y d ρ===⎰⎰⎰⎰，即所求平面薄片的质量、质心坐标分别为、；(3)1sin 22202(,)44(1sin )3Dm x y dxdy d rdr d ππθπρθθθπ+-===+=⎰⎰⎰⎰⎰，由对称性知，1(,)0Dx x x y dxdy m ρ==⎰⎰， 1sin 2242202485sin (3sin sin 1(,))396D d r d y y x y dxdy r m d ππθπθθθθθπρπ+-=+===⎰⎰⎰⎰⎰，即所求平面薄片的质量、质心坐标分别为；(4)将区域分为两个部分，记为221{(,)|(1)1,1}D x y x y y =+-≤≤，此处(,)1x y ρ=，222{(,)|(1)1,1}D x y x y y =+-≤≥，此处(,)21x y y ρ=-，故 124(,)(21)3D D D m x y dxdy dxdy y dxdy ρπ==+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，1(,)0Dx x x y dxdy m ρ==⎰⎰， 121516121111(,)(621)D D D y y x y dxdy ydxdy y y dxdy m m m ππρ==+++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，即所求平面薄片的质量、质心坐标分别为415π16π,(0,)312π16m +=++．所属章节：第九章第五节难度：二级53．求均匀平面薄片{(cos ,sin )|2sin 4sin }D r r r θθθθ=≤≤绕极轴的转动惯量解答：4sin 22262202sin 0752sin 60sin 4DI y d d r rdr d ππθθπμμσμθθμθθ====⎰⎰⎰⎰⎰ 所属章节：第九章第五节难度：二级54．求底长为a ，高为h 的等腰三角形薄片，绕其高的转动惯量(设密度为1)解答：将高放在y 轴上，以底的中心为原点建立坐标系，问题转化为求密度为1、占有区域{(,)|0,()()}22a a D x y y h h y x h y h h=≤≤--≤≤-的物体绕y 轴的转动惯量，即 33()2232302()1248ah h y h h y Da a h I x d dy x dx h y dy h σ-===-=⎰⎰⎰⎰⎰．。

经济数学（二重积分习题及答案）

经济数学（二重积分习题及答案）第九章二重积分习题 9－11．设0),(≥y x f ，试阐述二重积分(,)d Df x y σ的几何意义.解当0),(≥y x f 时，二重积分(,)d D f x y σ??表示的是以xy 平面上的有界闭区间为底，以曲面),(y x f z =为顶,母线平行于z 轴，准线为区域D 的边界的一个曲顶柱体的体积.2．试确定下列积分的符号并说明理由:221(1)ln()d d x y x y x y+<+??224(2)d x y x y*+≤??解 (1) 因1x y +<，则将此式两边平方，得220121x y xy ≤+<-<于是 0)ln(22<+y x 故221ln()d d 0.x y x y x y +<+(2)因为224d x y x y+≥??222222221122343d d d d x y x y x y x y x y x y x y x y+≤<+≤<+≤<+≤=+++当221x y +≤1，且此区域面积为π，则21d x y x y π+≤≤??当2212x y <+≤0，且此区域面积为π，则2212d 0xy x y <+≤≤??当2223x y <+≤1-，且此区域面积为π，则2223d x y x y π<+≤≤-??当2234x y <+≤且此区域面积为π,则22d x y x y <+≤≤??故 224d 00x y x y ππ+≤≤+--=3．试用二重积分的定义证明: (1) d DDS σ=??(其中D S 为D 之面积)(2) (,)d (,)d DDkf x y k f x y σσ=(k 为常数)证 (1) 由二重积分的定义,有.1(,)d lim (,)n i i ii Df x y f λσεησ→==?∑??则当1),(≡y x f 时,上式变为0 1d lim lim ni D Di DS S λλσσ→→==?==∑??.(2) 由二重积分的定义,有,1,101(,)d lim () lim () lim (,)n i iioi Dni i ioi ni i ii kf x y kf k f k f λλλσξησξησξησ→=→=→==?=?=?∑??∑∑(,)d .Dk f x y σ=??4．根据二重积分的性质,比较下列积分的大小. ()2(1) d Dx y σ+??与3()d Dx y σ+??,其中D 由x 轴、y 轴及直线1x y +=围成;(2) d Dx y σ+??与3()d Dx y σ+??，其中D 由圆2(2)x -+ 2(1)2y -=围成.解 (1) 积分区域D 如图9－1 所示.因在所围区域内有10≤+≤y x ,所以 32)()(y x y x +≥+故 ()23d ()d D D x y x y σσ+≥+. 图9－1 (2) 积分区域D 如图9－2 所示.因圆22(2)(1)2x y -+-=的参数方程为21x y θθ?=+??=+??则3cos )32sin()4x y πθθθ+=+=++ 图9－2 min ()321,1,x y x y +=-=+≥而且于是32)()(y x y x +≤+故 ()2d ()d .D D x y x y σσ+≤+5．利用二重积分的性质,估计下列积分的值.(1) ()d DI xy x y σ=+??，:01,01D x y ≤≤≤≤22(2) sin sin d DI x y σ=??，:0,0D x y ππ≤≤≤≤(3) (1)d DI x y σ=++??，:01,02D x y ≤≤≤≤22(4) (49)d DI x y σ=++??，22:4D x y +≤ 解 (1) 因01,01x y ≤≤??≤≤?则0102xy x y ≤≤??≤+≤?故00d 2d 2d 2 2.D DDDI S σσσ=≤≤===(2) 因0,0x y ππ≤≤??≤≤?则0sin 10sin 1x y ≤≤??≤≤?于是 220sin sin 1x y ≤≤ 故200d d .D DDI S σσπ=≤≤==（3）因0102x y ≤≤??≤≤?，则411≤++≤y x故d (1)d 4d DDDx y σσσ≤++≤即28.I ≤≤(4) 因4022≤+≤y x ,则22229494()925x y x y ≤++≤++≤于是99d 25d 25D DDDS I S σσ=≤≤=而 24D S r ππ== 故36100.I ππ≤≤习题 9－21.计算下列二重积分：22(1) ()d ,Dx y σ+??其中D 是矩形区域：1,1x y ≤≤; 22(2) ()d ,Dx y x σ+-??其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成; 2(3) d ,Dxy σ??其中D 2y x y x ==由抛物线和直线所围成;211(4) d .y x ?解 (1)9－3 所示.11222211()d d ()d Dx y x x y y σ--+=+12128(2)d .33x x -=+=? 图9－ 3(2)积分区域D 如图9－4所示.22222102 ()d d ()d yyDx y x y x y x xσ+-=+-232019313()2486y y dy =-=?图9－4(3)积分区域D 如图9－5所示.2112232001 d d d ()d 3xx D xxy x xy y x y xx σ== 1470111()d 3340x x x =-=?图9－5(4)积分区域D 如图9－6所示.2211110110sin d d d sin d sin1cos1.x x y x x yx x x x +===-?图9－62．积分区域}{(,),D x y a x b c y d =≤≤≤≤，且被积函数为()(),f x g y ?求证：()()d d ()d ()dbdacDf xg y x y f x x g y y ?=??.证积分区域D 如图9－7所示.()()d d d ()()d b dacDf xg y x y x f x g y y=??()[()d ]d ()d ()d ()d ()d b dacd bcab dacf xg y y xg y y f x xf x xg y y ==?=??图9－73．设(,)f x y 在D 上连续且D 由y x y a x b b a ===>、与（）围成，求证：d (,)d d (,)d .bx b baa a y x f x y y y f x y x =?证积分区域D 如图9－8 所示. 交换等式左边二次积分的积分顺序有d (,)d d (,)d bx b baaayx f x y y y f x y x=?图9－84．下列条件下，将(,)d DI f x y σ=??按不同积分顺序化为二次积分：2(1) 4D y x y x ==由与所围成；(2) D x 由轴与半圆周()2220x y r y +=≥所围成. 解 (1) 由24y x =和y x =,得交点为(0,0),(4,4).积分区域D 如图9－9 所示.于是将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得40d (,)d xI x f x y y=??将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得24104d (,)d .y y I y f x y x =??(2)积分区域D 如图9－10 所示. 图9－9 将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得d (,)d rrI x f x y y-=?将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得d (,)d rI y f x y x=? 图9－105.更换下列二次积分的积分顺序：10(1) d (,)d y y f x y x10(2) d (,)d yy f x y x1(3) d (,)d e ln xx f x y y10(4) d (,)d y f x y x2113(3)2001(5) d (,)d d (,)d x x x f x y y x f x y y-+??解 (1)因为原积分区域{(,)01,D x y y y x =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－11 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故2110d (,)d d (,)d .xyxy f x y x x f x y y =?(2) 因为原积分区域{}(,)01,0D x y y x y =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－12 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域. 故111d (,)d d (,)d .y oxy f x y x x f x y y =(3)因为原积分区域{}(,)1,0ln D x y x e y x=≤≤≤≤为X 型区域, 其图形如图9－13 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－11 图9－12故ln 11d (,)d d (,)d .x exeex f x y y y f x y x =??（4）因为原积分区域{(,)01,D x y y x =≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－14 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故1101d (,)d d (,)d .y f x y x x f x y y -=??图9－13 图9－14（5）因为原积分区域{}2121,(,)01,0D D D D x y x y x =+=≤≤≤≤其中21(,)13,032D x y x y x ??=≤≤≤≤??（－）为X 型区域, 其图形如图9－15 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－15 图9－16 2113(3)20011320d (,)d d (,)d d (,)d .故x x y x f x y y x f x y yy f x y x --+=??6．求由平面0011x y x y ====、、、所围成的柱体被平面0z =与2x + 3y + z = 6所截得的立体的体积.解该曲顶柱体如图9－16所示.习题 9－31.作适当变换，计算下列二重积分：()22(1) ()sin d d Dx y x y x y-+??.D 是顶点为(,0)(2,)(,2)πππππ、、、(0,)π的四边形;22(2) d d ,Dx y x y ??1240D xy xy y x y x x ====>由、、和所围成且、0y >;(3) d d ,yx yDex y +?? D 由x 轴，y 轴和直线1x y +=所围成; ()()1100623d d 7d 623d .2DV x y x yx x y y =--=--=2222(4) ()d d ,Dy x x y a b +2222:1y x D a b +≤.解 (1) 积分区域D 如图9－17所示.令x y ux y v -=??+=?，解得()()1212x u v y v u ?=+=-?? 于是原积分区域D 的边界x y π+=、3x y π+=、x y π-=、x y π-=-与图9－17 新积分区域D’的边界3v π=、v π=、u π=、u π=-相对应. 其积分区域D’的图形如图9－18所示.因为11(,)12211(,)222xx x y u v J yy u v u v====-??故()()22sin d d Dx y x y x y -+??22'322321sin d d 21d sin d 231sin 2324D u v u vu u v v u v v ππππππππ-=?==?- ? ? ? ?- 图9－183431().3223ππππ=?-=(2) 积分区域D 如图9－19所示.令 x y u yv x ==??，解得x y ?==?则新积分区域D’由u = 1,u = 2,v = 1,v = 4围成. 其积分区域D’的图形如图9－20所示. 图9－19 因为(,)(,)x xx y u v J y yu v u v ==2)12u v v -==22'2'1d d d d 211 d d 2DD D u x y x y uv u v v v u u v v=??=故图9－2024211117d d ln 2.23u u v v ==?? （3）积分区域D 如图9－21所示.令x y u y v +=??=?，解得x u vy v =-??=?则新积分区域D’由u = v 、v = 0和u = 1围成. 图9－21 其积分区域D’的图形如图9－22所示.因为11(,)101(,)xxx y u v J y y u v u v-====图9－22故 10'd d 1d d d dy vv x yuuuoDD ex y e u v u ev +=??=()1011d 2e u e u -=-=.（4）积分区域D 如图9－23所示.令cos sin x ar y br θθ=??=?则新积分区域为(){}',02,01D r r θθπ=≤≤≤≤ 图9－23 因为(,)(,)xxx y r J yyr r θθθ==cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-==22222'21300 ()d d d d 1d d .2DD y x x y r abr r abab r r ab πθθπ+===故2.用变量替换，求下列区域D 的面积：(1)334851500.D xy xy xy xy x y ====>>由曲线、、和所围成且、(2)D 由曲线333344y x y x x y x y ====、、、所围成且00.x y ≥≥、解 (1) 令3u xy v xy =??=?，解得x y ==则新积分区域D’由 u = 4、u = 8、v = 5、v = 15围成.因为(,)(,)x xx y u v J y yu v u v ==12v==81515545' d d 111 d d d d 4ln 2ln 3.222D DD S x yu v u v v v v ====?=故图9－24(2) 令33y u x x v y ?==?，解得x y ?==??则新积分区域D’由u = 1、u = 4、v = 1和v = 4围成. 其积分区域D’的图形如图9－25所示.因为(,)(,)xx y u v J yyu v u v ==图9－251113988883293111888831188()81388u v u v uv u v v u -----------= =--故d d D DS x y=??()33442211342111d d d ()d 881 1d .88D uv u v u uv vuu-====’100D x y x y +===3.设由直线、与所围成，求证：1cos()d d sin1.2D x y x y x y -=+??证积分区域D 如图9－26所示.令x y vx y u +=??-=?，解得()()1212x v u y v u ?=+=-??则新积分区域'D 由v = 1,v = -u , 及v = u 围成. 图9－26因为11(,)12211(,)222xx x y u v J yy u v u v====-??'1cosd d cos d d 2DD x y u x y u v x y v -=?+故图9－27 101d cos d 2vv uv uv -=??101[s i n ]d 21s i n 1d s i n 1.2v v u v v v v v =-==4．选取适当变换，求证：()()11d d d , : 1.Df x y x y f u u D x y -+=+≤??证积分区域D 如图9－28所示.令x y ux y v +=??-=?, 解得()()1212x u v y u v ?=+=-??则新积分区域'D 由u = 1, u = -1,v = 1及v = -1所围成其积分区域D’的图形如图9－29所示. 图9－28 因为 11(,)12211(,)222x x x y u v J y y u v u v ====--?? 故'1()d d ()d d2DD f x y x y f u u v +=-??1111111d ()d ()d .2u f u v f u u ---==习题 9－41.画出下列积分区域D 并把积分(),d d Df x y x y ??化成极坐标形式：()22222(1) 0 (2) 2x y a a x y x +≤>+≤()2222(3)0 (4) 0101a x yb a b y x x ≤+≤<<≤≤-≤≤且解积分区域D 如图9－30所示.（1）令cos sin x r y r θθ=??=?则积分区域D 被夹在0θ=与2θπ=之间，且远近极点的边界方程分别为0r a r ==与,故图9－30()20,d d d (cos ,sin )d .aDf x y x y f r r r r πθθθ=(2) 积分区域D 如图9－31所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为r=2cos θ与r = 0.由r ≥0和2cos 0θ≥得22ππθ-≤≤图9－31 则D 被夹在22ππθθ==-和之间, 故2cos 202(,)d d d (cos ,sin )d Df x y x y f r r r rπθπθθθ-=??.(3) 积分区域D 如图9－32所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为r a r b ==与，图9－32 而D 被夹在02θθπ==与之间, 故20(,)d d d (cos ,sin )d .baDf x y x y f r r r r πθθθ=??(4) 积分区域D 如图9－33所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为图9－331cos sin r θθ=+0r =与，而D 被夹在02πθθ==和之间，故12cos sin 0(,)d d d (cos ,sin )d .Df x y x y f r r r r πθθθθθ+=2．将下列二次积分化为极坐标形式：2222001122222000(1) d )d (2) d (3) d ()d (4) d )d aaxa xx x y y x y x x y y yx y x-+++解 (1)积分区域D 如图9－34所示. 令cossin x ry rθ==则y2cos,r aθ=而D被夹在2πθθ==与之间, 故图9－3422cos22320000d)d d d.a ax x y y r r πθθ+=(2) 积分区域D如图9－35所示. 令cossinx ry rθθ==则0x a x==与的极坐标方程分别为图9－26 cosarθ=与0;r=0y x y==与的方程分别为04π==与,故sec240000d d d.a ax y r rπθθ=(3) 积分区域D如图9－36所示. 令cossinx ry rθθ==2y x y x==与的极坐标方程分别为图9－36 tan sec rθθ=4πθ=与,故211tan sec2224000d()d d d.xxx x y y rπθθθ-+=(4) 积分区域D如图9－37所示.令cossiny rθθ==则222x y a+=上方程为, r a=而D被夹在2πθθ==与之间, 故22320000d)d d d.a ay x y x r r π+=图9－37 3．用极坐标计算下列各题：22(1) d,x yDeσ+D由圆周224x y+=所围成；(2) ,Dσ{}2222(,);D x y a x y b=≤+≤(3) arctan d,Dyxσ2222D x y x y y y x+=+===由、、和所围成的第I象限部分；224 , :.DD x y Rx σ+≤（）解 (1) 积分区域D 如图9－38所示.令cos sin x r y r θθ=??=?{}(,)02,02D r r θθπ=≤≤≤≤则,故222220d d d x y r De e r rσθ+=图9－382224012d (1)2re r e ππ==-?.(2) 积分区域D 如图9－39所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(){},,02D r a r b θθπ=<<≤≤则,故图9－39223333d d 22().33baDr rb a b a πσθππ=-=?=?-?(3) 积分区域D 如图9－40所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),12,04D r r πθθ??=≤≤≤≤??则,故图9－40 2224401013arctan d d d d d .64D y r r r r x ππσθθθθπ===(4) 积分区域D 如图9－41所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),0cos ,22D r r R ππθθθ??=≤≤-≤≤??则, 故图9－41 ()cos 202cos 20322220 d d 2d d cos 2 d 03R DR r rr rR R r πθππθπσθθθθ-==??=--33332024 (sin )d ()333R R R πθθπ=--=-?.4．选择适当的坐标系，计算下列各题：()22(1) ()d d 30Dx y x y D y x y x a y a y a a +==+==>??，由、、、所围成;222(2) d d :,00;D y x y D x y a x y +=≥≥??，、 (3) d d 212D x y x y D y x y x x y x y ====??，由、、与围成 ()2(4) d d :1,2,,2.Dx xy x y D x y x y y x y x ++=+===??，解 (1) 令,y x u y v -=??=?得变换式x v uy v =-??=?则新积分区域D’由u = 0、u = a 、v = a 及v = 3a 所围成. D ’如图9－42所示.因为11(,)101(,)x y J u v -?===-?()22222'322032230 ()d d 1d d d (22)d 2(1882)d 14.3DD aaa x y x y v u u u vu v vu u va a u au u u a ??+=-+?-??=-+=-+-=故图9－42（2）积分区域D 如图9－43所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),0,02D r r a πθθ??=≤≤≤≤??则，故32d d d sin d .3aDa y x y r r r πθθ==图9－43（3）令y u xxy v ?==?.得变换式x y ?==?则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v =1、 v = 2所围成.D’如图9－44所示.因为()(,)1,2x y J u v u===-图9－44故'2211113d d d d d d ln 2.224DD v xy x y v u v u v u u =-=?=（4）令x y u y v x +==??，得变换式11u x vuv y v ?=??+??=?+? 则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v = 1、v =2所围成. D’如图9－44所示.因为 ()()()()()222111,,111uv v x y uJ v u u v v v v -++?===+++()'22()d d d d 11D D u ux xy x y u u v v v +=??++故 () 322233111525d d d .72961u u v u u v ===+ 5．试求区域D 的面积，其中D 为()()12,.r ?θ?θαθβ≤≤≤≤解积分区域D 如图9－45所示.21()()d d d d .D DS x y r r βθαθθ==图9－45习题 9－51．计算下列广义二重积分：{}()20(1) d d . (,),0 (2)d d x yy Dx yxe x y D x y y x x e x y-+-≤≤=≥≥解（1）积分区域D 如图9－46所示.2200 d d d d 1 d .2y y xDx xe x y x xe yxe x +∞+∞--+∞-===故（2）积分区域D 如图9－47所示. 图9－46 ()()020d d d d 1 d .2x yx y xDx e x y x e ye x +∞+∞-+-++∞-===故2．用极坐标计算下列广义积分：(){}2222()()22221224(1) d d (2) cos()d d d d (3) ,1.()x y x y De x y e x y x y x y D x y xy x y +∞+∞-+-∞-∞+∞+∞-+-∞-∞+=+≤+，图9－47解 (1)cos sin x r y r θθ=??=?令(){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故22222()1d d d d d .2x y re x y e r r ππθθπ+∞+∞+∞-+--∞-∞===(2)cos sin x r y r θθ=??=?令(){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故2222()222200222020cos()d d d cos d 1 sin cos d 041 d .42x y r r e x y x ye r r re r r πππθθπθ+∞+∞-+-∞-∞+∞--+=+∞=-==??(3) 积分区域D 如图9－48所示.cos sin x r y r θθ=??=?令(){},01,02D r r θθπ=≤≤≤≤则，故图9－4821210224d d 24 d d d 33()Dx yr r x y ππθθπ=?==+??.3.计算下列广义积分：()()224452(1) d (2)1d x x x ex x x e x+∞+∞-++--∞-∞++?解()()22445214(1) d d x x x ex ex+∞+∞-++-+--∞-∞=()2221441d(21)2121d ()212x t e e x t x e e t e +∞-+--∞+∞---∞-=+=+=??由普阿松积分()222222222212332 (2) 1d d d d d ,d ,d 0.x x x x x x x x x e x x e x xe x e x I x e x I xe x I exI I +∞+∞+∞+∞-----∞-∞-∞-∞+∞+∞+∞----∞-∞-∞++=++=====?。

高数二重积分习题解答

f (x, y)dx
2 dy
4y2 f (x, y)dx ；
0
0
0
1 1y2
1
0
(5)
0
y1
1
dy f (x, y)dx dy
1y 2 f (x, y)dx ；
1 0
0
0
(6)
1
x2
3
3 x
dx f (x, y)dy dx 2 f (x, y)dy
0
0
1
0
所属章节：第九章第二节
(5)
sin( x )d
2
dy
y3
sin(
x
)dx
2
(
y
cos1
y
cos
y
2)dy
3cos1 sin1 sin 4 ．
D
y
1
y
y
1
2
所属章节：第九章第二节
难度：二级
12．画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定 f(x，y)在积分区域上连续)：
(1)
1
dy
y f (x, y)dx ；
1
4
的面积为
1 4
，在其中1
sin( x2
y2)
1
e4
，而等号不恒成
1
立，故 π I πe4 ．
4
4
所属章节：第九章第一节
难度：二级
7．设
f(x，y)是连续函数，试求极限： lim r 0
1 πr 2
x2 y2 r2
f ( x,
y)d
解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得
lim
D D1
D
D1

二重积分习题答案精编WORD版

二重积分习题答案精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】第八章二重积分习题答案练习题8.11.设D ：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义计算d Dx y解：d Dx y =20d πθ⎰⎰=22201()2r d a r πθ=--⎰⎰2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =⎰⎰ 解：2dxdy =⎰⎰22126d rdr πθπ=⎰⎰练习题8.21.2d Dx σ⎰⎰其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.解：2d Dx σ⎰⎰=22222301001515cos [cos2]84d r dr d d πππθθθθθπ=+=⎰⎰⎰⎰ 2计算二重积分σd yx D)341(--⎰⎰，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。

解：σd yx D)341(--⎰⎰= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--⎰⎰⎰=222(1)84xdx --=⎰3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.解：22242202320(42)28(2)|33x x xDA dxdy dx dy x x x x -===-=-=⎰⎰⎰⎰⎰4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积解： 222222(4)(4)48DV x y d d r rdr d ππσθθπ=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰习题八一．判断题1.d Dσ⎰⎰等于平面区域D 的面积.（√）2.二重积分 100f(x,y)d ydy x ⎰⎰交换积分次序后为11f(x,y)d xdx x ⎰⎰ （×）二．填空题1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =⎰⎰12π12π.2.二重积分d d Dxy x y ⎰⎰的值为112，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.1123.二重积分10(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为11(,)xdx f x y dy⎰⎰. 11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则⎰⎰（sin x x -）d d x y =0.05.交换积分次序1d (,)y f x y dx ⎰=211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy+⎰⎰⎰⎰.211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。

二重积分习题解答

二重积分习题解答(一) 选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选出正确的选项） 1．12200I dy x y dx =⎰，则交换积分次序后得 C 。

（A）1220I dy x y dy =⎰；（B）12203I x y dy =⎰；（C ）2112203x I dx x y dx -=⎰⎰；（D ）2112203x I dx x y dy +=⎰⎰。

2．设积分域为{(,)|11,11}D x y x y =-≤≤-≤≤，则x yDedxdy +=⎰⎰ D. .(A)2)1(-e , (B)21)(2--e e , (C) 42)1(-e , (D) 21)(--e e ;3. 设积分域D 由直线,2,2y x x y x =+==围成，则(,)D f x y dxdy =⎰⎰ C(A)120(,)xx dx f x y dy -⎰⎰, (B) 21(,)yydyf x y dx -⎰⎰, (C) 212(,)xxdx f x y dy -⎰⎰, (D) 1(,)xdx f x y dy ⎰⎰.;4．22x y DI e dxdy --=⎰⎰，D :221x y +≤,化为极坐标形式是 D 。

（A ）221[]r I e dr d πθ-=⎰⎰；（B ）2124[]r I e dr d πθ-=⎰⎰；（C ）21202[]r I e rdr d πθ-=⎰⎰；（D ）221[]r I e rdr d πθ-=⎰⎰。

5. 2DI xy d σ=⎰⎰, 其中22:1D x y +≤的第一象限部分,则 C 。

（A）120I dy dy =⎰；（B ）1120I dx xy dy =⎰⎰；（C）12I dx dy =⎰；（D ）1232cos sin I d r dr πθθθ=⎰⎰。

填空题1.交换二次积分次序，1(,)xI f x y dy =⎰＝。

故211(,)(,)yxy I dx f x y dy dy f x y dx ==⎰⎰⎰2．设积分域D 由11,22,x y -≤≤-≤≤围成，则3(2)Dx y dxdy +=⎰⎰ 0 3．设积分域为22{(,)|14,}D x y x y y x =≤+≤≥，则积分22()Df xy dxdy +=⎰⎰在极坐标下的二次积分为。

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6
b a
证明
∫ dx∫
证
x
a
( x − y)
x
n−2
1 b f ( y)dy = (b − y)n−1 f ( y)dy. n − 1∫a
b
∫
b
a
dx∫ ( x − y)n−2 f ( y)dy
a b b a y
y= x
D
= ∫ dy∫ ( x − y)n−2 f ( y)dx
1 ( x − y)n−1 ]b = ∫ f ( y)dy[ y a n −1 1 b (b − y)n−1 f ( y)dy. = n − 1∫a
∫
4. 计算二重积分
(1) I = ∫∫ sgn( y − x )dxdy, D : −1 ≤ x ≤1， ≤ y ≤1 0 D
2
(2) I = ∫∫ ( x2 + y2 − 2xy + 2) dxdy, 其中为圆域其中D
D
在第一象限部分. 在第一象限部分解: (1) 作辅助线 y = x 把与分成把与D
x2 + y2 = 1
x+ y =1
∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫0 dθ ∫
2
π
1
D
1 sin θ + cosθ
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
8
计算 ∫∫ ( x + y )dxdy，其 D 为由圆
2 2 D
x2 + y2 = 2 y， x2 + y2 = 4 y及直线 x − 3y = 0，所围成的平面闭区域. y − 3x = 0 所围成的平面闭区域 π 解 y − 3x = 0 ⇒ θ 2 =
3
x 2 + y 2 = 4 y ⇒ r = 4 sinθ
6 x 2 + y 2 = 2 y ⇒ r = 2 sinθ
x − 3y = 0 ⇒ θ1 =
π
∫∫ ( x + y )dxdy = ∫ dθ∫
2 2 D
π 6
π 3
π r 2 ⋅ rdr = 15( − 3 ). 2 sin θ 2
4 sin θ
y
D
o
1x
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y = −x,将D 分为 D1, D2, 利用对称性 , 得
+ ∫∫ xye
D 1
x2 + y2
dxdy
+ ∫∫
D2
xyex
2
+y
2
y y=x o D2 1 x D1 −1 y = −x
dxdy
=∫
1 2 x x d x dy + 0 + 0 −1 −1
x
3. 计算二重积分 (1) D为圆域 (2) D由直线
I = ∫∫ (x + xye
2 D
x2 + y2
) dxdy , 其中:
围成 .
x2 + y2
解: (1) 利用对称性.
I = ∫∫ x d x d y + ∫∫ xye
2 D
D
d xd y
1 2 2 = ∫∫ ( x + y ) dxdy + 0 2 D 1 3 π 1 2π = ∫ dθ ∫ r d r = 0 4 2 0
2
D1, D2两部分则两部分,
I ∫∫ dxdy − ∫∫ dxdy
D 1 D2
1 D 1 −1
y
o D2
1x
= ∫ d x ∫ 2 dy − ∫ d x∫
−1 x
−1
1
1
1
x2
0
2 dy = 3
(2) 提示提示:
I = ∫∫ ( x + y − 2xy + 2) dxdy
2 2 D
y 1
作辅助线 y = x 将D 分成
D , D2 两部分 1
= 2∫∫
D2
(x − y)dxdy + 2∫∫ dxdy
D
D 1 D2 o 1 x
y=x
2 π =L= ( 2 −1) + 3 2 说明: 说明若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算
( x + y )dxdy , D : x 2 + y 2 ≤ 1 ∫∫
D
积分区域D关于关于x 轴均对称轴均对称, 分析积分区域关于、y轴均对称被积函数
f ( x , y ) = x + y 关于均是偶函数，利用对称性关于x,y均是偶函数均是偶函数，
去掉绝对值符号. 去掉绝对值符号解采用直角坐标 ∫∫ ( x + y )dxdy = 4 ∫ dx ∫
D
1
1− x 2 0
0
( x + y )dy = 8 3
在利用对称性计算二重积分时，【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域关于坐标轴的对称性，关于坐标轴的对称性，而忽视了被积函数应具有相应的奇偶性. 偶性
1 求 ∫∫ x e
D
2 − y2
dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
(0,1)为顶点的三角形. 为顶点的三角形.
解 Q∫ e
− y2
dy 无法用初等函数表示
∴ 积分时必须考虑次序
∫∫ x e
D
2 − y2
dxdy = ∫ dy ∫ x e
0 0
1
y
2 − y2
dx
=∫ e
0
1
−y
2
2 y y 2 1 −y ⋅ dy = ∫ e ⋅ dy = (1 − ). 0 6 e 3 6
b
a
a
b
7
写出积分 ∫∫ f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D = {( x, y) | 1 − x ≤ y ≤ 1 − x2 , 0 ≤ x ≤ 1}.
解
x = r cosθ 在极坐标系下 y = r sinθ 所以圆方程为 r = 1, 1 , 直线方程为 r = sinθ + cosθ
1
2
3
2
2
计算积分 I = ∫ dy∫ e dx + ∫ dy∫ e dx.
1 4 1 2 1 2
1 2
y
y x
1
y
y x
y
解 Q ∫ e dx 不能用初等函数表示
先改变积分次序. ∴先改变积分次序.
原式 = I = 1dx
2
y x
y= x
y = x2
∫ ∫
1
x
2
x
e dy
y x
=∫
1
1 2
3 1 x (e − e )dx = e − e. 8 2