2020上海浦东新区二模高三数学试卷及答案解析
2020届浦东新区高考数学二模(高清打印版)
2 a 2 + b 2 n n1⎩ ⎩2 精品文档，欢迎下载！浦东新区 2019 学年度第二学期期中教学质量监测2020.05一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或 5 分，否则一律得零分．1．设全集U = {0,1,2 }，集合 A = {0 ,1}，则C U A = ．2. 某次考试，5 名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为 ．3. 若函数 f (x ) = x 2，则 f -1(1) = ．4. 若 1- i 是 关 于 x 的 方 程 p + q = ．x 2 + px + q = 0 的 一 个 根 （ 其 中 i 为 虚 数 单 位 ， p ,q ∈ R ）， 则5. 若两个球的表面积之比为1: 4 则这两个球的体积之比为．⎧x = t -1 6. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨y = t(t 为参数) ，圆 O 的参数方程为⎧x = cos θ⎨y = sin θ (θ为参数)，则直线l 与圆O 的位置关系是 ．7. 若二项式(1 + 2x )4展开式的第4 项的值为4 ，则lim (x + x 2+ x 3 + + xn)=．n →∞8. 已知双曲线的渐近线方程为 y = ± x ，且右焦点与抛物线 y 2 = 4x 的焦点重合，则这个双曲线的方程是 ．9. 从 m (m ∈ N *，且m ≥ 4 )个男生、6 个女生中任选 2 个人当发言人，假设事件 A 表示选出的2 个人性 别相同，事件 B 表示选出的2 个人性别不同．如果 A 的概率和 B 的概率相等，则m = ． 10. 已知函数 f (x ) = x 2 + alog (x 2 + 2)+ a - 2 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为{1} ．11. 如图，在∆ABC 中， ∠BAC = π， D 为 AB 中点， P 为CD 上一点，且满足 AP = t AC + 1AB ，若∆ABC 的面积为3 3 ，则 233的最小值为．12. 已知数列 {a },{b } 满足 a = b = 1 ， 对任何正整数 n 均有 a= a + b + ， nn11n +1n n b = a + b -，设c = 3n⎛ 1 + 1 ⎫，则数列{c } 的前2020 项之和为 .n +1nnna b ⎪ n ⎝ n n ⎭二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．AP a 2 + b2n n⎨⎩8 813.若x 、y 满足⎧x -y ≥ 0⎪x +y ≤1 ，则目标函数f= 2x +y 的最大值为( )⎪y ≥ 0A． 1 B． 2 C． 3 D. 414.如图，正方体A1B1C1D1 -ABCD 中，E 、F 分别为棱A1 A 、BC 上的点，在平面ADD1 A1 内且与平面DEF 平行的直线( )A．有一条B．有二条C．有无数条D. 不存在15.已知函数f (x)=cos x ⋅cos x .给出下列结论：① f (x)是周期函数；② 函数f (x)图像的对称中心（kπ③ 若f (x1 )=f (x2 )，则x1 +x2 =kπ(k ∈Z )；π+ ,0) (k2∈Z ) ；④ 不等式sin 2πx ⋅sin 2πx >cos 2πx ⋅cos 2πx 的解集为⎧x k +1<x <k +5,k ∈Z⎫.⎨⎬⎩⎭则正确结论的序号是( )A．① ②B．② ③ ④C．① ③ ④D. ① ② ④16.设集合S ={1, 2,3,..., 2020}，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径. 那么集合S 所有直径为71 的子集的元素个数之和为( )A．71⋅1949 B．270 ⋅1949C．270 ⋅37⋅1949D. 270 ⋅72⋅1949三、解答题（本大题满分76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分7 分，第2 小题满分7 分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2 的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120 得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P是弧EC上的一点，且BP ⊥BE ，求异面直线FP与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）3 10 、5 18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分6 分，第 2 小题满分 8 分.已知锐角α 、β 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于 P 、Q 两点，2 若 P 、Q 两点的横坐标分别为 ． 10 5（1） 求cos ( α + β )的大小；（2） 在∆ABC 中， a 、b 、c 为三个内角 A 、B 、C 对应的边长，若已知角C = α + β ，tan A = 3，且 4 a 2 = λbc + c 2 ，求λ 的值．19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3 万元至6 万 元（包括3 万元和6 万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款 f ( x )（万元）随企业原纳税额 x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额 x （万元）的50% ．经测算政府 决定采用函数模型 f ( x ) = x - b+ 4 （其中b 为参数）作为补助款发放方案．4 x（1） 判断使用参数b = 12 是否满足条件，并说明理由； （2） 求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围．2 a19 - a 20．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分.x 2 2在平面直角坐标系 xOy 中， F 1 ， F 2 分别是椭圆Γ： 2 + y = 1(a > 0) 的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ，且 AF 1 + （1） 求椭圆Γ 的方程；AF 2 = 2 .（2） 已知直线l 经过椭圆的右焦点 F 2 ，P ,Q 是椭圆上两点，四边形 ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3） 已知直线l 不经过椭圆的右焦点 F 2 ，直线 AF 2 ， l ， BF 2 的斜率依次成等差数列，求直线l 在 y轴上截距的取值范围.21．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.若数列{a n } 对任意连续三项 a i , a i +1, a i +2 ，均有(a i - a i +2 )(a i +2 - a i +1 ) > 0，则称该数列为“跳跃数列”.（1） 判断下列两个数列是否是跳跃数列：① 等差数列：1,2 ,3,4 ,5, ；② 等比数列：1,- 1 2 , 1 ,- 1 4 8 , 1； 16 （2） 若数列{a }满足对任何正整数 n ，均有a = a a n (a > 0) .证明：数列{a } 是跳跃数列的充分必要 n条件是0 < a 1 < 1.n +111n2（3） 跳跃数列{a n } 满足对任意正整数n 均有a n +1 =n ，求首项a 1的取值范围. 521⎩ ⎩2 浦东新区 2019 学年度第二学期期中教学质量监测高三数学答案及评分细则2020.05一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或 5 分，否则一律得零分．1．设全集U = {0,1,2 }，集合 A = {0 ,1}，则C U A = {2 } ．2. 某次考试，5 名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为 100 ．3. 若函数 f (x ) = x 2，则 f -1(1) = 1．4. 若1- i 是关于 x 的方程 x 2 + px + q = 0 的一个根（ 其中 i 为虚数单位， p ,q ∈ R ）， 则 p + q = 0．1: 4 则这两个球的体积之比为 1: 8．⎧x = t -16. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨y = t(t 为参数) ，圆 O 的参数方程为⎧x = cos θ⎨y = sin θ (θ为参数)，则直线l 与圆O 的位置关系是 相交 ．17. 若二项式(1 + 2x )4展开式的第4 项的值为4 ，则lim (x + x 2 + x 3 + + xn)= 5 ．n →∞8. 已知双曲线的渐近线方程为 y = ± x ，且右焦点与抛物线 y 2 = 4x 的焦点重合，则这个双曲线的方程是2x 2 - 2 y 2 = 1.9. 从 m (m ∈ N *，且m ≥ 4 )个男生、6 个女生中任选 2 个人当发言人，假设事件 A 表示选出的2 个人性 别相同，事件 B 表示选出的2 个人性别不同．如果 A 的概率和 B 的概率相等，则 m = 10 ． 10. 已知函数 f (x ) = x 2 + alog (x 2 + 2)+ a - 2 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为{1} ．11. 如图，在∆ABC 中， ∠BAC = π ， D 为 AB 中点， P 为CD 上一点，且满足 AP = t AC + 1AB ，若∆ABC 的面积为3 3 233的最小值为12. 已知数列 {a },{b } 满足 a = b = 1 ， 对任何正整数 n 均有 a= a + b +，nn11n +1n nb = a + b -，设c = 3n⎛ 1 + 1 ⎫ ，则数列{c } 的前2020 项之和为 .n +1 n n n a b ⎪ n 【解】a + b ⎝ n n ⎭= 2(a +b ) ⇒ a + b = 2n，n +1n +1 n n n na b = 2a b ⇒ a + b = 2n -1，c = 2⋅3n = 3n +1 - 3n ， S = 32021 - 3n +1 n +1n nnnn20203 3 ⎨⎩ 88二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相 应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．⎧x - y ≥ 0 13. 若 x 、 y 满足 ⎪x + y ≤ 1 ， 则目标函数 f = 2x + y 的最大值为( B ) ⎪y ≥ 0A ． 1B ． 2C ． 3D . 414. 如图，正方体 A 1B 1C 1D 1 - ABCD 中， E 、 F 分别为棱 A 1 A 、BC 上的点，在平面 ADD 1 A 1 内且与平面 DEF 平行的直线( C )A ． 有 一 条B ． 有 二 条C ． 有 无 数 条D . 不 存 在16. 已知函数 f (x ) = cos x ⋅ cos x .给出下列结论：① f (x )是周期函数； ② 函数 f (x )图像的对称中心（k π ③ 若 f (x 1 ) = f (x 2 )，则 x 1 + x 2 = k π ( k ∈ Z )； π+ ,0) (k 2∈ Z ) ；④ 不等式 sin 2πx ⋅ sin 2πx > cos 2πx ⋅ cos 2πx 的解集为⎧ x k + 1 < x < k + 5 ,k ∈ Z ⎫.⎨ ⎬ ⎩⎭则正确结论的序号是 ( D )A ． ① ②B ． ② ③ ④C ． ① ③ ④D . ① ② ④16. 设集合 S = {1, 2,3,..., 2020}，设集合 A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合 A 的直径. 那么集合S 所有直径为71 的子集的元素个数之和为( C )A ． 71⋅1949B ． 270⋅1949C ． 270⋅37⋅1949D . 270⋅72⋅1949三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为 2 的正方形 ABCD (及其内部)以 AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．（1） 求此几何体的体积；（2） 设 P 是弧 EC 上的一点，且 BP ⊥ BE ，求异面直线 FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】（1）因为 S= 1 θr 2 = 1 ⨯ 2π ⨯ 22 = 4π． ...... （4 分）扇形EBC2 23 3 所以，V = S ⋅ h = 4π ⨯ 2 = 8π．………（7 分）3 3（2）如图所示，以点 B 为坐标原点建立空间直角坐标系．则 A ( 0 ,0 ,2 )， F ( 2 ,0 ,2 )， P ( 0 ,2 ,0 )， C (-1, ,0 )．所以， FP = ( - 2 ,2 ,- 2 )， AC = (-1, ,- 2)（11 分）设异面直线 FP 与CA 所成的角为α ，则zcos α = =(- 2)⨯(-1)+ 2 (- 2)2 + 22 + (- 2)2 ⋅ .…………（13 分）xy3 10 、5 22 222 2-⨯ 3 + (- 2)⨯(- 2)(-1)2 + ( 3)2 + (- 2)2FP ⋅ ACFP ⋅AC4所以，异面直线 FP 与CA 所成角为α = arccos6 + 42 .…………（14 分） 18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.已知锐角α 、β 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于 P 、Q 两点，2 若 P 、Q 两点的横坐标分别为 ． 10 5（1） 求cos ( α + β )的大小；（2） 在∆ABC 中， a 、b 、c 为三个内角 A 、B 、C 对应的边长，若已知角C = α + β ，tan A = 3，且 4 a 2 = λbc + c 2 ，求λ 的值．【解答】（1）由已知cos α = 3 10 ，sin α = 10 ，cos β = 2 5 ,sin β = 5 .................. (2 分)10 10 5 5因而cos(α +β )= cos α cos β - sin α sin β = 3 10 ⨯ 2 5 - 10 ⨯ 5 = 2..................（6 分）10 5 10 5 2 （2）法一：（正弦定理）由已知， C = π , c os C = 2 ,sin C = 2 ..................(7 分)4 2 2sin B = sin( A + C ) = sin(π + A ) = 3⨯ 2 + 4 ⨯ 2 = 7 2 …………(10 分)4 5 2 5 2 109 1 2 2 2 2λ = a - c = sin A - sin C = 25 2 = - 1 …………(14 分) bc sin B s in C 7 2 ⋅ 25 10 2法二：（余弦定理）a 2 - c 2 =b 2 - 2bc cos A ， b - 2 ⨯ 4 c 7 2因而由已知得b 2 - 2bc cos A =λbc ⇒ λ = 5 = b - 8 = sin B - 8 = 10- 8 = - 1c c 5 sin C 5 2 55 2法三：（余弦定理、正弦定理） cos B = -cos(π + C ) = - 24 10⎧b 2 = a 2 + c 2- 2ac ⨯ cos B ⇒ 2 2因而由余弦定理得： ⎨ ⎩c = a + b - 2ab ⨯ cos C⎧a 2 = b 2 + c 2 - 2bc ⨯ cos A ⇒ a = c cos B + b c os C = - c + b 10 2 4 2同理 ⎨ ⎩c = a + b - 2ab ⨯cos Cb =c c os A + a c os C = c + a 5 2 +2 =6得 a = c ,b = 得λ= 3 2 7c a 2 - c 2 =-15 5 bc 2法四：（射影定理）可得a = c cos B + b cos C = -2 c +2 b ， b = c cos A + a cos C = 4 c + 2a 下同解法二102 5 219．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3 万元至6 万 元（包括3 万元和6 万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款 f ( x )（万元）随企业原纳税额 x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额 x （万元）的50% ．经测算政府 决定采用函数模型 f ( x ) = x - b+ 4 （其中b 为参数）作为补助款发放方案．4 x（1） 判断使用参数b = 12 是否满足条件，并说明理由； （2） 求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围．【解答】（1）法一：因为当b = 12 时， f (3) = 3 < 3，所以当b = 12 时不满足条件②．4 2…………（6 分）法二：由条件②可知 f ( x ) = x -12 + 4 ≥ 1x ⇔ x ∈[4,12] ．4 x 2因为3∉[4,12]，所以当b = 12 时不满足条件②． ........（6 分） 法三：由条件②可知 f ( x ) ≥ x在[3, 6] 上恒成立，所以b ≤ ⎛ - 1x 2+ 4x⎫， 24 ⎪ ⎝ ⎭max解得b ≤39 ，所以当b = 12 时不满足条件②． ....... （6 分）4(注：如果证明了当b = 12 时满足条件①得 2 分)（2）法一：由条件①可知， f ( x ) 在[3, 6] 上单调递增，则对任意3 ≤ x 1 < x 2 ≤ 6 时，有 f (x ) - f (x ) =⎛ x 1 - b + 4 ⎫ - ⎛ x 2 - b+ 4 ⎫ = (x - x ) x 1x 2 + 4b< 0 恒成立，1 2 ⎝⎪ x 1 ⎭ ⎝ ⎪ x 2 ⎭ 4x 1x 2 即 x x + 4b > 0 ⇔ b >- 1 x x 恒成立，所以b ≥- 9； ....... （10 分）1 2 4 1 2 4由条件②可知， f ( x ) ≥ x ，即不等式 x - b + 4 ≥ 1x 在[3, 6] 上恒成立，2 4 x 2所以b ≤ ⎛ - 1 x 2+ 4x ⎫ = 39…………（13 分）4 ⎪ 4 ⎝ ⎭max综上，参数b 的取值范围是⎡- 9 , 39 ⎤． ....... （14 分）⎣⎢ 4 4 ⎥⎦ 法二：由条件①可知， f ( x ) x - b+ 4 在[3, 6] 上单调递增，4 x4 4 1 22 ay 所以当b ≥ 0 时，满足条件；当b < 0 时，得2 ≤ 3 ⇔ - 9≤ b < 0 ， 4所以b ≥- 9 4…………（10 分）⎧3 + b ≤4 由条件②可知，f ( x ) ≥ x ，即不等式 x + b ≤ 4 在[3, 6] 上恒成立，所以⎪ 4 3 ，得b ≤ 39…………2 4 x⎨ 6 b 4（13 分）综上，参数b 的取值范围是⎡- 9 , 39 ⎤． ....... （14 分）⎪ + ≤ 4 ⎩ 4 6 ⎣⎢ 4 4 ⎥⎦20．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分.x 2 2在平面直角坐标系 xOy 中， F 1 ， F 2 分别是椭圆Γ： 2 + y = 1(a > 0) 的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ，且 AF 1 + （1） 求椭圆Γ 的方程；AF 2 = 2 .（2） 已知直线l 经过椭圆的右焦点 F 2 ，P ,Q 是椭圆上两点，四边形 ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3） 已知直线l 不经过椭圆的右焦点 F 2 ，直线 AF 2 ， l ， BF 2 的斜率依次成等差数列，求直线l 在 y轴上截距的取值范围. 【解答】（1）由 AF 1 + AF 2 =2可得2a = 2 ，从而a = 2 ，椭圆方程为 x 2 + 22= 1 ....................(4 分) （2） 由于四边形 ABPQ 是菱形，因此 AB / /PQ 且| AB |=| PQ |.由对称性， F 1 在线段 PQ 上. 因此， AP , BQ 分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得AP ⊥ BQ ，即OA ⊥ OB.................... (6 分) 设 l : x -1 = my ， 与 椭 圆 方 程 联 立 可 得 (m 2 + 2) y 2 + 2my -1 = 0 ， 设 A (x , y ) , B (x , y ), 因 此y + y = - 2m1 2 m 2+ 2 ， y y =- 1 .......................(8 分) 1 2 m 2+ 22m 2 +1 2m 21 12 2由 x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ，可得(m +1) y 1 y 2 + m ( y 1 + y 2 ) +1 = - m 2+ 2 - m 2 + 2+1 = 0 ， 解得m = ，即直线方程为 x ± 2y -1 = 0 ................(10 分) （3） 设l : y = kx + b ，由k + k = 2k ，可得y 1 + y 2 = 2k ， 1 2 x -1 x -11 2即kx 1 + b + kx 2 + b = 2k .x 1 -1 x 2 -1化简可得2kx 1 x 2 + (b - k )(x 1 + x 2 ) - 2b = 2k (x 1 -1)(x 2 -1) ， 即(b + k )(x 1 + x 2 - 2) = 0 .若b + k = 0 ，则l : y = kx - k 经过 F 2 ，不符，因此 x 1 + x 2 = 2 ................. (12 分)联立直线与椭圆方程， (2k 2 +1)x 2 + 4kbx + (2b 2- 2) = 0 .-b2 2 ± 219 - a , , - , ,... 是跳跃数列 ......... (4 分) 因为∆ = 8(2k 2 - b 2+1) > 0 ①4kb2k 2 +1由 x 1 + x 2 = - 2k 2 +1 = 2 ，可得， b =- 2k② .........(14 分)将②代入①， 4k 2 > 2k 2 +1, k 2 > 1 ；再由b = - 1 (2k + 1 ) ，2 2 k可得， b ∈(-∞, -2 2) ⋃(2 2, +∞) .................... (16 分)21．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.若数列{a n } 对任意连续三项 a i , a i +1, a i +2 ，均有(a i - a i +2 )(a i +2 - a i +1 ) > 0，则称该数列为“跳跃数列”.（1） 判断下列两个数列是否是跳跃数列：① 等差数列：1,2 ,3,4 ,5, ；② 等比数列：1,- 1 2 , 1 ,- 1 4 8 , 1； 16 （2） 若数列{a }满足对任何正整数 n ，均有a = a a n (a > 0) .证明：数列{a } 是跳跃数列的充分必要 n条件是0 < a 1 < 1.n +111n2（3） 跳跃数列{a n } 满足对任意正整数n 均有a n +1 =n ，求首项a 1的取值范围. 5【解答】（1）① 等差数列：1, 2,3, 4,5,...不是跳跃数列；… ...... (2 分)1, - 1 11 12 4 8 16（2）必要性：若a 1 > 1，则{a n } 是单调递增数列，不是跳跃数列；若 a 1 = 1，{a n } 是常数列，不是跳跃数列 .................... (6 分)充 分 性 ： 下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明 ： 若 a 2n -1 < a 2n +1 < a 2n , a 2n > a 2n +2 > a 2n +1 成立. 0 < a 1 < 1 ， 则 对 任 何 正 整 数 n ， 均 有（1）当n = 1 时，， a = a a 1 > a 1 = a ， a = a a 2 < a a 1 = a ，211 1 3 1 1 2<1,∴a = a a 2> a 1= a ，∴ a > a > a ................. (8 分) 3 1 1 12 3 1 a > a > a ,∴a a 2 < a a 3 < a a 1, a < a < a ，所以n = 1 命题成立 ........ (9 分)231111342（2）若n = k 时， a 2k -1 < a 2k +1 < a 2k , a 2k > a 2k +2 > a 2k +1 ， 则 a a 2 k < a a 2 k +2 < a a 2 k +1 ,∴a < a < a ，2k +12k +32k +2a a 2 k +1 > a a 2 k +3 > a a 2 k +2 ,∴a > a > a ，所以当n = k +1时命题也成立……… (10 分) 2k +2 2k +4 2k +3根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足(a i - a i +2 )(a i +2 - a i +1 ) > 0，故{a n } 是跳跃数列. （3） a- a =1(19 - a2- 5a )，n +1na - a = 1 5 (a 2- 5a nn-19)(19 - a 2 - 5a )， ........ (11 分) n +2 n +1 125 n n n na - a = 1(a - 2)(a - 3)(19 - a 2 - 5a )，… ..... (12 分) n +2 n 125 nn n na = a a 1 2 1 ② 等比数列：第 11 页 ⎛ 5 - 101 ⎫ ⎛ 5 + 101 ⎫ [1] 若a > a ，则a > a > a ，此时a ∈⎛ 5 - 101 ⎫ ；… ...... (14 分) n +1 n n +1 n +2 n n ,2 ⎪[2] 若a < a ，则a < a< a ，此时a ⎝ ⎭ ⎛ 5 + 101 ⎫ ∈ 3, ； ........ (16 分) n +1 n n +1 n +2 n n 2 ⎪⎝ ⎭ 19 - a 2 ⎛ 5 + 101 ⎫ 若 a n ∈ ,2 ⎪ ，则a n +1 = n ∈ 3, ⎪ ，所以a n ∈(-2, 2) .⎝ 2 ⎭ 5 ⎝ 2 ⎭ 19 - a 2 若 a ∈ 3, ⎪ ，则a += n ∈(-2, 2) ，所以a n ∈(3, 21) . n ⎝ ⎭ n 1 5所以a 1 ∈(-2, 2) (3, 21)， 此时对任何正整数n ，均有a n ∈(-2, 2) (3, 21)(18 分)。
上海市浦东新区2020届高三下学期期中教学量监测(二模)数学试题
1浦东新区2020学年度第二学期期中教学质量监测高三数学试卷2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．设全集{}210,,U =，集合{}10,A =，则=A U C ．2. 某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96，则这组数据的中位数为 ．3. 若函数()21x x f =，则()=-11f．4. 若i -1是关于x 的方程02=++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q ,p ∈），则=+q p ．5.若两个球的表面积之比为41:则这两个球的体积之比为 ．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧=-=1，圆O 的参数方程为()为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=sin y cos x ，则直线l 与圆O 的位置关系是 ．7. 若二项式()421x+展开式的第4项的值为24，则()=++++∞→nn xx x x Λ32lim 51 ．8. 已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.9. 从()4N ≥∈*m m m ，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则=m ．10. 已知函数()()22222-+++=a x log a x x f 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为 ．211. 如图，在ABC ∆中，3π=∠BAC ，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足AB AC t AP 31+=，若ABC ∆的面积为233，则AP 的最小值为 . 12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n 均有221n n n n n a a b a b +=+++，221n n n n n b a b a b +=+-+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ， 则目标函数y x f +=2的最大值为( )A ． 1B ． 2C ． 3 D. 4 14. 如图，正方体ABCD D C B A -1111中，E 、F 分别为棱A A 1、BC 上的点，在平面11A ADD 内且与平面DEF 平行的直线( )A ． 有一条B ． 有二条C ． 有无数条 D. 不存在15. 已知函数()x cos x cos x f ⋅=.给出下列结论：①()x f 是周期函数； ② 函数()x f 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③ 若()()21x f x f =，则()Z k k x x ∈π=+21；④ 不等式x cos x cos x sin x sin π⋅π>π⋅π2222的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k ,k x k x 8581. 则正确结论的序号是 ( )3A ． ① ②B ． ② ③ ④C ． ① ③ ④ D. ① ② ④ 16. 设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径. 那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为( ) A ． 711949⋅ B ． 7021949⋅ C ． 702371949⋅⋅ D. 702721949⋅⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转ο120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BE BP ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角βα、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为55210103、． （1）求()β+αcos 的大小；（2） 在ABC ∆中，c b a 、、为三个内角C B A 、、对应的边长，若已知角β+α=C ，43=A tan ，且22c bc a +λ=，求λ的值．。
2020年高考模拟试卷上海市浦东新区华东师大二附中(3月份)高考数学模拟试卷 含解析
2020年高考模拟高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题1．关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为．若D x＝5，则实数m＝．2．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n＝．3．已知球的半径为R，A、B为球面上的两点．若A、B之间的球面距离是，则这两点间的距离等于．4．设f（x）＝lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．5．已知复数，|z2|＝2，z1z2是正实数，则复数z2＝．6．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α＝．7．从集合{，，2，3}中任取一个数记做a，从集合{﹣2，﹣1，1，2}中任取一个数记做b，则函数y＝a x+b的图象经过第三象限的概率是．8．设等比数列{a n}的通项公式为，前n项和为S n．若，则q＝9．设f﹣1（x）为f（x）＝，x∈[0，π]的反函数，则y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值为．10．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为．11．已知函数f（x）＝的最小值为a+1，则实数a的取值范围为．12．已知无穷数列{a n}，满足a n+2＝|a n+1﹣a n|（n∈N*），且a1＝1，a2＝x（x∈Z），若数列{a n}的前2020项中有100项是0，则x＝．二、选择题（共有4题）13．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1B．|x+y|≥1C．y≤﹣2D．且14．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）＝0B．C．D．15．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11B．12C．15D．1616．已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（）A．B．C．D．三、解答题（共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD＝2，BC＝1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．18．某租车公司给出的财务报表如下：2014年（1﹣12月）2015年（1﹣12月）2016年（1﹣11月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）19．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1＝15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n＝f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d＝2，f（x）＝|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d＝﹣1，f（x）＝e x，T n＝b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？20．（16分）对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）＝2x+1和g（x）＝2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）＝sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）＝x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．21．（18分）已知椭圆Γ的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0）．经过点F1且倾斜角为θ（0＜θ＜π）的直线l与椭圆Γ交于A、B两点（其中点A在x轴上方），△ABF2的周长为8．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）如图，把平面xOy沿x轴折起来，使y轴正半轴和x轴确定的半平面，与y负半轴和x轴所确定的半平面互相垂直．①若θ＝，求异面直线AF1和BF2所成角的大小；②若折叠后△ABF2的周长为，求θ的大小．参考答案一、填空题（共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为．若D x＝5，则实数m＝﹣2．【分析】由题意，D x＝＝5，即可求出m的值．解：由题意，D x＝＝5，∴m＝﹣2，故答案为﹣2．2．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n＝8．【分析】由题意可得：2n＝256，解得n．解：由题意可得：2n＝256，解得n＝8．故答案为：8．3．已知球的半径为R，A、B为球面上的两点．若A、B之间的球面距离是，则这两点间的距离等于R．【分析】球面距离就是大圆的弧长，由弧长公式可得大圆的圆心角，进而在直角三角形中求出弦长即为两点间的距离．解：由题意可得弧长AB＝R•α＝，可得∠AOB＝，所以弦长AB＝2R•sin＝R故答案为：R．4．设f（x）＝lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．【分析】由题意，f（x）＝lgx在（0，+∞）上单调递增，利用f（﹣a）﹣f（a）＞0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数a的取值范围．解：由题意，f（x）＝lgx在（0，+∞）上单调递增，∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0，∴1﹣a＞a＞0，∴a∈，故答案为5．已知复数，|z2|＝2，z1z2是正实数，则复数z2＝﹣1+或1﹣．【分析】设z2＝a+bi（a，b∈R），由已知列关于a，b的方程组，求解a，b的值得答案．解：设z2＝a+bi（a，b∈R）．由，|z2|＝2，z1z2是正实数，得，解得或．∴z2＝﹣1+或1﹣．故答案为：﹣1+或1﹣．6．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α＝2k2﹣1．【分析】利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．解：∵，∴（cosα+sinα）＝k，可得：cosα+sinα＝k，∴两边平方可得：cos2α+sin2α+2cosαsinα＝2k2，可得：1+sin2α＝2k2，∴sin2α＝2k2﹣1．故答案为：sin2α＝2k2﹣1．7．从集合{，，2，3}中任取一个数记做a，从集合{﹣2，﹣1，1，2}中任取一个数记做b，则函数y＝a x+b的图象经过第三象限的概率是．【分析】先求出基本事件（a，b）的个数n＝4×4＝16，再利用列举法求出函数y＝a x+b 的图象经过第三象限的情况，由此能求出函数y＝a x+b的图象经过第三象限的概率．解：从集合{，，2，3}中任取一个数记做a，从集合{﹣2，﹣1，1，2}中任取一个数记做b，基本事件（a，b）的个数n＝4×4＝16，∵函数y＝a x+b的图象经过第三象限有：①当a＝3、b＝﹣1时，②当a＝3、b＝﹣2时，③当a＝2、b＝﹣1时，④当a＝2、b＝﹣2时，⑤当a＝，b＝﹣2 时，⑥当a＝，b＝﹣2 时，共6种情况，∴函数y＝a x+b的图象经过第三象限的概率是p＝．故答案为：．8．设等比数列{a n}的通项公式为，前n项和为S n．若，则q＝【分析】求得等比数列的首项和公比，讨论q＝1，q≠1．结合a n＝0（0＜|a|＜1），化简计算可得所求值．解：，可得a1＝1，公比为q，若q＝1，即a n＝1，S n＝n，＝n，可得极限不存在，不符题意，则q≠1，由a n＝q n﹣1，S n＝，＝•＝•[（）n﹣1]，由＝•[（）n﹣1]＝[•（）n﹣1]＝2，可得＝2，且0＜||＜1，解得q＝，故答案为：．9．设f﹣1（x）为f（x）＝，x∈[0，π]的反函数，则y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值为．【分析】根据f（x）是[0，π]上的增函数，且f（x）与f﹣1（x）的单调性相同，得出y ＝f（x）+f﹣1（x）的定义域为[0，]，进而可得y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值．解：∵f（x）＝，是[0，π]上的单调增函数，且f﹣1（x）为f（x）＝，x∈[0，π]的反函数，∴f（x）和f﹣1（x）的单调性相同，∴当x＝π时，f（x）的最大值为，且当x＝时f（）＝＝，∴y＝f（x）+f﹣1（x）的定义域为[0，]，且当x＝时＝π，∴y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值为＝＝．故答案为：．10．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为90．【分析】取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，利用相似比，可得结论．解：取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，∵△ABC的面积为360，∴△PAB的面积＝△ADE的面积＝＝90．故答案为90．11．已知函数f（x）＝的最小值为a+1，则实数a的取值范围为{﹣2﹣2}∪[﹣1，1]．【分析】讨论﹣a与0，1的大小关系，判断f（x）在两区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上的单调性与最小值，列不等式解出a的范围．解：（1）若﹣a≤0，即a≥0时，f（x）＝，∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，最小值为f（0）＝2，在（0，+∞）上最小值为a+1，故只需2≥a+1即可，解得0≤a≤1；（2）若0＜﹣a≤1，即﹣1≤a＜0时，则f（x）＝，∴f（x）在（﹣∞，0]上先减后增，最小值为f（）＝2﹣，在（0，+∞）上最小值为a+1，故只需2﹣≥a+1即可，解得﹣2﹣2≤a≤﹣2+2，又﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0，（3）若﹣a＞1，即a＜﹣1时，f（x）＝，∴f（x）在（﹣∞，0]上先减后增，最小值为f（）＝2﹣，f（x）在（0，+∞）上的最小值为﹣a﹣1＞0，而f（x）的最小值为a+1＜0，故只需令2﹣＝a+1即可，解得a＝﹣2﹣2或a＝﹣2+2（舍），综上，a的取值范围是{﹣2﹣2}∪[﹣1，1]．故答案为：{﹣2﹣2}∪[﹣1，1]．12．已知无穷数列{a n}，满足a n+2＝|a n+1﹣a n|（n∈N*），且a1＝1，a2＝x（x∈Z），若数列{a n}的前2020项中有100项是0，则x＝1144或1145．【分析】当x＝1时，数列数列{a n}的各项为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0…．所以在前2020项中恰好含有673项为0；当x＝2时，数列数列{a n}的各项为1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…，以此类推可得：可以得到当x＝1144或x＝1145时，在前2020项中恰好含有100项为0．解：当x＝1时，数列数列{a n}的各项为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2020项中恰好含有673项为0；当x＝2时，数列数列{a n}的各项为1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2020项中恰好含有673项为0；当x＝3时，数列数列{a n}的各项为1，3，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2020项中恰好含有672项为0；当x＝4时，数列数列{a n}的各项为1，4，3，1，2，1，1，0，1，1，0，…所以在前2020项中恰好含有671项；当x＝5时，数列数列{a n}的各项为1，5，4，1，3，2，1，1，0，1，1，0…所以在前2020项中恰好含有671项为0；…由上面可以得到当x＝1144或x＝1145时，在前2020项中恰好含有100项为0；当x＝1144或x＝1145时，在前2020项中恰好含有100项为0．故答案为：1144或x＝1145．二、选择题（共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1B．|x+y|≥1C．y≤﹣2D．且【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：A．当x＝1，y＝0时，满足|x|≥1时，但|x|+|y|＝1＞1不成立，不满足条件．B．当x＝1，y＝0时，满足|x+y|≥1时，但|x|+|y|＝1＞1不成立，不满足条件．C．当y≤﹣2时，|y|≥2，则|x|+|y|＞1成立，即充分性成立，满足条件．D．当且，则|x|+|y|≥1，等取等号时，不等式不成立，即充分性不成立，不满足条件．故选：C．14．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）＝0B．C．D．【分析】由图象可知曲线的方程可以是x2+y2＝1或x+y﹣1＝0（x2+y2≥1），即可得出结论．解：由图象可知曲线的方程可以是x2+y2＝1或x+y﹣1＝0（x2+y2≥1），故选：C．15．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11B．12C．15D．16【分析】由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，且2，4不同时出现，同时出现有4个，即可得出结论．解：由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M有11个，故选：A．16．已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p＝2c，b2＝c2﹣a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e，即可得出结论．解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p＝2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴，设A点的纵坐标大于0，∴|AF|＝p，∴A（，p），∵点A在双曲线上，∴＝1，∵p＝2c，b2＝c2﹣a2，∴＝1，化简得：c4﹣6c2a2+a4＝0，∴e4﹣6e2+1＝0，∵e2＞1，∴e2＝3+2，∴1+（）2＝3+2∴（）2＝2+2＞3∴l的倾斜角所在的区间可能是（，），故选：D．三、解答题（共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD＝2，BC＝1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．【分析】（1）设BD的中点为O，连结OA，OC，则OA⊥平面BCD．由经能求出S圆．锥侧（2）该几何体的体积V＝（S△BCD+S半圆）•AO，由此能求出结果．解：（1）设BD的中点为O，连结OA，OC，∵A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，∴OA⊥平面BCD．∵BD＝2，BC＝1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，∴在Rt△AOC中，OC＝1，，AC＝2，AO＝，∴S圆锥侧＝πrl＝＝2π．（2）该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体，∵AO＝，∠BCD＝90°，∴CD＝，该几何体的体积V＝（S△BCD+S半圆）•AO＝＝．18．某租车公司给出的财务报表如下：2014年（1﹣12月）2015年（1﹣12月）2016年（1﹣11月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）【分析】（1）根据空驶率的计算公式为，带入计算即可；（2）根据T2016的值，求出k的值，从而求出2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程．解：（1），，∴2014、2015年，该公司空驶率分别为41.14%和38.00%．（2），T2016＝38%﹣20%＝18%．由，∴2016年前11个月的平均每单油费为12.98元，平均每单里程为15.71km．19．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1＝15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n＝f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d＝2，f（x）＝|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d＝﹣1，f（x）＝e x，T n＝b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？【分析】（1）由a4，a7，a8成等比数列，可得＝a4•a8，可得（15+6d）2＝（15+3d）（15+7d），化简解出即可得出．．（2）依题意，a n＝15+2（n﹣1）＝2n+13，b n＝|2n﹣8|，对n分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出．（3）依题意，a n＝15﹣（n﹣1）＝16﹣n，，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．解：（1）∵a4，a7，a8成等比数列，∴＝a4•a8，∴（15+6d）2＝（15+3d）（15+7d），化为：d2+2d＝0，∵d≠0，∴d＝﹣2．（2）依题意，a n＝15+2（n﹣1）＝2n+13，b n＝|2n﹣8|，∴，∴．（3）依题意，a n＝15﹣（n﹣1）＝16﹣n，，，∴当n＝15或16时，T n最大．20．（16分）对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）＝2x+1和g（x）＝2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）＝sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）＝x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义．考查h（x）＝g（x+m）﹣g（m）＝2x+m﹣2m＝2m（2x﹣1）即可，（2）依题意，是奇函数，求出φ；（3）记h（x）＝f（x+m）﹣f（m）＝（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm ＝x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b＝0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需．解：（1）对于f（x）＝2x+1，f（x+m）﹣f（m）＝2（x+m）+1﹣（2m+1）＝2x，∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于g（x）＝2x，记h（x）＝g（x+m）﹣g（m）＝2x+m﹣2m＝2m（2x﹣1），由h（x）+h（﹣x）＝2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）＝0，当且仅当x＝0等式成立，∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；（2）依题意，是奇函数，∴（k∈Z）．（3）记h（x）＝f（x+m）﹣f（m）＝（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm ＝x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．依题意，h（x）对任意都不是奇函数，若h（x）是奇函数，则3m+b＝0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R．21．（18分）已知椭圆Γ的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0）．经过点F1且倾斜角为θ（0＜θ＜π）的直线l与椭圆Γ交于A、B两点（其中点A在x轴上方），△ABF2的周长为8．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）如图，把平面xOy沿x轴折起来，使y轴正半轴和x轴确定的半平面，与y负半轴和x轴所确定的半平面互相垂直．①若θ＝，求异面直线AF1和BF2所成角的大小；②若折叠后△ABF2的周长为，求θ的大小．【分析】（1）由椭圆的定义可知：4a＝8，则a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，即可求得椭圆Γ的标准方程；（2）①当θ＝，求得直线方程，代入椭圆方程，求得A和B坐标，分别求得＝（0，1，），＝（﹣，，0），cosθ＝＝；②当方法一：θ＝，丨AB丨＝，丨AF2丨＝丨BF2丨＝，不满足题意，当θ≠时，设直线l方程，由韦达定理及丨AB丨﹣丨A′B′丨＝，即可求得k的值，由k＝tanθ，即可求得θ的大小；方法二：设直线my＝x+1，代入椭圆方程，由韦达定理及两点之间的距离公式求得m的值，即可求得θ的大小．解：（1）设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），c＝1由椭圆的性质可知：丨AF1丨+丨AF2丨＝2a，丨BF1丨+丨BF2丨＝2a，则△ABF2的周长L＝4a＝8，即a＝2，b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的标准方程：；（2）①设直线l：y﹣0＝（x+1），代入椭圆方程，解得：，，则A（0，），B（﹣，﹣），在空间直角坐标系中，F1（0，﹣1，0），A（0，0，），B（，，0），F2（0，1，0），＝（0，1，），＝（﹣，，0），异面直线AF2和BF2所成角为θ，则cosθ＝＝，∴异面直线AF1和BF2所成角的大小arccos；②由丨A′F2丨+丨B′F丨+丨A′B′丨＝，丨AF2丨+丨BF丨+丨AB丨＝8，则丨AB丨﹣丨A′B′丨＝，当θ＝，丨AB丨＝，丨AF2丨＝丨BF2丨＝，不满足题意，当θ≠时，设l：y﹣0＝k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（3+4k2）x2+8k2x+（4k2﹣12）＝0，则A，B在新图形中对应的点A′，B′，则A′（x1，y1，0），B′（x2，0，y2），则﹣＝，解得：k＝±，故θ＝arctan，或θ＝π﹣arctan，方法二：由丨A′F2丨+丨B′F丨+丨A′B′丨＝，丨AF2丨+丨BF丨+丨AB丨＝8，则丨AB丨﹣丨A′B′丨＝，设折叠前A（x1，y1），B（x2，y2），直线my＝x+1，则，整理得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，则y1+y2＝，y1•y2＝﹣，则丨A′B′丨＝，丨AB丨＝，∴丨AB丨﹣丨A′B′丨＝﹣＝，（1）∴＝，∴+＝﹣4y1y2，（2）∴由（1），（2）可知：＝﹣2y1y2，∴（x1﹣x2）+（y1﹣y2）＝（1+m2）（y1﹣y2）＝（﹣2y1y2）2，∴（1+m2）[（）2+]＝（﹣2×）2，即144（）2＝（+）2，＝+，则12m2+12＝m2+1+18，解得：m2＝，故θ＝arctan或θ＝π﹣arctan．。
2020届上海市浦东新区高三二模数学试题解析
绝密★启用前2020届上海市浦东新区高三二模数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若x 、y 满足010x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B作出可行域和目标函数，找到目标函数取最大值的最优解即可.解：由已知，可作出满足条件的可行域和目标函数如下：由图可知目标函数2y x z =-+中z 取最大值的最优解为：(1,0)max 22z x y ∴=+=.故选：B点评：本题考查了线性规划求线性目标函数的最值问题，考查了数形结合思想，属于中档题.2．如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E 、F 分别为棱1A A 、BC 上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（）A ．有一条B ．有二条C ．有无数条D ．不存在答案：C 易知当//l DE 时即可满足要求，所以存在无数条.解：若l ∃⊂平面11ADD A ，使得//l DE ，又DE ⊂平面DEF ，l ⊄平面DEF ，//l ∴平面DEF ，显然满足要求的直线l 有无数条.故选：C点评：本题考查了线面平行的判定，属于基础题.3．已知函数()cos cos f x x x =⋅.给出下列结论：①()f x 是周期函数；②函数()f x 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π+=∈； ④不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭. 则正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③④C ．①③④D ．①②④答案：D 由()()2f x f x π+=，可知()f x 是周期为2π的函数，当22x ππ-≤≤时，()11cos 222f x x =+；当322x ππ<≤时，()11cos 222f x x =--，画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，通过图象去研究问题. 解：()()()()2cos 2cos 2cos cos f x x x x x f x πππ+=+⋅+=⋅=()f x ∴是周期为2π的函数，①正确； 当22x ππ-≤≤时，cos 0x ≥，()211cos cos 222f x x x ==+ 当322x ππ<≤时，cos 0x <，()211cos cos 222f x x x =-=-- 可以画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，如下由图可知：函数()f x 的对称中心为+,0)()2（ππ∈k k Z ，②正确； 函数()f x 的对称轴为,x k k Z π=∈若()()12f x f x =，则122x x k π+=，即()122x x k k Z π+=∈，③错误； sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 22222x x x x x x ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅等价于：()222f x f x πππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭由图可知：52+2,+2,44x k k k Z πππππ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭解得15,,88x k k k Z ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，④正确. 故选：D.点评： 本题考查了诱导公式，降幂公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题.4．设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径.那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（）A ．711949⋅B ．7021949⋅C ．702371949⋅⋅D ．702721949⋅⋅ 答案：C先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：{}1,72只有1种情况；{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有种270C 情况；以此类推……{}1,2,3,,71,72L ，有1（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和012697070707070702347172M C C C C C =+++++L ，计算可得：70372M =⨯.再思考可以分为{}{}{}{}{}1,,72,2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020L L L L L L 等1949类，问题可得解.解：当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况：集合只含2个元素：{}1,72只有1种情况；集合含有3个元素：{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况； 集合含有4个元素：{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有270C 种情况； 以此类推……集合含有72个元素：{}1,2,3,,71,72L ，有（7070C ）种情况. 所以，此类满足要求的子集元素个数之和M 为：012697070707070702347172,M C C C C C =+++++L L ①70696810707070707072717032,M C C C C C ∴=+++++L L ②707070,070,r r C C r r Z -=≤≤∈Q①②两式对应项相加，得：()0126970707070707070274742M C C C C C =+++++=⨯L70372M ∴=⨯同理可得：{}{}{}{}2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020,L L L L L 所有子集元素个数之和都是70372⨯，所以集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为702371949⋅⋅. 故选：C点评：本题考查了集合的子集个数和组合数及其计算，考查了分类讨论思想，属于难题.二、填空题5．设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．答案：{}2由补集的运算法则可得解.解：{}{}0,1,2,0,1U A ==Q{}2U C A ∴=故答案为：{}2点评：本题考查了补集的运算，属于基础题.6．某次考试，5名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为___．答案：100数据个数为奇数时，中位数为从小到大排列后中间的那一个数字.解：5名同学的成绩由小到大排序为：95,96,100,108,115，∴这组数据的中位数为100.故答案为：100点评：本题考查了一组数据中中位数的求法，属于基础题.7．若函数()12f x x =，则()11f -=__________． 答案：1由()12f x x=可得：()12,0f x x x -=≥，问题得解. 解：由()12f x x =可得：()12,0f x x x -=≥()12111f -∴==故答案为：1。
2020上海高三数学二模汇编-解析几何含答案
解析几何一、直线1、【2020年闵行区二模第3题】若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 【答案：4π】 2、【2020年黄浦区二模第4题】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案： 6- 】3、【2020年金山区二模第13题】已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( )． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案：B 】4、【2020年徐汇区二模第8题】已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++= 的法向量，则实数a 的值为 .【答案：11或- 】5、【2020年松江区二模第13题】若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） (A)(B)(C)(D)【答案：B 】6、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ，n a 为()(2)1nn x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，，1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.O P 20-+=x y OP 2R t ∈【答案：95解析：赋值法，令1x =，∴32nnn a =-，∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-⋅， 可用计算器分析2()3n n ⋅单调性及范围，可知2()(0,1)3n n ⋅∈，∴[]13n n na n =-，∴(1)2n n n b -=，22()()n n t b m -+-的 几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示， 当3n =时，点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小， ∴min 22512d ==+，即2min95d =。
2020届上海市浦东新区高三下学期教学质量检测数学试题(解析版)
2020届上海市浦东新区高三下学期教学质量检测数学试题一、单选题1．“a b =”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据充要关系定义进行判断选择. 【详解】若a b =，则a b =，所以充分性成立；若a b =，则a b =不一定成立，例如互为相反向量时就不成立，所以必要性不成立； 故选：A 【点睛】本题考查充要关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.2．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则8978aa a a +=+（） A ．1B ．1+C ．3+D ．3-【答案】B【解析】根据等差数列列式求得公比，再代入所求式,解得结果. 【详解】因为1a ，312a ，22a 成等差数列，所以3121222a a a ⨯=+设{}n a 公比为21201qq qq q ∴=+>∴=+从而89781a a q a a +==++故选：B 【点睛】本题考查等比数列与等差数列综合，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．对于实数a 、b 、m ，下列说法：①若a b >，则22am bm >； ②若a b >，则a ab b ；③若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+； ④若 0a b >>，且ln ln a b =，则(2,)a b +∈+∞，其中正确的命题的个数（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】举例说明①错误；根据不等式性质证明②成立；利用作差法证明③成立；根据对勾函数性质说明④成立. 【详解】若,0a b m >=，则22am bm =,所以①错误； 若a b >，则当0a b >≥时a a b a b b a a b b当0a b ≥>时0a a b b a ab b 当0a b >>时0aba ab a b ba ab b ，因此②成立；若0b a >>，0m >，则()0()a m a b a m a m ab m b b b m b m b+-+-=>∴>+++，所以③成立； 若 0a b >>，且ln ln a b =，则ln ln ln()0,11ab b a a b a ∴==∴=>-，1a b a a ∴+=+在(1,)+∞上单调递增，即12a b a a+=+>，因此④成立. 故选：C 【点睛】本题考查根据不等式性质比较大小、作差法比较大小、对勾函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.4．数学试卷的填空题由12道题组成，其中前6道题，每道题4分；后6道题，每道题5分．下面4个数字是某教师给出的一位学生填空题的得分，这个得分不可能是（ ） A ．17 B ．29C ．38D ．43【答案】D【解析】根据得分情况可说明ABC 成立，再说明D 一定不成立. 【详解】因为17=34+15,296415,382465⨯⨯=⨯+⨯=⨯+⨯，所以得分可能是ABC;因为432475=⨯+⨯，而满足个位数为3的只有这一种，但每道题5分的只有6道题，因此D 得分是不可能的， 故选：D 【点睛】本题考查简单推理，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题5．在行列式12011213a-中，元素a 的代数余子式的值是____________． 【答案】2【解析】根据代数余子式定义列式求解,即得结果. 【详解】在行列式12011213a-中，元素a 的代数余子式为401(1)0(2)221--=--= 故答案为：2 【点睛】本题考查代数余子式，考查基本求解能力，属基础题. 6．函数y =的定义域为____________．【答案】(]2-∞，【解析】根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解得指数不等式得结果. 【详解】2933032x x x ≥∴≤∴-≤,故定义域为(]2-∞， 故答案为：(]2-∞，【点睛】本题考查定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.7．已知x 、R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 1i x y -+=-+，则x y +=____________． 【答案】2【解析】根据复数相等列方程组，解得,x y ，即得结果.【详解】()212i 1i 1x x y y -=-⎧-+=-+∴⎨=⎩121x x y y =⎧∴∴+=⎨=⎩故答案为：2 【点睛】本题考查复数相等，考查基本分析求解能力，属基础题.8．函数()sin cos R y x x x =-∈的单调递增区间为____________．【答案】()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】先根据辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求单调区间. 【详解】sin cos )4y x x x π=-=-22()242k x k k Z πππππ∴-≤-≤+∈322()44k x k k Z ππππ∴-≤≤+∈ 故答案为：()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查辅助角公式、正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.9．已知02x <<_______ 【答案】1【解析】配方后利用二次函数求最值可得结果. 【详解】==,又因为02x <<所以1x =时 1. 故答案为:1 【点睛】本题考查了二次函数求最大值,属于基础题.10．61()x x-的展开式中的常数项是： ．(请用数字作答) 【答案】-20 【解析】621661()(1)r n rr r r r r T C xC x x--+=-=-， 令620r -=，则3r =，所以常数项为3620C -=-．11．.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数的反函数的图像上，则n a =________. 【答案】12n - 【解析】解：因为221log (1)log (1)12212nn n n n n n y x n S S S a -=+∴=+∴+=∴=-∴= 12．一支田径队有男运动员40人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为19的样本，则抽取男运动员的人数为____________． 【答案】10【解析】由样本容量与总体容量的比值相等计算． 【详解】设抽取的男运动员人数为n ，则由分层抽样定义得40194036x =+，解得10x =． 故答案为：10． 【点睛】本题考查分层抽样，利用分层抽样中样本容量与总体容量的比值相等求解即可． 1336的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ． 【答案】92π 【解析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,设正六棱柱的上下底面中心分别为12,O O ,球心为O ,一个顶点为A ,可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA ,再用球的体积公式即可得到外接球的体积. 【详解】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,如右图,则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O,正六棱柱的上下底面中心分别为12,O O,则球心O 是12O O 的中点.∴正六棱柱底面边长为3,侧棱长为61Rt AO O ∴中,1136,AO O O ==,可得221132AO AO O O =+=因此,该球的体积为3439322V ππ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭ 故答案为92π. 【点睛】本题给出一个正六棱柱,求它的外接球的体积,着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点,属于基础题.14．如图，已知椭圆1C 和双曲线2C 交于1P 、2P 、3P 、4P 四个点，1F 和2F 分别是1C 的左右焦点，也是2C 的左右焦点，并且六边形121342PP F P P F 是正六边形．若椭圆1C 的方程为22142323+=+，则双曲线2C 的方程为____________．221= 【解析】先根据椭圆1C 的方程确定半焦距，再根据正六边形性质确定双曲线中,,.a b c 【详解】2221442423c c =∴=+=∴=+设22222:1,(0,0)x y C a b a b-=>>22212||||21a P F P F a =-=∴222241)b c a ∴=-=-=因此2221C =221= 221-= 【点睛】本题考查求双曲线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.15．已知A 、B 、C 是半径为5的圆M 上的点，若6BC =，则AB AC ⋅的取值范围是____________． 【答案】[]8,72-【解析】由正弦定理求出sin A ，由平方关系得cos A ，然后利用余弦定理和基本不等式求出bc 的范围，最后由数量积的定义可得结论． 【详解】记,,A B C 所对边长分别为,,a b c ， 由正弦定理得2sin a R A=，即63sin 2255a A R ===⨯，所以4cos 5A =±，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，4cos 5A =时，228836255b c bc bc bc =+-≥-，90bc ≤，b c =时等号成立，所以4cos 90725AB AC bc A ⋅=≤⨯=，4cos 5A =-时，228836255b c bc bc bc =++≥+，10bc ≤，b c =时等号成立，所以4cos 1085AB AC bc A ⎛⎫⋅=≥⨯-=- ⎪⎝⎭，综上[8,72]AB AC ⋅∈-． 故答案为：[8,72]-． 【点睛】本题考查求平面向量数量积的取值范围，考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题．16．对数列{}n a ，{}()*n b n N∈，如果存在正整数k ，使得1kk ab >+，则称数列{}n a 是数列{}n b 的“优数列”，若32222n a n n tn t =+-+，3241n b n n n =+++，并且{}n a 是{}n b 的“优数列”，{}n b 也是{}n a 的“优数列”，则t 的取值范围是____________． 【答案】1t >-．【解析】根据“优数列”列不等式，再根据二次不等式有解求参数范围. 【详解】因为{}n a 是{}n b 的“优数列”， 所以存在正整数k ，1k k a b >+即3223222411k k tk t k k k +-+>++++，22(24)20k t k t --++> 显然成立，所以t R ∈； 因为{}n b 是{}n a 的“优数列”， 所以存在正整数m ，1m m b a >+即3232241221m m m m m tm t +++>+-++，22(24)0m t m t -++<22(24)401t t t ∴∆=+->∴>-当1t >-时，由于对称轴21m t =+>，所以必存在正整数m ，使得22(24)0m t m t -++<综上，1t >- 故答案为：1t >- 【点睛】本题考查数列新定义、不等式有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题17．如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 为棱1AA 的中点，1AB =，12AA =．（1）求点B 到平面11B C E 的距离； （2）求二面角11B EC C --的正弦值． 【答案】（1）2；（2）3． 【解析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离； （2）用空间向量法求二面角的余弦值，再求正弦值． 【详解】解：（1）如图所示，建立直角坐标系，则有关点的坐标为()1,0,0B ，()11,0,2B ，()11,1,2C ，()0,0,1E ，所以，()110,1,0B C =，()11,0,1B E =--．设平面11B C E 的法向量()1,,n u v w =， 则由111n B C ⊥且11n B E ⊥得，11111000v n B C u w n B E ⎧=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩．取1u =，于是平面11B C E 的一个法向量为()11,0,1n =-． 且()10,0,2BB =，所以，点B 到平面11B C E 的距离为()11222010*******n BB d n⋅⨯+⨯-⨯===++-．（2）因为()11,1,2C ，()0,0,1E ，()11,1,0C ， 所以，()10,0,2CC =，()1,1,1CE =--设平面1CC E 的法向量()1112,,n u v w =，则由21n CC ⊥且2n CE ⊥得，11211111122000000w w n CC u v w u v n CE ⎧⎧==⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨--+=+=⋅=⎪⎩⎪⎩⎩．取11u =于是平面1CC E 的一个法向量为()21,1,0n =-．设平面11B C E 的一个法向量()11,0,1n =-与平面1CC E 的一个法向量 为()21,1,0n =-的夹角为ϕ，则12121cos 2n n n n ϕ⋅==， 所以，3sin ϕ=． 所以二面角11B EC C --的正弦值为3． 【点睛】本题考查用空间向量法求点到平面的距离，求二面角．在图形中已有两两相互垂直的三条直线时，如长方体，可建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角，距离，研究（或证明）空间线面位置关系．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<．（1）如图所示，函数()f x 的图象与直线()1 1 y m m =-<<三个相邻交点的横坐标为3π-、6π、2π，求ω的值； （2）函数()()sin 0,0y x ωϕωϕπ=+><<的图象与x 轴的交点A 、B 、C ，且满足OA 、OB 、OC 成等差数列，求ϕ的值． 【答案】（1）125ω=；（2）34πϕ=． 【解析】（1）先确定周期，再求ω的值；（2）根据等差数列性质得2OB OA OC =+，再利用A 、B 、C 坐标表示，解得ϕ的值． 【详解】（1）由三角函数的图象可知，直线y m =与正弦函数图象相交的三个相邻交点中，第一个点和第三个点之间正好一个周期则5236T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ 所以2125T πω==． （2）由OA 、OB 、OC 成等差数列得2OB OA OC =+ 在同一周期内，不妨设0B x ωϕ+=，A x ωϕπ+=， 2C x ωϕπ+= 得B x ϕω=-，A x πϕω-=，2C x πϕω-=， 由2OB OA OC =+，得322πϕϕωω-=，解得34πϕ=． 【点睛】本题考查根据三角函数图象与性质求参数、等差数列应用，考查基本分析求解能力，属基础题.19．某企业准备投产一款产品，在前期的市场调研中发现： ①需花费180万元用于引进一条生产流水线；②每台生产成本Q （x ）（万元）和产量x （台）之间近似满足Q （x ）＝51351x ++，x ∈N ；（注每台生产成本Q （x ）不包括引进生产流水线的费用） ③每台产品的市场售价为10万元； ④每年产量最高可达到100台；（1）若要保证投产这款产品后，一年内实现盈利，求至少需要生产多少台（而且可全部售出）这款产品；（2）进一步的调查后发现，由于疫情，这款产品第一年只能销售出60台，而生产出来的产品如果没有在当年销售出去，造成积压，则积压的产品每台将亏损1万元，试判断该企业能否在投产第一年实现盈利．如果可以实现盈利，则求出当利润最大时的产量；若不能实现盈利，则说明理由．【答案】（1）至少生产并销售63台这款产品，才能实现盈利；（2）可以实现盈利，利润最大时，产量为89台．【解析】（1）由题意可得利润函数为f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅x ﹣180，0＜x ≤100，x ∈N ，由f （x ）＞0求解不等式得答案；（2）把利润函数f （x ）变形，再由基本不等式求最值． 【详解】（1）由题意可知该商品的利润函数为：f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅x ﹣180，0＜x ≤100，x ∈N ，则由()1018000100*Q x x x x N ⎧⎡⎤-⋅-⎪⎣⎦⎨≤∈⎪⎩＞＜，，解得x ≥63． ∴至少生产并销售63台这款产品，才能实现盈利；（2）由（1）可知，当产量0＜x ≤60，x ∈N 时，无法实现盈利； 当产量60＜x ≤100，x ∈N 时，由题意可知利润函数为f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅60﹣（x ﹣60）﹣180． 化简得f （x ）＝181﹣[()1356011x x ⋅+++]1801≤-=． 当且仅当x ＝89时等号成立．∴可以实现盈利，利润最大时，产量为89台． 【点睛】本题考查分式函数模型的实际应用，涉及利用基本不等式求最值，属综合基础题. 20．已知点F 是抛物线2:8C y x =上的焦点，()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线上的两个动点．（1）若直线AB 经过点F ，且126x x +=，求AB ；（2）若126x x +=，求证:线段AB 的垂直平分线经过一个定点C ，并求出C 点的坐标；（3）若线段AB 与x 轴交于Q 点，是否存在这样的点Q ，使得2211AQBQ+为定值，若存在，求出这个定值和Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）10；（2）证明见解析，经过一个定点()70C ，；（3）存在Q 点满足题意，坐标为()4,0，2211116AQBQ+=． 【解析】（1）根据抛物线定义求焦点弦弦长；（2）先考虑直线AB 的斜率存在情况，根据点斜式得线段AB 的垂直平分线的方程，确定定点，再验证直线AB 的斜率不存在情况也过此定点；（3）设()0Q m ，，过Q 点直线方程为x ty m =+，与抛物线联立方程组，结合韦达定理化简2211AQBQ+，确定定值取法，即可确定定点与定值.【详解】（1）1022A B A B p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=． （2）①当直线AB 的斜率存在时，设线段AB 的中点为()00,M x y ，则12032x x x +==，1202y yy +=，21212221212108488AB y y y y k y y x x y y y --====-+-．线段AB 的垂直平分线的方程是()034y y y x -=--，即()074y y x =--． ②当直线设AB 的斜率不存在时，此时线段AB 的垂直平分线的方程是0y =．所以线段AB 的垂直平分线经过一个定点()70C ，． （3）设()0Q m ，，过Q 点直线方程为x ty m =+，联立228880y xy ty m x ty m⎧=⇒--=⎨=+⎩，则264320t m ∆=+>，128y y t +=，128y y m =-．则()()222221111AQ x m y t y =-+=+，()()222222221BQ x m y t y =-+=+，所以，()()22222212111111t y t y AQBQ+=+++()()()()()()222212121222222212122641664111y y y y y y t mm t t y y t y y +-++===+++， 所以当4m =时，2211116AQBQ+=，故Q 点的坐标为()4,0， 并且满足264320t m ∆=+>． 【点睛】本题考查抛物线焦点弦、抛物线中定点与定值问题，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.21．定义在R 上的非常值函数()f x 、()g x （()f x 、()g x 均为实数），若对任意实数x 、y ，均有()()()()22f x y f x y g y g x +⋅-=-，则称()g x 为()f x 的关联平方差函数．（1）判断()cos g x x =是否是()sin f x x =的关联平方差函数，并说明理由； （2）若()g x 为()f x 的关联平方差函数，证明：()f x 为奇函数；（3）在（2）的条件下，如果()01g =，()21g =-，当02x <<时()11g x -<<，且f x Tf x 对所有实数x 均成立，求满足要求的最小正数T 并说明理由．【答案】（1）是；理由见解析；（2）证明见解析；（3）4T =是满足要求的最小正数，理由见解析．【解析】（1）根据关联平方差函数定义直接化简判断；（2）结合关联平方差函数定义，证明()()f b f b -=-恒成立； （3）结合关联平方差函数定义先探求4T =，再用反证法证4T =是满足要求的最小正数. 【详解】（1）()cos g x x =是()sin f x x =的关联平方差函数，()()()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin f x y f x y x y x y x y x y x y x y +-=+-=+-()()2222222222sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos x y x y y x y x x y =-=---()()2222cos cos y x g y g x =-=-（2）()f x 是非常值函数，所以存在a ，()0f a ≠， 下证对任意实数b ，()()f b f b -=- 令2a b x +=，2a b y -=可得()()2222a b a b f a f b g g -+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；再令2a b x -=，2a b y +=可得()()2222a b a b f a f b g g +-⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两式相加可得()()()0f a f b f b +-=⎡⎤⎣⎦，()0f a ≠，()()f b f b ∴-=-，所以()f x 为奇函数（3）令0y =可得()()()()222201f x g g x g x =-=-，即()()221fx g x +=，()21g =-，()()220f f ∴=-=，令2y x =+，()()()()2222220f x f gx g x +-=+-=， 令2y =，()()()2221f x f x gx +-=-，用2x +替换x 可得()()()()()2224121f x f x g x g x f x +=-+=-=，[1]若()0f x ≠，那么()()+4f x f x =； [2]若()=0f x ，那么()()()()()2222211+2+2+4fx g x g x f x f x =-=-==；所以()()+40f x f x == 综上可知4T=满足要求，下证4T =是满足要求的最小正数，用反证法，若存在004T <<也满足要求，令0x =，02T y =可得()2200000222T T T f f g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而0022T T f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0022T T f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，00022T T f f ⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矛盾！ 所以4T=是满足要求的最小正数.【点睛】本题考查函数新定义、证明奇函数、函数周期、反证法，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.。
2020年上海市浦东新区高中数学高考二模试卷含详解
上海市浦东新区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．设全集{}210,,U =，集合{}10,A =，则=A U C _______．2.某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96，则这组数据的中位数为_______．3.若函数()21x x f =，则()=-11f_______．4.若i -1是关于x 的方程02=++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q ,p ∈），则=+q p _______．5.若两个球的表面积之比为41:则这两个球的体积之比为_______．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧=-=1，圆O 的参数方程为()为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=sin y cos x ，则直线l 与圆O 的位置关系是_______．7.若二项式()421x+展开式的第4项的值为24，则()=++++∞→nn xx x x 32lim _______．8.已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是_______.9.从()4N ≥∈*m m m ，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则=m _______．10.已知函数()()22222-+++=a x log a x x f 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为_______．11.如图，在ABC ∆中，3π=∠BAC ，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足AB AC t AP 31+=，若ABC ∆的面积为233，的最小值为_______.12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n均有1n n n a a b +=++，1n n n b a b +=+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为_______.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ，则目标函数y x f +=2的最大值为()A ．1B ．2C ．3 D.414.如图，正方体ABCD D C B A -1111中，E 、F 分别为棱A A 1、BC 上的点，在平面11A ADD 内且与平面DEF 平行的直线()A ．有一条B ．有二条C ．有无数条D.不存在15.已知函数()x cos x cos x f ⋅=.给出下列结论：①()x f 是周期函数；②函数()x f 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③若()()21x f x f =，则()Z k k x x ∈π=+21；④不等式x cos x cos x sin x sin π⋅π>π⋅π2222的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k ,k x k x 8581.则正确结论的序号是()A ．①②B ．②③④C ．①③④D ．①②④16.设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径.那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为()A ．711949⋅B ．7021949⋅C ．702371949⋅⋅D ．702721949⋅⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BE BP ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角βα、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为55210103、．（1）求()β+αcos 的大小；（2）在ABC ∆中，c b a 、、为三个内角C B A 、、对应的边长，若已知角β+α=C ，43=A tan ，且22c bc a +λ=，求λ的值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且2221=+AF AF .（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列： ,,,,,54321；②等比数列： 1618141211,,,,--；（2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.上海市浦东新区2020届高三二模数学试卷答案解析版一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1.设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．【答案】{}2【解析】【分析】由补集的运算法则可得解.【详解】{}{}0,1,2,0,1U A == {}2U C A ∴=故答案为：{}2【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.2.某次考试，5名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为___．【答案】100【解析】【分析】数据个数为奇数时，中位数为从小到大排列后中间的那一个数字.【详解】5名同学的成绩由小到大排序为：95,96,100,108,115，∴这组数据的中位数为100.故答案为：100【点睛】本题考查了一组数据中中位数的求法，属于基础题.3.若函数()12f x x =，则()11f -=__________．【答案】1【解析】【分析】由()12f x x =可得：()12,0f x x x -=≥，问题得解.【详解】由()12f x x =可得：()12,0f x x x -=≥()12111f -∴==故答案为：1【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题.4.若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________．【解析】【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.【详解】1i - 是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根，1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，2(1)(1)12q i i i =-+=-=，0p q ∴+=.故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题.5.若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为．【答案】1:8【解析】试卷分析：由求得表面积公式24S R π=得半径比为1:2，由体积公式343V R π=可知体积比为1:8考点：球体的表面积体积6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是________．【答案】相交【分析】由已知可得：直线l 的标准方程为10x y -+=，圆O 的标准方程为221x y +=，再计算出圆心到直线的距离2d r =<，问题得解.【详解】由直线l 的参数方程1x t y t =-⎧⎨=⎩，可得：直线l 的标准方程为：10x y -+=，由圆O 的参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，可得：圆O 的标准方程为：221x y +=，圆心为(0,0)，半径1r =圆心为(0,0)到直线l的距离12d ==<则直线l 与圆O 的位置关系是相交.故答案为：相交【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.7.若二项式()412x+展开式的第4项的值为()23lim nn x x x x →∞++++= __．【答案】15【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，得：3344(2)x T C ==，解得16x =，再由等比数列求和公式，得：2311156nnx x x x ⎡⎤⎛⎫=⨯-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣+⎦+ ，从而极限可求.【详解】由已知可得：3344(2)x T C ==，即33(2)2x x ==，解得16x =，2311166(1)111115616nnn nx x x x x xx ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪∴+++⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===⨯-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-+ ，()231111565lim lim nnn n x x x x→∞→∞+++⎡⎤⎛⎫∴⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+= .故答案为：15【点睛】本题考查了二项式定理，等比数列求和公式以及求极限，考查了计算能力，属于中档题.8.已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.【答案】22221x y -=【解析】【分析】由已知可得双曲线的右焦点为(1,0)，即1c =，由双曲线的渐近线方程为y x =±，可设其方程为：22,0x y λλ-=>，再由222+=a b c 可得：1λλ+=，求出λ，问题得解.【详解】 抛物线24y x =的焦点为：(1,0)∴双曲线的右焦点为：(1,0)，即1c =双曲线的渐近线方程为y x =±，∴双曲线的方程可设为：22,0x y λλ-=>，即221x y λλ-=，22a b λ∴==由222+=a b c 可得：1λλ+=，12λ∴=，双曲线的方程是22221x y -=.故答案为：22221x y -=【点睛】本题考查了双曲线的标准方程和其渐近线方程，关键是掌握共渐近线的曲双线方程的设法，属于中档题.9.从m （N m *∈且4m ≥）个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则m =_____________．【答案】10【解析】【分析】从m 个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26m C +种情况，事件A 表示选出的2个人性别相同，共有226m C C +情况，事件B 表示选出的2个人性别不同，共有116m C C 情况，由已知可得：2211662266m m m m C C C C C C +++=，即221166m m C C C C +=，解之即可.【详解】从m 个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26m C +种情况，事件A 表示选出的2个人性别相同，共有226m C C +情况，事件B 表示选出的2个人性别不同，116m C C 情况()()P A P B = ，2211662266m m m m C C C C C C +++∴=221166m m C C C C ∴+=，即(1)65622m m m -⨯+=整理，得：213300m m -+=，即(3)(10)0m m --=N m *∈ 且4m ≥，10m ∴=故答案为：10【点睛】本题考查了概率计算和组合数及其计算，考查了计算能力和分析能力，属于中档题.10.已知函数()()222log 22f x x a x a =+++-的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为________．【答案】{}1【解析】【分析】由已知可得：()f x 为R 上的偶函数，又函数()f x 的有且只有一个零点，所以()00f =，由此可得：2log 220a a +-=，解得1a =【详解】显然，由()()222log 22f x x a x a =+++-，可得：()()f x f x =-，()f x \为R 上的偶函数.函数()f x 的有且只有一个零点，()0=0f ∴由此可得：2log 220a a +-=，解得1a =故答案为：{}1【点睛】本题考查了偶函数的对称性，属于中档题.11.如图，在ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13t AC AB AP =+ ，若ABC 的面积为332，则AP 的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】设,AB AC m n ==，由1sin 22BA AB A C C ⋅⋅∠= ，可得：6mn =再由1233t AC AB t AC A AP D =++= ，可得：13t =，则AP == 222m n mn +≥可得解.【详解】设,AB AC m n== ABC 的面积为332，1sin 2AB AC S BAC =⋅⋅∠1222mn ==6mn ∴= D 为AB 中点，2AB AD ∴=1233t AC AB t AC AD AP +==+∴ 又C 、P 、Q 三点共线，213t ∴+=，即13t =1133AP AC AB ∴=+ 则()2222911112=3399AP AC AB AC AB AC AB ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭ 22112=cos 999AC AB AC AB BAC ++⋅⋅∠ 222211212=992993m n m n m n +++⋅⋅=+AP ∴=当且仅当m n ==时取得最小值.【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n均有1n n n a a b +=++1n n n b a b +=+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为_____________.【答案】202133-【解析】【分析】由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈；11n n a b ++=2n n a b ，12,n n n a b n N -*∴=∈，由此可得：12333n n n n c +=⋅=-，再由等比数列求和公式可得解.【详解】1n n n a a b +=+ ①，1n n n b a b +=+②两式相加可得：()112+n n n n n n n n a b a b a b a b +++++=+=，{}n n a b ∴+是公比为2的等比数列，首项112a b +=2,n n n a b n N *∴+=∈两式相乘可得：(11n n n n n n a b a b a b ++=++()22n n n na b a b =+={}n n a b ∴是公比为2的等比数列，首项111a b =12,n n n a b n N -*∴=∈113323nn n n n n n n n n a b c a b a b ⎛⎫+=+=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，由等比数列求和公式，得：()2020202120206133313S -==--故答案为：202133-【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若x 、y 满足010x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】作出可行域和目标函数，找到目标函数取最大值的最优解即可.【详解】由已知，可作出满足条件的可行域和目标函数如下：由图可知目标函数2y x z =-+中z 取最大值的最优解为：(1,0)max 22z x y ∴=+=.故选：B【点睛】本题考查了线性规划求线性目标函数的最值问题，考查了数形结合思想，属于中档题.14.如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E 、F 分别为棱1A A 、BC 上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（）A.有一条B.有二条C.有无数条D.不存在【答案】C【解析】【分析】易知当//l DE 时即可满足要求，所以存在无数条.【详解】若l ∃⊂平面11ADD A ，使得//l DE ，又DE ⊂平面DEF ，l ⊄平面DEF ，//l ∴平面DEF ，显然满足要求的直线l 有无数条.故选：C【点睛】本题考查了线面平行的判定，属于基础题.15.已知函数()cos cos f x x x =⋅.给出下列结论：①()f x 是周期函数；②函数()f x 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π+=∈；④不等式sin 2sin 2cos 2cos 2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.则正确结论的序号是（）A.①②B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D【解析】【分析】由()()2f x f x π+=，可知()f x 是周期为2π的函数，当22x ππ-≤≤时，()11cos 222f x x =+；当322x ππ<≤时，()11cos 222f x x =--，画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，通过图象去研究问题.【详解】()()()()2cos 2cos 2cos cos f x x x x x f x πππ+=+⋅+=⋅=()f x ∴是周期为2π的函数，①正确；当22x ππ-≤≤时，cos 0x ≥，()211cos cos 222f x x x ==+当322x ππ<≤时，cos 0x <，()211cos cos 222f x x x =-=--可以画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的函数图象，如下由图可知：函数()f x 的对称中心为+,0)()2（ππ∈k k Z ，②正确；函数()f x 的对称轴为,x k k Zπ=∈若()()12f x f x =，则122x x k π+=，即()122x x k k Z π+=∈，③错误；sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 22222x x x x x x ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭不等式sin 2sin 2cos 2cos 2x x x x ππππ⋅>⋅等价于：()222f x f x πππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭由图可知：52+2,+2,44x k k k Z πππππ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭解得15,,88x k k k Z ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，④正确.故选：D.【点睛】本题考查了诱导公式，降幂公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题.16.设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径.那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（）A.711949⋅ B.7021949⋅ C.702371949⋅⋅ D.702721949⋅⋅【答案】C【解析】【分析】先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：{}1,72只有1种情况；{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有种270C 情况；以此类推……{}1,2,3,,71,72 ，有1（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和012697070707070702347172M C C C C C =+++++ ，计算可得：70372M =⨯.再思考可以分为{}{}{}{}{}1,,72,2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020 等1949类，问题可得解.【详解】当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况：集合只含2个元素：{}1,72只有1种情况；集合含有3个元素：{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；集合含有4个元素：{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有270C 种情况；以此类推……集合含有72个元素：{}1,2,3,,71,72 ，有（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和M 为：012697070707070702347172,M C C C C C =+++++ ①70696810707070707072717032,M C C C C C ∴=+++++ ②707070,070,r r C C r r Z-=≤≤∈ ①②两式对应项相加，得：()0126970707070707070274742M C C C C C =+++++=⨯ 70372M ∴=⨯同理可得：{}{}{}{}2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020, 所有子集元素个数之和都是70372⨯，所以集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为702371949⋅⋅.故选：C【点睛】本题考查了集合的子集个数和组合数及其计算，考查了分类讨论思想，属于难题.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BP BE ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）83π（2）62arccos 4+【解析】【分析】（1）先算底面积212EBC S r θ=扇形，再由V S h =⋅算出体积；（2）以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系，用空间向量法算出cos FP AC FP ACα⋅=⋅ ，即可得解.【详解】（1）由已知可得：22112422233EBC S r ππθ==⨯⨯=扇形．48233V S h ππ∴=⋅=⨯=．（2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,2A ，()2,0,2F ，()0,2,0P ，()3C -，所以，()2,2,2FP =--，()32AC =-- .设异面直线FP 与CA 所成的角为α，则cos FP ACFP ACα⋅=⋅()()()()()()()()()222222212322222132-⨯-+⨯+-⨯-=-++-⋅-++-624=所以，异面直线FP 与CA 所成角为62arccos4α=.【点睛】本题考查了柱体体积计算和空间向量法计算异面直线的夹角，考查了计算能力，属于中档题.18.已知锐角αβ、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为31025105、．（1）求()cos αβ+的大小；（2）在ABC ∆中，a b c 、、为三个内角、、A B C 对应的边长，若已知角C αβ=+，3tan 4A =，且22a bc c λ=+，求λ的值．【答案】（1）22（2）1=2λ-【解析】【分析】（1）由已知得：cos 105αβ==，故而sin 10α=，sin 5β=，再由cos(+)cos cos sin sin αβαβαβ=-可得解.（2）由（1）得：4C παβ=+=，所以22cos ,sin 22C C ==，由3tan 4A =可得34sin ,cos 55A A ==，再由sin sin()B A C =+可得72sin 10B =，最后由正弦定理可得：2222sin sin =sin sin a c AC bc B C λ--=，问题得解.【详解】（1）由三角函数定义，得：cos αβ==αβ 、为锐角，10sin 10α∴==，sin 55β==cos(+)cos cos sin sin αβαβαβ∴=-22=（2）由2cos(+)2αβ=，αβ 、为锐角，得：4C παβ=+=，22cos ,sin 22C C ∴==由3tan 4A =，得sin 3cos 4A A =，又22sin cos 1A A +=，解得34sin ,cos 55A A ==[]sin sin ()sin()B AC A C π=-+=+sin cos cos sin A C A C=+34525210=⨯+⨯=由正弦定理可得：222291sin sin 1252=sin sin 5a c A C bc B C λ---==-【点睛】本题考查了三家函数定义及正余弦和的展开公式，考查了正弦定理边化角的技巧，考查了计算能力，属于中档题.19.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围．【答案】（1）当12b =时不满足条件②，见解析（2）939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）因为当12b =时，()33342f =<，所以不满足条件②；（2）求导得：()2221444b x bf x x x+'=+=，当0b ≥时，满足条件①；当0b <时，()f x 在)⎡+∞⎣上单调递增，所以3≤.由条件②可知，()2x f x ≥，即44x b x +≤，等价于()2211481644b x x x ≤-+=--+在[]3,6上恒成立，问题得解.【详解】（1）因为当12b =时，()33342f =<，所以当12b =时不满足条件②.（2）由条件①可知，()44x bf x x=-+在[]3,6上单调递增，()2221444b x bf x x x +'=+=所以当0b ≥时，()0f x ¢³满足条件；当0b <时，由()0f x ¢=可得x =当)x ⎡∈+∞⎣时()0f x ¢³，()f x 单调递增，3∴≤，解得904b -≤<，所以94b ≥-由条件②可知，()2xf x ≥，即不等式44x b x +≤在[]3,6上恒成立，等价于()2211481644b x x x ≤-+=--+当3x =时，()218164y x =--+取最小值394394b ∴≤综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题.20.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且12AF AF +=（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（20y ±-=（3）(,)-∞+∞ 【解析】【分析】（1）由已知得：2a =，问题得解；（2）由已知可得：OA OB ⊥，设直线l 方程为：1x my -=，()11,A x y ,()22,B x y ，与椭圆方程2212x y +=联立可得：22(2)210m y my ++-=，由韦达定理，得：12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，最后由0OA OB ⋅= ，可得：1212x x y y +21212(1)()10m y y m y y =++++=，代入解方程即可；（3）设直线l 方程为：y kx b =+，由已知可得：1212211y y k x x +=--，即1212211kx b kx b k x x +++=--，化简得：12()(2)0b k x x ++-=，有已知可得:122x x +=，联立直线与椭圆方程得：222(21)4(22)0k x kbx b +++-=，由228(21)0k b ∆=-+>，和1224221kbx x k +=-=+可求b 的取值范围.【详解】（1）由12+AF AF =2a =，从而a =2212x y +=.（2）由于四边形ABPQ 是菱形，因此//AB PQ 且||||AB PQ =.由对称性，1F 在线段PQ 上.因此，,AP BQ 分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得AP BQ ⊥，即OA OB ⊥.设直线l 方程为：1x my -=，且()11,A x y ,()22,B x y 与椭圆方程2212x y +=联立可得：22(2)210m y my ++-=，12222m y y m ∴+=-+，12212y y m =-+，由0OA OB ⋅=，可得：12121212(1)(1)x x y y my my y y +=+++21212(1)()1m y y m y y =++++2222121022m m m m +=--+=++解得22m =±0y ±=.（3）设直线l 方程为：y kx b =+，()()()11222,,,,1,0A x y B x y F ，由已知可得：1212211y y k x x +=--，即1212211kx b kx b k x x +++=--.1212122()()22(1)(1)kx x b k x x b k x x ∴+-+-=--，化简得：12()(2)0b k x x ++-=.若0b k +=，则:l y kx k =-经过2F ，不符合条件，因此122x x +=.联立直线与椭圆方程得：222(21)4(22)0k x kbx b +++-=.因为228(21)0k b ∆=-+>，即22210k b -+> ①由1224221kb x x k +=-=+得：2212k b k+=-②将②代入①得：222212102k k k ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，解得：212k >令()12f k k k =--，则()222112122k f k k k -'=-+=当212k >时，()0f k '<，()12f k k k ∴=--在,2⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭或,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，()2f k f ⎛⎫∴>-= ⎪ ⎪⎝⎭或()2f k f ⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭所以b 的取值范围为：(,)-∞+∞ .【点睛】本题考查了椭圆与直线的综合性问题，关键是联立方程组，用韦达定理进行求解，考查了分析能力和计算能力，属于难题.21.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列：1,2,3,4,5, ；②等比数列：11111,,,,24816-- ；（2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【答案】（1）①等差数列：1,2,3,4,5,...不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,, (24816)--是跳跃数列.（2）证明见解析（3）()(12,23,a ∈-U 【解析】【分析】（1）①数列通项公式为n a n =，计算可得：()()22120i i i i a a a a +++--=-<，所以它不是跳跃数列；②数列通项公式为：112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得：()()222191042ii i i i a a a a +++⎛⎫--=⨯-> ⎪⎝⎭，所以它是跳跃数列；（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，若11a =，{}n a 是常数列，均不是跳跃数列；充分性：用数学归纳法证明证明，1n =命题成立，若n k =时2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，可得：222423k k k a a a +++>>，所以当1n k =+时命题也成立；（3）有已知可得：21n n a a ++-()()221519195125n n n n a a a a =----，2n n a a +-()()()2123195125n n n n a a a a =----，若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，解得5,22n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，解得53,2n a ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，由5101,22n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则153,2n a +⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，得()2,2n a ∈-；当51013,2n a ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则()12,2n a +∈-，得(n a ∈，问题得解.【详解】（1）①等差数列：1,2,3,4,5, 通项公式为：n a n=()()[][]221(2)2(1)20i i i i a a a a i i i i +++--=-++-+=-< 所以此数列不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,,24816-- 通项公式为：112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()11122211111910222242i i i i ii i i i a a a a -+++++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=------=⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 所以此数列是跳跃数列（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，不是跳跃数列；若11a =，{}n a 是常数列，不是跳跃数列.充分性：（下面用数学归纳法证明）若101a <<，则对任何正整数n ，均有2121222221,n n n n n n a a a a a a -+++<<>>成立.①当1n =时，112111a a a a a =>=，213112a aa a a a =<=，1212131111,a a a a a a a a =<∴=>=Q ，231a a a ∴>>321231111342,,a a a a a a a a a a a a >>∴<<<<Q ，所以1n =命题成立②若n k =时，2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，则22221212322,kk k a a a k k k aa a a a a +++++<<∴<<，212322222423,k k k a a a k k k a a a a a a ++++++>>∴>>，所以当1n k =+时命题也成立，根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足()()2210i i i i a a a a +++-->，故{}n a 是跳跃数列.（3）21195n n a a +-=()222212191919251919555125n n n n a a a a ++-⎛⎫- ⎪⨯---⎝⎭∴===()22221192519191255n n n n a a a a ++⨯---∴-=-()()221519195125n n n n a a a a =----()222192519125n n n n a a a a +⨯---=-()()()2123195125n n n n a a a a =----①若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，()()()()()222151919501251231950125n n n n n n n n a a a a a a a a ⎧----<⎪⎪∴⎨⎪---->⎪⎩解得5101,22n a ⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭；②若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，()()()()()222151919501251231950125n n n n n n n n a a a a a a a a ⎧---->⎪⎪∴⎨⎪----<⎪⎩解得51013,2n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；若5101,22n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则211951013,52n n a a +⎛-+=∈ ⎝⎭，所以()2,2n a ∈-，若51013,2n a ⎛+∈ ⎝⎭，则()21192,25n n a a +-=∈-，所以(n a ∈，所以()(12,2a ∈-U ，此时对任何正整数n ，均有()(2,2n a ∈-U 【点睛】本题考查了与数列相关的不等式证明，考查了数学归纳法，考查了分类与整合思想，属于难题.。
2020年上海浦东高三二模数学
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知直线 l 经过椭圆的右焦点 F2 ， P 、Q 是椭圆上两点，四边形 ABPQ 是菱形，求直
线 l 的方程；
（3）已知直线 l 不经过椭圆的右焦点 F2 ，直线 AF2 、 l 、 BF2 的斜率依次成等差数列，求
直线 l 在 y 轴上截距的取值范围.
21. 若数列{an} 对任意连续三项 ai 、ai1 、ai2 ，均有 (ai ai2 )(ai2 ai1) 0 （ i N* ），
曲线的方程是
9. 从 m （ m N* ，且 m 4 ）个男生、6 个女生中任选 2 个人发言，假设事件 A 表示选出 的 2 个人性别相同，事件 B 表示选出的 2 个人性别不同，如果事件 A 和事件 B 的概率相等， 则
10. 已知函数 f (x) x2 a log2 (x2 2) a 2 的零点有且只有一个，则实数 a 的取值集合 为
1
3. 若函数 f (x) x 2 ，则 f 1(1)
4. 若1 i 是关于 x 的方程 x2 px q 0 的一个根（其中 i 为虚数单位， p, q R ），则 pq
5. 若两个球的表面积之比为1: 4 ，则这两个球的体积之比为
x t 1
6.
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）
17. 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为 2 的正方形 ABCD（及其内部）以 AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转 120°得到的. （1）求此几何体的体积； （2）设 P 是弧 EC 上的一点，且 BP BE ，求异面直线 FP 与CA 所成角的大小.（结果用 反三角函数值表示）
2020上海高三数学二模分类汇总-数列(含答案)
2020届二模分类汇总-数列一、等差等比数列的性质与判定1、【2020年闵行区二模第4题】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3122S S S =+，12a =，则5a = 【答案：6】2、【2020年松江区二模第4题】等差数列的前项和为，若，则= ． 【答案：28 】3、【2020年长宁区二模第8题】记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若31a =，714S =，则5a =__________．【答案：3】4、【2020年奉贤区二模第8题】已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是 【答案： 5 】5、【2020年嘉定区二模第7题】设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，236a a +=，则6S = 【答案： 63 】6、【2020年崇明区二模第15题】设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为i a 、1i a +的矩形的周长（1,2,i =⋅⋅⋅），则“数列{}n A 为等差数列”的充要条件是（ ） A. {}n a 是等差数列B. 1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅或242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是等差数列C. 1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅和242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是等差数列D. 1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅和242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是等差数列，且公差相同 【答案： D 】{}n a n n S 15374,12a a a a +=+=7S7、【2020年嘉定区二模第16题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．若对任意的*n N ∈，都有13[n nS s S -∈，]t ，则t s -的最小值为( ) A ．23 B ．94 C ．12 D ．16【答案： B解析：由题意，64n n a S +=，∴1164n n a S --+=，作差11143n n n n n a a a a a ---=⇒=-， 为等比数列，由111642a S a +=⇒=，1(1)31[1()]123n n n a q S q -==---，111()[,]339n -∈-， ∴4[,2]3n S ∈，∴113113[,]42n n S S -∈，∴min 1113()24t s -=-=94。
2020届上海市浦东新区高三下学期教学质量检测数学试题(解析版)
2020届上海市浦东新区高三下学期教学质量检测数学试题一、单选题1．“a b =”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据充要关系定义进行判断选择. 【详解】若a b =，则a b =，所以充分性成立；若a b =，则a b =不一定成立，例如互为相反向量时就不成立，所以必要性不成立； 故选：A 【点睛】本题考查充要关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.2．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则8978aa a a +=+（） A ．1B ．1+C ．3+D ．3-【答案】B【解析】根据等差数列列式求得公比，再代入所求式,解得结果. 【详解】因为1a ，312a ，22a 成等差数列，所以3121222a a a ⨯=+设{}n a 公比为21201qq qq q ∴=+>∴=+从而89781a a q a a +==++故选：B 【点睛】本题考查等比数列与等差数列综合，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．对于实数a 、b 、m ，下列说法：①若a b >，则22am bm >； ②若a b >，则a ab b ；③若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+； ④若 0a b >>，且ln ln a b =，则(2,)a b +∈+∞，其中正确的命题的个数（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】举例说明①错误；根据不等式性质证明②成立；利用作差法证明③成立；根据对勾函数性质说明④成立. 【详解】若,0a b m >=，则22am bm =,所以①错误； 若a b >，则当0a b >≥时a a b a b b a a b b当0a b ≥>时0a a b b a ab b 当0a b >>时0aba ab a b ba ab b ，因此②成立；若0b a >>，0m >，则()0()a m a b a m a m ab m b b b m b m b+-+-=>∴>+++，所以③成立； 若 0a b >>，且ln ln a b =，则ln ln ln()0,11ab b a a b a ∴==∴=>-，1a b a a ∴+=+在(1,)+∞上单调递增，即12a b a a+=+>，因此④成立. 故选：C 【点睛】本题考查根据不等式性质比较大小、作差法比较大小、对勾函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.4．数学试卷的填空题由12道题组成，其中前6道题，每道题4分；后6道题，每道题5分．下面4个数字是某教师给出的一位学生填空题的得分，这个得分不可能是（ ） A ．17 B ．29C ．38D ．43【答案】D【解析】根据得分情况可说明ABC 成立，再说明D 一定不成立. 【详解】因为17=34+15,296415,382465⨯⨯=⨯+⨯=⨯+⨯，所以得分可能是ABC;因为432475=⨯+⨯，而满足个位数为3的只有这一种，但每道题5分的只有6道题，因此D 得分是不可能的， 故选：D 【点睛】本题考查简单推理，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题5．在行列式12011213a-中，元素a 的代数余子式的值是____________． 【答案】2【解析】根据代数余子式定义列式求解,即得结果. 【详解】在行列式12011213a-中，元素a 的代数余子式为401(1)0(2)221--=--= 故答案为：2 【点睛】本题考查代数余子式，考查基本求解能力，属基础题. 6．函数y =的定义域为____________．【答案】(]2-∞，【解析】根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解得指数不等式得结果. 【详解】2933032x x x ≥∴≤∴-≤,故定义域为(]2-∞， 故答案为：(]2-∞，【点睛】本题考查定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.7．已知x 、R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 1i x y -+=-+，则x y +=____________． 【答案】2【解析】根据复数相等列方程组，解得,x y ，即得结果.【详解】()212i 1i 1x x y y -=-⎧-+=-+∴⎨=⎩121x x y y =⎧∴∴+=⎨=⎩故答案为：2 【点睛】本题考查复数相等，考查基本分析求解能力，属基础题.8．函数()sin cos R y x x x =-∈的单调递增区间为____________．【答案】()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】先根据辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求单调区间. 【详解】sin cos )4y x x x π=-=-22()242k x k k Z πππππ∴-≤-≤+∈322()44k x k k Z ππππ∴-≤≤+∈ 故答案为：()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查辅助角公式、正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.9．已知02x <<_______ 【答案】1【解析】配方后利用二次函数求最值可得结果. 【详解】==,又因为02x <<所以1x =时 1. 故答案为:1 【点睛】本题考查了二次函数求最大值,属于基础题.10．61()x x-的展开式中的常数项是： ．(请用数字作答) 【答案】-20 【解析】621661()(1)r n rr r r r r T C xC x x--+=-=-， 令620r -=，则3r =，所以常数项为3620C -=-．11．.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数的反函数的图像上，则n a =________. 【答案】12n - 【解析】解：因为221log (1)log (1)12212nn n n n n n y x n S S S a -=+∴=+∴+=∴=-∴= 12．一支田径队有男运动员40人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为19的样本，则抽取男运动员的人数为____________． 【答案】10【解析】由样本容量与总体容量的比值相等计算． 【详解】设抽取的男运动员人数为n ，则由分层抽样定义得40194036x =+，解得10x =． 故答案为：10． 【点睛】本题考查分层抽样，利用分层抽样中样本容量与总体容量的比值相等求解即可． 1336的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ． 【答案】92π 【解析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,设正六棱柱的上下底面中心分别为12,O O ,球心为O ,一个顶点为A ,可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA ,再用球的体积公式即可得到外接球的体积. 【详解】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,如右图,则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O,正六棱柱的上下底面中心分别为12,O O,则球心O 是12O O 的中点.∴正六棱柱底面边长为3,侧棱长为61Rt AO O ∴中,1136,AO O O ==,可得221132AO AO O O =+=因此,该球的体积为3439322V ππ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭ 故答案为92π. 【点睛】本题给出一个正六棱柱,求它的外接球的体积,着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点,属于基础题.14．如图，已知椭圆1C 和双曲线2C 交于1P 、2P 、3P 、4P 四个点，1F 和2F 分别是1C 的左右焦点，也是2C 的左右焦点，并且六边形121342PP F P P F 是正六边形．若椭圆1C 的方程为22142323+=+，则双曲线2C 的方程为____________．221= 【解析】先根据椭圆1C 的方程确定半焦距，再根据正六边形性质确定双曲线中,,.a b c 【详解】2221442423c c =∴=+=∴=+设22222:1,(0,0)x y C a b a b-=>>22212||||21a P F P F a =-=∴222241)b c a ∴=-=-=因此2221C =221= 221-= 【点睛】本题考查求双曲线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.15．已知A 、B 、C 是半径为5的圆M 上的点，若6BC =，则AB AC ⋅的取值范围是____________． 【答案】[]8,72-【解析】由正弦定理求出sin A ，由平方关系得cos A ，然后利用余弦定理和基本不等式求出bc 的范围，最后由数量积的定义可得结论． 【详解】记,,A B C 所对边长分别为,,a b c ， 由正弦定理得2sin a R A=，即63sin 2255a A R ===⨯，所以4cos 5A =±，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，4cos 5A =时，228836255b c bc bc bc =+-≥-，90bc ≤，b c =时等号成立，所以4cos 90725AB AC bc A ⋅=≤⨯=，4cos 5A =-时，228836255b c bc bc bc =++≥+，10bc ≤，b c =时等号成立，所以4cos 1085AB AC bc A ⎛⎫⋅=≥⨯-=- ⎪⎝⎭，综上[8,72]AB AC ⋅∈-． 故答案为：[8,72]-． 【点睛】本题考查求平面向量数量积的取值范围，考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题．16．对数列{}n a ，{}()*n b n N∈，如果存在正整数k ，使得1kk ab >+，则称数列{}n a 是数列{}n b 的“优数列”，若32222n a n n tn t =+-+，3241n b n n n =+++，并且{}n a 是{}n b 的“优数列”，{}n b 也是{}n a 的“优数列”，则t 的取值范围是____________． 【答案】1t >-．【解析】根据“优数列”列不等式，再根据二次不等式有解求参数范围. 【详解】因为{}n a 是{}n b 的“优数列”， 所以存在正整数k ，1k k a b >+即3223222411k k tk t k k k +-+>++++，22(24)20k t k t --++> 显然成立，所以t R ∈； 因为{}n b 是{}n a 的“优数列”， 所以存在正整数m ，1m m b a >+即3232241221m m m m m tm t +++>+-++，22(24)0m t m t -++<22(24)401t t t ∴∆=+->∴>-当1t >-时，由于对称轴21m t =+>，所以必存在正整数m ，使得22(24)0m t m t -++<综上，1t >- 故答案为：1t >- 【点睛】本题考查数列新定义、不等式有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题17．如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 为棱1AA 的中点，1AB =，12AA =．（1）求点B 到平面11B C E 的距离； （2）求二面角11B EC C --的正弦值． 【答案】（1）2；（2）3． 【解析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离； （2）用空间向量法求二面角的余弦值，再求正弦值． 【详解】解：（1）如图所示，建立直角坐标系，则有关点的坐标为()1,0,0B ，()11,0,2B ，()11,1,2C ，()0,0,1E ，所以，()110,1,0B C =，()11,0,1B E =--．设平面11B C E 的法向量()1,,n u v w =， 则由111n B C ⊥且11n B E ⊥得，11111000v n B C u w n B E ⎧=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩．取1u =，于是平面11B C E 的一个法向量为()11,0,1n =-． 且()10,0,2BB =，所以，点B 到平面11B C E 的距离为()11222010*******n BB d n⋅⨯+⨯-⨯===++-．（2）因为()11,1,2C ，()0,0,1E ，()11,1,0C ， 所以，()10,0,2CC =，()1,1,1CE =--设平面1CC E 的法向量()1112,,n u v w =，则由21n CC ⊥且2n CE ⊥得，11211111122000000w w n CC u v w u v n CE ⎧⎧==⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨--+=+=⋅=⎪⎩⎪⎩⎩．取11u =于是平面1CC E 的一个法向量为()21,1,0n =-．设平面11B C E 的一个法向量()11,0,1n =-与平面1CC E 的一个法向量 为()21,1,0n =-的夹角为ϕ，则12121cos 2n n n n ϕ⋅==， 所以，3sin ϕ=． 所以二面角11B EC C --的正弦值为3． 【点睛】本题考查用空间向量法求点到平面的距离，求二面角．在图形中已有两两相互垂直的三条直线时，如长方体，可建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角，距离，研究（或证明）空间线面位置关系．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<．（1）如图所示，函数()f x 的图象与直线()1 1 y m m =-<<三个相邻交点的横坐标为3π-、6π、2π，求ω的值； （2）函数()()sin 0,0y x ωϕωϕπ=+><<的图象与x 轴的交点A 、B 、C ，且满足OA 、OB 、OC 成等差数列，求ϕ的值． 【答案】（1）125ω=；（2）34πϕ=． 【解析】（1）先确定周期，再求ω的值；（2）根据等差数列性质得2OB OA OC =+，再利用A 、B 、C 坐标表示，解得ϕ的值． 【详解】（1）由三角函数的图象可知，直线y m =与正弦函数图象相交的三个相邻交点中，第一个点和第三个点之间正好一个周期则5236T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ 所以2125T πω==． （2）由OA 、OB 、OC 成等差数列得2OB OA OC =+ 在同一周期内，不妨设0B x ωϕ+=，A x ωϕπ+=， 2C x ωϕπ+= 得B x ϕω=-，A x πϕω-=，2C x πϕω-=， 由2OB OA OC =+，得322πϕϕωω-=，解得34πϕ=． 【点睛】本题考查根据三角函数图象与性质求参数、等差数列应用，考查基本分析求解能力，属基础题.19．某企业准备投产一款产品，在前期的市场调研中发现： ①需花费180万元用于引进一条生产流水线；②每台生产成本Q （x ）（万元）和产量x （台）之间近似满足Q （x ）＝51351x ++，x ∈N ；（注每台生产成本Q （x ）不包括引进生产流水线的费用） ③每台产品的市场售价为10万元； ④每年产量最高可达到100台；（1）若要保证投产这款产品后，一年内实现盈利，求至少需要生产多少台（而且可全部售出）这款产品；（2）进一步的调查后发现，由于疫情，这款产品第一年只能销售出60台，而生产出来的产品如果没有在当年销售出去，造成积压，则积压的产品每台将亏损1万元，试判断该企业能否在投产第一年实现盈利．如果可以实现盈利，则求出当利润最大时的产量；若不能实现盈利，则说明理由．【答案】（1）至少生产并销售63台这款产品，才能实现盈利；（2）可以实现盈利，利润最大时，产量为89台．【解析】（1）由题意可得利润函数为f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅x ﹣180，0＜x ≤100，x ∈N ，由f （x ）＞0求解不等式得答案；（2）把利润函数f （x ）变形，再由基本不等式求最值． 【详解】（1）由题意可知该商品的利润函数为：f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅x ﹣180，0＜x ≤100，x ∈N ，则由()1018000100*Q x x x x N ⎧⎡⎤-⋅-⎪⎣⎦⎨≤∈⎪⎩＞＜，，解得x ≥63． ∴至少生产并销售63台这款产品，才能实现盈利；（2）由（1）可知，当产量0＜x ≤60，x ∈N 时，无法实现盈利； 当产量60＜x ≤100，x ∈N 时，由题意可知利润函数为f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅60﹣（x ﹣60）﹣180． 化简得f （x ）＝181﹣[()1356011x x ⋅+++]1801≤-=． 当且仅当x ＝89时等号成立．∴可以实现盈利，利润最大时，产量为89台． 【点睛】本题考查分式函数模型的实际应用，涉及利用基本不等式求最值，属综合基础题. 20．已知点F 是抛物线2:8C y x =上的焦点，()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线上的两个动点．（1）若直线AB 经过点F ，且126x x +=，求AB ；（2）若126x x +=，求证:线段AB 的垂直平分线经过一个定点C ，并求出C 点的坐标；（3）若线段AB 与x 轴交于Q 点，是否存在这样的点Q ，使得2211AQBQ+为定值，若存在，求出这个定值和Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）10；（2）证明见解析，经过一个定点()70C ，；（3）存在Q 点满足题意，坐标为()4,0，2211116AQBQ+=． 【解析】（1）根据抛物线定义求焦点弦弦长；（2）先考虑直线AB 的斜率存在情况，根据点斜式得线段AB 的垂直平分线的方程，确定定点，再验证直线AB 的斜率不存在情况也过此定点；（3）设()0Q m ，，过Q 点直线方程为x ty m =+，与抛物线联立方程组，结合韦达定理化简2211AQBQ+，确定定值取法，即可确定定点与定值.【详解】（1）1022A B A B p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=． （2）①当直线AB 的斜率存在时，设线段AB 的中点为()00,M x y ，则12032x x x +==，1202y yy +=，21212221212108488AB y y y y k y y x x y y y --====-+-．线段AB 的垂直平分线的方程是()034y y y x -=--，即()074y y x =--． ②当直线设AB 的斜率不存在时，此时线段AB 的垂直平分线的方程是0y =．所以线段AB 的垂直平分线经过一个定点()70C ，． （3）设()0Q m ，，过Q 点直线方程为x ty m =+，联立228880y xy ty m x ty m⎧=⇒--=⎨=+⎩，则264320t m ∆=+>，128y y t +=，128y y m =-．则()()222221111AQ x m y t y =-+=+，()()222222221BQ x m y t y =-+=+，所以，()()22222212111111t y t y AQBQ+=+++()()()()()()222212121222222212122641664111y y y y y y t mm t t y y t y y +-++===+++， 所以当4m =时，2211116AQBQ+=，故Q 点的坐标为()4,0， 并且满足264320t m ∆=+>． 【点睛】本题考查抛物线焦点弦、抛物线中定点与定值问题，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.21．定义在R 上的非常值函数()f x 、()g x （()f x 、()g x 均为实数），若对任意实数x 、y ，均有()()()()22f x y f x y g y g x +⋅-=-，则称()g x 为()f x 的关联平方差函数．（1）判断()cos g x x =是否是()sin f x x =的关联平方差函数，并说明理由； （2）若()g x 为()f x 的关联平方差函数，证明：()f x 为奇函数；（3）在（2）的条件下，如果()01g =，()21g =-，当02x <<时()11g x -<<，且f x Tf x 对所有实数x 均成立，求满足要求的最小正数T 并说明理由．【答案】（1）是；理由见解析；（2）证明见解析；（3）4T =是满足要求的最小正数，理由见解析．【解析】（1）根据关联平方差函数定义直接化简判断；（2）结合关联平方差函数定义，证明()()f b f b -=-恒成立； （3）结合关联平方差函数定义先探求4T =，再用反证法证4T =是满足要求的最小正数. 【详解】（1）()cos g x x =是()sin f x x =的关联平方差函数，()()()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin f x y f x y x y x y x y x y x y x y +-=+-=+-()()2222222222sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos x y x y y x y x x y =-=---()()2222cos cos y x g y g x =-=-（2）()f x 是非常值函数，所以存在a ，()0f a ≠， 下证对任意实数b ，()()f b f b -=- 令2a b x +=，2a b y -=可得()()2222a b a b f a f b g g -+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；再令2a b x -=，2a b y +=可得()()2222a b a b f a f b g g +-⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两式相加可得()()()0f a f b f b +-=⎡⎤⎣⎦，()0f a ≠，()()f b f b ∴-=-，所以()f x 为奇函数（3）令0y =可得()()()()222201f x g g x g x =-=-，即()()221fx g x +=，()21g =-，()()220f f ∴=-=，令2y x =+，()()()()2222220f x f gx g x +-=+-=， 令2y =，()()()2221f x f x gx +-=-，用2x +替换x 可得()()()()()2224121f x f x g x g x f x +=-+=-=，[1]若()0f x ≠，那么()()+4f x f x =； [2]若()=0f x ，那么()()()()()2222211+2+2+4fx g x g x f x f x =-=-==；所以()()+40f x f x == 综上可知4T=满足要求，下证4T =是满足要求的最小正数，用反证法，若存在004T <<也满足要求，令0x =，02T y =可得()2200000222T T T f f g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而0022T T f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0022T T f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，00022T T f f ⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矛盾！ 所以4T=是满足要求的最小正数.【点睛】本题考查函数新定义、证明奇函数、函数周期、反证法，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.。